Ứng dụng của định giá trị trung bình trong một số bài toán về giới hạn của dãy số

TẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 18/2017

31

ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH
TRONG MỘT SỐ B I TỐN VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Nguyễn Văn Hào1, Nguyễn Thị Thanh Hà2, Vũ Thị Ngọc Diệu1
1
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
2
Trường Đại học Cơng nghiệp Việt Trì

Tóm tắt
tắt:
ắt Trong bài báo này, chúng tơi trình bày một số phương pháp xây dựng các bài
toán về giới hạn của hàm số từ định lý giá trị trung bình bằng kỹ thuật tạo dựng các hàm phụ.
Từ khóa:
khóa Định lý giá trị trung bình, giới hạn của dãy số, hàm số liên tục, hàm số khả vi.
Nhận bài ngày 10.7.2017; gửi phản biện, chỉnh sửa và duyệt ñăng ngày 10.9.2017
Liê nhệ tá cgiả :Nguyeች nVă nHà o;Email:

1. MỞ ĐẦU
Các ñịnh lý cơ bản về đạo hàm đóng vai trị quan trọng trong Toán học, cũng như
nhiều lĩnh vực khoa học khác. Điều đó, người ta có thể kể đến một số vấn đề như: bài tốn
tồn tại nghiệm của các phương trình đại số, ước lượng khoảng chứa nghiệm của các
phương trình và tốn tử trong việc giải gần đúng của lý thuyết số, bài tốn tìm cực trị của
hàm số… Khởi nguồn của các định lý giá trị trung bình là Định lý Rolle ñược phát biểu
như sau:
Định lý 1 (Định lý Rolle): Giả sử hàm y = f (x ) liên tục trên ñoạn [a , b ] , khả vi
trên khoảng (a , b ) và thỏa mãn ñiều kiện f (a ) = f (b ) . Khi đó, tồn tại ít nhất một số

c ∈ (a , b ) sao cho f ′(c) = 0 .
Theo một khía cạnh, nhìn lại cách chứng minh của định lý Lagrange và ñịnh lý
Cauchy, chúng ta thấy hai ñịnh lý đó là hệ quả của định lý Rolle nhờ việc thiết lập hai hàm
phụ cũng thỏa mãn các giả thiết của ñịnh Rolle tương ứng là:

ϕ(x ) = f (x ) − f (a ) −
Và:

ϕ(x ) = f (x ) − f (a ) −

f (b) − f (a )
(x − a )
b −a

f (b) − f (a )
(g(x ) − g(a)) .
g(b) − g(a )


TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H

32

NỘI

Từ việc thiết lập các hàm phụ đó, ta nhận được hai định lý quan trọng sau:
Định lý 2 (Định lý Lagrange): Giả sử hàm số f (x ) hàm liên tục trên ñoạn [a , b ] và
khả vi trên khoảng (a , b ) . Khi đó tồn tại số c ∈ (a , b ) sao cho:

f ′(c) =

f (b) − f (a )
b −a

f (b) − f (a ) = f ′(c)(b − a )

Hay:

Định lý 3 (Định lý Cauchy): Giả sử các hàm số f (x ) và g (x ) liên tục trên ñoạn, khả
vi trên khoảng (a , b ) và ngoài ra g ′(x ) khác 0 với mọi giá trị của x thuộc khoảng (a , b ).
Khi đó, tồn tại điểm c ∈ (a , b ) sao cho:

f (b) − f (a ) f ′(x )
=
.
b −a
g ′(x )
Các kết quả này chúng tôi khơng trình bày cách chứng minh ở đây, chi tiết có thể thao
khảo trong tài liệu [1]. Một cách tổng quan, ta có thể nói rằng hai định lý Lagrange và ñịnh
lý Cauchynhận ñược từ việc kết hợp từ hàm f (x ) (mà ở đây chúng ta gọi nó là “hàm gốc”)
liên tục trên ñoạn [a , b ] và khả vi trên khoảng (a , b ) với những điều kiện phụ nào đó để được
những kết quả mới. Theo ý tưởng đó, chúng tơi sử dụng một số giới hạn cơ bản một số hàm sơ
cấp kết hợp với hàm gốc f (x ) để có được các bài toán mới về giới hạn của hàm số

2. MỘT SỐ CÁCH XÂY DỰNG BÀI TOÁN GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TỪ
CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠO HÀM
2.1. Các giới hạn cơ bản của hàm số một biến số
Để thuận lợi cho việc trình bày kết quả, chúng ta nhắc lại một số giới hạn cơ bản sau:

e α(n ) − 1

1. lim
= 1.
α(n )→ 0 α(n )

2.

α(n )

a 


3. lim 1 +
= ea .

α(n )→∞ 
α(n )


4.

tan α(n )
= 1.
α(n )→ 0 α(n )

5. lim

lim

α(n )→ 0

ln (1 + α(n ))
α(n )

sin α(n )
=1
α(n )→ 0 α(n )
lim

=1


TẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 18/2017

33

2.2. Xây dựng một số bài toán qua việc kết hợp hàm gốc với các giới hạn cơ bản
Trong phần này, chúng ta xây dựng một số bài toán về giới hạn của dãy số bằng cách
thiết lập những dãy hàm số thoả mãn các giả thiết của định lý Rolle.
Bài tốn 1. Cho hàm số f (x ) khả vi trên ñoạn [a , b ] . Giả sử rằng f (a ) = f (b ) = 0
∞

{ }n =1 trong khoảng

và f (x ) ≠ 0 với mọi x ∈ (a , b ) . Chứng minh rằng tồn tại dãy x n

(a , b ) sao cho:

f ′(x n )

lim

n →∞ (n e

= 2017 .

− 1)f (x n )

Để chứng minh bài toán này, chúng ta xét hàm số:

H n (x ) = e

−

2017 x
n

f (x ); x ∈ (a, b) .

Đạo hàm của H n (x ) là:

2017 −
H n ′ (x ) = −
e
n

=e

−

2017 x

n

2017 x
n

f (x ) + e

−

2017 x
n

f ′(x )



 f ′(x ) − 2017 f (x ) .


n


Từ giả thiết f (x ) khả vi trên ñoạn [a , b ] và f (a ) = f (b ) = 0 , chúng ta suy ra

H n (x ) thỏa mãn các ñiều kiện của định lý Rolle. Do đó, tồn tại dãy {x n } ⊂ (a, b ) sao
cho

H n ′ (x n ) = 0 . Từ đó, ta có:
f ′(x n )
f (x n )

=

2017
.
n

Sử dụng giới hạn cơ bản 1 trong mục 2.1, chúng ta thu ñược:

lim

n →∞ (n e

f ′(x n )
− 1)f (x n )

= lim

2017

n →∞ (n e

− 1)n

= lim

2017

n →∞ n e

−1
1
n

= 2017 .


TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H

34

Giữ nguyên hàm H n (x ) = e

−

2017 x
n

NỘI

f (x ) và sử dụng các giới hạn cơ bản khác, chúng

ta nhận ñược các bài toán sau:
Bài toán 2. Cho hàm f (x ) khả vi trên [a , b ] và thỏa mãn ñiều kiện

f (a ) = f (b ) = 0 . Chứng minh rằng, nếu f (x ) khơng đồng nhất bằng 0 trên khoảng
(a , b ) thì tồn tại một dãy {x n } trong khoảng (a , b ) sao cho:
n

f ′(x n )


 = e 2017 .
lim 1 +
n →∞ 
f (x n ) 


Bài toán 3. Cho hàm f (x ) khả vi trên [a , b ] và f (a ) = f (b ) = 0 . Chứng minh

{ } trong

rằng nếu f (x ) khơng đồng nhất bằng 0 trên khoảng (a , b ) thì tồn tại một dãy x n
khoảng (a , b ) sao cho:



f ′(x n )
 = 2017 .
lim n ln 1 +

n →∞

(
)
f
x


n



Bài toán 4. Cho hàm f (x ) khả vi trên [a , b ] và f (a ) = f (b ) = 0 . Chứng minh

{ } trong

rằng nếu f (x ) khơng đồng nhất bằng 0 trên khoảng (a , b ) thì tồn tại một dãy x n
khoảng (a , b ) sao cho:


f ′(x n ) 

lim n sin
= 2017 .
n →∞ 
f (x n ) 

Bài toán 5. Cho hàm f (x ) khả vi trên [a , b ] và f (a ) = f (b ) = 0 . Chứng minh

{ } trong

rằng nếu f (x ) khơng đồng nhất bằng 0 trên khoảng (a , b ) thì tồn tại một dãy x n
khoảng (a , b ) sao cho:


f ′(x n ) 
lim n tan
 = 2017 .
n →∞
f
(

x
)
n 

2.3. Một số hàm khác
Ngoài hàm H n (x ) được xét trong bài tốn mở đầu, ta có thể lập các hàm khác.
Tương ứng với mỗi hàm cùng giới hạn cơ bản, ta ñược các bài toán mới như sau:


TẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 18/2017

35

2.3.1. Xét hàm

Dn1 (x )

=e

−

xα
n

f (x ).

Hàm này có đạo hàm là:
xα

xα

−
αx α −1 − n
Dn1 (x ) = −
e
f (x ) + e n f ′(x )
n

′

(

)

=e

−

xα
n



αx α −1
 f ′(x ) −
f (x ) .


n

Khi hàm Dn1 (x ) thoả mãn các ñiều kiện của ñịnh lý Rolle nhận ñược từ giả thiết của

)′ = 0 . Điều đó, tương đương với:

(

hàm gốc cho ta khẳng ñịnh Dn1 (x n )

f ′(x n )
x n α −1 f (x n )

=

α
.
n

Từ đó, chúng ta có bài tốn:
Bài tốn 7. Cho hàm f (x ) khả vi trên ñoạn [a , b ] và giá trị của hàm tại hai ñầu mút
ñều bằng 0. Chứng minh rằng nếu f (x ) khơng đồng nhất bằng 0 trên khoảng (a , b ) thì

{ } trong khoảng (a , b ) thỏa mãn:

tồn tại một dãy x n
1. lim

n →∞ (n e

f ′(x n )
− 1)x n

α −1

= α;
f (x n )

n

f ′(x n ) 

α
2. lim 1 +
 = e ;
α−1
n →∞ 

x n f (x n )



f ′(xn ) 


3. lim n ln 1 +
 = α ;
n →∞ 

x n α−1 f (x n )



TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H

36

NỘI


f ′(x n ) 

4. lim n sin
 = α ;
n →∞ 

x n α −1 f (x n )

f ′(x n ) 

5. lim n tan
 = α .
n →∞ 

x n α −1 f (x n )
2.3.2. Xét hàm

x
Dn2 (x ) = f (x ).cos .
n
Đạo hàm của hàm này là:

(H

)′ = f ′(x )cos nx − n1 f (x ) sin nx .

2
(x )
n

)′ = 0 cho ta:

(

Điều kiện Dn2 (x n )

f ′(x n )
f (x n )

=

x
1
tan n .
n
n

Từ đó, ta nhận được bài tốn:

 π
 

 và f (0) = f  π  = 0 . Khi đó, nếu
 4 
 4


 π
f (x ) khơng đồng nhất bằng 0 trên khoảng 0;  thì tồn tại một dãy {x n } trong khoảng
 4 
Bài toán 8. Cho hàm f (x ) khả vi trên  0;

đó sao cho:

lim

n →∞

n 2 f ′(xn )
xn f (xn )

= 1.

Tương tự như vậy, ñối với hàm:

 π
x
H n3 (x ) = f (x )cot ; với x ∈  0;  ,
 4
n



chúng ta nhận ñược:


TẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 18/2017

37

 π
 và f (0) =
 4



π
f   = 0 . Khi đó nếu
 4 
 π
f (x ) khơng đồng nhất bằng 0 trên khoảng đó thì tồn tại dãy {x n } ⊂ 0;  sao cho:
 4 
Bài toán 9. Cho hàm f (x ) khả vi trên  0;

lim

x n f ′(x n )
f (x n )

n →∞

= 1.

Kết thúc phần này chúng ta trình bày lời giải đầy ñủ của bài toán sau:
Bài toán 10. Cho hàmsố f (x ) khả vi trên [a , b ] và f (a ) = f (b ) = 0 . Giả sử f (x )

{ } ⊂ (a,b) sao cho:

không ñồng nhất bằng 0 trên (a , b ) . Chứng minh rằng tồn tại dãy x n

lim

x n f ′(x n )

n →∞

f (x n )

= −2017 .

Trong bài toán này, chúng ta xét hàm phụ:

Dn4 (x )


x 2017 

= f (x )ln 1 +
.

n 

Ta có:

x 2016

′
x 2017 
n .
Dn4 (x ) = f ′(x )ln 1 +
 + f (x )
2017
n 
x

1+
n

(

)

2017.

Từ các ñiều kiện của hàm f (x ) chúng ta thấy rằng hàm Dn4 (x ) thỏa mãn ñiều kiện
∞

{ }n =1 ⊂ (a,b) sao cho:

của ñịnh lý Rolle trên ñoạn [a , b ] . Từ đó, suy ra tồn tại dãy x n

(D (x ))′ = 0 , tức là:
4

n

n

2017 2016
xn
n
=−
.
2017  
2017 

f (x n )
x
x
 


n
 ln 1 + n

1 +
n  
n 


f ′(x n )


TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐƠ H

38

NỘI

Do đó:





2017 2017


x


n
x n f ′(x n )
n

lim
= lim −
2017 
2017  

n →∞ f (x )
n →∞  
x
 

 
n
 1 + x n
 ln 1 + n

 
n  
n  
 





2017


x

n



2017
n
 = −2017 .
= lim −
⋅
2017 
2017  


n →∞  
x

 

 1 + x n
 ln 1 + n

 

n 
n  
 


3. KẾT LUẬN
Bằng việc sử dụng những tính chất đặc trưng của hàm sơ cấp và kỹ thuật tạo dựng hàm
phụ, chúng ta cũng thấy ñược một phương pháp vận dụng kết hợp giữa giới hạn cơ bản với
định lý giá trị trung bình để có được một lớp các bài tốn giới hạn về dãy số khá ñặc sắc.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.
2.
3.
4.
5.

Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hồng Quốc Tồn (2008), Giáo trình giải tích tập 2, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội.
P. Ahern, M. Flores and W. Rudin (1993), “An invariant volume-mean value property”, J.

Funct. Anal. 111, pp.380-397.
W. A. Granville (2008), Elements of the Differential and Integral Calculus (revised edition).
W. J. Kaczor, M. T. Nowak (2001), Problems in Mathematical Analysis II:Continuity and
Differentiation, Student mathematical library, Volume 12, pp.45-52.
K. Ramachandra (1995), Lectures on the Mean-Value and Omega-Theorems for the Riemann
Zeta-Function, Springer-Verlag Berlin Heidelberg - New York-Tokyo.

APPLICATION OF MEAN VALUE THEOREM
IN PROBLEMS OF SEQUENCE LIMIT
Abstract:
Abstract In this paper, we presented some methods of construction of sequence limit
problems by mean - value theorems with technics of creation aid functions.
Keywords:
Keywords volume-mean value theorem, sequence limit, continiuos function, differential
function.