Tài liệu Tiểu luận "Đường đi trong mê cung và ứng dụng" docx

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (367.71 KB, 26 trang )

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
------
TIỂU LUẬN
ĐƯỜNG ĐI TRONG MÊ CUNG
VÀ ỨNG DỤNG
Giáo viên hướng dẫn: PGS.TSKH.Trần Quốc Chiến
Học viên thực hiện: 1.Lê Châu Vân
( nhóm 1) 2.Đào Quang Hòa
3.Mai Xuân Kiên
4.Phạm Bình Nguyên
5.Lê Thị Bích Huy
Lớp: Phương pháp Toán Sơ Cấp
Khoá: 2009 - 2011
Kon Tum, tháng 03 năm 2010.
Trang 1
MỤC LỤC
1_ Lời nói đầu……………………………………………................….....…. Trang 02
2_Các thành viên trong nhóm.......................................................................... Trang 04
3_Phần nội dung.............................................................................................. Trang 05
4_Chương I: Đại cương về đồ thị ………………………………....……… Trang 05
5_Chương II: Các bài toán tìm đường đi trong mê cung ………....……… Trang 08
6_Chương III: Các bài toán ứng dụng……………………………....………. Trang 17
7_Kết luận…………………………………………………………....…… .. Trang 24
8_Tài liệu tham khảo…………………………………………….....……….. Trang 25
Trang 2
LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết đồ thị là ngành học được phát triển từ lâu nhưng lại có nhiều ứng dụng
hiện đại. Những ý tưởng cơ bản của nó đã được nhà toán học Thụy sĩ vĩ đại Leonhard
Euler đưa ra từ thế kỷ 18.
Đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh đó. Đây là

công cụ hữu hiệu để mô hình hóa và giải quyết các bài toán trong nhiều lĩnh vực khoa học,
kỹ thuật, kinh tế, xã hội,...
Môn lý thuyết đồ thị là môn học hấp dẫn, mang tính thực tế cao. Những vấn đề
trong môn học như: các bài toán về đường đi, cây, mạng và các bài toán tô màu đã và đang
được nhiều người quan tâm, nghiên cứu. Trong những vấn đề đó thì bài toán tìm đường đi,
đặc biệt là bài toán tìm đường đi trong mê cung là một chủ đề khá thú vị, là chủ đề mang
tính chất của một trò chơi nhưng lại có nhiều ứng dụng trong cuộc sống,ví dụ về một mẫu
chuyện thần thoại Hi Lạp:
Ở đảo Crete có một quái vật đầu bò, mình người tên là Minotaus, chuyên ăn thịt
người và súc vật. Nhà vua sai kiến trúc sư nổi tiếng Daedalus xây dựng một cung điện lớn,
gồm rất nhiều hành lang và lối đi ngoắt ngéo mà bên trong khó có thể đi theo các hành lang
để ra ngoài được để nhốt Minotaus ở đó. Hằng năm các nước chư hầu phải đưa người đến
nộp cho quái vật ăn. Chàng dũng sĩ Theseus muốn tiêu diệt quái vật trừ họa cho muôn dân.
Trước khi vào cung điện, chàng được gặp công chúa Ariadne. Công chúa đem lòng yêu
Theseus nên đã tìm đến Daedalus hỏi kế giúp chàng khỏi lạc đường trong cung điện. Theo
lời Daedalus, Ariadne đưa cho Theseus một cuộn chỉ. Nhờ vậy mà sau khi giết được
Minotaur, Theseus đã ra khỏi cung điện mà không lạc đường.
Trong thực tế, vẫn có nhiều mê cung còn tồn tại đến ngày hôm nay: chẳng hạn như
mê cung bằng cây xanh ở Mỹ , do các hội viên giáo hội Tin Lành gốc Đức ở thành phố
Garomonkia tạo ra; hoặc là mê cung trên đồng tiền đào được ở đảo Colito( Hy Lạp)…
Trang 3
Mê cung Davis’ Mega (Mỹ)
Mê cung, gắn với những câu chuyện thần thoại hay thực tế đã hấp dẫn rất nhiều
nhà toán học.Ngày nay, mê cung được phổ biến thông qua hình thức toán học “ giải trí”_ là
loại mê cung vẽ trên giấy để bạn đọc tự tìm lối ra, để độc giả từ một trò chơi mà mở mang
trí lực.
Qua đó, nhóm chúng em thấy việc nghiên cứu bài toán tìm đường đi trong mê cung
là hết sức cần thiết vì nó có thể giải quyết được nhiều vấn đề khó khăn, phức tạp nảy sinh
từ thực tế cuộc sống.
Vì lí do đó, và theo sự phân công của thầy PGS.TSKH.Trần Quốc Chiến, nhóm em

( nhóm 1) chọn đề tài: '' Đường đi trong mê cung và ứng dụng '' để viết bài tiểu luận này.
Các thành viên trong nhóm
STT Họ tên học viên Công việc (Theo mục ) Ghi chú Nhận xét của Giáo Viên
1 Lê Thị Bích Huy Lời mở đầu
Trang 4
Danh sách nhóm
Chương I
2 Lê Châu Vân Chương I
Chương II
3 Đào Quang Hoà Chương II
Chương III
4 Phạm Bình Nguyên Chương II
Chương III
5 Mai Xuân Kiên Chương III
Kết luận
Tài liệu tham khảo

PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG I. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ.
Trang 5
I. Các khái niệm cơ bản.
1. Đồ thị vô hướng.
a. Định nghĩa: Đồ thị vô hướng G = (V, E) gồm một tập V các đỉnh và tập E các
cạnh. Mỗi cạnh e E được liên kết với một cặp đỉnh v, w (không kể thứ tự).
b. Ví dụ:
Hình 1 Hình 2
H1: Đồ thị có 4 đỉnh, 7 cạnh H2: Đồ thị có 10 đỉnh, 10 cạnh
2. Đồ thị có hướng.
a. Định nghĩa: Đồ thị có hướng G = (V , E) gồm một tập V các đỉnh và tập E các
cạnh có hướng gọi là cung . Mỗi cung e E được liên kết với một cặp đỉnh (v, w)

có thứ tự.
b. Ví dụ:
H3: Đồ thị có 6 đỉnh, 8 cung
Trang 6
v e w
v e w
* Ghi chú: Đồ thị vô hướng có thể coi là đồ thị có hướng trong đó mỗi cạnh
e=(v,w) tương ứng với hai cung (v,w) và (w,v)
* Cho đồ thị G = ( V,E ). Nếu cạnh e liên kết các đỉnh v, w thì ta nói cạnh e liên
thuộc đỉnh v,w và ngược lại.
3. Mê cung.
a Định nghĩa: Mê cung là một hệ thống gồm nhiều hành lang nối với nhau. Bài
toán tìm đường đi trong mê cung là đứng từ vị trí s ( bên trong mê cung hoặc cửa vào ) tìm
đường đi đến vị trí e ( cửa ra hoặc bên trong mê cung).
Nếu biểu diễn mê cung bằng đồ thị, trong đó các hành lang là các cạnh, còn các giao điểm
của chúng là các đỉnh thì ta có bài toán tìm đường đi trong đồ thị. Lưu ý rằng ta không biết
trước sơ đồ của mê cung.
b Ví dụ:

Bài toán đặt ra là: Hãy vào bằng cửa A và tìm đường ra ở cửa B?
II. Một số thuật toán tìm đường đi trong mê cung.
Cho đồ thị G = (V,E) và đỉnh s,e
∈
V. Tìm đường đi từ s đến e
a. Thuật toán Wiener.
Xuất phát từ đỉnh s đi theo cạnh đồ thị theo nguyên tắc sau:
- Tại mỗi đỉnh chọn cạnh chưa đi qua trước đó .
Trang 7
B
A

- Nếu tại đỉnh nào đó mọi cạnh liên thuộc nó đã đi qua thì quay ngược lại
cho đến khi gặp đỉnh có cạnh chưa qua.
Bằng cánh này ta có thể đi qua tất cả các cạnh của đồ thị. Tuy nhiên để có
thể thực hiện thuật toán này ta cần phải nhớ thứ tự các cạnh đã đi qua.
b. Thuật toán Tarri.
Xuất phát từ đỉnh s đi theo cạnh của đồ thị theo các nguyên tắc sau:
- Đánh dấu hướng đã đi qua của cạnh.
- Với mỗi đỉnh bậc lớn hơn hoặc bằng 3 của đồ thị, cạnh dẫn đến nó lần
đầu tiên được đánh dấu đặc biệt.
- Tại mỗi đỉnh chọn cạnh chưa đi qua trước đó. Trường hợp các cạnh đã đi
qua thì chọn cạnh đi theo hướng ngược lại. Cạnh đánh dấu đặc biệt là
phương án cuối cùng nếu không còn cách nào khác.
Bằng cách này ta đi qua tất cả các cạnh của đồ thị. Như vậy nếu đồ thị liên thông thì
lúc nào đó ta sẽ đến đỉnh e.
* Qua hai thuật toán, ta thấy để thực hiện được thuật toán viener thì cần phải nhứ
thứ tự các cạnh đã đi qua, phải có phương tiện nhớ như "cuộn chỉ Ariadne" còn thuật toán
của Tarri thì chỉ cần đánh dấu nên hiệu quả hơn:
CHƯƠNG II. CÁC BÀI TOÁN TÌM ĐƯỜNG ĐI
TRONG MÊ CUNG.
Trang 8
A
B
- Bài toán 1: Cho mê cung như hình bên
Bài toán đặt ra là tìm đường đi từ vị trí A đến vị trí B?
Ta xây dựng đồ thị G từ mê cung trên bằng cách đặt các hành lang là các cạnh, các giao
điểm của chúng là các đỉnh.
Ta có G = (V, E), trong đó V = . Ta xây dựng đồ thị G:
Trang 9
Z
Y

X
A
B
Áp dụng thuật toán Wiener: Xuất phát từ A, ta cần đi đến B.
- Từ A ta có thể đi qua X hoặc Y. Giả sử ta rẽ phải qua X. Đây là ngõ cụt. Ta
buộc phải quay lại cho đến khi gặp đỉnh có cạnh chưa đi qua là A.
- Tại A, ta không thể đi qua X được nữa. Do vậy ta chỉ có thể sang trái qua
Y. Tại Y có 3 cạnh để đi. Giả sử từ Y ta đi tới Z. Đây là ngõ cụt. Theo
thuật toán Wiener phải quay lại Y. Từ Y ta đi đến B.
Vậy ta có thể đi từ A đến B theo đường: A→Y→B.
-Bài toán 2: Cho mê cung như hình bên
Bài toán đặt ra là: Hãy vào bằng cửa A và tìm
đường ra ở cửa B?
Tương tự như trên, ta xây dựng đồ thị G từ mê cung trên bằng cách đặt các hành lang là
các cạnh, các giao điểm của chúng là các đỉnh.
Ta có G = (V, E), trong đó V = . Ta xây dựng đồ thị G:
Áp dụng thuật toán Wiener: Xuất phát từ A, ta cần đi đến B.
Trang 10
X
3
X
2
X
1
X
4
X
7
X
6