SKKN sử dụng hiệu quả phương pháp ghép trục để giải nhanh các bài tập về tìm số điểm cực trị của hàm hợp, giúp học sinh giải nhanh các bài tập về tìm số điểm cực trị phần 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG HIỆU QUẢ “PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC” ĐỂ
GIẢI NHANH CÁC BÀI TẬP VỀ TÌM SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ
CỦA HÀM HỢP, GIÚP HỌC SINH GIẢI NHANH CÁC BÀI
TẬP VỀ TÌM SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ - PHẦN 1.

Người thực hiện: Phạm Thị Liên
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

MỤC LỤC
THANH HĨA, NĂM 2021


MỤC LỤC
Trang
1. MỞ ĐẦU.......................................................................................................1
1.1. Lí do chọn đề tài.........................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu..................................................................................1
1.3. Đối tượng nghiên cứu.................................................................................2
1.4. Phương pháp nghiên cứu............................................................................2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.................................................2
2.1.Cơ sở lí luận của SKKN..............................................................................2
2.2.Thực trạng của vấn đề nghiên cứu..............................................................2
2.3. Các giải pháp thực hiện..............................................................................4
2.4. Hiệu quả của SKKN.................................................................................18

3. KẾT LUẬN ................................................................................................19
3.1.
Kết
quả
cứu...................................................................................18

nghiên

3.2. Kiến nghị và đề xuất.................................................................................19
DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SKKN ĐÃ ĐƯỢC CÔNG NHẬN....................22
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................24


SKKN năm 2021

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong những ngày đầu khai sinh đất nước, Đảng và Nhà nước ta đã xác
định vận mệnh của dân tộc phụ thuộc nhiều vào sự nghiệp giáo dục. Sinh thời
Bác Hồ nói “một dân tộc dốt có nghĩa là một dân tộc yếu”. Người đã nhấn
mạnh:
“Vì lợi ích mười năm phải trồng cây
Vì lợi ích trăm năm phải trồng người.”
Ở thời đại ngày nay, khi nhân loại đã bước sang một thế kỉ mới cùng
với sự phát triển của khoa học cơng nghệ thì tiềm năng trí tuệ trở thành động
lực thúc đẩy sự phát triển của một đất nước. Vì thế ta khẳng định “Giáo dục là
chìa khóa mở đường cho tương lai và sự phồn vinh của đất nước”, quyết định
sự thành bại của một quốc gia trên trường quốc tế, quyết định sự thành bại
của mỗi cá nhân trong trường đời rộng lớn.
Những vấn đề trọng tâm trên đã tạo một ý tưởng xây dựng một xã hội

trong thế kỉ 21 là một xã hội học tập, một nền văn minh dựa vào quyền lực tri
thức. Phương pháp học tập ngày nay đã thay đổi, giáo dục phải giúp học sinh
phát hiện và phát triển tài năng sáng tạo, khả năng thích ứng của bản thân.
Xuất phát từ những yêu cầu cao của thực tiễn xã hội như trên, việc đổi mới
nội dung và phương pháp dạy học ở các bậc học nói chung và bậc học THPT
nói riêng là một vấn đề cần thiết và không thể chậm trễ.
Hịa mình vào xu thế chung, mơn Tốn đã đổi mới phương pháp dạy
học và phương thức kiểm tra đánh giá học sinh (hình thức thi trắc nghiệm).
Với hình thức này địi hỏi thí sinh trong khoảng thời gian ngắn phải giải quyết
được số lượng câu hỏi và bài tập khá lớn ( kì thi THPT Quốc Gia 90 phút học
sinh phải giải quyết 50 câu). Do đó việc tìm ra phương pháp giải nhanh bài
tập tốn về tìm số điểm cực trị, giúp học sinh vận dụng có hiệu quả và thành
thạo những phương pháp này ln có ý nghĩa rất quan trọng. Một trong những
phương pháp có thể giúp học sinh giải rất nhanh các bài tập tìm số điểm cực
trị là “ phương pháp ghép trục’’. Tuy nhiên trong chương trình sách giáo
khoa khơng đề cập đến phương pháp này, các sách tham khảo ít đề cập đến
phương pháp này bản thân tơi trong q trình ôn thi THPT Quốc gia nhiều
năm tôi thấy sử dụng rất hiệu quả.
Xuất phát từ lí do trên, tơi nhận thấy việc trình bày “Sử dụng hiệu quả
“phương pháp ghép trục” để giải nhanh các bài tập về tìm số điểm cực trị
của hàm hợp, giúp học sinh giải nhanh các bài tập về tìm số điểm cực trị phần 1” sẽ giúp học sinh biết đến phương pháp, làm quen, vận dụng thành
thạo phương pháp và sử dụng có hiệu quả trong giải nhanh các bài tập trắc
nghiệm là cần thiết và thiết thực.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Theo phương pháp truyền thống thì việc giải các bài tốn về tìm số điểm
cực trị chỉ phù hợp với các hàm số cơ bản, tuy nhiên gặp hàm hợp làm theo
phương pháp truyền thống khá dài, mất khá nhiều thời gian, phương pháp
Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

1

SKKN năm 2021

truyền thống này sẽ không đáp ứng được u cầu hiện nay. Vì vậy trong sáng
kiến này tơi mạnh dạn đưa “ Phương pháp ghép trục ” vào giảng dạy, với mục
đích giúp HS có thể tìm ra một phương pháp giải nhanh các bài tập, giúp học
sinh chuyển được từ những bài toán phức tạp trở thanh bài toán đơn giản hơn,
giúp học sinh hứng thú hơn với mơn Tốn.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Các bài tập về tìm số điểm cực trị của hàm số.
- Học sinh trường: Trung học phổ thông Thạch Thành 3 khối 12 (sau khi học
xong bài cực trị của hàm số chương 1 giải tích 12 )
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Để tiến thực hiện sáng kiến tôi đã sử dụng các phương pháp sau: Phương
pháp quan sát thực tế, phương pháp trao đổi trực tiếp với giáo viên và học
sinh về những vấn đề liên quan đến SKKN, phương pháp nghiên cứu, phương
pháp thống kê – phân tích số liệu thực nghiệm.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
“ Phương pháp ghép trục ” tuy không phải là phương pháp tối ưu nhất,
nhưng nó là một trong những phương pháp giải nhanh các bài tốn về đếm sơ
cực trị. Qua đó cho HS thấy được cái hay, cái mới trong việc làm trắc nghiệm
mơn tốn. [8].
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Bài tập về tìm số điểm cực trị là những bài tốn rất hay gặp trong
chương trình tốn 12 và xuất hiện trong đề thi THPT Quốc Gia rất nhiều. Tuy
nhiên cách giải truyền thống thì khá khó, dài và khá phức tạp. Nếu làm theo
cách truyền thống thì khơng phải học sinh nào cũng làm được trong khoảng
thời gian vô cùng ngắn hoặc làm được mất khá nhiều thời gian. Đặc biệt càng

khó với học sinh học sinh miền núi (học sinh trường THPT Thạch Thành 32/3 học sinh là dân tộc thiểu số điều kiện kinh tế và học tập cịn khó khăn)
việc tiếp cận với phương pháp mới chưa nhiều.
Trong sách giáo khoa không đề cập đến, rất ít sách tham khảo đề cập đến
“Phương pháp ghép trục” nhưng cịn một số hạn chế, trình bày sơ sài số
lượng bài tập ít nên học sinh chưa hiểu sâu sắc, chưa giúp học sinh vận dụng
nhanh thành thạo trong giải nhanh các bài tập về tìm số điểm cực trị.
Trước khi chưa áp dụng đề tài “Sử dụng hiệu quả “phương pháp
ghép trục” để giải nhanh các bài tập về tìm số điểm cực trị của hàm hợp,
giúp học sinh giải nhanh các bài tập về tìm số điểm cực trị - phần 1”(Ở
phần 1 này, tôi mới cho HS làm quen với phương pháp ghép trục, giúp HS sử
dụng thành thạo được phương pháp này vào những hàm hợp cơ bản) vào
giảng dạy trong các tiết ôn tập về chủ đề cực trị của hàm số thì mức độ nhận
thức, cũng như mức độ nắm bài học của học sinh cịn hạn chế nhiều. Minh
chứng điều đó là kết quả khảo sát chất lượng nội dung học của 2 lớp khi tơi
dạy “ Chủ đề tìm số điểm cực trị của hàm số ” theo phương pháp truyền thống.

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

2


SKKN năm 2021

Điểm từ 5
đến dưới 6,5
Lớp Sĩ số
SL
%
SL
%

12A3
41
13
31,8
12
29,3
12A4
43
19
44,2
13
30,2
Biểu độ thể hiện mức độ nhận thức,
12A4 trước khi áp dụng SKKN.
Điểm dưới 5

Điểm từ 6,5
Ghi
Điểm trên 8
đến dưới 8
chú
SL
%
SL
%
11
26,8
5
12,1
8

14
3
11,6
nắm bài học của lớp 12A3,

Lớp 12 A3

Lớp 12 A4

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

3


SKKN năm 2021

2.3. Các giải pháp thực hiện
Để giải quyết thực trạng trên, tôi mạnh dạn đưa ra SKKN “Sử dụng
hiệu quả “phương pháp ghép trục” để giải nhanh các bài tập về tìm
số điểm cực trị của hàm hợp, giúp học sinh giải nhanh các bài tập về
tìm số điểm cực trị - phần 1” vào giảng dạy trong các tiết ôn tập về chủ
đề cực trị của hàm số.
2.3.1. Cơ sở của phương pháp ghép trục.
Sử dụng phương pháp ghép trục thực hiện theo các bước:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số g  f  u  x   , giả sử ta được
TXĐ D   a1 ; a2  � a3 ; a4  �... � an 1 ; a2 n  ; ở đây có thể a1  �; an  �
Bước 2: Xét sự biến thiên của u  u  x  và hàm y  f  x 
Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa

 x; u  x  

và  u; g  f  u  

Các thành phần trong BBT như sau:
- Dòng 1: Xác định các điểm kì dị của hàm u  u  x  , sắp xếp các điểm
này theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải, giả sử như sau: a1  a2  ...  an 1  an
- Dòng 2: Điền các giá trị ui  u  ai  ;  i  1; n 
Trên mỗi khoảng  ui ; ui 1  ;  i  1; n  1 cần bổ sung các điểm kỳ dị

b1 ; b2 ;...; bk của hàm y  f  x  .Trên mỗi khoảng

các điểm ui ; bk

 ui ; ui 1  ;  i  1; n  1 cần sắp xếp

theo thứ tự. (Chẳng hạn: ui  b1  b2  ...  bk  uk 1 hoặc

ui  b1  b2  ...  bk  uk 1

- Dòng 3: Xét chiều biến thiên của hàm g  f  u  x   dựa vào BBT của
hàm y  f  x  bằng cách: Hốn đổi u đóng vai trị của x; f  u  đóng vai trị của
f  x  . Sau khi hoàn thành BBT của hàm hợp g  f  u  x   ta thấy được hình
dạng đồ thị hàm này.
Bước 4: Dùng BBT hàm hợp g  f  u  x   giải quyết các yêu cầu đặt ra
trong bài toán và kết luận.
Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

4

SKKN năm 2021

Chú ý:
- Các điểm kì dị của hàm u  u  x  gồm: Điểm biên của TXĐ , các điểm
cực trị của hàm u  u  x  .
- Có thể dùng thêm các mũi tên để thể hiện chiều biến thiên của u  u  x  .
 x  không xác
- Điểm kỳ dị của y  f  x  gồm: Các điểm tại đó f  x  ; f �
định; các điểm cực trị của hàm số y  f  x  [7].
2.3.2. Sử dụng phương pháp ghép trục để tìm số điểm cực trị của hàm số
khi biết đồ thị hàm số y  f  x  của nó.
2.3.2.1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: ( Đề tham khảo THPT QG năm 2020 ). Cho hàm số y  f  x 
liên tục , xác định trên R và có đồ thị như hình vẽ [6].

3
2
Số điểm cực trị của hàm số g  x   f  x  3x  là:

A. 5

B. 3

C. 7
Hướng dẫn giải:

D. 11
x  2
u4
�

�
��
x0
u0
�
�

2
Đặt u  x3  3x 2 . Ta có : u '  3x  6 x  0 � �

Từ đồ thị hàm số y  f  x  ta được

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

5


SKKN năm 2021
�
x  a � �;0 
�f  a   f  c   0
�
f ' x  0 � �
x  b � 0; 4  và �
.
�f (b)  0
�
x  c � 4; �
�
3

2
Bảng biến thiên của hàm số g  x   f x  3x là:





Dưạ vào BBT ta thấy hàm số g  x   f  x  3x  có 7 điểm cực trị.
Ví dụ 2 : Cho hàm số y  f  x  liên tục, xác định trên R và có đồ thị như hình
vẽ.
3

2

3
Số điểm cực tiểu của hàm số g  x   f  x  3x  1 là:

A. 6 .

B. 5 .

C. 7 .
Hướng dẫn giải:

D.11 .

x  1 �
t 3
�
��

x 1
t  1
�
�

3
2
Đặt t  x  3x  1 � t '  3x  3  0 � �

�
x  a; a � 0;1
�
 x   0 � �x  1
Từ đồ thị ta có: f  1  0, f  1  0, f �
�
x  b; b � 1;3
�

và f  b   f  a   0
3
Bảng biến thiên của hàm số g  x   f  x  3x  1 :

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

6


SKKN năm 2021

Dưạ vào BBT ta thấy hàm số g  x   f  x  3x  1 có 6 điểm cực tiểu.

Ví dụ 3 : [4]. Cho hàm số y  f  x  liên tục, xác định trên R và đồ thị có 3
điểm cực trị như hình vẽ.
3

3
Số điểm cực đại của hàm số g  x   f  x  3x  2  là:

A. 5

B. 3

C. 7
Hướng dẫn giải:

D. 11

x  1
�
x 1
�

3
2
Đặt t  x  3x  2 � t '  3x  3  0 � �

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

7

SKKN năm 2021
�
x  a � �; 1
�f  b   0
�
 x   0 � �x  b � 1;0  và �
Từ đồ thị hàm số ta được f �
�
�
�f  a   f  c   0
x

c
�
0;

�


�
3
Bảng biến thiên của hàm số g  x   f x  3x  2 :





Dưạ vào BBT ta thấy hàm số g  x   f  x  3x  2  có 4 điểm cực đại.
2.3.2.2. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị như hình vẽ.

3

2
Số điểm cực đại của hàm số g  x   f   x  x  bằng:

A. 1

B. 3
C. 5
D. 2
(Đề thi thử THPTQG - Sở Phú Thọ năm 2019) [6].
Câu 2: Cho hàm số bậc bốn y  f  x  liên tục , xác định trên R và có đồ thị
như hình vẽ.

3
2
Số điểm cực tiểu của hàm số g  x   f  2 x  3x  bằng:

A. 4

B. 5
C. 6
D. 7
(Đề thi thử THPTQG chuyên KHTH Hà Nội 2020) [6].

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

8

SKKN năm 2021

Câu 3 : Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị như hình vẽ sau

3
Số điểm cực trị của hàm số g  x   f  x  3x  là

A. 5

B. 7
C. 9
D. 11
(Đề thi thử THPTQG - Thị Xã Quảng Trị năm 2020) [6].
Câu 4 : Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên R , có đồ thị như hình
bên dưới.

2
Hàm số g  x   f  x  2  có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 3

B. 1
C. 5
D. 2
(Đề thi thử THPTQG - Sở Hưng Yên năm 2020) [6].
2.3.3. Phương pháp ghép trục để tìm số điểm cực trị của hàm số khi biết
 x  của nó.
bảng biến thiên của hàm số y  f  x  hoặc đồ thị hàm số y  f �
2.3.3. 1. Ví dụ minh họa.
 x  như

Ví dụ 1 : Cho hàm số f  x  liên tục trên � và có đồ thị hàm số f �
hình vẽ sau

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

9


SKKN năm 2021

� 5x �
Hàm số y  f � 2 �có bao nhiêu điểm cực tiểu.
�x  4 �

A. 5 .

B. 3
C. 4.
D. 2.
Hướng dẫn giải:
 x  ta có bảng biến thiên của hàm số f  x 
Từ đồ thị của hàm số f �
như sau

5x
20  5 x 2
�
u

�

u

 0 � x  �2
2
Đặt
x2  4
x2  4





5
5
5
x  2 � u  ; x  2 � u  
4
4
4
Bảng biến thiên của hàm số y  f � 5 x �
�2
�
�x  4 �
5
4

Với x  2 � u  ; x  2 � u  

� 5x �
Dựa vào bảng biến thiên ta được hàm số y  f � 2 �có 2 điểm

�x  4 �

cực tiểu.
Ví dụ 2 : ( Thi thử THPT QG chuyên KHTN hà nội năm 2020.) [6].
Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

10


SKKN năm 2021

Cho hàm số f  x  xác định trên � và có bảng biến thiên như sau:

Tìm số điểm cực trị của hàm số g  x   f  x  4 x  .
A. 5 .
B. 3
C. 4.
Hướng dẫn giải:
2
Đặt u  x  4 x � u '  2 x  4  0 � x  2 � u  4 .
2
Bảng biến thiên của hàm số g  x   f  x  4 x 
2

D. 7.

2
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số g  x   f  x  4 x  có 4 điểm cực tiểu.

 x  có đồ thị như hình vẽ. Hàm số

Ví dụ 3 : Cho hàm số f  x  . Hàm số f �
2
y  f  x  1 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 5 .

B. 7.
C. 3.
D. 4.
( Thi thử THPT QG chuyên KHTN hà nội năm 2020.) [6].
Hướng dẫn giải:
 x  ta có bảng biến thiên của hàm số
Từ đồ thị của hàm số f �
y  f  x  như sau:

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

11


SKKN năm 2021

Đặt u  x 2  1 � u� 2 x  0 � x  0 � u  1 .
2
Bảng biến thiên của hàm số y  f  x  1

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số y  f  x 2  1 có 5 điểm cực trị.

Ví dụ 4 : [2]. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau.

Số điểm cực đại của hàm số y  f  3  x  là:
A. 1
B. 3
C. 0
Hướng dẫn giải:
2
Đặt u  3  x � u '  2 x  0 � x  0 � u  3 .
2
Bảng biến thiên của hàm số y  f  3  x 
2

D. 2

Dựa vào bảng biến thiên ta được hàm số y  f  3  x  có 2 điểm cực đại.
 x  như hình
Ví dụ 5 : [1].Cho hàm số bậc bốn y  f  x  . Đồ thị hàm số y  f �
2

vẽ. Số

điểm cực đại của hàm số g  x   f

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3



x2  2x  2



12


SKKN năm 2021

A.1 .

B. 2 .

C. 3 .
D. 4 .
Hướng dẫn giải:
 x  , ta có bảng biến thiên của đồ thị hàm số
Từ đồ thị hàm số y  f �
y  f  x  như sau:

2
Đặt u  x  2 x  2 � u�

2x  2
2 x2  2x  2

 0 � x  1 � u  1

Ta có bảng biến thiên của hàm số g  x   f



x2  2x  2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số g  x   f







x 2  2 x  2 có

1 điểm cực đại.
2.3.3. 2.Bài tập vận dụng
 x
Câu 1: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên �. Đồ thị hàm số y  f �
2
2
như hình sau. Hàm số y  f  x  4 x   x  4 x có bao nhiêu điểm cực trị thuộc
khoảng  5;1 ?

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

13


SKKN năm 2021

A. 5 .
B. 4 .
C. 6 .
D. 3 .

(Đề thi thử THPTQG năm học 2019 - 2020, trường Đại học Vinh ) [6].
 x  như
Câu 2: Cho hàm số f  x  liên tục trên khoảng  3; 4  và có đồ thị f �
hình vẽ

2
Hàm số g  x   f  x  có bao nhiêu điểm cực trị

A. 3 .

B. 4 .
C. 2 .
D. 5 .
(Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam năm 2020) [6].
 x  như hình
Câu 3 : Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên � và có đồ thị f �
vẽ.

2
Hàm số y  f  x  2 x  có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 5 .

B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
(Chuyên QuangTrung - Bình Phước – lần 1 năm 2020) [6].

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

14


SKKN năm 2021

 x  như
Câu 4 : Cho hàm số đa thức f  x  có đạo hàm trên R và có đồ thị f �
hình vẽ .

2
Hàm số y  f  2 x  2  có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 3 .

B.1 .

C. 2 .

D. 4 .
(Sở Hải Phòng – 2020) [6].
Câu 5: [5]. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:

2
Tìm số điểm cực trị của hàm số y  f  x  2  .

A. 2 .
B. 5 .
C. 3 .
D.1 .
 x  như hình vẽ

Câu 6: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên � và có đồ thị f �
2
bên. Số điểm cực tiểu của hàm số g  x   f   x  x  là.

A.1 .

B. 4 .

D. 2 .
(Sở Nghệ An – 2020) [6].
2.3.4. Phương pháp ghép trục để tìm số điểm cực trị của hàm số khi
 x
bảng biến thiên của hàm số y  f �
2.3.4.1. Ví dụ minh họa.

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

C. 3 .

15


SKKN năm 2021

 x  như
Ví dụ 1 : [1].Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên của hàm số y  f �
sau:

2
Số điểm cực trị của hàm số g  x   f  x  5 là

A. 3 .

B. 5 .

C. 7 .
Hướng dẫn giải:

D. 9 .

Ta có

x  a � �; 5 
�
�
x  b � 5; 2 
�
 x  0 � �
Từ bảng biến thiên ta có f �
.
x  c � 2;3
�
�
x  d � 3; �
�

Đặt u  x 2  5 suy ra u � 2 x ; u� 0 � 2 x  0 � x  0 � u  5 .
2
Bảng biến thiên của hàm số g  x   f  x  5 

2
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số g  x   f  x  5  có 7 điểm cực trị.

 x  như
Ví dụ 2 : [2]. Cho hàm số y  f  x  , bảng biến thiên của hàm số f �
sau:

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

16


SKKN năm 2021

2
Số điểm cực đại của hàm số g  x   f  x  2 x  là:

A. 9 .

B. 7 .

C. 5 .
Hướng dẫn giải:

D. 3 .

Ta có:

�
x  5; a � �; 1

�
x  b; b � 1;0 
�
 x  0 � �
Từ bảng biến thiên, ta có: f �
x  c; c � 0;1
�
�
x  d ; d � 1; �
�

Đặt u  x 2  2 x � u� 2 x  2  0 � x  1 � u  1
2
Bảng biến thiên của hàm số g  x   f  x  2 x  :

Dựa vào bảng biên thiên ta được hàm số g  x   f  x  2 x  có 3 điểm
cực đại.
 x  như sau:
Ví dụ 3 : Cho hàm số y  f  x  , bảng biến thiên của hàm số f �
2

2
�x  1 �
Tìm số điểm cực tiểu của hàm số g  x   f �
�?

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

17

SKKN năm 2021

A. 3 .

B. 4 .

C. 5 .
Hướng dẫn giải

D. 2 .

Ta có:

Từ bảng biến thiên ta có:

�
x  a; a � �;0 
�
f�
 x   0 � �x  b; b � 0;3
�
x  c; c � 3; �
�
2
Đặt u   x  1 � u� 2  x  1  0 � x  1 � u  0

2
 x  1 �
Bảng biến thiên của hàm số g  x   f �

�
�:

 x  1 �
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số g  x   f �
�
�có 3 điểm
cực tiểu.
2.3.4.2. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên �, bảng biến thiên của
 x  như sau
hàm số f �
2

2
Số điểm cực trị của hàm số y  f  x  2 x  là

A. 3 .

B. 5 .

C. 4 .

D. 2 .

 x  như sau
Câu 2: Cho hàm số f  x  , bảng biến thiên của hàm số f �

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

18


SKKN năm 2021

2
Số điểm cực đại của hàm số y  f  x  4 x  2  là.
A. 2 .
B. 3 .
C. 7 .

D. 5 .

 x  như sau
Câu 3: Cho hàm số f  x  , bảng biến thiên của hàm số f �

Số điểm cực tiểu của hàm số y  f  1  x  là
A. 2 .
B. 3 .
C.1 .
D. 4 .
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
- Đối với bản thân, đồng nghiệp: Trước khi nghiên cứu bản thân trao đổi
với đồng nghiệp về phương pháp giải nhanh các bài toán đếm số cực trị, bởi
nếu làm theo phương pháp truyền thống thì mất khá nhiều thời gian, gặp khó
khăn khi giảng dạy bài tốn tìm số điểm cực trị của hàm hợp, một trong
những dạng toán xuất hiện thường xuyên trong các đề thi đặc biệt là đề thi
THPT Quốc Gia, nếu giải thông thường thì dài khơng đáp ứng được u cầu
của bộ mơn hiện nay. Nhưng sau khi đưa ra “ phương pháp ghép trục” thì nó

giúp cho GV giảng dạy dạng này cho học sinh trở nên đơn giản hơn, học sinh
dễ hiểu hơn .
- Đối với học sinh: “Phương pháp ghép trục” mới đầu rất bỡ ngỡ với học
sinh, tuy nhiên chỉ làm 1 đến 2 lần học sinh hiểu và quen dần với phương
pháp này, giúp tính rất nhanh trong việc tìm số điểm cực trị hàm hợp. Trong
sáng kiến tôi đưa ra “Sử dụng hiệu quả phương pháp ghép trục để giải
nhanh các bài tập về tìm số điểm cực trị của hàm hợp, giúp học sinh giải
nhanh các bài tập về tìm số điểm cực trị của hàm hợp – phần 1” với kĩ
thuật ghép trục sẽ giúp học sinh hạn chế được việc phải tính tốn nhiều, bài
tốn đặc biệt cịn rất hiệu quả trong tình huống các em không nhớ hết các
các bước làm của phương pháp truyền thống, vẫn giải quyết được bài toán
rất nhanh, đáp ứng được u cầu của mơn tốn học hiện nay. Từ việc giải
quyết được các bài toán hiệu quả, cải thiện được điểm số sẽ giúp các em có
hứng thú học tập bộ mơn tốn học hơn.
3. KẾT LUẬN.
3.1.Kết quả nghiên cứu.
2

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

19


SKKN năm 2021

Bằng các phương pháp nghiên cứu khoa học như: Phân tích lí thuyết,
tổng hợp tài liệu, điều tra cơ bản, tổng kết kinh nghiệm sư phạm và sử dụng
một số phương pháp thống kê toán học trong việc phân tích thực nghiệm sư
phạm… Trong sáng kiến đã trình bày “Sử dụng hiệu quả phương pháp ghép
trục để giải nhanh các bài tập về tìm số điểm cực trị của hàm hợp, giúp học

sinh giải nhanh các bài tập về tìm số điểm cực trị của hàm hợp – phần 1”
giúp học sinh vận dụng thành thạo và phát huy tối đa thế mạnh của phương
pháp giải nhanh, đặc biệt trong những tình huống cho hàm hợp phức tạp.
* Kết quả thực nghiệm.
- Đối tượng thực nghiệm:Học sinh trường THPT Thạch Thành III.
- Cách thức thực hiện: Cho HS làm bài tập trắc nghiệm sau khi dạy.
Điểm từ 5
Điểm từ 6,5
Ghi
Điểm dưới 5
Điểm trên 8
đến dưới 6,5
đến dưới 8
chú
Lớp Sĩ số
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12A3
41
2
4,9
14
34,1
15

36,6
10
24,4
12A4
43
9
20,9
16
37,2
12
27,9
6
14
Biểu đồ thể hiện kết quả bài kiểm tra trắc sau khi áp dụng SKKN vào
lớp 12A3 và lớp 12A4.
Lớp 12A3

Lớp 12A4

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

20


SKKN năm 2021

Thông qua kết quả thực nghiệm đã bước đầu khẳng định được tính đúng
đắn của phương pháp mà sáng kiến đưa ra.
3.2. Kiến nghị và đề xuất
3.2.1. Đối với sở giáo dục.

Thường xuyên tổ chức cho giáo viên tham gia các lớp tập huấn về dạy
học, giáo dục.
Đưa các sáng kiến kinh nghiệm đạt hiệu quả cao vào áp dụng trong các
nhà trường.
3.2.2. Đối với nhà trường:
Có thêm nhiều sách tham khảo, và tạo điều kiện cho các em mượn sách
về nhà.
Tăng cường bổ sung, hoàn thiện cơ sở vật chất, phương tiện, công nghệ
- thông tin nhằm hỗ trợ đắc lực cho quá trình đổi mới dạy học; tạo điều kiện
thuận lợi, ủng hộ tích cực cho sự chủ động sáng tạo của giáo viên và học sinh.
3.2.3. Đối với địa phương, gia đình:
Gia đình cần quan tâm đến việc học hành của con cái mình nhiều hơn,
Cần giành nhiều thời gian giám sát việc học ở nhà của các em. Cần mua sắm
sách vở, đồ dùng học tập cần thiết và đầy đủ cho các em.
Với những điều tơi trình bày ở trên thật ra là quá trình vừa giảng dạy,
vừa học hỏi, vừa áp dụng trong thực tế. Vì điều kiện thời gian và khả năng có
hạn, chắc chắn đề tài sẽ có phần chưa thỏa đáng, bản thân tơi mong được góp
ý bổ sung của sở giáo dục và các bạn đồng nghiệp. Hy vọng đề tài của tôi
được phổ biến rộng trong nhà trường để các bạn đồng nghiệp có thể xem là tài
liệu tham khảo.

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

21


SKKN năm 2021

XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ
Phó hiệu trưởng

Thanh Hóa, ngày 18 tháng 5 năm 2021
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người
khác.
Người thực hiện

Đỗ Duy Thành

Phạm Thị Liên

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

22


SKKN năm 2021

DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SKKN ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
CẤP SỞ GD&ĐT CÔNG NHẬN
STT

Tên SKKN

1

Đưa một số bài tốn vào dạy trong
bài phương trình đường thẳng
trong khơng gian, giúp học sinh
trường THPT Thạch Thành 4 học

tốt phần viết phương trình đường
thẳng trong khơng gian.

2

Sở
Hướng dẫn học sinh biết cách khai
GD&ĐT
thác và mở rộng nhiều cách giải
2013-2014
cho một số bài tốn khá đơn giản
Thanh
trong SGK tốn 10.
Hóa

3

Hướng dẫn học sinh biết cách sử
dụng cấp số cộng, cấp số nhân để
xây dựng phương pháp tìm cơng
thức của một số dạng dãy số có
cơng thức truy hồi đặc biệt nhằm
củng cố và nâng cao kiến thức về
dãy số cho học sinh lớp 11.

4

“Phát huy tính tích cực, chủ động,
Sở
sáng tạo của học sinh trong học tập

GD&ĐT
mơn tốn thơng qua bài dạy “Bài
3 tiết 26 - Bài tập ứng dụng định
2016-2017 Thanh
Hóa
lý sin và cosin - Hình học 10 ban
cơ bản” bằng việc tích hợp một số
kiến thức thực tiễn’’

5

“ Nâng cao hiệu quả giảng dạy
Sở
trong bài “Hệ trục toạ độ - Hình
GD&ĐT
học 10 ban cơ bản” bằng việc tích
Thanh
hợp một số kiến thức của các mơn
Hóa
học khác, giúp học sinh hứng thú 2017-2018
hơn , nâng cao tính tích cực, chủ
động sáng tạo của học sinh trong
học tập mơn Tốn ở trường THPT
Thạch Thành 4”

Phạm Thị Liên – THPT Thạch Thành 3

Năm học

Cấp

đáng giá
xếp loại
Sở
GD&ĐT

2012-2013

Thanh
Hóa

Xếp loại

C

C

Sở
GD&ĐT
2014-2015

Thanh
Hóa

C

C

C

23