SKKN một số phương pháp giải bài toán nguyên hàm dạng trắc nghiệm thường gặp trong các đề thi tốt nghiệp THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THCS VÀ THPT NHƯ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM
DẠNG TRẮC NGHIỆM THƯỜNG GẶP TRONG CÁC ĐỀ THI
TỐT NGHIỆP THPT

Người thực hiện: Lưu Thị Hương
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc mơn: Tốn

THANH HỐ, NĂM 2021


MỤC LỤC
1. Mở đầu……………………………………………………………. 1
1.1. Lý do chọn đề tài………………………………………………… 1
1.2. Mục đích nghiên cứu….…………………………………………...1
1.3. Đối tượng nghiên cứu…………………………………………… 1
1.4. Phương pháp nghiên cứu………………………………………… 2
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm………………………………… 3
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm………………………… 3
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm…… 3
2.3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề ....................................3
2.3.1. Sử dụng nguyên hàm cơ bản…………………………………… 3
2.3.2. Xác định nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số…………. 8
2.3.3. Tính nguyên hàm bằng phương pháp từng phần ………………11
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,

với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường………………………………16
3. Kết luận và kiến nghị……………………………………………… 18
3.1. Kết luận…………………………………………………………… 18
3.2. Kiến nghị………………………………………………………… 18
TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................19


1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài.
Đổi mới trong thi toán tự luận sang trắc nghiệm nảy sinh nhiều vấn đề. Đặc
biệt phần lớn học sinh sử dụng máy tính giải bài tốn trắc nghiệm ngun hàm,
tích phân. Qua q trình giảng dạy ở trường THPT tơi nhận thấy học sinh mất
nhiều kiến thức cơ bản và chủ quan không học kĩ một số phần luyện thi tốt
nghiệp, đặc biệt là phần ngun hàm, tích phân. Vì vậy muốn học sinh rèn luyện
được tư duy sáng tạo trong việc học và giải tốn trắc nghiệm địi hỏi người thầy
cần phải tìm tịi nghiên cứu tìm ra nhiều dạng tốn đáp ứng với xu thế mới và
cách giải qua một bài tốn để từ đó rèn luyện cho học sinh năng lực hoạt động,
tư duy sáng tạo, phát triển bài tốn và có thể đề xuất hoặc tự làm các bài toán
tương tự đã được nghiên cứu, bồi dưỡng.
Để giúp học sinh giải một số bài toán nguyên hàm trong các kỳ thi, đặc biệt
là kỳ thi tốt nghiệpTHPT, để học sinh giải nhanh các bài toán trắc nghiệm với
thời gian ngắn mà khơng chỉ đơn thuần dùng máy tính Casio mà phải sử dụng
các kiến thức cơ bản một cách hợp lí, sử dụng một cách linh hoạt các phương
pháp giải nguyên hàm một cách nhanh nhất. Muốn vậy phải bồi dưỡng năng lực
tư duy độc lập, tư duy tích cực và tư duy sáng tạo của học sinh và kỹ thuật tính
nhanh, trước tiên phải trang bị cho các em nền kiến thức cơ bản phổ thông vững
chắc, các khả năng giải các dạng bài tập. Người giáo viên phải vận dụng các
phương pháp khác nhau, hướng các em vào một mơi trường hoạt động tích cực,
xem học tập là một quá trình tự khám phá liên tục. Học tập phải thực sự là nhu
cầu, mang đậm tính tự giác, chủ động và sáng tạo của học sinh. Học sinh cần

xem xét một bài tốn dưới nhiều góc độ khác nhau, kích thích sự liên tưởng, kết
nối giữa giả thiết và yêu cầu của bài toán, bài toán chưa biết cách giải với bài
toán quen thuộc đã biết cách giải, biết phân tích, tổng hợp, và so sánh, từng
trường hợp riêng lẻ để giải một bài toán nhanh nhất.
Với chút hiểu biết nhỏ bé của mình cùng niềm say mê tốn học tơi viết đề tài
sáng kiến kinh nghiệm: “Một số phương pháp giải bài toán nguyên hàm, dạng
trắc nghiệm thường gặp trong các đề thi tốt nghiệp THPT” mong muốn được
chia sẻ, trao đổi kinh nghiệm làm toán, học toán và dạy toán với bạn bè trong
tỉnh. Hy vọng đề tài giúp ích một phần nhỏ bé cho quý thầy cô và các em học
sinh trong công tác giảng dạy và học tập.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn, rút kinh nghiệm trong quá trình
giảng dạy, phát triển tư duy linh hoạt, sáng tạo của học sinh khi học Toán.
Từ thực tiễn kiến thức nguyên hàm, tích phân rất phong phú và đa dạng, nó
cũng dạng tốn mà ta rất hay sử dụng vào thực tế như: Tính diện tích hình
phẳng, thể tích vật thể tròn xoay. Thời lượng trong phân phối chương trình thì ít
ỏi. Vì vậy tơi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp
học sinh giải một cách nhanh gọn một số bài tập nguyên hàm, tích phân. Giúp
các em đạt hiệu quả cao trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi tốt nghiệp THPT.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Cách giải một số dạng nguyên hàm.
3


Nghiên cứu phương pháp giải các bài toán thi tốt nghiệp TPHT theo nhiều
cách.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Với đề tài này, tác giả sử dụng chủ yếu là phương pháp thống kê, lựa chọn
những bài tốn hay, độc đáo, có cùng phương pháp giải sau đó phân tích, so
sánh, khái quát hóa, đặc biệt hóa để làm nổi bật phương pháp rút ra kết luận.

Trong chương trình giải tích 12, kiến thức về nguyên hàm chiếm một phần
rất quan trọng. Tuy nhiên các bài tốn về ngun hàm tích phân chưa nhiều và
chỉ dừng lại ở các bài toán đơn giản, chưa có nhiều phương nhiều phương pháp
và kỹ thuật giải từng dạng cho học sinh. Học sinh chỉ mới giải các bài tốn theo
một hướng nhất định nào đó. Do đó các bài tốn về ngun hàm chưa khai thác
được hết cách giải. Qua quá trình giảng dạy học tập, tìm hiểu sách vở và đặc biệt
mạng internet tơi nhận thấy việc dạy cho học sinh định hướng giải một cách
nhanh nhất một bài toán là rất cần thiết để phù hợp với việc giải toán cho các kỳ
thi đặc biệt là kỳ thi tốt nghiệp THPT rất cấp bách như hiện nay.

4


2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Dựa vào định nghĩa nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm, các
phương pháp tính nguyên hàm.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trong quá trình giảng dạy cũng như đi dự giờ đồng nghiệp, tôi nhận thấy
nhiều học sinh hiện nay không quan tâm đến kiến thức cơ bản mà chỉ quan tâm
đến việc sử dụng máy tính để bấm kết quả của bài tốn ngun hàm, tích phân.
Qua kiểm tra lớp học, cho học sinh làm một số bài tập nguyên hàm mà học
sinh không bấm được máy tính thì kết quả học sinh làm bài kém.
2.3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề.
Qua quá trình giảng dạy, tơi đã khơng ngừng tự tìm tịi, sáng tạo những bài
tốn khơng sử dụng được máy tính. Mục đích làm cho học sinh thấy sự cần thiết
của việc học kiến thức cơ bản, làm được các dạng tốn ngun hàm. Ngồi ra,
tơi cũng rút ra những kinh nghiệm trong các đề thi mẫu của bộ giáo dục, của
đồng nghiệp trong cơ quan để đưa ra những dạng toán phù hợp, nằm trong mẫu
đề thi.

Cách thức thực hiện:
- Hình thức luyện tập trên lớp có sự hướng dẫn của Thầy giáo.
+) Thực hiện trong phạm vi một số buổi chữa bài tập của các buổi học chính
khố với các bài tập ở mức độ vừa phải. Thầy giáo đưa ra các phương pháp giải
và hệ thống bài tập, học sinh nêu các lời giải có thể có được của bài tốn. Sau đó
cho học sinh tìm tịi, phát hiện một số vấn đề xung quanh bài toán ở mức độ đơn
giản.
+)Thực hiện một số buổi bồi dưỡng đối với những học sinh khá hơn ở mức
độ những bài tốn cao hơn.
- Hình thức tự nghiên cứu các bài tốn có sự hướng dẫn của thầy giáo.
Hình thức này cũng cần được thực hiện liên tục trong quá trình học tập của
học sinh, làm cho khả năng tư duy, sáng tạo của học sinh ngày càng được tăng
lên.
2.3.1. Sử dụng nguyên hàm cơ bản.

5


Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C l hng s tuy y)


ũ 0dx = C .

ắắđ

ũkdx = kx +C .

xn+1
ò x dx = n + 1 +C .


1
dx = ln x +C .
ò
x


1 (ax + b)n +1
ò(ax + b) dx = a n + 1 +C .
ắắđ

1
1
dx = - +C .
ũ
2
x
x

1
1
1
d
x
=
ì
+C .
ũ (ax + b)2
a ax + b
ắắđ

sin xdx = ũ

ắắđ

n



cosx +C .

1

2

1

ắắđ

1

ũ ax +b dx = a ln ax + b +C .

ò sin(ax + b)dx = -

ò cosxdx = sinx +C .

dx = ò
sin
x


n

cot x + C .

1
dx = tan x +C .
ò
2
 cos x

1
cos(ax + b) +C .
a

ắắđ

ũ cos(ax + b)dx =

1
sin(ax + b) +C .
a

ắắđ

dx

ũ sin (ax + b) = 2

1

cot(ax + b) +C .
a

dx
1
=
ò cos2(ax +b) a tan(ax + b) +C .
ắắđ

1 ax+b
ax+b
e
d
x
=
e +C .
a
ắắđ ũ
ax
1 aax+b
x
ax +b
a
d
x
=
+
C
.
a

d
x
=
+C .
ũ
ũ
ln
a
ắắđ
a
ln
a

Nhn xét. Khi thay x bằng (ax + b) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm
e dx = e
ò
x

x

+C .

1
×
a
Một số ngun tắc tính cơ bản
PP
g Tích của đa thc hoc ly tha ắắ
ắ
đ khai trin.

PP
g Tớch cỏc ham m ắắ ắ
đ khai trin theo cụng thc m.
ị
g
Bc
chn
ca
sin
va
cosin
1 1
1 1
sin2 a = - cos2a, cos2 a = + cos2a.
2 2
2 2
PP
g Chứa tích các căn thức của x ¾¾ ¾
® chuyển về lũy thừa.
Ví dụ 1. Cho

∫ f ( x)dx = ln x + 1 + ln x + 2 + C . Tìm ∫ f (2 x + 1)dx .
6

Hạ

bậc:


A.

ln 4 x 2 + 10 x + 6

ln 4 x 2 + 10 x + 6 + C

2

B.

ln 4 x 2 + 10 x + 6

+C

ln 4 x 2 + 10 x + 6

+C
+C
3
4
C.
D.
Hướng dẫn:
Đối với bài toán này, học sinh buộc phải đi tìm lời giải bằng kiến thức cơ bản.
Khơng sử dụng máy tính để dị kết quả được.
1
1
f ( x) = (ln x + 1 + ln x + 2 + C )' =
+
x + 1 x + 2 . Từ đó
Cách 1: Ta có:

ln 4 x 2 + 10 x + 6
1
1
f (2 x + 1) =
+
f (2 x + 1)dx =
+C
2 x + 2 2 x + 3 vậy ∫
2
Đáp án B
Cách 2: Chuyển x = 2t + 1.
2
Ví dụ 2. Cho hàm số f ( x) = a cos x có một nguyên hàm là F ( x) . Tìm a biết
π π + 18
F (0) = 2; F ( ) =
4
8 .
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Hướng dẫn:
sin 2 x
x+
π
π + 18
2 +C
F (0) = 2; F ( ) =
F ( x) = a
4

8
2
Ta có
. Thay
C = 2
 π 1
⇒ a =1

+
π
+
18
4
2
a
+C =
2
8
Ta được hệ: 
. Đáp án A.
x 2
2
Ví dụ 3. Cho F ( x) = e (a.tan x + b.tan x + c) là một nguyên hàm của hàm số
π π
(− ; )
x 2
3
f ( x) = e .tan x trên
2 2 . Tìm a + b + c .

1
A. 2
Hướng dẫn:
Ta có:

B.

1−

2
2

C.

1+

2
2

F '( x) = 2.e x 2 (a.tan 2 x + b tan x + c) + e x 2 (2a.

1
− 2
D. 2
1
1
.tan
x
+
b

.
)
cos 2 x
cos2 x

= e x 2 [ 2a.tan 2 x + 2.b.tan x + 2c + 2a(1 + tan 2 x).tan x + b(1 + tan 2 x)]
= e x 2 [2a.tan 3 x+( 2a+b).tan 2 x+( 2b+2a) tan x + b + 2c]
7


1

a
=

2

− 2

⇒ b =
2a = 1
2


 2a + b = 0  1
2
c=


⇒

a
+
b
+
c
=
1
−
2
2 . Đáp án B.
Vậy ta có hệ: b + 2c = 0 
Ví dụ 4. Xét các mệnh đề sau:
x
x
f ( x ) = (sin − cos ) 2
2
2
(I). F ( x) = x + cos x là một nguyên hàm của
3
x4
f ( x) = x 3 +
F ( x) =
+6 x
x
4
(II).
là một nguyên hàm của hàm số

(III). F ( x) = tan x là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = − ln cos x
Mệnh đề nào sai?

A. chỉ (I) và (II) B. Chỉ (III)
C. Chỉ (II)
D. chỉ (I) và (III)
Hướng dẫn:
Đây là bài tốn học sinh phải nắm chắc cơng thức cơ bản và xử lý nhanh.
x
x
( x + cos x)' = 1 − sin x = (sin − cos ) 2
2
2 vậy (I) đúng
4
x
1
( + 6 x )' = x 3 + 6.
4
2 x vậy (II) đúng
1
(tan x)' =
≠ − ln cos x
cos 2 x
vậy (III) sai.
Đáp án C.
Ví dụ 5. Hàm số f ( x ) = ( 2x + 1) có một nguyên hàm dạng
1
F ( −1) =
F ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d
3 . Khi đó, a + b + c + d
thỏa mãn điều kiện
bằng:
A. 3

B. 2
C. 4
D. 5
2

Hướng dẫn:
Do F(x) là nguyên hàm của f(x) nên ta có:
4

a = 3

b = 2

3ax 2 + 2bx + c = 4 x 2 + 4 x + 1
c = 1



1
2
−
a
+
b
−
c
+
d
=
d =


3

3
Đồng nhất hệ số ta được: 
8


Vậy a + b + c + d = 5 . Đáp án D.
2

f '(1) = 2; ∫ f ( x)dx = 4
a
,
b
∈
R
f
(
x
)
=
a
sin
π
x
+
b
0
Ví dụ 6. Cho

để
thỏa mãn:
.
a
−
b
Tìm
.
2
2
a −b = 2−
a −b = 2+
π
π
A.
B.
−2 − 2π
2 −π
a−b=
a −b =
π
π
C.
D.
Hướng dẫn:
aπ cos π = 2
−2

2
a =

⇒

π
(a sin π x + b)dx = 4 
∫

b = 2
Ta có f '( x ) = aπ cos π x . Theo giả thiết:  0
−2 − 2π
a −b =
π
Vậy
. Đáp án C.
2017
Ví dụ 7. Cho hàm F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = (2 x + 1) .
F (0) =

4037
4036 . Tìm F (1) .

Biết
32016 + 2018
4036
A.

32018 + 4036
4036
C.

32017 + 4036

4036
B.
32019 + 2018
4036
D.

Hướng dẫn:
(2 x + 1)2018
32018 + 4036
4037
F ( x) =
+C
F (1) =
F (0) =
⇒ C =1
4036
4036
4036
. Do
vậy
Vậy đáp án là C.
Ví dụ 8. Cho hàm f ( x); g ( x) xác định và liên tục trên ¡ . Hỏi khẳng định nào
sau đây là sai ?
[f (x) + g(x)]dx = ∫ f (x)dx + ∫ g(x)dx
A. ∫
[f (x).g(x)]dx = ∫ f (x)dx.∫ g(x)dx
B. ∫
[f (x) − g(x)]dx = ∫ f (x)dx − ∫ g(x)dx
C. ∫
2 f (x)dx = 2∫ f (x)dx

D. ∫
Hướng dẫn: Đây là dạng bài toán tương đối dễ đối với học sinh nắm chắc công
thức cơ bản. Đáp án B

9


Ví dụ 9. Cho f và g là hai hàm số theo x. Biết ∀x ∈ [a; b]; f '( x) = g '( x) . Trong
các mệnh đề:
(I). ∀x ∈ [a; b]; f ( x) = g ( x)
b

(II).

b

∫ f ( x)dx = ∫ g ( x)dx

.
(III). ∀x ∈ [a; b]; f (b) − f (a) = g (b) − g (a )
Mệnh đề nào đúng.
A. (I)
B. (II)
C. (III)
D. Khơng có mệnh đề đúng
Hướng dẫn:
Mệnh đề (I) và (II) đều sai. Có thể chỉ ra bằng cách cho ví dụ cụ thể:
f ( x) = 3 x + 2; g ( x) = 3 x + 6 .
a

a

b

b

∫ f '( x)dx = ∫ g '( x)dx ⇔ f (b) − f (a) = g (b) − g (a )

a
Mệnh đề (III) đúng vì a
.
Đáp án C
2.3.2. Xác định nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính tích phân.
Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm và dựa vào định lí sau.
Định lý :
a. Nếu ∫f(x)dx = F(x) + C và u = ϕ(x) là hàm số có đạo hàm thì:
∫f(u)du = F(u) + C.
b Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = ϕ(t) trong đó ϕ(t) cùng với đạo
hàm ϕ’(t) là những hàm số liên tục, ta được: ∫f(x)dx = ∫f[ϕ(t)].ϕ’(t)dt.

Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ:

10


Dấu hiệu

Cách chọn

a2 − x2


π
 −π
 x = a sin t ,  2 ≤ t ≤ 2 



 x = a cos t , ( 0 ≤ t ≤ π )

x2 − a2


a
− π π 
,t ∈
, , t ≠ 0
x =
sin t
 2 2


a
π
x =
, t ∈ [ 0, π ], t ≠
cos t
2


x = a cos 2t

a+x a−x
,
a−x a+x

( x − a )( b − x )

x= a + (b – a)sin2t

Hàm có mẫu số
Hàm f(x,
)

t là mẫu số
t=

f (x)

Hàm f(x) =

f (x)

t=

1

( x + a )( x + b )
Hàm f(x) = f(lnnx;

1
x

)

x+a + x+b

t = lnx

2017
Ví dụ 1. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = x( x + 1) . Biết

F (−1) = 3 . Tìm F (0) .
12223025
A. 4074324

12223052
B. 4074324

12223025
C. 4074342

12223052
D. 4074342

Hướng dẫn:
Đặt x + 1 = t ta có

∫ f ( x)dx = ∫ (t − 1)t

2017

t 2019
t 2018
( x + 1)2019 ( x + 1)2018
dt =
−
+C =
−
+C
2019 2018
2019
2018
. Do

F (−1) = 3 nên C =
12223025
F (0) =
4074342 . Đáp án C.
3. Từ đó
Nhận xét: Thường máy tính khơng tính được những bài mũ cao. Vì vậy giáo
viên nên đưa thêm những bài có số mũ lớn vào để tránh việc học sinh dùng máy
tính để dò kết quả.
x −1
f ( x) = 2
x − x ln x .
Ví dụ 2. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm của hàm
Với C là hằng số, tìm đáp án đúng.
A. F (ex) = ln ex + x − ln x + C

B. F (ex) = ln x + e − x ln ex + C
11


F (ex) = ln ex 2 + 2 x − e ln x + C
F
(
ex
)
=
ln
ex
−
1
−
ln
x
+
C
C.
D.
Hướng dẫn:
1
1−
1
x −1
t = x − ln x ⇒ dt = (1 − )dx
∫ x 2 − x ln x dx = ∫ x − lnx x dx
x
Ta có:

. Đặt
x −1
dt
F ( x) = ∫ 2
dx = ∫ = ln t + C = ln x − ln x + C
x − x ln x
t
Vậy
.
Từ đó F (ex) = ln ex − ln(ex) + C = ln ex − 1 − ln x + C . Đáp án C.

∫

Ví dụ 3. Cho I =
2
I =∫ 2
dt
t
(
t
−
4)
A.

1

dx

x
. Đặt e + 4 = t . Chọn đáp án đúng.

1
2
I =∫ 2
dt
I =∫ 2
dt
t (t − 4)
t −4
B.
C.
D.

ex + 4

2t
dt
t2 − 4
Hướng dẫn:
I =∫

e x + 4 = t ⇒ e x = t 2 − 4 ⇒ e x dx = 2tdt ⇒ dx =
Vậy

I =∫

1 2t
2
dt
=
dt

∫
t t2 − 4
t 2 − 4 . Đáp án C.

2t
dt
t2 − 4

1
Ví dụ 4. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số e + 1 thỏa mãn F ( 0 ) = − ln 2
F ( x ) + ln ( e x + 1) = 3
. Tìm tập nghiệm S của phương trình
A. S = { −3}
B. S = { ±3}
C. S = { 3}
D. S = ∅
Hướng dẫn:
Đặt:
dt
dt
1 1
t −1
e x + 1 = t ⇒ dt = e x dx ⇒ dx =
⇒ F ( x) = ∫
= ∫(
− )dt = ln
+C
t −1
t (t − 1)
t −1 t

t
ex
F ( x ) = ln x
+C
e +1
Vậy
mà F (0) = − ln 2 ⇒ C = 0 .
x

x
Từ đó phương trình F ( x ) + ln(e + 1) = 3 có nghiệm là x = 3.
Đáp án C.
1 + ln 3 x
f ( x) =
x
Ví dụ 5. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số
. Biết

F (e) = 2 . Tìm F (1) + 2.F (e 2 ) .
27
A. 2

57
B. 4

53
C. 4
12

27

D. 4


Hướng dẫn:
1
t4
ln 4 x
3
t = ln x ⇒ dt = dx
F ( x) = ∫ (1 + t ) dt = t + + C = ln x +
+C
x
4
4
Đặt
vậy
1
3
57
F ( e) = 2 ⇒ 1 + + C = 2 ⇒ C =
F (1) + 2.F (e 2 ) =
4
4 . Vậy
4
Mặt khác
Đáp án B.
2
F ( x) = ∫ ( x 2 + 1) x + 1dx
Ví dụ 6. Cho
. Với C là hằng số, tìm F ( x − 1) .

7

5

2x
4x
−
+4 x +C
5
A. 7
5
3
2x
4x
−
+4 x +C
3
C. 5
Hướng dẫn:

7

5

3

x
4x
4x
−

+
+C
5
3
B. 7
7
5
3
2x
4x
4x
−
+
+C
5
3
D. 7

x = t 2 − 1 ⇒ dx = 2tdt ⇒ F ( x) = 2

t7
t5
t3
−4 +4 +C
7
5
3

x + 1 = t ta có
( x + 1)7

( x + 1)5
( x + 1)3
F ( x) = 2
−4
+4
+C
7
5
3
Vậy
.
7
5
3
x
x
x
( x 2 )7
( x 2 )5
( x 2 )3
2
F ( x − 1) = 2
−4
+4
+C =2
−4
+4
+C
7
5

3
7
5
3
Từ đó
.
Đáp án D
2.3.3. Tính ngun hàm bằng phương pháp từng phần.
1) Công thức nguyên hàm từng phần
du = f ′( x)dx
u = f ( x)
⇒

dv = g ( x)dx v = ∫ g ( x )dx = G ( x) (C = 0)
u.dv =u.v − ∫ v.du
Khi đó ta có ∫
hay
∫ f ( x) g ( x)dx = f ( x)G ( x) − ∫ G ( x) f ′( x)dx
Đặt

2) Cơng thức tích phân từng phần
b

Khi đó ta có
b

∫
a

∫ u.dv = ( u.v )

a

du = f ′( x)dx
u = f ( x)
⇒

dv = g ( x)dx v = ∫ g ( x)dx = G ( x) (C = 0)
b
a

b

− ∫ v.du
a

b

hay

b

f ( x ) g ( x )dx = [ f ( x )G ( x) ] − ∫ G ( x ) f ′( x )dx
a

a

3) Công thức đạo hàm của hàm số sơ cấp và hàm hợp.
13

′
x ) =αx
(


′
u ) = nu
(
.

′
′
′
.  ( uv ) = u v + uv .
x ′
x
sin u ) ′ = u′ cos u ( cos u ) ′ = −u′ sin u ( e ) = e
(

.
.
α



( eu ) ′ = e u u ′

Hàm số

α −1



n

( ln x ) ′ =

F ( x)

u′

n −1

1
x

là một nguyên hàm của hàm số

f ( x)

nếu

F′( x) = f ( x)

.

xα +1
u ( x ) .v′ ( x ) dx = u ( x ) .v ( x ) − ∫ v ( x ) .u′ ( x ) dx ∫ x dx = α + 1 + C
∫


.
, với
α ≠ −1.
1
dx = ln x + C
e x dx = e x + C ∫ sin xdx = − cos x + C
∫
∫
x



α

cos xdx = sin x + C
∫
4) Chúng ta cần chú ý, khi sử dụng phương pháp từng phần để tính nguyên hàm

chúng ta cần tuân thủ các nguyên tắc sau:
- Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng.
- Nguyên hàm ∫vdu được xác định một cách dễ dàng hơn so với I.
Ta dùng P(x) để chỉ cho một đa thức.
- Khi gặp các nguyên hàm có dạng:
∫P(x)axdx, ∫P(x)sinxdx, ∫P(x)cosxdx nên dùng nguyên
hàm từng phần để tính với cách đặt: u = P(x).
- Khi gặp các tích phân có dạng ∫P(x)logaxdx nên dùng nguyên
hàm từng phần để tính với cách các đặt: u = P(x).
- Khi gặp nguyên hàm dạng ∫eaxsinbxdx, ∫eaxcosbxbx nên dùng nguyên
hàm từng phần hai lần để tính với cách đặt: u = eax.
Sau đây là ví dụ nhằm minh hoạ cho tính phổ biến và tiện lợi của phương pháp

này:
Ví dụ1 : Tính :
I =

∫

x ln( x +

x 2 + 1)

x2 +1

dx.

Hướng dẫn:
Ta viết lại I dưới dạng:
I = ∫ ln( x +

14

x 2 + 1)

x
x2 +1

dx.


Đặt:

(

)

x

1+
u = ln x + x 2 + 1

x 2 + 1 .dx =

du =
⇒

x
x + x2 +1
dx
dv =

2
x +1

v = x 2 + 1


dx
x2 +1

Đặc biệt: Khi bài toán là bài thi trắc nghiệm
Ví dụ 2 : Gọi F(x) = ( ax3 + bx2 +cx + d )ex là nguyên hàm của hàm số

f(x) = ( 2x3 + 9x2 - 2x + 5 )ex . Tính a2 + b2 +c2 +d2
A . 244

B. 247

C. 245

D. 246

- Như vậy khi gặp dạng nguyên hàm này ta tính như thế nào?
- Cũng dùng nguyên hàm từng phần nhưng để tính nhanh ta làm như sau :
F(x) = f(x)ex - f’(x)ex + f”(x)ex - f’’’(x)ex sau đó ta cộng tổng các bình
phương của các hệ số và chọn đáp án đúng.
Nhận xét: Nếu ta dùng tích phân từng phần thì rất rắc rối và dài dòng và
dẫn đến thời gian làm bài rất lâu, nên trong q trình giảng bài tơi đưa ra cách
tính nhanh như vậy để có kết quả nhanh trong q trình làm bài trắc nghiệm.
Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ . Biết cos 2x là một nguyên hàm của
x
x
′
hàm số f ( x ) e , họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) e là:
A. − sin 2 x + cos 2 x + C .
B. −2sin 2 x + cos 2 x + C .
C. −2sin 2 x − cos 2 x + C .
D. 2sin 2 x − cos 2 x + C .
Hướng dẫn:
Chọn C
f ( x) ex
cos
2x

Do
là một nguyên hàm của hàm số

x
x
′
nên f ( x ) e = ( cos 2 x ) ⇔ f ( x ) e = −2sin 2 x .
f ( x ) e x dx = cos 2 x + C
∫
Khi đó ta có
.
u = f ( x )
du = f ′ ( x ) dx
⇒


x
x
dv = e dx v = e
.
Đặt
f ( x ) e xdx = cos 2 x + C ⇔ ∫ f ( x ) d ( e x ) = cos 2 x + C
Khi đó ∫
⇔ f ( x ) e x − ∫ f ′ ( x ) e x dx = cos 2 x + C

⇔ ∫ f ′ ( x ) e x dx = −2sin 2 x − cos 2 x + C

15

.

x
′
Vậy tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) e là −2sin 2 x − cos 2 x + C
.

J = ∫ ( x + 1)e3 xdx

Ví dụ 4: Tìm ngun hàm
.
1
1
1
1
J = ( x + 1)e3 x − e3 x + C
J = ( x + 1)e3 x − e3 x + C
3
3
3
9
A.
.
B.
.
1
1
1
J = ( x + 1)e3 x + e3 x + C
J = ( x + 1)e3 x − e3 x + C

3
9
3
C.
.
D.
.
Hướng dẫn:
Chọn B
du = dx
u = x + 1

⇒  1 3x

3x
dv = e dx v = e
3 .

Đặt
1
1
1
1
J = ( x + 1)e3 x − ∫ e3 x dx = ( x + 1)e3 x − e3 x + C
3
3
3
9
Khi đó
.

Ví dụ 5: Kết quả tính

∫ 2 x ln ( x − 1) dx

bằng:

2

( x + 1) ln ( x − 1) − x2 − x + c.
A.
x2
2
x ln ( x − 1) − − x + c.
2
C.
Hướng dẫn:
Chọn D
I = ∫ 2 x ln ( x − 1) dx
2

x2
( x − 1) ln ( x − 1) − 2 + x + c.
B.
x2
2
( x − 1) ln ( x − 1) − 2 − x + c.
D.

1


dx
u = ln ( x − 1)
du =
⇒
x −1 .

dv = 2 xdx
v = x 2 − 1

Đặt
x2 − 1
2
I = ( x − 1) ln ( x − 1) − ∫
dx
x
−
1
Khi đó
= ( x 2 − 1) ln ( x − 1) − ∫ ( x + 1) dx

x2
= ( x − 1) ln ( x − 1) − − x + c.
2
*)Một số bài toán tương tự
2

Câu 1. Cho

F ( x) = ∫

dx
x 2 + 4 . Tìm F (2 x ) .
16

2


A. F (2 x) = arctan(2 x) + C
C. F (2 x ) = 2arctan(2 x) + C

1
F (2 x) = arctan x + C
2
B.
D. F (2 x ) = arctan( x) + C
f ( x) =

ln 3 x
x

Câu 2. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
x.ln 4 ( x + 1)
ln 4 ( x + 1)
F( x ) =
F( x ) =
4
4
A.
B.
ln 4 x

ln 4 x + 1
F( x ) =
F( x ) =
2.x 2
4
C.
D.
dx
∫
Câu 3. Nguyên hàm 2 tan x + 1 bằng?
x 2
2x 1
+ ln 2sin + cos x + C
− ln 2sin x + cos x + C
5
5
5
5
A.
B.
x 1
x 1
− ln 2sin x + cos x + C
+ ln 2sin x + cos x + C
C. 5 5
D. 5 5
sin 4x
dx
∫
Câu 4. Nguyên hàm sin x + cos x bằng?

A.
B.
C.
D.

−

2
3π 
π


cos  3x + ÷− 2 cos  x + ÷ + C
3
4 
4



−

2 
3π 
π

sin  3x + ÷− 2 sin  x + ÷+ C
3
4 
4




−

2
3π 
π


cos  3x + ÷+ 2 sin  x + ÷+ C
3
4 
4



−

2
3π 
π


cos  3x + ÷+ 2 cos  x + ÷+ C
3
4 
4



2
Câu 5. Nếu f ( x) = (ax + bx + c ) 2 x − 1 là một nguyên hàm của hàm số
10 x 2 − 7 x + 2
1
g ( x) =
( ; + ∞)
2x − 1
trên 2
thì a + b + c có giá trị bằng.
A. 3
B. 0
C. 4
D. 2
2
Câu 6. Xác định a, b, c sao cho g ( x) = (ax + bx + c) 2 x − 3 là một nguyên hàm

20 x 2 − 30 x + 7
3
( ; + ∞)
2x − 3
của hàm
trong khoảng 2
.
A. a = 4; b = 2; c = 2
B. a = 1; b = −2; c = 4
C. a = −2; b = 1; c = 4
D. a = 4; b = −2; c = 1
17

Câu 7. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
f ( x ) = x 2 + k (k ≠ 0) .
A.
C.

F ( x) =

x 2
k
x + k + ln x + x 2 + k
2
2

F ( x) =

1 2
x
x + k + ln x + x 2 + k
2
2
I=∫

k
F ( x) = ln x + x 2 + k
2
B.
1
F ( x) =
+C
2

x +k
D.

x
3x + 9x 2 − 1

dx

Câu 8. Nguyên hàm
3
1
2
I = (9x + 1) 2 + x 3 + C
27
A.

bằng

3
1
2
I = (9x − 2) 2 + x 3 + C
27
B.
3
3
1
1
2
3

2
2
I = (9x − 1) + x + C
I = (9x + 2) 2 + x 3 + C
27
27
C.
D.
2
π
f
(
x
)
dx
=
tan 3 x + C
f( )
∫
3
4 .
Câu 9. Cho
. Tìm

1
A. 4

1
B. 2

C. 2

Câu 10. Cho hàm số ( ) thỏa mãn
dưới đây đúng?
f x = 3x + 5cosx + 5
A. ( )
f x

C.

D. 4

f '( x) = 3− 5sin x

B.

f ( x) = 3x − 5cos x + 15

D.

và

f ( 0) = 10

. Mệnh đề nào

f ( x) = 3x + 5cos x + 2
f ( x) = 3x − 5cos x + 2

x

Câu 11. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = e + 2x thỏa mãn

F ( 0) =

3
2 . Tìm F ( x) .

A.
C.

F ( x) = 2ex + x2 −
F ( x) = ex + x2 +

Câu 12. Biết
A.

F ( x)

1
2

3
2

D.

là một nguyên hàm của

f ( x) =

F ( 3) = ln 2 − 1

1
F ( 3) =
2
C.

Câu 13. Tìm ngun hàm
π 
F  ÷= 2
2

B.

F ( x) = ex + x2 +

5
2

F ( x) = ex + x2 +

1
2

1
x − 1 và F ( 2 ) = 1 . Tính F ( 3) .
F ( 3) = ln 2 + 1

B.
F ( x)

D.
của hàm số

18

F ( 3) =

7
4

f ( x ) = sin x + cos x

thoả mãn


A.
C.

F ( x ) = cos x − sin x + 3

B.

F ( x ) = − cos x + sin x − 1

Câu 14. Cho

F ( x) = ( x − 1) ex

nguyên hàm của hàm số

D.

F ( x ) = − cos x + sin x + 1

là một nguyên hàm của hàm số

f ′ ( x) e

2x

f ( x) e2x

. Tìm

.
2− x

∫ f ′ ( x) e dx = 2 e + C
B.
f ′ x e dx = ( 4 − 2x) e + C
D. ∫ ( )

f ′ ( x) e2xdx = ( x − 2) ex + C

A. ∫
f′ x e
C. ∫ ( )

F ( x ) = − cos x + sin x + 3

2x

dx = ( 2 − x) ex + C

2x

2x

x

x

2x
Câu 15. F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( 2 x + 1) e thỏa F ( 0 ) = 0 .

Tính F ( 1)

F ( 1) =

e2
2.

F ( 1) =

3e 2
2 .

A. F ( 1) = 2e . B.
C. F ( 1) = e .

D.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà
Với phương pháp trên tôi đã tổ chức cho học sinh tiếp nhận bài học một cách
chủ động, tích cực, tất cả các em đều hứng thú học tập thực sự và hăng hái làm
bài tập giao về nhà tương tự. Phương pháp dạy học trên đây dựa vào các nguyên
tắc:
- Đảm bảo tính khoa học chính xác
- Đảm bảo tính lơgic
- Đảm bảo tính sư phạm
- Đảm bảo tính hiệu quả
Khi trình bày tơi đã chú ý đến phương diện sau:
- Phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh
- Phát huy được năng lực tư duy toán học của học sinh
Qua thực tế giảng dạy các lớp của trường THCS và THPT Như Xuân, các em rất
hào hứng và sôi nổi trong việc đề xuất cách mới và bài toán mới. Cụ thể kiểm tra
khảo sát chất lượng học sinh khối 12 năm học 2020 – 2021 trước và sau khi áp
dụng sáng kiến như sau:
*)Trước khi giảng dạy:
Điểm 8
Điểm từ 5 đến 8 Điểm dưới 5
Năm
Tổng trở lên
Lớp
học
số
Số
Tỷ
Số
Số

Tỷ lệ
Tỷ lệ
lượng lệ
lượng
lượng
12C
33
0
0%
5
15%
28
85%
2020
-2021
12D
33
0
0%
6
18%
27
82%
2

*)Sau khi giảng dạy:
Năm
Lớp Tổng
học
số

2

Điểm 8
trở lên
Số
Tỷ
19

Điểm từ 5 đến 8

Điểm dưới 5

Số

Số

Tỷ lệ

Tỷ lệ


2020
-2021

12C
12D

33
33

lượng
1
1

lệ
4%
4%

lượng
20
21

20

60%
64%

lượng
12
11

36%
32%


3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
Nếu học sinh được biết một phương pháp mới có hiệu quả thh́ì các em sẽ tự
tin hơn trong giải quyết các bài toán dạng này và dạng tương tự. Tuy nhiên mỗi

bài toán có nhiều cách giải, phương pháp giải này có thể dài hơn các phương
pháp khác nhưng nó lại có đường lối nhận biết rõ ràng dễ tiếp cận hơn các
phương pháp khác. Hoặc là tiền đề cho ta sáng tạo một dạng bài tập khác. Từ
vấn đề học sinh quá phụ thuộc máy tính khi giải tốn tơi đã tìm ra giải pháp để
các em có cái nhìn tồn diện vấn đề hơn. Đó chính là cái hay, cái đẹp của tốn
học, khiến người ta say mê tốn học.
Tơi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối trong quá trình dạy và học
đối với học sinh THPT và đặc biệt đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với học sinh
trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi tốt nghiệpTHPT hiện hành. Theo tơi khi dạy
phần tốn ngun hàm, tích phân và ứng dụng giáo viên cần chỉ rõ các dạng toán
và cách giải tương ứng để học sinh nắm được bài tốt hơn.
3.2. Kiến nghị
- Tích cực trau dồi chuyên môn nghiệp vụ, trao đổi kinh nghiệm, kiến thức,
phương pháp không chỉ ở trong trường mà mở rộng ra cụm trường trong tỉnh và
các tỉnh xung quanh, càng trao đổi nhiều thì mình càng thu được nhiều.
- Rất mong các thầy cơ giáo quan tâm, dựa vào trình độ của khối lớp để có thể
đưa ra các dạng bài tập từ cấp độ thấp đến cấp độ cao mang tính vừa sức, giúp
cho các em quen dần với các phương pháp này, góp phần nâng cao chất lượng
dạy và học.
- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều
hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học
tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ.
- Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập.
- Cần tăng cường hơn nữa các buổi thảo luận khoa học để thống nhất cách dạy
và đưa ra các tài liệu tham khảo.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 18 – 05 – 2021
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của

mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.

Lưu Thị Hương

21


TÀI LIỆU THAM KHẢO.
[1]. Sách giáo khoa giải tích 12 - Nhà xuất bản giáo dục.
[2]. Sách hướng dẫn giảng dạy - Nhà xuất bản giáo dục.
[3]. Tài luệu tập huấn sách giáo khoa - Nhà xuất bản Giáo dục.
[4]. Các bài giảng luyện thi mơn tốn - Nhà x́t bản giáo dục.
[5]. Tài liệu bồi dưỡng giáo viên (môn Toán học), Bộ giáo dục và đào tạo, Nxb
Giáo dục.
[6]. Đề thi ĐH mơn tốn các năm và đề thi minh họa năm 2020 của bộ GD và
ĐT.

22


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP
LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Lưu Thị Hương
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THCS và THPT Như Xuân
TT
1.

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh

Kết quả

Năm học

giá xếp loại

đánh giá

đánh giá xếp

xếp loại
C

loại
2015-2016

C

2016 - 2017

Rèn luyện kĩ năng và tư duy Tỉnh
sáng tạo cho học sinh khi sử
dụng tính đơn điệu của hàm

2.

số để giải hệ phương trình.
Rèn luyện kĩ năng và tư duy

Tỉnh

sáng tạo cho học sinh THPT
thông qua việc xây dựng một
số bài tốn tính ngun hàm
khơng sử dụng máy tính cầm
tay.

23