Việc biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các số fibonacci tổng quát

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ TRĂNG

VIỆC BIỂU DIỄN MỘT SỐ TỰ NHIÊN THÀNH TỔNG
CỦA CÁC SỐ FIBONACCI TỔNG QUÁT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ TRĂNG

VIỆC BIỂU DIỄN MỘT SỐ TỰ NHIÊN THÀNH TỔNG
CỦA CÁC SỐ FIBONACCI TỔNG QUÁT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:

60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. NÔNG QUỐC CHINH

Thái Nguyên - 2017

i

Mục lục
Danh sách kí hiệu

ii

Mở đầu

1

Chương 1. Về dãy số Fibonacci

3

1.1

Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Các tính chất của dãy số Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Về Định lí Zeckendorf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4

Một số bài toán sơ cấp ứng dụng về dãy số Fibonacci . . . . . . . . . . .

9

Chương 2. Biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các số Fibonacci tổng quát 13
2.1

Biểu diễn các số nguyên thành tổng của các số Fibonacci phân biệt . . . . 13

2.2

Biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các số Fibonacci tổng quát . . . 23

Kết luận

34

Tài liệu tham khảo

35


ii

Danh sách kí hiệu
{. . .}

là dãy số nguyên

(. . .)

là một vector có các tọa độ nguyên.

[. . .]

là các ma trận mà phần tử là các số nguyên.

V

là tập hợp bao gồm các vector có dạng (i1 , i2 , . . . , id )
với d

1, các thành phần iν là các số nguyên với

1 ≤ i1 ≤ i2 ≤ . . . id . Thông thường ta sẽ viết I thay cho
(i1 , i2 , . . . , id ).
n
k

M
m

∑ bi

i=1
∞

∑ bn
n=1

tổ hợp chập k của n
là ma trận [uµ , ν ].
m

(tổng hữu hạn) ∑ bi = b1 + b2 + · · · + bm
i=1
∞

(chuỗi vô hạn) ∑ bn = b1 + b2 + · · · + bn + · · ·
n=1


1

Mở đầu
Dãy Fibonacci là dãy vô hạn các số tự nhiên bắt đầu bằng hai phần tử 0
và 1 hoặc 1 và 1, các phần tử sau đó được thiết lập theo quy tắc mỗi phần
tử luôn bằng tổng hai phần tử trước nó. Dãy số Fibonacci tuy rất đơn giản
về quy tắc thiết lập nhưng là một trong những vẻ đẹp đặc biệt trong kho
tàng Toán học. Dãy số Fibonacci vơ cùng biến hóa với nhiều tính chất lí
thú và ứng dụng quan trọng. Người ta đã tìm thấy rất nhiều vấn đề thú vị
liên quan đến dãy số Fibonacci, cả ở toán học thuần túy đến những vấn đề
khác trong tự nhiên.
Dãy Fibonacci được đưa ra bởi nhà toán học Ý tên là Leonardo Pisano

Bogollo (tên thường gọi là Fibonacci) vào thời gian khoảng năm 1170 đến
năm 1250. Dãy số Fibonacci bí ẩn và lí thú đến mức, đã có một tạp chí
tốn học hồn tồn chỉ đăng các kết quả nghiên cứu có liên quan nó, đó là
tạp chí The Fibonacci Quarterly.
Mục tiêu của luận văn là nghiên cứu một sự kiện thú vị về dãy Fibonacci, đó là việc biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các số Fibonacci tổng quát.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương:
• Chương 1. Số Fibonacci. Trong chương này trình bày các định nghĩa
và các tính chất cơ bản của các dãy số Fibonacci. Một số bài toán sơ
cấp ứng dụng về dãy số Fibonacci


2
• Chương 2. Việc biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các số Fibonacci tổng quát. Mở rộng định lí Zeckendorf và biểu diễn số tự
nhiên bằng các số Fibinacci phân biệt.
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên và hồn thành với sự hướng dẫn của PGS.TS. Nơng Quốc
Chinh. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới
người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu,
dành nhiều thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của
tác giả trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả xin trân trọng cảm ơn
Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban
Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã
tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và hồn thành khóa học.

Thái Ngun, ngày 10 tháng 11 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Thị Trăng

3

Chương 1

Về dãy số Fibonacci
1.1

Định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa 1.1.1. Dãy số Fibonacci là dãy số vô hạn các số tự nhiên bắt
đầu bằng hai phần tử 0 và 1 hoặc 1 và 1, các phần tử sau đó được thiết lập
theo quy tắc mỗi phần tử luôn bằng tổng của hai phần tử trước nó,
un+1 = un + un−1
Ví dụ 1.1.2. Fibonacci lần đầu tiên để ý đến dãy số trên khi ơng xét một
bài tốn về thỏ đẻ con như sau : Bắt đầu với một thỏ đực và thỏ cái, hỏi có
bao nhiêu cặp thỏ có thể được sinh ra trong một năm?
Bài toán giả sử với những điều kiện sau:
1. Bắt đầu với một thỏ đực và thỏ cái vừa chào đời.
2. Thỏ đạt tới tuổi thuần thục sinh sản sau một tháng.
3. Thời gian mang thai thỏ là một tháng.
4. Sau khi thuần thục sinh sản, thỏ cái đẻ đều mỗi tháng.
5. Một thỏ cái sinh ra một thỏ đực và một thỏ cái.
6. Khơng có thỏ chết.


4
Từ giả thiết suy ra rằng, từ cặp thỏ sơ sinh sau hai tháng sẽ có hai cặp
thỏ. Sau ba tháng, cặp thứ nhất sinh ra một cặp nữa, và ta có ba cặp. Tháng
tiếp theo, cặp thứ hai cũng sinh ra cặp mới, và ta có 5 cặp thỏ.
Kí hiệu qua u(n) số cặp thỏ sau tháng thứ n kể từ đầu năm. Ta thấy sau

tháng (n + 1) thì sẽ có u(n) cặp ban đầu, cộng thêm số cặp do các cặp đã
có sau tháng thứ (n − 1) sinh ra. Số này là u(n − 1). Vậy
u(1) = 1,
u(2) = 1,
u(3) = 2,

(1.1)

u(4) = 3,
...,
u(n + 1) = u(n) + u(n − 1).
Theo giả thiết, u(1) = 1, u(2) = 1, nên ta có
u(3) = 2,

u(4) = 3, . . . , u(12) = 144, u(13) = 233.

Các số u(n) được gọi là các số Fibonacci.
Xét dãy Fibonacci xác định bởi
u(n + 1) = u(n) + u(n − 1).
Phương trình đặc trưng của quan hệ (1.1) là
r2 − r − 1 = 0.
Phương trình này có các nghiệm
√
1+ 5
,
r1 =
2

và

√
1− 5
r2 =
.
2

(1.2)


5
Nghiệm tổng quát của quan hệ (1.1) có dạng:
u(n) = C1

√
1+ 5
2

n

+C2

√
1− 5
2

n

(1.3)

.

Các số Fibonacci u(n) được cho bởi (1.3) với điều kiện u(0) = 1, u(1) = 1.
Khi đó các hằng số C1 , C2 được tính từ hệ phương trình.

 C +C = 0
1
2
√
 5 (C −C ) = 1.
2

Giải ra ta được C1 =

√1
5

1

2

và C2 = − √1 .Vậy nghiệm tổng quát có dạng

u(n) =

5

√ n
1+ 5
−
2

√
5

√ n
1− 5
2

.

Công thức trên đây được gọi là công thức Binet. Dựa vào cơng thức Binet,
ta có định lí sau đây cho một tính chất thú vị của các số Fibonacci.

1.2

Các tính chất của dãy số Fibonacci

Định lí 1.2.1. Số Fibonacci un là số nguyên gần nhất đối với số √1
√ 5
5
1+
1
tức là số hạng an của cấp số nhân với từ đầu tiên là √
2
5
√
1+ 5
bội là 2 .

√ n

1+ 5
,
2

và công

Chứng minh. Rõ ràng chỉ cần chứng minh rằng trị tuyệt đối của hiệu giữa
hai số un và an ln ln bé hơn 1/2. Ta có
r1n − r2n − r1n
r1n
r1n − r2n
|r2 |n
√
= √ .
|un − an | = √ − √ =
5
5
5
5
Do

nên |un − an | < 21 .

√
3−1
1− 5
<
|r2 | = √
=1
2

5


6
Sau đây ta sẽ chứng minh một số tính chất cơ bản của dãy số Fibonacci.
Trong các mệnh đề sau đây, un dùng để kí hiệu số Fibonacci thứ n xác
định bằng
u1 = 0,

u2 = 1,

un+1 = un + un−1 .
Mệnh đề 1.2.2. u1 + u2 + . . . + un = un+2 − 1.
Chứng minh. Ta có
u1 = u3 − u2 ,
u2 = u4 − u3 ,
...
un−1 = un+1 − un ,
un = un+2 − un+1 .
Cộng từng vế đẳng thức này, ta có
u1 + u2 + . . . + un = un + 2 − u2 ,
mà u2 = 1 nên ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.2.3. u1 + u3 + u5 + . . . + u2n−1 = u2n .
Chứng minh. Ta có
u1 = u2 ,
u3 = u4 − u2 ,
u5 = u6 − u4 ,
...

(1.4)

7
u2n−3 = u2n−2 − u2n−1 ,
u2n−1 = u2n − u2n−2 .
Cộng từng vế các bất đẳng thức, ta được
u1 + u3 + u5 + . . . + u2n−1 = u2n .
Ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.2.4. u2 + u4 + . . . + u2n = u2n+1 − 1.
Chứng minh. Từ Mệnh đề 1.2.2 ta có
u1 + u2 + u3 + . . . + u2n = u2n+2 − 1.
Từ Mệnh đề 1.2.3 ta có
u1 + u3 + u5 + . . . + u2n−1 = u2n .
Trừ từng vế đẳng thức này ta được
u2 + u4 + . . . + u2n = u2n+2 − 1 − u2n = u2n+1 − 1.
Điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.2.5. u1 − u2 + u3 − u4 + . . . + (−1)n+1 un = (−1)n+1 un−1 + 1.
Chứng minh. Từ các Mệnh đề 1.2.3 và Mệnh đề 1.2.4 ta được
u1 − u2 + u3 − u4 + . . . + u2n−1 − u2n = u2n − u2n−1 + 1.

(1.5)

Cộng thêm vào hai vế u2n+1 ta có
u1 − u2 + u3 − u4 + . . . − u2n + u2n+1 = u2n + 1.

(1.6)

Công thức trong Mệnh đề 1.2.5 chính là kết hợp của hai cơng thức (1.5) và
(1.6) (tương ứng với n lẻ và n chẵn).

8
Mệnh đề 1.2.6. u21 + u22 + . . . + u2n = un un+1 .
Chứng minh. Ta có
uk uk+1 − uk−1 uk = uk (uk+1 − uk−1 ) = u2k .
Do đó,
u21 = u1 u2 ,
u22 = u2 u3 − u1 u2 ,
u23 = u3 u4 = u2 u3 ,
...,
u2n = un un+1 − un−1 un .
Cộng từng vế các đẳng thức này, ta được
u21 + u22 + . . . + u2n = un un+1 .

1.3

Về Định lí Zeckendorf

Bổ đề 1.3.1. Giả sử dãy số (ci )i=0,1,...,k là dãy tăng, thỏa mãn ci

2 và

ci+1 > ci + 1 với mọi i = 0, 1, . . .. Khi đó ta có
k

∑ uc

i

< uck +1

i=1

Định lí 1.3.2 (Zeckendorf). Xét N là số nguyên dương bất kỳ. Khi đó tồn
tại duy nhất dãy số (ik )i=1,2,...,d tăng, thỏa mãn ik

1 và ik+1 > ik + 1 với

mọi k = 1, 2, . . . , d − 1 có biểu diễn sau
N = ui1 + ui2 + · · · + uid

(1.7)

Đẳng thức (1.7) được gọi là biểu diễn Zeckendorf cho số nguyên dương n.


9

1.4

Một số bài toán sơ cấp ứng dụng về dãy số Fibonacci

Mục này sẽ trình bày một số bài tốn sơ cấp ứng dụng về dãy số Fibonacci.
Bài toán 1.4.1. Giả sử uk là số hạng thứ k của dãy Fibonacci. Chứng minh
rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 3, thì số An = 4un−2 un un+2 un+4 + 9 là một
số chính phương.

Lời giải. Trước hết ta có nhận xét sau đây: Với mọi số
Vn = |un+4 un−2 − un+2 un | = 3.

(1.8)

Thật vậy
Vn = |(un+2 + un+3 )un−2 − un+2 |
= |un+3 + un−2 + un+2 (un−2 un )| = |un+3 + un−2 + un+2 + un−1 |
= |un+3 + un−2 + un+2 (un−2 un )| = |un+3 + un−2 + un+2 + un−1 |
= |un+3 (un−1 − un−3 ) − un+2 un−1 | = |un+3 + un+1 (un+2 − un+3 )|
= |un+3 un−3 − un+1 un−1 | = Vn−1 .
Từ Vn = Vn−1 , và quá trình ấy cứ lặp lại, ta đi đến
Vn = V3 ,

với mọi n ≥ 3.

(1.9)

Ta có V3 = |u7 u1 − u5 u3 | = |13 · 1 − 15 · 2| = 3 như thế nhận xét (1.8) được
chứng minh.

Từ (1.8) suy ra
un+4 un−2 = un un+2 ± 3
hay
An = 4un un+2 (un un+2 ± 3) + 9 = (2un un+2 ± 3)2 .


10
Do un nguyên với mọi n ∈ N suy ra An là số chính phương với mọi n ≥ 3
nguyên. Ta có điều cần chứng minh.

Bài tốn 1.4.2. Chứng minh rằng mọi số tự nhiên thì hoặc là một số Fibonacci, hoặc có thể biểu diễn thành dạng của tổng một vài số Fibonacci
phân biệt, ở đây ta hiểu số Fibonacci là một phần tử của dãy Fibonacci.

Lời giải. Kí hiệu uk là số Fibonacci thứ k với k ∈ N.

Xét dãy Fibonacci 1, 1, 2, 3, 4, 8, 13, . . . Ta chứng minh điều khẳng định

của bài tốn bằng ngun lí quy nạp tốn học.
Với n = 1, 2, 3, 4 (và để ý rằng 4 = 3 + 1, ta thấy điều khẳng định của
bài toán đã đúng với mọi số tự nhiên nhỏ hơn u5 = 5).
Giả sử điều khẳng định của bài toán đã đúng với mọi số tự nhiên n nhỏ
hơn uk . Khi đó dĩ nhiên khẳng định của bài tốn cũng đúng khi n = uk .
Xét các số tự nhiên n mà
uk < n < uk+1 .

(1.10)

uk+1 = uk + uk−1 .

(1.11)

Chú ý rằng ta có

Từ (1.10) và (1.11) sy ra các số n thoả mãn (1.10) có thể biểu diễn dưới
dạng:
n = uk + m,

0 < m < uk−1 .

(1.12)

Từ (1.12) và giả thiết quy nạp suy ra mọi số tự nhiên m nhỏ hơn uk − 1 có

thể biểu diễn thành tổng của một vài số Fibonacci khác nhau, chỉ số của
các số này nhỏ hơn k − 1. Vì thế số n = uk + m cũng có thể biểu diễn được
thành tổng của các số Fibonacci (trong các số đó, số lớn nhất thì bằng uk

cịn các sơ khác có các chữ số nhỏ hơn k − 1). Vậy điều khẳng định của bài

toán cũng đúng với mọi số tự nhiên n nhỏ hơn uk + 1.


11
Theo ngun lí quy nạp tốn học, ta suy ra điều khẳng định của bài
toán cũng đúng với mọi số tự nhiên. Bài toán được chứng minh.
Bài toán 1.4.3. Chứng minh rằng khơng có 8 số Fibonacci liên tiếp có
tổng là một số Fibonacci.
Lời giải. Xét tổng
Sk = uk+1 + uk+2 + uk+3 + . . . + uk+8
của 8 số Fibonacci liên tiếp. Chú ý rằng với dãy Fibonacci ta có:
u1 ≤ u2 < u3 < u4 < . . . < un < . . .
Vì dãy Fibonacci là tăng thực sự kể từ u2 , nên nếu ta chứng minh được với
mọi k tự nhiên mà
uk+9 < Sk < uk+10,
thì rõ ràng Sk khơng phải là một số Fibonacci, và từ đó suy ra kết luận của
bài tốn là đúng. Thật vậy, ta có
uk+9 + uk+9 + uk+7 < uk+8 + uk+7 + uk+6 + . . . + uk+1 = Sk
(vì mọi số hạng của dãy Fibonacci đều dương).
Bây giờ ta chỉ còn phải chứng minh rằng Sk < uk+10. . Ta có nhận xét
sau đây: “Nếu gọi Sn là tổng của n số Fibonacci đầu tiên, thì với mọi n ≥ 2
ta có

Sn + 1 = un+2 .

(1.13)

Công thức (1.13) được chứng minh bằng quy nạp như sau
• Với n = 2, ta có S2 = 1 + 1 nên S2 + 1 = 3 = u4 . Vậy (1.13) đúng khi
n = 2.


12
• Giả sử khẳng định (1.13) đã đúng với k = n, tức là
(1.14)

Sk = u1 + u2 + . . . + uk + 1 = uk+2 .
• Xét khi n = k + 1. Ta có

Sk+1 +1 = u1 +u2 +. . .+uk +uk+1 +1 = (u1 +u2 +. . .+uk +1)+uk+1 .
Từ giả thiết quy nạp (1.14) suy ra Sk+1 + 1 = uk+2 + uk+1 = uk+3 . Vậy
(1.13) cũng đúng khi n = k + 1. Theo ngun lí quy nạp tốn học suy
ra (1.13) đúng với mọi n ≥ 2.
Trở lại bài toán đang xét, ta có
Sk = uk+1 + uk+1 + . . . + uk+8 = Sk+8 − Sk .
Theo nhận xét trên suy ra
Sk = (uk+10 − 1) − (uk+2 − 1) = uk+10 − uk+2 < uk+10

do uk+2 > 0.

Vậy bất đẳng thức uk+9 < Sk < uk+10 đã được chứng minh. Bài tốn được
giải hồn tồn.
Bài tốn 1.4.4. Chứng minh rằng mọi số nguyên dương N có thể được viết
thành tổng các số rời rạc không liên tiếp của dãy số Fibonacci.

Lời giải. Giả sử (un )n≥1 là dãy số Fibonacci.
Khi đó u1 = u2 = 1 và un+2 = un+1 + un với mọi n ≥ 1.

Ta giả sử rằng un ≤ N < un+1 . Do vậy, 0 ≤ N − un < un − 1.

Khi đó tồn tại s < n − 1 sao cho us ≤ N − un < us+1 . Do đó 0 ≤ N − un −
us < us−1 và s − 1 < n − 2.

Do đó N có thể được viết thành N = un + us + u p + . . . + ur , trong đó các
n, s, p, . . . , r là chỉ số của các số không liên tiếp.


13

Chương 2

Biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các
số Fibonacci tổng quát
Chương này sẽ trình bày về biểu diễn số tự nhiên bằng các số Fibonacci
phân biệt và biểu diễn số tự nhiên bằng các số Fibonacci tổng quát.
Như định nghĩa dãy số Fibonacci trong Định nghĩa 1.1.1 trong chương 1.
Ta xét dãy số Fibonacci (un ) với


u1 = 1, u2 = 2;

2.1


un = un−1 + un−2

(2.1)
với n

3.

Biểu diễn các số nguyên thành tổng của các số Fibonacci phân biệt

Mục này trình bày về việc biểu diễn các số nguyên thành tổng của các
số Fibonacci phân biệt. Nội dung của mục này sẽ được trình bày theo bài
báo của H.H. Ferns (xem [4]). Trước tiên ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 2.1.1. Xét số ngun 29. Nó có thể được khai triển thành tổng của
các số Fibonacci theo cách sau đây:
29 = u8 + u6
= u8 + u5 + u4


14
= u8 + u5 + u3 + u2
= u7 + u6 + u5 + u4
= u7 + u6 + u5 + u3 + u2 .
Từ Ví dụ 2.1.1 này, ta thấy rằng cần phải áp đặt một số “quy tắc cơ
bản” nếu chúng ta phân biệt giữa các loại biểu diễn khác nhau. Ta có một
số định nhĩa sau.
Định nghĩa 2.1.2. Một biểu diễn được gọi là
• tối tiểu nếu nó khơng chứa hai số Fibonacci liên tiếp;
• tối đại nếu khơng có hai số Fibonacci liên tiếp ui và ui+1 được bỏ qua
trong biểu diễn, trong đó u2

ui < ui+1

un và un là số Fibonacci

lớn nhất được chứa trong biểu diễn.
Như vậy, u8 + u6 là một biểu diễn tối tiểu của số nguyên 29 trong khi
đó u7 + u6 + u5 + u3 + u2 là một biểu diễn tối đại.
Từ đây ta có một biểu diễn tối đại (tương ứng, biểu diễn tối tiểu) có
thể được biến đổi vào một biểu diễn tối tiểu (tương ứng, biểu diễn tối đại)
bằng cách áp dụng công thức truy hồi của dãy số Fibonacci.
Như một ví dụ minh họa của các biểu diễn tối tiểu, ta xét các biểu diễn
của tất cả các số nguyên N thỏa mãn
u7

N < u8 .

Khi đó N có thể là một trong tám số 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 hoặc 20. Số
nguyên nhỏ nhất trong tập hợp này là 13, không thể được biểu diễn bởi các
số Fibonacci u2 , u3 , u4 , u5 và u6 , do số nguyên lớn nhất dưới quy tắc biểu
diễn tối tiểu mà đó là quy tắc biểu diễn,
u6 + u4 + u2 = 12.


15
Do đó để biểu diễn tất cả các số nguyên của tập hợp này đòi hỏi u2 , u3 , u4 , u5 , u6
và u7 .
Bằng các kiểm tra thử, ta có các biểu diễn sau
13 = u7 ;
14 = u7 + u2 ;
15 = u7 + u3 ;
16 = u7 + u4 ;

17 = u7 + u4 + u2 ;
18 = u7 + u5 ;
19 = u7 + u5 + u2 ;
20 = u7 + u5 + u3 .
Một trong những số nguyên này là 13, chỉ một số Fibonacci để biểu diễn
nó. Bốn số 14, 15, 16 và 18 đòi hỏi hai số Fibonacci và ba số 17, 19, và 20
cần ba số Fibonacci để biểu diễn.
Định nghĩa 2.1.3. Số Un,m là ký hiệu số các số nguyên N trong miền
un

N < un+1 mà cần m số Fibonacci để biểu diễn.
Từ định nghĩa ta có
U7,1 = 1;

U7,2 = 4;

U7,3 = 3.

Rõ ràng là
U7,1 +U7,2 +U7,3 = u8 − u7 = u6 = 8.
Từ (2.1) ta có
Un,m = 0

nếu

m>

n
.
2

16
Do đó, ta có

n

∑ Un,i = un+1 − un = un−1.

i=1

Bảng 2.1 xác định các giá trị của Un,m với n = 1, 2, 3, . . . , 8 và m =
1, 2, 3, . . . , 4.
m

n

1 2 3 4

u1

N < u2 1

0 0 0 0

u2

N < u3 2

1 0 0 0

u3

N < u4 3

1 0 0 0

u4

N < u5 4

1 1 0 0

u5

N < u6 5

1 2 0 0

u6

N < u7 6

1 3 1 0

u7

N < u8 7

1 4 3 0

u8

N < u9 8

1 5 6 1

Bảng 2.1: Giá trị của Un,m

n = 1, 2, . . . , 8 với m = 1, 2, . . . , 4.

Bây giờ ta xét một số tính chất của hàm Un,m .
Xét các số nguyên P, Q và R được xác định bởi các quan hệ sau đây
un

P < un+1 ;

un−1

Q < un ;

un−2

R < un−1 .

Do đó
P = un + p,
Q = un−1 + q,
R = un−2 + r,

p = 0, 1, 2, . . . , un−1 − 1,
q = 0, 1, 2, . . . , un−2 − 1,
r = 0, 1, 2, . . . , un−3 − 1.

Sắp xếp các số nguyên P trong hai tập hợp (A) và (B) như sau:

(2.2)
(2.3)
(2.4)


17
(A) P = un + p1 ,

p1 = 0, 1, 2, . . . , un−2 − 1

(B) P = un + p2 ,,
p2 = un−2 , un−2 +1, un−2 +2, . . . , un−1 +(un−2 −un−2 −1) = un−2 +
r,

r = 0, 1, 2, . . . , un−3 − 1

Nếu k là một số nguyên dương, thì từ (2.1.1) suy ra
un + k = un−1 + k + un−2 .
Do đó với tập hợp (A)
un + p1 = un−1 + p1 + un−2
P = un−1 + q + un−2
P = un + q.
So sánh phương trình cuối với (2.2) và (2.3) ta có thể thấy biểu diễn của
một số nguyên Q có thể được chuyển thành một biểu diễn của số nguyên

P của tập (A) bằng cách thay un−1 bởi un .
Bằng quy tắc này, chúng ta có thể lấy được các biểu diễn của un−2 của
các số nguyên P từ các biểu diễn của các số nguyên Q.
Tiếp theo, ta xét các số nguyên P trong tập hợp (B). Ta có
P = un + p2 ,

p2 = un−2 , un−2 + 1, un−2 + 2, . . . , un−2 + (un−1 − un−2 − 1)

= un + un−2 + r,
= un + R

r = 0, 1, 2, . . . , un−3 − 1

suy ra từ (2.4).

Kết quả này suy ra các biểu diễn của các số nguyên P trong tập hợp (B) có
thể chuyển từ các biểu diễn của các số nguyên R bằng cách bổ sung un .
Bằng hai phép toán biểu diễn của un−1 trong các số nguyên trong un
P < un+1 có thể thu được từ các biểu diễn của un−2 trong các số nguyên
trong un−1

Q < un và un−3 trong các số nguyên trong un−2

Q < un−1 .


18
Do đó ta thu được các cơng thức sau:
un,m = un−1,m + un−2,m−1

(n > 2, m > 1),
(2.5)

un,1 = 1,
với

un,m = 0

2m > n.

Từ đó, un,m có thể liên quan đến các hệ số tổ hợp

n
k

, có các tính chất sau:

r
r−1
r−1
=
+
,
k
k
k−1
r
= 1,
0
r

= 0 với k > r.
k
Xét
Tn,m =

n−m−1
,
m−1

từ (2.5), Tn,m được thay bởi un,m , ta có thể tính tốn un,m bất kỳ với n > 2
và m > 1, ta có
un,m = Tn,m =

n−m−1
m−1

với n > 2 và m > 1.

Tiếp theo, ta quay về xét các biểu diễn tối đại của các số nguyên thành
các tổng của các số Fibonacci. Ta sẽ sử dụng một kỹ thuật khác, và một số
kỹ thuật như trong biểu diễn tối tiểu.
Như ví dụ, ta xét các số nguyên N sao cho u7 − 1

N < u8 − 1. Đó

là các số 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 và 20. lí do để ta sử dụng miền u7 − 1

N < u8 − 1 thay thế cho u7 − 1
dưới đây.

N < u8 − 1 sẽ được trình bày rõ ở phần

Như trong định nghĩa của biểu diễn tối đại, ta bắt đầu với các biểu diễn
sau đây
12 = u6 + u4 + u2 ; 13 = u6 + u4 + u3 ; 14 = u6 + u4 + u3 + u2 ;


19
15 = u6 + u5 + u3 ; 16 = u6 + u5 + u3 + u2 ; 17 = u6 + u5 + u4 + u2 ;
18 = u6 + u5 + u4 + u3 ; 19 = u6 + u5 + u4 + u3 + u2 ;
Tám biểu diễn đó có thể được viết lại ngắn gọn hơn dưới dạng sau:
u6 u5 u4 u3 u2
12 = ( 1

0

1

0

1 )

13 = ( 1

0

1

1

0 )

14 = ( 1

0

1

1

1 )

15 = ( 1

1

0

1

0 )

16 = ( 1

1

0

1

1 )

17 = ( 1

1

1

0

1 )

18 = ( 1

1

1

1

0 )

19 = ( 1

1

1

1

1 )

Trong cách viết này, có thể được sử dụng như các số nhị phân kết hợp với
số Fibonacci. Chú ý rằng với sơ đồ này, hai số khơng ở các vị trí liền kề
trong biểu thức tối đại. Chẳng hạn như (. . . 100 . . .) phải được thay thế bởi
(. . . 011 . . .) do ui = ui−1 + ui−2 . Các số Fibonacci cũng biểu thị giá trị vị
trí được sắp xếp theo thứ tự tăng dần từ phải sang trái bắt đầu với u2 .
Tiếp theo, ta xét trường hợp tổng quát hơn. Giả sử N là một số nguyên
được định nghĩa bởi
un − 1

N < un+1 − 1

Giả sử Vn,m ký hiệu số các số nguyên N trong khoảng này, mà cần dùng m
số Fibonacci để biểu diễn chúng trong biểu diễn tối đại.
Khi đó với ví dụ minh họa được cho ở trên,
V7,3 = 3;

V7,4 = 4;

V7,5 = 1.


20
Như vậy
V7,3 +V7,4 +V7,5 = u8 − u7 = u6 = 8.
Số nguyên lớn nhất trong khoảng un − 1
đó (2.2)

N < un+1 − 1 là un+1 − 2 và do

n−1

∑ ui = un+2 − 2

i=2

suy ra rằng
un+1 − 2 = (111 . . . 11) (n − 2 chữ số )
mà trong đó khơng có số khơng xuất hiện và trong đó giá trị ở bên trái là
un−1 . Điều này giải thích lí do để lấy chặn trên của N được un+1 − 1 được
thay thế cho un+1 .

Số nguyên nhỏ nhất trong miền là un − 1 và từ
n−2

∑ ui = un − 2 < un − 1

i=2

suy ra phải có một số (vị trí tay trái) được xác định bởi un−1 . Ngoài ra, lại
từ (2.2),
u2 + u4 + u6 + . . . + un = un+1

n chẵn,

u3 + u5 + u7 + . . . + un = un+1

n lẻ,

suy ra số nguyên nhỏ nhất trong miền xác định bởi
(1010 . . . 10)

hoặc

(1010 . . . 101)

theo n là lẻ hoặc chẵn.
Từ đó, ta suy ra
Vn,m = 0 nếu



m > n − 2

m <

n−1
2

hoặc n < m + 2,
hoặc n > 2(m + 1);


21
1 2 3 4

5

6

7

8

9 10

2

0 0 0 0

0

0

0

0

0

0

3

1 0 0 0

0

0

0

0

0

0

4

1 1 0 0

0

0

0

0

0

0

5

0 2 1 0

0

0

0

0

0

0

6

0 1 3 1

0

0

0

0

0

0

7

0 0 3 4

1

0

0

0

0

0

8

0 0 1 6

5

1

0

0

0

0

9

0 0 0 4 10

6

1

0

0

0

N < u11 − 1 10

0 0 0 1 10 15

7

1

0

0

0 0 0 0

5

20 21

8

1

0

N < u13 − 1 12

0 0 0 0

1

15 35 28 9

1

m

n

u2 − 1

N < u3 − 1

u3 − 1

N < u4 − 1

u4 − 1

N < u5 − 1

u5 − 1

N < u6 − 1

u6 − 1

N < u7 − 1

u7 − 1

N < u8 − 1

u8 − 1

N < u9 − 1

u9 − 1

N < u10 − 1

u10 − 1
u11 − 1
u12 − 1

N < u12 − 1 11

Bảng 2.2: Các giá trị của Vn,m với n = 2, 3, 4, . . . , 12 và m = 1, 2, 3, . . . , 10.

n−2

∑
i=[ n−1
2 ]

Vn,i = un+1 − un = un−1 .

Bảng 2.2 xác định các giá trị của Vn,m với n = 2, 3, . . . 12, và m = 1, 2, . . . , 10.
Ta thiết lập quan hệ truy hồi sau
Vn,m = Vn−1,m−1 +Vn−2,m−1 .
Xét các số nguyên P, Q và R được xác định bởi
un − 1

P < un+1 − 1

un−1 − 1

Q < un − 1

un−2 − 1

R < un−1 − 1

(2.6)