De thi HSG cap truong toan 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 ( GỬI PHÒNG ) : 2012-2013 15 x  11 3 x  2 2 x  3    x 0, x 1 x 3 Bài 1: ( 5 điểm ) Cho biểu thức x  2 x  3 1  x. a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để. A. 1 2 A. 2 3. c) Chứng minh rằng d) Tìm giá trị lớn nhất của A 222 555 Bài 2 ( 2 điểm ) : Chứng minh rằng : 5  2 chia hết cho 7 a b c a  b  c x  y  x    0 2 2 2 x y z Bài 3 ( 3 điểm) : Cho . Chứng minh rằng : ax  by  cz 0. Bài 4 ( 2 điểm) : Cho a,b,c,d > 0 và a.b.c.d = 1 . a 2  b 2  c 2  d 2  a b  c  b c  d  d c  a 10.       Chứng minh rằng : Bài 5. (8,0 điểm) Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R). C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K. a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O;R). c) Chứng minh K là trung điểm của CH. d) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R. --------------HẾT ----------.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐÁP ÁN : Nội dung. Điểm. Bài 1 : a) A  . 15 x  11 3 x  2 2 x  3   x  2 x  3 1 x x 3. 15 x  11 3 x  2 2 x  3   x2 x  3 x1 x 3. . . 0.5.    . 15 x  11  3 x  2 x 3  2 x 3  x1 x 3. . . . . . x1. 0.5. 7 x  5x  2. . . x1. x 3. 0.5. . 0.5. 2 5 x x 3. b) Để. A. 1 2. 0.5. 2 5 x 1   2 2 5 x  x 3 x 3 2 1  4  10 x  x  3  x  11 1  x 121. . . A. c) Xét. . 0.25 0.25 0.25 0.25. 2  2 5 x  2 x 3 3 3. 0.25. 2  5 x 2  17 x  1   x 3 3 3 x 3. . . 3 Ta có :  17 x  1  0 ( vì x 0) và  17 x  1. Nên. 3. . b )A . x 3. . Vậy. A. . x 3  0. ( vì x 0). 0.25 0.25. 2 3. 0.25. 2 5 x x 3. . d). . 0. . 17  5 x  3  x 3 17  5  . x 3. . 0.25 0.25 17 x  3 đạt giá trị lớn nhất, nên. x  3 đạt GTNN suy ra x = 0. A đạt GTLN khi Bài 2 : 555 2(mod 7)  555222  2222(mod 7 ) (1) 23 1(mod7)  (23)74 1(mod7)  555222 1(mod7) (2). 0.25 0.5 0.5.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 222 -2(mod7)  222555 (-2)222(mod7) Lại có (-2)3 -1(mod7)  [(-2)3]185 -1(mod7)  222555  -1(mod7) (3) Từ (1), (2) và (3) Suy ra 555222+222555 1-1(mod 7)  555222+222555 chia hết cho 7. 0.5 0.5. Bài 3 Ta có x + y+ z = 0  x2 = (y+z)2 ; y2 =(x+z)2; z2 = (y+x)2  ax2 +by2 +cz2 = a(y+z)2 +b(x+z)2+c(y+x)2 =(b+c)x2 +(a+c)y2+(a+b)z2 +2(ayz+bxz+cyz) (1) Từ a+b+c = 0  -a=b + c ; -b = a + c; -c = a + b( 2). 0.5 0.5 0.5 0.5. a b c ayz+bxz+cxy   0 0 xyz   ayz+bxz+cxy = 0(3) Từ x y z 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Thay (2); (3) vào (1) ta được : ax +by +cz =-(ax +by +cz )  ax +by +cz = 0 ( Hai số đối nhau mà bằng nhau chỉ có số 0) Bài 4. 0.25 0.25. 2 2 2 2 Ta có : a  b 2ab; c  d 2cd. Do abcd = 1 nên. cd . 1 ab. 1   a  b  c  d 2  ab  cd  2  ab   4 (1) ab   Ta có a  b  c   b  c  d   d  c  a   ab  cd    ac  bd    bc  ad  2. Mặt khác :. 2. 2. 0.5 0.5. 0.5. 2. 1   1   1    ab     ac     bc   2  2  2 ab   ac   bc    a 2  b 2  c 2  d 2  a  b  c   b  c  d   d  c  a  10. 0.25 0.5 0.25. M C. I K A. O. H. B. 1) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn. (2 điểm) Chứng minh OI  AC. Suy ra  OIC vuông tại I suy ra I thuộc đường tròn đường kính OC. CH  AB (gt)  CHO vuông tại H  H thuộc đường tròn đường kính OC. Suy ra I, H cùng thuộc đường tròn đường kính OC. hay C, I, O, H cùng thuộc một đường tròn. 2) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R). (2 điểm)   - Chứng minh AOM COM .. 0.75 0.25 0.75 0.25. 0.75.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> - Chứng minh  AOM =  COM - Chứng minh MC  CO  MC là tiếp tuyến của (O; R). 3) Chứng minh K là trung điểm của CH. ( 2 điểm) KH HB AM.HB AM.HB   KH   AB 2R  MAB có KH//MA (cùng  AB)  AM AB (1)   Chứng minh cho CB // MO  AOM CBH (đồng vị). MA AO AM.HB AM.HB   CH   AO R C/m  MAO đồng dạng với  CHB  CH HB (2)   Từ (1) và (2) suy ra CH = 2 KH CK = KH K là trung điểm của CH. 4) Xác định vị trí của C để chu vi  ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó. Chu vi tam giác ACB là PACB AB  AC  CB 2R  AC  CB. 0.75 0.25 0.25 1. 0.75 0.25 0.5. Ta lại có 2  AC  CB  0  AC 2  CB 2 2AC.CB  2AC 2  2CB 2 AC 2  CB 2  2AC.CB. . 2. . . . 2 AC 2  CB 2  AC  CB   AC  CB  2 AC 2  CB 2  AC  CB  2AB 2 go). (Pita 0.75. AC  CB  2.4R 2  AC  CB 2R 2 . Đẳng thức xảy ra khi AC = CB  M là điểm chính giữa cung AB. Suy ra AB. . PACB 2R  2R 2 2R 1  2. Vậy max. . PACB 2R 1  2.  , dấu "=" xảy ra khi M là điểm chính giữa cung.  đạt được khi M là điểm chính giữa cung AB.. 0.25 0.25 0.25.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>