SKKN rèn luyện kĩ năng giải các bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm ẩn trong kì thi tốt nghiệp THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GIÁ
TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM ẨN
TRONG KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA

Người thực hiện: Nguyễn Xuân Dũng
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

THANH HĨA NĂM 2021
1


MỤC LỤC
1. Mở đầu…..............................................................................................
1.1. Lí do chọn đề tài………………………………………………………
1.2. Mục đích nghiên cứu…………………………………………………
1.3. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi đề tài………………………………….
1.4. Phương pháp nghiên cứu……………………………………………….
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm......................................................
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm …………………………..
2.1.1. Đạo hàm của hàm số hợp……………………………………………
2.1.2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm…………………………………...
2.1.3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị …………………………………
2.1.4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số…………………………
2.2. Thực trạng của vấn đề……………………………………………….....

2.2.1. Thực trạng vấn đề…………………………………………………….
2.2.2. Kết quả của thực trạng………………………………………………
2.3. Giải quyết vấn đề ……………………………………………………..
y = f ′( x )
2.3.1. Khai thác đồ thị, bảng biến thiên hàm số
.........................
y = f ( x)
2.3.2. Khai thác đồ thị, bảng biến thiên hàm số
.........................
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm…………………………………..
2.4.1. Về phía học sinh…………………………………….………..……
2.4.2. Về phía giáo viên……………………………………………………
3. Kết luận, kiến nghị……………………….............................................
3.1 Kết luận………………………………………………………................
3.2. Kiến nghị……………….……………………………………………....
Tài liệu tham khảo…..................................................................................

2

Trang
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3

4
5
5
6
7
7
16
19
19
19
20
20
20


1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong những năm qua thực hiện nghị quyết 29-NQ/TW về đổi mới căn
bản toàn diện giáo dục, cùng với những đổi mới trong giáo dục là đổi mới trong
thi cử, trong bối cảnh dịch bệnh covid 19 hồnh hành năm học 2020-2021.
Trong kì thi tốt nghiệp Trung học phổ thông Quốc gia năm 2020, mơn Tốn đã
làm quen khi chuyển từ hình thức thi tự luận sang thi trắc nghiệm khách quan.
Trước kia khi thi tự luận, phần khảo sát và vẽ đồ thị ln ln chiếm vị trí quan
trọng trong đề thi, giờ đây do hình thức thi trắc nghiệm nên học sinh không phải
vẽ đồ thị nữa. Tuy nhiên để khai thác phần đồ thị này người ra đề đã chuyển
hướng sang kiểm tra các em khả năng đọc đồ thị. Trong đề thi chính thức năm
2020 và đề minh họa của Bộ giáo dục năm 2021 xuất hiện các bài tốn có giả
y = f ′( x ) y = f ( x )
thiết là cho đồ thị của hàm số
,

và yêu cầu học sinh chỉ ra
các tính chất của hàm ẩn 𝑦 = g(x) như tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất, số nghiệm của phương trình...
Phần kiến thức này tuy là khơng q khó nhưng cách hỏi mới mẻ cộng
với kiến thức nền tảng chưa vững khiến cho các học sinh THPT mà cụ thể là
học sinh lớp 12 lúng túng khi gặp dạng tốn này. Đa số các em chưa định hình
được hướng giải, chưa biết cách khai thác đồ thị và kết nối các kiến thức với
nhau để tìm ra lời giải.
Từ q trình nghiên cứu lí thuyết và đúc rút từ thực tế giảng dạy của bản
thân, tôi muốn chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm: Rèn luyện kĩ năng giải
các bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm ẩn trong kì thi tốt
nghiệp THPT quốc gia.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Thực hiện đề tài này, người viết hướng tới mục đích:
- Hệ thống một cách khoa học các dạng toán liên quan tới khai thác đồ thị,
y = f ′( x ) y = f ( x )
bảng biến thiên hàm số
,
và phương pháp giải.
- Chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm để ôn tập phần giải các bài toán khai
y = f ′( x ) y = f ( x)
thác đồ thị, bảng biến thiên hàm số
,
có hiệu quả cho học
sinh THPT nói chung và đặc biệt là học sinh lớp 12 nói riêng.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
3


- Đề tài tập trung nghiên cứu phần toán liên quan tới khai thác đồ thị, bảng biến

y = f ′( x ) y = f ( x )
thiên hàm số
,
trong đề thi trắc nghiệm trong các năm học
2019-2020 và đề minh họa năm 2021.
- Các kết quả khảo sát được tiến hành tại các trường THPT trên địa bàn huyện
Triệu Sơn mà chủ yếu là tại trường THPT Triệu Sơn 2.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Khi thực hiện đề tài này tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: tìm kiếm, nghiên cứu các tài liệu.
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: khảo sát, thống kê, phân tích, so sánh số
liệu.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Đạo hàm của hàm số hợp
u = g ( x)
y = f ( u)
u′x
x
Định lí: Nếu hàm số
có đạo hàm tại là
và hàm số
có
y = f ( g ( x) )
yu′
y′x = yu′ .u′x
u
x
đạo hàm tại là
thì hàm hợp

có đạo hàm tại là
.
[3]
2.1.2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
y = f ( x)
I
Định lí: Giả sử hàm số
có đạo hàm trên khoảng .
f ′( x ) > 0
y = f ( x)
x∈I
I
a) Nếu
với mọi
thì hàm số
đồng biến trên khoảng .
f ′( x ) < 0
y = f ( x)
x∈I
I
b) Nếu
với mọi
thì hàm số
nghịch biến trên khoảng .
f ′( x ) = 0
y = f ( x)
x∈I
I
c) Nếu
với mọi

thì hàm số
khơng đổi trên khoảng .
[1]
2.1.3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
y = f ( x)
( a; b )
x0
Định lí: Giả sử hàm số
liên tục trên khoảng
chứa điểm
và
( a; x0 ) ( x0 ; b )
có đạo hàm trên các khoảng
và
. Khi đó
f ′( x ) < 0
x ∈ ( a; x0 )
f ′( x ) > 0
x ∈ ( x0 ; b )
a) Nếu
với mọi
và
với mọi
thì hàm số
y = f ( x)
x0
đạt cực tiểu tại điểm .
4

f ′( x ) > 0

b) Nếu
y = f ( x)

với mọi

x ∈ ( a; x0 )

và

f ′( x ) < 0

với mọi

x ∈ ( x0 ; b )

thì hàm số

x0

đạt cực đại tại điểm . [1]
Định lí được viết gọn trong hai bảng biến thiên sau

2.1.4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = f ( x)
Cho hàm số
, để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên
( a; b )
khoảng

ta có thể dựa vào bảng biến thiên của hàm số
● Trường hợp 1

5


x

a

x0

f ' (x)

||

-

b
+

f (x)
f (x0)

min f ( x ) = f ( x0 )
[ a ;b]

Kết luận:
● Trường hợp 2

.

x

a

f ' (x)

x0
+

f (x0)

f (x)

max f ( x ) = f ( x0 )
[ a ;b ]

Kết luận:
● Trường hợp 3

b

.

6


min f ( x ) = f ( a ) max f ( x ) = f ( b )
[ a ;b ]

Kết luận:
● Trường hợp 4

,

[ a ;b ]

.

min f ( x ) = f ( b ) max f ( x ) = f ( a )
Kết luận:

[ a ;b ]

,

[ a ;b ]

.

2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1. Thực trạng của vấn đề
Trong chương trình tốn THPT nói chung, phần giải tích nói riêng thì
đạo hàm là một phần chiếm tỉ lệ lớn về kiến thức, thời lượng và ứng dụng. Nó là
một cơng cụ rất mạnh để giải quyết các bài tốn cả trong giải tích, đại số, thậm
y = f ( x)
chí là hình học (như các bài tốn về cực trị hình học). Giữa hàm số
và
y = f ′( x )

đạo hàm của nó
có nhiều mối liên hệ chặt chẽ, ví dụ như từ việc xét
y = f ′( x )
hàm
có thể kết luận về tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị
y = f ( x)
nhỏ nhất của hàm
.
Lâu nay học sinh quen với cách làm bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
y = f ( x)
y = f ′( x )
hàm số, học sinh làm việc với công thức của hàm
và
xong
y = f ( x)
rồi mới vẽ đồ thị của hàm số
. Với hình thức thi trắc nghiệm, việc thay
y = f ′( x )
đổi cách đặt câu hỏi và yêu cầu học sinh biết khai thác đồ thị hàm
,
y = f ( x)
cùng với thời gian làm bài rút ngắn, bình quân 1,8 phút một câu đã
địi hỏi học sinh nắm vững lí thuyết và thành thạo kĩ năng khai thác đồ thị.
Qua khảo sát thực tế tôi thấy thực trạng dạy học phần rèn luyện kĩ năng
giải các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm ẩn mà khai thác đồ
y = f ′( x ) y = f ( x )
thị hàm số
,
có những đặc điểm sau:
7

2.1.1.1. Về phía học sinh

y = f ′( x )

- Các em vẫn còn quen với việc làm các bài tập theo kiểu xét hàm
rồi
suy ra tính đơn điệu, cực trị,... của hàm số chứ chưa quen việc quan sát đồ thị
y = f ′( x ) y = f ( x )
hàm
,
để rút ra các kết luận tương tự.
- Thời gian giải quyết một bài tập dạng này còn lâu.
- Các học sinh học lực trung bình và yếu gần như không thể giải được các bài
tập dạng này. Trong khi đó, trong kì thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia và đề minh
họa năm 2021 có câu hỏi dạng này trong mỗi đề. Do vậy để đạt điểm cao trong
kì thi tốt nghiệp THPT Quốc gia, nhất định học sinh cần rèn luyện tốt phần này.
2.1.1.2. Về phía giáo viên
Bộ sách giáo khoa hiện hành các bài tập trên 90% là tự luận, các bài tập
cũng được thiết kế theo kiểu thi truyền thống. Các bài tập kiểu khai thác đồ thị
y = f ′( x ) y = f ( x )
hàm số
,
như trong đề thi chính thức tốt nghiệp THPT quốc
gia 2020 và đề minh họa 2021 khơng có trong SGK. Vì thế, giáo viên dạy Tốn
ở các trường THPT chúng tôi đang dạy phần này theo cách sau:
- Tham khảo các tài liệu, các đáp án thi thử của các trường và trao đổi kinh
nghiệm của đồng nghiệp để hình thành một chuyên đề về dạng toán khai thác đồ
y = f ′( x ) y = f ( x )

thị hàm số
,
.
- Bám sát vào đề thi chính thức tốt nghiệp THPT quốc gia 2020 và đề minh họa
2021 của Bộ giáo dục và đào tạo để có hướng ơn tập phù hợp.
- Tranh thủ thời gian trên lớp, trong các giờ chính khóa và giờ học thêm để
y = f ′( x ) y = f ( x )
hướng dẫn kĩ năng khai thác đồ thị hàm số
,
đồng thời xây
dựng hệ thống bài tập để học sinh thực hành.
Tuy nhiên, do đây là chuyên đề mới, bài tập dạng này chưa nhiều và rải
rác trong các đề thi trên tồn quốc nên khơng phải giáo viên nào cũng có một hệ
thống bài tập đầy đủ. Cộng với thời lượng dành cho phần này chưa nhiều nên
các giáo viên gặp khơng ít khó khăn trong quá trình giảng dạy.
2.1.2. Kết quả của thực trạng
Từ thực tế ấy, tôi đã tiến hành khảo sát học sinh ngay ở các lớp tôi dạy là
12B3, 12A5 sau khi dạy xong chương 1 - Giải tích 12 "Ứng dụng của đạo hàm
để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số " với thời gian làm bài là 15 phút để kiểm
y = f ′( x )
tra các em kĩ năng giải các bài toán khai thác đồ thị hàm số
,
y = f ( x)
(đề ra dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm nhưng có u cầu các em trình
bày lời giải).
Kết quả như sau:
8


Đa số các em tuy nắm lí thuyết nhưng rất lúng túng trong việc áp dụng vào bài

y = f ′( x )
làm, việc trình bày cịn rối, cịn nhầm lẫn giữa đồ thị của hàm số
với
y = f ( x)
đồ thị hàm số
dẫn tới việc khơng tìm ra được kết quả hoặc kết quả sai.
Bảng thống kê điểm kiểm tra:
Điểm
Lớp
8-10
6,5-dưới 8
5,0-dưới 6,5
Dưới 5,0
12B3 (35HS)
3
15
10
7
12A5 (33HS)
0
8
12
13
2.3. Giải quyết vấn đề
y = f ′( x )
2.3.1. Khai thác đồ thị hoặc bảng biến thiên hàm số
, xác định giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm ẩn.
Ví dụ 1.(Minh họa 2021) Cho hàm số

f ( x)

, đồ thị của hàm số

đường cong trong hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số
đoạn

A.

 3 
 − 2 ; 2 

f ( 0) .

y = f '( x)

g ( x) = f ( 2x) − 4x

là

trên

bằng

B.

f ( −3) + 6.

f ( 2 ) − 4.

f ( 4 ) − 8.

C.
D.
f '( x )
Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị hàm số
để suy ra bảng biến thiên của
y = f ( x)
y = f ( x)
hàm số
, sau đó dựa vào bảng biến thiên của hàm số
và tính
đơn điệu của hàm số để kết luận.

9


Lời giải
Đặt

2x = t

thì

t Ỵ [- 3;4]

và ta đưa về xét

nên dựa vào đồ thị đã cho thì
f ¢(t ) - 2

t =2

h¢( t ) = 0

lại khơng đổi dấu khi qua

h (t ) = f (t ) - 2t.

có hai nghiệm

t = 0,

cịn

h¢(t )

Ta có

h¢(t ) = f ¢(t ) - 2

t = 0, t = 2,

đổi dấu từ

+

trong đó
sang

-

khi qua

.
h (t )

Lập bảng biến thiên cho
Chọn C

Ví dụ 2. Cho hàm số
y = f ′( x)

trên

y = f ( x)

[- 3;4],

xác định và liên tục trên

A.

¡

, đồ thị của hàm số

như hình vẽ.

Giá trị lớn nhất của hàm số
f ( 1)

ta có

max h(t ) = h(2) = f (2) - 4.

.

B.

y = f ( x)

f ( −1)

trên đoạn

.

C.
Lời giải

 x = −1
f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 1
 x = 2

.

y = f ¢( x )

Từ đồ thị hàm

ta có bảng biến thiên

10

[ −1; 2]

f ( 2)

.

là
D.

f ( 0)

.


[- 1; 2]
Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của hàm số trên
Chọn A
Ví dụ 3. Cho hàm số
y = f ′( x)

y = f ( x)

có đạo hàm là hàm

A.

f ( 2)

;

f ( 5)

. B.

f ( 0)

Dựa vào đồ thị hàm số

Khi đó:
mà

là
f ′( x)

được cho như hình vẽ. Biết rằng

Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
là:

;

f ( 5)

f ′( x)

 min f ( x ) = f ( 2 )

 [ 0;5]

 f ( 3) > f ( 2 )

. C.

y = f ( x)

f ( 2)

;

f ( 1)

.

. Đồ thị của hàm số

f ( 0 ) + f ( 3) = f ( 2 ) + f ( 5 )

trên đoạn

f ( 0)

.

D.

[ 0;5]

f ( 1)

;

lần lượt

f ( 5)

.

Lời giải
ta có bảng biến thiên.

,

f ( 0 ) + f ( 3) = f ( 2 ) + f ( 5 ) ⇒ f ( 0 ) + f ( 2 ) < f ( 2 ) + f ( 5 ) ⇒ f ( 0 ) < f ( 5 )

11

.

.


Vậy giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
lượt là:
Chọn A

f ( 2)

Ví dụ 4. Cho hàm số

f ( 5)

;

f ( x)

trên đoạn

[ 0;5]

lần

.

có đạo hàm là

f ′( x)

được cho như hình vẽ bên. Biết rằng
Tìm giá trị nhỏ nhất

A.

y = f ( x)

m

. Đồ thị của hàm số

f ( 0 ) + f ( 1) − 2 f ( 3 ) = f ( 5 ) − f ( 4 )

và giá trị lớn nhất

m = f ( 5 ) , M = f ( 3)

y = f ′( x)

M

của

f ( x)

trên đoạn

.

C.

D.

m = f ( 1) , M = f ( 3)

Lời giải
f ( x)

Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của

⇒ M = f ( 3)

và

trên đoạn

[ 0;5]

f ( 1) < f ( 3) , f ( 4 ) < f ( 3)

f ( 5 ) − f ( 0 ) = f ( 1) − f ( 3) + f ( 4 ) − f ( 3) < 0 ⇒ f ( 5 ) < f ( 0 ) ⇒ m = f ( 5 )

Chọn A
12

.

B.

m = f ( 5 ) , M = f ( 1)
m = f ( 0 ) , M = f ( 3)

[ 0;5]

.

.


Ví dụ 5. Cho hàm số

y = f ( x)

liên tục trên

¡.

g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1) .

Đồ thị của hàm số

y = f ′( x)

2

hình bên. Đặt

Mệnh đề dưới đây đúng.

max g ( x ) = g ( 3) .

A.

min g ( x ) = g ( 1) .

[ −3;3]

B.

max g ( x ) = g ( 0 ) .

C.

[ −3;3]

max g ( x ) = g ( 1) .

[ −3;3]

D.
Lời giải

[ −3;3]

g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1) ⇒ g ′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) − 2 ( x + 1)
2

Dựa vào đồ thị ta thấy
 x = −3
g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = x + 1 ⇔  x = 1
 x = 3

Và
với
với
với

x ∈ ( −∞; −3) : f ′ ( x ) < x + 1 ⇒ g ′ ( x ) < 0
x ∈ ( −3;1) : f ′ ( x ) > x + 1 ⇒ g ′ ( x ) > 0

,

x ∈ ( 1;3) : f ′ ( x ) < x + 1 ⇒ g ′ ( x ) < 0
x ∈ ( 3; +∞ ) : f ′ ( x ) > x + 1 ⇒ g ′ ( x ) > 0

với
Bảng biến thiên

max g ( x ) = g ( 1) .

Dựa vào bảng biến thiên suy ra

[ −3;3]

13

như


Chọn D
f ( x)

Ví dụ 6. Cho hàm số
có đạo hàm là
được cho như hình vẽ dưới đây:

f ( −1) + f ( 0 ) < f ( 1) + f ( 2 )

Biết rằng

của hàm số
A.

f ( 1)

;

y = f ( x)

f ( 2)

. B.

trên đoạn
f ( 2)

Từ đồ thị của hàm số
y = f ( x)

trên đoạn

;

f ( 0)

y = f ′( x)

[ −1; 2]

f ′( x)

. Đồ thị của hàm số

. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất

[ −1; 2]

lần lượt là:
f ( 0)

. C.
Lời giải

f ( 2)

;

như sau

min f ( x ) = f ( 1)

.
max f ( x )

Để tìm

[ −1;2]

ta so sánh

. D.

f ( 1)

;

f ( −1)

ta có bảng biến thiên của hàm số

Nhận thấy
[ −1;2]

y = f ′( x)

f ( −1)

14

và

f ( 2)

.

.


Theo giả thiết,

f ( −1) + f ( 0 ) < f ( 1) + f ( 2 ) ⇔ f ( 2 ) − f ( −1) > f ( 0 ) − f ( 1)

Từ bảng biến thiên, ta có

f ( 0 ) − f ( 1) > 0

f ( 2 ) − f ( −1) > 0 ⇔ f ( 2 ) > f ( −1)

max f ( x ) = f ( 2 )
[ −1;2]

Hay
Chọn A

y = f '( x)

y = f ( x)

.

liên tục trên đoạn

 7
0; 2 

có đồ thị hàm số

như hình vẽ.

y = f ( x)

Hàm số
dưới đây?
A.

. Do đó

.

Ví dụ 7. Cho hàm số

x0 = 0

.

đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn
x0 =

.

B.

7
2

.

C.

 7

0; 2 

x0 = 1

.

tại điểm

x0

D.

nào
x0 = 3

Lời giải

Dựa vào đồ thị hàm số
như sau:

y = f '( x)

15

ta có bảng biến thiên trên đoạn

 7
0; 2 

.

Do đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại

x0 = 3

.

Chọn D

Ví dụ 8. Cho hàm số

Đặt

y = f ( x)

. Đồ thị hàm

h ( x ) = 3 f ( x ) − x 3 + 3x

max h( x ) = 3 f ( 1)

A.

[ − 3; 3]

C.

[ − 3; 3]

( 3)

như hình vẽ

. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

(

max h( x ) = 3 f − 3

. B.

max h( x) = 3 f

y = f ′( x)

[ − 3; 3]

)

.

max h( x) = 3 f ( 0 )

. D.

[ − 3; 3]

.
Lời giải

Chọn B
Ta có:

2
h′ ( x ) = 3 f ′ ( x ) − 3 x 2 + 3 ⇔ h′ ( x ) = 3  f ′ ( x ) − ( x − 1) 

y = x −1
2

Đồ thị hàm số

(

A − 3;2

) B(
,

3;2

)

là một parabol có toạ độ đỉnh

.

16

.

C ( 0; − 1)

, đi qua


Từ đồ thị hai hàm số
số

y = h ( x)

(

y = f ¢( x)

)

(

) h( 3) = 3 f ( 3)
,

(

max h(x) = 3f [-

3; 3]

)

Ví dụ 9. Cho hàm số

.
y = f ( x)

có đồ thị

y = f ′( x)

1
3
3
g ( x ) = f ( x ) − x 3 − x 2 + x + 2018,
3
4
2

min g ( x ) =

min g ( x ) = g ( −1)
[ −3;1]

. B.

min g ( x ) = g ( −3)

C.

[ −3;1]

.

3

Vậy

A.

ta có bảng biến thiên của hàm

.

h − 3 =3f − 3

Với

và

y = x2 −1

[ −3;1]

mệnh đề nào dưới đây đúng?

g ( −3) + g ( 1)
2

min g ( x ) = g ( 1)

. D.

[ −3;1]

.
Lời giải

Chọn A
17

ở hình vẽ bên. Xét hàm số

.


Ta có

3
3
3
3

g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − x2 − x + = f ′ ( x ) −  x2 + x − ÷
2
2
2
2


Vẽ parabol

3
3
( P ) : y = x2 + x −
2
2

( −3;3) ( −1; 2 ) ( 1;1)
,

Trên khoảng

,

. Ta thấy

.

( −3; −1)

đồ thị hàm số

3
3

f ′ ( x ) <  x 2 + x − ÷⇒ g ′ ( x ) < 0
2
2


Trên khoảng

( −1;1)

Trên khoảng

( 1; +∞ )

nằm phía dưới

( P)

nên

f ′( x)

nằm phía trên

( P)

nên

.

đồ thị hàm số

3
3

f ′ ( x ) <  x 2 + x − ÷⇒ g ′ ( x ) < 0
2

2


f ′( x)

đi qua các điểm có toạ độ

.

đồ thị hàm số

3
3

f ′ ( x ) >  x 2 + x − ÷⇒ g ′ ( x ) > 0
2
2


( P)

.

.

Bảng biến thiên

18

f ′( x)

nằm phía dưới

( P)

nên


min g ( x ) = g ( −1)
[ −3;1]

Từ bảng biến thiên, ta có
y = f ( x)

Ví dụ 10. Cho hàm số
có đồ thị như hình sau:

.

có đạo hàm liên tục trên

R

. Hàm số

y = f '( x)

Cho bốn mệnh đề sau:
1) Hàm số
2) Hàm số

3)

y = f ( x)
y = f ( x)

có hai cực trị
đồng biến trên khoảng

( 1; +∞ )

f ( 1) > f ( 2 ) > f ( 4 ) .

[ −1;4]

4) Trên đoạn
, giá trị lớn nhất của hàm số
Số mệnh đề đúng trong bốn mệnh đề trên là:
A.

3.

B.

1.

C.
Lời giải

Chọn D
Dựa vào đồ thị của hàm số

y = f '( x)

ta thấy:

 x = −1
f ' ( x ) = 0 ⇔  x = 1
 x = 4
f ' ( x ) < 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 1; 4 )

f ' ( x ) > 0 ⇔ x ∈ ( −1;1) ∪ ( 4; +∞ )

Ta có bảng biến thiên của hàm số

19

y = f ( x)

4.

y = f ( x)

là

f ( 1) .

D.

2.

Dựa vào bảng biến thiên đáp án đúng là mệnh đề số
Ví dụ 11.

Cho hàm số

y = f ( x)

. Hàm số

y = f ′( x)

hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất của hàm số
đoạn

[ −1;1]

-2

-1

0

4

có bảng biến thiên như

g ( x ) = f ( 2 x ) − sin 2 x

.

f ( 0)

B.

1

2

trên

.

+∞

0

0

0

A.

và

là
-∞

f ( −1)

3

C.

f ( 2)

.

D.

f ( 1)

Lời giải
Chọn B
Ta có

x ∈ [ −1;1] ⇒ 2 x ∈ [ −2; 2]

Từ bảng biến thiên của
-∞

Ta thấy

y = f '( x )

0

∀x ∈ [ −1;1]

g ( x ) ≤ g ( 0) = f ( 0)

Dấu “=” xảy ra khi

thì bảng biến thiên

0

-2

-

.

+

ta có

0

-

0

+

 f ( 2 x ) ≤ f ( 0 )

2
− sin x ≤ 0 = sin ( 0 )

.
x=0

+∞

2

.
20

, do đó

y = f ( x)

như sau:

.


2.3.2. Khai thác đồ thị hoặc bảng biến thiên hàm số
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm ẩn.
Ví dụ 1. Cho hàm số

y = f ( x)

y = f ( x)

, xác định giá

có đồ thị như hình vẽ.

Tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

)

(

y = f x + x2 − x + 1 − 1

trên đoạn

[ 0;1]

bằng:

15

3

5

0

A. .
B. .
C. .
D. .
Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị hàm số f(x) để suy ra bảng biến thiên của
hàm số �=g(x), sau đó dựa vào bảng biến thiên của hàm số 𝑦=g(x) và tính đơn
điệu của hàm số để kết luận.

Lời giải
Chọn A
Ta có:

 x = −1
f ′( x) = 0 ⇔ 
x =1

.

(

)


2 x −1 
2
y′ = 1 +
÷. f ′ x + x − x + 1 − 1
2
 2 x − x +1 
 2 x 2 − x + 1 = 1 − 2 x ( 1)

y ′ = 0 ⇔  x + x 2 − x + 1 − 1 = −1 ( 2 )

 x + x 2 − x + 1 − 1 = 1( 3)


.

21

.


1

x ≤
1 − 2 x ≥ 0
⇔
2 ( VN )
( 1) ⇔  2
2
4
x
−
x
+
1
=
1
−
2
x

(
)
(
)


4 = 1

.

x ≤ 0
x ≤ 0
⇔
( VN )
 2
2
2 ⇔ 
( 2) ⇔ x − x + 1 = − x x − x + 1 = x
x = 1

.

2 − x ≥ 0
⇔
( 3) ⇔ x 2 − x + 1 = 2 − x  x 2 − x + 1 = 4 − 4 x + x 2 ⇔ x = 1
⇒ y′ = 0 ⇔ x = 1∉ ( 0;1)

.

.

y ( 0 ) = f ( 0 ) = −3 y ( 1) = f ( 1) = −1

;

(

)

⇒ m = min f x + x 2 − x + 1 − 1 = −3
[ 0;1]

Vậy
Ví dụ 2.

m.M = 3

[ 0;1]

và

y = f ( x)

có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm
1
1
g ( x ) = f ( 4 x − x 2 ) + x 3 − 3x 2 + 8 x +
3
3

giá trị lớn nhất của hàm số

trên đoạn

.

A. 15.

25
3

B.

.

C.
Lời giải

19
3

.

D. 12.

(

)

2
g ′ ( x ) = ( 4 − 2 x ) f ′ ( 4 x − x 2 ) + x 2 − 6 x + 8 = ( 2 − x )  2 f ′ 4 x − x + 4 − x 

Với

.

.

Cho hàm số

[ 1;3]

)

(

M = max f x + x 2 − x + 1 − 1 = −1

x ∈ [ 1;3]

Suy ra

thì

2
4 − x > 0 3 ≤ 4x − x ≤ 4

;

2 f ′ ( 4 x − x 2 ) + 4 − x > 0 ∀x ∈ [ 1;3]

,

22

nên

.

f ′ ( 4x − x

2

) >0

.

.


Bảng biến thiên

max g ( x ) = g ( 2 ) = f ( 4 ) + 7 = 12
[ 1;3]

Suy ra
Chọn D

Ví dụ 3. Cho hàm số

y = f ( x)

có bảng biến thiên sau

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
A.

−19

[ −1; 2]

.

.

1
5
7
g ( x ) = f ( x3 − 3 x ) − x5 + x3 − 4 x −
5
3
15

?
−20

B.

.

−21

C.

.

D.

−22

.

Lời giải
Chọn A
Ta có

(

) (

)

(

)

(

)

g ′ ( x ) = 3 x 2 − 1 f ′ x 3 − 3x − x 4 + 5 x 2 − 4 = x 2 − 1 3 f ′ x 3 − 3x − x 2 + 4 .

Xét hàm số

h ( x ) = x3 − 3x

trên đoạn

[ −1; 2]

, ta có

 x = −1∈ [ −1; 2]
h′ ( x ) = 0 ⇔ 3 x 2 − 3 = 0 ⇔ 
.
 x = 1 ∈ [ −1; 2]

Mà

h ( −1) = 2, h ( 1) = −2, h ( 2 ) = 2

nên

Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra
Mặt khác, với

x ∈ [ −1; 2]

thì

h ( x ) ∈ [ −2; 2] , ∀x ∈ [ −1; 2] .

3 f ′ ( x3 − 3x ) > 0, ∀x ∈ [ −1; 2]

4 − x2 ≥ 0

23

(2).

(1).


Từ (1) và (2) suy ra
Do đó xét

(

3 f ′ ( x 3 − 3x ) − x 2 + 4 > 0, ∀x ∈ [ −1; 2] .

)

(

)

g ′ ( x ) = 0 ⇔ x 2 − 1 3 f ′ x 3 − 3 x − x 2 + 4  = 0 ⇔ x 2 − 1 = 0 ⇔ x = ±1 ∈ [ −1; 2 ] .

Mà

31

 g ( −1) = f ( 2 ) + 15

 g ( 1) = f ( −2 ) − 3


 g ( 2 ) = f ( 2 ) − 23
15


và

f ( −2 ) − 3 < f ( −2 ) −

Nên

f ( −2 ) < f ( 2 )

(do

f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ [ −2;3]

23
23
31
< f ( 2) − < f ( 2) +
15
15
15

hay

)

g ( 1) < g ( 2 ) < g ( −1) .

min g ( x ) = g ( 1) = f ( −2 ) − 3 = −16 − 3 = −19.
[ −1;2]

Vậy
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
2.4.1. Về phía học sinh
Những giải pháp trên đã được tôi kiểm nghiệm qua thực tế dạy học trong
năm học 2019 -2020 và 2020-2021 tại các lớp 12A5 (Ban cơ bản C), 12B3 (Ban
cơ bản A). Tôi đã thực hiện ôn tập và rèn luyện kĩ năng giải các bài tốn tìm giá
y = f ′( x )
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm ẩn mà khai thác đồ thị hàm số
,
y = f ( x)
cho học sinh và kết quả thu được rất khả quan. Năng lực học sinh đã
có sự chuyển biến tích cực qua những lần thi KSCL theo định hướng thi tốt
nghiệp THPT Quốc gia của nhà trường. Điểm thi cụ thể các lớp tôi dạy qua các
lần thi khảo sát như sau:
12B3
12A5
Điểm lần 1
6.0
4,15
Điểm lần 2
6.40
4.70
Điểm lần 3
6.87
5.45
Qua điều tra tất cả các em học sinh đã biết cách giải các bài tốn tìm giá
y = f ′( x )

trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm ẩn mà khai thác đồ thị hàm số
,
y = f ( x)
. Các em cũng tự tin khi thực hành làm đề trên lớp và ở nhà. Tất cả
điều đó góp phần chuẩn bị tốt cả về kiến thức, kĩ năng, tâm lí cho học sinh
chuẩn bị bước vào kì thi tốt nghiệp THPT Quốc gia với kết quả cao nhất.
24


2.4.2. Về phía giáo viên
Tơi đã trao đổi và chia sẻ kinh nghiệm rèn luyện kĩ năng giải các bài tốn
tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm ẩn mà khai thác đồ thị hàm số
y = f ′( x ) y = f ( x)
,
với các đồng nghiệp mơn Tốn trong và ngồi trường. Các
giáo viên đều đánh giá cao về tính khoa học và tính thực tiễn của đề tài.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
Khi dạy chương 1- Giải tích 12 "Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ
đồ thị của hàm số " cùng với việc dạy cho học sinh biết xét tính đơn điệu, cực
trị, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số..., giáo viên cũng cần rèn
y = f ′( x) y = f ( x )
luyện cho học sinh kĩ năng khai thác đồ thị các hàm số
,
. Kĩ
năng này sẽ giúp cho các em làm nhanh, làm tốt bài thi tốt nghiệp THPT Quốc
gia trong tình hình các em thi theo hình thức trắc nghiệm khách quan và thời
gian thi rút ngắn chỉ cịn lại 90 phút. Đề tài của tơi cũng chính là một kinh
nghiệm để các thầy cơ giáo dạy Tốn tham khảo nhằm nâng cao chất lượng,
hiệu quả các giờ dạy Tốn nói chung và dạy học phần giải các bài tốn tìm giá

y = f ′( x )
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm ẩn mà khai thác đồ thị hàm số
,
y = f ( x)
nói riêng.
3.2. Kiến nghị
1. Trong chương trình Sách giáo khoa mới sắp tới cần đưa phần giải các bài
y = f ′( x ) y = f ( x )
toán khai thác đồ thị hàm số
,
vào chương trình một cách hệ
thống và khoa học, có thêm nhiều bài tập dạng trắc nghiệm khách quan. Trong
đó cần định hướng rõ hơn cho giáo viên về yêu cầu cần đạt và phương pháp
thực hiện. Đồng thời chương trình phải phát huy được tính chủ động, tích cực
của học sinh.
2. Sở Giáo dục và đào tạo tổ chức các hội thảo trực tuyến Sáng kiến kinh
nghiệm để các giáo viên có điều kiện trao đổi kinh nghiệm dạy học nói chung
và dạy đọc hiểu văn bản nói riêng.
Trên đây là kinh nghiệm nhỏ của tơi trong quá trình dạy học rèn luyện kĩ
năng giải các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm ẩn mà khai
y = f ′( x ) y = f ( x )
thác đồ thị hàm số
,
cho học sinh THPT trong các giờ dạy
học Tốn, vì vậy khơng tránh khỏi cịn có những thiếu sót.
Tơi rất mong nhận được sự đánh giá góp ý của Hội đồng khoa học của
ngành và các đồng nghiệp để đề tài hồn thiện và có tính ứng dụng thực tiễn
hiệu quả cao nhất.
25