SKKN một số GIẢI TÍNH CHẤT các điểm cực TRỊ của đồ THỊ hàm số bặc 4 và ỨNG DỤNG PHÁT TRIỂN NĂNG lực tư DUY SÁNG tạo CHO học SINH THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC bài TOÁN hàm ẩn TRONG đề THI TNTHPTQG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THƠNG QUA
VIỆC KHAI THÁC BÀI TỐN HÀM ẨN TRONG ĐỀ THI TỐT
NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

1


1. MỞ ĐẦU
Lí do chọn đề tài
Đối với mỗi giáo viên chúng ta, giảng dạy luôn luôn đặt mục tiêu nâng cao
chất lượng giáo dục, năng lực, tri thức, nhận thức của học sinh. Đặt mục tiêu làm
sao để tri thức của học sinh được rèn luyện một cách tốt nhất. Tôi nhận thấy rằng
rèn luyện tư duy, kĩ năng giải toán, làm việc sáng tạo là một việc cần thiết, quan
trọng để đáp ứng nhu cầu của học sinh và cũng là trách nhiệm của mỗi người giáo
viên khi giảng dạy.
Qua các kì thi THPT quốc gia và các đề thi thử trong các năm gần đây xuất
hiện khá nhiều bài toán yêu cầu học sinh biết liên hệ nhiều kiến thức, có những bài
tốn địi hỏi tư duy, khả năng liên hệ, kết hợp các kiến thức, năng lực ở mức độ
cao. Một trong các bài tốn đó có khá nhiều bài liên quan đến các hàm hợp. Đây
là phần bài tốn trong các đề thi có đầy đủ các mức độ từ nhận biết, thông hiểu,
vận dụng thấp, vận dụng cao; có khá nhiều vấn đề liên quan như đạo hàm của hàm
số, bài tốn tính đơn điệu, cực trị của hàm số, cũng như bài toán tương giao, hay là
các bài tốn về phương trình, phương trình chứa tham số, bài tốn về đường tiệm
cận, ngun hàm, …
Từ những vấn đề đã nêu trên, tôi thật sự trăn trở làm sao để có thể giúp học

sinh giải quyết được các bài toán này một cách nhanh và chính xác; rèn luyện tư
duy, nâng cao năng lực cho học sinh, tôi đã liên hệ các kiến thức và viết sáng kiến
kinh nghiệm
“Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thơng qua việc khai thác bài tốn
hàm ẩn trong đề thi tốt nghiệp Trung Học Phổ Thông’’.
1.2. Mục đích của sáng kiến
Trên các nghiên cứu về lý thuyết và thực tiễn, tôi đề xuất một số cách khai
thác và phát triển các dạng bài tập toán từ một số bài tốn gốc, nhằm góp phần đổi
mới phương pháp dạy học, nâng cao kiến thức năng lực của học sinh.
1.3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Học sinh lớp 12, học sinh ôn thi THPT
- Giáo viên giảng dạy mơn Tốn bậc THPT.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí thuyết.
Phương pháp thống kê.
Phương pháp tham vấn.
Phương pháp tổ chức hoạt động nhóm.
2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Hầu hết các giáo viên chúng ta khi giảng dạy cứ quan niệm nhẹ nhàng miễn
sao học sinh có thể làm ra kết quả, đáp án đúng mà lãng quên bản chất, ngun
nhân xuất phát của bài tốn từ đâu, vì thế đánh mất sự kết hợp liên quan giữa các

1.1.

2


yếu tố, kiến thức, nhất là với hiện tại bây giờ các đề thi chủ yếu đánh giá năng lực
bằng hình thức trắc nghiệm. Nếu chúng ta chỉ truyền thụ kiến thức cơ bản cho học
sinh mà bỏ qua hoạt động rèn luyện tư duy, kết hợp kiến thức, liên hệ và phát triển

thì khơng những bản thân chúng ta sẽ bị mai một kiến thức, mà các em học sinh
sẽ bị động trước một vấn đề “tưởng chừng như mới mẻ” của toán học, khả năng
suy luận, tư duy sáng tạo của học sinh sẽ bị hạn chế.
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1.1. Lí thuyết cần tìm hiểu :
- Hàm số hợp và đạo hàm của hàm số hợp
- Các ứng dụng của đạo hàm:
i. Tính đơn điệu hàm số.
ii. Cực rị hàm số.
iii. Tương giao giữa đồ thị các hàm số
2.1.2. Nghiên cứu phương pháp phát triển bài toán mới liên quan
Các định hướng xây dựng bài toán xuất phát từ bài toán gốc
Bài tốn gốc: Cho hàm số
y = f ( x).

Tính đơn điêu
hàm số
g ( x) = f (u ( x))

Cực trị hàm số

g ( x) = f (u ( x, m))

Tương giao:
m ph
Nghiệ

f (u ( x )) = 0
u ( x),

Ở đây chúng ta xây dựng các
là đa thức ẩn x, hoặc các biểu thức là căn
thức chứa x, logarit, mũ chứa x, hoặc là một biểu thức lượng giác.
2.2. Cơ sở thực tiễn
Thực trạng của việc tổ chức dạy học chủ đề gắn với việc giáo dục ý thức trách
nhiệm của học sinh.
Hứng thú học tập của học sinh trong việc tự tìm hiểu, sáng tạo, khám phá các
bài tập mới.
2.3. Giải pháp phát triển tư duy, năng lực học sinh thơng qua hoạt động hình
thành, phát triển các bài toán hàm ẩn từ những bài toán gốc.
2.3.1 Định hướng xây dựng bài toán xuất phát từ bài toán gốc về hàm số
Bài toán gốc: Cho hàm số
y = f ( x).

3


Cực trị hàm số
Tương giao:
Tính đơn điêu
Nghphư
g ( x) = f (u ( x, m))
hàm
số
u ( x),
f (u ( x)) = 0
g ( x) = f (u ( x))
Ở đây chúng ta xây dựng các
là đa thức ẩn x, hoặc các biểu thức là căn
thức chứa x, logarit, mũ chứa x, hoặc là một biểu thức lượng giác, cũng có thể là

m.
biểu thức chứa tham số
2.3.2 Thiết kế các hoạt động định hướng phát triển các bài toán xuất phát từ
bài toán gốc
+) Định hướng phát triển bài toán đơn điệu.
+) Định hướng phát triển bài toán cực trị.
+) Định hướng phát triển bài toán tương giao
a) Xây dựng các bài toán đơn điệu dựa trên bài toán gốc
y = 2 x 2 + 1.
*Bài toán gốc 1. Cho hàm số
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
( −1;1).
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng
(0; +∞).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng
( −∞;0).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng
(0; +∞).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( Câu 21 mã đề 104 đề thi THPTQG năm 2017)
Lời giải
2x
y' =
>0⇔ x>0
2
2x + 1
¡
Tập xác định , ta có
(0; +∞).
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng

Chọn đáp án B.
Ta có thể đánh giá bài tốn trên ở mức vận dụng thấp, để nhằm giải quyết
những bài tốn dạng này thì học sinh chỉ cần nắm vững đạo hàm của hàm hợp,
y'
đồng thời nắm vững cách xét dấu
là làm được. Đặt vấn đề phát triển bài tốn
tương tự, chúng ta có thể định hướng cho học sinh thay biểu thức trong căn bậc

hai bằng những đa thức bậc nhất, bậc hai, bậc ba khác. Chẳng hạn thay

2 x 2 + 1,

2 x + 1, −2 x + 1, 1 − x 2 , 3 x 2 + 2, 4 − x 2 , x3 − 3 x 2 , − x3 + 4 x,...

bởi các biểu thức như
Với biểu thức bậc nhất khi thay vào bài tốn gốc ta được lớp bài tốn ở mức
độ thơng hiểu, ví dụ như bài sau.
4


Bài 1. Cho hàm số

y = 2 x + 1.

Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
¡.
A. Hàm số đồng biến trên đạn
1
( − ; +∞).
2

B. Hàm số đồng biến trên khoảng
1
( − ; +∞).
2
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng
¡.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng
Giải
1
1
y' =
⇒ y' > 0
∀x > − .
2x + 1
2
Tập xác định, ta có
với
1
(− ; +∞).
2
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
Với biểu thức bậc hai, bậc ba khi thay vào bài toán gốc ta được lớp bài toán
ở mức độ nhận biết tương đương bài toán gốc.
Bài 2. Cho hàm số

y = 1 − x2 .

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
[0;1].
A. Hàm số đồng biến trên đạn

(0;1).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng
(0;1).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( −1;0).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng
Giải
[−1;1].
Tập xác định
−x
y' =
⇒ y' < 0
y' > 0
1 − x2
0 < x <1
−1 < x < 0
Ta có
khi
và
khi
(0;1).
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng
Đáp án C.
Bài 3. Cho hàm số

y = x3 − 3x 2 .

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
5

(3; +∞).

A.

Hàm số đồng biến trên khoảng

B.

Hàm số đồng biến trên khoảng

C.

Hàm số nghịch biến trên khoảng

D.

Hàm số nghịch biến trên khoảng

(2; +∞).
(2; +∞).
(3; +∞).

Đáp án A.
y=
Bài 4. Cho hàm số
A.
B.
C.
D.

x −1
.
x +1

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
(−1;1).
Hàm số đồng biến trên khoảng
( −∞; −1).
Hàm số đồng biến trên khoảng
(1; +∞).
Hàm số nghịch biến trên khoảng
( −∞; −1).
Hàm số nghịch biến trên khoảng

Đáp án B.

m,
Khi kết hợp các biểu thức ở các dạng trên nhưng có chứa tham số
thay
vào bài toán gốc thu được lớp bài toán ở mức vận dụng, khi tổ chức thực hiện thì
có nhiều em đã sáng tạo ra nhiều bài toán hay.

y=

x −1
.
x−m

m

Bài 5. Cho hàm số
Tập tất cả các giá trị tham số
để hàm số đồng
biến trên các khoảng xác định là?
(1; +∞).
( −∞;1].
[1; +∞).
( −∞;1).
A.
B.
C.
D.
Giải
y' =

−m + 1
( x − m) 2


x −1 
:2
÷
 x−m 

Ta có
y ' = 0, ∀ x ≠ 1,
m = 1,
Khi
ta có

nên khơng thỏa mãn u cầu bài toán
y ' > 0, ∀x ∈ (−∞;m) ∪ (1; +∞),
m < 1,
Khi
ta có
hàm số đồng biến trên các khoảng
m < 1,
xác định, nên
thỏa mãn yêu cầu bài toán

6


m > 1,

y ' < 0, ∀x ∈ (−∞;1) ∪ (m; +∞),

Khi
ta có
mãn bài tốn. Đáp án A.
Bài 6. Cho hàm số

y = x 2 − 2mx + 2m − 1.

hàm số luôn đồng biến trên khoảng
(1; +∞).
( −∞;1].
A.
B.

(1; +∞),

hàm số nghịch biến nên không thỏa

Tập tất cả các giá trị tham số

m

để

là
C.

[1; +∞).

D.

( −∞;1).

Giải
x − 2mx + 2m − 1 ≥ 0.
2

Điều kiện xác định của hàm số
x−m
y' =
x 2 − 2mx + 2m − 1
Ta có :

(1; +∞),

Hàm số đã cho luôn đồng biến trên khoảng
khi và chỉ khi
 x − m ≥ 0, ∀x ≥ 1 m ≤ 1
⇔
⇔ m < 1.

2
m
−
1
<
1
m
<
1


Đáp án D.
f ( x),
f '( x)
*Bài toán gốc 2. Cho hàm số
bảng xét dấu hàm số
như sau.

Hàm số
A.

y = f ( x)

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
( −3; +∞).
(−3; −1).
(−1; +∞).
B.
C.
Giải

D.

( −∞; −1).
( −∞; −3);( −1;1)

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng
Đáp án C
Thực hiện phát triển bài toán một cách tương tự bài toán gốc 1, ta thu được
một số dạng bài toán
f ( x ),
f '( x)
¡,
Bài 1. Cho hàm số
xác định trên
có bảng xét dấu hàm số
như sau.

Hàm số

y = f (3 − 2 x)

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

7


(2; +∞)

B.

A.

(3; +∞).

C.

(−∞;3).

(2;3).
D.

Giải

Ta có

3 − 2 x < −3  x > 3
y ' = −2. f '(3 − 2 x) < 0 ⇔ f '(3 − 2 x) > 0 ⇔ 
⇔
3
−
2
x
>

−
1

x < 2

( −∞;2);(3; +∞).

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng
Chọn đáp án B.
f ( x ),
f '( x)
¡,
Bài 2. Cho hàm số
xác định trên
có bảng xét dấu hàm số
như sau:

Hàm số
A.

y = f (2 x − 4)
3
( ; +∞).
2

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
1
(−∞; ).
(2;4).
2

B.
C.
Giải

D.

y ' = 2. f '(2 x − 4) > 0 ⇔ f '(2 x − 4) > 0 ⇔ −3 < 2 x − 4 < −1 ⇔
Ta có

1 3
( ; ).
2 2
1
3
2
2

1 3
( ; ).
2 2

đồng biến trên
Vậy hàm số
Chọn đáp án D.
f ( x ),
f '( x )
¡,
Bài 3. Cho hàm số
xác định trên

có bảng xét dấu hàm số
như sau

y= f(
Hàm số

A.

x +1
)
x −1

1
(0; ).
2

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
1
(−∞; ).
(0;1).
2
B.
C.

D.

(1; +∞).

8

Giải
 4x − 2
 x − 1 > 0
−2
x +1
x +1
x +1
1
y' =
.
f
'(
)
<
0
⇔
f
'(
)
>
0
⇔
−
3
<
<
−
1
⇔

⇔
0
<
x
<

( x − 1) 2
x −1
x −1
x −1
2
 2x < 0
 x − 1
1
(0; ).
2

Đáp án A

Vậy hàm số đồng biến trên
f ( x ),
f '( x)
¡,
Bài 4. Cho hàm số
xác định trên
có bảng xét dấu hàm số
như sau

Hàm số

y = f ( 2 x + 4)

¡.

A.

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
( −2; +∞).
(−3; −1).
(−3; +∞).
B.
C.
D.

Đáp án B

f ( x),

Bài 5. Cho hàm số

Hàm số

xác định trên

¡,

f '( x)
có bảng xét dấu hàm số

như sau

y = f ( x2 − 4x )

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
(2; +∞).
(0;2).
(−∞;2).
(−∞;0).
A.
B.
C.
D.
Giải
D = (−∞;0] ∪ [4; +∞).
Tập xác định

y' =

Ta có

  x − 2 > 0

2
−3 < x − 4 x < −1

x−2
. f '( x 2 − 4 x ) > 0 ⇔   x − 2 < 0
⇔ x<2

x2 − 4 x

  2
   x − 4 x < −3
 2
   x − 4 x > −1
9


hàm số đồng biến trên

(−∞;0).

Chọn đáp án D.

Kết hợp tập xác định ta có
f ( x ),
f '( x)
¡,
Bài 6. Cho hàm số
xác định trên
có bảng xét dấu hàm số
như sau

y = f (x − m + 1)

Tập tất cả các giá trị của m để hàm số
đồng biến trên các khoảng
(0;2)
là.
(0;4).
(0;2).

[0;4].
[0;2].
A.
B.
C.
D.
Đáp án B
f ( x),
f '( x)
¡,
Bài 7. Cho hàm số
xác định trên
có bảng xét dấu hàm số
như sau

y = f (2 x − m + 3)

Số giá trị m nguyên để hàm số
đồng biến trên các khoảng
( −2;2)
là.
5.
6.
7.
8.
A.
B.
C.
D.
Đáp án C

f ( x),
f '( x)
¡,
Bài 8. Cho hàm số
xác định trên
có bảng xét dấu hàm số
như sau

y= f(

−x + m
)
x +1

Tập giá trị m nguyên để hàm số
đồng biến trên khoảng
¡ \ {−1}.
(−∞;1).
(−1; +∞).
¡.
A.
B.
C.
D.
Đáp án C
b) Xây dựng các bài toán cực trị dựa trên bài toán gốc.

(−1; +∞)

là

10


Bài toán gốc. Cho hàm số
f '( x)
hàm số
như sau

y = f ( x),

y = f ( x)

Số điểm cực trị của hàm số
1.
2.
A.
B.

liên tục trên

¡,

là.
C.

và có bảng biến thiên của

3.

D.

5.

Giải
Dựa vào bảng trên ta có hàm số có 3 cực trị
Đáp án C.
Chúng ta cỏ thể định hướng mẫu cho học sinh phát triển thành các bài toán như
y = f (u(x))
sau từ bài tốn gốc. Tìm số điểm cực trị của hàm số
, lưu ý các biểu
u ( x)
thức
không cho một cách tùy ý bởi nhiều khi không giải quyết được số
u ( x)
nghiệm các phương trình
=a
y = f ( x),
¡,
Bài 1. Cho hàm số
liên tục trên
và có bảng biến thiên của hàm số
f '( x)
như sau

Số điểm cực trị của hàm số
4.
A.

y = g ( x) = f (1 − 2 x )

B.

3.

là:
C.

6.

D.

5.

Giải
Xét hàm số

y = g ( x) = f (1 − 2 x),

ta có

11


1 − 2 x = x1 ∈ (−∞; −1)
1 − 2 x = x ∈ (−1;0)
2
g'(x) = −2 f '(1 − 2 x) = 0 ⇔ 
1 − 2 x = x3 ∈ (0;1)

1 − 2 x = x4 ∈ (1; +∞)

g '( x) = 0,

Vậy chứng tỏ phương trình
có 4 nghiệm đơn phân biệt, suy ra hàm số
y = g ( x),
có 4 điểm cực trị
Đáp án A
x 2 − 2 x,
x
Khi chúng ta thay bởi biểu thức
thì thu được bài tốn đã từng
được thi trong kì thi THPTQG năm 2019
y = f ( x),
¡,
Bài 2. Cho hàm số
liên tục trên
và có bảng biến thiên của hàm số
f '( x)
như sau:

Số điểm cực trị của hàm số
9.
B.

y = f ( x 2 − 2 x)
B.

3.

là
C.

7.

D.

5.

Lời giải
f '( x) = 0
Từ bảng biến thiên ta có phương trình
có các nghiệm là
 x = a, a ∈ (−∞; −1)
 x = b, b ∈ (−1;0)

 x = c, c ∈ (0;1)

y = f ( x 2 − 2 x),
 x = d , d ∈ (1; +∞)
Xét hàm số
ta có

12


x =1
 2
x − 2x = a
x

=
1


y ' = 2( x − 1) f '( x 2 − 2 x) = 0 ⇔ 
⇔ x2 − 2x = b
2
 f '(x − 2 x) = 0
x2 − 2x = c

 x 2 − 2 x = d
Do

x 2 − 2 x = ( x − 1) 2 − 1 ≥ −1,
(1)

Phương trình

với

(1)
(2)
(3)
(4)

suy ra ta có:

a < −1

vơ nghiệm;

(2)
b ∈ (−1;0)
1
Phương trình
với
có hai nghiệm phân biệt khác ;
(3)
c ∈ (0;1)
1
Phương trình
với
có hai nghiệm phân biệt khác và khác các
(2)
nghiệm của phương trình
;
(4)
d ∈ (1; +∞)
1
Phương trình
với
có hai nghiệm phân biệt khác và khác các
(2)
(3).
nghiệm của phương trình
và
y' = 0
Vậy phương trình
có 7 nghiệm phân biệt và qua các gia trị nghiệm đó đổi

y = f ( x 2 − 2 x)

dấu nên hàm số
có 7 điểm cực trị.
Đáp án C.
Đây là bài tốn địi hỏi người làm được cần có một năng lực toán học tốt, biết
kết hợp, vận dụng nhiều kiến thức liên quan như đạo hàm của hàm hợp, kĩ năng
đọc bảng biến thiên, kĩ năng giải và biện luận số nghiệm của phương trình. Sau đây
tơi xin trình bày lời giải chi tiết.
y = f ( x),
¡,
Bài 3. Cho hàm số
liên tục trên
và có bảng biến thiên của hàm số
f '( x)
như sau :

Số điểm cực trị của hàm số

y = f ( x − 1)

là :
13


2.
4.
C.
D.
Lời giải
f '( x) = 0,

Từ bảng biến thiên ta có phương trình
có các nghiệm là
 x = a, a ∈ (−∞; −1)
 x = b, b ∈ (−1;0)

 x = c, c ∈ (0;1)

 x = d , d ∈ (1; +∞)
A.

1.

B.

3.




1
y' =
f '( x − 1) = 0 ⇔ 
2 x −1




y = f ( x − 1),

x − 1 = a (1)

x − 1 = b (2)
x − 1 = c (3)
x − 1 = d (4)

Xét hàm số
ta có
(1);(2)
x − 1 ≥ 0,
Do
suy ra ta có: Các phương trình
vơ nghiệm;
(3)
c ∈ (0;1)
x = c 2 + 1∈ (1;2)
Phương trình
với
có nghiệm là
(4)
d ∈ (1; +∞)
x = d 2 + 1∈ (1; +∞)
Phương trình
với
có nghiệm
y' = 0
Vậy phương trình
có 2 nghiệm lẻ phân biệt và qua các giá trị nghiệm đó
đổi dấu nên hàm số
Đáp án C.
Bài 4. Cho hàm số
f '( x)

như sau :

y = f ( x − 1)

y = f ( x),

có 2 điểm cực trị.

liên tục trên

y = f ( x 2 + 1)

Số điểm cực trị của hàm số
1.
2.
A.
B.

¡,

và có bảng biến thiên của hàm số

là

3.
C.
Lời giải

D.

4.
14


f ( x) = 0

Từ bảng biến thiên ta có phương trình
có các nghiệm là
 x = a, a ∈ (−∞; −1)
 x = b, b ∈ (−1;0)

 x = c, c ∈ (0;1)

y = f ( x 2 + 1),
 x = d , d ∈ (1; +∞)
Xét hàm số
ta có
x = 0
 2
 x + 1 = a (1)

x
y' =
f '( x 2 + 1) = 0 ⇔  x2 + 1 = b (2)
x2 + 1
 2
 x + 1 = c (3)
 2
 x + 1 = d (4)
x 2 + 1 ≥ 1, ∀ x ∈ ¡

Do

(1);(2);(3)
suy ra ta có: Các phương trình

(4)
Phương trình

với

d ∈ (1; +∞)

có nghiệm

vơ nghiệm;

x = ± d 2 −1 ≠ 0

y' = 0

y = f ( x 2 + 1)

Vậy phương trình
có 3 nghiệm lẻ phân biệt nên hàm số
điểm cực trị. Chọn đáp án C.
y = f ( x),
f '( x)
Bài 5. Cho hàm số
bảng biến thiên của hàm số
như sau :

có 3

y = f ( x 2 − 1)

Tìm số điểm cực trị của hàm số
.
y = f ( x),
f '( x)
Bài 6. Cho hàm số
bảng biến thiên của hàm số
như sau

Số điểm cực trị của hàm số

g ( x ) = f ( x − 2019 ) − 2020 x + 2021

là
15


A.
Ta có

1.

B.

2.

C.

3.

D.

4.

Lời giải.
g ′ ( x ) = f ' ( x − 2019 ) − 2020; g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ' ( x − 2019 ) = 2020.

y = f '( x )

f ' ( x − 2017 ) = 2018

1
suy ra phương trình
có
g ( x)
1
nghiệm đơn duy nhất. Suy ra hàm số
có điểm cực trị. Đáp án A.
c) Xây dựng các bài toán tương giao dựa trên bài toán gốc.
Với các định hướng tương tự như trên, chúng ta có thể đưa ra các bài toán gốc
về tương giao của các đồ thị, hay bài tốn tìm số nghiệm của một phương trình đê
các em phát triển bài toán tương tự và các bài tốn nâng cao lên ở mức độ khó hơn
y = f ( x)
*Bài toán gốc. Cho hàm số bậc ba:
có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
y

Dựa vào đồ thị hàm số

3
1
-1 0 1 2
3
x
-1
f ( x) = 2
Số nghiệm thực của phương trình
là
3.
2.
1.
0.
A.
B.
C.
D.
Giải
y = f ( x)
y = 2,
Số giao điểm của đồ thị hàm số
với đường thẳng
là 3 nên số
nghiệm của phương trình là 3. Đáp án A
u ( x),
Ta cỏ thể định hướng cho học sinh phát triển bằng cách thế x bởi
hoặc

là vận dụng phép biến đổi đồ thị, hoặc kết hợp cả hai để tạo ra những bài toán mới
y = f ( x)
Bài 1. Cho hàm số bậc ba
có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
y
3
1
16


-1
-1

0

1

2

3

f ( 2 x − 1) = 2
Số nghiệm thực của phương trình
3.
2.
A.
B.

x

là
C.

1.

D.

0.

Giải
 2 x − 1 = x1 ∈ (−1;0) : vn

.
 2 x − 1 = x2 ∈ (1;2)

 2 x − 1 = x3 ∈ (2;3)

Từ đồ thị ta có
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt. Đáp án B
y = f ( x)
Bài 2. Cho hàm số bậc ba:
có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
y
3
1
-1 0
-1

1

2

3

x

f ( x 2 - 2x) = 1

là
Số nghiệm thực dương của phương trình:
3.
2.
5.
4.
A.
B.
C.
D.
2
2
 x − 2 x = x1 ∈ ( −1;0)
 x − 2 x − x1 = 0(1)
 2

⇔  x 2 − 2 x − 1 = 0(2) .
 x − 2x = 1
 x 2 − 2 x = x ∈ (1;3)
 x 2 − 2 x − x = 0(3)
3
3



Từ đồ thị ta có
∆ ' = 1 + x1 > 0
Phương trình (1) có
nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt dương
x = 1 ± ∆ '(0 < ∆ ' < 1)

là
Các phương trình (2); (3) mỗi phương trình có hai nghiệm trái dấu
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm dương. Đáp án D
17


Bài 3. Cho hàm số bậc ba:

y = f ( x)

f ( x 3 − 3x ) =
thực của phương trình:

có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số nghiệm
3
2

là:

y
3
1

-1 0
-1

8
A. .

B.


f
3
3
f ( x − 3x ) = ⇔ 
2
f

Ta có

4

1

+

x

C.

7

.

3
D. .

Lời giải
 x 3 − 3x = a1 , ( −1 < a1 < 0 )
( x3 − 3x ) = 32  x3 − 3x = a2 , ( 1 < a2 < 2 )
⇔ 3
3
3
( x − 3x ) = − 2  x3 − 3x = a3 , ( 2 < a3 < 3)
 x − 3x = a4 , ( a3 > 3)

Bảng biến thiên hàm số
x −∞ −1

y

3

.

y = x 3 − 3x

y'

2

:

+∞

1

0

-

0

+

+∞

2
−∞

.

−2

Từ đó, ta có:
Phương trình
Phương trình

x 3 − 3x = a1
x3 − 3x = a2

có 3 nghiệm phân biệt.

có 3 nghiệm phân biệt.

x3 − 3x = a3

Phương trình
có 1 nghiệm.
x3 − 3 x = a4
Phương trình
có 1 nghiệm.
18


f ( x 3 − 3x ) =
Vậy phương trình

3
2

có 8 nghiệm phân biệt. Đáp án A

2.3.3. Tổ chức thực hiện đề tài
Thực hiện trong phạm vi một số buổi chữa bài tập hay là những buổi học
chuyên đề. Thầy giáo đưa ra một số ví dụ về cách xây dựng bài tốn mới từ bài
tốn cơ bản, sau đó hướng dẫn học sinh tự tìm tịi và phát hiện một số vấn đề xung
quanh nó.
Hình thức giáo viên giao nhiệm vụ, học sinh nghiên cứu các bài toán với sự
hướng dẫn của giáo viên.
Tiết 1
Hoạt động của giáo viên
Nêu mục tiêu và ý tưởng đề tài

Đưa ra bài toán gốc ( Bài tốn gốc 1) và
một số ví dụ bài toán ( Các bài 1, 3, 5)
đã được giáo viên phát triển, cho học
sinh giải bài toán gốc và các bài tốn đó

Hoạt động của học sinh
Quan sát, chú ý lắng nghe
Quan sát, thảo luận
Thực hiện nhiệm vụ
Trình bày báo cáo
Nhận xét báo cáo của các bạn

Cho học sinh phát triển và giải các bài Thực hiện nhiệm vụ
toán này trên lớp bài tốn gốc được đưa Trình bày báo cáo
ra
Nhận xét báo cáo của các bạn
Phân công nhiệm vụ về nhà
Phân chia các nhóm theo sự phân cơng
Chia lớp thành 3 nhóm
của giáo viên
Cử các em: Thư, Trang, Đạt lần lượt làm Các thành viên của mỗi nhóm phân
nhóm trưởng của 3 nhóm 1, 2, 3
cơng phát triển bài toán ở các mức độ
Giao nhiệm vụ phát triển bài tốn cho thơng hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao
các nhóm
Nhóm trưởng mỗi nhóm tổng hợp bài
Nhóm 1. Phát triển bài tốn tính đơn các thành viên tổ mình và cử thành viên
điệu của hàm số
báo cáo.
( Bài toán gốc 2 phần đơn điệu).

Nhóm 2: Phát triển bài tốn cực trị
( Bài tốn gốc phần cực trị)
Nhóm 3: Phát triển bài toán tương giao
( Bài toán gốc phần tương giao)
Tiết 2-3
Hoạt động giáo viên
Hoạt động học sinh
Tổ chức cho đại diện các nhóm báo cáo Chú ý, quan sát và thực hiện các nhiệm
Cho các thành viên trong mỗi nhóm tự vụ
nhận xét nhóm mình ( Nội dung, mức
độ hợp tác, khối lượng hồn thành cơng
việc của các thành viên)
Cho các nhóm nhận xét chéo
19


Giáo viên tổng hợp đánh giá, nhận xét
cho mỗi nhóm
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
2.4.1. Đánh giá phẩm chất năng lực
- Số lượng học sinh được khảo sát: 50 em
Tơi đã học được kiến thức gì?
Hiểu biết về nội dung kiến thức có liên quan tới dự án: 50 em
Tơi đã phát triển được những kĩ năng gì?
Làm việc, học tập theo nhóm/tập thể: 50 em
Làm việc tư duy độc lập, hoạt động cá nhân: 47 em
Thuyết trình: 3 em
2.
Học cách lắng nghe, tôn trọng ý kiến khác: 8 em
Giao tiếp tốt: 12 em

Bình tĩnh giải quyết vấn đề: 10 em
Tìm kiếm, chọn lọc dữ liệu, xử lí thông tin: 20 em
Tôi đã xây dựng được thái độ nào tích cực?
Vui vẻ hồ đồng, hăng say tích cực làm việc: 30 em
Cẩn thận: 6 em
Kiên nhẫn: 5 em
Làm việc nghiêm túc: 35 em
Đồn kết: 50 em
Tơn trọng ý kiến khác: 15 em
3. Biết bảo vệ ý kiến cá nhân: 6 em
Tự tin: 6 em
Tích cực học hỏi: 15 em
Tinh thần đóng góp, phối hợp: 30 em
Tự giác hồn thành công việc: 25 em
Chia sẻ ý kiến và thảo luận: 30 em
Có trách nhiệm: 36 em
Tơi có hài lịng với các kết quả nghiên cứu của dự án không? Vì sao?
4. Hài lịng, vì nhóm đã làm việc và cố gắng hết mình: 25 em
Hài lịng, vì cả nhóm đồn kết làm việc: 30 em
Hài lịng, do kết quả sản phẩm dự án tốt, tăng vốn kiến thức: 9 em
Tương đối hài lịng, vì vẫn cịn một số sai sót khơng như ý: 25 em
1.

5. Tơi đã gặp phải những khó khăn gì
khi thực hiện dự án?
Thu thập và chọn lọc thơng tin khó
khăn: 20 em
Phân cơng cơng việc: 3 em nhận
nhiệm vụ chính làm nhóm trưởng

Tơi đã giải quyết những khó
khăn đó như thế nào?
Hỗ trợ tư vấn cho các em
- Cùng nhóm giải quyết
- Tìm trên mạng: 15 em
- Hỏi phụ huynh: 2 em
20


- Hỏi giáo viên: 15 em
Quan hệ của tôi với các thành viên trong nhóm thế nào?
6. Bình thường: 4 em
Tốt: 30 em
Khá tốt: 10 em
Rất tốt: 6 em
Hoà đồng, thân thiện: tất cả các em
Nhìn chung, tơi thích/ khơng thích dự án này vì…
Thích, vì hay và thiết thực, gắn liền với thực tiễn: 20 em
7. Thích, vì phát hiện được khả năng của mình/thể hiện khả năng: 6 em
Thích, vì có cơ hội học thêm kiến thức và những kĩ năng làm việc nhóm: 10 em
Thích, vì được trải nghiệm cảm giác làm việc thực sự: 20 em
Thích, vì cá nhân u thích mơn học: 20 em
Thích, vì luyện khả năng tự tìm hiểu, sáng tạo: 6 em
Thích, vì tìm hiểu thêm về kiến thức tốn học: 12 em
Thích, là cách học mới rất thú vị và mới mẻ: 25 em
Thích, đem lại nhiều lợi ích: 10 em
Mức độ hứng thú của tôi với phương pháp dạy học theo dự án (5 cấp độ):
(1: Rất khơng thích; 2: Khơng thích; 3 Bình thường; 4: Thích; 5: Rất thích)
Rất thích
Thích

Bình thường
Khơng thích
Rất khơng thích

Nhóm 1
6
10
0
0
0

Nhóm 2
5
11
2
0
0

Nhóm 3
6
9
1
0
0

Tổng:

16

17

17

Tỉ lệ
34%
60%
6%
0
0
100
%

2.4.2. Khả năng ứng dụng, triển khai sáng kiến kinh nghiệm
Nhận xét:
- Thống kê trên cho thấy việc định hướng cho các em phát triển bài toán mới
dựa vào bài toán gốc thu được các kết quả:
+ Các nhóm và các em hoàn thành khá tốt các nhiệm vụ, các em tham gia
tích cực, chủ động sáng tạo trong cơng viêc.
+ Phương pháp định hướng phát triển bài toán mới cho kết quả trung bình
tương đối tốt, điều này phần nào chứng tỏ khả năng rất lớn để có thể áp dụng
phương pháp này vào thực tế dạy học.

21


+ Học sinh phát huy cao tính chủ động, sáng tạo, cũng như giao tiếp và hợp
tác trong việc giải quyết các vấn đề liên quan.
+ Học sinh đã chủ động thu thập tài liệu, tích lũy kiến thức và phối hợp với
nhau trong hoạt động nhóm để tạo ra các sản phẩm, do đó kiến thức sẽ được ghi
nhớ tốt, đồng thời phát triển kỹ năng tìm kiếm tài liệu và khai thác tốt hơn các

nguồn thơng tin.
Vì vậy, tơi khẳng định đề tài này có khả năng ứng dụng, triển khai trong thực
tế dạy học. Không những với chủ đề hàm số mà có thể áp dụng cho rất nhiều chủ
đề khác trong toán học
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Như vậy điều cốt lõi trong đề tài trên là thơng qua các bài tốn về chủ đề hàm
hợp đã phát triển hệ thống tư duy, phân tích, kết hợp, suy luận logic, kích thích
tính sáng tạo cho học sinh. Chủ đề này được ứng dụng khá rộng rãi với việc nhìn
bài tốn dưới nhiều góc độ khác nhau bằng cách biến đổi các điều kiện của các
biến số mở ra một lớp các bài toán khá hay và đẹp được ứng dụng trong rất nhiều
kỳ thi nhất là kỳ thi THPTQG ...
3.2. Kiến nghị
Trong quá trình dạy học thói quen biết phân tích, tổng hợp, khái quát hóa,
đặc biệt hóa để đào sâu nghiên cứu các góc cạnh trong tốn học kiểu như trên là
một điều rất cần thiết cho phát triển tư duy và kích thích tính tích cực khám phá
của các em học sinh.Việc sử dụng hệ thống bài toán trên đã cho ta cách giải các bài
tập liên quan một cách khá đơn giản nếu tiếp tục sáng tạo và khai thác sâu hơn
chắc chắn ta sẽ tìm được nhiều vấn đề thú vị mà tôi chưa làm được trong đề tài
phạm vi này. Tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu, bổ sung kiến thức về đề tài và rất mong
được đón nhận những góp ý bổ ích của Q vị Giám khảo và bạn bè đồng nghiệp
để đề tài phong phú chất lượng và hữu ích hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 02 tháng 5 năm 2021
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh
nghiệm của tôi, không sao chép nội dung
22

của người khác
Người viết sáng kiến

Gv: Trịnh Hữu Đại

Tài liệu tham khảo
[1]. Các bài thi THPTQG Việt nam
[2]. Bộ đề thi thử mơn Tốn THPTQG.

23


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM CẤP NGÀNH GIÁO DỤC TỈNH XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
TT Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá
Kết quả đánh Năm học
xếp loại
giá xếp loại
(Cấp Tỉnh)
1
Sử dụng tính đơn điệu Ngành giáo dục
B
cấp tỉnh
2013
của hàm số trong giải
PT, BPT, HPT, HBPT

2
Xây dựng cơng thức, bài Ngành giáo dục
B
tốn hình học từ cơng
cấp tỉnh
2015
thức và bài tốn đã biết
3
Phát triển tư duy sáng tạo Ngành giáo dục
B
cho học sinh thông qua
cấp tỉnh
2018
việc khai thác một bài
tốn hình học

24