Việc biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các số Fibonacci tổng quát (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ TRĂNG

VIỆC BIỂU DIỄN MỘT SỐ TỰ NHIÊN THÀNH TỔNG
CỦA CÁC SỐ FIBONACCI TỔNG QUÁT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ TRĂNG

VIỆC BIỂU DIỄN MỘT SỐ TỰ NHIÊN THÀNH TỔNG
CỦA CÁC SỐ FIBONACCI TỔNG QUÁT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:

60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. NÔNG QUỐC CHINH

Thái Nguyên - 2017

i

Mục lục

Danh sách kí hiệu

ii

Mở đầu

1

Chương 1. Về dãy số Fibonacci

3

1.1

Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Các tính chất của dãy số Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Về Định lí Zeckendorf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4

Một số bài toán sơ cấp ứng dụng về dãy số Fibonacci . . . . . . . . . . .

9

Chương 2. Biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các số Fibonacci tổng quát 13
2.1

Biểu diễn các số nguyên thành tổng của các số Fibonacci phân biệt . . . . 13

2.2

Biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các số Fibonacci tổng quát . . . 23

Kết luận

34

Tài liệu tham khảo

35

ii

Danh sách kí hiệu
{. . .}

là dãy số nguyên

(. . .)

là một vector có các tọa độ nguyên.

[. . .]

là các ma trận mà phần tử là các số nguyên.

V

là tập hợp bao gồm các vector có dạng (i1 , i2 , . . . , id )
với d

1, các thành phần iν là các số nguyên với

1 ≤ i1 ≤ i2 ≤ . . . id . Thông thường ta sẽ viết I thay cho
(i1 , i2 , . . . , id ).
n
k

M
m

∑ bi
i=1
∞

∑ bn
n=1

tổ hợp chập k của n
là ma trận [uµ , ν].
m

(tổng hữu hạn) ∑ bi = b1 + b2 + · · · + bm
i=1
∞

(chuỗi vô hạn) ∑ bn = b1 + b2 + · · · + bn + · · ·
n=1


1

Mở đầu
Dãy Fibonacci là dãy vô hạn các số tự nhiên bắt đầu bằng hai phần tử 0
và 1 hoặc 1 và 1, các phần tử sau đó được thiết lập theo quy tắc mỗi phần
tử luôn bằng tổng hai phần tử trước nó. Dãy số Fibonacci tuy rất đơn giản
về quy tắc thiết lập nhưng là một trong những vẻ đẹp đặc biệt trong kho
tàng Toán học. Dãy số Fibonacci vô cùng biến hóa với nhiều tính chất lí
thú và ứng dụng quan trọng. Người ta đã tìm thấy rất nhiều vấn đề thú vị
liên quan đến dãy số Fibonacci, cả ở toán học thuần túy đến những vấn đề
khác trong tự nhiên.

Dãy Fibonacci được đưa ra bởi nhà toán học Ý tên là Leonardo Pisano
Bogollo (tên thường gọi là Fibonacci) vào thời gian khoảng năm 1170 đến
năm 1250. Dãy số Fibonacci bí ẩn và lí thú đến mức, đã có một tạp chí
toán học hoàn toàn chỉ đăng các kết quả nghiên cứu có liên quan nó, đó là
tạp chí The Fibonacci Quarterly.
Mục tiêu của luận văn là nghiên cứu một sự kiện thú vị về dãy Fibonacci, đó là việc biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các số Fibonacci tổng quát.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương:
• Chương 1. Số Fibonacci. Trong chương này trình bày các định nghĩa
và các tính chất cơ bản của các dãy số Fibonacci. Một số bài toán sơ
cấp ứng dụng về dãy số Fibonacci


2
• Chương 2. Việc biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các số Fibonacci tổng quát. Mở rộng định lí Zeckendorf và biểu diễn số tự
nhiên bằng các số Fibinacci phân biệt.
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên và hoàn thành với sự hướng dẫn của PGS.TS. Nông Quốc
Chinh. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới
người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu,
dành nhiều thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của
tác giả trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả xin trân trọng cảm ơn
Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban
Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã
tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và hoàn thành khóa học.

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Thị Trăng

3

Chương 1

Về dãy số Fibonacci
1.1

Định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa 1.1.1. Dãy số Fibonacci là dãy số vô hạn các số tự nhiên bắt
đầu bằng hai phần tử 0 và 1 hoặc 1 và 1, các phần tử sau đó được thiết lập
theo quy tắc mỗi phần tử luôn bằng tổng của hai phần tử trước nó,
un+1 = un + un−1
Ví dụ 1.1.2. Fibonacci lần đầu tiên để ý đến dãy số trên khi ông xét một
bài toán về thỏ đẻ con như sau : Bắt đầu với một thỏ đực và thỏ cái, hỏi có
bao nhiêu cặp thỏ có thể được sinh ra trong một năm?
Bài toán giả sử với những điều kiện sau:
1. Bắt đầu với một thỏ đực và thỏ cái vừa chào đời.
2. Thỏ đạt tới tuổi thuần thục sinh sản sau một tháng.
3. Thời gian mang thai thỏ là một tháng.
4. Sau khi thuần thục sinh sản, thỏ cái đẻ đều mỗi tháng.
5. Một thỏ cái sinh ra một thỏ đực và một thỏ cái.
6. Không có thỏ chết.


4
Từ giả thiết suy ra rằng, từ cặp thỏ sơ sinh sau hai tháng sẽ có hai cặp
thỏ. Sau ba tháng, cặp thứ nhất sinh ra một cặp nữa, và ta có ba cặp. Tháng
tiếp theo, cặp thứ hai cũng sinh ra cặp mới, và ta có 5 cặp thỏ.

Kí hiệu qua u(n) số cặp thỏ sau tháng thứ n kể từ đầu năm. Ta thấy sau
tháng (n + 1) thì sẽ có u(n) cặp ban đầu, cộng thêm số cặp do các cặp đã
có sau tháng thứ (n − 1) sinh ra. Số này là u(n − 1). Vậy
u(1) = 1,
u(2) = 1,
u(3) = 2,

(1.1)

u(4) = 3,
...,
u(n + 1) = u(n) + u(n − 1).
Theo giả thiết, u(1) = 1, u(2) = 1, nên ta có
u(3) = 2,

u(4) = 3, . . . , u(12) = 144, u(13) = 233.

Các số u(n) được gọi là các số Fibonacci.
Xét dãy Fibonacci xác định bởi
u(n + 1) = u(n) + u(n − 1).
Phương trình đặc trưng của quan hệ (1.1) là
r2 − r − 1 = 0.
Phương trình này có các nghiệm
√
1+ 5
r1 =
,
2

và

√
1− 5
r2 =
.
2

(1.2)


5
Nghiệm tổng quát của quan hệ (1.1) có dạng:
u(n) = C1

√
1+ 5
2

n

+C2

√
1− 5
2

n

.

(1.3)

Các số Fibonacci u(n) được cho bởi (1.3) với điều kiện u(0) = 1, u(1) = 1.
Khi đó các hằng số C1 , C2 được tính từ hệ phương trình.

 C +C = 0
1
2
√
 5 (C −C ) = 1.
2

Giải ra ta được C1 =

√1
5

1

2

và C2 = − √1 .Vậy nghiệm tổng quát có dạng

u(n) =

5

√ n
1+ 5
−

2

√
5

√ n
1− 5
2

.

Công thức trên đây được gọi là công thức Binet. Dựa vào công thức Binet,
ta có định lí sau đây cho một tính chất thú vị của các số Fibonacci.

1.2

Các tính chất của dãy số Fibonacci

Định lí 1.2.1. Số Fibonacci un là số nguyên gần nhất đối với số √1
√ 5
1+
5
1
tức là số hạng an của cấp số nhân với từ đầu tiên là √
2
5
√
1+ 5
bội là 2 .

√ n
1+ 5
,
2

và công

Chứng minh. Rõ ràng chỉ cần chứng minh rằng trị tuyệt đối của hiệu giữa
hai số un và an luôn luôn bé hơn 1/2. Ta có
r1n − r2n
r1n
r1n − r2n − r1n
|r2 |n
√
|un − an | = √ − √ =
= √ .
5
5
5
5
Do

nên |un − an | < 21 .

√
1− 5
3−1
|r2 | = √
<
=1

2
5


6
Sau đây ta sẽ chứng minh một số tính chất cơ bản của dãy số Fibonacci.
Trong các mệnh đề sau đây, un dùng để kí hiệu số Fibonacci thứ n xác
định bằng
u1 = 0,

u2 = 1,

un+1 = un + un−1 .
Mệnh đề 1.2.2. u1 + u2 + . . . + un = un+2 − 1.
Chứng minh. Ta có
u1 = u3 − u2 ,
u2 = u4 − u3 ,
...
un−1 = un+1 − un ,
un = un+2 − un+1 .
Cộng từng vế đẳng thức này, ta có
u1 + u2 + . . . + un = un + 2 − u2 ,
mà u2 = 1 nên ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.2.3. u1 + u3 + u5 + . . . + u2n−1 = u2n .
Chứng minh. Ta có
u1 = u2 ,
u3 = u4 − u2 ,
u5 = u6 − u4 ,
...

(1.4)


Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full