SKKN rèn luyện năng lực giải toán tìm cực trị của hàm hợp cho học sinh lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT SẦM SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TỐN
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM HỢP CHO HỌC SINH LỚP 12

Người thực hiện:Lê Thị Tuyết Nhung
Chức vụ : Tổ trưởng chuyên môn.
SKKN thuộc mơn : Tốn

THANH HĨA, NĂM 2021


MỤC LỤC
TT
1
1.1
1.2
1.3
1.4
2
2.1
2.2
2.3
2.3.1

Nội dung
MỞ ĐẦU

Lý do chọn đề tài
Mục đích nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu
NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Thực trạng của vấn đề
Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Trang bị cho học sinh kĩ năng đọc thông tin của hàm
số từ đồ thị, từ bảng biến thiên, kĩ năng tính đạo hàm
của hàm số hợp.

2.3.2

Thành thạo các phép biến đổi đồ thị để giải quyết tốt 12
các bài tốn cực trị của hàm hợp có chứa dấu giá trị
tuyệt đối.

2.3.3

Nắm vững các phương pháp tìm giá trị của tham số để
phương trình f  x   m có nghiệm, làm cơng cụ hỗ trợ
giải quyết các bài toán cực trị chứa tham số.
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động
giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
Kết luận
Kiến nghị
Tài liệu tham khảo
Danh mục các đề tài SKKN tác giả đã được hội đồng

cấp ngành sở GD&ĐT đánh giá đạt từ loại C trở lên.
Phụ lục

2.4.
3.
3.1.
3.2

1.MỞ ĐẦU

Trang
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3

13

17
18
18
18
19
20

21


1.1. Lí do chọn đề tài
“Khái niệm hàm số là khái niệm then chốt của tồn bộ tốn học”[1].
Chủ đề cực trị của hàm số là một trong những nội dung trọng tâm của
chương trình giải tích 12. Bài tập về cực trị của hàm số hợp rất đa dạng nên
khi tiếp cận các dạng bài tập này, học sinh gặp khơng ít khó khăn khi tìm tịi
lời giải.
Những năm gần đây, trong các đề thi thử, đề thi THPTQG xuất hiện các
bài toán cực trị của hàm hợp. Đây là những bài tốn hồn tồn mới lạ đối với
học sinh, những bài tập này thường là những bài tập ở mức độ vận dụng, vận
dụng cao, với ý đồ phân loại học sinh khá, giỏi nên đã làm cho nhiều học sinh
cảm thấy lúng túng trong quá trình tìm tịi lời giải. Do đó nhiệm vụ đặt ra cho
các thầy cơ dạy tốn là làm thế nào để học sinh tiếp cận dạng toán này một
cách hiệu quả, vận dụng tốt các kiến thức đã học vào làm bài tập thành thạo.
Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học phần hàm số,
thông qua việc rèn luyện năng lực giải toán cực trị của hàm hợp cho học sinh
cuối cấp THPT. Mặt khác khơi gợi niềm đam mê, u thích bộ mơn Tốn và
tạo sự tự tin cho các em học sinh trong các kỳ thi.Từ kinh nghiệm của bản
thân trong quá trình giảng dạy kết hợp với sự tìm tịi, tham khảo và tổng hợp
ở các tài liệu Tốn, tơi lựa chọn đề tài:
“Rèn luyện năng lực giải tốn tìm cực trị của hàm hợp cho học sinh lớp
12”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu những khó khăn, vướng mắc của học sinh khi giải bài toán tìm
cực trị của hàm hợp. Phân tích, tìm tịi và xây dựng phương pháp giải thơng
qua các ví dụ mẫu. Đề xuất hệ thống bài tập vừa sức, hướng dẫn học sinh
nghiên cứu, tìm tịi những bài tập cùng loại, nâng dần mức độ khó khăn, góp
phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn trong trường phổ thơng cũng

như tích luỹ kinh nghiệm cho bản thân.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu cách giải các bài tốn tìm cực trị của hàm hợp ở các đề thi
thử THPT Quốc gia của các trường THPT, các Sở GD&ĐT trên cả nước, đề
thi THPT Quốc gia các năm gần đây của Bộ GD&ĐT.
Các vấn đề tơi trình bày trong đề tài nhằm nâng cao năng lực giải bài
tốn tìm cực trị của hàm hợp cho đối tượng học sinh lớp 12 trong kì thi THPT
Quốc gia.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Sáng kiến này dựa trên phương pháp xây dựng cơ sở lý thuyết, hệ
thống lại kiến thức cơ bản có liên quan, xây dựng hệ thống bài tập vận dụng
kiến thức cũ và tổ chức thực hiện.
Thực tiễn dạy học cũng như việc dự giờ, trao đổi chuyên môn với đồng
nghiệp cũng giúp cá nhân tơi hồn thiện cơ sở lý luận và tổ chức triển khai áp
dụng.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm


Nắm vững và vận dụng được kiến thức cơ bản vào trong những trường
hợp cụ thể, nhận ra những bài toán tương tự với bài toán đã biết, qui bài toán
xa lạ thành bài toán quen thuộc, gần gũi, từ đó vận dụng những kiến thức
được học vào giải thành thạo các bài tập.
Trong khuôn khổ của đề tài, tôi chủ yếu tập trung vào việc phân tích các
bài tốn để học sinh nắm vững cách giải quyết từng dạng tốn cụ thể, từ đó
các em sẽ biết làm các bài tương tự. Để làm được điều này tôi xin nêu lại một
số nội dung kiến thức cơ bản học sinh cần nắm vững khi học chủ đề cực trị
của hàm số hợp.
Nội dung 1: Bài: Cực trị của hàm số (sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao)
- Khái niệm cực trị của hàm số

- Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
- Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
- Các qui tắc xác định điểm cực trị
Nội dung 2: Sơ lược về tịnh tiến đồ thị song song với các trục tọa độ (mục 4,
Bài: Đại cương về hàm số- sách giáo khoa đại số 10 nâng cao)
Nội dung 3: Một số tính chất liên quan tới cực trị của hàm số chứa dấu trị
tuyệt đối.
Tính chất 1: Số điểm cực trị của hàm số f  x bằng tổng số điểm cực trị của
hàm số f  x và số lần đổi dấu của hàm số f  x .
Tính chất 2:Số điểm cực trị của hàm số f  x  bằng 2a 1, trong đó a là số
điểm cực trị dương của hàm số.
Tính chất 3:Số điểm cực trị của hàm số f  mx  n  bằng 2a 1, trong đó a là
số điểm cực trị lớn hơn 

n
của hàm số f  x .
m

2.2. Thực trạng của vấn đề
Mặc dù trong quá trình giảng dạy, giáo viên đã cung cấp các kiến thức
cơ bản, đã trình bày và hướng dẫn cho học sinh các dạng toán về cực trị của
hàm hợp, nhưng thực trạng cho thấy có khơng nhiều học sinh dám tiếp cận
với dạng toán này, một bộ phận học sinh cảm thấy ngợp vì độ khó, mới lạ, đa
dạng của các bài tập về cực trị, hơn nữa khi làm các bài tập này, nếu không
nhanh nhạy và lựa chọn đúng hướng sẽ làm mất khơng ít thời gian của học
sinh.Vì những lí do trên, tơi nhận thấy ngoài việc cung cấp cho học sinh
những kiến thức nền vững chắc thì cần tạo nhiều cơ hội giúp các em cọ xát
với các dạng toán về cực trị của hàm hợp. Đặc biệt đứng trước một câu hỏi
trắc nghiệm khách quan có nhiều cơng cụ để giải, nhưng việc phân tích, phán
đốn và lựa chọn để nhanh chóng đi tới đáp số của bài toán là điều quan

trọng, địi hỏi học sinh phải có kiến thức chắc chắn và một chút “nhạy cảm”
toán học, mà điều này phải được rèn giũa thường xun trong q trình học
tốn.


Các bài tốn về cực trị hàm hợp cịn khá mới mẻ không chỉ đối với học
sinh mà ngay cả với giáo viên, chưa có bộ giáo án hồn chỉnh, phân dạng các
loại bài tập và bài tập cho học sinh luyện tập.
Nội dung cực trị của hàm hợp chưa được khai thác nhiều, tài liệu tham
khảo cịn rất ít. Chưa có tài liệu chính thống nào viết về quy trình giải tốn
cực trị hàm hợp cho học sinh. Học sinh cịn lúng túng, khơng có hướng giải
quyết khi đứng trước bài tốn tìm cực trị của hàm hợp. Tơi cho rằng, nguyên
nhân chủ yếu là do đây là phần kiến thức mới, học sinh chưa được hướng dẫn
và giảng dạy phần này một cách có hệ thống. Về phía giáo viên, một số chưa
giành thời gian nghiên nội dung này, số khác chưa cập nhật kịp thời những
nội dung mới trong đề thi THPTQG của Bộ.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Trang bị cho học sinh kĩ năng đọc thông tin của hàm số từ đồ thị, từ
bảng biến thiên, kĩ năng tính đạo hàm của hàm số hợp.
Trong giải pháp này, khi giảng dạy chủ đề hàm số cho học sinh từ các
lớp dưới-người thầy nên tận dụng các cơ hội rèn luyện cho học sinh một số kĩ
năng như tính đạo hàm của hàm số hợp, kĩ năng đọc thông tin từ đồ thị hoặc
từ bảng biến thiên (đồ thị đi qua điểm nào, khoảng đồng biến, nghịch biến của
đồ thị, điểm cực đại, cực tiểu, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên
khoảng, đoạn...tính liên tục,...) cho học sinh.
Dạng 1. Cho đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) , tìm cực
trị của hàm số y = f ( u ( x ) )
Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau

Số điểm cực trị của hàm số y  f  3  x  là A. 1 . B. 3 . C. 4 . D. 2 .

Phân tích : Bài tốn yêu cầu xác định số điểm cực trị nên phải tìm số nghiệm
 x   0 với g  x   f  3  x 2 
đơn hoặc nghiệm đơn bội lẻ của phương trình g �
( mà có thể khơng cần phải lập bảng biến thiên của hàm số). Việc tìm nghiệm
 x   0 địi hỏi học sinh phải có các kỹ năng như tính
của phương trình g �
đạo hàm của hàm hợp, đọc bảng biến thiên, tìm nghiệm của phương trình
f�
 x  từ đó suy ra nghiệm của phương trình g �
 x   0.
2
Hướng dẫn: Đặt g  x   f  3  x  �
2

�
2
2 �
2
2
�
�
�
.
g�
 x  �
�f  3  x  �  3  x  . f  3  x   2 x. f  3  x 


x0
�

g�
 x   0 � 2 x. f � 3  x 2   0 � � � 2
.
�f  3  x   0
x0
�
x0
x0
�
�
�
� 2
�2
��
3 x 1 � �
x 2� �
x  2 ( x  � 2 là hai nghiệm đơn, x  0 là nghiệm
�
�
3  x2  3 �
x2  0
x 2
�
�
�

bội ba).Vậy hàm số có 3 điểm cực trị. Chọn đáp án C.
Bài tập tương tự:
Ví dụ 1.1.(Sở GD Bắc Ninh - 2019) Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như
hình vẽ dưới đây.Biết tất cả các điểm cực trị của hàm số y  f  x  là 2 ; 0 ; 2 ;

a ; 6 với 4  a  6 . Số điểm cực trị của hàm số y  f  x 6  3 x 2  là
A.8. B.11. C.9. D.7.

Đáp án B
Ví dụ 2:Cho hàm số y  f  x  xác định trên R , có đồ thị f  x  như hình vẽ.

Hàm số g  x   f  x  x  đạt cực tiểu tại điểm x0 . Giá trị x0 thuộc khoảng nào
sau đây A.  1;3 . B.  1;1 .
C.  0; 2  .
D.  3; � .
Phân tích:Bài tốn khơng u cầu tìm số điểm cực trị như ở ví dụ 1 mà yêu
cầu phải xác định được cụ thể điểm cực tiểu của hàm số. Do đó ngồi việc
phải xác định được số nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của phương trình
g�
 x   0 thì chúng ta cần phải lập được bảng biến thiên của hàm số y  g  x 
3
với g ( x)  f  x  x  và căn cứ vào bảng biến thiên để đi đến kết luận.
3


Lời giải
3
 x    3x 2  1 f �
 x3  x  .
Ta có: g  x   f  x  x  � g �
�
x3  x  0
x0
� g�
 x   0 �  3x 2  1 f �

 x3  x   0 � f � x3  x   0 � �x3  x  2 � �
.
�
x 1
�
�

 x   0 �  3x 2  1 f �
 x3  x   0 � f � x3  x   0 � 0  x3  x  2 � 0  x  1
Do đó g �
.
Bảng biến thiên

3
Vây hàm số g  x   f  x  x  đạt cực tiểu tại điểm x0  0 . Suy ra x0 � 1;1 .
Bài tập tương tự:
Ví dụ 2.1: Cho y  f ( x) là hàm số đa thức bậc ba có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y  f



3  2 x  x2

 đạt cực tiểu tại

A. x  1 .B. x  1  3 .
C. x  1  3 .
D. x  1 .
Chọn đáp án A.

Ví dụ 3: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên

Số điểm cực đại của hàm số y  g  x   �
�f  2  x  �
� 2020 là A. 1 .B. 3 .C. 2 .
D. 4 .
Phân tích : Ở ví dụ này chúng ta thấy rằng hàm số cần tìm cực trị là hàm
hợp có lũy thừa, vì vậy học sinh phải có kỹ năng tính đạo hàm của hàm số
 x  và xét dấu
hợp. Tương tự như các ví dụ trên, đi tìm được nghiệm của g �
 x  để tìm được số điểm cực đại của hàm số.Việc xét dấu của g �
 x
của g �
2


chúng ta cần phải quan sát kỹ bảng biến thiên đã cho để xét dấu f  2  x  và
f�
 2  x  từ đó đi đến kết luận.
Hướng dẫn:
 2  x .
Ta có g '  x   2. f  2  x  . f �
2  x  a  2 �
x  2a  4
�
�
�
�f  2  x   0
2 x  b 1
x  2b 1

g '  x   0 � 2. f  2  x  . f �
��
��
 2  x  0 � �
�
x4
 2  x   0 �2  x  2
�f �
�
�
2  x 1
x 1
�
�
g '  x  không xác định � f �
 2  x không xác định � 2  x  0 � x  2

Dựa vào bảng biến thiên của ta thấy

f  2  x  0 � a  2  x  b � 2  b  x  2  a

2  x  2
x4
�
�
f�
��
 2  x  0 � �
0  2  x 1 �
1 x  2

�
Ta có bảng xét dấu g '  x 

Vậy hàm số y  g  x   �
�f  2  x  �
� 2020 có 2 điểm cực đại.Chọn đáp án C.
Ví dụ 4:Biết rằng hàm số f  x  xác định, liên
tục trên R có đồ thị được cho như hình vẽ bên.
Số điểm cực tiểu của hàm số y  f �
�f  x  �
�là
2

A. 5 .

B. 2 .

C. 4 . D. 6 .

Phân tích : Việc giải ví dụ 4 tương tự như ví dụ 3. Tuy nhiên học sinh phải
đọc được thông tin từ đồ thị: hàm số f  x  đạt cực trị tại x  0 hoặc x  2 ( cũng
 x  ) từ đó sẽ tìm được các nghiệm của g �
 x  với
chính là nghiệm của f �
g  x  f �
.
�f  x  �
�và đi đến xét dấu của y�
Hướng dẫn:
 f�

�
 x . f �
Xét hàm số y  g ( x)  f �
�f  x  �
�;
�f  x  �
�, ta có: y�
�f �
 x  0
y�
0� �
.
�
�
�f  x  �
� 0
�f �


�f  x   0 (1)
x0
�
f  x   0 � �

. Nên f �
x2
�
�f  x   2 (2)

 x  0 � �

Ta có f �

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình (1) có 2 nghiệm x  0 (nghiệm kép) và
xa
( a  2 ).Phương trình (2) có 1 nghiệm x  b (b  a ).
 x   0 có 4 nghiệm bội lẻ là x  0, x  2, x  a, x  b ( x  0
Do đó phương trình g �

là nghiệm bội ba ).Tuy nhiên để xác định số điểm cực tiểu, học sinh cần lập
bảng biến thiên:

Dựa vào BBT suy ra hàm số y  f �
�f  x  �
�có hai điểm cực tiểu.Chọn đáp án B.
 x  chúng ta chỉ cần rút ra được g �
 x   0 có 4
Nhận xét : Để xét dấu của g �
nghiệm bội lẻ do đó sẽ đổi dấu qua các nghiệm đó nên học sinh chỉ cần xét
 x  trên một khoảng và suy ra được dấu g �
 x  trên các khoảng còn
dấu của g �
lại được phân cách bởi các nghiệm.Chẳng hạn,với x � �; 0 
�f �
 x  0
��
� f�
�
 0 từ đó ta có bảng biến thiên như trên.
�f  x  �
� 0 � y�

�f  x   0
( x) , tìm cực trị
Dạng 2.Cho đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f �

của hàm số y = f ( u ( x ) ) .
Ví dụ 5:Cho hàm số f  x  liên tục trên R và có
đồ thị hàm số y  f '  x  như hình vẽ.
5x

�
�
Số điểm cực tiểu của hàm số g  x   f � 2 �
�x  4 �
là
A. 5. B. 3. C. 4. D. 2.
 x  cũng
Phân tích:Việc tìm cực trị của hàm hợp khi cho đồ thị của y  f �
 x  ta
giống như khi cho đồ thị của hàm y  f  x  . Do đó để tìm nghiệm của g �
5x

�
�
phải tìm nghiệm của phương trình f �
�2
� 0.
�x  4 �
 x  cắt trục hoành tại các điểm có hồnh độ
Từ đồ thị ta thấy: đồ thị hàm số f �
 x  không đổi dấu. (Do đó

bằng 0; 1; 2 tuy nhiên khi qua nghiệm bằng 1 thì f �
khi dạy chủ đề cực trị của hàm số, giáo viên nên lưu ý cho học sinh: khơng
 x   0 là có bấy nhiêu cực trị!)
phải có bao nhiêu nghiệm của phương trình f �
Đây là một sai lầm của rất nhiều học sinh. Vậy có 2 giá trị của x là x  1, x  4

(hai giá trị này làm cho biểu thức

5x
nhận giá trị bằng 1) mặc dù vẫn là
x 4
2


 x  nhưng không phải là điểm cực trị của hàm số g  x  ;Ta gọi
nghiệm của g �
chúng là nghiệm bội chẵn.
5   x2  4
� 5x �
� 5 x �� g �
 x  2 2 . f �
�2
�.
Hướng dẫn: Ta có g  x   f � 2 �
�x  4 �
 x  4  �x  4 �
� 5x
x 0
�
�x 2  4  0

�
�
x  1  nghi�
mb�
i ch�
n
�
� 5x  1
��
x  4 (nghi�
mb�
i ch�
n) .
 x   0 � �x 2  4
+ g�
�
�
x 2
� 5x  2
�
�x 2  4
�
x  2
�
2
�
x  4  0
�

Bảng xét dấu:

5x

�
�
Vậy hàm số g  x   f � 2 �có 2 điểm cực tiểu. Chọn đáp án D.
�x  4 �
Ví dụ 6. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên R , bảng biến thiên của
hàm số f '  x  như sau:

Số điểm cực trị của hàm số y  f  x  2 x  là
A. 4.
B. 5.
C. 1.
D. 7.
Phân tích:
Điểm khác của ví dụ này so với ví dụ 5 là: ở ví dụ 5 dễ dàng tìm được nghiệm
 x  từ đó sẽ tìm được các nghiệm cụ thể của g �
 x  . Cịn ở ví dụ 6
cụ thể của f �
 x  thuộc các khoảng  �; 1 ;  1;1 ;  1; � do
ta chỉ tìm được nghiệm của f �
 x  ta phải kết hợp với kỹ năng tìm số nghiệm
dó để tìm được nghiệm của g �
của phương trình x 2  2 x  m, m thuộc các khoảng  �; 1 ;  1;1 ;  1; �
Hướng dẫn:
2

x  1
�

2
Ta có y '   2 x  2  f '  x  2 x   0 � �f ' x 2  2 x  0 1 .
�
 
� 


�
x 2  2 x  a  1
�
1
�
�
x 2  2 x  b � 1;1


Từ BBT ta thấy phương trình
�2
x  2x  c  1
�
�
Đồ thị hàm số y  x 2  2 x có dạng

 2
 3 .
 4

Từ đồ thị hàm số y  x 2  2 x ta thấy
phương trình (2) vơ nghiệm; phương

trình (3) ; phương trình (4) đều có 2
nghiệm phân biệt khác -1
Do đó y '  0 có 5 nghiệm đơn phân
2
biệt. Vậy hàm số y  f  x  2 x  có 5
điểm cực trị.
Nhận xét: Trong bài này ta đã sử
dụng phương pháp đồ thị để biện luận
số nghiệm của phương trình.
Ví dụ 7. (Mã đề 104 - 2019) Cho hàm số f  x  , bảng biến thiên của hàm số
f�
 x  như bảng dưới đây.Số điểm cực trị của hàm số y  f  4 x 2  4 x  là
A.5. B.9. C.7. D.3.

Phân tích:
Điều khác của bài toán này với một số bài toán trước là các giá trị x
xuất hiện trong bảng biến thiên không phải là nghiệm của phương trình f’(x)
=0. Một số học sinh do khơng đọc kỹ đề bài hoặc do thói quen nên mặc định
các giá trị x xuất hiện trong bảng biến thiên là nghiệm của phương trình
f’(x)=0. Do đó học sinh cần được trang bị tốt các phương pháp giải và biện
luận số nghiệm của phương trình chứa tham số, đặc biệt là kỹ năng sử dụng
bảng biến thiên, sử dụng đồ thị để đọc số nghiệm của phương trình ( hay số
giao điểm của 2 đồ thị).
Hướng dẫn:
Có  f  4 x 2  4 x   �  8 x  4  f �
 4x 2  4x  ,

1
�
x



�
�
2
f 4 x2  4 x  0 � �
.
�4 x 2  4 x  0
f
�
�

 








�
4 x 2  4 x  a1 � �; 1
� 2
4 x  4 x  a2 � 1;0 
�
2
Từ bảng biến thiên trên ta có f �4 x  4 x  0 � � 2
(1)
4 x  4 x  a3 � 0;1

�
� 2
4 x  4 x  a4 � 1; �
�





2
 x   8x  4 , g �
 x  0 � x  
Xét g  x   4 x  4 x , g �

1
ta có bảng biến thiên
2

dưới đây. Kết hợp bảng biến thiên của g  x  và hệ (1) ta thấy:
2
-Pt 4 x  4 x  a1 � �; 1
vô nghiệm.
2
-Pt: 4 x  4 x  a2 � 1;0 
tìm được hai nghiệm
1
2
2
-Pt 4 x  4 x  a3 � 0;1 tìm

phân biệt khác  .

được thêm hai nghiệm
1
2
2
-Pt: 4 x  4 x  a4 � 1; �

mới phân biệt khác  .
tìm được thêm hai
nghiệm phân biệt khác


1
.
2

2
Vậy hàm số y  f  4 x  4 x  có tất cả 7 điểm cực trị

Ví dụ 8:Cho hàm số y  f  x  xác định trên R
 x  có đồ thị như hình
Biết rằng hàm số y  f �
vẽ.Số điểm cực đại của
�x 4
�
g  x   f  x 2  2 x   �  2 x 3  x 2  2 x  2020 �là
�2
�

A. 5.

B. 3.

C. 2.

D. 4.

 x  và
Phân tích : Để giải được ví dụ 8 ta cần phải tìm được nghiệm của g �


 x  đòi hỏi học sinh phải khéo léo
xét dấu của nó. Tìm được các nghiệm của g �
( x 2  2 x)  x 2  2 x  1 . Quan sát hai vế của
khi tìm nghiệm của phương trình f �
phương trình ta lựa chọn phương pháp đặt ẩn phụ, đưa về phương trình dạng
f�
(t )  t  1 sau đó sử dụng sự tương giao của hai đồ thị y  f �
 t  và y  t  1 để
tìm tất cả các nghiệm và lập bảng xét dấu.
Hướng dẫn
2
�
�2
g�
 x    2x  2 f �
 x 2  2 x    2 x3  6 x2  2 x  2   2  x  1 . �
�f  x  2 x    x  2 x  1 �

x 1  0
x 1
�
�
g�
�� 2
 x  0 � �� 2
.
2
2
�
�f  x  2 x    x  2 x  1  0
�f  x  2 x   x  2 x  1  *
2
 t   t  1.
Giải (*):Đặt t  x  2 x Phương trình trở thành f �
 x  và đường thẳng
Từ đồ thị hàm số y  f �
y  x  1 ta có f �
 t   t  1 � t � 1;1; 2;3 .

� x 1
2
�
x 2  2 x  1 �  x  1  0
�
x  1� 2
�2
�2
�

x

2
x

1
x

2
x

1

0
��2
� �2
��
x  1� 3
�
�x  2 x  2
�
x  2x  2  0
�
�2
� x  1
x2  2x  3  0
�
�x  2 x  3
�
� x3

Bảng xét dấu

�x 4
�2

�

2
3
2
Vậy hàm số g  x   f  x  2 x   �  2 x  x  2 x  2020 �có 2 điểm CĐ. Chọn C.

�

 x  ta lấy một điểm x0 thuộc khoảng đang xét,
Nhận xét :Để xét dấu của g �
 x  và kết hợp với đồ thị.Điểm đáng chú ý ở đây là biểu thức
thay vào g �
f�
(t )  (t  1) không đổi dấu qua t  1 do đó g �
( x ) không đổi dấu qua x  1 � 2 .
2.3.2. Thành thạo các phép biến đổi đồ thị để giải quyết tốt các bài toán
cực trị của hàm hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 9

Ví dụ 9: Hàm số f(x) có bảng
biến
Hàm có thiên như hình bên. Đồ thị hàm số
g  x   f  x  2018   2019 có bao

nhiêu điểm cực trị?
A. 2 . B. 5 . C. 4 . D. 3 .
Phân tích
Để giải quyết tốt bài tốn này học sinh cần nắm vững các phép biến đổi đồ
thị:


Từ đồ thị hàm số f(x) suy ra cách vẽ đồ thị các hàm số:
y = f ( x ) + a; y = f ( x ) - a; y = f ( x - a ) ; y = f ( x + a ) ; y = f ( x ) ; y = f ( x )
Học sinh cần hiểu được khi tịnh tiến đồ thị sang trái hoặc sang phải,
hoặc lên trên, hoặc xuống dưới a đơn vị thì số điểm cực trị khơng thay đổi,
yếu tố thay đổi ở đây là hoành độ điểm cực trị (khi tịnh tiến sang trái hoặc
sang phải); là tung độ điểm cực trị (khi tịnh tiến lên trên hoặc xuống dưới).
Giáo viên cần cho HS thấy được khi tịnh tiến đồ thị như thế thì số điểm cực
trị của đồ thị mới khơng thay đổi.
Hướng dẫn
Ta có bảng biến thiên của các hàm số
f  x  2018  , f  x  2018   2019, f  x  2018   2019 như sau:

Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị hàm số y  f  x  2018   2019 có 5 điểm cực
trị.Chọn B
Ví dụ 1
Hình v

Ví dụ 10: Hình bên là đồ thị của hàm số

f�
 x

là Hàm số y  f  x   2018 có bao nhiêu điểm

cực trị? A. 5 . B. 3 . C. 2 . D. 4 .
Hướng dẫn
 x  ta thấy f  x  có hai cực trị dương nên
Cách 1: Từ đồ thị hàm số của f �
hàm số y  f  x  lấy đối xứng phần đồ thị hàm số bên phải trục tung qua trục
tung ta được năm cực trị, (trong đó có 1 cực trị là giao điểm của đồ thị hàm số
y  f  x   2018 với trục tung).
Cách 2: Ta có: y  f  x   2018  f

   x  �

Đạo hàm: y� f � x 2

2

x
x2

 x   2018 .
2

.f�
 x .

 x  suy ra f �
 x  cùng dấu với  x  x1   x  x2   x  x3 
Từ đồ thị hàm số của f �
với x1  0 , 0  x2  x3 .

 x  cùng dấu với  x  x1   x  x2   x  x3  .
Suy ra: f �
x  x1  0

Do

 x x  x x .
2

3

nên
x
x2

   x  �

y�
 f � x2

2

x
x2

f�
 x

cùng

dấu

với

.Vậy hàm số y  f  x   2018 có 5 cực trị.

Nhận xét: Rõ ràng cách giải 1 nhiều lợi thế hơn hẳn cách 2
Ví dụ 11:Cho hàm số y  f ( x)  x3  (2m  1) x 2  (2  m) x  2 . Tìm tất cả các giá
trị của tham số m để hàm số y  f ( x ) có 5 điểm cực trị.
A.

5
5
 m �2 .B. 2  m  .
4
4

5
4

C.   m  2 .

D.

5
 m  2.
4

Hướng dẫn:
2

Ta có: y '  3x  2  2m  1 x  2  m
Hàm số y  f ( x ) có 5 điểm cực trị khi chi khi hàm số f  x  có hai cực trị
dương. Hay phương trình y '  0 sau có 2 nghiệm dương phân biệt.
�
2
 2m  1  3  2  m   0 �4m2  m  5  0
�
0
�
�
�
5
�
�2  2m  1
� 1
� �S  0 � �
0
��
m
� m2
4
�P  0
� 2
� 3
�
m

2
�
�2  m

�
0
�
�3

2.3.3. Nắm vững các phương pháp tìm giá trị của tham số để phương
trình f  x   m có nghiệm, làm cơng cụ hỗ trợ giải quyết các bài tốn
cực trị chứa tham số.
Ví dụ 12:Tìm số các giá trị ngun của tham số m để đồ thị hàm số
y = x 4 - 2mx 2 + 2m 2 + m - 12 có bảy điểm cực trị
A. 1 .
B. 4 .
C. 0 .
D. 2 .
4
2
2
Phân tích: Đồ thị hàm số y = x - 2mx + 2m + m - 12 có bảy điểm cực trị khi
và chỉ khi đồ thị hàm số y = x 4 - 2mx 2 + 2m 2 + m - 12 cắt trục hoành tại bốn
điểm phân biệt
x 4 - 2mx 2 + 2m 2 + m - 12 = 0 có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
�
�
2
2
�
�
m
2
m

+
m
12
>
0
(
)
�
- 4 �
�
�
�
- 1 + 97
�
�
2m > 0
��
m >0
�
�
�
�
4
�
�
2
�
�

2m + m - 12 > 0
- 1- 97
- 1 + 97
�
�
�
m<
�m >
�
�
4
4
�
Vậy khơng có giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số
y = x 4 - 2mx 2 + 2m 2 + m - 12 có bảy điểm cực trị.
2
 x    x  1  x 2  2 x  , với x �R .
Ví dụ 13:Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f �
3
2
Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số g  x   f  x  3x  m  có 8 điểm


cực trị là A. 2 . B. 3 . C. 1 .
D. 4 .
( x) trong
Phân tích: Điều cần lưu ý ở ví dụ này là tìm được 3 nghiệm của f �
đó x  1 là nghiệm bội chẵn nên không là điểm cực trị của f ( x) . Từ đó cũng
 x3  3x2  m   0 ta đưa về giải 3 phương trình
tìm được điều kiện để f �

x 3  3x 2  m  0 (1), x3  3 x 2  m  1 (2), x3  3 x 2  m  2 (3) .Nhận thấy rằng phương
trình (1) và phương trình (3) có nghiệm khơng trùng nhau cịn nghiệm của
 x  nên khơng là điểm
phương trình (2) nếu có sẽ là nghiệm bội chẵn của g �
cực trị của g  x  .
 x    3x 2  6 x  . f �
 x3  3x 2  m  .
Hướng dẫn: g �
�
x0
�
3x 2  6 x  0
�
x2
�3
�
2
x

3
x

m

1
g�
��
x 3  3x 2  m  1 (1)
 x  0 � �
3

2
�
�
x  3x  m  0
�
x 3  3 x 2  m  0 (2)
�
3
2
�
x  3x  m  2
�3
�
x  3 x 2  m  2 (3)
�
Vì khi đi qua các nghiệm của phương trình x3  3x 2  m  1 (nếu có) dấu của
f�
 x3  3x 2  m  không đổi nên dấu của g � x  chỉ phụ thuộc các nghiệm của hai

phương trình cịn lại. Nhận thấy phương trình(2) và phương trình (3) có
nghiệm khơng trùng nhau.
Vậy hàm số y  g  x  có 8 điểm cực trị khi và chỉ khi mỗi phương trình(2)và
phương trình (3) phải có ba nghiệm phân biệt khác 0 và khác 2 .
x0
�
.
x2
�

3

2
 x  0 � �
 x   3x 2  6 x ; h�
Xét hàm số h  x    x  3x , ta có h�

Bảng biến thiên của hàm số y  h  x 
Từ bảng biến thiên, ta thấy điều
kiện để mỗi phương trình
 x3  3x 2  m và  x 3  3 x 2  m  2
phải có ba nghiệm phân biệt
khác 0 và khác 2 là
0 m2 m 4� 2 m 4.
Vậy chỉ có một giá trị nguyên
của m thỏa mãn là m  3 . Chọn
đáp án C.
Nhận xét :Để làm xong bài tốn này địi hỏi học sinh phải biết cách cơ lập m
và sử dụng bảng biến thiên để tìm số nghiệm của mỗi phương trình .


Ví dụ 14: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm
y f�
 x  liên tục trên R và có đồ thị như hình.
Có bao nhiêu số nguyên m � 2019; 2019 để
hàm số y  f
trị?
A. 2024 .



x2  2x  m

B. 2023 .



có năm điểm cực

C. 5 .

D. 4 .

 x  nhưng ở ví dụ này
Phân tích: Ở ví dụ 13, bài tốn cho biểu thức của f �
( x) có 3 nghiệm
 x  . Quan sát đồ thị ta thấy f �
giả thiết lại cho đồ thị của f �
( x) có dang f �
 x   a  x  2   x  2   x  5 (a  0) . Từ đó
phân biệt nên hàm f �
đưa về bài tốn có dạng như ví dụ 13.
Hướng dẫn:
 x  có dang f �
 x   a  x  2   x  2   x  5 (a  0) .
Từ đồ thị ta suy ra hàm f �
Điều kiện xác định: x 2  2 x  m �0 . Ta có: y  f
� y�
 �f
�





�
x 2  2 x  m �
�

x 1
x  2x  m
2

a





x2  2x  m

x2  2x  m  2





x2  2x  m  2



x2  2 x  m  5

�
Pt (1) � x 2  2 x  m  4 � ( x  1)2  5  m (3).
x 1  0
�
Pt (2) � x 2  2 x  m  25 � ( x  1) 2  26  m (4).
y�
 0 � � x 2  2 x  m  2  1
�
2
�
� x  2x  m  5  2
Bài tốn trở thành tìm m để các phương trình  3 ;  4  đều có 2 nghiệm phân
biệt khác nhau và khác 1 đồng thời x  1 thuộc tập xác định hàm số.
5m  0
�
�26  m  0
�
�
ycbt �
��
1 m 5.
�m 5 0
�m  26 �0
�
�
�1  m �0
Kết hợp điều kiện m � 2019; 2019 , m �Z . Suy ra m � 1; 2; 3; 4 .Chọn D.

Ví dụ 15: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên

tục trên R . Đồ thị của hàm số y  f  5  2 x  như
hình vẽ sau. Có bao nhiêu giá trị thực của tham
số m thuộc khoảng  9;9  thỏa mãn 2m �R và
3
hàm số y  2 f  4 x  1  m 

trị ?
A. 26.

B. 25.

1
có 5 điểm cực
2

C. 27.

D. 24.




Hướng dẫn:Đặt t  5  2 x � x 

0 x2
�
5t
 5  2 x   2 f �
 t  0 � �
. y� 2 f �

x4
2
�

� 5t
0
2
�
1 t  5
�
2
3  t  1
�
�
�
y  0 � f  t  0 � �
��
�
f
(
t
)

0
�
.
5

t
t



3
;
Tương
tự
�
�
� 4
t 5
�
�2

Bảng biến thiên của
hàm số f  t  :

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y  f  t  có 3 điểm cực trị.
x0
�
3
2
3
�
�
�
g
x

f
4

x

1
�
g
x

12
x
f
4
x

1
g
(
x
)

0
�
 
�



;
Đặt :  
3
�f �4x  1  0 (*)

x0
�
x0
�
� 3
4 x  1  3 �
�
�
��
x  1 ( x  0, x  1, x  1 đều là nghiệm bội lẻ )
�
4 x3  1  1
�
�
x 1
�
�
4 x3  1  5
�





� hàm số y  f  4 x 3  1 có 3 điểm cực trị.

3
Hàm số y  2 f  4 x  1  m 

1

có 5 điểm cực trị � Hàm số
2

y
m 1
m 1
 f  4 x 3  1   có 5 điểm cực trị � Phươngtrình f  4 x 3  1    0  1
2
2 4
2 4

có 2 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ.
Đặt t  4 x 3  1 � t � 12 x 2 . Suy ra t là hàm số đồng biến trên R . Ứng với mỗi
giá trị của t ta có một giá trị của x . Số nghiệm của phương trình (1) bằng số
nghiệm của phương trình f  t  

m 1
  0.
2 4

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình f  t  

m 1
  0 có 2 nghiệm đơn
2 4

1 m 9
�
m �4
 �

�
�
2m �8
�
4 2 4
�
� 1
��
hoặc nghiệm bội lẻ � � 1 m
.
17
� �m 
1 �2m  17
�
�
4   �0
�
2
2
�
4 2
Kết hợp yêu cầu m thuộc khoảng  9;9  và 2m �R ta có 26 giá trị thực của m

thỏa mãn đề bài. Chọn đáp án A
Nhận xét :Điểm mới ở ví dụ 15 là từ đồ thị của hàm số y  f  5  2 x  lập được
bảng biến thiên của hàm số y  f  t  với t  5  2 x . Sau khi lập luận được hàm


số y  f  4 x  1 có 3 điểm cực trị chúng ta sử dụng tính chất 1 ở mục 2.1 đưa
bài tốn về tìm số nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của phương trình

3

m 1
  0. Học sinh không tinh ý sẽ kết luận sai điều kiện của m để
2 4
m 1
phương trình f  t     0 có 2 nghiệm đơn hoặc 2 nghiệm bội lẻ đó là
2 4
1 m
9
khơng đặt dấu bằng cho  tại 0 và .
4 2
4
f  t 

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Trong q trình giảng dạy tốn, cá nhân tơi ln có ý thức trang bị đầy
đủ cho học sinh những kiến thức cơ bản và nền tảng nhất. Trên cơ sở trang bị
cho học sinh những kiến thức nền về chủ đề hàm số, mối quan hệ giữa hàm số
với đồ thị, bảng biến thiên và đạo hàm của nó, xây dựng một hệ thống bài tập
phù hợp, giúp học sinh định hướng và lựa chọn cách thức giải một số dạng
toán trực tiếp liên quan đến cực trị của hàm hợp một cách nhanh chóng. Sáng
kiến kinh nghiệm đã phân tích từng ví dụ cụ thể qua đó giúp học sinh định
hướng và sớm tìm hướng giải quyết bài tốn liên quan một cách nhanh chóng
và thuận tiện, là một trong những cơng cụ hữu ích trong q trình học, ơn thi
học sinh giỏi, ơn thi THPTQG của học sinh cũng như làm tài liệu tham khảo
cho các đồng nghiệp giáo viên trong quá trình giảng dạy của mình.

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

3.1. Kết luận.
Trong khn khổ một sáng kiến kinh nghiệm, tơi xin mạn phép trình bày
một vài giải pháp nhỏ khi dạy chủ đề cực trị của hàm hợp cho học sinh. Việc
phân chia các dạng tốn chỉ mang tính tương đối, tuy nhiên sáng kiến kinh
nghiệm cũng có thể được xem như một dạng bài tập hữu ích cho q thầy cơ
đồng nghiệp và học trị trong q trình ơn luyện của mình.
3.2. Kiến nghị.
Với những sáng kiến kinh nghiệm được đánh giá và xếp loại cao ở hội đồng
khoa học nghành, mong rằng sẽ được phổ biến rộng rãi để các đồng nghiệp có
thể tham khảo phục vụ tốt cho công tác giảng dạy. Với mong muốn này, tôi
cũng muốn các nghiên cứu về đề tài cực trị của hàm hợp được bổ sung để
tơi có thể tiếp tục học tập, nghiên cứu và hồn thiện hơn nữa sáng kiến của
mình.


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 5 năm 2021
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Lê Thị Tuyết Nhung.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Giải tích tốn học những ngun lý cơ bản và tính tốn thực hành (tập
một),Đinh Thế Lục- Phạm Huy Điển- Tạ Duy Phượng- Nguyễn Xuân Tấn,
Nxb Giáo dục, 1998.
[2]. Giải tích 12, Tổng chủ biên: Đồn Quỳnh, Nxb Giáo dục Việt Nam, 2014.

[3]. Đại số 10( nâng cao), Nxb Giáo dục Việt Nam
[4] . Một số đề thi thử THPTQG các năm 2019; 2020


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
CẤP NGÀNH SỞ GD&ĐT XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Lê Thị Tuyết Nhung
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Sầm Sơn


TT
1

2

3
4

5

6

7

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá Kết quả Năm
học

xếp loại
đánh giá xếp
loại
Dạy học thông qua việc Hội
đồng Loại C 2005-2006
xây dựng chuỗi bài tốn khoa
học
góp phần nâng cao hoạt nghành
động nhận thức cho học
sinh.
Góp phần nâng cao chất Hội
đồng Loại C 2007-2008
lượng dạy học tốn thơng khoa
học
qua việc phát hiện và sửa nghành
chữa sai lầm cho học sinh.
Góp phần phát triển tư duy Hội
đồng Loại C 2009-2010
logic cho học sinh.
khoa
học
nghành
Phát triển tư duy sáng tạo Hội
đồng Loại B 2011-2012
cho học sinh bằng phương khoa
học
pháp lượng giác hóa bài nghành
tốn đại số.
Rèn luyện năng lực giải Hội
đồng Loại B 2014-1015

toán cho học sinh lớp 10 khoa
học
trung học phổ thông
nghành
Khai thác các tính chất của
tứ diện vng giúp học
sinh giải một lớp bài tốn.
Rèn luyện năng lực giải
tốn tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất cho của
hàm ẩn cho học sinh
THPT.

Hội
đồng Loại B
khoa
học
nghành
Hội
đồng Loại C
khoa
học
nghành

PHỤ LỤC

2017-2018
2019-2020

Phụ lục 1: Đề bài kiểm tra chất lượng học sinh trước khi triển khai đề tài
Bài 1. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm đến cấp hai trên R và có bảng xét
dấu của hàm số y  f '  x  như hình sau:

x3
Hỏi hàm số g  x   f  1  x    2 x 2  3 x đạt cực tiểu tại điểm nào ?
3
A. x  3 . B. x  0 .
C. x  3 .
D. x  1 .
Bài 2:Cho hàm số y  f  x  , bảng biến thiên của hàm số f '  x  như sau:

Số điểm cực trị của hàm số y  f  x  2 x  là
A. 9.
B. 3.
f
(
x
)
Bài 3: Cho hàm số
có đạo hàm trên R
�
f
(
x
)
và hàm
có đồ thị như hình bên. Số
điểm
cực

đại
của
hàm
số
2

g ( x) 

A.1.
4.

1
f  2 x  1  x 2  x  2019 là
2

B. 2.

C. 3.

D.

Bài 4:Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ
thị như hình vẽ dưới đây.
Số điểm cực trị của hàm số
g  x   f  x 3  3 x 2  là
A. 5 .
B. 3 .
C. 7 .
D.11 .

Bài 5: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm
trên x �R . Hàm số
y f�
 x   x3  ax 2  bx  c có đồ thị như
hình vẽ bên.
 x �
Số điểm cực trị của hàm số y  f �
�f �
�
là A. 8 .
B. 11 C. 7 .
D. 9 .

C. 7.

D. 5.