Tài liệu Nguyên lý dirichlet docx

MỤC LỤC
Chương Nội Dung Trang
Vài nét về tiểu sử 1
Lời mở đầu 2
Chương I Đại cương về tổ hợp 4
Chương II Cơ sở lý thuyết nguyên lý Dirichlet
II.1. Nguyên lý Dirichlet (Nguyên lý chim bồ câu)
II.2. Nguyên lý Dirichlet tổng quát
II.3. Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu vô hạn phần tử
4
5
5
Chương III Bài tập ứng dụng
III.1 Ứng dụng trong lý thuyết tổ hợp
III.2. Ứng dụng trong số học
III.3. Ứng dụng trong hình hoc
III.3.1.Baì toán về điểm và đường thẳng
III.3.2. Bài toán về tô màu hình
III.3.3. Bài toán về diện tích
6
8
9
Kết luận
14
Tài liệu tham khảo
14
- 1 -
VÀI NÉT VỀ TIỂU SỬ
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13 tháng 2, 1805 – 5 tháng 5, 1859 )
là một nhà toán học người Đức được cho là người đưa ra định nghĩa hiện đại của hàm
số.

Gia đình ông xuất thân từ thị trấn Richelette ở Bỉ, do đó mà họ của ông là
"Lejeune Dirichlet" ("le jeune de Richelette", tiếng Pháp nghĩa là "chàng trai trẻ từ
Richelette") được đặt theo, và đó là nơi ông nội ông sống.
Dirichlet được sinh ra ở Düren, nơi cha ông là một đứng đầu một trạm bưu
điện. Ông được giáo dục ở Đức, và sau đó là Pháp, nơi ông học hỏi từ hầu hết các nhà
toán học nổi tiếng nhất thời đó. Ông cũng học từ Georg Ohm. Bài báo đầu tiên của
ông là về định lý Fermat bao gồm một phần của chứng minh cho trường hợp n = 5,
được hoàn thiện bởi Adrien-Marie Legendre, một trong những người referees.
Dirichlet cũng hoàn thiện chứng minh của ông trong cùng một thời gian; sau đó ông
đã đưa ra toàn bộ lời giải cho trường hợp n = 14.
Vào năm 1831, ông thành hôn với Rebecca Henriette Mendelssohn Bartholdy,
một cô gái thuộc gia đình danh giá đã chuyển đổi từ đạo Do Thái sang Thiên chúa
giáo; cô là cháu gái của triết gia Moses Mendelssohn, con gái của Abraham
Mendelssohn Bartholdy và là em của nhà soạn nhạc Felix Mendelssohn Bartholdy và
Fanny Mendelssohn.
Ferdinand Eisenstein, Leopold Kronecker, và Rudolf Lipschitz là học trò của
ông. Sau khi ông qua đời, các bài giảng của Dirichlet và các kết quả khác trong
ngành số học được sưu tập, biên khảo và xuất bản bởi đồng nghiệp và cũng là bạn
ông là nhà toán học Richard Dedekind dưới tựa đề Vorlesungen über Zahlentheorie
(Các bài giảng về số học).
- 2 -
LỜI MỞ ĐẦU
Nguyên lí Dirichlet - còn gọi là nguyên lí chim bồ câu (The Pigeonhole
Principle)-hoặc nguyên ý những cái lồng nhốt thỏ hoặc nguyên lí sắp xếp đồ vật vào
ngăn kéo (The Drawer Principle) - đưa ra một nguyên tắc về phân chia phần tử các
lớp.
Nguyên lí này được Dirichlet phát biểu đầu tiên năm 1834.
Nguyên lý Dirichlet là một công cụ rất hiệu quả dùng để chứng minh nhiều kết quả
sâu sắc của toán học. Nó đặc biệt có nhiều áp dụng trong lĩnh vực khác nhau của toán
học. Nguyên lý này trong nhiều trường hợp người ta dễ dàng chứng minh được sự tồn

tại mà không đưa ra được phương pháp tìm được vật cụ thể, nhưng trong thực tế
nhiều bài toán ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại là đủ rồi.
Nội dung của nguyên lí này hết sức đơn giản và dễ hiểu nhưng lại có tác dụng
rất lớn, có nhiều hiệu quả bất ngờ trong giải toán. Sử dụng nó, chúng ta có thể chứng
minh được nhiều kết quả sâu sắc của Toán học. Đôi khi có những bài toán người ta đã
dùng rất nhiều phương pháp khác nhau để giải mà vẫn chưa đi đến được kết quả,
nhưng nhờ nguyên lí Dirichlet mà bài toán trở nên dễ dàng giải quyết.
Nguyên lí Dirichlet có nhiều ứng dụng trong nhiều dạng bài tập của nhiều lĩnh
vực khác nhau trong Toán học, tuy nhiên trong phạm vi đề tài này, chúng em chỉ tập
trung khai thác “ứng dụng của nguyên lí Dirichlet trong các dạng bài tổ hợp , trong
số học và hình học.”
Các thành viên trong nhóm
STT Họ tên học viên Công việc (Theo mục ) Ghi chú Nhận xét của Giáo
Viên
1 Mai Xuân Kiên Chương II
Chương III
2 Phạm Bình
Nguyên
Chương I
Chương III
3 Lê Châu Vân Chương I
Chương II
4 Đào Quang Hoà Lời mỡ đầu
Chương III
5 Lê Thị Bích Huy Vài nét về tiểu sử
Kết luận
Tài liệu
- 3 -
CHƯƠNG I: ĐẠI CƯƠNG V Ề TÔ HỢP
Tổ hợp như là một lĩnh vực của toán học rời rạc, xuất hiện vào đầu thế kỷ 17.

Hiện nay lý thuyết tổ hợp được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Tổ hợp đụng
chạm đến nhiều vấn đề khác nhau của toán học, do đó khó có thể định nghĩa nó một
cách hình thức. Nói chung, lý thuyết tổ hợp gắn liền với việc nghiên cứu phân bố các
phần tử vào các tập hợp. Thông thường, các phần tử này là hữu hạn và việc phân bố
chúng phải thoả mãn những điều kiện nhất định nào đấy.
Trong nhiều trường hợp việc xác định sự tồn tại một cấu hình thoả mãn tính
chất nào đó cũng có ý nghĩa quan trọng về mặt lý thyết cũng nhực tế .Vì thế một bài
toán tổ hợp là bài toán tồn tại: Xét sự tồn tại các cấu hình tổ hợp thoã mãn tính chất
cho trước
Bài toán tồn tại nghiên cứa từ rất lâu và góp phần đáng kể thúc đẩy sự phát triển
của lý thuyết tổ hợp cũng như nhiều ngành toán học khác , các bài toán sau một phần
nào minh hoạ về điều đó
CHƯƠNG II: BÀI TOÁN NGUY ÊN LÝ DIRICHLET
-CƠ SỞ LÍ THUYẾT-
II.1. Nguyên lí Dirichlet – nguyên lí chim bồ câu
II.1.1. Phát biểu nguyên lí
• Nguyên lý Dirichlet :Nếu xếp nhiều hơn k đối tượng vào k cái hộp ( k
∈
N
*
) thì
tồn tại hộp chứa ít nhất 2 đối tượng.
Chứng minh
Sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng:
Giả sử không có hộp nào chứa ít nhất 2 đối tượng thì số đối tượng không lớn hơn k.
Điều này mâu thuẫn với giả thiết “ nhiều hơn k đối tượng “. Vậy nguyên lí đã được
chứng minh.
• Nguyên lí Dirichlet đối ngẫu. Cho tập hữu hạn S ≠ ∅ và S1, S2, …, Sn là các
tập con
của S sao cho | S1 | + | S2 | + … + | Sn | > k. | S |. Khi đó, tồn tại một phần tử

x
∈
S sao cho x là phần tử chung của k+ 1 tập Si ( i = 1, 2, … n).
- 4 -
II.2. Nguyên lý Drichlet tổng quát
Nếu xếp nhiều hơn m đối tượng vào n cái hộp ( n ,m
∈
N
*

) thì tồn tại hộp chứa
ít nhất đối tượng ( ┐x┌ là số nguyên nhỏ nhất ≥ x).
Chú thích: có tài liệu dùng 1 + [ ]với [x] là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc
bằng x.
Chứng minh
Sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng:
Giả sử không có hộp chứa ít nhất đối tượng thì số đối tượng không lớn hơn n.(
) = m. Điều này mâu thuẫn với giả thiết số đối tượng nhiều hơn m. Vậy nguyên lí đã
được chứng minh.
II.3. Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu vô hạn phần tử
*Tập phần tử là một khoảng trên đường thẳng
Trong mục này ta kí hiệu d(I) là độ dài của khoảng I
∈
R.
• Định lý 1. Cho A là một khoảng giới nội, A 1, A2, … , An là các khoảng sao
cho A
i
⊂
A (i = 1, 2, …, n) và d(A) < d(A1) + d(A2) + … + d(An). Khi đó ít nh ất có
hai khoảng trong số các khoảng trên có một điểm trong chung.

Chứng minh. Thật vậy, giả sử không có cặp nào trong những khoảng đã cho có
điểm trong chung.
Khi đó, d(A1
∪
A 2
∪
… An) = d(A1) + d(A2) + … + d(An) > d(A).
Mặt khác, từ Ai
⊂
A (i = 1, 2, …, n) suy ra d(A1
∪
A 2
∪
… An )≤ d(A). Các
bất đẳng thức trên mâu thuẫn với nhau. Vậy ít nhất có hai khoảng trong số các khoảng
trên có điểm trong chung.
*Tập phần tử là miền phẳng giới hạn bởi một đường cong phẳng khép kín
Trong mục này ta kí hiệu S(A) là diện tích miền A trong một mặt phẳng.
Định lý 4. Nếu A là một miền giới hạn bởi một đường cong phẳng khép kín, còn
A1, A2, … , An là các miền sao cho A
i

⊂
A (i = 1, 2, …, n) và S(A) < S(A1) + S(A2)
+ … + S(An), thì ít nhất có hai miền trong số các miền nói trên có điểm trong chung.
Chứng minh. Tương tự như chứng minh Định lí 1.
- 5 -