Bài tập Hệ phương trình – Toán 11
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (469.03 KB, 50 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>HỆ PHƯƠNG TRÌNH. 1. Không có tham số Dạng 1: Biến đổi tương đương. Câu 1.. y x 1 5 3x (2) 3 x x 1 y 2 2 y y 3 y 1 x 2 2 xy (3) Giải hệ phương trình: . Hướng dẫn giải. Điều kiện: x 1 .. y x 1 2 2 x y 1 y 2 y x 0 y 2 y x 0 2. Phương trình (3). 2. y x 1 y x 1 x 1 (vì x 1) 2 2 y 1 y 1 x 1 0 y x 1 . (vì (1;1) không thỏa phương trình(2)) Thay vào phương trình (2), ta được : x 1 1 3 x 1 3 x 1 2 0 2 x 1 x 3. . Vậy. . x, y 2;1 ; x, y 5 2 3;4 2 3 . Câu 2.. .. x 2 ( n) x 5 2 3 .. .. x 2 y 2 6 2 x y 3 x y 3 x 2 2 3 y x 2 5 y 15 0 Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: . Hướng dẫn giải 2. 2. x y 6 2 x y 3 x y (1) 3 x 2 2 3 y x 2 5 y 15 0 (2) Đặt . x y 0 x y 0. Điều kiện: x 2. (1) . . x y 2. . . x y 3 0 y 4 x. 2 3 Thay vào (2) ta được: 3 x 2 2 4 x x 5 x 5 0. x 3 3 x 2 1 . 3 x ( x 3)( x 2) 0 2 3 (4 x) 2 3 4 x 1 . x 3 3 2 x 2 0 (*) x 2 1 3 (4 x) 2 3 4 x 1. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(2)</span> Phương trình (*) vô nghiệm do: x 2 x 2 0 VT 0 . Vậy x = 3 và y = 1 là nghiệm của hệ phương trình.. Câu 1.. x 3 y (1 y ) x 2 y 2 (2 y ) xy 3 30 0 2 2 Giải hệ phương trình: x y x(1 y y ) y 11 0. Câu 2.. x 2 y 4 x y 5 x, y x y 1 Giải hệ phương trình: .. Câu 3.. Giải hệ phương trình:. x3 xy 2 x 3 xy 2 y6 y 4 e e ln 0 y6 y4 8 3 4 y 3 24 x 16 x 2 . y 0. Lời giải x 0; 0 y . Điều kiện:. 3 4.. x 3 xy 2 x3 xy 2 3 2 y6 y4 e e ln 6 0 e ln x xy e ln y 6 y 4 4 y y - Ta có (1). 1 f t et ln t ( t > 0 ) f ' t et 0, t > 0 t Xét hàm số , suy ra hàm số g(t) 0; x3 xy 2. y6 y4. đồng biến trên khoảng 3. 2. 6. 4. 3. . Kết hợp với (1) ta có. 6. x xy y y x y y. 2. x y 0 x y x 2. 2. 2. xy 2 y 4 y 2 0 x y 2. 2. - Thế (2) vào phương trình còn lại của hệ đã cho ta được: 8 3 4 y 3 24 y 2 16 y 4 16 y 4 24 y 2 8 3 4 y 3 0. 3. Xét hàm số g y 16 y 4 24 y 2 8 3 4 y 3 g ' y 64 y 3 48 y . 16 16 y 4 y 2 3 3 4y. 16 3 0, 0< y 4 3 4y. 3 0; g y Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng 4 , từ đó phương trình ( 3) có 1 1 x y 2. 2 , suy ra nghiệm duy nhất. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Câu 3.. 1 1 , 2 2 .. x, y . 4 x y 8 y2 7x 1 2 2 x y 6 y 2 x 4 x y 1. Giải hệ phương trình: . Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(3)</span> y 1 Điều kiện : 0 x 4 2. 2 x y 6 y 2x 4 . x y 1. 2 x 2 4 xy 2 y 2 2 x 6 y 4 x y 1 2 x y 1 2 2 x 2 2 x y 1 y 1 y 1 x 2 x y 1 . 2 y 1 x . . x. y 1. . 2. 0. y x 1. Thế vào pt đầu ta được 4 x x 7 x 2 5x x 2 3 x 3 x 1 . 4 x x2. x 7. 1 1 x 2 3x 3 1 x 1 4 x x 2 x 7 3 21 x 2 x 2 3x 3 0 y 5 21 2 y 2 x ( x y) 3 x y 2 2( x y 2 ) 3 2 x 1 11 Câu 4. Giải hpt 1 Điều kiện x ≥ 2. ( x, y ).. Từ phương trình thứ nhất dễ dàng suy ra được y > 0. x2 ( x y) . y x y. x 2 ( x y )( 3 x y 1) x 2 ( x y ) y 0. . 3. x 2 ( x y )( x y 1) 3. ( x y )2 3 x y 1. . x2 ( x y) y 2 x2 ( x y) y. 0. x 2 ( x y) x y 0 ( x y 1) 3 ( x y)2 3 x y 1 x 2 ( x y ) y Ta có x y 1 0 y x 1. Thay vào phương trình thứ hai ta được 4 x 2 4 x 2 3 2 x 1 11. Đặt t = 2 x 1 ta được t4 – 3t – 10 = 0 t = 2. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(4)</span> 5 3 ( x, y ) ( , ) 2 2 Từ đó tìm được x, y 0 x y 2 x 1 y 1 Tìm tất cả các số thực x, y thỏa hệ: x y 1 .. Câu 5.. Hướng dẫn giải. Ta chứng minh nếu các số x, y thỏa mãn hai điều kiện đầu thì x x 1 y y 1 1 x 1 ln x y 1 ln y 0 Thay y 2 x ,ta chứng minh f x x 1 ln x 3 x ln 2 x 0. f ' x ln x ln 2 x . Ta có. 1 1 f '' x x 2 x. với 0 x 2. 1 1 x 2 x. 1 1 2 2 x 2 x 2. 2. x 1 1 1 0 1 1 11 1 x 2 x 2 x 2 x x 2 x x 2 x f ' x. Do đó. 0; 2 , f ' 1 0 f' x nghịch biến trên hơn nữa nên nhận giá trị dương trên. 0;1 và âm trên 1; 2 . Suy ra f x f 1 0 với mọi. x 0; 2 .. Từ đó,hệ phương trình có nghiệm x y 1. Giải hệ phương trình sau:. Câu 6.. 4 3 3 2 2 x x y 9 y y x x y 9 x 3 3 x ( y x ) 7. Hướng dẫn giải 4. 3. 3. 2. 2. x x y 9 y y x x y 9 x 3 3 x( y x ) 7 3 x y x x( y 3 x 3 ) 7 . y x ( . x( x y )( x y ) 2 9( x y ) x( x y ) 2 9 3 3 3 3 x( y x ) 7 x ( y x ) 7. 3 x x 3 3 3 x) x 7 x . 3 x y x 2 x 4 x 9 x3 27 x x 7 x 27 0 . 3 x y x (3 x x )3 x 4 x 7 x . 3 x y x 2 x 4 x 9 x 3 27 x x 7 x 27 0 . 3 x y x ( x 1)(2 x 4 2 x3 x 2 x3 7 x 2 x 7 x 2 7 x x 20 x 20 x 27) 0 . Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(5)</span> 3 x y x ( x 1)(( x x 1)(2 x3 7 x x 20) 7) 0 . 3 x x 1 y x y 2 x 1 . x x2 y 2 9 x x x2 y 2 5 . 5 3x x y 6 5 y Giải hệ phương trình . Câu 7.. Hướng dẫn giải y 0 y 5 . x2 y 2 x x 2 y 2 0 ĐK: 9 x x 6 1 (2 '). y Từ (2) suy ra: 5 Do y 0 phương trình (1) tương đương với x2 y 2 x y y x y. 2. x y y. 2. 6. x 1 (1') y. x u .Đặt y u. u2 1. 2 * Xét y 0 :phương trình (1')trở thành: u u 1. 6u 1. Nhân liên hợp của mẫu số đưa về phương trình:. .. . u u 3. . u 2 1 0. được nghiệm. 5 u 0; u . 3 u 0 + suy ra x 0 không thoả mãn loại. x 5 5 u y 3 .Thế vào (2') được x 5; y 3. 3 + u u2 1 1'. 6u 1. * Xét y 0 :phương trình trở thành: u u 1 u=0 suy ra x=0 (Không thoả mãn điều kiện bài toán). 2. .Phương trình này có nghiệm. x; y 5;3 . Vậy hệ đã cho có một nghiệm . Câu 8.. 2 x 3 2 x y 1 x 2 y 1 2 2 2 Giải hệ phương trình : x 2 x y y 3 y 2 x 2 .. Hướng dẫn giải Ta có: Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(6)</span> (1) 2 x( x 2 2) 2( y 1) x 2 ( y 1) 2 x ( x 2 2) ( y 1)( x 2 2) 2 x y 1 y 2 x 1. Thế vào (2) ta có : x 2 x 2 (2 x 1) 2 2 x 1 3 (2 x 1) 2 2 x 2 x 2 x 2 6 x 1 4 x 2 6 x 1 2 x 2 6 x 1 2 x x 2 x 2 6 x 1 2 x 2 6 x 1 2 x 2 2 x 2 6 x 1 x x 0 3 15 15 2 x 2 6 x 1 2 x x y 2 2 6 6 2 x 6 x 1 4 x x 0 3 2 3 3 2 3 2 x 2 6 x 1 x x y 2 2 3 3 2 x 6 x 1 x 3 15 15 3 2 3 3 2 3 ; ; 6 3 3 3 Vậy nghiệm của hệ PT là: và . 2 4 x y 8 y 7x 1 2 2 x y 6 y 2 x 4 x y 1. Câu 9. Giải hệ phương trình:. Hướng dẫn giải y 1 Điều kiện : 0 x 4 . 2. 2 x y 6 y 2x 4 . x y 1. 2 x 2 4 xy 2 y 2 2 x 6 y 4 x y 1 2 x y 1 2 2 x 2 2 x y 1 y 1 y 1 x 2 x y 1 . 2 y 1 x . . x. y 1. . 2. 0. y x 1. Thế vào pt đầu ta được : 4 x x 7 x 2 5x x 2 3 x 3 x 1 . 4 x x2. x 7. 1 1 x 2 3x 3 1 x 1 4 x x 2 x 7 3 21 x 2 x 2 3x 3 0 y 5 21 2 2 2 x 2 y xy 4 2 x y 2 2 xy 2 Câu 10. Giải hệ phương trình: . Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(7)</span> (Chưa giải) x 2 x y 1 x y 2 x y 1 y 18 2 x x y 1 x y 2 x y 1 y 2 Câu 11. Giải hệ phương trình: . (Chưa giải) 3. x ( y z )2 2 3 2 y ( z x) 30 z 3 ( x y )2 16 Câu 12. Giải hệ phương trình: . (Chưa giải) 3 x y x y x y x y 2 Câu 13. Giải hệ phương trình: . (Chưa giải) Câu 14. Giải các hệ phương trình. a). 8 xy 2 2 x y x y 16 x y x 2 y . x 3 9 z 2 27( z 1) 3 2 y 9 x 27( x 1) z 3 9 y 2 27( y 1) . b). (Chưa giải) Câu 15. Giải các hệ phương trình: x 3 9 y 2 27 y 27 0 3 2 x 2 y 2 z 2 2 xy zx zy 3 y 9 z 27 z 27 0 2 z 3 9 x 2 27 x 27 0 2 a) b) x y yz zx 2 xy 1. x 3 2 y 1 3 y 2 z 1 z 3 2 x 1 c) . (Chưa giải) 6 3 2 2 x y x 9 y 30 28 y Câu 16. (Trại hè Hùng Vương 2013) Giải hệ phương trình 2 x 3 x y Hướng dẫn giải. Từ phương trình đầu của hệ ta có. x. 2. . . y 3 y 2 y 6 x 2 x 4 3 x 2 10 0. x2 y 3 2 2 4 2 y y 6 x x 3x 10 0 * 4 Coi (*) là phương trình bậc 2 ẩn y ta có 3 x 4 0 x nên (*) vô nghiệm.. Do đó hệ phương trình tương đương với. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(8)</span> x 2 y 3 2 x 3 x y. . x. 2 x 3 x x 2 3. x 2x 3 2 x 3 x 1 2 x 3 0 x 1 2 x 3 0. . . 3;6 , . Từ đó ta tìm được nghiệm của hệ là Câu 17.. . 2; 1. (Thi cụm Quỳnh Lưu, năm 2016-2017) Giải hệ phương trình sau: 2 x3 xy 2 x 2 y 3 4 x 2 y 2 y (1) 2 4 x x 6 5 1 2 y 1 4 y (2) Hướng dẫn giải. Điều kiện:. y . 1 2. 2 2 (1) ( x 2 y )(2 x y 1) 0 x 2 y . 2 Thay vào (2) ta có phương trình 4 x x 6 2 x 1 5 x 1 (3) Xét x 1 thỏa mãn (3), suy ra y 1. Xét x 1 : (3). . 4 x 2 x 6 (1 2 x) 5 x 1 . x 1 2. 4 x x 6 1 2 x. x 1. x 1 0 x 1(loai ) 2 4 x x 6 1 2 x x 1 (4) 1 2 7 x 2 x 1 2 x 1 x 2 2 4 x 2 8 x 3 0 Kết hợp (3) và (4) ta được 1 2 7 2 7 ( x; y ) ( 1; );( ; ) 2 2 4 Kết luận: Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm:. Dạng 2: Đặt ẩn phụ. Bài 1.. 2 x 2 y 8 x 4 y 2 y 4 x 2 4 Giải hệ phương trình:. Hướng dẫn giải. Điều kiện:. x 2 cos 2u u , v [0; 2 ]. x; y [ 2; 2] . Đặt y 2 cos 2v với. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(9)</span> sin u cos v 1/ 2 2 2 sin u cos v 1/ 2 (1 cos 2u )(1 cos 2v) 2 u v 4 HPT cos 2u sin 2v cos 2v sin 2u 1 sin 2(u v ) 1 u v 4 sin(u v) sin(u v) 2 sin(u v) 1/ 2 u 4 u v u v u v v 0 4 4 4 (thỏa). x 2 cos 0 2 y 2 cos 0 2 Kết luận: nghiệm hệ phương trình là .. Bài 2.. x 2 1 y 2 xy 4 y y x y 2 2 x 1 Giải hệ phương trình: . Ta thấy y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình đã cho, ta xét các giá trị y 0 , chia hai vế của PT thứ nhất cho y 0 ta được x2 1 y x y 4 x y 2 y x 2 1 x2 1 u , v x y y Đặt ta có hệ phương trình u v 4 v 4 u u 1 u (v 2) 1 u (4 u 2) 1 v 3 u 1 Với v 3 ta có. x 2 1 1 y x y 3 . (*) Giải hệ PT (*) ta được hai nghiệm (-2; 5) , (1; 2) Vậy hệ PT ban đầu có hai nghiệm (-2; 5) , (1; 2) Bài 3.. x 2 y 2 x y 2 4 y 2 2 x y 2 x y 2 y 2 y 2 0 Hệ phương trình tương đương với . + Với y = -2 thì hệ phương trình vô nghiệm + Với y 2 , chia hai vế của hai phương trình cho y + 2 ta có x2 y2 y 2 x y 2 4 2 2 x y x y 2 0 y 2. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(10)</span> Đặt. a. x2 y 2 , b x y 2 y 2. a b 4 a b 4 2 ab 4 a 2 0 Khi đó ta có hệ phương trình x2 y2 2 y x x 1, y 1 2 y 2 x 2, y 2 x x 2 0 x y 2 2 Do đó. a 2 b 2. Kết hợp với điều kiện thì hệ phương trình có hai nghiệm (x; y): (1; -1), (-2; 2) x 2 2 x 1 y 2 2 y 1 2. x 2 y 2 ( x, y ). x y 2 xy Bài 4. Giải hệ phương trình: x 2 2 x 1 y 2 2 y 1 2 y2 x2 1 1 x , y , * 2 2 Điều kiện . Viết lại hệ dưới dạng: x y 2 xy u v Đặt . x 2 2 x 1 y 2. y 2 2 y 1 x2. 0 uv . 2 x 1 2 y 1 . 4 xy 2( x y ) 1 1. 0. u v 2 u v 1 uv 1 Hệ phương trình trở thành : x 2 2 x 1 y 2 2 x 2 3 x 4 y 2 y 2 2 y 1 x 2 2 y 3 y 4 x hay x y 0 do * 2 x; y 1;1 , 2; 2 2 x 3 x 4 y .. x y x y 2 0 2 2 x 3x 4 y. Kết hợp điều kiện (*) ta được nghiệm của hệ là: Bài 5.. x; y 1;1 .. Giải hệ phương trình sau: x4 y 4 x2 y 2 x y 4 4 2 2 2 x y x y x y 3 2 4 x x 15 y 30 4 27 1 y . 1 2. Hướng dẫn giải Đặt . x y t y x. (|t|≥2 ). x2 y 2 2 t 2 2 2 y x. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(11)</span> 2 x4 y4 4 t 2 2 t 4 2t 2 4 4 y x. 1 t 4 . 4t 2 2 t 2 2 t 2 0. t 4 5t 2 t 6 0 t 2 t 3 2t 2 t 3 0 t 2 0 3 2 t 2t t 3 0. Xét. 3. 2. f t t 2t t 3. [t≥2 [ với [t≤−2. f ’ t 3t 2 4t 1. t. f’(t) f(t). - + +. 2−√ 7 3. -2. +. 2+ √ 7 3. 0. -. 0. 2 + +. +. -11 1 −∞. f t ; 11 1; f t 0 x y .. 2 . .. vô nghiệm t 2 .. x 3 x 2 15 x 30 4 4 27 1 y . Ta có :. , đk: x 1 .. 4 4 27 1 y 3 3 3 x 1 x 10. .. x 3 x 2 15 x 30 x 10 x 2. 2. x 5 0 3. Do x 1 x 5 0 VT 3 0 x 2 (t/m).. Bài 6.. 2 x y 1 5 Giải hệ phương trình : 2 y x 1 5. Hướng dẫn giải 2. u x 1 0 x u 1 2 +) Đặt v y 1 0 y v 1 2u 2 v 3 0 2 +) Đưa về hệ: 2v u 3 0. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(12)</span> u v 2 2u v 3 0 2u 2v 1 0 2u 2 v 3 0. Giải hệ (I) ta được u v 1 x y 2 Hệ (II) vô nghiệm Vậy hệ có nghiệm x y 2 . Bài 7.. [Đề xuất, Chyên Lào Cai, DHDDBBB, 2015] Giải hệ phương trình: x 3 xy 2 x 2 y 2 4 y 2 0 2 2 x 2 y xy 2 x 4 0. Lời giải x 2 y 2 x y 2 4 y 2 2 x y 2 x y 2 y 2 y 2 0 Hệ phương trình tương đương với . + Với y = -2 thì hệ phương trình vô nghiệm + Với y 2 , chia hai vế của hai phương trình cho y + 2 ta có x2 y2 y 2 x y 2 4 2 2 x y x y 2 0 y 2. Đặt. a. x2 y 2 , b x y 2 y 2. Khi đó ta có hệ phương trình. a b 4 ab 4. a b 4 a 2 2 b 2 a 2 0. x2 y2 2 y x x 1, y 1 2 y 2 x 2, y 2 x x 2 0 x y 2 2 . Do đó Kết hợp với điều kiện thì hệ phương trình có hai nghiệm (x; y): (1; -1), (-2; 2) Bài 8.. [Đề thi hsg Ngô Gia Tự, Vp, 2012-2013] Giải hệ phương trình:. 3 x y 10 x y 2 2 x 2 x x y y x y 25 xy. Lời giải. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(13)</span> a 2 x y a b 10 Đặt : b x x y khi đó ta có hpt : a.b 25 .. Bài 9.. [Đề xuất, Chuyên Thái Bình, DHĐBBB,2015] Giải hệ phương trình sau: 4 2 2 2 3 2 2 x x y y y x y x 5( x y 7 ( x 1) 2x y 8) 13(2x 1). Lời giải ĐKXĐ:. 2x y 8 0 y 7 0. x 2 y 2 0 ( x 2 y 2 )( x 2 y 1) 0 2 x y 1. Từ (1) ta được: Trường hợp đầu suy ra x=y=0 nhưng ko là nghiệm của hệ Do vậy ta được: x2 = y + 1 (1 điểm). Thay vào phương trình (2) ta được: 5( x x 2 6 ( x 1) x 2 2x 7 ) 13(2x 1). b2 a 2 1 a x 6; b x 2x 7 2x 1 b a x 2 a b 2 a b 5 a b 26(a b) 5 0 a b 5 1 a b 5 Thay Dễ thấy a b 2 6 nên trường hợp thứ ba bị loại. 2. 2. 2. . 2. . Hai trường hợp đầu ta tính được x=-1/2 KL: Hệ có một nghiệm x=-1/2; y=-3/4 Bài 10. Giải hệ phương trình sau: x 2 2 x xy y 2 y 3 3 2 4 x y 3x x 15 x y 3 x y y x y 4 x x. . . . . . 2. ; x, y . Hướng dẫn giải Điều kiện: x 0, y 0 . Đặt a x , b y ( a 0, b 0 ).Hệ phương trình đã cho trở thành a 4 2a 3b b5 6 6 5 2 3 2 3 2 4a b 3a 15a b 3a b a b 4a . Nhận xét: a 0 b 0 ; b 0 . 1. 2 a 0 .Do đó a, b 0, 0 là một nghiệm của hệ.. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(14)</span> Bây giờ ta xét a 0, b 0 .Đặt b ka k 0 .Với cách đặt này thì Phương trình (1)trở thành: 1 2k 1 2k ak 5 a 5 k (3). Phương trình (2)trở thành:. 4a. 6. a 6 k 6 3a 5 15a 2 k 2 a 2 3a k 3a 3 a 3k 4a 3 . 2. (4). 5. 2 3k 1 2k 6 3 k k 4 4k 5 1 2k 3k 3 Thay (3)vào (4)ta được: (5). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho vế trái của (5)ta được: 3k 5 1 2k 3k 5 1 2k 6 6 4 k 5 5 4 k 1 2k . 3k 3 1 2k 3k 3 . . . 2. 2. 12 4 k 6 k. . 2. 4 k 3 k . . 2. 2. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi k 1 .Khi đó a b 3 hay x y 9 . x; y 0;0 , 9;9 Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là . 2 x 2 5 xy y 2 1 . 2 2 y ( xy 2 y 4 y xy ) 1 Bài 11. Giải hệ phương trình sau: . Hướng dẫn giải + Điều kiện: 4 y x 2 y 0. + Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được: 2 x 2 5 xy y 2 y. . . xy 2 y 2 4 y 2 xy 0. 2. x x 2 5 1 2 y Chia cả hai vế của PT cho y ,ta được: y x t t 2; 4 + Đặt y ta có phương trình: 2t 2 5t 1 t 2 4 t 0. 2t (t 3) t 2( t 2 1) (1 . x 2 y. 4. x 0. y. 4 t ) 0.. t 2 1 (t 3) 2t 0. t 2 1 1 4 t t 2 1 2t 0. t 2; 4 t 2 1 1 4 t Với thì. Với t 3 suy ra x 3 y thay vào PT (1):. 2 y 2 1 y . 1 3 x . 2 2. 3 1 ; . 2 2 Kết luận:Nghiệm của hệ phương trình là:. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(15)</span> z 2 2 xyz 1 2 2 2 3 4 3 x y 3 xy 1 x y z zy 4 4 y 3 4 y 6 y 2 z Bài 12. Giải hệ phương trình: . x, y , z .. Hướng dẫn giải 2. z 2 xyz 1 2 2 2 3 4 3x y 3xy 1 x y z zy 4 4 y 3 4 y 6 y 2 z Giải hệ phương trình: . 1 2 . 3. 1 z2 1 xy . 2z Vì z 0 không thỏa hệ pt nên z tan u u ; \ 0 2 2 thì xy cot 2u . Đặt. Từ (2):. y. 3cot 2 2u 1 tan 6u. cot 3 2u 3cot 2u. 4 tan 6u 4 tan 3 6u z tan 24u. 4 2 Vậy x cot 2u.cot 6u .Thay vào (3): 1 tan 6u 6 tan 6u k tan u tan 24u u k 23 Vậy . 11 u ; \ 0 u ,..., 23 . 2 2 23 Vì nên k tan u tan 24u u k 23 Vậy . 11 u ; \ 0 u ,..., 23 . 2 2 23 Vì nên 11 . . t ,..., . x, y, z cot 2t.cot 6t; tan 6t; tan t 23 23 Vậy hệ có nghiệm: trong đó x 3 1 2( x 2 x y ) 3 2 Bài 13. Giải hệ phương trình: y 1 2( y y x). (Chưa giải) Bài 14. (Chuyên 2. Vĩnh. Phúc. 2010. –. 2011). Giải. hệ. phương. trình:. 2. x 2 y 1 2 2 2 y 3 z 1 xy yz zx 1 . x, y , z . Hướng dẫn giải x 0 +) Nếu thay vào hệ ta có hệ vô nghiệm. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(16)</span> +) Nếu x 0 ta đặt y ax; z bx thay vào hệ ta được x 2 1 2a 2 1 1 x 2 2a 2 3b 2 1 2 x a ab b 1. 1 2a 2 2 a 2 3b 2 2 1 2a a ab b. 2 2 4a 3b 1 2 2a a 1 b a 1 0. a 1 4a 3b 1 4a 3b 1 b 1 b 1 2a a 1 2a 1 b a 1 0 a 1 2a 1 b 0 2a 2 3a 1 0 a 1 +) Nếu b 1 thay vào (1) không thỏa mãn 2. 2. 2. 2. a 1 b 1 b 1 2a 2 1 a 2a 3a 1 0 a 1 2 b 0 +) Nếu thay b 1 vào (1) không thỏa mãn, thay 1 1 x; y; z 2; ; 0 , 2; ;0 2 2 (1) ta có x 2 . Do đó nghiệm của hệ là. 1 a 2 b 0 vào. Bài 15. (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình, năm 2013) Giải hệ phương trình sau: y 2 x x y 3 x y 2 x 2 y 2 3 2 x 1 11 Hướng dẫn giải. Điều kiện. x. x, y .. 1 2 2 ; x x y 0 ; x y. Từ phương trình thứ nhất suy ra y và x y cùng dấu mà có. y x y x . 1 2 nên y 0 . Ta. y 0 từ phương trình thứ nhất suy ra x 1 mà 1;0 không thỏa mãn pt thứ 2 nên y 0. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(17)</span> x2 x y . x2 x y . 3. . y x y 3. . x y 1 x 2 x y y 0. x 2 x y x y 1. 3. x y. 2. . x2 x y y 2. x y 1 3. x2 x y y. 0. x2 x y x y 0 x y 1 2 3 x y 2 3 x y 1 x x y y x y 1 0 y x 1 4 x 2 4 x 2 3 2 x 1 11. Thay vào phương trình thứ hai ta được. Đặt t 2 x 1 ta được t 3t 10 0 t 2 .Từ đó tìm được 4. Bài 16. Giải hệ phương trình. 5 3 ; 2 2. x; y . 3 3 3 1 x y 19 x 2 2 y xy 6 x. Bài 17. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất x 2 2013 y 1 m x y 2 2 y 2013 2013 x 2 m. Hướng dẫn giải: x 2 2013 y 1 m x y 2 2 y 2013 2013 x 2 m (I) x 2 2013 z m x z 2 2012 2013 x 2 m * Đặt z y 1 . Ta có (II) Nhận xét : Hệ (I) có nghiệm duy nhất hệ (II) có nghiệm duy nhất x; z . * Điều kiện cần : Giả sử hệ (II) có nghiệm duy nhất x; z. Vì là nghiệm của (II) nên x; z , x; z , x; z cũng là nghiệm của (II) Do đó để (II) có nghiệm duy nhất thì x z 0. Với x z 0, ta có : m 2013 * Điều kiện đủ : x 2 2013 z 2013 x z 2 2012 2013 x 2 Với m 2013 . Ta có . * Vì (2 )). x 2 2013 z 2013, x, z. (1) 2013 (2). , Dấu = xảy ra x z 0 nên (1) x z 0 ( Thỏa mãn. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(18)</span> Do đó hệ (II) có nghiệm duy nhất x z 0 . * Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất hệ (II) có nghiệm duy nhất m 2013 . 2 x 2 5 xy y 2 1 y ( xy 2 y 2 4 y 2 xy ) 1 Bài 18. Giải hệ phương trình sau:. Hướng dẫn giải: 2 x 2 5 xy y 2 1 (1) y ( xy 2 y 2 4 y 2 xy ) 1 Ta có: . (2). +) Điều kiện : 4 y x 2 y 0. + Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta có: 2 x 2 5 xy y 2 y. . . xy 2 y 2 4 y 2 xy 0 2. x x 2 5 1 2 y y y Chia cả hai vế của PT cho , ta có: x t t 2; 4 + Đặt y ta có phương trình: 2t 2 5t 1 . t 2. x 2 y. 4. x 0 y. 4 t 0. 2t (t 3) t 2( t 2 1) (1 . t 2 1) 0. t 2 1 (t 3) 2t 0 t 2 1 1 t 2 t 2 1 2t 0 t 2; 4 t 2 1 1 t 2 Với thì 1 3 2 y 2 1 y x 2 2 Với t 3 suy ra x 3 y thay vào PT (1): 3 1 ; 2 2 Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là: x4 x2 y 2 y 2 y3 x2 y x2 5 x y 7 x 1 2 x y 8 13 2 x 1 Bài 19. Giải hệ phương trình sau: . . . 1 2. Hướng dẫn giải: ĐKXĐ:. 2 x y 8 0 y 7 0 x 2 y 2 0 x y x y 1 0 x 2 y 1 2. Từ (1) ta được:. 2. Trường hợp đầu suy ra. 2. x y 0. nhưng ko là nghiệm của hệ. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(19)</span> 2 Do vậy ta được: x y 1. Thay vào phương trình (2) ta được: Đặt. . . 5 x x 2 6 x 1 x 2 2 x 7 13 2 x 1. a x 2 6; b x 2 2 x 7 2 x 1 b 2 a 2 x . 2. (*). 2. b a 1 2. a b 2 a b 5 a b 26 a b 6 0 a b 5 1 a b 5 Thay vào (*) ta được Dễ thấy a b 2 6 nên trường hợp thứ ba bị loại. x . Hai trường hợp đầu ta tính được KL: Hệ có một nghiệm. x . . 1 2. 1 3 ; y 2 4.. . . x x 2 1 y y 2 1 1 (1) 1 1 x 2 x 1 2 1 y 2 (2) Bài 20. Giải hệ: . . . ( x , y ). Hướng dẫn giải: Điều kiện: x, y . x 1, y 1. x y. 1 y . 1 1. x 2 1 x x 2 1 1 y2. y2. y y 2 1 x x 2 1 (3) 2 2 Kết hợp với (1) ta được: x x 1 y y 1 (4). Cộng (3) và (4) ta được y = -x, thế vào (2) ta được:. . 1 1 x 2 x 1 2 1 x 2. . (5). x sin t , t 0; 2 , phương trình (5) trở thành Đặt 1 cos t sin t (1 2 cos t ) t t t t 2sin .cos . 1 2 1 2sin 2 2 2 2 2 4 t k t t 2 t 6 3 3sin 4sin 3 sin 3 sin 2 2 2 2 4 t k 4 2 3 . 2 cos. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(20)</span> 1 t 6 x 2 t 0; t x 1 2 2 Với ta được 1 1 ; Vậy hệ phương trình có nghiệm (x,y) = 2 2 ; (x,y) = (1;-1). Dạng 3: Sử dụng hàm số. . . . x x 2 4 y y 2 1 2 3 3 2 Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: 6 y 5 y 1 x 1 .. Bài 1.. Hướng dẫn giải. . . . x x 2 4 y y 2 1 2 (2) 3 3 2 Đặt 6 y 5 y 1 x 1 (3) . pt 2 x x 2 4 2 y f x f 2y. với. 2y. 2. 4. f t t t 2 4, t . .. 2. f t . t t 4 t2 4. 0, t . .. Suy ra f(t) đồng biến trên . Do đó: y . f x f 2 y x 2 y y . x 2. x 2 vào phương trình (3) ta được: 3x 2 + 5x + 2 = 2 3 x 3 +1. Thế 3 x +1 + 2 x +1 = x 3 +1 + 2 3 x 3 +1. .. Đặt u = x +1, v = x +1 . u 3 2u v3 2v u v u 2 uv v 2 2 0 Phương trình trở thành: x = 0 u = v x +1= 3 x 3 +1 x = 1 1 0;0 , 1; 2. Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: 3. Bài 2.. 3. Giải hệ phương trình 3 3 x 4x 2 y 4 4 6 2 y 3 3 4 6 2z y 4y 2 z 4 3 3 z 4z 2 x 4 4 6 2x . Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(21)</span> Hướng dẫn giải Điều kiện: x, y, z 3 . Xét các hàm số. f t t 3 4t 2, g t . f ' t 3t 2 4 0, g ' t . Khi đó ta có. 3 4 6 2t ;3 t 4 trên . 3. t 4. 2. . 4 0, t 3 6 2t. .. ;3 f t ;3 Mà f t , g t là các hàm số liên tục trên suy ra đồng biến trên và g t. ;3 nghịch biến trên . x min x, y, z. Không mất tính tổng quát ta giả sử. . Khi đó ta có:. Nếu x y g x g y f z f x z x g z g x f y f z suy ra y z g y g z f x f y x y , vô lí vì x y . Do vậy x y , tương tự lí luận như trên ta được x z suy ra x y z . x3 4 x 2 . 3 4 6 2x x 4 (1).. Thay trở lại hệ ta được Theo trên, bên trái là hàm đồng biến, bên phải là hàm nghịch biến, nên phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm Mà x 1 là nghiệm nên nó là nghiệm duy nhất của phương trình (1). Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là x y z 1.. Bài 3.. x 3 y 3 3 y 2 x 4 y 2 2 x y 3 5 x y Giải hệ phương trình : . Hướng dẫn giải 3. 3. 2. x y 3 y x 4 y 2 2 3 x y 5 x y Ta có : . x 3 x ( y 1)3 ( y 1) 2 3 x y 5 x y .. Hàm số f(x) = x3 + x là hàm số đồng biến trên R nên phương trình f(x) = f(y - 1) x = y – 1. x 3 x ( y 1)3 ( y 1) x y 1 x y 1 2 2 3 2 3 x y 3 5 x y x y 5 x y ( y 1) y 4 y 5 Do đó . 5 y 2 y 2 3 ( y 1) y 4 y 5 4 y 12 y 3 15 y 2 38 y 24 0 Ta có . x 1 x 11 ; y 2 y 12 . Vậy hệ có 2 nghiệm : Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(22)</span> Bài 4.. Giải hệ phương trình: 2 64. y 3 22 x 7 1 y x 1 2. y 2 log 2 2 y 1 2 3 x x 2 y 1 2 1 y. Lời giải. Phương trình (2) Xét hàm số. 3. 2 y 1 2 y 1 2 x. 3. f t t t , t R. /. x. .. ,. 2. ta có: f t 3t 1 0, t R do đó hàm số f t đồng biến trên . f 1 2. từ (2) ta suy ra. x x . Vây 2 y 1 1 y 2 y 0 2. x Thay y 2 vào (1) ta được:. log 2. . log 2. 64. y 3 128. y 2 1 y 1 2. y 2 2 y 1 y . 8y y 2 1 y ( 1) 2 2 y 2 2 y 1 y. log 2. y2 . . Xét hàm số:. 2. 1 1 y 2 1 log 2 (2 ) (2 ) 1 y y (3) 2 f a log 2 a a 1. . 2. , (a>0). 1 1 2 2a 2 2 .2a 2 2 20 a ln 2 a ln 2 ln 2 f a Vậy hàm là hàm đồng biến trên khoảng (0, ), do đó: 1 1 (3) f y 2 f 2 y 2 2 y y f '( a) . . . y 1 4 1 3 2 y 2 4 2 y 2 y 4 y 1 0 y 3 13 y y 2 3 13 3 13 3 13 y 2x x log 2 2 2 2 Kết hợp điều kiện ta nhận được suy ra 3 13 3 13 ; log 2 2 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm. Bài 5.. x 4008 x 2004 2004 2 x 2004 x (1) 4006 2003 2x x Giải hbpt x x 2003 2003 (2). (x > 3).. (2 đ) Đặt y = 2004. Do x > 0, y > 0 nên ta được: (1) x2y + xy > y2x + yx x2y – y2x + xy – yx >0 (xy – yx)(xy + yx + 1) > 0 xy – yx > 0 xy > yx ( do xy + yx + 1 > 0).. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(23)</span> . . ln x ln y y . Vậy: (1.5 đ) xy > yx ln(xy) > ln(yx) ylnx > xlny x ln x ln 2004 x 2004 (3). ln 2003 ln x x Biến đổi tương tự, bất phương trình (2) trở thành: 2003 (4). ln 2004 ln x ln 2003 x 2003 (5). Từ (3) và (4), hệ đã cho trở thành: 2004 ln x 1 ln x 2 (1.5 đ) Xét hàm số: y = f(x) = x , y’= x <0, x > 3. ln 2004 ln x ln 2003 x 2003 tương Nên hàm số nghịch biến trên khoảng ( 3; +), do đó: 2004. đương với 2003 < x < 2004. x 3 x 2 y x 3 x y 1 3 x 9 y 2 6 x 3 y 15 3 3 6 x 2 2 Giải hệ phương trình: . Bài 6.. 1 2. Giải: Ta có. 1 . x 2 x 1 x 1 y x 2 1 0. x 2 1 x y 1 0 y x 1 2. Thế vào. 2. x3 9 x 1 6 x 2 3x+3 15 3 3 6 x 2 2 x 3 9x 2 6 x 6 3 3 6 x 2 2 x 3 3x 2 6x 4 6 x 2 2 3 3 6 x 2 2. . 3. x 1 3 x 1 6 x 2 2 3 3 6 x 2 2. Xét. f z t 3 3t. . *. trên . 2. f ' z 3t 3 0t f z. đồng biến trên. **. * ** x 1 3 6x 2 2 Từ và . Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(24)</span> 3. x 1 6x 2 2 x 3 9 x 2 3 x 3 0 2 x 3 3x 2 3x 1 x 3 3x 2 3x 1 0 3. 2 x 1 x 1 . 3. . 3. 2 x 1 x 1 3. . 2 1 x 3 2 1 3. x 3. Bài 7.. 2 1 21 7 x 3 y 3 3xy x y 12 x 2 6 x 1 (1) 2 2 (2) . Giải hệ phương trình 2 x 3 9 y y 1. (Chuyên Bắc Giang) Lời giải Điều kiện xác định: 3 y 3 . Phương trình (1) tương đương với phương trình:. x y. 3. y 1 x. 2 x 1. 3. (3). Thế (3) vào (2) ta được: 2 x 2 3 8 2 x x 2 x 0 2 x2 3 8 2 x x2 x 4 x 2 3 2 x 8 2 x 8 2 x x 2 2. 2 x 1 x. . . 8 2 x x 2 3 0. x 2 x 1 2 0 8 2 x x2 3 x 1 0 x 2 0 8 2 x x2 3 .. Ta có hai trường hợp: * TH 1: Nếu x 1 thì y 0 . Thử lại vào hệ phương trình ban đầu thấy thỏa mãn.. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(25)</span> * TH 2: Nếu. 2. x. 0. 8 2x x2 3. thì ta có phương trình. 2 8 2 x x 2 x 6. x 6 0 2 5 x 4 x 4 0. (vô nghiệm).. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x; y 1; 0 . 2 x 2 y 2 x y 2 xy 1 1 3 3 3 y 1 8 x 2 y 1 x 0 Giải hệ phương trình: . Bài 8.. Hướng dẫn giải 2 x 2 y 2 x y 2 xy 1 1 3 3 3 y 1 8 x 2 y 1. (1) (2). 2 x 1 2 y 1 2 x 1 y 1 0 (1) ĐK: (2x + 1)(y + 1) 0 (1). . . 2 x 1 . y 1. . 2 x 1 0 Mà x > 0 y 1 0. . 2 x 1 2 y 1 0. . 2 x 1 . y 1 0 y 2 x 3. 3 3 3 Thay vào (2): 6 x 1 8 x 4 x 1 6 x 1 6 x 1 2 x 2 x. (3). Hàm số f(t) = t3 + t đồng biến trên R 3. (3) 6 x 1 2 x. 4 x3 3 x . 1 2. NX: x >1 không là nghiệm của phương trình. Xét 0 x 1: Đặt x = cos với. Do. 0 . 0 . 2. Ta có:. cos 3 . 1 2. 2 9 k 3 k 2 9 3. (k Z ). 2 9. cos ; 2 cos 9 9 Vậy hệ có nghiệm . Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(26)</span> Bài 9.. [Đề xuất Chuyên Biên Hòa, DHĐBBB 2014-2015] (4,0 điểm): Giải hệ phương trình sau trên tập số thực 1 x y x x y 1 2 1 4 x 2 18 x 20 y 1 2 2x 9x 8 . Lời giải Điều kiện y >−1 ; 2≤ x ≤ 5/2. Đặt t=√−4 x 2 +18 x−20 →0 ≤ t ≤ 1/2. Phương trình (2) tương đương với 2. √−4 x 2 +18 x−20+ 2 x 2−9 x +6 = √ y +1. 2 x −9 x +8 4 f ( t )=t +1+ 2 0 ≤ t ≤1 /2. t +4 Ta có f (t) đồng biến trên [ 0 ; 1/2 ] 1 2=f ( 0 ) ≤ f (t ) ≤ f =83/34<5 /2 2 Suy ra √ y+ 1≥ 2→ y +1 ≥ 4.. nên. (). Xét phương trình (1) tương đương với. lnx ln ( y +1 ) = x y +1 lnt , 1−lnt , g ( t ) = , g ( t )= 2 , g ( t )> 0↔ t< e t t Xét 2≤ x ≤ 5/2 ta có hàm số g(x) đồng biến. Xét y +1≥ 4 ta có hàm số g(y+1) nghịch biến Ta có 2≤ x ≤ 5/2 nên g(x) ≥ g (2 ) ↔ g ( x)≥ ln 2/2 y +1≥ 4 nên g ( y+ 1 ) ≤ g ( 4 )=ln 2/2 Mặt khác g(x) liên tục trên (0 ; + ∞ ¿ nên g ( x ) =g ( y+1 )=ln 2/2 Khi đó x= y +1 ; x =2; y =3 Bài 10.. Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( 2 ; 3) [Đề dữ liệu, Chuyên Lê Hồng Phong, DHĐBBB, 2015] Giải hệ phương trình: 2 x y 1 2 log 2 3 x 2 x 3 3 x 2 1 1 x y x y 7 x y 2 2 3 .5. . . Lời giải 1 2 10. 5 Ta có. Điều kiện: 2 x y 1 0. t. x y. 3 5. 5. x y. 7 x y 2 0. t. 1 3 10. 5. 7t 2 0 5 5 Đặt t x y ta có phương trình (*) t. t. 1 3 f t 10. 5. 7t 2 5 5 Xét hàm số với t . Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(27)</span> t. t. 1 1 3 3 f ' t 10. ln 5. ln 7t ln 7 0 t 5 5 5 5 Ta có f t . Nên hàm số. nghịch biến trên. Mà f 1 0 suy ra phương trình (*) có nghiệm duy nhất t 1 t 1 ta có x y 1 Với. 2 log3 2 x y 1 log3 log 3 x 2 log 3. . . x 2 2 1 3 x 2 2 3 x 3. log 3 x 2 3 x 2 log 3. g t log 3 t 3t. Xét hàm số g t. . x 2 2 1 3 x 2 2 3 x 3. . . x2 2 1 3. với t 0 ta có. . x2 2 1 g ' t . **. 1 3 0 t 0 t ln 3. 0; đồng biến trên . ** Do đó phương trình có dạng g x 2 g. . . x2 2 1 x 2 x 2 2 1 . x 2 2 x 1. x 1 1 x 1 0 2 x 2 2 2 x 1 x 2 x 1 1 1 x y 2 ta có 2 (thỏa mãn điều kiện 2 x y 1 0 ) Với 1 1 x; y ; 2 2 Vậy hệ có nghiệm. Bài 11.. 8 xy 2 y 8 y 4 x y 2 . 3x 8 2x 7 y 1 2 Giải hệ phương trình: . Hướng dẫn giải 7 x ; y 1. + ĐK: 2. 1 + Biến đổi được: 4 xy 2 y 8 2 2 2 xy 2 y 2 x y ... . 2. 2. xy 2 y 4 x y .. y x 2.. 2x 7 x 3 . + Thế vào ta được: Áp dụng BĐT Cauchy ta được: ▪. 2x 7 . 2 x 7 .1 . 3x 8 . 2. 2x 7 1 2 x 6 . 2 2. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(28)</span> ▪. x 3 1 x 2 . 2 2 3x 8 2x 7 x 3 2 .Dấu ' ' xảy ra khi và chỉ khi x 4. x; y 4; 2 .. x 3 . Suy ra. x 3 .1 . Vậy nghiệm Bài 12.. cần tìm là. Giải hệ phương trình sau: x 3 x 2 e x 1 1 e x 1 2 y xy 2 x y 2 0 2 2 4 x 2 y 8 x 14 x 2 x y 2 3 x 5 x 2. . . ( x, y ).. Hướng dẫn giải. (1) x 1 Xét hàm số f ( x) x e 1 trên ; 2. ( x y 2) x e. x 1. 1 0 (3). x f '( x). f '( x ) 1 e x 1 ; f '( x) 0 x 1 1 0. . +. -. 1 f ( x). Từ bảng biến thiên, ta có f ( x) 1, x 2 Do đó (3) y 2 x Thế vào phương trình (2) ta được: 2 x 2 8 x 10 2 x 2 2 x 4 3. . . x 5 x 2 1. (4). Điều kiện xác định của (4) là: x 1 (*). Với đk (*), ta có: (4) . (2 x 2)( x 5) (2 x 2)( x 2) 3 2x 2. . . . . . . x 5 x 2 3. . x 5 x 2 3. x 5 x 2. . x 5 x 2 3. . 2 x 2 3 3. 2x 2 3 x 5 . x2. ( 2 x 2 x 5) ( x 2 3) 0 x 7 x 7 0 2x 2 x 5 x 2 3 1 1 ( x 7) 0 x 2 3 2x 2 x 5 1 1 0 x 1) x 2 3 x 7 (tm (*)) ( Vì 2 x 2 x 5 Với x 7 y 47 (thỏa mãn điều kiện).. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(29)</span> Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( x; y ) (7; 47).. Bài 13.. x 3 y 3 3 y 2 x 4 y 2 2 x y 3 5 x y Giải hệ phương trình : . Hướng dẫn giải 3. 3. 2. x y 3 y x 4 y 2 2 3 x y 5 x y Ta có : . x3 x ( y 1)3 ( y 1) 2 3 x y 5 x y .. Hàm số f(x) = x3 + x là hàm số đồng biến trên R nên phương trình f(x) = f(y - 1) x = y – 1. x 3 x ( y 1)3 ( y 1) x y 1 x y 1 2 2 3 3 x y 5 x y ( y 1) 2 y 3 4 y 5 x y 5 x y Do đó 5 y 2 y 2 3 ( y 1) y 4 y 5 4 y 12 y 3 15 y 2 38 y 24 0 Ta có x 1 x 11 ; y 2 y 12 Vậy hệ có 2 nghiệm :. Bài 14.. 2 3 3 2 3 x y 2 xy y (y 9) 27 3 2 2 2 Giải hệ phương trình : x y 4 xy 9 y 5 y 9. ( x, y ).. Hướng dẫn giải +) y = 0 không thỏa mãn 9 27 2 3 x 2 x 1 y 2 y 3 x3 4 x 5 9 9 y y2 +) y ≠ 0, hệ pt 3 Đặt t = y , hệ phương trình trở thành. 2 3 2 3 x 2 x 1 t t 3 2 x 4 x 5 t 3t. (1) (2). +) Từ hai phương trình trên suy ra x3 + 3x2 + 6x + 4 = t3 + 3t (x +1)3 + 3(x +1) = t3 + 3t (3) Xét hàm f(t) = t3 + 3t đồng biến trên . Phương trình (3) tương đương x+ 1 = t. 3 Thay vào phương trình (2) và giải phương trình được x = 1, y = 2 . 3 Nghiệm của hpt là (1; 2 ).. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(30)</span> Bài 15. (Olimpic Trại hè ( x 2 1)( y 2 1) 3 xy 2 2 x y xy 8 x 9 y 23 0. Hùng. Vương. 2013). Giải. hệ. phương. trình. :. Hướng dẫn giải ( x 1)( y 1) 3 xy 2 2 Hệ phương trình : x y xy 8 x 9 y 23 0 2 2 2 2 Ta có : x y xy 8 x 9 y 23 0 x ( y 8) x y 9 y 23 0 2. 2. 14 x ( y 8) 2 4( y 2 9 y 23) 3 y 2 20 y 28 0 2 y 3 2 2 2 2 Tương tự : x y xy 8 x 9 y 23 0 y ( x 9) y x 8 x 23 0. 11 y ( x 9) 2 4( x 2 8 x 23) 3x 2 14 x 11 0 1 x 3 2 2 x 1 y 1 ( x 2 1)( y 2 1) 3 xy 3 x y Ta có : 1 11 11 x 2 1 1 x 1; f '( x) 1 2 0, x 1; x x 3 , ta có : 3 nên hàm x x với Xét hàm số 11 11 f ( x ) f (1) 2, x 1; 1; 3 3 số f(x) đồng biến trên , suy ra. f ( x) . y2 1 1 1 14 14 y y 2; g '( y ) 1 2 0, y 2; y y y với 3 , ta có : 3 nên Xét hàm số 3 14 14 g ( y ) g (2) , y 2; 2; 3 2 3 hàm số g(y) đồng biến trên , suy ra g ( y) . x2 1 y 2 1 11 14 3; x 1; , y 2; y 3 3 Suy ra : x x2 1 y 2 1 2 2 ( x 1)( y 1) 3 xy 3 x y Do đó phương trình. x 1 y 2. x 1 Vì y 2 không thoả mãn phương trình thứ 2 của hệ nên hệ đã cho vô nghiệm . Bài 16. (Chuyên Nguyễn Tất Thành – Yên Bái) Giải hệ phương trình: x3 y 2 1 17 5 x 3 y 4 y 14 4 y 3x 5 x Hướng dẫn giải. Điều kiện x 5; y 4 17 5 x 3 y 4 y 14 4 y 3x 5 x 3 5 x 2 5 x 3 4 y 2 4 y (1) 0; ) Xét hàm số f (t ) (3t 2) t liên tục trên có Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(31)</span> f '(t ) 3 t . 3t 2 0, t 0 2 t. 0; ) Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên . Khi đó. (1) f 5 x f (4 y ) 5 x 4 y y x 1. Thay y vào phương trình đầu ta được x 0 x x 1 1 x x 2 x 0 x 1 x 2 0; 1 ; 1;0 ; 2; 3 2. 3. 3. 2. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là. Bài 17. (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2012) Giải hệ phương trình: 3x 2 2 x 5 2 x x 2 1 2 y 1 y 2 2 y 2 2 2 x 2 y 2 x 4 y 3 Hướng dẫn giải. Trừ vế với vế của 2 phương trình (1), (2) ta có: 2 x 2 2 x. x 2 1 2 y 2 4 y 2 2 y 1 y 2 2 y 2 2. x 2 x x 2 1 y 1 y 1. Đưa về xét hàm số:. f t t 2 t t 2 1. f ' t 2t t 2 1 f t. y 1. t. 2. t 2 1. . . 2. 1. có. t t 2 1 t 2 1. . 2. 0t. là hàm số đồng biến trên R, lại có f x f y 1 x y 1 , 2. x 2 2 x 1 2 x 4 x 1 3 3 x 2 2 x 5 0. x 1 y 2 x 5 y 3 2 2 Bài 18.. (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam 2014) Giải hệ phương trình sau. : (17 3 x) 5 x (3 y 14) 4 y 0 (1) ( x, y R ) 2 2 2 x y 5 3 3 x 2 y 11 x 6 x 13 (2). Hướng dẫn giải. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(32)</span> x 5 y 4 Điều kiện : 2 x y 5 0 , 3 x 2 y 11 0. Với. . 3(5 . điều. kiện. (*),. x) 2 . 5 x 3(4 y ) 2 . 4 y. (*) phương. trình. (1). tương. đương. :. (3). Xét hàm số : f (t ) (3t 2). t , t 0 f ' (t ) 3 t . 3t 2 0 , t 0 2 t. f (t ) liên tục t 0 , suy ra f (t ) là hàm số luôn đồng biến trên 0; Khi đó : pt(3) f (5 x) f (4 y ) 5 x 4 y y x 1. Thay y x 1 vào phương trình (2), ta được : 4 x 2 3 x 4 3 5 x 9 x 2 6 x 13 với 3 2 3 x 4 2( x 2) 3 5 x 9 3( x 3) x 2 x. . 2 (3 x 4) ( x 2) 2 . . 3 (5 x 9) ( x 3) 2 . x 2 x. 3x 4 ( x 2) 5 x 9 ( x 3) 2 x( x 1) 3x ( x 1) x ( x 1) 3 x 4 ( x 2) 5 x 9 ( x 3) 2 3 x( x 1) 1 0 3 x 4 ( x 2) 5 x 9 ( x 3) x 0 2 3 4 1 0 , x 3 3x 4 ( x 2) 5 x 9 ( x 3) x 1 ; vì :. Với x 0 suy ra y 1 Với x 1 suy ra y 2 Thử lại ta thấy cả hai đều thỏa điều kiện (*) 0; 1 1; 2 Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm : ,. Bài 19.. 1 1 16 x y x y x y x y 3 1 1 100 ( x y ) 2 ( x y ) 2 2 2 ( x y) (x y) 9 Giải hệ phương trình Hướng dẫn giải 1 1 a x y ; b x y (| a |,| b |2) x y x y Đặt 16 10 a 2 a b 3 a 3 10 a 2 2 b 2 2 100 b 3 b 2 9 Ta có: Từ đó suy ra hệ phương trình có bốn nghiệm. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(33)</span> 2 x x 2 3 x 2 y 1 y 1 y 1 3. 2 x 3 y 1 3 x 1 y 1 4 y 1 x 1 1 1 3 x 1 y 1. Bài 20.. Giải hệ phương trình:. Bài 21.. 2 2 x y xy 7 4 4 2 2 Giải hệ phương trình x y x y 21. Bài 22.. x 3 2( x 1) 3 y 2 y 2 3 x y y 2 Giải hệ phương trình sau trên R: . Hướng dẫn giải: 3. 2. 3 2 Cộng hai phương trình vế theo vế thu được phương trình x 3 x 2 x y 3 y 2 y 3 2 Xét hàm số f ( x) x 3x 2 x với x R 2 Ta có f '( x) 3 x 6 x 2 0 nên hàm số đồng biến. nên từ f ( x) f ( y ) x y từ đó thay vào giải ra được x y 1 hoặc x 1 3, y 4 2 3 .. Bài 23.. x, y 0 x y 2 x 1 y 1 Tìm tất cả các số thực x, y thỏa hệ: x y 1 .. Hướng dẫn giải:. Ta chứng minh nếu các số x, y thỏa mãn hai điều kiện đầu thì x x 1 y y 1 1 x 1 ln x y 1 ln y 0 f x x 1 ln x 3 x ln 2 x 0 Thay y 2 x , ta chứng minh: với 0 x 2. Ta có. f ' x ln x ln 2 x . 1 1 f '' x x 2 x. Do đó. f x . 1 1 x 2 x. 2 2 1 x 1 1 1 1 1 11 1 1 2 0 2 x 2 x x 2 x x 2 x x 2 x 2 x 2 x f 1 0 f ' x 0; 2 ,. nghịch biến trên. hơn nữa. nên. 0;1 và âm trên 1; 2 . Suy ra f x f 1 0 với mọi. nhận giá trị dương trên. x 0; 2 .. Từ đó, hệ phương trình có nghiệm x y 1.. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(34)</span> Bài 24.. Giải hệ phương trình sau:. y 3 3x 2 2 x 1 4 y 8 2 3 2 2 y x 4 y x 6 y 5 y 4. x , y . Hướng dẫn giải: +) y 0 không thỏa mãn hệ. 4 8 2 3 x 2 x 1 (1) 2 y y3 x3 4 x 5 4 6 y2 y +) Xét y 0 , hệ tương đương 3. 2 2 3 8 6 x 3 x 6 x 4 3 x 1 3 x 1 3. y y y y Cộng vế với vế ta được 3. 2. 3 2 Xét hàm số: f (t ) t 3t ; f (t ) 3t 3 0 t R. Do đó. f t. là hàm số đồng biến trên , suy ra. x 1 . 2 y 2. 3. 2. Thế vào (1), kết hợp x 1 , ta được x 1 3x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 Do đó y 1 là nghiệm của hệ.. Bài 25.. 3 x 5 y 1 3 x 1 3 2 x 3 x y 6 y 9 y 2 ln y 1 0 Giải hệ phương trình: . Hướng dẫn giải: Điều kiện: y 0; x 1. Ta biến đổi phương trình thứ hai tương đương với: ( x 1)3 3( x 1) 2 ln( x 1) ( y 1)3 3( y 1) 2 ln( y 1) 0 3 2 Nhận thấy hàm số f (t ) t 3t ln t đồng biến trên khoảng (0; ). nên ta có x 1 y 1 x y 2 Thế vào phương trình đầu ta có cặp nghiệm duy nhất của hệ phương trình là x 3 và y 1. Dạng 4: Đánh giá. Bài 1.. Giải hệ phương trình sau:. x 5 x 4 2 x 2 y 2 5 4 2 y y 2 y z 2 z 5 z 4 2 z 2 x 2 . Hướng dẫn giải. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(35)</span> Nhận thấy x y z 1 là một nghiệm của phương trình. Ta chứng minh hệ có nghiệm duy nhất. Giả sử x 1 (*) khi đó z5 z 4 2 z 2 x z5 z 4 2z 2 z5 z 4 2z 2 2 0 z 4 1 z 1 0 z 1. Với z 1 ta có y5 y4 2 y 2 z y5 y 4 2 y 2 y5 y 4 2 y2 2 0 y 4 1 y 1 0 y 1. Với y 1 ta có x5 x 4 2 x 2 y x 5 x 4 2 x 2 x5 x 4 2 x 2 2 0 x 4 1 x 1 0 x 1. Suy ra x 1 mâu thuẫn (*). Tương tự giả sử x 1 ta cũng dẫn đến điều vô lý. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y z 1 .. Bài 2.. 4 x 2 2 xy x 6 xy y y 2 15(1) 6( x3 y 3 ) x 2( x 2 y 2 ) 3(2) 2 2 x xy y Giải hệ phương trình . Hướng dẫn giải xy 0 2 2 Điều kiện x y xy 0 .. Nếu x 0 hoặc y = 0 thì hệ vô nghiệm. x 0 Nếu y 0 (x,y không đồng thời bằng 0) thì vế trái của (2) âm, phương trình (2) không. thoả mãn. Do đó x > 0, y > 0. Vì 2 xy x y nên từ phương trình (1) suy ra 15 4 x 2 2 xy x 6 xy y y 2 (2 x y )2 x 3( x y ) y (2 x y ) 2 4 x 2 y (2 x y ) 2 2(2 x y ) 15 2 x y 3. (3). x2 y2 3( x 2 y 2 ) 3( x3 y 3 ) 2( x3 y 3 ) 2 2 xy x xy y 2 2 2 2 x xy y 2 x y 2 . (4) Mặt khác, ta có. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(36)</span> 2( x 3 y 3 ) 2( x 2 y 2 )(5) 2 2 Ta chứng minh rằng: x y .. Thật vậy bất đẳng thức (5) tương đương 2( x3 y 3 )2 ( x 2 y 2 )3 x 6 y 6 4 x 3 y 3 3x 4 y 2 3x 2 y 4. (6). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: x 6 x3 y 3 x 3 y 3 3 3 x12 y 6 3 x 4 y 2 y 6 x3 y 3 x3 y 3 3 3 x 6 y12 3 x 2 y 4. Cộng vế với vế hai đẳng thức trên ta được (5), từ đó suy ra (5) 3( x 3 y 3 ) 2( x 2 y 2 ) 2 2 Từ (4) và (5) suy ra: x xy y 2 2 Kết hợp với phương trình (2) và lưu ý rằng 2( x y ) x y , ta được:. 3 x . 6( x3 y 3 ) x 2 xy y 2. 2( x 2 y 2 ) x 2( x 2 y 2 ) x ( x y ) 2 x y. (7) Từ (3) và (7) suy ra 2x + y = 3 và x = y ta được x = y = 1 (thoả mãn các điều kiện của bài toán). Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (1;1). Bài 3.. Giải hệ phương trình sau:. y 2 4 x 1 2 3 4 x 8 x 1 40 x 2 x y 14 x 1. I. Lời giải. 2 1 t 4 x t . x . 7 14 Đặt ĐK: y 2 t 1 2 3 t 2t 1 1 I 5 2 t 7 t y t 1 2 4 2 2 Nhận xét: từ (2) ta có: y 0. 2t 1 3 t 2t 1 3 2t . .1 2 Ta có:. 2t . 2. Do đó, từ (1) suy ra: 7 y t 1 2 Ta có:. 2t 1 1 1 2 t 3 2. y 2 t 1 t . 1 1 y 2 t 2 3t 3 2 2. 7 y2 t 1 2 2. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(37)</span> 7 y2 t 1 2 5t 2 3t 1 y 2 4 2 1 5t 2 3t 1 t 2 3t 2 Từ (3) và (4) suy ra: 3 3 1 1 1 2 6t 2 6t 0 2t 1 0 t 4 x x 2 2 2 2 8. 1 x 8 vào hệ I ta có: Thay 5 2 t t 4 Do đó, từ (2) suy ra: 2. 2 1 y 4 1 3 3 y 2 4. 2 3 3 y y 4 2 y 3 2 y 3 y 3 2 2 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất:. Bài 4.. x 2 2 y 2 1 2 2 2 y 3 z 1 xy yz zx 1 Giải hệ phương trình: . 3 . 8 2 . x; y . ;. x, y , z . Lời giải +) Nếu x 0 thay vào hệ ta có hệ vô nghiệm. +) Nếu x 0 ta đặt y ax; z bx thay vào hệ ta được x 2 1 2a 2 1 2 2 2 2 1 2a 2a 3b 2 2 1 x 2a 3b 1 2 1 2a a ab b 2 x a ab b 1. 2 2 4a 3b 1 2 2a a 1 b a 1 0. a 1 4a 2 3b 2 1 4a 2 3b 2 1 b 1 b 1 2 a a 1 2a 1 b a 1 0 a 1 2a 1 b 0 2a 2 3a 1 0 a 1 +) Nếu b 1 thay vào (1) không thỏa mãn. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(38)</span> a 1 b 1 b 1 2a 2 1 a 2a 3a 1 0 a 1 2 b 0 +) Nếu thay b 1 vào (1) không thỏa mãn, thay 1 a 2 b 0 vào (1) ta có x 2 . Do đó nghiệm của hệ là . x; y; z . 2;. . Bài 5.. 1 1 ; 0 , 2; ;0 2 2 . Giải hệ phương trình sau: 2 log 7 (2 x 3 y ) log 3 (2 2 x 3 y ) ( x, y ). 7 27 4 27 x 2 26 x 3 y 2 1 x 6 3 2 . Lời giải Đặt t log 7 (2 x 3 y) , phương trình (1) trở thành: log 3 (7 t 2) 2t 9t 7 t 2 ... t 1. (Sử dụng tính chất đơn điệu). 2 x 3 y 7 3 y 7 2 x (3). Thế (3) vào (2) ta được: 28 27 (9 x 4) 2 3(9 x 4) 1 x 6 2. 4 4 1 3 2 3 2 t 9 x 4 ( t 0). Đặt Phương trình (4) trở thành: 2. 4 27 x 2 24 x . (4). t2 3t t2 3t 4 1 4. 4 1 6t 3 2 3 2 (5) t 6 6t 2 Áp dụng bđt AM – GM ta có: 2. 4. Từ (5) ta có:. 4.. t2 4 2t 4 4t 2 48 3t 2 12t 12 (t 6) 2 0 t 6. 3. 2 59 2 59 ( x; y ) ; . x y 9 27 9 27 . Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất Từ đó. Bài 6.. Giải hệ phương trình : x 4 9 y 4 6 3xy 4 2 x xy 5 2 3 y 3 3 xy 6 . ( x R, y R ). Lời giải Đặt : 3 y z Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(39)</span> 4 4 2 2 Ta có : x z 2 x z ,suy ra : 1 t xz 2. Xét vế trái của phương trình (2) f (t ) 2t . t 1 t. , t [1; 2] t xz . x2 z 2 . , suy ra. xz xz 1 xz 2 xz 1 xz 1 f ' (t ) 2 0, t [1; 2] 2 1 t . 5 1 5 f (t ) là hàm số đồng biến trên (1;2) , suy ra : 2 ,suy ra VT = 3 f (t ) 6 1 1 x 1 ; y 3. Dấu bằng xẩy ra khi t 1 , suy ra : x 1; y 3 hoặc f (t ) f (1) . Giải hệ phương trình sau:. Bài 7.. x 2 2 x xy y 2 y 3 3 2 4 x y 3x x 15 x y 3 x y y x y 4 x x. . . . . . 2. ; x, y . Lời giải Điều kiện: x 0, y 0 . Đặt a x , b y ( a 0, b 0 ). Hệ phương trình đã cho trở thành a 4 2a 3b b5 6 6 5 2 3 2 3 2 4a b 3a 15a b 3a b a b 4a . 1 2. a, b 0, 0 Nhận xét: a 0 b 0 ; b 0 a 0 . Do đó là một nghiệm của. hệ. Bây giờ ta xét a 0, b 0 . Đặt b ka k 0 . Với cách đặt này thì . 1 2k 1 2k ak 5 a 5 k Phương trình (1) trở thành:. . 4a Phương trình (2) trở thành: . 6. (3). a 6 k 6 3a 5 15a 2 k 2 a 2 3a k 3a 3 a 3k 4a 3 . 2. (4) 2 3k 5 1 2k 6 4 k k 3 k 4 5 3 1 2k 3k Thay (3) vào (4) ta được: . (5) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho vế trái của (5) ta được:. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(40)</span> 3k 5 1 2k 3k 5 1 2k 6 6 4 k 5 5 4 k . 1 2k 3k 3 1 2k 3k 3 . . . 22 12 4 k 6 k. . 2. 4 k 3 k . . 2. 2. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi k 1 . Khi đó a b 3 hay x y 9 . x; y 0;0 , 9;9 Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là .. Bài 8.. 4 x 2 4 xy x 6 xy y y 2 15(1) 6( x3 y 3 ) 2( x 2 y 2 ) 3(2) x 2 2 Giải hệ phương trình x xy y. Bài giải xy 0 2 2 Điều kiện x y xy 0. Nếu x 0 hoặc y = 0 thì hệ vô nghiệm x 0 Nếu y 0 (x,y không đồng thời bằng 0) thì vế trái của (2) âm, phương trình (2) không. thoả mãn. Do đó x > 0, y > 0. 1.0 đ Vì 2 xy x y nên từ phương trình (1) suy ra 15 4 x 2 4 xy x 6 xy y y 2 (2 x y )2 x 3( x y ) y (2 x y ) 2 4 x 2 y (2 x y ) 2 2(2 x y ) 15 2 x y 3. (3). 1.0 đ Mặt khác, ta có Ta 1.0 đ. xy . x2 y2 3( x 2 y 2 ) 3( x3 y 3 ) 2( x3 y 3 ) x 2 xy y 2 2 2 2 x xy y 2 x 2 y 2 . (4). chứng. minh. rằng:. 2( x 3 y 3 ) 2( x 2 y 2 )(5) 2 2 x y .. Thật vậy bất đẳng thức (5) tương đương 2( x3 y 3 )2 ( x 2 y 2 )3 x 6 y 6 4 x 3 y 3 3x 4 y 2 3x 2 y 4. (6). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(41)</span> x 6 x3 y 3 x 3 y 3 3 3 x12 y 6 3x 4 y 2. y 6 x 3 y 3 x 3 y 3 3 3 x 6 y12 3 x 2 y 4. Cộng vế với vế hai đẳng thức trên ta được (5), từ đó suy ra (5) 3( x3 y 3 ) 2( x 2 y 2 ) 2 2 Từ (4) và (5) suy ra: x xy y 2 2 Kết hợp với phương trình (2) và lưu ý rằng 2( x y ) x y , ta được:. 6( x3 y 3 ) 3 x 2 x xy y 2. 2( x 2 y 2 ) x 2( x 2 y 2 ) x ( x y ) 2 x y. (7) Từ (3) và (7) suy ra 2x + y = 3 và x = y ta được x = y = 1 (thoả mãn các điều kiện của bài toán). Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (1;1) 3 y 3 2 x y x 2 5 y 2 4 x 2 4 y 2 2 x y 1 2 x y 2 Giải hệ phương trình: ( x, y ).. Bài 9.. Hướng dẫn giải 3. y 2 x – y 0. Điều kiện: x 2 , y 1 ; ; 5 y – 4 x 0 . +) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm ta có: y 2x y . =. x 5 y 4x 2. 2. y 2 xy y 2. 3. 2. . 2. . . 2. 2. y 2 2 xy y 2 2. x2 5 y 2 4 x2 5 y 2 3x 2 2 2 =. 5 y 2 3x 2 y 2 x y + x 5 y 4 x 3 xy 2 Suy ra: 3 + 5 y 2 3x 2 2 2 3 x – y 0 x y 2 Vì vậy, ta phải có: 4 y 3xy . 2. 3. 2. 2. Vậy phương trình đầu tương đương với x = y. Thay x y vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 2 x +. x 1 2 x x 2 (*).. Do 2 x + x 1 0 nên ta phải có: x x – 2 0 Khi đó phương trình (*) tương đương với: 2. . . x 2 – x 1 x – 1 – 2 x x . ⇒. x 1 ( do x 1 ).. x 1 0. 1 1 x 2 – x – 1 1 0 x 1 2 x x x 1 . 1 1 0 do1 x 1 2 x x x 1 x – x –1 0 2. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(42)</span> 1 5 t / m x 2 1 5 x 2 . 1 5 x y 2 .. ⇒. 1 5 x; y 2 Vậy hệ có nghiệm duy nhất .. Bài 10.. [Đề hsg Dương Xá,2008-2009] Giải hệ phương trình sau: x 2 x y 1 x y 2 x y 1 y 18 2 x x y 1 x y 2 x y 1 y 2. Lời giải 2. x x y 1 0 2 Điều kiện y x y 1 0. Cộng và trừ từng vế tương ứng của hệ phương trình trên ta được x 2 x y 1 y 2 x y 1 10 x y 8. Thế y=8-x vào phương trình trên ta được x 2 9 x 2 16 x 73 10 . ( x 2 9)( x 2 16 x 73) x 2 8 x 9. . ( x 2 32 ) ( x 8) 2 32 ) 9 x(8 x) . (1). . Trong hệ trục tọa độ xét a ( x;3) ; b (8 x;3) . ( x 2 32 ) ( x 8) 2 32 ) . . Khi đó | a |.| b |= . . a . b = 9 x(8 x) . . . . Pt (1) tương đương với | a |.| b |= a . b (2) . . . . Ta có | a |.| b | a . b . . . . Khi đó (2) xảy ra khi và chỉ khi hoặc a 0 hoặc b 0 (không xảy ra) hoặc 8 x 1 0 a cùng hướng b suy ra x x=4.. . . KL: Nghiệm của hệ là (4;4) Bài 11.. [Đề chọn hsg tỉnh Trà Vinh, 2014-2015] Giải hệ phương trình : 1/. x y x y 2 2 2 x y 1. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(43)</span> x 1 y 1 3 2 x y 4 5 5 2/ Bài 12.. [Đề xuất Chuyên Biên Hòa, DHĐBBB 2015-2016]Giải hệ phương trình x 6 +2 x 3 −10 y 2= √ xy− x 2 y 2 3. 4 x ( 2 y +1 )−28 y 2 +3 =2 √ x 2 + 4 ( y 2 + 1 )− 4 xy ¿ {¿ ¿ ¿ ¿. Lời giải x. Điều kiện :. {. xy − x 2 y 2≥0 +4 ( y 2 + 1 )− 4 xy ≥ 0 ⇔ ¿ 0≤ xy ≤ 1 2 ( x −2 y ) + 4 ≥0 ⇔ 0≤ xy ≤ 1 ¿ ¿ ¿ ¿. 2. ¿. 2. 1 1 1 1 xy−x y = − xy− ≤ ⇐ √ xy−x 2 y 2 ≤ 4 2 4 2 Ta có : 2. (. 2. 1 = 2 ). Do đó từ (1). ). 6. 3. 2. ⇒2 x +4 x −20 y ≤1. ( dấu = xảy ra khi xy. (3) Từ (2) và (3) ta suy ra :. 8 x 3 y+4 x 3 −28 y 2 +4≥2 x 6 +4 x 3 −20 y 2 +2 √( x−2 y)2 +4. 2. 8 x 3 y+4≥2 x 6 +8 y 2 +2 √ ( x−2 y ) +4 2 ⇔ 4 x3 y+2≥x 6 +4 y 2 + √( x−2 y ) +4 2 ⇔2≥( x3 −2 y ) + √( x−2 y )2 +4 (4). ⇔. Ta lại có. 2. ( x 3 −2 y ) + √ ( x−2 y )2+4≥2. Do đó (4). ⇔ x 3− 2 y = 0 x −2 y =0 ¿ ¿ {¿ ¿ ¿. Thử lại ta thấy chỉ có Bài 13.. ⇔ x =0 y =0 ¿ ¿ {¿ ¿ ¿. x =1 1 y= 2 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿. hoặc. x=1 1 y= 2 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿. hoặc. x =−1 1 y=− 2 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿. là nghiệm của hpt.0,5. Giải hệ phương trình: Hướng dẫn giải 3. 2. 3. 2. Đặt f (t ) = 2t + 9t +12t ; g (t ) = t + 3t + 4t +15. ïìï f ( x ) = g ( y ) 2 x3 9 x 2 12 x y 3 3 y 2 4 y 15 ïï 3 2 3 2 í f ( y ) = g ( x ) . 2 y 9 y 12 y z 3 z 4 z 15 ïï 3 2 3 2 ï f ( z ) = g ( x) 2 z 9 z 12 z x 3x 4 x 15 Hệ trở thành: ïî Ta có. g t 3t 2 6t 4 0. với mọi t nên hàm g đồng biến.. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(44)</span> g x g y g x f x x y . g x g z f z g z x max x, y , z x z Giả sử thì hay suy ra 2 x 1 x 7 x 15 0 x 3 3 x 2 4 x 15 2 x 3 9 x 2 12 x * . 3 2 3 2 2 2 z 9 z 12 z z 3 z 4 z 15 z 1 z 7 z 15 0 Hay 2 2 Do x 7 x 15 0 x, z 7 z 15 0 z nên từ (*)ta có x 1 z.. x max x, y, z. nên x z 1 .Thế vào hệ phương trình ban đầu ta Lại theo giả sử ở trên, được y 1. Thử lại thấy x y z 1 là nghiệm. Kết luận:Hệ đã cho có nghiệm duy nhất x y z 1.. Bài 14.. 3 x 2 cos y cos z 3 y 2 cos z cos x Giải hệ phương trình : 3z 2 cos x cos y. (Chưa giải). 2. Có tham số Bài 1.. x 3 y 3 3 y 2 3x 2 0 (4) 2 x 3 1 x 2 2 2 y y 2 m 0 (5) Tìm m để hpt sau có nghiệm thực: . Hướng dẫn giải 1 x 1 Điều kiện: 0 y 2 . 3. Phương trình (4). x3 3x y 1 3 y 1. .. t 1;1 Xét hàm số f (t ) t 3t , với . 3. f '(t ) 3t 2 3 0, t 1;1. .. f(t) là hàm số nghịch biến trên 1;1 (vì nó liên tục trên đoạn này). Suy ra: x y 1 . 2 2 Thay vào phương trình (5) ta được: x 1 x m 0 . 2 2 u 0;1 Đặt u 1 x , . Ta có phương trình: g(u) = u u 1 m. min g (u ) 0;1. 5 ; max g (u ) 1 4 0;1 .. Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. . 5 m 1 4 .. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(45)</span> x 2 y 2 4 2 m Bài 2. Tìm để hpt có nghiệm x y m x m 2 2 2 x y 4 y x m 2 y x m 2 x y m x x (m 4) 0 x 2 x (m 4) 0 . Do đó hệ có nghiệm khi chỉ khi phương trình:f(x) = x2 + x – (m + 4) = 0 có nghiệm trong [m;+) (*) x. f(x) = 0 có = 4m + 17 nên f(x) = 0 có nghiệm Do đó: (*). m. 1 4m 17 -17 khi m 2 4 .. 1 4m 17 2m 1 4m 17 2. 1 2m 1 0 17 1 17 m> m hay m 2 2 2 4 2 4 4m 17 (2m 1) 2 m 2 . Một số cách giải khác: 2 x 2 y 2 4 y x m (I) 2 x y 2 m x x (m 4) 0(*) Cách 2:. Hệ (I) có nghiệm x2 + x – (m + 4) = 0 có nghiệm trên [-2;2]. Dựa vào đồ thị parabol (P) y = x2 + x – 4 trên [-2;2], và đường thẳng y = m suy ra kết quả. Cách 3: Giải theo tam thức bậc hai..... Bài 3.. x 1 y 1 a Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm x y 2a 1 .. Hướng dẫn giải Điều kiện x 1; y 1 . x 1 y 1 a 2 x 1 y 1 Hệ phương trình tương đương x 1 y 1 a 1 2 x 1 y 1 a 2a 1 2. . . . 2. 2a 1. .. Do đó x 1 và. y 1 là nghiệm của phương trình. 1 T 2 aT a 2 2a 1 0 (*) 2. Để hệ trên có nghiệm khi phương trình (*) có 2 nghiệm không âm. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(46)</span> 2 2 a 2 a 2a 1 0 0 S 0 a 0 1 2 a 2 6 P 0 1 a 2 2a 1 0 2 . u x 1 0 x u 2 1 2 Đặt v y 1 0 y v 1. Bài 4.. 2 x y 1 m Tìm m để hệ: 2 y x 1 m. có nghiệm. Hướng dẫn giải. u x 1 0 x u 2 1 2 +) Đặt v y 1 0 y v 1 2 2u v 2 m (**) 2 2v u 2 m +) Đưa về hệ:. +) Điều kiện để hệ (**) có nghiệm m 2 Ta xét m 2 hệ có nghiệm hay ko u v 0 (I ) 2 2 u v 2 m 2u 2v 1 0 ( II ) 2u 2 v 2 0 Biến đổi hệ (**) trở thành: P. 2 m 0 2 với m 2 PT luôn có nghiệm. +) Xét hệ (I): u=v ta được 2v2+v+2-m=0 có v0 0 hệ có nghiệm u=v=v suy ra hệ ban đầu có x=y=v 2+1 0 o +) Xét hệ (II): ……….. a x a 2 x 2 2 1 0 a Tìm tham số để hệ sau có nghiệm: x a 0 .. . Bài 5.. . Lời giải 2. . . a x a x 2 2 1 0 x a 0 . 2. x a ax 2 2a x a 2 1 0 x a 0. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(47)</span> 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 x a 2 x a a x x a a x a a x a 0 x a 0 2 Do (2)nên x a và a là hai số dương,áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 4 số dương ta. được: 1 1 1 1 4 4 2 2 x a x a a 2 2 2 4 x a a. Do. đó. (1)chỉ. đúng. khi. dấu. 3 đẳng. thức. xảy. ra. tại. (3)tức. là:. 3 2 x 1 1 2 x a a 2 2 x a a a 2 2 a. 2 3 2 x 2 và nghiệm của hệ là: 2. Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để cho hệ phương trình sau có nghiệm: x 2 xy y 2 m 2 2 2 y yz z m ( x, y, z ). xy yz zx m3 . Hướng dẫn giải y 3 3 1 X x ; Y y; Z ( y z ); T ( z y ). 2 2 2 2 + Đặt: 3 ( xy yz zx) XZ YT 2 2 2 2 2 2 2 2 x xy y X Y y yz z Z T Ta đ ược: ; ; 2 . X 2 Y 2 m 2 2 2 Z T m XZ YT 3 m3 2 Do đó ta có hệ . 2 2 2 2 2 2 + Chú ý: ( X Y )( Z T ) ( XZ YT ) ( XT YZ ) . Do đó:Hệ đã cho có nghiệm thì: 2. 3 3 4 4 m.m m m3 ( m3 ) 0 0 m3 3 3 2 2. Suy ra:. m 3. 4 3.. (1) XT YZ 3 3 XZ YT m (2) 2 4 2 2 2 m 3 (3) 3 .Ta có hệ: Z T m + Xét. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(48)</span> 3 u m X uZ , Y uT 2 . Từ (1)có thể đặt ,thay vào (2)và (3)ta có: 3 2m 3 X mZ x 2m y 2 3 m2 hay z y Y mT 2 m Z 2 T 2 m2 2 m2 4 y m 3 3m 2 4m 4 3. Do đó ta có hệ:. với. .. 4 m 3 . 3 + Từ đó:Đáp số của bài toán là p xi 4 i 1 p 1 x1 4 i 1 x 0, i 1, p i * Bài 7. a/ Tìm p sao cho hệ có nghiệm.. b/ Với p tìm được ở câu a/, hãy xác định tập hợp tất cả các giá trị của tổng: p. ai 2 i 1 1 ai với ai > 0 và. p. 2 i. a i 1. 1. . Hướng dẫn giải. Câu a p p 1 16 xi . i 1 i 1 xi Do:. 2 p p 4 .. p 4 : Khi đó: xi 1, i 1, 4 .Vậy hệ có nghiệm. x2 x3 3 x1 1 p 3 : x2 .x3 1. Chọn. có nghiệm.Nên ( x1 , x2 , x3 ) là nghiệm của hệ.. và. x1 x2 4 p 2 : x1.x2 1 có nghiệm.Nên ( x1 , x2 ) là nghiệm của hệ. p 1: Vô nghiệm.. Vậy hệ có nghiệm khi p 2; p 3; p 4. Câu b p. Ta có:. f (a1 , a2 ,..., a p ) i 1. Xét hàm: Do đó:. ai2 ai (1 a12 ) .. g ( x ) x (1 x 2 ), 0 x 1; g '( x ) 0 x . f (a1 , a2 ,..., a p ) . 1 2 . max g ( x) 3 Ta có: (0;1) 3 3.. 3 3 p 2 3 3 p 1 hay p = 3. ai 2 . 2 i 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi: 3. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(49)</span> p 2 : f ( a1 , a2 ) a1 a2 . a1 a2 1 2 2 2 2 2 a2 a1 a1.a2. vì. a12 a22 1. .Dấu đẳng thức xảy ra khi. 2 1. 1 a a 1 f (a1 , a2 ) 1 2 1 a1 a12 2,. liên tục trên (0;1).Khi a1 0 thì f (a1 , a2 ) .Vậy. . p 2 ,tập giá trị là: 2 2; . 1 p 3: Chọn 2 .Thỏa giả thiết: 1 2x x x a12 a22 a32 1 2 x x x 1. f ( a1 , a2 , a3 ) g ( x) 2x 1 x 1 x liên tục trên 3 3 1 3 3 ; g , lim g(x)=+ 2 x 0 2 . 3 .Vậy tập giá trị là: a1 1 2 x ; a 2 x ; a 3 x , 0<x<. p 4 : f ( a1 , a2 ,..., a p ) 2 1. 2 2. 2 3. 3 3 . 2. Chọn a1 1 2 x ; a 2 x ; a 3 x , a 4 x thỏa giả thiết:. 2 4. a a a a 1 3x x x x 1. f (a1 , a2 , a3 , a4 ) lim g ( x) 1 x 3. Bài 8.. 1 (0; ) 2 ;. với. 1 2x x x x g ( x) 2x 1 x 1 x 1 x. 3 3 ; lim g ( x) x 0 2. 0x. liên. 1 3. tục. ; trên. 1 (0; ) 3. ;. 3 3 ; 2 . .Tập giá trị là: . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ sau có nghiệm thực: 2 4 x2 x 5 ( x 2)2 x 4 8 x 2 16mx 32m 16 0 . Bài 9.. (Chưa giải) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 3 x m y 2 1 1 1 m 2 x y 2 y y 1 .. (Chưa giải) Bài 10.. (THPT Quảng Xương 2 – Thanh Hóa, 2009-2010) Tìm các giá trị của m để hệ. phương trình sau có nghiệm x; y sao cho x 0, y 0. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(50)</span> 1 x y 1 5 xy x 2 y 2 1 1 2m 1 x2 y 2 . 1 1 u x ; v y x y hệ trở thành Đặt. Hướng dẫn giải u v 5 2 2 u v 2m 3. Từ hệ suy ra uv m 11 khi đó u , v là nghiệm của phương trình: X 2 5 X – m 11 0 *. .. Do x 0, y 0 nên u 2, v 2 . Bài toán trở thành tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2 . t 2 t m 5 0 ** Đặt t X 2 phương trình (*) trở thành: .. Để pt (*) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2 ↔ pt (**) có hai nghiệm không âm 19 m 5 Giải được: 4 .. Bài 11.. Tìm giá trị của tham số a để hệ phương trình sau có đúng 1 nghiệm: x 2 3 y a 2 2 y 5 x x 5 3 a. Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677. Fanpage:
<span class='text_page_counter'>(51)</span>
