SKKN hướng dẫn học sinh phương pháp ghép trục, trong các bài toán hàm số hợp, nhằm nâng cao kết quả môn toán trong kỳ thi tốt nghiệp của trường THPT nông cống 3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ

TRƯỜNG THPT NƠNG CỐNG 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH
PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC,
TRONG CÁC BÀI TOÁN HÀM SỐ HỢP
NHẰM NÂNG CAO KẾT QUẢ MƠN TỐN TRONG
KỲ THI TỐT NGHIỆP CỦA TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 3

Người thực hiện: Trần Thị Chinh
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc mơn: Tốn

THANH HỐ NĂM 2021


MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
1.5.Những điểm mới của SKKN.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
2.3. Giải pháp cụ thể.
2.3.1. Nguyên tắc ghép trục xét sự biến thiên của hàm hợp.

2.3.2. Một số bài toán minh họa trong đề thi minh họa của Bộ giáo dục
2.3.3. Một số bài toán phát triển
2.3.4. Một số bài tập tương tự( cho học sinh tự ôn luyện)
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
3.2. Kiến nghị.
Tài liệu tham khảo.

Trang
1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
5
10
19
21
22
22
22
22

Danh mục SKKN đã được xếp loại.

23


HƯỚNG DẪN HỌC SINH
PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC,
TRONG CÁC BÀI TOÁN HÀM SỐ HỢP,
NHẰM NÂNG CAO KẾT QUẢ MƠN TỐN TRONG
KỲ THI TỐT NGHIỆP CỦA TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 3
1. MỞ ĐẦU
1.1 . Lý do chọn đề tài
Đối với mỗi giáo viên việc ôn thi tốt nghiệp là một nhiệm vụ quan trọng, để
có kết quả cao trong cơng tác ơn thi tốt nghiệp, ngồi việc tạo học sinh có năng
lực, đam mê bộ mơn học, người thầy cịn phải có kiến thức tốt, kinh nghiệm ơn
tập và đặc biệt có những giải pháp hiệu quả nhằm khắc phục những khó khăn
vướng mắc của học sinh trong q trình ơn luyện giúp học sinh giải quyết các
vấn đề khó bằng những phương pháp đơn giản nhưng hiệu quả.
Trong những năm vừa qua tôi được nhà trường tin tưởng, giao phụ trách ôn
luyện học sinh thi tốt nghiệp, bản thân cảm thấy rất tự hào coi đây là động lực để
tôi cố gắng phấn đấu và tìm tịi phương pháp hay để giải bài tập khó nhằm nâng
cao kết quả trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT( cịn có tên là kỳ thi THPT quốc gia).
Trong quá trình dạy học ở bậc phổ thông, việc bồi dưỡng kiến thức và phát
triển tư duy cho học sinh là hai nhiệm vụ trọng tâm của người giáo viên.Vì lí do
thời lượng chương trình và đáp ứng một cách đại trà về kiến thức cho học sinh
nên chương trình sách giáo khoa phổ thơng chỉ mới đáp ứng được một phần kiến
thức. Chính điều này đã làm hạn chế sự phát triển tư duy của những em học sinh
khá và giỏi. Vì vậy trong quá trình giảng dạy chúng tôi luôn quan tâm đến hai
vấn đề là đáp ứng kiến thức đại trà và phát triển tư duy cho học sinh khá giỏi.
Các bài toán “ hàm số ” chiếm tỉ trọng rất lớn trong đề thi, các câu hỏi khó

nằm ở phần này nhiều.
Để ơn tập cho học sinh phần này, trong lần ôn tập năm học 2019-2020 và
năm nay 2020-2021, tơi đã tìm tịi biên soạn lại, từ nhiều nguồn khác nhau, để
ôn tập cho lớp mình phụ trách và thu được nhiều kết quả tốt đẹp.
Để có được thành quả đó là cả một q trình nghiên cứu, tìm tịi, đổi mới
phương pháp giảng dạy, hướng dẫn học sinh giải quyết các bài tốn khó bằng
những cách làm đơn giản, nhanh gọn nhưng hiệu quả.
Với thành ý muốn được chia sẻ với đồng nghiệp trong tỉnh về kinh nghiệm
của bản thân, tôi xin mạnh dạn chia sẻ kinh nghiệm của mình bằng viết sáng
1


kiến kinh nghiệm: "Hướng dẫn học sinh phương pháp ghép trục, trong các
bài toán hàm số hợp, nhằm nâng cao kết quả mơn Tốn trong kỳ thi tốt
nghiệp của trường THPT Nơng Cống 3" với hi vọng sẽ giúp ích được cho
những đồng nghiệp có tâm huyết, có đam mê với cơng tác ơn thi tốt nghiệp.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Đề tài đưa ra một phương pháp ghép trục, nhằm giải quyết nhanh gọn một
số bài toán chủ đề hàm số, trong đề thi tốt nghiệp quốc gia.
- Đề tài chỉ ra tính hiệu quả phương pháp ghép trục, trong các bài toán hàm
số hợp.
- Đề tài cung cấp cho các đồng nghiệp một nguồn tư liệu cực kì bổ ích trong
cơng tác ơn thi tốt nghiệp mơn Tốn phần hàm số.
- Đề tài giúp học sinh phát huy tối đa năng lực, tạo điều kiện để những học
sinh có năng lực đạt kết quả cao trong các kì thi tốt nghiệp .
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Phương pháp ghép trục, trong các bài toán hàm số hợp.
- Một số dạng toán dùng phương pháp ghép trục.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp tự nghiên cứu và ứng dụng thực tiễn

- Phương pháp thực nghiệm và đối chứng
- Phương pháp thống kê tổng hợp
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
1.5. Những điểm mới của SKKN
- Đưa ra phương pháp mới, phương pháp ghép trục, trong các bài toán hàm
số mà trong sách giáo khoa Tốn 12 khơng có.
- Đề tài gắn liền với thực tế đề thi tốt nghiệp quốc gia và đề thử tốt ngiệp của
các trường trên tồn quốc.
- Đề tài trình bày và giải quyết vấn đề thơng qua việc giải các bài tốn cụ thể
và được chia thành các dạng khác nhau.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong chương trình đổi mới sách giáo khoa và phương thức giảng dạy hiện
nay , học sinh trong việc chủ động trong mọi hoạt động học tập và lĩnh hội tri
thức, việc kích thích tính học tập chủ động của học sinh là rất cần thiết trong
từng tiết dạy lý thuyết và đặc biệt là tiết luyện tập , ôn tập đòi hỏi người giáo
2


viên luôn luôn sáng tạo trong từng bài dạy từng tiết dạy để tránh việc " thông
báo kiến thức " , ''chữa bài tập'' qua đó học sinh thấy hứng thú và chủ động tìm
tịi cái mới từ cái đã có.
Để làm được điều này người giáo viên phải tạo ra được cái mới từ những
cái đã có bằng việc đào sâu mở rộng khai thác một cách triệt để từ những cái ban
đầu, có thể khó thì ta làm dễ đi để đơn giản hoặc từ dễ ta tổng hợp lên để nó
thích ứng được với từng đối tượng . hoặc tạo ra những bài tốn có nhiều tình
huống gắn được với thực tế .
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Chủ đề cực trị của hàm số và tương giao giữa các đồ thị hàm số là một
trong những kiến thức cơ bản ở chương trình tốn giải tích lớp 12. Tuy nhiên

cực trị của hàm hợp và các bài toán tương giao của hàm hợp là những dạng tốn
khó. Cực trị của hàm hợp và tương giao giữa các đồ thị hàm số của hàm hợp là
một nội dung thường gặp trong các đề thi THPT Quốc gia ở mức độ vận dụng và
vận dụng cao. Nhìn chung khi học vấn đề này, đại đa số học sinh (kể cả học sinh
khá giỏi) thường gặp những khó khăn, sai lầm sau:
Học sinh thường không định hướng được cách làm. Do đó học sinh có
cảm giác “xa lạ” hơn so với các bài toán về cực trị và tương giao giữa các đồ thị
hàm số đã học trước đây. Học sinh không tận dụng được kiểu “tư duy liên hệ cũ
với mới” vốn có của mình khi nghiên cứu vấn đề này.
2.3. Giải pháp cụ thể:Phương pháp ghép trục trong các bài toán hàm hợp
2.3.1. Nguyên tắc ghép trục xét sự biến thiên của hàm hợp g = f ( u ( x ) )

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm g = f ( u ( x ) ) , giả sử ta được tập xác định
D = ( a1 ; a2 ) ∪ ( a3 ; a4 ) ∪ ... ∪ ( an −1 ; an ) . Ở đây a1 có thể là −∞ , an có thể là +∞ .
Bước 2: Xét sự biến thiên của u = u ( x ) và hàm y = f ( x ) (Bước 2 có thể làm
gộp trong bước 3 nếu nó đơn giản).
Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa  x; u = u ( x )  và

u; g = f ( u )  .
Bảng này thường có 2 dịng dạng

3


Cụ thể các thành phần trong bảng biến thiên như sau
Dòng 1: Xác định các điểm kỳ dị của hàm u = u ( x ) , sắp xếp các điểm này theo
thứ tự tăng dần từ trái qua phải, giả sử như sau: a1 < a2 < ... < an (xem chú ý 1).
Dòng 2: Điền các giá trị ui = u ( ai ) , i = 1,..., n .
Trên mỗi khoảng ( ui ; ui +1 ) , i = 1,..., n − 1 cần bổ sung các điểm kỳ dị b1 ,
b2 ,..., bk của hàm y = f ( x ) .

Trên mỗi khoảng ( ui ; ui +1 ) , i = 1,..., n − 1 cần sắp xếp các điểm ui , bk
theo thứ tự chẳng hạn: ui < b1 < b2 < ... < bk < ui +1 hoặc ui > b1 > b2 > ... > bk > ui +1
(xem chú ý 2).
Dòng 3: Xét chiều biến thiên của hàm g = f ( u ( x ) ) dựa vào bảng biến thiên của
hàm y = f ( x ) bằng cách hốn đổi: u đóng vai trị của x , f ( u ) đóng vai trị

của f ( x ) . Sau khi hoàn thiện bảng biến thiên hàm hợp g = f ( u ( x ) ) ta thấy
được hình dạng đồ thị hàm này.
Bước 4: Dùng bảng biến thiên hàm hợp g = f ( u ( x ) ) giải quyết các yêu cầu đặt
ra trong bài toán và kết luận.
Chú ý 1:
- Các điểm kỳ dị của u = u ( x ) gồm: Điểm biên của tập xác định D , các điểm
cực trị của u = u ( x ) .
- Nếu xét hàm u = u ( x ) thì trong dịng 1 các điểm kỳ dị cịn có các nghiệm của

phương trình u ( x ) = 0 (là hoành độ giao điểm của u = u ( x ) với trục Ox ).
- Nếu xét hàm u = u ( x ) thì trong dịng 1 các điểm kỳ dị cịn có số 0 (là hồnh
độ giao điểm của u = u ( x ) với trục Oy ).
Chú ý 2:
- Có thể dùng thêm các mũi tên để thể hiện chiều biến thiên của u = u ( x ) .
- Điểm kỳ dị của y = f ( x ) gồm: Các điểm tại đó f ( x ) và f ′ ( x ) không xác

4


định, các điểm cực trị hàm số y = f ( x ) .

- Nếu xét hàm g = f ( u ( x ) ) thì trong dịng 2 các điểm kỳ dị cịn có nghiệm của
phương trình f ( x ) = 0 (là hoành độ giao điểm của u = u ( x ) với trục Ox ).

(

- Nếu xét hàm g = f u ( x )

)

thì trong dịng 2 các điểm kỳ dị cịn có số 0 (là

hoành độ giao điểm của y = f ( x ) với trục Oy ).
2.3.2. Một số bài toán minh họa trong đề thi minh họa của Bộ giáo dục
( sử dụng hai phương pháp)
Bài 1 (MH-BGD-L1-2020). Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn [ −π ; 2π ] của phương trình 2 f ( sin x ) + 3 = 0 là
A. 4.
B. 6.
C. 3.
D. 8.
Lời giải
Chọn B.
Cách 1: Tự luận truyền thống.
Đặt t = sin x, x ∈ [ −π ; 2π ] ⇒ t ∈ [ −1;1] .
3
Ta có phương trình 2 f ( t ) + 3 = 0 ⇔ f ( t ) = − .
2
3
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f ( t ) = − có 2 nghiệm t = a
2
∈ ( −1;0 ) và t = b ∈ ( 0;1) .

Trường hợp 1: t = a ∈ ( −1;0 ) .
Ứng với mỗi giá trị t ∈ ( −1;0 ) thì phương trình có 4 nghiệm
−π < x1 < x2 < 0 < π < x3 < x4 < 2π .
Trường hợp 2: t = b ∈ ( 0;1) .
Ứng với mỗi giá trị t ∈ ( 0;1) thì phương trình có 2 nghiệm 0 < x5 < x6 < π .
Hiển nhiên cả 6 nghiệm trong hai trường hợp trên đều khác nhau.
5


Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm thuộc đoạn [ −π ; 2π ] .
Cách 2: Phương pháp ghép trục

π

x
=
−

2

π
;
Đặt t = sin x ∈ [ −1;1] vì x ∈ [ −π ; 2π ] ; t ′ = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔  x =

2

 x = 3π
2


3
Ta có 2 f ( sin x ) + 3 = 0 ⇔ f ( sin x ) = − .
2
Do đó tổng số nghiệm của phương trình đã cho là 6.
Bài 2 (MH-BGD-L1-2020). Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị như hình
3
2
bên. Số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = f ( x + 3 x ) là

A. 5.

B. 3.

C. 7.
Lời giải

D. 11.

Chọn C
Cách 1: Tự luận truyền thống

6


Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) như sau

3
2
2
3

2
Ta có g ( x ) = f ( x + 3x ) ⇒ g ′ ( x ) = ( 3x + 6 x ) . f ′ ( x + 3x )

x = 0

2
 x = −2
3 x + 6 x = 0
⇔  x 3 + 3 x 2 = a; a < 0
Cho g ' ( x ) = 0 ⇔ 
3
2
 3
 f ′ ( x + 3x ) = 0
 x + 3x 2 = b;0 < b < 4
 3
2
 x + 3 x = c; a > 4

x = 0
3
2
2
Xét hàm số h ( x ) = x + 3 x ⇒ h′ ( x ) = 3 x + 6 x. Cho h′ ( x ) = 0 ⇔ 
 x = −2
Bảng biến thiên

3
2
Ta có đồ thị của hàm số h ( x ) = x + 3x

7


Từ đồ thị ta thấy:
Đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y = h ( x ) tại một điểm.
Đường thẳng y = b cắt đồ thị hàm số y = h ( x ) tại ba điểm.
Đường thẳng y = c cắt đồ thị hàm số y = h ( x ) tại một điểm.
Như vậy phương trình g ′ ( x ) = 0 có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt.
3
2
Vậy hàm số g ( x ) = f ( x + 3x ) có 7 cực trị.
Cách 2: Phương pháp ghép trục

 x = −2
2
.
Xét hàm số u = x3 + 3x 2 ta có u ′ = 3 x + 6 x = 0 ⇔ 
x
=
0


Gọi a, b, c là các điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) khi đó a < 0 < b < 4 < c và ta
cũng có f ( a ) < f ( c ) < 0; f ( b ) > 0.
8


3
2

Suy ra g ( x ) = f ( x + 3x ) có 7 điểm cực trị.

Bài 3 (MH-BGD-L2-2020). Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau

 5π 
Số nghiệm thuộc đoạn 0;  của phương trình f ( sin x ) = 1 là
 2 
A. 7.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Lời giải
Chọn C
Cách 1: Tự luận truyền thống
 5π 
Đặt t = sin x, x ∈ 0;  ⇒ t ∈ [ −1;1] .
 2 
Khi đó phương trình f ( sin x ) = 1 trở thành f ( t ) = 1, ∀t ∈ [ −1;1] .
Đây là phương trình hồnh độ giao điểm của hàm số y = f ( t ) và đường thẳng
y = 1.

t = a ∈ ( −1;0 )
.
Dựa vào bảng biến thiên, ta có f ( t ) = 1 ⇒ 
t = b ∈ ( 0;1)
Trường hợp 1: t = a ∈ ( −1;0 ) .
Ứng với mỗi giá trị t ∈ ( −1;0 ) thì phương trình sin x = t có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa
mãn π < x1 < x2 < 2π .
Trường hợp 2: t = b ∈ ( 0;1) .
Ứng với mỗi giá trị t ∈ ( 0;1) thì phương trình có 3 nghiệm x1 , x2 , x3 thỏa mãn

5π
0 < x3 < x4 < π ; 2π < x5 <
. Hiển nhiên cả 5 nghiệm trong 2 trường hợp trên
2
đều khác nhau.
 5π 
Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thuộc đoạn 0;  .
 2 
Cách 2: phương pháp ghép trục

9


 5π 
Đặt t = sin x, x ∈ 0;  ⇒ t ∈ [ −1;1] .
 2 
Khi đó phương trình f ( sin x ) = 1 trở thành f ( t ) = 1, ∀t ∈ [ −1;1] .

Do đó tổng số nghiệm của phương trình đã cho là 5.
2.3.3. Một số bài toán phát triển ( sử dụng phương pháp ghép trục)
Bài 1. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị được cho như hình vẽ bên dưới. Hỏi
3
phương trình f ( x − 3x + 1) − 2 = 1 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A. 8.

B. 6.

C. 9.
Lời giải

D. 11.

Chọn B
Đặt u = x3 − 3x + 1 .
2
Ta có u ′ ( x ) = 3 x − 3; u ′ ( x ) = 0 ⇔ x = ±1.
BBT của hàm số u ( x ) :

10


 f ( u) = 3
3
f
x
−
3
x
+
1
−
2
=
1
f
u
−
2
=

1
⇔
Phương trình (
trở thành: ( )
)

 f ( u ) = 1
3
Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) và từ bảng biến thiên của hàm số u ( x ) = x − 3x + 1
3
ta có bảng biến thiên của hàm hợp f ( x − 3x + 1) = f ( u ) như sau:

Từ bảng trên ta thấy phương trình f ( u ) = 1 có 5 nghiệm và phương trình
f ( u ) = 3 có 1 nghiệm. Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm.
Bài 2. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như hình bên

Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình
f 2 ( cos x ) + ( 3 − m ) f ( cos x ) + 2m −10 = 0 có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc
11


 π 
đoạn  − ; π  là
 3 
A. 5.
B. 6.

C. 7.
Lời giải

D. 4.

Chọn B

 π 
Đặt t = cos x ∈ [ −1;1] vì x ∈  − ; π  .
 3 
x = 0
t ′ = 0 ⇔ sin x = 0 ⇔ 
x = π

2
Khi đó phương trình f ( cos x ) + ( 3 − m ) f ( cos x ) + 2m − 10 = 0 trở thành

 f ( t) = 2
f 2 ( t ) + ( 3 − m ) f ( t ) + 2m − 10 = 0 ⇔ 
 f ( t ) = m − 5

Do phương trình f ( t ) = 2 có 3 nghiệm nên u cầu bài tốn tương đương với
phương trình f ( t ) = m − 5 có duy nhất một nghiệm −4 ≤ m − 5 < 2 ⇔ 1 ≤ m < 7 .
Vì m ∈ ¢ nên m ∈ { 1; 2;3; 4;5;6} .
Bài 3. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như hình
bên.

12


Xác định số nghiệm của phương trình f ( x3 − 3x 2 ) =
A. 6 .

B. 9 .

C. 10 .
Lời giải

3
, biết f ( −4 ) = 0.
2
D. 11 .

Chọn C.
Theo ra ta có bảng biến thiên tổng hợp:

3
2
Đồ thị y = f ( x − 3 x ) là phần nét liền. Từ bảng biến thiên thì phương trình

3
có 10 nghiệm phân biệt.
2
Bài 4. Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị
f ( x3 − 3x 2 ) =

3
nguyên của tham số m để phương trình 3 f ( x − 3x ) = m có 8 nghiệm phân

biệt.

A. 5 .

B. 4 .

C. 3 .
Lời giải

D. 6 .

Chọn A

13


3
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình 3 f ( x − 3 x ) = m có 8 nghiệm phân biệt

m
< 3 ⇔ 3 < m < 9. Vì m ∈ ¢ , suy ra m ∈ { 4,5, 6,7,8} .
3
2
Bài 5. Cho hàm số f ( x ) = x − 2 x . Số điểm cực trị của hàm số
g ( x ) = f ( f ( x ) − 1) là
A. 8.
B. 3.
C. 4.
D. 11.
Lời giải
Chọn B
2
Hàm số f ( x ) = x − 2 x có bảng biến thiên:
khi và chỉ khi 1 <

Đặt u = f ( x ) − 1 .
Ta có u ′ ( x ) = f ′ ( x ) ; u ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 1 ⇒ u = −2.
Bảng biến thiên của hàm số u ( x ) :

Từ hai BBT trên ta có BBT của hàm số g ( x ) = f ( f ( x ) − 1) = F = f ( u )

14


Từ bảng biến thiên ta có hàm số g ( x ) có 3 điểm cực trị.
Bài 6 . Cho f ( x ) là hàm đa thức bậc 6 sao cho đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như
hình vẽ

2
Tìm số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = f ( x + 4 x + 5 ) .
A. 2.
B. 5.
C. 3.
D. 1.
Lời giải
Chọn C
BBT của hàm số y = f ( x )

Đặt u = x 2 + 4 x + 5 . u ′ = 2 x + 4, u ' = 0 ⇔ x = −2 ⇒ u = 1.
BBT của u

2
BBT của g ( x ) = f ( x + 4 x + 5 ) = f ( u )

15


Từ bảng biến thiên hàm số g ( x ) có 3 điểm cực trị.

Bài 7 .Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và xác định R và có đồ thị như hình vẽ.
2
Hàm số y = f ( x − 4 x ) có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

A. 5 .

B. 7 .

C. 9 .

D. 11

Lời giải

Đặt u ( x ) = x − 4 x  ⇒ u ′ = 2 x − 4 = 0 ⇒ x = 2
2

Đặt

t =u( x ) = x −4 x
2

2
Vẽ đồ thị hàm số u ( x ) = x − 4 x , từ đó suy ra đồ thị t = u ( x )

Bảng biến thiên

16


2
Suy ra hàm số y = g ( x ) = f ( x − 4 x ) có tất cả 5 diểm cực trị.

Bài 8 .Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ. Phương trình
f ( 1 − f ( x ) ) = 0 1
( ) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A. 5 .
Đặt u = 1 − f ( x )

B. 7 .

C. 4 .

D. 6 .

Lời giải

Từ đồ thị của hàm y = f ( x ) ta suy ra BBT của hàm u = 1 − f ( x ) và hàm
f ( u ) như sau ( Với f ( 4 ) < − 3 và −3 < f ( 0 ) < 0 )

Từ bảng trên ta thấy phương trình f ( u ) = 0 có 7 nghiệm phân biệt.
Bài 9 .Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên R và có đồ thị là đường cong như
hình vẽ. Đặt g ( x ) = 3 f ( f ( x ) ) + 4 . Số điểm cực trị của hàm số g ( x ) là

17


A. 2 .
Đặt u = f ( x )

B. 8 .

C. 10 .

D. 6 .

Lời giải

Từ đồ thị của hàm y = f ( x ) ta suy ra BBT của hàm u = f ( x ) và hàm
g ( x ) = 3 f ( f ( x ) ) + 4 như sau (với 2 < a < 3; f ( − 5 ) < − 5 < f ( a ) < − 4 ).

Từ BBT của hàm hợp ta có hàm số g ( x ) = 3 f ( f ( x ) ) + 4 có 8 điểm cực
trị.
Bài 10.Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ.

 3x 2 + 2 x + 3 
Tìm tất cả các giá trị m để phương trình f 
÷ = m có nghiệm.
2
 2x + 2 
A. − 4 ≤ m ≤ − 2
B. m > −4
C. 2 < m < 4
D. 2 ≤ m ≤ 4

18


Lời giải
Dựa vào đồ thị đã cho ta có đồ thị của hàm y = f ( x ) là

Đặt t =

3x 2 + 2 x + 3
−4 x 2 + 4
 x = −1
′
⇒
t
=
2 ; t′ = 0 ⇔ 
.
2
2 x2 + 2
( 2x + 2)
x = 1

Ta có bảng biến thiên:

Với 2 < a < 4 .
Vậy phương trình f  3x + 2 x + 3  = m có nghiệm khi và chỉ khi
.
2≤m≤4

÷

2
 2x + 2 
2

2.3.4. Một số bài toán tương tự ( cho học sinh tự ôn luyện)
Câu 1: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ bên.
Số điểm cực đại của hàm số g ( x ) = f

A. 1.

B. 2.

(

)

x 2 + 2 x + 2 là

C. 3.

D. 4.
19


Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau:

Phương trình

f ( cosx ) =

13
3

 π π


D. 4 .

có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng  − ; ÷ ?
2 2

A. 0 .
B. 1 .
C. 2 ..
Câu 3: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

(

)

3
2
Số nghiệm của phương trình f 4 − x − 6 x + 9 x − 3 = 0 là

A. 5 .
B. 6 .
C. 3 .
D. 4 .
Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình sau. Có bao nhiêu giá trị
ngun của tham số m để phương trình f

(

)

4 − x 2 = m có đúng 2

nghiệm phân biệt.

A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) .Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ.

20


2
Hàm số y = f ( x − 1) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 5 .
B. 7 .
C. a1< a2 < . < an.

D. 3 .

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
2.4.1 Đối với bản thân
Trong năm học 2019-2020 tôi được nhà trường phân công ôn thi THPT
quốc gia các lớp chọn của trường. Tôi đã vận dụng những kinh nghiệm mà mình

tích lũy được để ơn tập và hướng dẫn học sinh thi THPT quốc gia (bây giờ là kỳ
thi tốt nghiệp THPT).
Bảng thống kê kết quả mơn Tốn do tơi trực tiếp giảng dạy
Kỳ thi
Lớp
Số điểm 9 trở lên Điểm TB
Ghi chú
2020
12C1
28
8.85
2020
12C6
3
7,24
Lớp thường
Kết quả ôn thi Tốt nghiệp đạt được trong những năm gần đây thực sự là
một kì tích đối với bản thân tơi và nhà trường. Đó cũng là minh chứng cho thấy
hướng đi đúng đắn của tôi trong việc ôn thi Tốt nghiệp THPT, là nguồn động
lực và là niềm tin để tôi tiếp tục cố gắng phấn đấu và áp dụng kinh nghiệm của
mình vào thực tiễn cơng tác trong những năm tới.
2.4.2 Hiệu quả ứng dụng vào thực tiễn các trường THPT trong tỉnh:
- SKKN có thể áp dụng cho tất cả các trường THPT.
- Giới thiệu cho các đồng nghiệp và học sinh một nguồn bài tập hay để áp
dụng.
- Khích lệ và cổ vũ phong trào ơn thi tốt nghiệp THPT của các trường
THPT trong tỉnh, góp phần tăng thứ hạng của mơn Tốn Thanh Hóa.
- Giúp học sinh các trường THPT có thêm kiến thức tham gia kì thi Tốt
nghiệp đạt kết quả tốt nhất; có thêm động lực và niềm tin vào khả năng của
mình

21


3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận
Sau một thời gian nghiên cứu, hoàn thành đề tài và vận dụng vào dạy học.
bản thân tôi khẳng định đề tài đã mang lại hiệu quả trong công tác ôn thi Tốt
nghiệp THPT. Học sinh sau khi được hướng dẫn, các em có thể vận dụng tìm giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, cực trị hàm trị tuyệt đối vào các bài toán cụ thể
trong các đề thi tốt nghiệp THPT những năm gần đây. Giúp trường THPT Nông
Cống 3 duy trì được kết quả thi tốt nghiệp THPT.
Mong muốn của tơi là được đóng góp một chút cơng sức cho giáo dục
tỉnh nhà, cổ vũ phong trào ôn thi tốt nghiệp THPT của các trường THPT trong
tỉnh, được chia sẻ cách làm của mình với đồng nghiệp trong và ngồi nhà
trường. Đây cũng là dịp để bản thân tơi nhìn lại những gì mình đã làm để đạt
được thành cơng trong những năm qua. Tôi hi vọng kinh nghiệm này sẽ giúp ích
được cho các đồng nghiệp trong cơng tác ôn thi tốt nghiệp THPT, để các đồng
nghiệp tham khảo, góp ý và áp dụng nhằm nâng cao hiệu quả ôn thi tốt nghiệp
THPT ở các trường THPT trong toàn tỉnh.
3.2 Kiến nghị
- Tiếp tục đổi mới cách ôn tập trong ôn thi tốt nghiệp THPT, đáp ứng đổi
mới căn bản toàn diện giáo dục, đảm bảo khách quan, phù hợp với đặc điểm các
môn học.
- Tăng cường hơn nữa việc thi thử tốt nghiệp THPT ở tỉnh Thanh
Hóa( hiện tại Thanh Hóa mới tổ chức 1 lần thi, mong muốn các nhân nên tổ
chức thêm).
Thanh Hóa, ngày 10 tháng 5 năm 2021
HIỆU TRƯỞNG
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,

khơng sao chép nội dung của người khác.

Trần Thị Chinh

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Giải tích 12
2. Đề thi THPT Quốc gia, tốt nghiệp các năm
3. Đề Thi minh họa, đề thi thử THPT Quốc gia, tốt nghiệp các trường trên
toàn quốc qua các năm
22


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Trần Thị Chinh
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Nông Cống 3
Kết quả
Cấp đánh
đánh giá
giá xếp loại
xếp loại
(Phòng, Sở,
(A, B,
Tỉnh...)
hoặc C)

Năm học
đánh giá xếp

loại

Ngành

C

2013

SKKN “Khai thác các bài
tốn bằng nhiều hình thức
nhằm phát triển tư duy học
2
Ngành
sinh trong việc ôn tập học
sinh giỏi phần hình học
khơng gian”

C

2020

TT

Tên đề tài SKKN

SKKN “Khám phá một số
bài tốn trong chương I hình
học 11 bằng tình huống gợi
1 vấn đề nhằm phát huy tính
tích cực của học sinh ban

KHTN”

23