SKKN phát triển tư duy học sinh lớp 9 trường THCS thị trấn cành nàng từ bài toán cực trị đơn giản

1

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn sáng kiến kinh nghiệm
Khi giải hồn thành một bài tốn nói chung hoặc một bài tốn bất đẳng
thức nói riêng các em học sinh thường thoả mãn những gì đã làm được. Rất ít
em cịn suy nghĩ trăn trở tiếp như:
- Cịn có thể giải bằng cách nào nữa khơng? Cịn có thể trình bày ngắn gọn
hơn nữa khơng?
- Cũng giả thiết ấy thì cịn có thể kết luận được gì nữa khơng?
- Nếu thay đổi một vài điều kiện của giả thiết thì kết luận mới thu được có gì
đặc biệt.
Rõ ràng nếu tự giác làm được những công việc ấy sau khi giải một bài
tốn bất đẳng thức thì vơ cùng có ý nghĩa. Nó tạo cho các em một thói quen
tốt sau khi giải quyết xong một công việc nhằm đánh giá đúng mức những gì
đã làm, những gì chưa làm được từ đó rút ra bài học bổ ích cho chính mình.
Tuy nhiên trong thực tế đa số học sinh chưa có thói quen như vậy, mà nếu
có cũng chỉ là hình thức thơi. Do vậy người thầy giáo dạy toán cần phải hướng
dẫn cho học sinh thường xuyên thực hiện cơng việc này, đặc biệt là các em có
năng lực bộ mơn Tốn.
Từ suy nghĩ ấy tơi đã trăn trở và mạnh dạn đưa ra một hướng: “ Phát triển
tư duy học sinh lớp 9 trường THCS thị trấn Cành Nàng từ bài toán cực
trị đơn giản ” nhằm giúp các em tạo ra một thói quen tốt sau khi giải một bài
toán đồng thời giúp các em yêu thích bộ mơn tốn có thêm điều kiện để phát
triển thêm về năng lực tư duy. Ngoài ra việc khai thác có hiệu quả bài tốn cịn
đem lại cho học sinh lịng say mê hứng thú mơn học bởi tâm lí các em ln
muốn biết, muốn tìm tịi cái mới.
1.2. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm.
- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản và
vận dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập.
- Nhằm nâng cao năng lực học tốn, sự tìm tịi, sáng tạo, tư duy của học

sinh.
- Giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải tốn
bất đẳng thức, tìm cực trị trong quá trình dạy học.
- Bồi dưỡng học sinh khá giỏi trong trường
- Phát huy niềm đam mê yêu thích toán của học sinh
1.3. Đối tượng nghiên cứu.


2

- Nghiên cứu thực trạng học tập học bất đẳng thức của nhóm đối tượng
học sinh giỏi lớp 9 trường THCS thị trấn Cành Nàng.
- Nghiên cứu một số phương pháp giải toán bất đẳng thức.
- Nghiên cứu phương pháp phát triển tư duy của nhóm đối tượng học sinh
giỏi lớp 9 trường THCS thị trấn Cành Nàng.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp khảo sát thực tế, thu thập thơng tin: Điều tra khảo sát tâm lí
học sinh khi đứng trước bài toán bất đẳng thức.
- Phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh, thống kê, xử lý số liệu của học
sinh trước và sau khi áp dụng SKKN.
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng,
sách giáo khoa, sách tham khảo…
NỘI DUNG
2.1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Trong chương trình tốn học phổ thơng có rất nhiều dạng tốn. Các bài
tốn về bất đẳng thức chiếm vai trị quan trọng và có dung lượng tương đối lớn.
Nó là niềm say mê cho những người học toán và dạy toán. Trong bất kỳ đề thi
học sinh giỏi toán 8, 9 hay là các kỳ tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thơng,
thậm chí các kỳ thi tuyển chọn giáo viên giỏi các cấp nó luôn hiện hữu, thách
thức người dạy và người học. Tuy nhiên các bài toán bất đẳng thức là những bài

toán khó và rộng. Nhưng nhờ các bài tốn về bất đẳng thức mà học sinh có thể
áp dụng để giải các dạng tốn khác như giải phương trình, bất phương trình, tìm
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức, về mối liên hệ giữa các yếu
tố trong tam giác. Và trong q trình đó tư duy người học được phát triển mạnh
mẽ.
Tuy nhiên để giải được các bài tốn bất đẳng thức, cực trị khơng phải là
dễ dàng, bên cạnh việc nắm vững các khái niệm và các tính chất cơ bản của bất
đẳng thức cịn phải nắm vững các phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Có
rất nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, nhưng việc lựa chọn phương
pháp để áp dụng cho từng bài để tìm ra kết quả lại là việc làm khác. Và nhiều
khi để áp dụng được phương pháp nào đó chúng ta lại phải qua nhiều phương
pháp biến đổi và tạo ra bất đẳng thức mới để áp dụng. Việc làm này đòi hỏi
người dạy và người học cần có một thái độ nghiên cứu và học tập thực sự
nghiêm túc.
2.2. THỰC TRẠNG
Qua thực tế dạy học ở trường trung học cơ sở cùng với việc trao đổi chuyên
môn qua một số giáo viên, việc dạy học nói chung và việc bồi dưỡng cho đối
tượng học sinh khá và giỏi thơng qua dạy học giải bài tốn bất đẳng thức và cực


3

trị đối với yêu cầu phát triển tư duy sáng tạo, tôi nhận thấy một số tồn tại như
sau:
Do số tiết học ở trên lớp cịn rất ít, khối lượng tri thức cần truyền đạt nhiều
đồng thời phải đúng lịch phân phối chương trình theo quy định nên việc mở
rộng, khai thác, ứng dụng sáng tạo các kiến thức đã học chưa được triệt để sâu
sắc. Điều này ảnh hưởng đến việc huy động vốn kiến thức của học sinh, hạn chế
đến việc rèn luyện tính tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh trong học tập,
nhất là đối tượng học sinh khá và giỏi.

Học sinh ít khi được phát hiện vấn đề mới mà thường lặp lại hoặc phát hiện
vấn đề được giáo viên đã đưa ra, học sinh thường bị động khi tiếp nhận kiến
thức từ phía giáo viên. Cách dạy và học như vậy sẽ làm hạn chế khả năng tìm
kiếm, tự phát hiện vấn đề của học sinh, điều này trái với quan điểm về việc học
theo xu hướng hoạt động hoá người học, lấy người học làm trung tâm. Chính vì
điều đó mà trong dạy học, người giáo viên phải biết chú trọng công tác bồi
dưỡng học sinh năng lực nhận biết tìm tịi, phát triển vấn đề để giúp học sinh rèn
luyện các kỹ năng tư duy vào thói quen phát triển tìm tịi, thơng qua một số thao
tác trí tuệ. Việc thường xuyên rèn luyện cho học sinh năng lực này tạo cho học
sinh thói quen ln ln tích cực khám phá kiến thức ở mọi lúc, mọi nơi. Muốn
làm tốt điều đó địi hỏi học sinh phải trải qua một q trình tìm tịi, mị mẫm, dự
đốn, suy xét ở nhiều góc độ để rồi thử nghiệm.
Trong chương trình tốn trung học cơ sở, hệ thống bài tập trong sách là rất
đa dạng và phong phú nhưng đang còn rời rạc, thiếu sự liên kết với nhau trong
từng chủ đề. Trong thực tế, cách dạy phổ biến hiện nay là giáo viên với tư cách
là người điều khiển đưa ra kiến thức rồi giải thích chứng minh, sau đó đưa ra
một số bài tập áp dụng, làm cho học sinh cố gắng tiếp thu vận dụng. Rõ ràng với
cách dạy như vậy giáo viên cũng thấy chưa thoả mãn bài dạy của mình, học sinh
cũng thấy chưa hiểu được cội nguồn của vấn đề mà chỉ học một cách máy móc,
làm cho các em có ít cơ hội phát triển tư duy sáng tạo, ít có cơ hội khai thác tìm
tịi cái mới.
Để khắc phục những tồn tại đã chỉ ra ở trên, người giáo viên cần phải có
phương pháp dạy học tích cực, tận dụng tối đa tiết dạy, quan tâm hơn nữa phần
khai thác và phát triển các bài toán bất đẳng thức cơ bản, đồng thời phải phối
hợp nhiều định lý, bài toán đã học vào việc giải tốn, từ bài tốn dễ đến bài tốn
khó mà sự huy động kiến thức đó là cần thiết, cần phải làm cho học sinh luôn
thấy được sự cần thiết thiếu hụt tri thức của bản thân. Bởi vì khi học sinh nhận
ra sự thiếu hụt tri thức của bản thân thì chính sự thiếu hụt đó là một yếu tố kích
thích chuyển động thích nghi để tìm kiếm lại sự cân bằng. Học sinh khi đó trở
thành người mong muốn bù lấy sự thiếu hụt đó, thoả mãn nhu cầu nhận thức của

bản thân mình.


4

Do đặc điểm của nội dung kiến thức, sáng kiến kinh nghiệm này tôi chỉ đưa ra
để áp dụng cho các em khối lớp 9. Trong q trình ơn học sinh giỏi khối 9 của
trường THCS Thị trấn Cành Nàng, khi đưa ra các bài tập mà chưa hướng các
em tư duy thì kết quả thu được rất khiêm tốn. Cụ thể tôi đã ôn 15 em học sinh
khối 9 và sau một số bài kiểm tra với nội dung tương tự như trong SKKN tơi
đã trình bày, kết quả thu được như sau:
Bảng 1: Mức độ hứng thú của học sinh trước khi áp dụng SKKN
Tổng
Hứng thú
Hơi hứng thú
Không hứng
HS
thú
SL
%
SL
%
SL
%
15
2
13,3
4
26,7
9

60
Bảng 2: Bảng điểm khảo sát của học sinh trước khi áp dụng SKKN
Điểm
Dưới 5
5–6
7
8 – 10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
Lớp
9
10
66,7
3
20
2
13,3
0
0
Kết quả khảo sát trên khiến tơi rất trăn trở rất nhiều vì mức độ hứng thú cũng
như khả năng làm bài của các em khơng được cao. Do đó tơi đã tăng cường
các phương pháp dạy học tích cực, tận dụng tối đa tiết dạy, quan tâm hơn nữa
phần khai thác và phát triển các bài toán bất đẳng thức cơ bản, đồng thời phải
phối hợp nhiều định lý, bài toán đã học vào việc giải toán, từ bài toán dễ đến

bài toán khó, từ kiến thức cơ bản đến kiến thức nâng cao làm cho học sinh
luôn thấy được sự cần thiết thiếu hụt tri thức để phát triển tư duy của bản thân.
2.3. CÁC GIẢI PHÁP
Tôi bắt đầu đưa cho các em học sinh một bài toán quen thuộc sau:
2
2
Bài toán: Cho a  0; b  0 . Chứng minh rằng:  a  b   a  b  �0 .

Phân tích hướng dẫn: Với bài tốn này, đối với học sinh khá giỏi thì
khơng khó, với học sinh trung bình và yếu hơn tơi chỉ cần hướng dẫn các em
biến đổi.
2
2
Nhận thấy: a  b   a  b   a  b  thì ngay lập tức các em cũng sẽ tìm

được lời giải:

 a  b   a 2  b2    a  b   a  b   a  b    a  b   a  b  �0 với mọi a,b  0 .
2

Dấu ''  '' xảy ra khi a  b .
Nhận xét: Rõ ràng nếu chỉ dừng lại ở đây thì bài tốn khơng có gì là hấp dẫn
và khó phát triển tư duy của các em học sinh. Tôi đặt ra vấn đề: Nếu ta tăng số


5

mũ của các biến lên gấp đơi thì bất đẳng thức cịn đúng khơng? Từ đó tơi đưa
ra cho các em bài toán sau:
2

2
4
4
Bài toán 1: Cho a  0; b  0 . Chứng minh rằng:  a  b   a  b  �0 .

Bằng tư duy tương tự bài toán đầu, các em đã biết biến đổi hằng đẳng thức và
có ngay kết quả:

a b a b  a b a b a b 
  a  b   a  b  �0 với mọi a,b  0 .
2

2

2

4

2 2

4

2

2

2

2

2

2

2

2

Dấu ''  '' xảy ra khi a  b .
Qua bài toán 1, tôi đã nhận thấy sự hào hứng của các em khi đã biết vận dụng
cách tư duy từ bài tốn ban đầu. Tiếp tục tơi u cầu các em thử thay đổi số
mũ trong các biến a và b trong bài toán ban đầu xem kết quả thế nào? Và rất
nhiều em đã tìm ra bài tốn mới như sau:
Bài toán 2: Cho a  0; b  0 . Chứng minh rằng:

a

3

 b3   a 5  b5  �0

Phân tích hướng dẫn: Bài tốn này với cách suy nghĩ tương tự như bài
toán 1, các em dễ dàng nhận thấy:
a 3  b3   a  b   a 2  ab  b 2 

a 5  b5   a  b   a 4  a3b  a 2 b 2  ab3  b4 

a
a

Từ đó các em tìm ngay được lời giải:

3

 b3   a 5  b5    a  b   a 2  ab  b 2   a  b   a 4  a 3b  a 2b 2  ab3  b 4 

3

 b3   a 5  b5    a  b 

2

a

2

 ab  b 2   a 4  a3b  a 2b 2  ab3  b4  �0

với mọi a,b  0 .
Dấu ''  '' xảy ra khi a  b .
Nhận xét : Vậy liệu rằng có bài tốn tổng qt của bài tốn ban đầu khơng?
Kết hợp với sự phân tích và hướng dẫn của tơi thì các em cũng tìm ra cơng
thức tổng quát sau:
Bài toán 3: Với a  0; b  0 và m,n là những số tự nhiên thì:

a

n

 b n   a m  b m  �0

*

Học sinh dễ dàng chứng minh được công thức trên. Ta có:
a n  b n   a  b   a n1  a n2b  ....  ab n 2  b n1 

a m  b m   a  b   a m1  a m2b  ....  ab m2  b m1 


6

�  a n  bn   am  bm 
  a  b   a n1  a n2b  ....  ab n2  b n 1   a  b   a m1  a m 2b  ....  ab m2  b m1 
  a  b

2

a

n 1

 a n2b  ....  ab n2  b n1   a m1  a m2b  ....  ab m2  b m1  �0

với mọi a,b  0 .
Dấu ''  '' xảy ra khi a  b .

n
n
m
m

Vậy:  a  b   a  b  �0 (với a  0; b  0 và m,n ��* ) (*)

Việc làm được bài toán tổng quát từ bài tốn ban đầu thiết nghĩ đó đã là sự
phát triển tư duy của các em đã tăng lên rất nhiều. Khơng dừng lại ở đó, tơi
tiếp tục đưa ra bài toán sau cho các em:
3
3
Bài toán 4: Cho a  0; b  0 . Chứng minh rằng: a  b �ab  a  b 
Phân tích hướng dẫn: Với bài tốn này, có thể tìm được nhiều cách giải
khác nhau nhưng tôi đã hướng dẫn cho học sinh chú ý đến cơng thức tổng qt
(*) thì các em đã tìm ra cách giải dễ dàng.
2
2
Theo cơng thức tổng quát (*) ta có:  a  b   a  b  �0

� a 3  b3  ab 2  a 2 b �0
� a 3  b 3 �ab  a  b 
Tương tự bài tốn 4, tơi tiếp tục cho các em làm bài toán sau:

4
4
2
2
Bài toán 5: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: a  b �ab  a  b 
3
3
Theo (*) ta có:  a  b   a  b  �0

� a 4  b 4  a 3b  ab3 �0
� a 4  b 4  a 3b  ab3 �0

� a 4  b 4 �ab  a 2  b 2 

Bằng những cách tư duy như trên, các em đã hồn thành cách giải bài
tốn 5 một cách khá dễ dàng. Vậy với những bài tốn chứa mẫu thì cách khai
thác có như các ví dụ trên hay khơng ? Tôi tiếp tục đưa ra cho các em bài toán
sau:
Bài toán 6: Cho a, b, c  0; abc  1. Chứng minh rằng:
1
1
1
 3
 3
�1
3
3
3
a  b  1 b  c  1 c  a3  1
Phân tích hướng dẫn: Phần lớn học sinh khi gặp bài tốn này thường bị
lúng túng trong việc tìm ra lời giải, kể cả những học sinh khá giỏi. Nếu hướng


7

dẫn cho học sinh chú ý mẫu của các phân thức và học sinh nhớ đến công thức
tổng quát (*) thì các em sẽ tự tìm ra lời giải dễ dàng hơn.
Ta có:
(a  b)(a 2  b 2 ) �0 � a 3  b3 �ab(a  b) � a3  b3  1 �ab(a  b)  abc


1

a  b3  1

1
ab(a  b)  abc

3

1
ab(a  b  c)

abc
ab(a  b  c )

c
abc

1
c
�
a 3  b3  1 a  b  c
1
a
�
Tương tự: 3
b  c3  1 a  b  c
1
b
�
c3  a3  1 a  b  c
Cộng vế theo vế ta có:

Hay là:

1
1
1
c
a
b
abc
 3
 3
�



1
3
3
3
a  b 1 b  c 1 c  a 1 a  b  c a  b  c a  b  c a  b  c
Chú ý rằng: Nếu ta thay abc  m thì có thể khai thác bài toán 6 như sau:
Cho a, b, c  0; abc  m . Chứng minh rằng:
3

1
1
1
1



�
a3  b3  m b3  c3  m c3  a 3  m m
m
hoặc cho a, b, c  0; abc  . Chứng minh rằng:
n
1
1
1
1


�
na 3  nb3  m nb3  nc3  m nc3  na 3  m m
Hồn tồn tương tự, tơi cho các em tìm hiểu bài toán:
Bài toán 7: Cho a, b, c  0; abc  1. Chứng minh rằng:
ab
bc
ca
 5
 5
�1
5
5
a  b  ab b  c  bc c  a 5  ca
Phân tích hướng dẫn: Ngay từ đầu mà gặp bài tốn này chắc chắn học
sinh sẽ rất khó khăn và rất hoang mang trong việc tìm ra cách giải bài tốn,
nhưng việc được làm quen với cơng thức tổng quát (*) và chỉ cần gợi ý cho
học sinh thì các em sẽ tự mình tìm ra lời giải cho bài tốn.
5

Ta có: (a 2  b 2 )(a3  b3 ) �0 � a5  b5 �a 2 b2 (a  b)


8

� a5  b5  ab �ab(ab(a  b)  abc )  a 2b 2 (a  b  c )


ab
a  b5  ab
5

ab
a b (a  b  c )
2 2

1
ab(a  b  c )

abc
ab(a  b  c )

c
abc

ab
c
�
5
a  b  ab a  b  c

bc
a
�
Tương tự: 5
5
b  c  bc a  b  c
ca
b
�
5
5
c  a  ca a  b  c
Cộng vế theo vế ta được:
ab
bc
ca
abc
 5
 5
�
1
5
5
5
5
a  b  ab b  c  bc c  a  ca a  b  c
Với việc học sinh tự tìm ra được lời giải cho bài toán trên sẽ làm cho
học sinh tự tin hơn về bản thân và kích thích hứng thú học tốn cho các em, từ
đó phát huy tính sáng tạo cho các em. Mạnh dạn hơn tôi tiếp tục đưa ra cho
các em bài toán phức tạp hơn:

Bài toán 8: Cho a, b, c  0; abc  1. Chứng minh rằng:
Hay là:

5

1
1
1
1


�
3
3
3
(a  b)  4 (b  c)  4 (c  a)  4 4
Phân tích hướng dẫn: Ta thấy mẫu của các phân thức có chứa hằng
đẳng thức, chỉ cần hướng dẫn các em phân tích ra và áp dụng cơng thức tổng
qt (*) có thể thấy ngay hướng giải.
Ta có:  a  b   4  a 3  b3  3ab  a  b   4
3

Mà: (a  b)(a 2  b 2 ) �0 � a 3  b3 �ab(a  b)
3
3
Suy ra: a  b  3ab  a  b   4 �4ab  a  b   4

�  a  b   4 �4ab  a  b   4abc  4ab  a  b  c 
3



1
( a  b)3  4
Tương tự:

1
4ab( a  b  c)

abc
4ab( a  b  c)

1
a
�
(b  c)3  4 4( a  b  c)
1
b
�
3
(c  a)  4 4(a  b  c)

Cộng vế theo vế ta được:

c
4(a  b  c)


9

1
1
1
abc
1


�

3
3
3
(a  b)  4 (b  c)  4 (c  a)  4 4( a  b  c) 4
Dấu ''  '' xảy ra khi: a  b  c .
1
1
1
1


�
Vậy:
3
3
3
(a  b)  4 (b  c)  4 (c  a)  4 4
Với các bài tốn có luỹ thừa bậc lẻ của các hạng tử ở mẫu thì cách giải
có thể áp dụng trực tiếp cơng thức tổng qt (*) cịn các bài tốn có luỹ thừa
bậc chẵn của các hạng tử ở mẫu thì cách giải và khai thác như thế nào có khác
gì các bài tốn trên khơng? Tơi tiếp tục đưa ra bài tốn 9 để kích thích tư duy

các em:
Bài toán 9: Cho a, b, c  0; abc  1. Chứng minh rằng:
1
1
1
 2
 2
�1
2
2
a  b  1 b  c  1 c  a2  1
Phân tích hướng dẫn: Ta thấy rằng: Luỹ thừa của các hạng tử ở mẫu
chẵn có thể quy lạ về quen tức là đưa luỹ thừa chẵn về luỹ thừa lẻ bằng cách
đặt ẩn phụ rồi áp dụng công thức tổng quát (*) để thực hiện bài toán.
2

Đặt a 2  x3 ;b 2  y 3 ;c 2  z 3 � xyz  abc  1 ; lúc đó bài toán 9 trở thành:
Chứng minh rằng:

1
1
1
 3
 3
�1 với x, y, z  0;
3
3
x  y  1 y  z  1 z  x3  1
3

xyz  1.
Đây chính là bài tốn quen thuộc chúng ta đã giải ( Bài tốn 6)
Tương tự có thể khai thác bài toán với số mũ cao hơn:
Cho a, b, c  0; abc  1. Chứng minh rằng:
1
1
1
 4
 4
�1
4
4
a  b  1 b  c  1 c  a4  1
1
1
1
 2n
 2n
�1 ( với n là số tự nhiên)
b) 2 n
2n
2n
a  b  1 b  c  1 c  a 2n  1
Khi thấy các em đã hứng thú và có những đột phá trong tư duy, tôi tiếp tục
phát triển thêm bài toán sau :
Bài toán 10: Cho a, b, c  0; abc  1. Chứng minh rằng:
a)

4

c
a
b
 4
 4
�1
4
4
a  b  c b  c  a c  a4  b
Phân tích hướng dẫn: Rõ ràng mẫu thức của các phân thức gợi cho các
em công thức tổng qt (*). Sau một thời gian ngắn tìm tịi biến đổi, nhiều em
đã có hướng giải quyết.
4


10

Ta có: (a  b)(a 3  b 3 ) 0  a 4  b 4 a 3 b  ab 3 ab(a 2  b 2 ) .
Khi đó a 4  b 4  c  a 4  b 4  abc 2 �ab( a 2  b 2 )  abc 2 (do abc 1 ).
Hay

a 4  b4  c �ab(a 2  b2  c2 ) .

c
4
a  b4  c

abc 2
. Dấu bằng xảy ra  a b .
ab(a 2  b 2  c 2 )

Tương tự ta có:

a
bca 2
�
. Dấu bằng xảy ra  b c .
b 4  c 4  a bc(a 2  b2  c 2 )
b
cab 2
�
. Dấu bằng xảy ra  c a .
c 4  a 4  b ca(a 2  b2  c 2 )
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta có :
c
a
b
 4
 4
4
4
4
a  b  c b  c  a c  a4  b
abc 2
bca 2
cab 2
�


.

ab(a 2  b 2  c 2 ) bc (a 2  b 2  c 2 ) ca(a 2  b 2  c 2 )

=

c2
a2
b2


1
a 2  b2  c 2 a 2  b 2  c 2 a 2  b 2  c 2

c
a
b
 4
 4
�1
4
4
a  b  c b  c  a c  a4  b
Từ bài toán này, ta thấy có thể phát triển rất nhiều bài khác mà học sinh
có thể tự suy nghĩ và tìm được lời giải. Từ đó tạo được hứng thú cho các em,
các em sẽ ham muốn học toán hơn, phát huy được tính tích cực sáng tạo cho
các em.
Bài tốn 11: Cho a, b, c  0; abc  1. Chứng minh rằng:
Vậy:

4

c3
a3
b3
a3  b3  c 3


�
a 6  b6  c 3 b6  c 6  a 3 c 6  a 6  b3
3
Phân tích hướng dẫn: Với dạng toán này, sau khi đã làm được những
bài tốn trên, giờ đây bài này khơng khó để tìm ra cách giải kể cả những học
sinh trung bình khá. Nhưng đối với những học sinh mới gặp, kể cả những học
sinh khá giỏi cũng rất lúng túng, khó tìm được hướng giải quyết.
Theo cơng thức (*), ta có: (a  b)(a 5  b5 ) �0 � a 6  b6 �ab(a 4  b 4 )
Nên: a 6  b6  c3 �ab(a 4  b 4 )  c3
 ab(a 4  b 4 )  abc 4


11

 ab( a 4  b 4  c 4 )
c3

a 6  b6  c3
Tương tự:

c3
ab(a 4  b 4  c 4 )
a3
a3

�
b6  c 6  a3 bc(a 4  b 4  c 4 )

b3
b3
�
c 6  a 6  b3 ca(a 4  b4  c 4 )
Cộng vế theo vế ta có:
c3
a3
b3


a 6  b6  c3 b 6  c 6  a 3 c 6  a 6  b3
c3
a3
b4
�


ab(a 4  b 4  c 4 ) bc (a 4  b 4  c 4 ) ca (a 4  b 4  c 4 )
�a 3 b3 c3 �
1
 4

� 
�
a  b 4  c 4 �bc ca ab �


�a 4
1
b4
c4 �


�
� 1
a 4  b 4  c 4 �abc abc abc �

Mặt khác ta thấy:

=

 1

a 3  b 3  c 3 3 3 a 3b 3 c 3
�
1
3
3

 2

c3
a3
b3
a 3  b3  c 3
Từ (1) và (2) � 6



�1 �
a  b 6  c 3 b 6  c 6  a 3 c 6  a 6  b3
3
c3
a3
b3
a 3  b3  c 3


�
a 6  b6  c3 b6  c 6  a 3 c 6  a 6  b3
3
Tiếp tục kích thích tư duy của các em, tơi đưa tiếp một bài tập sau:
Bài tốn 12: Cho a, b, c  0; Chứng minh rằng:
1
1
1
1
 6
 6
�
6
6
2 2 2
6
2 2 2
6
2 2 2
a b a b c

b c a b c
c a a b c
(abc )2
Vậy:

Phân tích hướng dẫn: Khi các em đã có tư duy nhất định thì việc nhìn
nhận bài tốn này là khơng có gì khó khăn. Để ý mẫu thức của các phân thức,
các em có thể áp dụng cơng thức tổng quát (*) để biến đổi và bài toán trở nên
dễ dàng.
Dựa vào cơng thức (*) ta có:

(a 2  b 2 )(a 4  b 4 ) �0 � a 6  b6 �a 4b 2  a 2b 4  a 2b 2 (a 2  b 2 ) .


12

Khi đó: a 6  b6  a 2b 2c 2 �a 2b 2 (a 2  b 2 )  a 2b 2c 2  a 2b 2 (a 2  b 2  c 2 ) .

1
1
�
. Dấu bằng xảy ra  a b .
a 6  b 6  a 2b 2 c 2 a 2b 2 ( a 2  b 2  c 2 )
Tương tự ta có:

1
1
�
. Dấu bằng xảy ra  b c .
b 6  c 6  a 2b 2 c 2 b 2 c 2 ( a 2  b 2  c 2 )

1
1
�2 2 2
. Dấu bằng xảy ra  c a .
2 2 2
c a a b c
c a (a  b 2  c 2 )
6

6

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta có :
1
1
1
 6
 6
6
6
2 2 2
6
2 2 2
6
a b a b c
b c a b c
c  a  a 2b 2 c 2
1
1
1
�2 2 2

 2 2 2
 2 2 2
2
2
2
2
a b (a  b  c ) b c (a  b  c ) c a ( a  b 2  c 2 )


1
1
1 �
�1


�
�
a 2  b 2  c 2 �a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 �

� c2
1
a2
b2 �
 2


�
�
a  b 2  c 2 �a 2b 2 c 2 a 2b 2 c 2 a 2b 2 c 2 �


Vậy:

�a 2  b 2  c 2
1
�
a 2  b 2  c 2 � a 2b 2 c 2

� 1
1
� 2 2 2 
(abc )2
�abc

1
1
1
1


�
a 6  b6  a 2b 2 c 2 b6  c 6  a 2b 2 c 2 c 6  a 6  a 2b 2 c 2 (abc )2

Chú ý rằng: Nếu abc  1 thì bài tốn 11 có thể khai thác theo hướng khác là:
Cho a, b, c  0; abc  1. Chứng minh rằng:
1
1
1
 6
 6
�1

6
6
a  b  1 b  c  1 c  a6  1
Khi các em đã quen với một chuỗi các bài tốn như trên, tơi đưa cho các em
một bài toán dễ hơn để xem hướng tư duy của các em thế nào?
Bài toán 13: Cho a, b, c  0; Chứng minh rằng:
6

a2
b2
c2
a 3  b3  c3


�
b2  c2 c2  a 2 a 2  b2
2abc
Phân tích hướng dẫn: Lúc này bài tốn này khơng hề làm khó các em
nữa. Các em đã biết vận dụng công thức (*) khá thành thạo:
(a  b)(a  b) �0 � a 2  b 2 �2ab


13

Do đó:

c2
c2
c3
�


a 2  b 2 2ab 2abc

a2
b2
c2
a3
b3
c3
a 3  b3  c 3


�



Nên: 2
b  c 2 c 2  a 2 a 2  b 2 2abc 2abc 2abc
2abc
a2
b2
c2
a 3  b3  c3


�
Vậy: 2
b  c2 c2  a 2 a 2  b2
2abc
Từ bài toán này, tơi tiếp tục đưa ra những bài tốn khác với cách giải

tương tự và các em khơng khó để tìm ra lời giải.
Bài toán 14: Cho a, b, c  0; abc  1. Chứng minh rằng:
1
1
1
a 2  b2  c2


�
1  a 2 1  b2 1  c2
2
Phân tích hướng dẫn: Từ cơng thức (*), ta có:

 1  a   1  a  �0 � 1  a 2  2a �0
� 1  a 2 �2a và a 2  b 2  c 2 �ab  bc  ca . Và học sinh sẽ dễ dàng làm được
bài tốn.
1
1
Ta có: 1  a 2 �2 a 
2
1 a
2a
Từ đó:

1
1
1
1
1
1 1 �ab  bc  ca �



� 

 �
�
2
2
2
1 a 1 b 1 c
2a 2b 2c 2 � abc
�

1 �ab  bc  ca � a 2  b 2  c 2
Mặt khác: �
��
2 � abc
2
�
1
1
1
a 2  b2  c 2


�
Vậy:
1  a 2 1  b2 1  c2
2
Từ công thức (*) các em đã biết vận dụng để chứng minh một số bất đẳng thức

đại số. Tôi tiếp tục đưa các em vào guồng tư duy cho các bài tốn tìm cực trị. .
Bài tốn 15: Cho a, b, c  0; abc  2021 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
sau:
1
1
1
 3 3
 3
3
a  b  2021 b  c  2021 c  a  2021
Phân tích hướng dẫn: Đây là bài tốn được khai thác từ bài toán 6 nên
hầu hết các em dễ dàng tìm được lời giải khi dựa vào cơng thức (*).
P

3

3

Ta có: (a  b)(a 2  b 2 ) �0 � a3  b3 �ab(a  b)


1
a  b  2021
3

3

1
ab(a  b)  abc

1
ab(a  b  c )

1
ab(a  b  c )


14

Hay là:

1
1
�
a  b  2021 ab(a  b  c )

Tương tự:

1
1
�
b  c  2021 bc (a  b  c )

3

3

3

3

1
1
�
c  a  2021 ca( a  b  c)
3

3

Cộng vế theo vế ta có:
1
1
1
 3 3
 3
3
3
3
a  b  2021 b  c  2021 c  a  2021
1
1
1
�


ab(a  b  c ) bc(a  b  c ) ca (a  b  c )


abc
1

1


abc(a  b  c) abc 2021

1
Hay P �
2021
2021
3
2021
1
Vậy: Giá trị lớn nhất của P bằng
khi và chỉ khi a  b  c 
2021
3
Với những bài tốn chưa có dạng để áp dụng cơng thức (*) thì phải làm thế
náo ta xét bài tốn sau :
Bài toán 16: Cho a, b, c  0; abc  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
1
1
1
A


3
3
3
 a  b  4  b  c  4  c  a  4
Dấu “=” xảy ra khi a  b  c 

Phân tích hướng dẫn: Mẫu của các phân thức có chứa hằng đẳng thức,
chỉ cần hướng dẫn các em phân tích các mẫu ra có thể thấy ngay hướng giải.
Ta có:

 a  b

3

 4  a 3  b3  3ab  a  b   4

Theo tính chất (*) ta có: (a  b)(a 2  b 2 ) �0 � a 3  b3 �ab(a  b)
Suy ra: a 3  b 3  3ab(a  b)  4 4ab(a  b)  4
�  a  b   4 �4ab  a  b   4abc  4ab  a  b  c 
3

Nên:

1
1
abc
c
�


(a  b)3  4 4ab(a  b  c) 4ab(a  b  c ) 4(a  b  c)

Tương tự:

1

a
�
3
(b  c)  4 4(a  b  c)


15

1
b
�
3
(c  a)  4 4( a  b  c)
Cộng vế theo vế ta được:
1
1
1
abc
1


�

3
3
3
(a  b)  4 (b  c)  4 (c  a)  4 4(a  b  c) 4
Dấu “=” xảy ra khi: a  b  c  1.
1
Vậy: Giá trị lớn nhất của biểu thức A bằng khi và chỉ khi: a  b  c  1

4
Sau khi các em đã giải xong bài tốn trên, tơi ln chú ý cho các em bài
tốn trên có thể ra theo hướng khác như sau:
Cho a, b, c  0; abc  1 . Chứng minh rằng:
1
1
1
1


�
3
3
3
(a  b)  4 (b  c)  4 (c  a)  4 4
Mạnh dạn hơn, tơi đưa ra một bài tốn với số mũ lớn hơn để xem tư duy của
các em thế nào?
Bài toán 17: Cho a, b, c  0; abc  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
a 2b 2
b 2c 2
c2a2
A 7


a  b 7  a 2b 2 b 7  c 7  b 2 c 2 c 7  a 7  c 2 a 2
Phân tích hướng dẫn: Bài tốn đã làm khó một số em trong những phút
đầu tiên. Khi qua một số gợi ý thì các em đã tự tìm được lời giải cho bài tốn
trên và từ đó sẽ tạo ra cho các em lòng đam mê học toán.

Ta thấy:

a

3

 b3   a 4  b4  �0 � a 7  b7 �a 3b3 (a  b)

Khi đó:
a 7  b7  a 2b 2 �a3b3 (a  b)  a 2b 2  a 3b3 (a  b)  a 3b3c  a 3b3 (a  b  c )

a 2b 2
 7
a  b 7  a 2b 2
Hay

a 2b 2
a 3b3 (a  b  c )

1
ab(a  b  c )

a 2b 2
c
�
7
7
2 2
a b a b
a bc
Tương tự:

b 2c 2
a
�
7
7
2 2
b c b c
abc

c 2a 2
b
�
7
7
2 2
c a c a
abc
Cộng vế theo vế ta được

c
a bc


16

a 2b 2
b 2c 2
c 2a 2
a bc



�
1
a 7  b7  a 2b 2 b7  c 7  b 2c 2 c 7  a 7  c 2a 2 a  b  c
Dấu “=” xảy ra khi a  b  c  1
Vậy: Giá trị lớn nhất của A bằng 1 khi và chỉ khi: a  b  c  1
Tôi tiếp tục đưa ra cho các em bài toán tương tự:
Bài toán 18: Cho a, b, c  0; abc  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
5
5
c5
a
b


5
5
5
a 8  b8  c
b8  c8  a
c8  a8  b
Phân tích hướng dẫn: Đến lúc này thì hầu như các em khơng cịn gặp
khó khăn gì nữa.

A

Ta có: (a  b)(a 7  b7 ) �0 � a8  b8 �ab(a 6  b 6 )
Do đó: a8  b8  c5 �ab(a6  b6 )  c5
 ab( a 6  b 6 )  abc 6

 ab( a 6  b6  c 6 )
Vậy:

c5
c5
�
a8  b8  c 5 ab(a 6  b6  c 6 )

Tương tự:
a5
a5
�
b8  c8  a5 bc(a 6  b6  c 6 )
b5
b5
�
c8  a8  b5 ca (a 6  b6  c 6 )
Cộng theo vế ta được:
c5
a5
b5
A�


ab(a 6  b 6  c 6 ) bc(a 6  b 6  c 6 ) ca (a 6  b 6  c 6 )
�c 5 a 5 b5 �
1
 6
�   �
a  b6  c 6 �ab bc ca �

�c 6
1
a6
b6 �
 6

� 
�
a  b6  c 6 �abc abc abc �


a 6  b6  c 6
1

1
abc (a 6  b6  c 6 ) abc

Dấu “=” xảy ra khi a  b  c  1
Vậy: Giá trị lớn nhất của A bằng 1 khi và chỉ khi a  b  c  1


17

Hồn tồn tương tự, ta có thể tạo ra được rất nhiều bài toán khác mà
cách chứng minh dựa vào cơng thức (*).
Qua đó, có thể thấy xuất phát từ “bài tốn đơn giản” rồi tìm ra cơng
thức tổng qt, hay là có tính chất chung nào đó, rồi có thể hướng dẫn học
sinh khai thác được rất nhiều bài toán. Và với cách làm này học sinh rất dễ
nhớ, dễ tiếp thu và từ đó các em lĩnh hội được và có cho mình cách giải tốn.
Từ đó tạo được hứng thú cho các em, sẽ kích thích tính chủ động sáng tạo cho

các em và các em sẽ đam mê học và nghiên cứu bộ mơn tốn.
Sau khi hồn thành chuỗi bài tốn trên, tơi u cầu các em hãy sáng tác ra cho
tôi các bài tập tương tự. Và kết quả cịn nằm ngồi dự kiến của tôi. Các em đã
đem lại cho tôi niềm tin vào cách khai thác và phát triển bài toán. Các em đã
đưa ra một số bài tập tương tự :
Bài 1: Cho a, b, c  0; abc  1. Chứng minh rằng:
1
1
1
 3 3
 3
�abc
3
3
a  b  abc b  c  abc c  a 3  abc
Bài 2: Cho a, b, c  0; abc  1. Chứng minh rằng:
1
1
1


�1
3
3
( a  b )  4abc ( b  c )  4abc ( c  a )3  4abc
Bài 3: Cho a, b, c  0; abc  1. Chứng minh rằng
1
1
1
1



�
3
3
3
(a  b)  4 (b  c)  4 (c  a)  4 4
Bài 4: Cho a, b, c  0; abc  1. Chứng minh rằng:
1
1
1


�1
a 8  b8  1 b 8  c 8  1 c 8  a 8  1
Bài 5: Cho a, b, c  0; abc  1. Chứng minh rằng:
a2
b2
c2
1
 2
 2
 (a 3  b 3  c 3 )
2
2
2
2
b c
c a
a b

2
Bài 6: Cho a, b, c  0; abc  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M 

1
1
1
 6
 6
6
6
a  b 1 b  c 1 c  a 6 1
6

Bài 7: Cho a, b, c  0; abc  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
c4
a4
b4


1
a 7  b7  c 4 b7  c7  a 4 c7  a7  b4
2.4. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM


18

Khi chưa thực hiện SKKN này, học sinh chỉ giải được một số bài tập về
bất đẳng thức, cực trị đơn giản, hay mắc những sai lầm, hay gặp khó khăn, ngại
làm bài tập về bất đẳng thức và tìm cực trị.

Sau khi thực hiện đề tài này thì học sinh có hứng thú khi giải tốn bất
đẳng thức, làm bài tập tốt hơn, tự giải quyết được các bài tập bất đẳng thức và
cực trị có dạng tương tự, hạn chế được rất nhiều sai lầm khi giải toán về bất
đẳng thức và cực trị, học sinh có kỹ năng làm các bài toán về bất đẳng thức và
cực trị một cách hợp lý, hiệu quả các em nhìn nhận mỗi bài tốn dưới nhiều khía
cạnh khác nhau. Từ đó kích thích được sự tị mị, sự sáng tạo, ham học hỏi,
khám phá cái mới lạ trong học tập mơn tốn nói riêng và các mơn khoa học khác
nói chung.
Do đặc điểm của nội dung kiến thức, sáng kiến kinh nghiệm này tôi chỉ
đưa ra để áp dụng cho các em khối lớp 9. Kết quả thu được sau khi áp dụng
SKKN đã nằm ngoài những suy nghĩ mong đợi của tơi. Niềm đam mê u
thích của các em đã tăng hơn nhiều và đặc biệt khi trình bày một bài toán cực
trị các em đã làm khá tốt và đạt kết quả khá cao. Kết quả thu được như sau:
Bảng 3: Mức độ hứng thú của học sinh sau khi áp dụng SKKN
Tổng
Hứng thú
Hơi hứng thú
Không hứng
HS
thú
SL
%
SL
%
SL
%
15
14
93,3
1

6,7
0
0
Bảng 4: Bảng điểm khảo sát của học sinh sau khi áp dụng SKKN
Điểm
Dưới 5
5–6
7
8 – 10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
Lớp
9
0
0
1
6,7
4
26,6
10
66,7
3. KẾT LUẬN-KIẾN NGHỊ.
3.1. KẾT LUẬN.
Như vậy, sau mỗi bài toán chúng ta hướng cho học sinh dành một thời

gian nhất định để suy xét bài tốn. Thiết nghĩ đó cũng là một phương pháp học
tốn và làm tốn rất bổ ích. Làm được điều đó với học sinh sẽ tạo ra sự hiểu
bài sâu hơn, có nhiều phương pháp giải hơn và đương nhiên sẽ tìm được
phương pháp hay nhất.
Vận dụng sáng kiến này vào giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi
nhận thấy rằng đây là việc làm thiết thực phù hợp với trình độ nhận thức học
sinh, phù hợp chương trình đổi mới theo định hướng phát triển năng lực cho
học sinh và giáo dục kỹ năng sống cho học sinh hiện nay.
3.2. KIẾN NGHỊ


19

Để đạt được hiệu quả cao trong dạy học môn Tốn, giáo viên phải có
phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh. Muốn có được
phương pháp tốt đòi hỏi người thầy phải thường xuyên học hỏi, tự bồi dưỡng
những kiến thức cho mình. Đồng thời phải trang bị cho học sinh những ý tưởng
giải toán, sau đó mới rèn luyện những kỹ năng trình bày lời giải .
Nội dung các bài tập khi phát triển phải theo một trình tự logic từ dễ đến
khó
Học sinh phải có thời gian tự học, trao đổi, tự tìm tịi lời giải, tự phân tích
và phát triển mỗi bài tốn theo nhiều hướng khác nhau.
Trên đây chỉ là kinh nghiệm của cá nhân nên không thể tránh khỏi
những hạn chế. Tơi rất mong được sự đánh giá góp ý của các bạn đồng nghiệp
và hội đồng khoa học các cấp để kinh nghiệm này ngày càng được hồn thiện
hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn BGH trường THCS Thị trấn Cành Nàng và
các đồng nghiệp đã giúp đỡ tơi hồn thành SKKN này.

XÁC NHẬN CỦA

HIỆU TRƯỞNG

Nguyễn Tiến Đạt

Bá Thước, ngày 30 tháng 3 năm 2021
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.
NGƯỜI VIẾT

Nguyễn Thanh Tuấn


20


21

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. SGK Toán 9, tập một.
2. SBT Toán 9, tập một.
3. Các bài toán về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong đại số ở THCS
4. Một số phương pháp chứng minh BĐT ở trường THCS
5. Những viên kim cương trong BĐT
6. Các lời giải khác nhau của một bài toán BĐT
7. Tuyển tập các bài toán BĐT


22
DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP

CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Nguyễn Thanh Tuấn
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS thị trấn Cành Nàng
Kết quả
đánh giá
xếp loại

TT

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá xếp
loại

Năm học
đánh giá
xếp loại

1.

Phát triển tư duy học sinh qua bài

Cấp huyện

B

2010

2.

tốn hình
Phát triển tư duy học sinh qua bài

Cấp tỉnh

C

2010

3.

tốn hình
Rèn luyện kỹ năng tư duy cho học

Cấp huyện

B

2015

Cấp huyện

B

2017

Cấp tỉnh

B

2017

sinh lớp 8 qua việc khai thác và
4.

phát triển bài tốn cực trị hình học
Rèn luyện kỹ năng tư duy cho học
sinh lớp 8 trường THCS thị trấn
Cành Nàng qua việc khai thác và

5.

phát triển bài tốn hình học
Rèn luyện kỹ năng tư duy cho học
sinh lớp 8 trường THCS thị trấn
Cành Nàng qua việc khai thác và
phát triển bài tốn hình học