SKKN rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 trường THVS văn lộc

Rèn kỹ năng giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẬU LỘC

TRƯỜNG THCS VĂN LỘC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TỐN
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
CHO HỌC SINH LỚP 8 TRƯỜNG THCS VĂN LỘC.

Người thực hiện: Đinh Thị Lan
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Văn Lộc
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

HẬU LỘC, NĂM 2021
1


Rèn kỹ năng giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh

MỤC LỤC
STT
1
2
3
4
5
6

7
8
9
10
11
12
13

MỤC LỤC
1.Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1 . Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
2.3. Giaỉ pháp và tổ chức thực hiện
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
3. Kết luận ,kiến nghị
3.1 . Kết luận
3.2. Kiến nghị

TRANG
1
1
1
2
2
2

2
2;3
3-18
18;19
19
19;20
20

1. MỞ ĐẦU
1.1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trước sự phát triển mạnh mẽ nền kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông tin
như hiện nay, một xã hội thơng tin đang hình thành và phát triển trong thời kỳ
đổi mới như nước ta đã và đang đặt nền giáo dục và đào tạo trước những thời cơ,
2


Rèn kỹ năng giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh
thách thức mới. Để hòa nhập tiến độ phát triển đó thì giáo dục và đào tạo ln
đảm nhận vai trị hết sức quan trọng trong việc “đào tạo nhân lực, nâng cao
dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đã đề ra, đó là “đổi mới giáo
dục phổ thơng theo Nghị quyết số 40/2000/QH10 của Quốc hội”.
Việc học tốn khơng phải chỉ là học trong SGK, không chỉ làm những bài tập
do Thầy, Cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tịi vấn đề, tổng qt
hố vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích
Trong thực tế giảng dạy bộ mơn Tốn ở trường THCS việc làm cho học sinh
có kỹ năng giải các bài tốn về phân tích đa thức thành nhân tử và các bài tốn
liên quan là cơng việc rất quan trọng khơng thể thiếu được. Để làm được điều
này thì người thầy phải cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản về các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Hiểu được điều này, bằng những kinh nghiệm học và dạy tốn. Tơi

mạnh dạn lựa chọn đề tài “Rèn kỹ năng giải bài tốn phân tích đa thức thành
nhân tử cho học sinh ” với hy vọng nó sẽ giúp học sinh khơng bỡ ngỡ khi gặp
các dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử và giúp học sinh học tốt hơn,
hứng thú hơn với bộ mơn tốn nói chung và các bài tốn về phân tích đa thức
thành nhân tử nói riêng.
1.2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Giúp học sinh làm tốt các bài tốn về phân tích đa thức thành nhân tử từ dễ đến
khó. Chính vì vậy khi dạy các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử,
giáo viên cần bồi dưỡng thêm cho học sinh các phương pháp khác ngoài sách
giáo khoa như: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, thêm bớt cùng một hạng
tử, đặt ẩn phụ(đổi biến) hệ số bất định, xét giá trị riêng...Đặc biệt là đối với học
sinh khá giỏi, giúp các em biết lựa chọn các phương pháp thích hợp khi gặp các
dạng tốn khó. Mục tiêu cuối cùng là rèn kỹ năng giải bài tốn phân tích đa thức
thành nhân tử cho học sinh
1.3 .ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU :
Học sinh khối 8 trường THCS Văn Lộc
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu qua tài liệu :SGK,SGV,SBT tốn 8, tài liệu có liên quan.
Nghiên cứu qua bài tập thực hành giải của học sinh .
Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra
Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy , học tập của từng đối tượng học sinh .
2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
3


Rèn kỹ năng giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh
2.1 . CƠ sỞ lý luẬn CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử là một dạng toán rất quan trọng
của mơn đại số 8. Đây chính là nền tảng làm cơ sở để học sinh học tiếp các
chương sau này, nhất là khi học về rút gọn phân thức đại số, quy đồng mẫu thức

nhiều phân thức và việc giải phương trình...Tuy nhiên, vì lý do sư phạm và khả
năng nhận thức của học sinh đại trà mà chương trình chỉ đề cập đến bốn phương
pháp cơ bản của q trình phân tích đa thức thành nhân tử thơng qua các ví dụ
cụ thể, việc phân tích đó khơng quá phức tạp và không quá ba phần tử.
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài tốn phân tích đa thức
thành nhân tử một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực
hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kỹ năng
như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kỹ năng giải toán, kỹ năng
vận dụng bài toán , tùy theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải
cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học và các cách giải khác, để giúp
học sinh học tp tt b mụn.
:

2.2. THựC TRạNGVấN Đề NGHIÊN CứU TRC KHI P DNG
SNG KIN KINH NGHIM
Qua nhiều năm tụi c nhà trường phân cơng giảng dạy bộ mơn tốn
8,9. Từ thực tế giảng dạy và kết hợp kiểm tra, dự giờ đồng nghiệp tôi nhận thấy.
Khi gặp các dạng bài tập như: rút gọn phân thức, cộng trừ phân thức khơng cùng
mẫu, tìm tập xác định, giải phương trình tích... các em gặp rất nhiều lúng túng.
Nguyên nhân: do học sinh thiếu kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử
(mặc dù vừa được học xong các phương pháp phân tớch a thc thnh nhõn t)
Để tìm hiểu thực trạng vấn đề và tìm cách khắc
phục ngay từ đầu năm học .Trong bài kiểm tra khảo sát của 47
em học sinh khối 8, tôi đà ghi lại kết quả sau:.
Cht lng
Gii
Khỏ
kho sỏt
Số
học SL % SL %

3
6,4 6
12,8
sinh

Trung bỡnh
SL
11

%
23,4

Yờỳ
SL
23

%
48,9

Kộm
SL
4

%
8,5

khảo sát

2.3.GII PHP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
4

Rèn kỹ năng giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh
2.3.1. CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
Trước hết giáo viên cần tổng hợp các dạng toán cơ bản sau đó:
- Sắp xếp bài tốn theo các mức độ, từ dễ đến khó .
- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử phù
hợp với từng đối tượng cụ thể :
 Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản
+ Phương pháp Đặt nhân tử chung
+ Phương pháp Dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử
 Đối với học sinh đại trà: Vận dụng và phát triển kỹ năng
+ Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên)
- Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán.
- Củng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kĩ năng thực hành.
- Tìm tịi những cách giải hay, khai thác bài tốn.
- Giới thiệu hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao).
 Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư duy (giới thiệu 6 phương
pháp)
+ Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác.
+ Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử.
+ Phương pháp đặt ẩn phụ ( đổi biến)
+ Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
+ Phương pháp hệ số bất định.
+ Phương pháp xét giá trị riêng.
Tuy nhiên trong khuôn khổ giới hạn của đề tài và cũng phụ thuộc vào
trình độ nhận thức của học sinh. Tơi khơng có tham vọng đi sâu nghiên cứu tất
cả các phương pháp, mà chỉ tập trung vào các phương pháp cơ bản (phương
pháp 1,2,3,4)và thêm hai phương pháp nâng cao (phương pháp 5,6). Các phương

pháp cịn lại (phương pháp 7,8,9,10) chỉ mang tính chất giới thiệu.

2.3.2. C¸c biƯn ph¸p thùc hiƯn
Các Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Lý thuyết
* Định nghĩa :Phân tích Đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi Đa
thức đó thành một tích của những đa thức
Các phương pháp cơ bản
5


Rèn kỹ năng giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh

 Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung
Ta thường làm như sau:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLNcủa các hệ số ).
-Tìm nhân tử chung của các biến (mỗi biến chung lấy với số mũ nhỏ nhất ).
Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D)
*) Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử ta cần đỏi dấu các hạng tử
Ví dụ.
Ví dụ 1.1: Phân tích Đa thức 15x2y2 – 9x3y + 3x2y3 thành nhân tử.
Giải:
15x2y2 – 9x3y + 3x2y3
= 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y.y2
= 3x2y ( 5y - 3x - y2 )
Phân tích ví dụ.
- Ta thấy hệ số nguyên dương của các hạng tử trong ví dụ 1.1 là: 15; 9; 3 và
ƯCLN(15, 9, 3) = 3. Vậy hệ số của nhân tử chung là: 3
- Lũy thừa bằng chữ của các hạng tử trong ví dụ 1.1 là: x 2y2 ; x3y ; x2y3. Lũy
thừa bằng chữ có mặt trong tất cả các hạng tử là x và y, số mũ nhỏ nhất của x là

2 và của y là 1. Vậy ta có lũy thừa bằng chữ của nhân tử chung là : x2y
Vậy nhân từ chung của đa thức trong ví dụ 1.1 là: 3 x2y
Ví dụ 1.2: Phân tích đa thức 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử.
Giải: 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2
= 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy
= 7xy.(2x – 3y + 4xy)
Ví dụ 1.3: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử.
Với ví dụ này có thể lúc đầu học sinh sẽ gặp lúng túng trong cách xác định
nhân tử chung. Giáo viên có thể đưa gợi ý:
? - Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 ? (Học sinh trả lời là: 2)
? - Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x) ?
(Học sinh có thể trả lời là: (x – y) hoặc (y – x) hoặc không xác định
được )
- GV gợi ý học sinh đổi dấu (x – y) thành (y - x) hoặc ngược lại để xuất
hiện nhân tử chung.Ta có: (y – x) = - (x – y). Vậy ví dụ 1.3 được giải như sau:
6


Rèn kỹ năng giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh
Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) –   8 y ( x  y )
= 10x(x – y) + 8y(x – y)
= 2(x – y).5x + 2(x – y).4y
= 2(x – y)(5x + 4y)
Ví dụ 1.4: Phân tích đa thức 2x (y - z ) + 5y (z - y ) thành nhân tử
Giải: 2x (y - z ) + 5y (z - y )
= 2x(y -z ) - 5y(y -z )
= (y- z)(2x - 5y)
Chú ý: Nhiều khi để xuất hiện nhân tử chung chúng ta cần đổi dấu các hạng
tử (lưu ý tích chất: A = -(-A)
* Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp.

Ví dụ 1.5 : Phân tích đa thức 15x2y2 – 9x3y + 3x2y thành nhân tử.
Lời giải sai:
15x2y2 – 9x3y + 3x2y
= 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y
= 3x2y ( 5y - 3x + 0) (kết quả sai vì bỏ sót số 1)
Sai lầm ở đây là cách viết các hạng tử còn lại trong ngoặc, Học sinh đã bỏ sót
số 1 (HS cho rằng ở bước thứ hai khi đặt nhân tử chung 3x 2y thì hạng tử thứ 3
trong ngoặc cịn lại là số 0)
Lời giải đúng: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y
= 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y.1
= 3x2y ( 5y - 3x + 1 )
Ví dụ 1.6 : Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử.
Lời giải sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (đổi dấu sai )
= (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên)
= (x – y)(19x – 10y)
(kết quả sai )
Sai lầm của học sinh ở đây là:
Thực hiện đổi dấu sai:
(y – x)2 = - (x – y)2 nên dẫn đến :
9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 là sai
- Ta có: ( x – y )2=(y – x )2 nên 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2
Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2
= (x – y)[9x – 10(x – y)]
= (x – y)(10y – x)
7


Rèn kỹ năng giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh
* Chú ý: - Bình phương của hai đa thức đối nhau thì bằng nhau: A2 = (-A)2
(Tổng quát: lũy thừa bậc chẵn của hai Đa thức đối nhau thì bằng nhau)

Phương pháp 2: Dùng hằng đẳng thức
a. Phương pháp:
- Sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ dưới “dạng tổng hoặc hiệu” đưa về
“dạng tích”
1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
2. A2 – 2AB + B2 = (A – B)2
3. A2 – B2 = (A – B)(A + B)
4. A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3
5. A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3
6. A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
7. A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
b. Ví dụ:
Phân tích các Đa thức sau thành nhân tử
Ví dụ 2.1: 9x2 + 6xy + y2 = (3x)2 + 2.3x.y + y2 = (3x + y)2
Ví dụ 2.2: 4x2 - 12x + 9 = (2x)2- 2.2x.3 + 32 = (2x - 3)2
Ví dụ 2.3: a. (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)]
= (x + y – x + y)(x + y + x – y)
= 2y.2x = 4xy
b. 9x2 - 4 = (3x)2 - 22 = (3x-2)(3x+2)
c. 16x2 - 9(x + y)2 = (4x)2 - [3(x + y)]2
= (x - 3y)(7x + y)
Ví dụ 2.4: 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2y + 3.2x.y2 + y3
= (2x + y)3
Ví dụ 2.5: 27 - 27x + 9x2 - x3 = 33 – 3.32.x +3.3.x2 – x3
= (3 - x)3
Ví dụ 2.6: 8x3 + y3 = (2x)3 + y3 = (2x + y)(4x2 – 2xy + y2)
Ví dụ 2.7: 1 - 27x3y6 = 13 – (3xy2)3 = (1 – 3xy2)[12 + 1. 3xy2 + (3xy2)2 ]
= (1 – 3xy2)(1 + 3xy2 + 9x2y4 )
Khai thác ví dụ:

Qua các ví dụ trên giáo viên có thể hướng cho học sinh cách nhận dạng và
vận dụng một cách hợp lý các hằng đẳng thức trong q trình phân tích đa thức
thành nhân tử. Khi gặp bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử mà:
8


Rèn kỹ năng giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh
- Nếu gặp Đa thức có 3 hạng tử, trong đó có 2 hạng tử có dạng bình phương
(A2 và B2) và hạng tử cịn lại có thể phân tích được dưới dạng (2.A.B) hoặc
(– 2.A.B ) thì tìm cách phân tích đưa về dạng hằng đẳng thức (1) hoặc (2) (Ví dụ
2.1; 2.2)
- Nếu gặp Đa thức có dạng một hiệu của hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) mà
hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) đó có dạng hoặc có thể phân tích, đưa được về
dạng hiệu hai bình phương (A2 – B2) thì áp dụng hằng đẳng thức thứ (3). (Ví dụ
2.3)
- Nếu gặp Đa thức có 4 hạng tử, trong đó có 2 hạng tử có dạng (hoặc có thể
phân tích đưa về dạng) lập phương (A 3 và B3 hoặc A3 và -B3 ) hai hạng tử cịn lại
có thể phân tích đưa về dạng 3.A2.B + 3.A.B2 (hoặc - 3.A2.B + 3.A.B2 ) thì áp
dụng hằng đẳng thức thứ (4) hoặc thứ (5). (Ví dụ 2.4; 2.5)
- Nếu gặp Đa thức có dạng một hiệu hoặc một tổng của hai hạng tử (hoặc hai
biểu thức) mà hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) đó có thể phân tích, đưa được về
dạng lập phương (A3 và B3) thì áp dụng hằng đẳng thức thứ (6) hoặc (7). (Ví dụ
2.6; 2.7)
Chú ý: Đôi khi cần phải đổi dấu các hạng tử mới áp dụng được hằng đẳng
thức
Ví dụ 2.8: Phân tích đa thức - x4y2 - 8x2y - 16 thành nhân tử:
Giải:
- x4y2 - 8x2y - 16 = -(x4y2 + 8x2y + 16)
=-[(x2y)2 + 2.x2y.4 + 42]
= - (x2y + 4)2

Phương pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử
a. Phương pháp
Lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hiện
một trong hai dạng sau hoặc là đặt nhân tử chung, hoặc là dùng hằng đẳng
thức.
b.Ví dụ:
* Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp đặt nhân tử chung:
Ví dụ 3.1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. x2 – xy + x – y (Bài tập 47a)-SGK-tr22)
b. xy - 5y + 2x – 10

c. 2xy + z +2x +yz

Giải: a. Cách 1: nhóm (x2 – xy) và (x – y)
9


Rèn kỹ năng giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh
x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)
= x(x – y) + 1.(x – y)
= (x – y)(x + 1)
Cách 2: nhóm (x2 + x) và (– xy – y )
x2 – xy + x – y = (x2 + x) - ( xy + y )
= x(x + 1) - y(x + 1)
= (x + 1)(x - y)
b. xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x -10)
= y(x - 5) + 2(x - 5)
= (x - 5)(y + 2)
c. Cách 1: nếu nhóm (2xy + z) và (2x +yz) ta có
2xy + z +2x +yz = (2xy + z) +(2x +yz) (đa thức khơng thể phân tích được)

Cách 2: nếu nhóm (2xy + 2x) và (z + yz) ta có .
2xy + z +2x +yz = (2xy + 2x) + (z + yz)
= 2x(y + 1) + z(y + 1)
= (y + 1)(2x + z)
* Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp dùng hằng đẳng thức.
Ví dụ 3.2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a. x2 – 2x + 1 – 4y2
b. x2 + 4x – y2 + 4
Giải: a. x2 – 2x + 1 – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2
= (x – 1)2 – (2y)2
= (x – 1 – 2y)(x – 1 + 2y)
b.Cách 1. Nhóm: (x2 + 4x) và – (y2 - 4 ) ta có
x2 + 4x – y2 + 4 = (x2 + 4x) - (y2 - 4 )
= x(x + 4) – (y – 2)(y + 2) (Đa thức không thể phân tích tiếp)
Cách 2. Nhóm x2 + 4x + 4) – y2 ta có
x2 + 4x – y2 + 4 = (x2 + 4x + 4) – y2
= (x + 2)2 – y2
= (x + 2 – y)(x + 2 +y)
* Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên:
Ví dụ 3.3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a. x2 – 2x – 4y2 – 4y
10


Rèn kỹ năng giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh
b. x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y
Giải: a. Cách 1: Nhóm (x2 – 2x) và (- 4y2 - 4y) ta có
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 2x) – (4y2 + 4y)
= x(x - 2)–4y(y + 1) (Đa thức khơng phân tích tiếp
được)

Cách 2: Nhóm (x2 – 4y2 ) và ( - 2x - 4y ) ta có
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) - ( 2x + 4y )
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y)
= (x + 2y)(x – 2y – 2)
b. Cách 1: Nhóm (x3 – x) và (3x2y + 3xy2 ) và (y3 – y ) ta có
x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y
= (x3 – x) + (3x2y + 3xy2 ) + (y3 – y )
= x(x2 - 1) +3xy(x + y) + y(y2 - 1)
= x(x – 1)(x + 1) + 3xy(x + y) + y(y - 1)(y + 1)
(Đa thức khơng thể phân tích tiếp )

Cách 2: Nhóm (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) và (- x - y) ta có
x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y = (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) – (x + y)
= (x + y)3 – ( x + y)
= (x + y)[(x + y)2 - 1]
= (x + y)(x + y - 1)(x + y +1)
Khai thác ví dụ:
Qua các ví dụ trên ta có thể rút ra nhận xét: ở ví dụ 3.1 a,b nếu ta nhóm
các hạng tử 1 với 2, 3 với 4 hoặc 1 với 3 và 2 với 4 ta đều có thể phân tích được
đa thức thành nhân tử. Nhưng nếu ta nhóm hạng tử thứ 1 với hạng tử thứ 4 thì đa
thức khơng thể phân tích dược. Tương tự ở trường hợp (3.1.c) nếu ta nhóm hạng
tử 1 với 2 và 3 với 4 thì đa thức khơng thể phân tích được, đa thức chỉ có thể
phân tích được khi ta nhóm hạng tử thứ 1 với hạng tử thứ 2 và thứ 3 với thứ 4.
Tương tự như thế đối với các ví dụ cịn lại.
Như vậy đa thức chỉ có thể phân tích được tiếp sau khi nhóm một cách
hợp lý các hạng tử, Việc nhóm một cách hợp lý các hạng tử trong đa thức
thường không phụ thuộc vào quy tắc xác định nào, mà chỉ dựa vào kinh nghiệm
trong q trình giải tốn và dựa vào các mối quan hệ sau:
- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán.

11


Rèn kỹ năng giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh
- Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:
+ Mỗi nhóm đều phân tích được.
+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì q trình
phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa.
Chú ý: Trong q trình nhóm các hạng tử, phải chú ý tới dấu của các hạng tử
sau khi nhóm.
ở ví dụ 3.3a: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử. Học
sinh có thể đưa ra lới giải sau.
Lời giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y )
(đặt dấu sai)
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên)
= (x – 2y)(x + 2y – 2)
(kết quả dấu
sai)

Sai lầm của học sinh là:
- Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (chưa đổi dấu của hạng
tử ở ngoặc thứ hai sau khi nhóm)

Ta có: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x + 4y ) nên
Lời giải đúng:

x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) - (2x + 4y )
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y)
= (x + 2y)(x – 2y – 2)

* Lưu ý: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì q trình
phân tích thành nhân tử phải được tiếp tục nếu khơng thực hiện được nữa, thì
cách nhóm đó đã sai hoặc có thể bị nhầm dấu trong q trình nhóm, phải thực
hiện lại. (Ví dụ 3.1c. Cách1 ; Ví dụ 3.2b cách 1; Ví dụ 3.3a cách 1)
 Phương pháp 4: Phối hợp nhiều phương pháp
a. Phương pháp:
Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng tử,
đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức. Vì vậy học sinh cần nhận xét bài toán
một cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng tử và tìm hướng giải thích hợp.
Khi phải phân tích một đa thức thành nhân tử nên theo các bước sau:
- Đặt nhân tử chung nếu tất cả các hạng tử có nhân tử chung.
- Dùng hằng đẳng thức nếu có.
- Nhóm nhiều hạng tử( thường mỗi nhóm có nhân tử chung, hoặc là hằng
đẳng thức) nếu cần thiết phải đặt dấu “-” trước ngoặc và đổi dấu các hạng tử.
b. Ví dụ: Phân tích các Đa thức sau thành nhân tử
12


Rèn kỹ năng giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh
Ví dụ 4.1: 5x5y2 - 10x4y2 - 5x3y4 - 10x3y3z - 5x3y2z2 + 5x3y2
= 5x3y2(x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1)
( Đặt nhân tử chung)
= 5x3y2[(x2 - 2x +1) - (y2 + 2yz + z2)] (Nhóm các hạng tử)
= 5x3y2[(x - 1)2 - (y + z)2] ( Dùng hằng đẳng thức)
= 5x3y2(x - 1 - y - z)(x - 1 + y + z)
Ví dụ 4.2: Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử.
(Bài tập 57- SBT-tr 9 toán 8 tập 1);

Trong ví dụ này có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọn
cách giải phù hợp nhất, gọn nhất.

Áp dụng hằng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B)
Suy ra hệ quả sau: A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B).
Giải:
A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3
= (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 –y3 – z3
= [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z)
= 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2 )
= 3(x + y)( xy + xz + yz + z2)
= 3(x + y)(y + z)(x + z)
Trong chương trình sách giáo khoa Tốn 8 hiện hành chỉ giới thiệu các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là: Đặt nhân tử chung, dùng
hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử, phối hợp nhiều phương pháp, phương
pháp tách hạng tử chỉ mang tính chất giới thiệu Tuy nhiên trong phần bài tập lại
có những bài khơng thể áp dụng ngay các phương pháp trên. Xin giới thiệu thêm
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để học sinh vận dụng rộng rãi
trong thực hành giải toán.
Các phương pháp khác (nâng cao)
 Phương pháp 5: Phương pháp tách hạng tử (áp dụng đối với đa thức bậc
hai ax2 + bx + c ).
a. Phương pháp:
- Tách một trong các hạng tử của đa thức thành hai hạng tử để đa thức xuất
hiện dạng nhân tử chung hoặc có dạng hằng đẳng thức.
b. Ví dụ:
Ví dụ 5.1: Phân tích đa thức x2 - 6x + 8 thành nhân tử.
13


Rèn kỹ năng giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh
Quan sát Đa thức trên ta thấy các hạng tử khơng có nhân tử chung, cũng
khơng có dạng của một hằng đẳng thức đáng nhớ nào và cũng khơng thể nhóm

các hạng tử. Như vậy để phân tích đa thức trên thành nhân tử chung ta cần phải
có cách biến đổi khác. Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có nhiều hạng tử
hơn bằng cách tách một trong các hạng tử của đa thức thành 2 hay nhiều hạng
tử.
Giải:
Cách 1: ( tách hạng tử bậc 2: x2)
x2 - 6x + 8 = 3x2 - 6x - 2x2 + 8
= 3x(x - 2) - 2(x2 - 4) = (x - 2)[3x - 2(x + 2)]
= (x - 2)(x - 4)
Cách 2: ( tách hạng tử bậc 1: - 6x)
x2 - 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8
= x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
Cách 3: ( tách đồng thời hạng tử bậc nhất và hạng tử tư do: )
x2 - 6x + 8 = x2 - 4x + 4 - 2x + 4
= (x - 2)2 - 2(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
Cách 4: ( tách hạng tử tự do: )
x2 - 6x + 8 = x2 - 6x + 9 - 1
= (x - 3)2 - 1 = (x - 2)(x - 4)
x2 - 6x + 8 = x2 - 4 - 6x + 12
= (x - 2)(x + 2) - 6(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
x2 - 6x + 8 = x2 - 16 - 6x + 24
= (x - 4)(x + 4) - 6(x - 4) = (x - 4)(x - 2)
Nhận xét: Từ ví dụ trên , ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm:
- Làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương.
- Làm xuất hiện các hệ số ở mỗi hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ đó làm xuất
hiện nhân tử chung x – 2.
- Làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung
Vì vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác là nhằm làm xuất hiện
các phương pháp đã học như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm
nhiều hạng tử là việc làm hết sức cần thiết đối với học sinh trong giải toán.

Hướng dẫn: 3a. Nhận xét z  x = (y  z)  (x  y). Vì vậy ta tách hạng tử thứ
hai của đa thức :
14


Rèn kỹ năng giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh
x2(y  z) + y2(z  x) + z2(x  y)
= x2(y  z)  y2(y  z)  y2(x  y) + z2(x  y)
= (y  z)(x2  y2)  (x  y)(y2  z2)
= (y  z)(x  y)(x + y)  (x  y)(y  z)(y + z)
= (x  y)(y  z)(x  z)
Chú ý :
- Ở câu 3a ta có thể tách y  z =  (x  y)  (z  x)
(hoặc z  x=  (y  z)  (x  y))
- Đa thức ở câu 3.a là một trong những đa thức có dạng đa thức đặc biệt.
Khi ta thay x = y (y = z hoặc z = x) vào đa thức thì giá trị của đa thức bằng 0.
Vì vậy, ngồi cách phân tích bằng cách tách như trên, ta còn cách phân tích
bằng cách xét giá trị riêng (Phương pháp 10)
4) a) x3 – 4x + 3 ; b) x3 + 7x – 6 ;
( áp dụng ví dụ 5.4)
Phương pháp 6: Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
a. Phương pháp:
Thêm bớt cùng một hạng tử để đưa đa thức về dạng hằng đẳng thức hoặc
nhóm nhiều hạng tử. Thơng thường hay đưa về dạng a2- b2 sau khi thêm bớt .
b. Ví dụ:
* Thêm và bớt cùng một số hạng để làm xuất hiện hằng đẳng thức
Ví dụ 6.1.: Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử.
Cách 1: thêm bớt hạng tử x2 (làm xuất hiện hằng đẳng thức)
Ta có x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – x2
= (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1)

Cách 2: Thêm bớt hạng tử x3 (làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử
chung )
x4 + x2 + 1 = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1)
= x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1)
= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
x4 + x2 + 1 = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1)
= x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1)
= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).

15


Rèn kỹ năng giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh
Cách 3: - Thêm x và bớt x: (làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử
chung)
Ta có x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1 = (x4 – x) + (x2 + x + 1)
Giải: x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1
= (x4 – x) + (x2 + x + 1)
= x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
*Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ 6.2. Phân tích đa thức x5 + x  1 thành nhân tử
Giải: Cách 1. Thêm x4 , x3 , x2 và bớt x4 , x3 , x2
x5 + x  1 = x5  x4 + x3 + x4  x3 + x2  x2 + x  1
= x3(x2  x + 1)  x2(x2  x + 1)  (x2  x + 1)
= (x2  x + 1)(x3  x2  1).
Cách 2. Thêm và bớt x2 :
x5 + x  1 = x5 + x2  x2 + x  1 = x2(x3 + 1)  (x2  x + 1)
= (x2  x + 1)[x2(x + 1)  1] = (x2  x + 1)(x3  x2  1).
Ví dụ 6.3: Phân tích đa thức x7 + x2 +1 thành nhân tử.
Giải :

x7 + x2 +1= x7 - x + x2 + x + 1
= x(x6 - 1) + (x2+ x + 1)
= x(x3 - 1)(x3 + 1) +(x2 + x + 1)
= x(x3 +1)(x -1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x5 - x4 - x2 + 1)
 Chú ý: Các đa thức có dạng x4 + x2 + 1, x5 + x + 1, x 5 + x4 + 1, x7 + x5 + 1,
….; tổng quát những đa thức dạng x3m+2 + x3n+1 + 1 hoặc x3 – 1, x6 – 1 đều có
chứa nhân tử x2 + x + 1.
 Phương pháp 7: Phương pháp đặt ẩn phụ ( đổi biến số)
a) Phưong pháp:
- Đặt ẩn phụ, đổi biến của đa thức đã cho thành đa thức mới có bậc nhỏ
hơn và đơn giản hơn. Thực hiện phân tích đa thức theo các phương pháp cơ bản.
b. Ví dụ:
Ví dụ 7.1: Phân tích đa thức (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 thành nhân tử.
Giải:
đặt x2 + x = y ta được y2 + 3y + 2 = (y +1)(y+2)
16


Rèn kỹ năng giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh
Vậy: (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 = ( x2 + x + 1)( x2 + x +2)
Ví dụ 7.2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24
Hướng dẫn: Biến đổi đa thức đã cho
(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 = [(x + 2)(x + 3)][(x + 4)(x + 5)] - 24
= (x3 + 7x + 10)(x3 + 7x - 12) - 24 (*)
Đặt x3 + 7x + 11 = y thì (*) = (y - 1)(y + 1) - 24
= y2 - 1 - 24 = y2 - 25 = (y + 5)(y - 5)
Tương đương với (x3 + 7x + 6)(x3 + 7x + 16)
= (x + 1)(x + 6)(x3 + 7x + 16)

 Phương pháp 8: Phương pháp tìm nghiệm của đa thức
a. Phương pháp:
Cách 1:Dựa vào kết luận:
- Nếu đa thức f(x) có một nghiệm là a thì đa thức chứa một nhân tử là: (x - a)
p

- Nếu đa thức f(x)có một nghiệm là q thì đa thức chứa một nhân tử là(qx p)
Dựa vào đó ta sẽ tách đa thức f(x) sao cho xuất hiên nhân tử (x - a) hoặc (qx - p)
Cách 2: Dựa vào định lý Bơ du
- Đa thức f(x) có nghiệm là a thì f(x) chia hết cho (x - a). Vậy f(x) = (x-a)g(x)
Tìm g(x) bằng cách lấy f(x) chia cho (x-a)
p

- Đa thức f(x) có nghiệm là q thì f(x) chia hết cho (qx - p).
Vậy f(x) = (qx-p)g(x)
Tìm g(x) bằng cách lấy f(x) chia cho (qx - p).
* Cách tìm nghiệm của đa thức
Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0. Như vậy nếu
đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a ) thì a phải là nghiệm của đa thức. Ta đã biết
rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do.
Ví dụ: xét đa thức P = x3 + 3x2 – 4
Nếu đa thức P có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử (x - a)) thì nhân tử cịn
lại có dạng (x2 + bx + c) hay P = (x - a)(x2 + bx + c)
=> -ac = - 4 vậy a là ước của - 4
Vậy trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên nếu có phải là ước
của hạng tử khơng đổi.(hạng tử tự do)
17


Rèn kỹ năng giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh

Ước của (- 4 ) là (- 1), 1,(-2), 2, (- 4), 4. Sau khi kiểm tra ta thấy 1 là
nghiệm của đa thức => đa thức chứa nhân tử ( x - 1). Do vậy ta tìm cách tách
các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung ( x - 1).
b. Ví dụ:
Ví dụ 8.1: Phân tích x3 + 3x2 – 4 thành nhân tử.
*Cách 1: x3 + 3x2 - 4
= x3 - x2 + 4x2 - 4 = x2 (x -1) + 4(x -1)(x +1)
= (x - 1)(x2 + 4x + 4) =(x -1)(x + 2)2
*Cách 2: x3 + 3x2 - 4
= x3 - 1 + 3x2 - 3 = (x3- 1) + 3(x2 - 1)
= ( x - 1)(x2 + x +1) +3(x - 1)(x + 1)
= ( x - 1)(x + 2)2
Chú ý:
- Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng khơng thì đa thức có một nghiệm là
1 (hay chứa nhân tử (x-1))
- Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng
tử bậc lẻ thì đa thức có một nghiệm là (- 1) hay chứa nhân tử ( x + 1).
Ví dụ 8.2: a. Đa thức:f(x) = x3 - 5x2 + 8x - 4 có 1 - 5 + 8 - 4 = 0
� Đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức chứa thừa số ( x - 1)
Giải: x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 – x2 – 4x2 + 8x – 4
= (x3 – x2 ) – (4x2 - 8x + 4)
= x2(x - 1) – 4(x - 1)2
= (x - 1)(x2 – 4x + 4)
= (x - 1)(x - 2)2
b.Đa thức: f(x) = 5x3 - 5x2 + 3x + 13 có -5 + 13 = 5 + 3
� Đa thức có nghiệm là (-1) hay là đa thức chứa thừa số ( x + 1).
Vậy f(x) = ( x + 1).g(x)
ta có: g(x) = (5x3 - 5x2 + 3x + 13): (x + 1) = (5x2 – 10x +13)
Suy ra: 5x3 - 5x2 + 3x + 13 = (x + 1)(5x2 – 10x +13)
+ Nếu đa thức khơng có nghiệm ngun nhưng đa thức có thể có nghiệm

p

hữu tỷ. Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng q
trong đó p là ước của hạng tử khơng đổi, q là ước dương của hạng tử có bậc
cao nhất.
 Phương pháp 9: Phương pháp hệ số bất định
a. Phương pháp:

18


Rèn kỹ năng giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh
Phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất hoặc bậc hai hay một đa
thức bậc nhất,một đa thức bậc hai rồi biến đổi cho đồng nhất hệ số của đa thức
này với hệ số của đa thức kia.
b.Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
Các hệ số  1;  3 là Ư(3) nhưng không phải là nghiệm của đa thức nên
đa thức khơng có nghiệm ngun.
Như vậy, đa thức trên khi phân tích sẽ có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
Phép nhân này cho kết quả:
x4 + (b + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta được
a+c=-6
ac + b + d = 12
ad + bc = - 14
bd = 3
Xét bd = 3 với b, d  z; b  { 1;  3}; với b = 3 thì d = 1.
Hệ trên thành:
a+c=-6

ac = 8
a + bc = -14
2c = -14 + 6 = - 8 do đó c = - 4; a = - 2
Vậy đa thức đã cho phân tích thành: (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)
Chú ý: Khi biết kết quả ta có thể trình bày lời giải bài toán trên như sau:
x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
= x4 - 2x3 + 3x2 - 4x3 + 8x2 - 12x + x2 - 2x + 3
= x2(x2 - 2x + 3) - 4x(x2 - 2x + 3) + (x2 - 2x + 3)
= (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)
 Phương pháp 10: Phương pháp xét giá trị riêng
a. Phương pháp:
Xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến giá trị
cụ thể xác định thừa số cịn lại.
b. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)
Nên thay x bằng y thì P = y2(y - z) + y2(z - y) = 0
19


Rèn kỹ năng giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh
Như vậy P chứa thừa số x - y. Do vai trò của x, y, z như nhau trong P nên
P chứa (x – y) thì cũng chứa (y – z) và (z – x).
Vậy dạng của P là k(x - y)(y - z)(z - x)
Ta thấy k phải là hằng số vì có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z cịn
tích
(x - y)(y - z)(z - x) cũng có bậc 3 đối với các biến x, y, z
Ta có: x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) đúng với  x, y, z.
Nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng. ví dụ x = 1, y = 0, z = -1
Ta có: 1.1 + 0 + 1.1 = k.1.1.(-2)
2 = - 2k => k = - 1

Vậy P = - (x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z)
Thật vậy: ta có
x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)
= x2(y - z) + y2(z - y + y- x) + z2(x - y)
= x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y)
= (y - z)(x - y)(x + y) + (x - y)(z - y)(z + y)
= (x - y)(y - z)(x + y - z - y)
= (x - y)(y - z)(x - z)
2.4. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này đã góp phần nâng cao chất lượng học
tập của bộ mơn đối với học sinh khối 8 trường THCS văn Lộc. Điều đó được thể
hiện cụ thể qua kết quả kiểm tra về dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử
được thống kê như sau:
Chất lượng
Giỏi
Khá
khảo sát
Sè
häc SL %
SL %
5
10,6 13 27,7
sinh

Trung bỡnh
SL
14

%
29,8

Yờỳ
SL
12

%
25,5

Kộm
SL
3

%
6,4

khảo sát
Chất lợng học sinh khảo sát so với khi cha áp dụng :
-Gioỉ tăng : 4,2%
-Khá tăng: 11,6%
-Trung bình tăng: 14,9%
-Yếu giảm : 23,4%
-Kém giảm : 2,1%

20


Rèn kỹ năng giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh
* Nhận xét: Học sinh nắm vững chắc các kiến về phân tích đa thức thành nhân
tử, vận dụng thành thạo kỹ năng biến đổi, phân tích, biết dựa vào các bài tốn đã
biết cách giải truớc đó, linh hoạt biến đổi và vận dụng hằng đẳng thức và đã

trình bày bài giải hợp lý hơn có hệ thống và logic, chỉ cịn một số ít học sinh quá
yếu, kém chưa thực hiện tốt.
Từ thực tế giảng dạy khi áp dụng phương pháp này tôi nhận thấy học sinh
nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ bài toán ở dạng này. Kinh nghiệm này đã giúp
học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững chắc về cách phân tích đa thức
thành nhân tử trong chương trình đã học, được học và rèn luyện kỹ năng thực
hành theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức ở những mức độ khác nhau
thông qua một chuỗi bài tập. Bên cạnh đó cịn giúp học sinh khá giỏi có điều
kiện tìm hiểu thêm một số phương pháp giải khác, các dạng toán khác nâng cao
hơn, nhằm phát huy tài năng tốn học, phát huy tính tự học, tìm tịi, sáng tạo của
học sinh trong học toán .
3-KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. KẾT LUẬN
Thông qua việc nghiên cứu đề tài và những kinh nghiệm từ thực tiễn giảng
dạy, cho phép tôi rút ra một số kinh nghiệm sau:
- Đối với học sinh yếu kém: Cần có một q trình liên tục được củng cố và
sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện các kỹ năng để học sinh có khả năng nắm được
phương pháp, vận dụng tốt các phương pháp phân tích cơ bản vào giải toán, cho
học sinh thực hành theo mẫu với các bài tập tương tự, bài tập từ đơn giản nâng
dần đến phức tạp, không nên dẫn các em đi quá xa nội dung SGK.
- Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần chú ý cho học sinh chỉ nắm chắc
các phương pháp cơ bản, kĩ năng biến đổi, kĩ năng thực hành và việc vận dụng
từng phương pháp đa dạng hơn vào từng bài tập cụ thể, luyện tập khả năng tự
học, gợi sự suy mê hứng thú học, kích thích và khơi dậy óc tìm tòi, chủ động
chiếm lĩnh kiến thức.
- Đối với học sinh khá giỏi: Ngoài việc nắm chắc các phương pháp cơ bản, ta
cần cho học sinh tìm hiểu thêm các phương pháp phân tích nâng cao khác, các
bài tập dạng mở rộng giúp các em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương
tự hoá vấn đề để việc giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử tốt hơn. Qua
đó tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tịi sáng tạo, khác thác cách giải,

khai thác bài toán khác nhằm phát triển tư duy một cách tồn diện cho q trình
tự nghiên cứu của các em.
21


Rèn kỹ năng giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh
- Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và vận
dụng của học sinh trong quá trình cung cấp các thơng tin mới có liên quan trong
chương trình đại số 8 đã đề cập ở trên.
3.2. KIẾN NGHỊ
Để đề tài trên được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy và đem lại hiệu quả
cần phải có lượng thời gian nhất định. Tuy nhiên trong phân phối chương trình
của Bộ mơn tốn 8 số tiết dành cho vấn đề nghiên cứu chỉ là 6 tiết (4 tiết lý
thuyết, 2 tiết luyện tập). Với lượng thời gian trên đề tài khó có thể áp dụng và
đem lại hiệu quả mong muốn. Vì vậy Tơi xin có một vài kiến nghị sau:
- Đối với nhà trường: Tạo điều kiện về thời gian, không gian, tổ chức các
chuyên đề cấp trường để giáo viên có thể áp dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy.
- Đối với phòng giáo dục: Tổ chức các chuyờn v vn nghiờn cu

Thanh Hoá, ngày 05 tháng 03 năm
2021.
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của ngời khác
XáC NHậN CủA THủ TRƯởng đơn vị

Ngời thực hiện

Đi
nh Thị Lan

22


Rèn kỹ năng giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh

Phần IV: DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
IV. Tài liệu tham khảo:
1 - Một số vấn đề đổi mới PPDH ở trường THCS mơn tốn – Bộ GD&ĐT 2008
2 - Sách GV, SGK Toán THCS - Phan Đức Chính – Tơn Thân – Nhà xuất
bản GD
3 - Nâng cao và phát triển Toán 8 - Vũ Hữu Bình – Nhà xuất bản GD
4 - Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục THCS môn Toán – Nhà xuất
bản GD
5 – Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên THCS chu kì 1997 –
2000 và chu kỳ 2004 – 2007 mơn Tốn.
6 – Phương pháp dạy học đại cương mơn Tốn – Bùi Huy Ngọc- Nhà xuất
bản ĐHSP
7 – Giáo trình phương pháp dạy học các nội dung Toán - Phạm Gia Đức –
Bùi Huy Ngọc - Phạm Đức Quang - Nhà xuất bản ĐHSP

23


Rèn kỹ năng giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh

24