SKKN phát triển năng lực tư duy cho học sinh lớp 12 thông qua lớp bài toán sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp nhằm nâng cao kết quả thi tốt nghiệp THPT trường THPT lang chánh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT LANG CHÁNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH LỚP 12 THƠNG
QUA LỚP BÀI TỐN SỬ DỤNG KỸ THUẬT NHÂN LIÊN HỢP NHẰM
NÂNG CAO KẾT QUẢ THI TỐT NGHIỆP
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRƯỜNG THPT LANG CHÁNH

Người thực hiện: Nguyễn Văn Long
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn.

THANH HỐ, NĂM 2021


MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu.

2
2
2
2
2

1.5. Những điểm mới trong sáng kiến kinh nghiệm
2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

2.1. Cơ sở lí luận
2.2 . Thực trạng

3
3

2.2.1. Thực trạng trước khi nghiên cứu

3

2.2.2. Hệ quả của thực trạng trên
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
2.3.1. Sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp để giải phương trình
2.3.2. Sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp để giải bất phương trình
2.3.4. Sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp để tìm giới hạn
2.3.5. Sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp tính tích phân
2.3.6 Sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp trong số phức

4
5
4
13
13
15
16

2.4 Kết quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục

19

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
20

3.1. Kết luận

21

3.2. Kiến nghị

21

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài:
Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển tồn diện về
đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá
nhân, tính năng động và sáng tạo, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi
1


vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc.
Trong thực tế giảng dạy ở trường Trung học phổ thông, đặc biệt là học sinh
lớp 12 của trường tơi ở mức độ học lực trung bình cao, điểm đầu vào mơn tốn
thấp. Khi gặp các bài tốn có sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp các em lúng túng
và khơng tìm ra hướng giải bài tốn
Bản thân các bài toán sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp cũng rất đa dạng. Có
nhiều bài tốn địi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp tốt, và phải có sự liên
hệ với các kiến thức lại với nhau thì mới giải quyết được.Với khoảng thời gian
ngắn các em muốn giải quyết được bài tốn có liên quan tơi nhân liên hợp, yêu
cầu các em phải nhớ đựơc dạng để áp dụng.
Hiện nay có rất nhiều tài liệu đề cập đến cách giải các bài tốn có sử dụng

kỹ thuật nhân liên hợp, tuy nhiên lý thuyết, ví dụ và bài tập minh hoạ chỉ là một
phần nhỏ trong các mục, kiến thức về nhân liên hợp chưa được xâu chuỗi thành
hệ thống lý thuyết và bài tập
Để giúp các em đạt kết quả cao trong kỳ thi Trung học phổ thông quốc gia
tôi xin được giới thiệu sáng kiến kinh nghiệm" Sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp
để giải tốn trung học phổ thơng”. Sáng kiến kinh nghiệm này giúp các em nhận
ra dạng của bài toán có sử dụng tới nhân liên hợp, áp dụng và giải giải nhanh
được dạng tốn cơ bản, từ đó nâng cao được kiến thức để giải các các dạng toán
thường gặp trong các đề thi trung học phổ thông quốc gia, và các dạng khác liên
quan đến nhân liên hợp và làm cho học sinh thấy được sự gần gũi và quan trọng
của toán học trong cuộc sống hằng ngày.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Đề tài này nghiên cứu nhằm giúp học sinh trung học phổ thơng giải quyết
các bài tốn có liên quan đến hàm kỹ thuật nhân liên hợp. Giúp cho các em đạt
điểm cao trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Sáng kiến kinh nghiệm có đối tượng nghiên cứu là các bài tốn có liên
quan đến kỹ thuật nhân liên hợp.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Để trình bày sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã sử dụng phối kết hợp nhiều
phương pháp như: nghiên cứu tài liệu, thuyết trình, quan sát, điều tra cơ bản,
thực nghiệm so sánh, phân tích kết quả thực nghiệm, … phù hợp với mơn học
thuộc lĩnh vực Tốn.
2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
2.1. Cơ sở lý luận:
Sáng kiến này dựa trên các bài tốn phương trình, bất phương trình, bất
đẳng thức, các dạng tốn giới hạn, bài tập tích phân và số phức, trong
chương trình tốn trung học phổ thông.
2

- Biểu thức liên hợp:
Biểu thức liên hợp tổng quát:
 ( a  b)( a  b)  a2 b
)( a  b)  a  b
 (3 a  b
3 2
3 2
3
3
 ( n a  n b)( n an1 nabn2 b )  an b
n1
 ( a  b)( a  a b  ...  b )  a  b
2.2. Thực trạng trước khi nghiên cứu:
2.2.1. Thực trạng trước khi nghiên cứu:
Sau một thời gian dạy học mơn tốn trong chương trình tốn trung học phổ
thơng. Tôi nhận thấy một số vấn đề như sau:
Trong sách giáo khoa các bài toán sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp khơng ít,
khơng có lời giải chi tiết do đó học sinh thường khơng có định hướng để giải bài
toán tương tự. Nhưng thực tế các bài toán yêu cầu học sinh cần có kinh nghiệm
biến đổi thì mới giải quyết được đặc biệt là kỹ thuật nhân liên hợp.
Trường tôi lại là một trường ở miền núi, điều kiện kinh tế khó khăn. Số
lượng học sinh trung bình chiếm hơn 70%,và chủ yếu học sinh học ban cơ
bản.Tư duy của các em cịn nhiều hạn chế do đó khi gặp các bài toán sử dụng kỹ
thuật này, các em thường khơng có định hướng phải giải bài tốn như thế nào?
Qua các bài kiểm tra định kì, kiểm tra thường xuyên ở hai lớp 10A5 và
11A6 tôi thấy học sinh thường khơng tìm được hướng giải quyết. Vì thế điểm
kiểm tra thường thấp chưa cao. Cụ thể bài kiểm tra lớp 10A5 trước khi tôi chưa
đưa ra sáng kiến “Hướng dẫn học sinh áp dụng kỹ thuật sử dụng nhân liên hợp
để giải quyết một số bài toán” kết quả đạt được như sau:

Lớp 10A5 ( Tổng số học sinh 39)
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
SL
0

%
0

SL
3

%
7,1%

SL
20

%
51,3%

Lớp 11A6 ( Tổng số học sinh 41)
Giỏi
Khá
TB
SL
0

%
0

SL
4

%
9

SL
14

%
35,8%

Yếu

SL
23

%
56,1

SL
12

SL
2

%
5.8%

Kém
%
29.2

SL
2

%
5.7

2.2.2. Hệ quả của thực trạng trên:
Chính vì vậy mà học sinh các lớp tôi dạy ban đầu thường lúng túng khi
gặp các bài toán sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp.
Với những kinh nghiệm đúc rút từ thực tế giảng dạy của bản thân. Tôi viết
sáng kiến kinh nghiệm này để giúp các em có thể làm nhanh và tốt bài toán thực
3


tế có liên quan đến kỹ thuật nhân liên hợp. Tôi mong muốn giúp các em làm bài
tốt bài thi tốt nghiệp trung học phổ thông, bồi dưỡng cho các em lịng say mê,
u thích mơn Tốn. Biết áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn. Thấy được
những tác dụng to lớn của Toán học trong thực tiễn.
2.3. Các biện pháp sử dụng để giải quyết vấn đề:
1. Sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp để giải phương trình đại số:
2.3.
a. Dạng phương trình
Thường là những phương trình chứa căn thức .

b. Cách giải
- Thường loại phương trình dạng này ta thường nhân cả tử số và mẫu số với
biểu thức liên hợp ở mẫu số để đưa về phương trình tích.
- Hoặc có thể nhẩm nghiệm của phương trình để xuất hiện thừa số của tích
mà ta phải phân tích, từ đó xác định biểu thực liên hợp cần phải nhân thêm.
c. Một số điểm cần lưu ý khi giải phương trình
Sai lầm thường gặp của học sinh:
- Khơng đặt điều kiện cho phương trình.
- Học sinh khơng nhẩm nghiệm nên không biết nhân biểu thức liên hợp nào
để đưa về phương trình tích.
- Khơng biết giải phương trình tích.
- Rút gọn biểu thức làm mất nghiệm của phương trình.
d. Một sớ ví dụ minh họa
Ví dụ 1 Cho phương trình
x 2  x  2 x 2  x  3  21x  17 .
Gọi S là tổng nnghiệm của phương trình sau thuộc tập nghiệm nào sau đây:
5
7
C. S=
D. S=
A. S=3
B. S=2
2
2
(Đề thi khảo sát chất luợng 12, THPT chuyên KHTN Năm học 2018-2019)

Lời giải Chọn A
Phân tích: Ta nhẩm được hai nghiệm x  1, x  2 . Do đó phương trình sẽ
2
có 2 nghiệm với nhân tử chung dạng ( x  2)( x  1)  x  3 x  2

Do đó với 2 biểu thức căn cịn lại phải ghép lại có dạng
� 2 x 2  x  3  ( ax  b) �
, �(cx  d )  21x  17 �
�
�
��
với a, b, c, d thỏa các hệ
2
2
�
�a  1
�khi x  1 : 2 x  x  3  ax  b � 2.1  1  3  a.1  b
��
�
b 1
2 x 2  x  3  ax  b � 2.22  2  3  2a  b �
�
�khi x  2 :
4

và


�
khi x  1: 21x  17  cx  d � 21.1  17  c.1  d
c 3
�
�
��
�

d  1.
khi x  2: 21x  17  cx  d � 21.2  17  2c  d
�
�
Khi đó ta có lời giải như sau
Điều kiện: 21x  17 �0. Khi đó phương trình tương đương với
() � � 2 x 2  x  3  ( x  1) � �
(3 x  1)  21x  17 �
 ( x 2  3 x  2)  0
�
�
�
�
2
x  3x  2
9( x 2  3 x  2)
�

 ( x 2  3x  2)  0
2
2 x  x  3  x  1 3 x  1  21x  17
�
�
1
9
� ( x 2  3x  2) �

 1� 0
� 2
� 2 x  x  3  x  1 3 x  1  21x  17

�
(1)
1
9
17

1  0
x � ,
2
3
x

1

21
x

17
2
x

x

3

x

1
21 suy ra
Do

2
nên
(1) � x  3x  2  0 � x  1 hoặc x  2. � S=1+2 =3 Vậy chọn đáp
án A
Ví dụ 2. Giải phương trình
2 3 x  4  3 5 x  9  x 2  6 x  13 .

Gọi S là tổng bình phương các nghiệm thì giá trị của S là:
A. S  3
B. S  1
C. S  2
D. S  4
(Đề thi khảo sát 12, THPT Giao Thuỷ Nam Định Năm học 2019-2020)

Lời giải
Chọn B
Phân tích: Ta nhẩm được hai nghiệm của phương trình là: x  0, x  1. Khi đó
ta cần ghép hai căn thức với bậc nhất dạng
�
�
2�
, 3�
,
� 3x  4  ( ax  b) �
� 5 x  9  (cx  d ) �
trong đó
�
khi x  0 � 3x  4  3.0  4  2  ax  b  a.0  b  b
a 1
�

�
��
�
b2
khi x  1 � 3x  4  3.(1)  4  1  ax  b  a.(1)  b   a  b �
�
và
�
khi x  0 � 5 x  9  50  9  3  cx  d  c0  d  d
c 1
�
�
��
�
d  3.
khi x  1 � 5 x  9  5(1)  9  2  cx  d  c(1)  d  c  d
�
�
Khi đó ta có cách giải như sau
Phương trình đã cho tương đương với
� �
� 2
2�
� 3x  4  ( x  2) � 3 � 5 x  9  ( x  3) � x  x
2( x 2  x )
3( x 2  x)
�

 ( x 2  x)  0
3x  4  x  2

5x  9  x  3

5


2
3
�
�
� ( x 2  x) �

 1� 0
5x  9  x  3 �
� 3x  4  x  2
x0
�
� x2  x  0 � �
x  1.
�
2
3
4

 1  0.
x � ,
3
x

4


x

2
5
x

9

x

3
3 suy ra
Do
2
2
Các nghiệm cần tìm là x  1, x  0 � S  1  0  1� Chọn B

Ví dụ 3 Giải phương trình
3 2x  1  x 5  4x2  4x2 .

Giả sử x1  x2 khi đó tổng S  2x1  x2 là bao nhiêu:
A. S=1
B. S=2
C. S=3
D. S=4
(Đề thi khảo sát 12, THPT Giao Thuỷ Nam Định Năm học 2019-2020)
1
x  , x 1
2
Lời giải Phân tích: Nhẩm nghiệm tìm được 2 nghiệm

nên ghép
bậc nhất để liên hợp.
� 1
1
1
�x  � 2 x  1  2 �  1  0  ax  b  a  b �a  2
��
�
2
2
� 2
b


1
�
�
Với 2 x  1 thì �x  1 � 2 x  1  2.1  1  1  ax  b  1.a  b
2
Với 5  4x thì
1
1
�
khi x  � 5  4 x 2  5  1  2  ax  b  a  b �
a  2
�
2
2
��
�

�
b

3
�
�
khi x  1 � 5  4 x 2  5  4.12  1  ax  b  a  b
�
1
5
�x � �
2
Khi đó ta có lời giải sau, Điều kiện: 2
1
x
2 là một nghiệm của phương trình.
� Nhận thấy
1
x � � 2 x  1  2 x  1 �0
2
� Với
thì
2
2
�
� �
3�
� 2 x  1  (2 x  1) � x � 5  4 x  (2 x  3) � 3(2 x  3x  1)  0
6(2 x 2  3x  1) 4 x(2 x 2  3x  1)
�


 3(2 x 2  3x  1)  0
2
2x  1  2x 1
5  4x  3  2x
�
�
6
4x
� (2 x 2  3x  1) �

 3 � 0
�
5  4 x2  3  2 x
� 2x  1  2x  1
�
6


1
2 (loại) hoặc x  1.
1
1
x  1, x  � S  2x1  x2  2.  1 2
� nghiệm cần tìm là
� Chọn C
2
2
Nhận xét. Trong bài toán này, ta phải xét hai trường hợp, nguyên nhân là do khi
liên hợp có biểu thức

1
2x 1  2x 1  0 � x  �
2
Chính biểu thức dưới mẫu số này làm cho phép biến đổi không xác định, đó là
sai lầm thường gặp của học sinh.
Ví dụ 4. Cho phương trình
3x  5  2 3 19 x  30  2 x 2  7 x  11 .
� 2 x2  3x  1  0 � x 

Gọi S là tổng của tất cả các nghiệm phương trình trên, khi đó S là giá trị nào:
A. S 2
B. S  3
C. S  4
D. S  5
(Đề thi tham khảo trên Violet.vn Năm học 2018-2019)

Lời giải
Phân tích. Sử dụng casio tìm được 2 nghiệm x  2, x  3 của phương trình. Khi
đó ta sẽ ghép bậc nhất với từng căn thức tương tự như các ví trên và có lời giải
sau.
5
3 x �۳�
5 0
x
3 Phương trình tương đương với
Điều kiện:
� 3x  5  ( x  1) � 2( 3 19 x  30  x)  2 x 2  10 x  12
�
�
2

3 x  5  ( x  1)
19 x  30  x 3
�
2
 2( x  2)( x  3)
3
3x  5  x  1
(19 x  30) 2  x 3 19 x  30  x 2
�

( x  2)( x  3)
( x  2)( x  3)( x  5)
2
 2( x  2)( x  3)
2
2
3
3
3x  5  x  1
(19 x  30)  x 19 x  30  x

�
�
1
2( x  5)
� ( x  2)( x  3) �

 2 � 0
2
2

3
3
3
x

5

x

1
�
�
(19
x

30)

x
19
x

30

x
�
�
�
�
1
2( x  5)


 2 � 0 x �R
�
2
2
3
3
3
x

5

x

1
�
�
(19
x

30)

x
19
x

30

x
�

�
Vì
� ( x  2)( x  3)  0 � x  2 hoặc x  3.
Vậy tổng các nghiệm S  2  3  5 � Chọn D
Bài tập áp dụng
Giải các phương trình sau
1.

3x 2  5 x  1  x 2  2  3  x 2  x  1  x 2  3 x  4
7


2.

3.

2x  3  x  2x  6

3

2 x2
9  2x



2

 x9

2

2
4. 3 x  3x  2  ( x  6) 3 x  2 x  3
2
5. 3 x  1  6  x  3x  14 x  8  0
3
2
2
6. x  x  2 x  10  2( x  x  1) x  1  6
2.3.2. Sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp để giải bất phương trình:
a. Cách sử dụng:
Ta thường dụng kỹ thuật này để đưa bất phương trình về dạng xuất hiện
thừa số trung ở 2 vế sau đó đặt nhân tử chung để có thể giải được bất phương
trình của chúng dưới dạng tích
Khi nhân biểu thức liên hợp ta thường chú ý tới việc có làm thay đổi tập
xác định của bất phương trình hay khơng
Khi nhân liên hợp ta kết hợp với các kỹ thuật phân tích đã nói ở phương
trình
b. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho bất phương trình
x1
3x  2  4x  1 �
5
�
a;b�
Gọi tập nghiệm của bất phương trình có dạng � �khi đó S  a  b là
1
3
5
7
A. S 

B. S 
C. S 
D. S 
4
4
4
4
1
x �
4
Lời giải: Điều kiện:
Khi đó bất phương trình tương đương với:

(x  1)

Vì

x1
1
1
�
� (x  1)(
 ) �0
3x  2  4x  1 5
3x  2  4x  1) 5
1
1
 0
3x  2  4x  1) 5
1 0

x 1
nên x �

�1 �
N�
 ;1�
4 �
�
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là
khi đó tổng

S

1
3
 1
4
4 � Chọn B
8


2x  4  2 2  x 

12x  8

9x2  16 là
Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình
�
�4 2 �
� 2 � �4 2

S �
�; ��� ;��
S �

2;1
�
;3�
�  �
�
�
�
3
3
3
�
� �
�
�
�
A.
B.
� 2 � �4 2 �
� 2 � �4 2 �
S �
2; ��� ;2�
S �
2; ��� ;2�
�
�
3

3
3
�
� �
� 3� �
�
�
�
C.
D.
Lời giải
Chọn C
12x  8
2x  4  2 2  x 
9x2  16 có điều kiện: 2 �x �2
Nhân vế trái của biểu thức liên hợp 2x  4  2 2  2x được
6x  4
12x  8

� 9x2  16  2 2x  4  2 2  x
2x  4  2 2  2x
9x2  16



Bình phương 2 vế ta được



� 9x2  16  4 2x  4  8  4x  4  2x  4  2  x



� 9x2  32  8�
2 8  2x2  x�
�
�
�
�
6x  4
12x  8
�2 �

x�� ;2�
9x2  16
�3 �, ta có: 2x  4  2 2  2x
 Với
�2 �
x�� ;2�
�3 �nên 6x  4  0 và 12x  8  0
Vì



� 9x2  16  2



2x  4  2 2  x



� 9x2  16  4 2x  4  8  4x  4  2x  4  2  x



�
�
8
� 0
� 9x2  32 �
1
�
�
2
� 9x  32  8�
2 8  2x  x�
�
�
2
� 2 8  2x  x �
�
�
�
�
4 2
4 2 � S1  �4 2 ;2�
x
x
�3

�
�
3 hoặc
3
� 9x2  32  0 �



2

9






� 2�
x��
2; �
3�
�
 Với
, ta có:

(*) �

1
2x  4  2 2  x



2
9x2  16

� 9x2  16  2x  4  2 2  x



� 9x2  16  4 2x  4  8  4x  4  2x  4

  2  x

� 9x2  32  8(2 8  2x2  x)
Nhân vế phải với biểu thức liên hợp của ta được :
32  9x2

�
�
8
�
� 0
1
�
�
2
� 2 8  2x  x �
� 2�
4 2
4 2

�
S

2; �
�
 x
2 �
� 3�
3
3
� 9x2  32  0
.
� 2 � �4 2 �
S  S1 �S2  �
2; ��� ;2�
� 3� �
�
�3
Vậy bất phương trình có tập nghiệm
Bài tập tương tự
Giải các bất phương trình sau đây
2x2
1.
 x 1
2. 1 x  1 x �x
2
(3  9  2x)
2





9x  32  8
� 9x2  32
�
�
2
2 8  x  x�
�
�
�

3.

2x



� 1 2x



4. 3 2  x  2  2x  x  6

2x  9
2.3.3. Sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp để tìm giới hạn vơ định của dãy
số và hàm số:
a. Phương pháp :
Mục đích nhân liên hợp để khử các dạng vô định và đưa về các dạng xác

định của hàm số
k f (n)  m g (n ) �
lim �
�
�trong đó lim f ( n)  lim g ( n)  � ta thường
Khi tìm
tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp
f ( n)
lim
g (n) ta thường chia cả tử
Sau khi nhân liên hợp ta thường đưa về dạng
k
và mẫu cho n , trong đó k là bậc lớn nhất của tử và mẫu.
b. Các ví dụ :

10


Các giới hạn về dãy số
I  lim

Ví dụ 1: Tính giới hạn
A. I  1.
B. I  1.



n 2  2n  3  n

C. I  0.

D. I  �.
Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có

I  lim

n
 lim

2



n  2n  3  n
2

 2n  3  n 2


 lim



n 2  2n  3  n



n2  2n  3  n



n 2  2n  3  n

2n  3

 lim

n 2  2n  3  n
n 2  2n  3  n
3
2 
2
n
 lim

 1.
2 3
1 1
1  2 1
n n

Ví dụ 2 : Tính
A. 1 .
Lời giải
Chọn A.





lim n  3 n3  3n 2  1

 bằng
D. �.

C. �.

B. 1 .

2
3 3
Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp (bậc ba) của: n  n  3n  1
n3   n3  3n2  1
2
3 3
lim n  n  3n  1  lim
2 �
�2
n  n 3 n3  3n 2  1  3  n3  3n 2  1 �
�
�
�
Tacó:
1
3  2
n
 lim

 1





2

3 1
� 3 1�
1 1  3  3 �
1  3 �
n n
� n n �
3

.

Các giới hạn về hàm sớ
Ví dụ 1 Tìm giới hạn của hàm số

7 x  10  2
x2

I  lim
x �2





7 x  10  2
Bài giải: Nhân cả tử và mẫu với liên hợp của tử là
được:
7 x  10  2 . 7 x  10  2
7 x  10  2
I  lim
 lim
x �2
x �2
x2
 x  2  7 x  10  2





11








 lim
x �2

 x  2 

7x-14
7 x  10  2



 lim
x�2

Ví dụ 2: Tìm giới hạn của hàm số:

7
7

7 x  10  2 4

A  lim





x��

x2  x  3  x ta được


A  lim  x  x  3  x  lim
x��

7
4

x2  x  3  x


Bài giải: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của
2

Vậy:

I





x2  x  3  x

x��

 là

x2  x  3  x

x2  x  3  x

x2  x  3  x

3

x  x  3 x
x 3
1
x
 lim
 lim
 lim

x��
2
1 3
x2  x  3  x x�� x2  x  3  x x��
1   1
x x
1
A
2
Vậy
Bài tập tương tự : Tính các giới hạn sau đây
2



1

2







1. lim

n2  n  3  n

2. lim 3 8n3  1  2n

3. lim

x2  3  2
x1

3. lim

x�1

4x  1  3 1 6x

x2  4  2
2.3.4. Sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp để giải bài tốn tích phân:
a. Phương pháp chung: Thơng thường ta thường dung kỹ thuật này áp
dụng để giải bài toán tích phân có chứa căn ở mẫu, sau khi nhân liên hợp ta
thường rút gọn mẫu số của biểu thức chứa dấu tích phân
Khi nhân biểu thức liên hợp ta phải chú ý biểu thức liên hợp phải xác định
trên cận của tích phân
b.Các ví dụ:
1
�x  1  x  2dx

Ví dụ 1 : Tìm nguyên hàm của hàm số sau đây
x�0

Bài giải: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp
1
�x  1  x  2dx  � x  2  x  1 dx 





12



 được

x 2 x 1

 x  2

3



 x  1

3

C

1

�
x

Ví dụ 2: Tính tích phân sau

x3dx

0

1 x2

2
Bài giải: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức là (x  1 x ) ta được:
1

�
x

1

x3dx

0

x3(x  1 x2 )dx

1





�
�
x3 1 x2  x4 dx
1 x2 0 (x  1 x2 )(x  1 x2 ) 0

1

1

�
x 1 x dx  �
x4dx  I 1  I 2
3

2

0

0

t  1 x2 � dt 
Đặt

x

1 x

2

dx � xdx  tdt

2
�x  0 � t  1
�
t5 t3 2 7 2  2
2
2
I1  �
(t  1)t dt  (  ) 1 
�
5 3
15
x

1
�
t

2
�
1
Đổi cận:
Khi đó :
x5 1 1
2 2 1

2 21
I2 
 � I  I1  I 2 
�I 
0
5
5
15
15
Mà
Vậy:

Các bài tập tương tự
1

1

x
2. I  �
dx
2
1 x  1  x
2
2
x
x2
3. I  �
dx
4. I  �
dx

3
3 2
x  1 1
x  x 3x
1
1
2.3.5. Sử dụng nhân biểu thức liên hợp trong số phức:
a. Định nghĩa và tính chất sớ phức khi giải tốn
Cho số phức z = a + bi. Số phức z = a – bi gọi là số phức liên hợp với số
phức z
Vậy z = a  bi = a - bi
1. I 

x

dx
�
1 x  1  1

Chú ý: 10) z = z  z và z gọi là hai số phức liên hợp với nhau.
20) z. z = a2 + b2
*) Tính chất của số phức liên hợp:
(1): z  z
(2): z  z '  z  z '
(3): z.z '  z.z '
2

a 2  b2  z
z
(4): z. =

(z = a + bi )
b. Các ví dụ về sử dụng số phức liên hợp của số phức
13


5(z i)
 2  i (1)
z

i
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn
. Tính mơđun của số phức

  1 z  z2

Giải: Giả sử z  a  bi (a,b��)
5(a  bi  i )
(1) �
 2  i � 5a  5i(b  1)  2a  2bi  2  ai  bi 2  i
a  bi  1
�
3a  2  b  0 �
a1
� 3a  2  b  i(5b  5  2b  a  1)  0 � �
��
� z  1 i
3
b

a


4

0
b

1
�
�
2 �   1 1 i  1 2i  2  3i �   4  9  13
Thay vào   1 z  z
2
Vậy môđun   1 z  z của là 13
2(1 2i)
(2  i )z 
 7  8i (1)
1 i
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn:
. Tìm mơđun
của số phức   z  1 i
Giải: Giả sử z  a  bi

2(1 2i)
 7  8i
1 i
2(1 2i )
Nhân cả tử và mẫu của biểu thức 1 i với 1 i ta được
2(1 2i )(1 i )
� 2a  2bi  ai  bi 2 
 7  8i

2
1 i
�
2a  b  3  7 �a  3
� 2a  2bi  ai  bi  1 i  2i  2i 2  7  8i � �
��
2b  a  1 8
b 2
�
�
(1) � (2  i )(a  bi ) 

  3  2i  1 i  4  3i �   16  9  5
.
Ví dụ 3: Tính mơđun của số phức z biết: (2z  1)(1 i)  (z  1)(1 i )  2  2i (1)
Giải: (1) � (2a  2bi  1))(1 i )  (a  bi  1)(1 i)  2  2i
Do đó

� 2a  2ai  2bi  2bi 2  1 i  a  ai  bi  bi 2  1 i  2  2i
� 3a  3ba  ai  bi  2i  2  2i
� 1
a
�
�
3a  3b  2
� 3
��
��
1 1
2

�a  b  2  2 �b  1
z
 
� 3 Suy ra
9 9
3
Bài tập tương tự
1. Cho số phức thỏa z  3 . Biết rằng tập hợp số phức w  z  i là một đường
tròn. Tìm tâm của đường trịn đó.
14


A. I  0;1 .

B. I  0; 1 .
C. I  1;0  .
D. I  1;0 
2. Cho số phức z  a  bi  a, b ��, a  0  thỏa mãn z  1  2i  5 và z.z  10 .
Tính P  a  b .
A. P  4 .
B. P  4 .
C. P  2 .
D. P  2 .
2
z2  z  z
z
3. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn điều kiện
?
A. 1 .
B. 4 .

C. 2 .
D. 3 .
2.4. Kết quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục:
Sau khi giảng dạy cho học sinh tại trường trung học phổ thông lang chánh
tôi nhận thấy:
- Học sinh nâng cao được kỹ năng biến đổi biểu thức cũng như các phương
pháp giải toán
- Học sinh có thêm cơng cụ giải các bài tốn phương trình, bất phương
trình, giới hạn, tích phân, số phức
- Học sinh có thể xâu chuỗi các bài tốn để có thể định hướng được cách
giải phương trình một cách nhanh chóng
Số liệu thu thập của các lớp trước và sau khi áp dụng dạy cho các lớp như
sau
Lớp 10A5 ( Tổng số học sinh 39)
Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
SL
0

%
0

SL
3

%

7,1%

SL
20

%
51,3%

SL
14

Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Giỏi
Khá
TB
SL
1

%
2.5

SL
8

%
20.5%

SL
18

%
46,1%

%
0

SL
4

%
9

SL
23

Sau khi áp dụng kinh nghiệm
Giỏi
Khá
SL
1

%
4.7

SL
8

%
18,5

%
56,1

SL
8

SL
4

SL
11

%
10,4%

Kém
%
29.2

SL
2

Yếu
%
47,7

15

%
20,5%

SL
12

%
5.8%
Kém

Yếu

TB
SL
20

SL
2

Yếu

Lớp 11A6 ( Tổng số học sinh 41)
Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Giỏi
Khá
TB
SL
0

%
35,8%

%
5.7
Kém

%
26,7

SL
1

%
2.4


III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận:
Để nâng cao hiệu quả dạy học nói chung và dạy học mơn tốn nói chung,
cung cấp các phương pháp giải quyết vấn đề là yếu tố quan trọng trong việc đảm
bảo chất luợng giáo dục, với sáng kiến kinh nghiêm” Sử dụng kỹ thuật nhân liên
hợp để giải tốn trung phổ thơng” là một trong nội dung nhằm nâng cao hiệu
quả dạy học toán trong nhà trường.
Với các phương pháp được nêu trong sáng kiến và cách trình bày trong
sáng kiến sẽ giúp học sinh nâng cao kiến thức, có thể tự đọc, tự học, tự nghiên
cứu.
Với các bài tập đã giải cụ thể và các bài tập tương tự, sáng kiến kinh
nghiệm có thể cung cấp cho giáo viên có thêm một cuốn tài liệu dung để tham
khảo lấy ví dụ.
3.2. Kiến nghị:
Đối với nhà trường:
- Tạo điều kiện cho tổ chun mơn về thời gian để đánh giá và góp ý để

hoàn thiện hơn.
- Tạo điều kiện để tài liệu sáng kiến kinh nghiệm được nằm trong thư viên
nhà trường, nhằm cung cấp cho học sinh một tài liệu học tập về mơn tốn.

XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2021
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.
NGƯỜI THỰC HIỆN

Nguyễn Văn Long
16


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Giải Tích 12 –Trần Văn Hạo-Nhà xuất bản giáo dục, 2007.
2. Phương pháp giải tích phân – Lê Hồng Đức – Nhà xuất bản trẻ, 2011
3. Đề minh họa của bộ lần 1, lần 2 năm 2017
6. Các đề thi thử trên mạng : dethi.violet.vn

17