de thi hsg2

<span class='text_page_counter'>(1)</span>UBND HUYEÄN CHAÂU THAØNH Phòng Giáo dục & Đào tạo. COÄNG HOØA XAÕ HOÄI CHUÛ NGHÓA VIEÄT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc. ĐỀ CHÍNH THỨC. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 – 2009 Môn thi: TOÁN 9 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề) (Học sinh không phải chép đề vào giấy thi) Bài 1: (3đ) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì: n 4  6n3  11n 2  30n  24 chia heát cho 24. 4 3 2 Bài 2: (3đ) Xác định các hệ số a và b để đa thức A = x  2 x  3 x  ax  b là bình phương của. một đa thức. Baøi 3 (3ñ) a) Chứng minh rằng: Với mọi số thực a, b, c, d ta có: b) Với a  c; b  c; c > 0. Chứng minh rằng:.  ab  cd . 2.  a 2  c 2   b 2  d 2 . c  a  c   c  b  c   ab. Baøi 4) (4ñ): a) Ruùt goïn B  4  10  2 5  4  10  2 5 b) Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó C  x . x  2009. Baøi 5) (3ñ) Cho tam giaùc ABC (AB < AC), M laø 1 ñieåm treân caïnh BC veõ BI  AM, CK  AM. Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để tổng BI + CK lớn nhất. Bài 6: (4đ)Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Đường thẳng qua đỉnh C cắt các cạnh AB và AD keùo daøi taïi F vaø E. a/ Chứng minh rằng: Tích DE.BF không đổi. DE AE 2  2 b/ Chứng minh rằng: BF AF. ---*---.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> HƯỚNG DẪN CHẤM VAØ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 - 2009 Môn thi : TOÁN 9 Baøi 1: n 4  6n3  11n 2  30n  24 =  n4  6n3 11n2  6n    24n  24  n  n3  6n2 11n  6   24  n  1. =. n   n3  n 2    5n 2  5n    6n  6    24  n  1 n  n  1  n 2  5n  6   24  n  1. =. n  n  1  n  2   n  3  24  n  1. (2đ) Vì n; n + 1; n + 2; n + 3; n + 4 là bốn số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 2.3.4 4 3 2 = 24 vaø 24 (n - 1) chia heát cho 24 neân n  6n  11n  30n  24 chia heát cho 24 (1đ) Bài 2: Ta có A là bình phương của một đa thức thì: x A= . 2.  cx  d . 4. 3. 2. x 4  2cx 3   c 2  2d  x 2  2cdx  d 2. =. (0,5đ). 2. Maø: A = x  2 x  3x  ax  b Do đó ta có hệ phương trình:  2c  2  2 c  2d 3    2cd a  d 2 b .  a  2 b 1   c  1 d 1. 4 3 2 Do đó: a = - 2 ; b = 1. Vậy: A = x  2 x  3 x  2 x  1 (2,5đ). Baøi 3: a/ Ta coù:.  ab  cd . 2.  a 2  c 2   b 2  d 2 . 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2.   ab   2abcd   cd   ab    ad    bc    cd   0  ad   2adbc   bc   0  ad  bc . 2. Bất đẳng thức trên luôn đúng với mọi số thực a, b, c..  ab  cd  Vaäy:. 2.  a 2  c 2   b 2  d 2 . ; với mọi số thực a, b, c, d.(1,5đ). b / Ta coù: c  a  c   c  b  c   c. a  c  b  c. c   . 2.  c  . 2 b  c  .  .  . a c. 2.   c. 2.   ab . (1,5đ). Baøi 4: (4ñ): a) Ruùtgoïn B  4  10  2 5  4  10  2 5  B 2 4  10  2 5  4  10  2 5  2. . B 2 8  2 16  10  2 5. 4. . B 2 8  2 6  2 5 B 2 8  2. . . 5 1. 2. 8  2. . . 5 1. B 2 6  2 5  B  6  2 5  B  5  1. 10  2 5.  4 . 10  2 5. . 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> b)C  x . x  2009 ñieàukieän x 2009 2. 1 3  1 3 3 x  2009   2008  x  2009    2008 2008 4 4  2 4 4 1 Daáu " " xaûy ra  x  2009  0 2 1  x  2009  2 1  2 0 1   2  x 2009 4  x  2009  1      2 3 1 2008  x 2009 4 4 Vaäy giaù trò nhoû nhaát cuûa C laø C  x  2009 . Baøi 5: (3ñ): Vẽ đường cao AH ta có: SABM  SACM SABC. 1 1 AM .BI  AM .CK SABC 2 2 S 1 AM  BI  CK  SABC  BI  CK  ABC 2 2 AM. mà AM  AH. 2SABC BC AH Vaäy Max  BI  CK  BC . Khi AM  BC.  BI  CK .  M là chân đường cao vẽ từ A đến cạnh BC Baøi 6: F C. B. A. D. E. a/ Chứng minh rằng: Tích DE.BF không đổi. ED CD ED AE    EA AF CD AF (1) (0,75đ) AE AF AE BC AFE BFC (G  G )     BC BF AF BF (2) (0,75đ) ED BC   ED.BF CD.BC a 2 CD BF Từ (1) và (2) suy ra: (không đổi) (0,5đ) DCE AFE (G  G ) . Vậy: Tích DE.BF không đổi. DE AE 2  2 b/ Chứng minh rằng: BF AF.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ED BC EA2 DE AE 2 .  2  2 Nhaân (1) vaø (2) veá theo veá , ta coù: CD BF AF . Vì CD = BC neân BF AF (2đ).

<span class='text_page_counter'>(5)</span>