Bo De Tuyen Sinh Vao 10 co dap an

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Bài tập phần rút gọn Baøi 1 : P = 14  6 5  14  6 5 .  x 2 x  2  x 1   . x  2 x  1 x  1  x  Q=. 1) §¬n gi¶n biÓu thøc :. 2) Cho biÓu thøc : a) Rút gọn biểu thức Q. b) Tìm x để | Q | > - Q. c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.. Híng dÉn : 1. P = 6 2. a) §KX§ : x > 0 ; x  1. BiÓu thøc rót gän : Q =. 2 . x −1. b) | Q | > - Q ⇔ x > 1. c) x = { 2;3 } th× Q Z 1 Baøi 2 : Cho biÓu thøc P = x  1 a) Rót gän biÓu thøc sau P.. . x x x. 1 b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P khi x = 2 . Híng dÉn : x+ 1 a) §KX§ : x > 0 ; x  1. BiÓu thøc rót gän : P = . 1−x 1 √2 b) Víi x = 2 th× P = - 3 – 2 . x √ x +1 x −1 − Baøi 3 : Cho biÓu thøc : A = x−1 √ x +1 a) Rót gän biÓu thøc sau A. 1 b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A khi x = 4 c) Tìm x để A < 0. d) Tìm x để | A | = A. Híng dÉn : √x . a) §KX§ : x  0, x  1. BiÓu thøc rót gän : A = √x− 1 1 b) Víi x = th× A = - 1. 4 c) Víi 0 x < 1 th× A < 0. d) Víi x > 1 th× | A | = A. 1  3   1    1  a 3  a Baøi 4 : Cho biÓu thøc : A =  a  3 a) Rót gän biÓu thøc sau A. 1 b) Xác định a để biểu thức A > . 2 Híng dÉn :.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> a) §KX§ : a > 0 vµ a 9. BiÓu thøc rót gän : A = 1 . 2. b) Víi 0 < a < 1 th× biÓu thøc A >. 2 . √a+ 3.  x  1 x  1 x 2  4x     x  1 x 1 x2  1  Baøi 5 : Cho biÓu thøc: A= 1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa. 2) Rót gän A. 3) Với x  Z ? để A  Z ? Híng dÉn : a) §KX§ : x ≠ 0 ; x ≠ ± 1. x +2003 b) BiÓu thøc rót gän : A = víi x ≠ 0 ; x ≠ ± x c) x = - 2003 ; 2003 th× A  Z .. 1  x  2003 . x  .. 1.. . .  x x  1 x x 1  2 x  2 x 1   : x 1 x x x  x   A= .. Baøi 6 : Cho biÓu thøc: a) Rót gän A. b) Tìm x để A < 0. c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.. Híng dÉn : √ x+1 . a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiÓu thøc rót gän : A = √x− 1 b) Víi 0 < x < 1 th× A < 0. c) x = { 4 ; 9 } th× A Z.  x2 x 1  x1     : 2 x x  1 x  x  1 1  x  Baøi 7 : Cho biÓu thøc: A =  a) Rót gän biÓu thøc A. b) Chøng minh r»ng: 0 < A < 2. Híng dÉn : 2 a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiÓu thøc rót gän : A = x + √ x+ 1 b) Ta xÐt hai trêng hîp : 2 +) A > 0 ⇔ > 0 luôn đúng với x > 0 ; x ≠ 1 (1) x + √ x+1 2 +) A < 2 ⇔ < 2 ⇔ 2( x+ √ x +1 ) > 2 ⇔ x+ √ x x + √ x+ 1 0. (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra 0 < A < 2(®pcm). a 3 Baøi 8 : Cho biÓu thøc: P = a  2 a) Rót gän P. b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi a = 9.. . a1 a 2. . 4 a 4 4  a (a  0; a  4). Híng dÉn : 4 a) §KX§ : a  0, a 4. BiÓu thøc rót gän : P = √a − 2 b) Ta thÊy a = 9 §KX§ . Suy ra P = 4. > 0 đúng vì theo gt thì x >.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>  a  a  a a   1    1   a 1   a  1   N=. Baøi 9 : Cho biÓu thøc: 1) Rót gän biÓu thøc N. 2) Tìm giá trị của a để N = -2004.. Híng dÉn :   a) §KX§ : a 0, a 1. BiÓu thøc rót gän : N = 1 – a . b) Ta thÊy a = - 2004 §KX§ . Suy ra N = 2005. Baøi 10 : Cho biÓu thøc. P=. x √ x+ 26 √ x −19 2 x x −3 − √ +√ x +2 √ x − 3 √ x − 1 √ x +3. a. Rót gän P. b. TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x=7 − 4 √ 3 c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó. Híng dÉn : x+16 P= a ) §KX§ : x  0, x 1. BiÓu thøc rót gän : √ x+3 103+3 √ 3 b) Ta thÊy x=7 − 4 √ 3 §KX§ . Suy ra P= 22 c) Pmin=4 khi x=4. Baøi 11 : Cho biÓu thøc. P=. ( √2x√+3x + √√x +3x − 3xx+−93 ) :( 2√√xx−3−2 − 1). 1 c. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P. 2 Híng dÉn : −3 a. ) §KX§ : x  0, x 9. BiÓu thøc rót gän : P= √ x+3 1 b. Víi 0 ≤ x <9 th× P<− 2 c. Pmin= -1 khi x = 0 a. Rót gän P.. b. Tìm x để.  a 1   a1  Bµi 12: Cho A= a. Rót gän A b. TÝnh A víi a =. 4. P<−.   a1 1   4 a  .  a   a 1 a   víi x>0 ,x 1. . 15 .. 10 . . 6 .. 4  15. . ( KQ : A= 4a )  x 3 x   9 x x3 x  2  1  :      x 9 x 2 x  3    x x  6 Bµi 13: Cho A=  víi x 0 , x 9, x 4 . a. Rót gän A. b. x= ? Th× A < 1. c. Tìm x  Z để A  Z 3 (KQ : A= x  2 ) 15 x  11 3 x  2 2 x  3   x  2 x  3 1  x x  3 víi x 0 , x 1. Bµi 14: Cho A =.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> a. b. c.. Rót gän A. T×m GTLN cña A. 1 Tìm x để A = 2. 2 5 x 2 d. CMR : A 3 . (KQ: A = x  3 ) x2 x 1 1   Bµi 15: Cho A = x x  1 x  x  1 1  x víi x 0 , x 1. a . Rót gän A. x x  x 1 ) b. T×m GTLN cña A . ( KQ : A = 1 3 2   Bµi 16: Cho A = x  1 x x  1 x  x  1 víi x 0 , x 1. a . Rót gän A. b. CMR : 0  A 1 ( KQ : A = x x  x 1 ) .  x 5 x   25  x x 3 x  5  1  :      x  25 x  2 x  15 x 5 x  3     Bµi 17: Cho A = a. Rót gän A. b. Tìm x  Z để A  Z ( KQ : A = 5 x 3 ) 2 a 9  a  5 a  6 Bµi 18: Cho A = a. Rót gän A. b. Tìm a để A < 1. a  3 2 a 1  a  2 3 a. c. Tìm a  Z để A  Z. víi a 0 , a 9 , a 4.. ( KQ : A =. a 1 a 3).  x  x 7 1   x 2 x 2 2 x      :   x 4 x  2  x  2 x  2 x  4   Bµi 19: Cho A= víi x > 0 , x 4. a. Rót gän A. x 9 1 b. So s¸nh A víi A ( KQ : A = 6 x ) 3 3  x y x  y   :   x y y x   Bµi20: Cho A =  a. Rót gän A.. . x. y. . 2.  xy. x y. víi x 0 , y 0, x  y.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> xy ( KQ : A = x . b. CMR : A 0. xy  y ). x x  1 x x 1  1   x 1 x  1   x     .  x x x x  x  x1 x 1  Bµi 21 : Cho A = a. Rót gän A.. . Víi x > 0 , x 1.. . 2 x  x 1 b. Tìm x để A = 6 ( KQ : A =   x 4 3   x 2   :   x x 2 x  2   x  Bµi 22 : Cho A =  a. Rót gän A b. TÝnh A víi x = 6  2 5 (KQ: A = 1 . . . x. ). x   x  2 . víi x > 0 , x 4.. x). 1   1 1  1  1     :  Bµi 23 : Cho A=  1  x 1  x   1  x 1  x  2 x víi x > 0 , x 1. a. Rót gän A 3 b. TÝnh A víi x = 6  2 5 (KQ: A = 2 x )  2 x 1 1   x4     :  1   3 x  1   x  x 1  x  1  Bµi 24 : Cho A= víi x 0 , x 1. a. Rót gän A. x b. Tìm x  Z để A  Z (KQ: A = x  3 )  1   1 2 x 2 2      :   x 1 x x  x  x  1   x  1 x  1   Bµi 25: Cho A= víi x 0 , x 1. a. Rót gän A. b. Tìm x  Z để A  Z x1 c. Tìm x để A đạt GTNN . (KQ: A = x  1 )  2 x x 3x  3   2 x  2     1   : x 3 x  3 x  9   x  3   víi x 0 , x 9 Bµi 26 : Cho A = . a. Rót gän A. 1 b. Tìm x để A < - 2 3 ( KQ : A = a  3 )  x 1 x  1 8 x   x  x 3      :  x  1 x  1 x  1 x  1   Bµi 27 : Cho A =  a. Rót gän A. 1   x  1 . víi x 0 , x 1..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> b. TÝnh A víi x = 6  2 5 c . CMR : A 1. Bµi 28 :. 1  x 1  1   : x  1  x  2 x 1 Cho A =  x  x a.. Bµi 29 :. (KQ:. Rót gän A b.So s¸nh A víi 1. (KQ:. 4 x A= x4 ). víi x > 0 , x 1. x1 x ) A=.  x1 1 8 x   3 x  2 1     :  1   x  0, x  9 x  1 3 x  1 3 x 1   3 x  1  Víi 9 Cho A =  a. Rót gän A. 6 b. Tìm x để A = 5 c. Tìm x để A < 1. x x ( KQ : A = 3 x  1 ).  x 2 x  2  x 2  2 x 1    . x  1 2 x  2 x  1  Bµi30 : Cho A =  a. Rót gän A. b. CMR nÕu 0 < x < 1 th× A > 0 c. TÝnh A khi x =3+2 2. víi x 0 , x 1.. d. T×m GTLN cña A (KQ: A = x (1  x ) )  x2 x 1  x1    : 2 x x  1 x  x  1 1  x   Bµi 31 : Cho A = víi x 0 , x 1. a. Rót gän A. 2 A = x  x 1 ). Bµi 32 :. b. CMR nÕu x 0 , x 1 th× A > 0 , (KQ: 4 1  x 2 x   1 : x 1 x  1 x  1   Cho A = víi x > 0 , x 1, x 4. a. Rót gän. 1 b. Tìm x để A = 2  x 1 x  2 x  3   x  3 2      :   x 1   x 1 x1 x 1  Bµi 33 : Cho A =  víi x 0 , x 1. a. Rót gän A. b. TÝnh A khi x= 0,36 c. Tìm x  Z để A  Z.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>  x   x 3 x 2 x 2     1   :   1  x   x  2 3  x x  5 x  6   Bµi 34 : Cho A= víi x 0 , x 9 , x 4. a. Rót gän A. b. Tìm x  Z để A  Z c. Tìm x để A < 0. (KQ:. A=. x 2 x 1 ). BAØI TAÄP PHAÀN HAØM SOÁ BAÄC NHAÁT Baøi 1 : 1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4). 2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành. Híng dÉn : 1) Gọi pt đờng thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b. ¿ ⇔ 2=a+ b a=3 Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) ta có hệ pt : − 4=−a+ b b=−1 ¿{ ¿{ ¿ Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = 3x – 1 2) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1 ; Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 . 3 Baøi 2 : Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 3. 1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến. 2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. 3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x – 1 đồng quy. Híng dÉn : 1) Hµm sè y = (m – 2)x + m + 3 ⇔ m – 2 < 0 ⇔ m < 2. 2) Do đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. Suy ra : x= 3 ; y = 0 3 Thay x= 3 ; y = 0 vào hàm số y = (m – 2)x + m + 3, ta đợc m = . 4 ¿ y=− x+2 3) Giao điểm của hai đồ thị y = -x + 2 ; y = 2x – 1 là nghiệm của hệ pt : y=2 x − 1 ¿{ ¿ ⇔ (x;y) = (1;1). Để 3 đồ thị y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + 2 và y = 2x – 1 đồng quy cần : (x;y) = (1;1) lµ nghiÖm cña pt : y = (m – 2)x + m + 3. −1 Víi (x;y) = (1;1) ⇒ m = 2 Baøi 3 : Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 3. 1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1. 2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4). 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m. Híng dÉn : 1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m – 1 = - 2 ⇔ m = -1. Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1. 2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + 3. Ta đợc : m = -3. Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4)..

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có ¿ x 0 =1 y 0=2 ¿{ ¿. y0 = (m – 1)x0 + m + 3 ⇔ (x0 – 1)m - x0 - y0 + 3 = 0 ⇔ Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2).. Baøi4 : Cho hai ®iÓm A(1 ; 1), B(2 ; -1). 1) Viết phơng trình đờng thẳng AB. 2) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2). Híng dÉn : 1) Gọi pt đờng thẳng AB có dạng : y = ax + b. Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 1) và (2 ;-1) ta có hệ pt :. ¿ 1=a+ b −1=2a+ b ¿{ ¿. ⇔ a=−2 b=3 ¿{. Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = - 2x + 3. 2) Để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng thời đi qua ¿ 2 m − 3 m=−2 ®iÓm C(0 ; 2) ta cÇn : m2 − 2m+2=2 ⇔ m = 2. ¿{ ¿ Vậy m = 2 thì đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng thời đi qua ®iÓm C(0 ; 2) Baøi 5 : Cho hµm sè y = (2m – 1)x + m – 3. 1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5) 2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định Êy. 3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2  1 . Híng dÉn : 1) m = 2. 2) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có. y0 = (2m – 1)x0 + m - 3 ⇔ (2x0 + 1)m - x0 - y0 - 3 = 0 ⇔. Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (. −1 −5 ). ; 2 2. Baứi 6 : Tìm giá trị của k để các đờng thẳng sau : 6 x 4x  5 y= 4 ;y= 3 vµ y = kx + k + 1 c¾t nhau t¹i mét ®iÓm.. ¿ −1 x0 = 2 −5 y 0= 2 ¿{ ¿. Baứi 7 : Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b. Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A(1; 3) vµ B(-3; -1)..

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Baøi 8 : Cho hµm sè : y = x + m (D). Tìm các giá trị của m để đờng thẳng (D) : 1) §i qua ®iÓm A(1; 2003). 2) Song song với đờng thẳng x – y + 3 = 0.. Chủ đề :. Ph¬ng tr×nh – bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Çn HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt 2 Èn .. A. kiÕn thøc cÇn nhí : 1. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt : ax + b = 0. Ph¬ng ph¸p gi¶i : + NÕu a ≠ 0 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt : x =. −a . b. + NÕu a = 0 vµ b ≠ 0 ⇒ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. + NÕu a = 0 vµ b = 0 ⇒ ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm. ¿ ax + by = c 2. HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn : a'x + b'y =c' ¿{ ¿ Ph¬ng ph¸p gi¶i : Sö dông mét trong c¸c c¸ch sau : +) Ph¬ng ph¸p thÕ : Tõ mét trong hai ph¬ng tr×nh rót ra mét Èn theo Èn kia , thÕ vµo ph¬ng tr×nh thø 2 ta đợc phơng trình bậc nhất 1 ẩn. +) Phơng pháp cộng đại số : - Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho một ẩn nào đó của hệ có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau). - Trừ hoặc cộng vế với vế để khử ẩn đó. - Gi¶i ra mét Èn, suy ra Èn thø hai. B. VÝ dô minh häa : VÝ dô 1 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau ®©y : x x a) §S : §KX§ : x ≠ 1 ; x ≠ - 2. S = { 4 } . + =2 x-1 x+2 2x3 - 1 b) =2 x 3 + x +1 Gi¶i : §KX§ : x 3+ x +1 ≠ 0. (*) −3 2x3 - 1 Khi đó : = 2 ⇔ 2x = - 3 ⇔ x = 3 2 x + x +1 −3 −3 3 −3 Víi ⇔ x = thay vµo (* ) ta cã ( ) + +1≠0 2 2 2 −3 VËy x = lµ nghiÖm. 2 VÝ dô 2 : Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh theo m : (m – 2)x + m2 – 4 = 0 (1) + NÕu m 2 th× (1) ⇔ x = - (m + 2). + NÕu m = 2 th× (1) v« nghiÖm. VÝ dô 3 : T×m m Z để phơng trình sau đây có nghiệm nguyên . (2m – 3)x + 2m2 + m - 2 = 0. Gi¶i : 4 Ta cã : víi m Z th× 2m – 3 0 , v©y ph¬ng tr×nh cã nghiÖm : x = - (m + 2) . 2m - 3 để pt có nghiệm nguyên thì 4 ⋮ 2m – 3 . Giải ra ta đợc m = 2, m = 1..

<span class='text_page_counter'>(10)</span> VÝ dô 3 : T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh : 7x + 4y = 23. Gi¶i : 23 - 7x x−1 a) Ta cã : 7x + 4y = 23 ⇔ y = = 6 – 2x + 4 4 V× y Z ⇒ x – 1 ⋮ 4. Giải ra ta đợc x = 1 và y = 4. BAØI TAÄP PHAÀN HEÄ PHÖÔNG TRÌNH Baøi 1 : Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 2x  3y  5  a)   3x  4y 2 b).  x  4y 6 2x  y 3  x  y 1    5  y  4x  4x  3y 5  c) d)  x  y 5 5 2   x x  y 2   2x  4 0  3  1 1, 7   e)  4x  2y  3 f)  x x  y Baøi 2 : Cho hÖ ph¬ng tr×nh : mx  y 2  x  my 1 1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m. 2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1. 3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Híng dÉn : Baøi 3 : Cho hÖ ph¬ng tr×nh: x  2y 3  m  2x  y 3(m  2) 1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi thay m = -1. 2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất. Baøi 4 : Cho hÖ ph¬ng tr×nh: (a  1)x  y a   x  (a  1)y 2 cã nghiÖm duy nhÊt lµ (x; y). 1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a. 2) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a tho¶ m·n 6x2 – 17y = 5. 2x  5y 3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức x  y nhận giá trị nguyên. Baøi 5 : Cho hÖ ph¬ng tr×nh: x  ay 1 (1)  ax  y 2 1) Gi¶i hÖ (1) khi a = 2. 2) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt.. mx  y n  Baứi 6 : Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phơng trình  nx  my 1  1; 3 cã nghiÖm lµ .. . .

<span class='text_page_counter'>(11)</span>  a  1 x  y 4  ax  y 2a. Baøi 7 : Cho hÖ ph¬ng tr×nh (a lµ tham sè). 1) Gi¶i hÖ khi a = 1. 2) Chøng minh r»ng víi mäi a hÖ lu«n cã nghiÖm duy nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x + y  2. ¿ x - ( m + 3)y = 0 Baøi 8 (trang 22): Cho hÖ ph¬ng tr×nh : (m - 2)x + 4y = m - 1 (m lµ tham sè). ¿{ ¿ a) Gi¶i hÖ khi m = -1. b) Gi¶i vµ biÖn luËn pt theo m. ¿ x - my=0 Baøi 9 : (trang 24): Cho hÖ ph¬ng tr×nh : mx − 4y = m + 1 (m lµ tham sè). ¿{ ¿ a) Gi¶i hÖ khi m = -1. b) Tìm giá trị nguyên của m để hệ có hai nghiệm nguyên. c) Xaùc ñònh moïi heä coù nghieäm x > 0, y > 0. Bài 10 (trang 23): Một ôtô và một xe đạp chuyển động đi từ 2 đầu một đoạn đường sau 3 giờ thì gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một điểm thì sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km. Tính vaän toác cuûa moãi xe. HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h . Vận tốc ôtô : 40 km/h. Bài 11 : (trang 24): Một ôtô đi từ A dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì sẽ đến B lúc 2 giờ chiều. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B lúc 11 giờ trưa. Tính độ quảng đường AB và thời diểm xuất phát tại A. Đáp số : AB = 350 km, xuất phát tại A lúc 4giờ sáng. 4 Bài 12 : (trang 24): Hai vòi nước cùng chảy vào một cài bể nước cạn, sau 4 5 giờ thì đầy bể. 6 Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất, sau 9 giờ mở vòi thứ hai thì sau giờ nữa mới nay bể . Nếu 5 một mình vòi thứ hai chảy bao lâu sẽ nay bể. Đáp số : 8 giờ. Bài 13 : (trang 24): Biết rằng m gam kg nước giảm t 0C thì tỏa nhiệt lượng Q = mt (kcal). Hỏi phải dùng bao nhiêu lít 1000C và bao nhiêu lít 200C để được hỗn hợp 10 lít 400C. Hường dãn : ¿ ¿ x + y = 10 x = 2,5 ⇔ y = 7,5 Ta coù heä pt : 100x + 20y = 400 ¿{ ¿{ ¿ ¿ Vậy cần 2,5 lít nước sôi và 75 lít nước 200C. Bài 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dịch axít thì dung dịch mới có nồng độ 50%. Lại thêm 300g nước vào dung dịch mới được dung dịch axít có nồng độ 40%. Tính nồng độ axít trong dung dịch ban đầu. Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y là khối lượng dung dịch ban đầu..

<span class='text_page_counter'>(12)</span> ¿ ( x + 200) .100 %=50 % y + 200 ⇔ ( x+ 200) Theo baøi ra ta coù heä pt : .100 %=40 % y + 500 ¿{ ¿ Vậy nồng độ phần trăm của dung dịch axít ban đầu là 40%.. ¿ x =400 y = 1000 ¿{ ¿. Ph¬ng tr×nh bËc hai định lý viet và ứng dụng A.Kiến thức cần ghi nhớ 1. Để biện luận sự có nghiệm của phương trình : ax 2 + bx + c = 0 (1) trong đó a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xét 2 trường hợp a) Nếu a= 0 khi đó ta tìm được một vài giá trị nào đó của m ,thay giá trị đó vào (1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nhất nên có thể : - Có một nghiệm duy nhất - hoặc vô nghiệm - hoặc vô số nghiệm b)Nếu a 0 Lập biệt số Δ = b2 – 4ac hoặc Δ / = b/2 – ac * Δ < 0 ( Δ / < 0 ) thì phương trình (1) vô nghiệm b * Δ = 0 ( Δ / = 0 ) : phương trình (1) có nghiệm kép x1,2 = 2a ❑ b (hoặc x1,2 = ) a * Δ > 0 ( Δ / > 0 ) : phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: − b −√ Δ − b+ √ Δ x1 = ; x2 = 2a 2a ❑ ❑ − b −√ Δ − b❑+ √ Δ❑ (hoặc x1 = ; x2 = ) a a 2. Định lý Viét. Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) thì b S = x 1 + x2 = a c p = x1x2 = a Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thì hai số đó là nghiệm (nếu cã ) cña ph¬ng tr×nh bËc 2: x2 – S x + p = 0 3.DÊu cña nghiÖm sè cña ph¬ng tr×nh bËc hai. Cho ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) . Gäi x1 ,x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh .Ta cã c¸c kÕt qu¶ sau: ⇔ p = x1x2 < 0 ¿ Δ≥0 p>0 Hai nghiÖm cïng d¬ng( x1 > 0 vµ x2 > 0 ) ⇔ S> 0 ¿{{ ¿ x1 vµ x2 tr¸i dÊu ( x1 < 0 < x2 ).

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Hai nghiÖm cïng ©m (x1 < 0 vµ x2 < 0) ⇔. ¿ Δ≥ 0 p>0 S< 0 ¿{{ ¿. ¿ Δ> 0 p=0 Mét nghiÖm b»ng 0 vµ 1 nghiÖm d¬ng( x2 > x1 = 0) ⇔ S> 0 ¿{{ ¿ ¿ Δ> 0 p=0 Mét nghiÖm b»ng 0 vµ 1 nghiÖm ©m (x1 < x2 = 0) ⇔ S< 0 ¿{{ ¿ 4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét a)TÝnh nhÈm nghiÖm. XÐt ph¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0 (a. 0) c a. . NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = 1 , x2 =. . NÕu a – b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = -1 , x2 = -. . NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn vµ x1 = m , x2 = n hoÆc x1 = n , x2 = m. c a Δ ≥ 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm. b) LËp ph¬ng tr×nh bËc hai khi biÕt hai nghiÖm x1 ,x2 cña nã C¸ch lµm : - LËp tæng S = x1 + x2 - LËp tÝch p = x1x2 - Ph¬ng tr×nh cÇn t×m lµ : x2 – S x + p = 0 c)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc 2 có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện cho trớc. (Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến đổi): *) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p *) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p *) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp *) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 x +x S *) 1 + 1 = 1 2 = p x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 x1 + x2 *) = S −2 p + = x2 x1 x1 x2 p *) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2 x + x −2 a 1 1 S − 2a *) + = 1 2 = x 1 −a x2 −a (x 1 − a)( x2 −a) p − aS+a2 (Chó ý : c¸c gi¸ trÞ cña tham sè rót ra tõ ®iÒu kiÖn cho tríc ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Δ≥ 0 ) d)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai có một nghiệm x = x1 cho trớc .Tìm nghiệm thø 2 C¸ch gi¶i:  Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm +) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm: Δ ≥ 0 (hoÆc Δ❑ ≥ 0 ) (*) - Thay x = x1 vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá trị của tham sè - Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*) 2. 2.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> để kết luận +) C¸ch 2: - Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn Δ≥ 0 (hoÆc Δ❑ ≥ 0 ) mµ ta thay lu«n x = x1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số - Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và gi¶i ph¬ng tr×nh Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã cho mà phơng trình bậc hai này có Δ < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x1 cho trớc.  §ª t×m nghiÖm thø 2 ta cã 3 c¸ch lµm +) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình (nh cách 2 trình bÇy ë trªn) +) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm đợc nghiệm thứ 2 +) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm đợc nghiệm thø 2 B . Bµi tËp ¸p dông Bµi 1: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh : x2 – 2(m + 1) +2m+10 = 0 Gi¶i. Ta cã Δ❑ = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – 9 + Nếu Δ❑ > 0 ⇔ m2 – 9 > 0 ⇔ m < - 3 hoặc m > 3 .Phơng trình đã cho có 2 nghiệm ph©n biÖt: x1 = m + 1 - √ m2 −9 x2 = m + 1 + √ m2 −9 + NÕu Δ❑ = 0 ⇔ m = ± 3 - Víi m =3 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x1.2 = 4 - Víi m = -3 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x1.2 = -2 + NÕu Δ❑ < 0 ⇔ -3 < m < 3 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm KÕt kuËn:  Víi m = 3 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 4  Víi m = - 3 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = -2  Víi m < - 3 hoÆc m > 3 th× ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt . x1 = m + 1 - √ m2 −9 x2 = m + 1 + Víi -3< m < 3 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. √ m2 −9. Bµi 2: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh: (m- 3) x2 – 2mx + m – 6 = 0 Híng dÉn  Nếu m – 3 = 0 ⇔ m = 3 thì phơng trình đã cho có dạng 1 2 * NÕu m – 3 0 ⇔ m 3 .Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18 - NÕu Δ❑ = 0 ⇔ 9m – 18 = 0 ⇔ m = 2 .ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp ❑ x1 = x2 = - b = 2 =-2 a 2 −3 - NÕu Δ❑ > 0 ⇔ m >2 .Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,2 = m± 3 √ m −2 m −3 - NÕu Δ❑ < 0 ⇔ m < 2 .Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm KÕt luËn: 1 Víi m = 3 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 2 Víi m = 2 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = x2 = -2 Víi m > 2 vµ m 3 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1,2 = m± 3 √ m −2 m −3 Víi m < 2 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm - 6x – 3 = 0. ⇔ x=-. Δ❑ =.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Bµi 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch nhÈm nhanh nhÊt a) 2x2 + 2007x – 2009 = 0 b) 17x2 + 221x + 204 = 0 c) x2 + ( √ 3− √ 5 )x - √ 15 = 0 d) x2 –(3 - 2 √ 7 )x - 6 √ 7 = 0 Gi¶i a) 2x2 + 2007x – 2009 = 0 cã a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) = 0 c − 2009 VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = 1 , x2 = = a 2 b) 17x2 + 221x + 204 = 0 cã a – b + c = 17 – 221 + 204 = 0 VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = -1 , c 204 x2 = = - 12 =− a 17 c) x2 + ( √ 3− √ 5 )x - √ 15 = 0 cã: ac = - √ 15 < 0 . Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ thức Viet ta có : x1 + x2 = -( √ 3− √ 5 ) = - √ 3 + √ 5 x1x2 = - √ 15 = (- √ 3 ) √ 5 VËy ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm lµ x1 = - √ 3 , x2= √ 5 (hoÆc x1 = √ 5 , x2 = - √ 3 ) d ) x2 –(3 - 2 √ 7 )x - 6 √ 7 = 0 cã : ac = - 6 √ 7 < 0 Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ thức Viét ,ta có ¿ x1 + x2= 3 - 2 √ 7 x 1 x 2 = - 6 √7= 3(-2 √7) ¿{ ¿ VËy ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 = 3 , x2 = - 2. √7. Bµi 4 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸nh nhÈm nhanh nhÊt (m lµ tham sè) a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 Híng dÉn : a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 cã a + b + c = 1 + 3m – 5 – 3m + 4 = 0 Suy ra : x1 = 2 m+1 HoÆc x2 = 3 b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 (*) * m- 3 = 0 ⇔ m = 3 (*) trë thµnh – 4x – 4 = 0 ⇔ x = - 1 ⇔ x 1=−1 ¿ 2 m− 2 *m–3 0 ⇔ m 3 (*) x 2= m −3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Bµi 5: Gäi x1 , x2 lµ c¸c nghÞªm cña ph¬ng tr×nh : x2 – 3x – 7 = 0 a) TÝnh: A = x12 + x22 B = |x 1 − x 2|.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> C=. 1 1 + x 1 −1 x 2 − 1. D = (3x1 + x2)(3x2 + x1). 1 1 vµ x 1 −1 x 2 −1 Gi¶i ; Ph¬ng tr×nh b©c hai x2 – 3x – 7 = 0 cã tÝch ac = - 7 < 0 , suy ra ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 . Theo hÖ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = 3 vµ p = x1x2 = -7 a)Ta cã + A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = 9 – 2(-7) = 23 + (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = |x 1 − x 2| = √ S 2 − 4 p=√37 ( x1 + x 2) −2 1 1 S −2 1 + +C= = = =− x 1 −1 x 2 − 1 ( x 1 −1)( x 2 − 1) p − S +1 9 + D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2 = 10x1x2 + 3 (x12 + x22) = 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1 b)Ta cã : 1 1 1 + =− S= (theo c©u a) x 1 −1 x 2 − 1 9 1 1 1 = =− p= 9 ( x 1 −1)( x 2 − 1) p − S +1 1 1 VËy vµ lµ nghiÖm cña h¬ng tr×nh : x 1 −1 x 2 −1 1 1 X2 – SX + p = 0 ⇔ X2 + X= 0 ⇔ 9X2 + X - 1 = 0 9 9 b) lËp ph¬ng tr×nh bËc 2 cã c¸c nghiÖm lµ. Bµi 6 : Cho ph¬ng tr×nh : x2 – ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k lµ tham sè) 1. Chøng minh ph¬ng tr×nh (1 ) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña k 2. Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu 3. Gọi x1 , x2 là nghệm của phơng trình (1) .Tìm k để : x13 + x23 > 0 Gi¶i. 1. Ph¬ng tr×nh (1) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai cã:. 6 9 k+ ) 5 5 3 36 )+ > 0 víi mäi gi¸ trÞ cña k. VËy 5 5. Δ = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + 9 = 5(k2 -. 3 9 36 k+ + ) = 5(k 5 25 25 ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt 2. Ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt tr¸i dÊu ⇔ p < 0 1 1 7 k+ + )<0 ⇔ - k2 + k – 2 < 0 ⇔ - ( k2 – 2. 2 4 4 1 2 7 ) < 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái ⇔ -(k 2 4 dÊu víi mäi k 3. Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) V× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi k .Theo hÖ thøc viÐt ta cã x1 + x2 = k – 1 vµ x1x2 = - k2 + k – 2  x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1) = (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)] = (k – 1) (4k2 – 5k + 7) 5 2 87 = (k – 1)[(2k ) + ] 4 16 = 5(k2 – 2..

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 5 2 87 ) + ] >0 4 16 5 2 87 ) + > 0 víi mäi k) ⇔ k – 1 > 0 ( v× (2k 4 16 ⇔ k>1 VËy k > 1 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m Bµi 7: Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m lµ tham sè) 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi m = -5 2. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm x1 , x2 ph©n biÖt víi mäi m 3. Tìm m để |x 1 − x 2| đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của phơng trình (1) nói trong phÇn 2.) Gi¶i 1. Víi m = - 5 ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh x2 + 8x – 9 = 0 vµ cã 2 nghiÖm lµ x1 = 1 , x2 = - 9 2. Cã Δ❑ = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + 1 – m + 4 = m2 + m + 5 1 1 19 1 2 19 = m2 + 2.m. + + = (m + ) + > 0 víi mäi m 2 4 4 2 4 VËy ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 3. V× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi m ,theo hÖ thøc ViÐt ta cã: x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m – 4 Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – 4 (m – 4) 1 2 19 = 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + ) + ] 2 4 1 19 m+ ¿2+ 1 1 19 = 2 4 => |x 1 − x 2| = 2 =0 ⇔ m=2 19 khi m + √ 2 2 ¿ 4 √¿ 1 Vậy |x 1 − x 2| đạt giá trị nhỏ nhất bằng √ 19 khi m = 2 Do đó x13 + x23 > 0 ⇔ (k – 1)[(2k -. √. Bµi 8 : Cho ph¬ng tr×nh (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m lµ tham sè) 9 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 2 2) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m 3) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ nghiÖm nµy gÊp ba lÇn nghiÖm kia. Gi¶i: 9 1) Thay m = vào phơng trình đã cho và thu gọn ta đợc 2 5x2 - 20 x + 15 = 0 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = 1 , x2= 3 2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phơng trình đã cho trở thành; 5x – 5 = 0 ⇔ x = 1 + NÕu : m + 2 0 => m - 2 .Khi đó phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số : Δ = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = 1 – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 > 0 Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt 2 m− 1+5 2(m− 3) m− 3 2 m+4 x1 = = x2 = 2 m− 1− 5 = =1 = 2 m+4 2(m+2) 2( m+2) 2(m+2) m+2 Tóm lại phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m 3)Theo c©u 2 ta cã m - 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp 3 lÇn nghiÖm kia ta sÐt 2 trêng hîp m−3 9 Trêng hîp 1 : 3x1 = x2 ⇔ 3 = giải ra ta đợc m = (đã giải ở câu 1) m+2 2.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Trêng hîp 2: x1 = 3x2 ®iÒu kiÖn m. ⇔ 1= 3.. m−3 m+2. ⇔ m + 2 = 3m – 9 ⇔ m =. - 2). 11 vào phơng trình đã cho ta đợc phơng trình : 2 15x2 – 20x + 5 = 0 ph¬ng tr×nh nµy cã hai nghiÖm 5 1 x1 = 1 , x2 = = (tho¶ m·n ®Çu bµi) 15 3. KiÓm tra l¹i: Thay m =. Bµi 9: Cho ph¬ng tr×nh : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) víi m lµ tham sè . 1. BiÖn luËn theo m sù cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) 2. Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu. 3. Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai. Gi¶i 3 1.+ NÕu m = 0 thay vµo (1) ta cã : 4x – 3 = 0 ⇔ x = 4 ❑ 2 + NÕu m 0 .LËp biÖt sè Δ = (m – 2) – m(m-3) = m2- 4m + 4 – m2 + 3m =-m+4 ❑ Δ < 0 ⇔ - m + 4 < 0 ⇔ m > 4 : (1) v« nghiÖm Δ❑ = 0 ⇔ - m + 4 = 0 ⇔ m = 4 : (1) cã nghiÖm kÐp ❑ x1 = x2 = - b = m−2 = 4 − 2 = 1 a m 2 2 Δ❑ > 0 ⇔ - m + 4 > 0 ⇔ m < 4: (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 = m−2 − √ − m+ 4 ; x2 = m−2+ √ − m+ 4 m m VËy : m > 4 : ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm 1 m = 4 : ph¬ng tr×nh (1) Cã nghiÖm kÐp x = 2 0 m < 4 : ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 =. m−2 − √ − m+ 4 m. ;. x2 =. m−2+ √ − m+ 4 m. 3 4 m−3 <0 ⇔ m ¿ m> 3 m<0 ¿ ¿ ¿ m<3 ⇔ ¿ m>0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿. m = 0 : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x = 2. (1) cã nghiÖm tr¸i dÊu ⇔. ⇔. ¿ m>3 Trêng hîp m<0 ¿{ ¿. c a. ¿ m− 3>0 m<0 ¿ ¿ ¿ m −3< 0 ¿ m>0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ kh«ng tho¶ m·n. <0. 11 2. (tho¶ m·n.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> ¿ m<3 Trêng hîp m>0 ⇔ 0<m<3 ¿{ ¿ 3. *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm 0 ⇔ 0 m 4 (*) (ở câu a đã có) Δ❑ - Thay x = 3 vµo ph¬ng tr×nh (1) ta cã : 9m – 6(m – 2) + m -3 = 0 ⇔ 4m = -9 ⇔ m = - §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn (*), gi¸ trÞ m = *) C¸ch 2: Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn 9 4. .Sau đó thay m = -. 9 4. ❑. Δ. 9 4. tho¶ m·n 0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm đợc m = -. vµo ph¬ng tr×nh (1) :. 9 2 9 x – 2(4 4. - 2)x -. 9 4. -3=0. ⇔ -9x2 +34x – 21 = 0. x 1=3 ¿ 7 x 2= cã Δ❑ = 289 – 189 = 100 > 0 => 9 ¿ ¿ ¿ ¿ 9 VËy víi m = th× ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm x= 3 4 *)§Ó t×m nghiÖm thø 2 ,ta cã 3 c¸ch lµm 9 Cách 1: Thay m = vào phơng trình đã cho rồi giải phơng trình để tìm đợc x2 = 4 phần trên đã làm) 9 C¸ch 2: Thay m = vµo c«ng thøc tÝnh tæng 2 nghiÖm: 4 9 2(− −2) 2( m−2) 4 34 x1 + x2 = = = m −9 9 4 34 34 7  x2 = - x1 = -3= 9 9 9. C¸ch 3: Thay m = -. 9 4. 9 4. vµo c«ng trøc tÝnh tÝch hai nghiÖm. 9 − −3 m−3 4 21 21 21 7 x1x2 = => x2 = : x1 = :3= = = m 9 9 9 9 9 − 4 Bµi 10: Cho ph¬ng tr×nh : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) víi k lµ tham sè 1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép 2. Tim k để phơng trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện : x12 + x22 = 10 Gi¶i. ❑ 1.Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp ⇔ Δ = 0 ⇔ k2 – (2 – 5k) = 0. 7 9. (Nh.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> ⇔ k2 + 5k – 2 = 0 ( cã Δ = 25 + 8 = 33 > 0 )  k1 = − 5 − √ 33 ; k2 = − 5+ √ 33 2 2 VËy cã 2 gi¸ trÞ k1 = − 5 − √ 33 hoÆc k2 = − 5+ √ 33 th× ph¬ng tr×nh (1) Cã nghiÖm kÐp. 2 2 2.Cã 2 c¸ch gi¶i. Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm: 0 ⇔ k2 + 5k – 2 0 (*) Δ❑ 2 Ta cã x1 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 Theo bµi ra ta cã (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10 b Víi ®iÒu kiÖn(*) , ¸p dông hÖ trøc vi Ðt: x1 + x2 = =¿ - 2k vµ x1x2 = 2 – 5k a VËy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 ⇔ 2k2 + 5k – 7 = 0 7 (Cã a + b + c = 2+ 5 – 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = 2 Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào Δ❑ = k2 + 5k – 2 + k1 = 1 => Δ❑ = 1 + 5 – 2 = 4 > 0 ; tho¶ m·n 7 49 35 49 −70 −8 29 + k2 = => Δ❑ = kh«ng tho¶ m·n − −2= =− 2 4 2 4 8 VËy k = 1 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m. C¸ch 2 : Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn. ❑. Δ. 0 .C¸ch gi¶i lµ: 7 Từ điều kiện x12 + x22 = 10 ta tìm đợc k1 = 1 ; k2 = (cách tìm nh trên) 2 Thay lÇn lît k1 , k2 vµo ph¬ng tr×nh (1) + Víi k1 = 1 : (1) => x2 + 2x – 3 = 0 cã x1 = 1 , x2 = 3 7 39 + Víi k2 = (1) => x2- 7x + = 0 (cã Δ = 49 -78 = - 29 < 0 ) .Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm 2 2 VËy k = 1 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m BAØI TAÄP PHAÀN PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI Baøi 1 : Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 6x + 1 = 0, gäi x1 vµ x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y tÝnh: 1) x12 + x22 x x  x2 x2 2) 1 1 x12  x 22  x1x x  x1  x 2 . . . . . x 2 x 2  1  x22 x22  1 3) 1 1 . Baøi 2 : Cho ph¬ng tr×nh: 2x2 – 5x + 1 = 0. x x  x 2 x1 TÝnh 1 2 (víi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh). Baøi 3 : Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0 1) Tìm các giá trị của m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt. 2) Tìm giá trị của m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình). Baøi 4 : Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2mx + 2m – 5 = 0. 1) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m. 2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu. 3) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để: x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8. Baøi 5 : Cho ph¬ng tr×nh:.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0. 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 0. 2) Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 vµ x2. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n 5x1 + x2 = 4. Baøi 6 : Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 4x + 1 = 0 (1) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1). 2) Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1). TÝnh B = x13 + x23. Baøi 7 : Cho ph¬ng tr×nh : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m lµ tham sè). a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm là bằng 2. Tìm nghiệm còn lại. b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13 + x23  0. Baøi 8 : Cho ph¬ng tr×nh: (m – 1)x2 + 2mx + m – 2 = 0 (*) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 1. 2) Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt. C©u9. Cho ph¬ng tr×nh (2m-1)x2-2mx+1=0 Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0) C©u 10: Ph¬ng tr×nh: ( 2m-1)x2-2mx+1=0  XÐt 2m-1=0=> m=1/2 pt trë thµnh –x+1=0=> x=1  Xét 2m-10=> m 1/2 khi đó ta có , = m2-2m+1= (m-1)20 mäi m=> pt cã nghiÖm víi mäi m Δ ta thÊy nghiÖm x=1 kh«ng thuéc (-1,0) m−m+1 1 víi m 1/2 pt cßn cã nghiÖm x= = 2 m−1 2 m− 1 1 pt cã nghiÖm trong kho¶ng (-1,0)=> -1< <0 2 m− 1 ¿ ¿ 1 2m +1> 0 >0 2 m− 1 => 2 m− 1 =>m<0 2 m−1<0 2 m− 1<0 ¿{ ¿{ ¿ ¿ VËy Pt cã nghiÖm trong kho¶ng (-1,0) khi vµ chØ khi m<0. GIẢI BAØI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Baứi 1 : Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km . Ô tô thứ nhất mỗi giờ chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ . Tính vận tốc mỗi xe ô tô . Hướng dẫn : Gọi vận tốc của ôtô thứ nhất là x (km/h. ĐK x > 0). Ta có : Vận tốc của ô tô thứ hai là : x – 10 (km/h). 300 300 =1 Do ôtô thứ nhất đến B sớm hơn ôtô thứ hai 1 giờ ta có phương trình : x -10 x Giải ra ta được: x = - 50 (loại) ; x = 60. Đáp số : Vận tốc ôtô thứ nhất : 60 km/h Vận tốc ôtô thứ hai: 50 km/h Baứi 2 : Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Sau khi đi đợc 2/3 quãng đờng với vận.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> tốc đó, vì đờng khó đi nên ngời lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10 km trên quãng đờng còn lại. Do đó ô tô đến B chậm 30 phút so với dự định. Tính quãng đờng AB. Hướng dẫn : Gọi x là quảng đường AB (Km. ĐK x > 0). 2x x x 1 + = + . Theo giả thiết của bài toán ta có phương trình : 3 . 50 3 . 40 50 2 Giải ra ta được: x = 300 (tmđk). Vậy quảng đường AB là : 300km. Baøi 3 : Hai vßi níc cïng ch¶y vµo bÓ th× sau 4 giê 48 phót th× ®Çy. Neáu ch¶y cïng mét thêi gian nh nhau thì lợng nớc của vòi II bằng 2/3 lợng nớc của vòi I chảy đợc. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao l©u ®Çy bÓ. Híng dÉn : Gäi x, y lÇn lît lµ thêi gian vßi I, vßi II ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ . ¿ 1 1 5 ¿ + = x y 24 y =12 Theo bµi ra ta cã hÖ ph¬ng tr×nh : Giải ra ta đợc : 1 3 x = 8 (tm®k) = ¿{ x 2y ¿ ¿{ ¿ §¸p sè : Vßi 1 ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ 8 giê . Vßi 2 giê ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ mÊt 12 giê. Baứi 4 : Một ô tô dự định đi từ A đền B trong một thời gian nhất định . Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ . Tính quãng đờng AB và thời gian dự định đi lúc đầu . Híng dÉn : Gäi quảng đường AB là x (km), thời gian dự định là y(giờ) ĐK : x > 0, y > 0. ¿ 35( y +2)= x Theo baøi ra ta coù heä pt : 50( y - 1) = x ¿{ ¿ suy ra : 35y + 70 = 50y -50 ⇔ y = 8 (TMÑK) Thay vào hệ ta được x = 350 (TMĐK). Đáp số : Quảng đường AB : 350 (km). Thời gian dự định đi : 8 (giờ). Baứi 5 : Quãng đờng AB dài 180 km. Cùng một lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B. Do vận tốc của ôtô thứ nhất hơn vận tốc của ôtô thứ hai là 15 km/h nên ôtô thứ nhất đến sớm hơn ôtô thứ hai 2h. TÝnh vËn tèc cña mçi «t«? Hướng dẫn : Gäi x (km) lµ vËn tèc cđa «t« thø 2. §K x > 0. 180 180 − =2 Theo gt bµi to¸n ta cã pt : x x+15 Giải ra ta đợc : x = 30 ; x = -45(loại). §¸p sè : VËn tèc «t« thø hai : 30 (km/h) VËn tèc «t« thø nh©t : 45 (km/h). Baứi 6 : Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 13 học sinh (cả nam và nữ) đã trồng đợc tất cả 80 cây. Biết rằng số cây các bạn nam trồng đợc và số cây các bạn nữ trồng đợc là bằng nhau ; mỗi bạn nam trồng đợc nhiều hơn mỗi bạn nữ 3 cây. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của tổ. Gi¶i : Gäi sè häc sinh nam lµ x (em) . §K : x nguyªn d¬ng, x 13. 40 40 − =3 ⇔ 3x2 – 119x + 520 = 0 ( √ Δ = 89) Theo gt bµi ra ta cã pt : x 13 - x 119+89 Giải ra ta đợc : x = (lo¹i) ; x = 5 (TM§K) 6 §¸p sè : Sè HS nam : 5 (em).

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Sè HS n÷ : 8 em. Baứi 7 : Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km. Một ô tô đi từ A đến B, nghỉ 90 phút ở B rồi trở lại từ B về A. Thời gian từ lúc đi đến lúc trở về là 10 giờ. Biết vận tốc lúc về kém vận tốc lóc ®i lµ 5 km/h. TÝnh vËn tèc lóc ®i cña « t«. Gi¶i : Gäi vËn tèc lóc ®i lµ x (km/h). §K : x > 5. 180 3 180 + + =10 ⇔ 17x2 – 805x + 1800 = 0 ( √ Δ = 725) Theo gt bµi ra ta cã pt : x 2 x-5 805 −725 Giải ra ta đợc : x = (lo¹i) ; x = 45 (TM§K). 34 §¸p sè : VËn tèc lóc ®i : 45 (km/h) Baứi 8 : Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km, cùng lúc đó cũng từ A một bè nứa trôi với vận tốc dòng nớc 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa trôi tại một địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô. Gi¶i : Gäi vËn tèc thùc cña can« lµ x (km/h). §K x > 4. 24 16 + =2 ⇔ 2x2 – 40x = 0 Theo gt bµi ra ta cã pt : x+4 x - 4 Giải ra ta đợc : x = 0 (loại) ; x = 20. §¸p sè : VËn tèc thùc cña can« : 20 (km/h) Baứi 9 : Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B trớc xe thứ hai 12 phút. Tính vận tèc mçi xe. Gi¶i : Gäi vËn tèc cña xe thø hai lµ x (km/h). §K x > 0. 108 108 1 − = ⇔ x2 + 6x – 3240 = 0 ( √ Δ' = 57 ) Theo gt bµi ra ta cã pt : x x+6 5 Giải ra ta đợc : x = - 60 (loại) ; x = 54. §¸p sè : VËn tèc xe thø nhÊt lµ : 60 (km/h) VËn tèc xe thø hai lµ : 54 (km/h) Baøi 11 : Theo kÕ ho¹ch, mét tæ c«ng nh©n ph¶i s¶n xuÊt 360 s¶n phÈm. §Õn khi lµm viÖc, do ph¶i điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sản phẩm. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là nh nhau. Gi¶i : Gäi x lµ sè c«ng nh©n lóc ®Çu ( c«ng nh©n). §K : x nguyªn d¬ng, x > 3. 360 360 − =4 ⇔ x2 – 3x – 270 = 0 ( √ Δ = 33 ) Theo gt bµi ra ta cã pt : x −3 x Giải ra ta đợc : x = -15 (loại) ; x =18. §¸p sè : Sè c«ng nh©n lóc ®Çu : 18 ( c«ng nh©n) Baứi 12 : Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng 120lít . Nếu đổ đầy nớc vào bình thứ nhất rồi đem rót vào hai bình kia thì hoặc bình thứ 3 đầy nớc, bình thứ 2 chỉ đợc 1/2 thể tích của nó, hoặc bình thứ 2 đầy nớc thì bình thứ 3 chỉ đợc 1/3 thể tích của nó. Tìm thể tích của mỗi bình . Gi¶i : Gäi x, y, z (lÝt) theo thø tù lµ thÓ tÝch cña ba b×nh . §K : x,y, z > 0. ¿ x + y + z = 120 ¿ 1 x = 50 x=z+ y 2 y= 40 ⇔ Theo gt bµi ra ta cã hpt : (TM§K) 1 z = 30 x=y + z ¿{{ 3 ¿ ¿{{ ¿ §¸p sè : B×nh thø nhÊt cã thÓ tÝch : 50 (lÝt) B×nh thø hai cã thÓ tÝch : 40 (lÝt) B×nh thø ba cã thÓ tÝch : 30 (lÝt).

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Baứi 13 : Hai địa điểm A, B cách nhau 56km. Lúc 6h45' một ngời đi từ A với vận tốc 10km/h. Sau 2h , một ngời đi xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h . Hỏi đến mấy giờ thì họ gặp nhau, chỗ gặp nhau c¸ch A bao nhiªu km Giải : Gọi x (giờ) là thời gian đi từ A đến C. ĐK : x > 0. Theo gt bµi ra ta cã pt : 10x + 14(x – 2) = 56 1 Giải ra ta đợc : x = 3 (TM§K). 2 §¸p sè : GÆp nhau lóc : 10h15’. C¸ch A : 35 (km). Baứi 14 : Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó ngợc từ B trở về A. Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngợc là 40'. Tính khoảng cách giữa A và B . Biết vận tốc ca nô không đổi, vËn tèc dßng níc lµ 3km/h. Giải : Gọi x (km) là quảng đờng AB. ĐK : x > 0. x 2 x + = Theo gt bµi ra ta cã pt : . 30 3 24 Giải ra ta đợc : x = 80 (TMĐK) Đáp số : Quảng đờng AB : 80 (km). Baứi 15 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50km. Sau 1h30' một ngời đi xe máy cũng từ A và đến B sớm hơn một giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2.5 lần xe đạp. Giải : Gọi x (km/h) là vận tốc ngời đi xe đạp. ĐK x > 0. 50 50 5 − = Theo gt bµi ra ta cã pt : x 2,5x 2 Giải ra ta đợc : x = 12 (TMĐK) Đáp số : Vận tốc ngời đi xe đạp : 12 (km/h). VËn tèc ngêi ®i xe m¸y : 30(km/h). Baứi 16 : Một phòng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành từng hàng và số ghế ở mỗi hàng bằng nhau. NÕu sè hµng t¨ng thªm 1 vµ sè ghÕ ë mçi hµng t¨ng thªm 1 th× trong phßng cã 400 ghÕ. Hái cã bao nhiªu hµng, mçi hµng cã bao nhiªu ghÕ? Gi¶i : Gäi x lµ sè d·y ghÕ cña phßng häp. §K x nguyªn d¬ng. 360 +1 ¿ = 400 ⇔ x2 – 39x –360 = 0 ( √ Δ = 9 ) Theo gt bµi ra ta cã pt : (x + 1)( x Giải ra ta đợc : x = 24 (TMĐK) , x = 15 (TMĐK). §¸p sè : Cã thÓ x¶y ra 2 kh¶ n¨ng. +) KN 1 : Phßng häp cã 24 d·y ghÕ vµ mçi d·y cã 15 ghÕ. +) KN 2 : Phßng häp cã 15 d·y ghÕ vµ mçi d·y cã 24 ghÕ. Baøi 17 : Hai ngêi thî cïng lµm mét c«ng viÖc trong 16 giê th× xong. NÕu ngêi thø nhÊt lµm 3 giê và ngời thứ 2 làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình công việc đó trong mÊy giêi th× xong? Gi¶i : Gäi x, y (giê) lÇn lît lµ thêi gian mçi ngêi lµm mét m×nh hoµn thµnh c«ng viÖc. §K x, y > 0. ¿ 1 1 1 + = ⇔ x y 16 x = 24 3 6 1 Theo gt bµi ra ta cã hpt : (TM§K) + = y = 48 x y 4 ¿{ ¿{ ¿ §¸p sè : Ngêi thø nhÊt hoµn thµnh c«ng viÖc trong : 24 giê. Ngêi thø hai hoµn thµnh c«ng viÖc trong : 48 giê. Baứi 18 : Hai vật chuyển động trên một đờng tròn có đờng kính 20m , xuất phát cùng một lúc từ cùng một điểm. Nếu chúng chuyển động ngợc chiều nhau thì cứ 2 giây lại gặp nhau. Nếu chúng chuyển động cùng chiều nhau thì cứ sau 10 giây lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật..

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Gi¶i : Gäi x, y (m/s) lÇn lît lµ vËn tèc cña hai vËt. §K x > y > 0. ¿ ⇔ 2x + 2y = 62,8 x = 18,84 Theo gt bµi ra ta cã hpt : 10x = 62 .8 + 10y (TM§K). y = 13 ¿{ ¿{ ¿ §¸p sè : VËn tèc cña hai v©t lÇn lît lµ : 18,84 (km/h) ; 13 (km/h). Baứi 19 : Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm. Sang tháng thứ hai tổ 1 vợt 15%.tổ 2 vợt 20%. Do đó cuối tháng cả hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm. Tính xem trong tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu sản phẩm Giải : Gọi x, y lần lợt là sản phẩm của tổ 1 và tổ 2 làm đợc trong tháng thứ nhất. ĐK : x, y nguyên dơng. ¿ x + y = 800. ⇔ 15x 20y x = 300 + =145 Theo gt bµi to¸n ta cã hpt : (TM§K). y = 500 100 100 ¿{ ¿{ ¿ §¸p sè : Trong th¸ng 1 : Tổ 1 sản xuất đợc 300 (sản phẩm). Tổ 2 sản xuất đợc 500 (sản phẩm). Bài 20 : Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy trong thời gian đã định và dự định sẽ sản xuất 300 chi tiết máy trong một ngày. Nhng thực tế mỗi ngày đã làm thêm đợc 100 chi tiết, nên đã sản xuất thêm đợc tất cả là 600 chi tiết và hoàn thành kế hoạch trớc 1 ngày Tính số chi tiết máy dự định sản xuất. Giải : Gọi x là số chi tiết mà nhà máy dự định làm. ĐK : x nguyên dơng. x x + 600 = +1 ⇔ x = 3000 (TM§K) Theo gt bµi to¸n ta cã pt : 300 400 Đáp số : Tổng số chi tiết dự định làm 3000 (chi tiết) Bµi 21: Mét ca n« xu«i dßng 42km råi ngîc dßng trë l¹i lµ 20km m¸t tæng céng 5giê. BiÕt vËn tèc cña dßng ch¶y lµ 2km/h. T×m vËn tèc cña ca n« lóc dßng níc yªn lÆng. Gi¶i : Gäi x lµ vËn tèc cña ca n« lóc níc yªn lÆng ( km/h ; §K : x > 2) 42 20 + =5 ⇔ 5x2 - 62x + 24 = 0 ( √ Δ' = 29) Theo gt bµi to¸n ta cã pt : x +2 x- 2 2 Giải ra ta đợc : x = (lo¹i) ; x = 12. 5 §¸p sè : VËy vËn tèc cña ca n« lóc níc yªn lÆng : 12 (km/h). Bài 22: Một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng. Hôm làm việc có 2 xe phải điều đi nơi khác nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn. Hỏi đội có bao nhiêu xe? Giải : Gọi x là số xe của đội lúc đầu (xe. ĐK : x > 2) 120 120 − =16 ⇔ x2 - 2x -15 = 0 ( √ Δ' = 4) Theo gt bµi to¸n ta cã pt : x−2 x Giải ra ta đợc : x = - 3 (loại) ; x = 5 Đáp số : Vậy đội xe có 5 xe. Bài 23: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đễn địa điểm B. Mỗi giờ ôtô thứ nhất chạy nhanh hơn ôtô thứ hai 12km nên đến địa điểm B trớc ô tô thứ hai 100phút. Tính vận tốc của mỗi ô tô biết quãng đờng AB dài 240km . Gi¶i : Gäi x lµ vËn tèc cña «t« thø hai .(Km/h. §K : x > 0). 240 240 5 − = ⇔ 5x2 - 60x – 8640 = 0 ( √ Δ ' =210) Theo gt bµi to¸n ta cã pt : x −12 x 3 Giải ra ta đợc : x = -36 (loại) ; x = 48. §¸p sè : VËn tèc cña «t« thø hai : 48 km/h. VËn tèc cña «t« thø nhÊt : 60 km/h..

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Bµi 24: NÕu më c¶ hai vßi níc ch¶y vµo mét bÓ c¹n th× sau 2 giê 55phót bÓ ®Çy bÓ. NÕu më riªng tõng vßi th× vßi thø nhÊt lµm ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai lµ hai giê. Hái nÕu më riªng tõng vßi th× mçi vßi ch¶y bao l©u ®Çy bÓ? Gi¶i : Gäi x lµ th Bài 24: Hai tổ học sinh trồng đợc một số cây trong sân trờng. Nếu lấy 5 cây của tổ 2 chuyển cho tổ một thì số cây trồng đợc của cả hai tổ sẽ bằng nhau. Nếu lấy 10 cây của tổ một chuyển cho tổ hai thì số cây trồng đợc của tổ hai sẽ gấp đôi số cây của tổ mét. Hỏi mỗi tổ trồng đợc bao nhiêu cây? Bµi 25: Hai « t« A vµ B khëi hµnh cïng mét lóc tõ hai tØnh c¸ch nhau 150km, ®i ngîc chiÒu vµ gÆp nhau sau 2 giê. T×m vËn tèc cña mçi « t«, biÕt r»ng nÕu vËn tèc cña « t« A t¨ng thªm 5km/h vµ vËn tèc « t« B gi¶m 5km/h th× vËn tèc cña « t« A b»ng 2 lÇn vËn tèc cña « t« B. Bài 26: Hai hợp tác xã đã bán cho nhà nớc 860 tấn thóc. Tính số thóc mà mỗi hợp tác xã đã b¸n cho nhµ níc. BiÕt r»ng 3 lÇn sè thãc hîp t¸c x· thø nhÊt b¸n cho nhµ níc nhiÒu h¬n hai lÇn sè thãc hîp t¸c x· thø hai b¸n lµ 280 tÊn «n tËp h×nh häc 9 PhÇn 1 : h×nh häc ph¼ng I.§êng trßn: 1,§Þnh nghÜa: Tập hợp các điểm cách điểm 0 cho trớc một khoảng cách R > 0 không đổi gọi là đờng tròn tâm 0 b¸n kÝnh R . KÝ hiÖu : ( 0 ; R) 2, Vị trí tơng đối: * Của một điểm với một đờng tròn : xÐt (0 ; R ) vµ ®iÓm M bÊt k× vị trí tơng đối. HÖ thøc. M n»m ngoµi ( O ; R ). OM > R. M n»m trªn ( O ; R ) hay M thuéc ( O ; R). OM = R. M n»m trong ( O ; R ). OM < R. * Của một đờng thẳng với một đờng tròn : xét ( O ; R ) và đờng thẳng a bất kì ( với d là khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng a ) vị trí tơng đối. Sè ®iÓm chung. HÖ thøc. a c¾t ( O ; R ). 2. d<R. a tiÕp xóc ( O ; R ). 1. d=R. a vµ ( O ; R ) kh«ng giao 0 nhau. d>R. * Của hai đờng tròn : xÐt ( O;R) vµ (O’; R’) ( víi d = O O’ ) vị trí tơng đối. Sè ®iÓm chung. HÖ thøc. Hai đờng tròn cắt nhau. 2. R – r < d < R- r.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> Hai đờng tròn tiếp xúc nhau 1 : + tiÕp xóc ngoµi : + tiÕp xóc trong : Hai đờng tròn không giao 0 nhau : +hai đờng tròn ở ngoài nhau : +đờng tròn lớn đựng đờng trßn nhá :. d=R+r d=R–r. d>R+r d < R -r. 3 . Tiếp tuyến của đờng tròn : a. §Þnh nghÜa : đờng thẳng d đợc gọi là tiếp tuyến của một đờng tròn nếu nó chỉ có một điểm chung với đờng đó . b, TÝnh chÊt : + Tính chất 1 : Nếu một đờng thẳng là một tiếp tuyến của một đờng tròn thì nó vuông góc với bán kÝnh ®I qua tiÕp ®iÓm . + Tính chất 2 : Nếu hai tiếp tuyến của một đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì giao điểm này cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đờng tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyÕn . c, C¸ch chøng minh :  Cách 1 : chứng minh đờng thẳng đó có một điểm chung với đờng tròn đó .  Cách 2 : chứng minh đờng thẳng đó vuông góc với bán kính của đờng tròn đó tại một điểm và điểm đó thuộc đờng tròn . 4 . Quan hệ giữa đờng kính và dây cung : * §Þnh lÝ 1 : §êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y cung th× chia d©y cung Êy ra thµnh hai phÇn b»ng nhau . * §Þnh lÝ 2 : §êng kÝnh ®I qua trung ®iÓm cña mét d©y cung kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y cung Êy. 5 . Quan hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm : * Định lí 1 : Trong một đờng tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm . * Định lí 2 : Trong hai dây cung không bằng nhau của một đờng tròn, dây cung lớn hơn khi và chỉ khi nã gÇn t©m h¬n . II. Góc trong đờng tròn: 1, Các loại góc trong đờng tròn: - Gãc ë t©m - Gãc néi tiÕp - Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đờng tròn - Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung 2, Mèi quan hÖ gi÷a cung vµ d©y cung: * Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn: a, Hai cung b»ng nhau c¨ng hai d©y b»ng nhau b, §¶o l¹i, hai d©y b»ng nhau tr¬ng hai cung b»ng nhau. * Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn: a, Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬n.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> b, D©y lín h¬n tr¬ng cung lín h¬n. 3, Tø gi¸c néi tiÕp: a, §Þnh nghÜa: Tứ giác nội tiếp một đờng tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng tròn . Đơng tròn đó đợc gọi là đờng tròn ngoại tiếp tứ giác. b, C¸ch chøng minh : * Cách 1: chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng thuộc một đờng tròn * Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800 * Cách 3: chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh đối diện dới cùng một góc.. B. Bµi tËp: Bài 1: Cho tam giác ABC ( Â= 1v ), đờng cao AH. Đờng tròn đờng kính AH cắt các cạnh AB, AC lần lît t¹i E vµ F. a. CM: tø gi¸c AEHF lµ h×nh ch÷ nhËt. b. CM: tø gi¸c EFCB néi tiÕp. c. §êng th¼ng qua A vu«ng gãc víi EF c¾t BC t¹i I. Chøng minh I lµ trung ®iÓm cña BC. d. CMR: NÕu S ABC = 2. S AEHF th× tam gi¸c ABC vu«ng c©n. Bài 2: Cho tam giác ABC ( AB> AC ) nội tiếp (O). Vẽ đờng phân giác của góc  cắt (O) tại M. Nối OM c¾t BC t¹i I. 1. Chøng minh tam gi¸c BMC c©n. 2. Chøng minh: gãc BMA < gãc AMC. 3. Chøng minh: ¿❑ gãc ABC + gãc ACB = gãc BMC. 4. §êng cao AH vµ BP cña tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i Q. Chøng minh OH // AH. 5. Trªn AH lÊy ®iÓm D sao cho AD = MO. Tø gi¸c OMDA lµ h×nh g×? 6. Chøng minh AM lµ ph©n gi¸c cña gãc OAH. 1 7. OM kÐo dµi c¾t (O) t¹i N. VÏ OE vu«ng gãc víi NC. Chøng minh OE= MB . 2 8. Chứng minh tứ giác OICE nội tiếp. Xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác OICE. 9. Chøng minh c¸c tø gi¸c ABHP vµ QPCH néi tiÕp. 10. Tõ C vÏ tiÕp tuyÕn cña (O) c¾t BM kÐo dµi t¹i K. Chøng minh CM lµ ph©n gi¸c cña gãc BCK. 11. So s¸nh c¸c gãc KMC vµ KCB víi gãc A. 12. Từ B vẽ đờng thẳng song song với OM cắt CM tại S. Chứng minh tam giác BMS cân tại M. 13. 13.Chøng minh gãc S = gãc EOI – gãc MOC. 14. Chøng minh gãc SBC = gãc NCM. 15. Chøng minh gãc ABF = gãc AON. 16. Tõ A kÎ AF // BC, F thuéc (O). Chøng minh BF = CA. Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đờng tròn tâm O đờng kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại D, E. Gäi I lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD. 1. Chøng minh AI vu«ng gãc víi BC..

<span class='text_page_counter'>(29)</span> 2. Chøng minh gãc IDE = gãc IAE. 3. Chøng minh : AE . EC = BE . EI. 4. Cho góc BAC = 600 . Chứng minh tam giác DOE đều. Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC nhän néi tiÕp (O). §êng cao AH cña tam gi¸c ABC c¾t (O) t¹i D , AO kÐo dµi c¾t (O) t¹i E. a) Chøng minh tø gi¸c BDEC lµ h×nh thang c©n. b) Gäi M lµ ®iÓm ch×nh gi÷a cña cung DE, OM c¾t BC t¹i I. Chøng minh I lµ trung ®iÓm cña BC. c) TÝnh b¸n kÝnh cña (O) biÕt BC = 24 cm vµ IM = 8 cm. Bài 5: Trên nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB lấy hai điểm M và N sao cho các cung AM, MN, NB b»ng nhau. Gäi P lµ giao ®iÓm cña AM vµ BN, H lµ giao ®iÓm cña AN víi BM. CMR: a) Tø gi¸c AMNB lµ h×nh thang c©n. b) PH ┴ AB. Từ đó suy ra P, H, O thẳng hàng. c) ON là tiếp tuyến của đờng tròn đơnngf kính PH. Bµi 6: Cho (O, R) , d©y cung AB < 2R. Gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá AB. KÎ hai d©y MC, MD lÇn lît c¾t AB t¹i E vµ F. CMR: a. Tam giác MAE và MCA đồng dạng. b. ME . MC = MF . MD. c. Tø gi¸c CEFD néi tiÕp. Khi AB=R √ 3 thì tam giác OAM đều. Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân tại A ( AB > AC ), đờng cao AH. Vẽ đờng tròn tâm I đờng kính BH cắt AB tại E, đờng tròn tâm K đờng kính CH cắt AC tại F. a. Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g×? b. Chøng minh tø gi¸c BEFC néi tiÕp. c. Chøng minh AE . AB = AF . AC. d. Chømg minh EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña (O) vµ (I). e. Gọi Ax là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh Ax // EF. Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm D thuộc AB. Qua B vẽ đờng thẳng vuông góc với CD tại H, đờng thẳng BH cắt CA tại E. a. Chøng minh tø gi¸c AHBC néi tiÕp. b. TÝnh gãc AHE. c. Chứng minh tam giác EAH và EBC đồng dạng. d. Chøng minh AD = AE. e. Khi điểm D di chuyển trên cạnh AB thì điểm H di chuyển trên đờng nào? Bài 9: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AC ( AB > BC ; AD > CD ). Gọi E là giao điểm cña AB vµ CD, F lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC. Chøng minh r»ng: d.. a. EF ┴ AC b. DA . DF = DC . DE c. Tø gi¸c BDFE néi tiÕp. Bài 10: Cho đờng tròn tâm O đờng kính BC, điểm A thuộc (O). Vẽ bán kính OK // BA ( K và A nằm cùng phía đối với BC ). Tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại C cắt OK tại I. a. Chøng minh IA lµ tiÕp tuyÕn cña (O). b. Chøng minh CK lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ACI. c. Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm. TÝnh OI, CI..

<span class='text_page_counter'>(30)</span> Bµi 11: Cho ®o¹n th¼ng AB vµ O lµ trung ®iÓm cña AB. VÏ vÒ cïng phÝa víi AB c¸c tia Ax, By cïng vu«ng gãc víi AB. C¸c ®iÓm M, N theo thø tù di chuyÓn trªn Ax vµ By sao cho gãc MON = 90 0. Gäi I lµ trung ®iÓm cña MN. Chøng minh r»ng : a. AB lµ tiÕp tuyÕn cña (I ; IO). b. MO lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AMN. c. MN là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính AB. d. Khi c¸c ®iÓm M, N di chuyÓn trªn Ax, By th× tÝch AM. BN kh«ng dæi. Bài 12: Cho (O;R) và (O’; r)tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đờng tròn ( B thuộc (O); C thuộc (O’) ). Tiếp tuyến chung trong của hai đờng tròn tại A cắt BC tại M. a. Chứng minh A, B, C thuộc đờng tròn tâm M. b. Đờng thẳng OO’ có vị trí tơng đối gì với (M) nói trên? c. Xác định tâm đờng tròn đi qua ba điểm O, O’ , M. d. Chứng minh BC là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua ba điểm O, O’, M. Bµi 13: Cho (O) vµ (O’)tiÕp xócngoµi t¹i A. §êng th¼ng ¤’ c¾t (O) vµ (O’) theo thø tù t¹u B vµ C ( khác A ). Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài của hai đờng tròn ( D thuộc (O); E thuộc (O’)) . M là giao ®iÓm cña BD vµ CE. Chøng minh r»ng : a. Gãc DME lµ gãc vu«ng. b. MA là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn. c. MD . MB = ME . MC. Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), đờng cao BD, CE , M là trung điểm của BC. a. Chøng minh tø gi¸c BCDE néi tiÕp. b. Chứng minh các tam giác ADE và ABC đồng dạng . c. KÎ tiÕp tuyÕn Ax víi (O) . Chøng minh Ax // DE. d. Chứng minh rằng nếu góc BAC = 600 thì tam giác DME là tam giác đều. Bµi 15: Cho (O) vµ ®iÓm A n»m bªn ngoµi (O). VÏ c¸c tiÕp tuyÕn AB vµ AC , c¸t tuyÕn ADE. Gäi H lµ trung ®iÓm cña DE. a. Chøng minh tø gi¸c BHOC néi tiÕp. b. Chøng minh HA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BHA. c. Gäi I lµ giao ®iÓm cña BC vµ DE. Chøng minh : AB2 = AI . AH. d. BH c¾t (O) t¹i K . Chøng minh AE // CK. Bài 16: Cho (O), đờng tròn AB. Vẽ tiếp tuyến xBy. Gọi C,D là hai điểm di động trên hai nửa mặt phẳng bờ AB đối nhau. Tia AC cắt Bx tại M, tia AD cắt By tại N. a. Chứng minh các tam giác ACD và AMN đồng dạng. b. Tø gi¸c MNDC néi tiÕp. c. Chứng minh AC . AM = AD . AN và tích này không đổi khi C, D di động. Bài 17: Xét nửa đờng tròn (O), đờng kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn. kẻ tiếp tuyến Ax và dây AC bất kỳ. Tia phân giác của góc Cax cắt nửa đờng tròn tại D, các tia AD và BC cắt nhau t¹i E. a. Chøng minh tam gi¸c ABE c©n t¹i B. b.. C¸c d©y AC vµ BD c¾t nhau t¹i K. Chøng minh EK ┴ AB..

<span class='text_page_counter'>(31)</span> c.. Tia BD c¾t tia Ax t¹i F. Chøng minh tø gi¸c AKEF lµ h×nh thoi.. Bài 18: Cho nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong nửa đờng tròn (O ; R). Hai tiÕp tuyÕn t¹i B vµ D c¾t nhau t¹i T. a. Chøng minh r»ng OT // AB. b. Chøng minh ba ®iÓm O, C, T th¼ng hµng. c. TÝnh chu vi vµ diÖn tÝch tam gi¸c TBD theo R. d. TÝnh diÖn tÝch h×nh giíi h¹n bëi hai c¹nh TB, TD vµ cung BCD theo R. Bài 19: Hai đờngtròn (O) và (O’) có bán kính R và R’ ( R > R’) tiếp xúc ngoài nhau tại C. Gọi AC và BC là hai đờng kính đi qua C của (O) và (O’). DE là dây cung của (O) vuông góc với AB tại trung điểm của M của AB. Gọi giao điểm thứ hai của đờng thẳng DC với (O’) là F. a. Tø gi¸c AEBD lµ h×nh g×? b. Chøng minh r»ng ba ®iÓm B, E, F th¼ng hµng. c. Chøng minh tø gi¸c MDBF néi tiÕp. d. DB cắt (O’) tại G. Chứng minh DF, EG, AB đồng qui. 1 Chøng minh MF= DE vµ MF lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). 2 Bài 20: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AC. Trên đoạn OC lấy một điểm B và vẽ đờng tròn tâm O’ đờng kính BC. Gọi M là trung điểm của AB. Từ M kẻ dây cung DE vuông góc với AB, DC cắt (O’) tại I. a.Tø gi¸c ADBE lµ h×nh g× ? t¹i sao? b.Chøng minh BI // AD. c.Chøng minh ba ®iÓm I, B, E th¼ng hµng vµ MD = MI. d.Xác định và giải thích vị trí tơng đối của đờng thẳng MI với (O’). e.. Bài 21: Từ một điểm A ở bên ngoài đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN của đờng tròn đó. Gọi I là trung điểm của dây MN. a. Chứng minh 5 điểm A,B,I,O,C cùng nằm trên một đờng tròn. b. Nếu AB = OB thì tứ giác ABOC là hình gì ? Tại sao? Tính diện tích hình tròn và độ dài đờng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ABOC theo b¸n kÝnh R cña (O). Bµi 22: Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O). Tia ph©n gi¸c cña gãc A c¾t BC t¹i D, c¾t (O) t¹i E. TiÕp tuyÕn của đờng tròn tại A cắt đờng thẳng BC tại M. a. Chøng minh MA = MD. b. Gọi I là điểm đối xứng với D qua M, gọi F là giao điểm của IA với (O).Chứng minh E, O, F th¼ng hµng. Bài 23: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng (O) đờng kính MC. Đờng thẳng BM cắt (O) tại D. Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) tại S. a. Chøng minh tø gi¸c ABCD néi tiÕp. CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. b. Gọi E là giao điểm của BC với (O) . Chứng minh các đờng thẳng BA, EM, CD đồng qui. c. Chøng minh DM lµ ph©n gi¸c cña gãc ADE. d. Chứng minh M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE. Bµi 24: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A. a. Nªu c¸ch dùng (O) qua A vµ tiÕp xóc víi BC t¹i B. Nªu c¸ch dùng (O’) qua tiÕp xóc víi BC t¹i C..

<span class='text_page_counter'>(32)</span> b. c. d.. Hai đờng tròn (O) và (O’) ở vị trí tơng đối nào? Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh AM lµ tiÕp tuyÕn chung cña (O) vµ (O’). Cho AB = 36cm, AC = 48 cm. Tính độ dài BC và các bán kính của (O) , (O’).. Bài 25: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB, bán kính OC vuông góc với AB. Gọi M là một điểm di động trên cung BC ( M ≠ B, M ≠ C). AM cắt OC tại N. a. Chứng minh rằng tích AM . AN không đổi. b. c.. VÏ CD ┴ AM . Chøng minh c¸c tø gi¸c MNOB vµ AODC néi tiÕp. Xác định vị trí của điểm M trên cung BC để tam giác COD cân tại D.. Bµi 26: Cho tam gi¸c ABC nhän néi tiÕp (O), H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC, M lµ mét ®iÓm trªn cung BC kh«ng chøa ®iÓm A. a. Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành. b. Gọi N và E lần lợt là các điểm đối xứng của M qua AB và AC. Chứng minh ba điểm N. H , E th¼ng hµng. c. Xác định vị trí của M để NE có độ dài lớn nhất. Bµi 27: Cho (O,R) vµ (O’,r) tiÕp xóc ngoµi t¹i M ( R > r ). §êng th¼ng OO’ c¾t (O) t¹i C, c¾t (O’) t¹i D . Tiếp tuyến chung ngoài AB ( A ∈(O), B ∈(O ') ) cắt đòng thẳng OO’ tại H. Tiếp tuyến chung của hai đờng tròn ở M cắt AB tại I. a. Chøng minh c¸c tam gi¸c OIO’ vµ AMB lµ c¸c tam gi¸c vu«ng. Chøng minh AB=2 √ R . r . c. Tia AM c¾t (O’) t¹i A’, tia BM c¾t (O) t¹i B’. Chøng minh ba ®iÓm A, O, B’ vµ A’ , O’ , B th¼ng hµng vµ CD2 = BB’2 + AA’2. d. Gọi N và N’ lần lợt là giao điểm của AM với OI và BM với O’I. Tính độ dài các đoạn thẳng MI, AB, OI, O’I, OH, O’H theo R vµ r. b.. Bài 28: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, một điểm C ( khác A, B ) nằm trên đờng tròn . Tiếp tuyến Cx cña (O) c¾t tia AB t¹i I. Ph©n gi¸c gãc CIA c¾t OC t¹i O’. a. Chứng minh (O’, O’C) vừa tiếp xúc với (O) vừa tiếp xúc với đờng thẳng AB. b. Gäi D,E theo thø tù lµ giao ®iÓm thø hai cña CA, CB víi (O’). Chøng minh D, O’, E th¼ng hµng . c. Tìm vị trí của C sao cho đờng tròn ngoại tiếp tam giác OCI tiếp xúc với AC. Bài 29: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn. C và D là hai điểm di động trên nửa đờng tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt tại E và F ( F nằm giữa B và E ). a. Chứng minh hai tam giác ABF và BDF đồng dạng. b. Chøng minh tø gi¸c CEFD néi tiÕp. c. Khi D và C di động trên nửa đờng tròn , chứng tỏ rằng : AC. AE = AD . AF = const . Bài 30: Cho (O). Vẽ hai dây AB và CD vuông góc tại M ở bên trong (O). Từ A vẽ một đờng thẳng vuông góc với BC tại H, cắt CD tại E. F là điểm đối xứng của C qua AB. Tia AF cắt tia BD tại K. Chøng minh r»ng: a. Gãc MAH = gãc MCB. b. Tam gi¸c ADE c©n. c. Tø gi¸c AHBK néi tiÕp..

<span class='text_page_counter'>(33)</span> Bµi 31. Cho ®o¹n th¼ng AB vµ C lµ mét ®iÓm n»m gi÷a A vµ B. Ngêi ta kÎ trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê AB hai tia Ax vµ By vu«ng gãc víi AB. Trªn tia Ax lÊy mét ®iÓm I. Tia Cz vu«ng gãc víi tia CI tại C và cắt By tại K. Đờng tròn đờng kính IC cắt IK tại P. Chứng minh: a. Tø gi¸c CPKB néi tiÕp. b. AI.BK=AC.CB. c.  APB vu«ng. d. Giả sử A, B, I cố định. Hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhÊt. Bµi 32. Cho (O) vµ mét ®iÓm A n»m ngoµi (O). Tõ A kÎ hai tiÕp tuyÕn AB, AC vµ c¸t tuyÕn AMN víi (O). (B, C, M, N cïng thuéc (O); AM<AN). Gäi E lµ trung ®iÓm cña d©y MN, I lµ giao ®iÓm thø hai của đờng thẳng CE với (O). a. Chứng minh bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên một đờng tròn. b. Chøng minh gãc AOC=gãc BIC c. Chøng minh BI//MN. d. Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất. Bài 33. Cho tam giác ABC vuông ở A (AB<AC), đờng cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy D sao cho HD=HB. VÏ CE vu«ng gãc víi AD (EAD). a. Chøng minh tø gi¸c AHCE néi tiÕp. b. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHCE. c. Chøng minh CH lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ACE. d. Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng CA, CH và cung nhỏ AH của đờng tròn nói trªn biÕt AC=6cm; gãc ACB = 30o. Bài 34. Cho (O) có đờng kính BC. Gọi A là một điểm thuộc cung BC (cung AB < cung AC). D là điểm thuéc b¸n kÝnh OC. §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC ë E, c¾t tia BA ë F. a. Chøng minh tø gi¸c ADCF néi tiÕp. b. Gäi M lµ trung ®iÓm cña EF. Chøng minh: gãc AME=2 gãc ACB. c. Chøng minh AM lµ tiÕp tuyÕn cña (O). d. TÝnh diÖn tÝch h×nh giíi h¹n bëi c¸c ®o¹n th¼ng BC, BA vµ cung nhá AC cña (O) biÕt BC=8cm; gãc ABC = 60o. Bài 35. Cho đờng tròn (O) đờng kính AB=2R và một điểm M di chuyển trên nửa đờng tròn. Ngời ta vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với (O) tại M và tiếp xúc với AB tại N. Đờng tròn này cắt MA, MB lần lợt t¹i c¸c ®iÓm thø hai C, D. a. Chøng minh CD//AB. b. Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đờng thẳng MN đi qua một điểm K cố định. c. Chứng minh tích KM.KN cố định. d. Gọi giao điểm của các tia CN, DN với KB, KA lần lợt là C', D'. Tìm vị trí của M để chu vi tam giác NC'D' đạt giá trị nhỏ nhất có thể đợc. Bài 36. Cho một đờng tròn đờng kính AB, các điểm C, D ở trên đờng tròn sao cho C, D không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD>AC. Gọi các điểm chính giữa các cung AC, AD lÇn lît lµ M, N. Giao ®iÓm cña MN víi AC, AD lÇn lît lµ H, I. Giao ®iÓm cña MD víi CN lµ K. a. CM: NKD vµ MAK c©n. b. CM: tứ giác MCKH nội tiếp đợc. Suy ra KH//AD. c. So s¸nh c¸c gãc CAK víi gãc DAK. d. Tìm một hệ thức giữa số đo AC, số đo AD là điều kiện cần và đủ để AK//ND. Bài 37. Cho (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A và tiếp tuyến chung Ax. Một đờng thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) lần lợt tại B, C và cắt Ax tại điểm M. Kẻ các đờng kính BO1D, CO2E. a. Chøng minh M lµ trung ®iÓm BC. b. Chøng minh O1MO2 vu«ng. c. Chøng minh B, A, E th¼ng hµng; C, A, D th¼ng hµng. d. Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc víi d. d. PhÇn 2: H×nh häc kh«ng gian. A.Lý thuyÕt: I. Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ h×nh häc kh«ng gian: 1. Các vị trí tơng đối: a.Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng: * a // b  a , b  (P), a vµ b kh«ng cã ®iÓm chung..

<span class='text_page_counter'>(34)</span> * a c¾t b  a , b  (P), a vµ b cã mét ®iÓm chung. * a vµ b chÐo nhau  a vµ b kh«ng cïng thuéc mét mÆt ph¼ng. b. Vị trí tơng đối của đờng thẳng a và mặt phẳng (P): * a // (P)  a vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung. * a c¾t (P)  a vµ (P) cã mét ®iÓm chung. * a  (P)  a vµ (P) cã v« sè ®iÓm chung. c. Vị trí tơng đối của hai mặt phẳng (P) và (Q): * (P) // (Q)  kh«ng cã ®iÓm chung. * (P)  (Q) = a  có một đờng thẳng a chung ( a gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng). * (P)  (Q). 2. Mét sè c¸ch chøng minh: a. Chứng minh hai đờng thẳng song song: C1: a vµ b cïng thuéc mét mÆt ph¼ng. a vµ b kh«ng cã ®iÓm chung. C2: a // c vµ b // c. ( P) //(Q) C3 : (P)∩(R)=a ⇒ a // b (Q)∩(R)=b. }. b.Chứng minh đờng thẳng song song với mặt phẳng: a // b ⇒ a // ( P) b ⊂( P). }. c.Chøng minh hai mÆt ph¼ng song song: a , b ⊂(Q) ,aXb ⇒( P)// (Q) a // (P), b //( P). }. d.Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc: a ⊥(P) ⇒a ⊥ b b ⊂(P). }. e.Chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng: a⊥b,a⊥c ⇒ a ⊥( P) bXc , b ⊂( P) , c ⊂( P). }. g.Chøng minh hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc: a ⊥( P) ⇒( P)⊥(Q) a ⊂( Q). }. II. Mét sè h×nh kh«ng gian: 1. H×nh l¨ng trô: Sxq = P . h với P: chu vi đáy V=B.h h : chiÒu cao B: diện tích đáy 2. H×nh chãp:. 1. H×nh trô: Sxq = P.h = 2R.h với R: bán kính đáy V = B.h = R2.h h: chiÒu cao. 2. H×nh nãn:.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> 1 S xq = P . d 2 1 V= B.h 3. với d: đờng cao mặt bên. 3. H×nh chãp côt: 1 S xq= ( P+ P ' ) . d 2 1 V = ( B+ B '+ √ B. B' ) .h 3. 1 S xq= P . d=πR . l 2 1 1 2 V = B . h= πR . h 3 3 d: đờng sinh; h: chiều cao.. 3. H×nh nãn côt: 1 S xq = ( P+ P ' ) . d=π ( R+r ) d 2 1 π .h ( 2 2 V = ( B+ B ' + √ B. B' ) .h= R +r + R . r ) 3 3. 4. H×nh cÇu: S=4 πR2 4 V = πR3 3 B. Bµi tËp: Bµi 1: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD vµ ®iÓm S n»m ngoµi mp(ABCD). Gäi M, N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña SA, SD. Tø gi¸c MNCB lµ h×nh g×? Bµi 2: Cho tø diÖn ABCD. Gäi G, H theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AD, CD. LÊy ®iÓm E  AB, F  BC 1 1 sao cho: AE= AB; CF= CB . 4 4 a. Chøng minh GH // (ABC); EF // (ACD); EF // GH. b. Gäi I lµ giao ®iÓm cña EG vµ (BCD). CMR: F, H, I th¼ng hµng. Bài 3: CMR: Nếu một mặt phẳng song song với đờng thẳng a của mp(Q) mà (P) và (Q) cắt nhau thì giao tuyÕn cña chóng song song víi a. Bµi 4: Cho hai mÆt ph¼ng (P) vµ (Q) c¾t nhau theo giao tuyÕn d. Mét mÆt ph¼ng thø ba (R) c¾t (P) , (Q) theo thø tù lµ c¸c giao tuyÕn a vµ b. CMR: a. Nếu a x d = M thì a, b, d đồng qui. b. Nếu a // d thì a, b, d đôi một song song. 1 1 SD= SA , E ∈ AB sao cho BE= BA . Gäi 4 4 M lµ trung ®iÓm cña SC, I lµ giao ®iÓm cña DM vµ AC, N lµ giao ®iÓm cña IE vµ BC. CMR: a. SB // (IDE). b. N lµ trung ®iÓm cña BC. Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH. Một đờng thẳng d  (ABC) tại A. Trên d lấy ®iÓm S bÊt kú. a. Chøng minh BC  SH. b. Kẻ AI là đờng cao của tam giác SAH. Chứng minh AI  (SBC). c. Cho AB = 15 cm, AC = 20 cm , SA = 16 cm. TÝnh BC, SH råi tÝnh S xq, Stp, V cña h×nh chãp S . ABC. Bài 7: Cho tam giác ABC đều và trung tuyến AM, điểm I  AM sao cho IA = 2.IM . Qua I vẽ đờng th¼ng d vu«ng gãc víi mp(ABC), trªn d lÊy ®iÓm S bÊt kú. a. Chøng minh SA = SB = SC. b. Gọi IH là đờng cao của tam giác SIM. CMR: IH  (SBC). Bµi 5: Cho tø diÖn S.ABC, ®iÓm D  SA sao cho. c. TÝnh Sxq vµ V cña h×nh chãp S . ABC biÕt AB=3 √ 3 cm ; SA = 5 cm..

<span class='text_page_counter'>(36)</span> 1 1 Bµi 8: Cho tø diÖn S . ABC. §iÓm E  SA, F  AB sao cho SE= SA ; BF= BA . Gäi G, H theo 3 3 thø tù lµ trung ®iÓm cña SC, BC. CMR: a. EF // GH. b. EG, FH, AC đồng qui. Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 8 cm, AC = 6 cm. Một đờng thẳng d vuông góc vói mp(ABC) t¹i B, trªn d lÊy ®iÓm S sao cho SA = 10 cm. a. CMR: SB  AC. b. TÝnh SB, BC, SC. c. CM: Tam gi¸c SAC vu«ng. d. TÝnh Stp , V. Bài 10: Cho hình vuông ABCD cạnh 3 cm. Trên đờng thẳng d vuông góc với mp(ABCD) tại A lấy ®iÓm S sao cho SA = 4 cm. CMR: a. (SAB)  (SAD). b. SC  BD. c. C¸c tam gi¸c SBC vµ SDC vu«ng. d. TÝnh Sxq , V cña h×nh chãp S . ABCD. Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABCD . A’B’C’D’ có đáy là hình thoi. Biét đờng cao AA’ = 5 cm, các đờng chÐo AC’ = 15 cm , DB’ = 9 cm. a. TÝnh AB? b. TÝnh Sxq, V cña h×nh l¨ng trô ABCD . A’B’C’D’. c. TÝnh Sxq, V cña h×nh chãp B’ . ABCD. Bài 12: Cho lăng trụ tam giác đều ABC . A’B’C’ có AA’ = 4 cm , góc BAB’ = 450 . Tính Sxq và V. Bµi 13: H×nh hép ch÷ nhËt ABCD . A’B’C’D’ cã AD = 3 cm, AB = 4 cm, BD’ = 13 cm. TÝnh Sxq vµ V ? Bµi 14: Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD . A’B’C’D’ cã AB = 12 cm, AD = 16 cm, AA’ = 25 cm. a. CM: C¸c tø gi¸c ACC’A’, BDD’B’ lµ h×nh ch÷ nhËt. b. CM: AC’2 = AB2 + AD2 + AA’2. c. TÝnh Stp , V ? Bµi 15: Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD . A’B’C’D’cã AB = AA’ = a vµ gãc A’CA = 300. TÝnh Stp vµ V ? Bài 16: Cho hình lập phơng ABCD . A’B’C’D’ có độ dài cạnh là 6 cm . a. Tính đờng chéo BD’. b. TÝnh Stp vµ V cña h×nh chãp A’ . ABD. c. TÝnh Stp vµ V cña h×nh chãp A’.BC’D. Bài 17: Một thùng hình trụ có diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai đáy, đờng cao của hình trụ bằng 6 dm. Hỏi thùng chứa đợc bao nhiêu lít nớc ? ( biết rằng 1 dm3 = 1 lít ). Bµi 18: Mét mÆt ph¼ng qua trôc OO’ cña mét h×nh trô, phÇn mÆt ph¼ng bÞ giíi h¹n bëi h×nh trô ( cßn gọi là thiết diện) là một hình chữ nhật có diện tích bằng 72 cm 2. Tính bán kính đáy, đờng cao của hình trụ biết rằng đờng kính đáy bằng một nửa chiều cao. Bµi 19: Mét h×nh trô cã thiÕt diÖn qua trôc lµ mét h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi 4 cm, chiÒu réng 3 cm. Tính Sxq và V của hình trụ đó. Bài 20: Cho hình nón đỉnh A, đờng sinh AB = 5 cm, bán kính đáy OB = 3 cm. a. TÝnh Sxq cña h×nh nãn. b. TÝnh V cña h×nh nãn. c. Gäi CD lµ d©y cung cña (O; OB)vu«ng gãc víi OB. CMR: CD  (AOB)..

<span class='text_page_counter'>(37)</span> Bài 21: Cho tam giác ABC vuông tại A quay một vòng quanh AB. Tính bán kính đáy, đờng cao của hình nón tạo thành. Từ đó tính Sxq , và V của hình nón biết rằng BC = 6 cm, góc ACB = 600. Bài 22: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng 4 cm. Tính Sxq và V . Bài 23: Một hình nón cụt có đờng cao 12 cm, các bán kính đáy là 10 cm và 15 cm. a. TÝnh Sxq cña h×nh nãn côt. b. Tính V của hình nón sinh ra hình nón cụt đó. Bµi 24: Mét h×nh thang ABCD cã gãc A vµ gãc D =900, AB = BC = a , gãc C = 60 0. TÝnh Stp cña h×nh t¹o thµnh khi quay h×nh thang vu«ng mét vßng xung quanh: a. C¹nh AD. b. C¹nh DC.. 1 1    m  1  x    m  3 0 3 x x  Bµi 1: Cho ph¬ng tr×nh (*) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 3 b) Tìm m để phơng trình có đúng hai nghiệm dơng phân biệt Gi¶i tãm t¾t: §KX§: x  0 1 x  t  t  1 t 2  t  3  m 0 x §Æt ph¬ng tr×nh (*) trë thµnh a) m = 3 (Tù gi¶i) b) Víi t = 1  x2 – x – 1 = 0 ph¬ng tr×nh nµy lu«n cã 1 nghiÖm d¬ng (v× ac < 0) Để phơng trình (*) có đúng 2 nghiệm dơng phân biệt thì phơng trình t2 + t + 4 – m = 0 11 ph¶i cã nghiÖm kÐp kh¸c 1. Hay m = 4 x3 . . . 2. 1 1 1  1 1 1  a  b  c   a2  b 2  c 2  Bµi 2: a) Cho a, b, c  Z tháa m·n ®iÒu kiÖn  Chøng minh r»ng a3 + b3 + c3 chia hÕt cho 3 b) Gi¶i ph¬ng tr×nh x3 + ax2 + bx + 1 = 0, biÕt r»ng a, b, c lµ sè h÷u tØ vµ 1 +. 2 lµ nghiÖm cña ph¬ng. tr×nh Gi¶i tãm t¾t: a) §K: a, b, c  0. Tõ gt suy ra a + b + c = 0. Mµ a3 + b3 + c3 – (a + b + c) = a(a – 1)(a + 1) + b(b – 1 )(b + 1) + c(c – 1)(c + 1) chia hÕt cho 3 vµ a + b + c = 0 chia hÕt cho 3 nªn a 3 + b3 + c3 chia hÕt cho 3 b) V× 1 + 2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh nªn ta cã 2  2a  b  5    3a  b  8  0. v× a, b lµ sè h÷u tØ nªn 2a  b  5 0 a  3   3a  b  8 0  b 1 . Thay vµo HS tù gi¶i tiÕp Bµi 3: Cho x, y  N* tháa m·n x + y = 2011. x x2  y  y y2  x T×m GTNN vµ GTLN cña biÓu thøc P = Gi¶i tãm t¾t:. .  . . 2. *. C¸ch 1: V× x, y  N nªn. 1  x  y 2009  1  x  y  2009 2. 2 1 x  y   4044121    Mà (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy = 20112 – 4xy. Do đó –xy = 4.

<span class='text_page_counter'>(38)</span> 1 2 x  y   4044121   VËy P = 20113 - 6031xy = 20113 + 6031 4  1 2 1 1  4044121 20092  4044121 3 3 4 4 Ta cã 2011 + 6031.  P  2011 + 6031. Hay 2035205401  P  8120605021. VËy GTNN cña P lµ 2035205401. DÊu “=” x¶y ra khi x = 1006 vµ y = 1005 hoÆc x = 1005 vµ y = 1006. GTLN cña P lµ 8120605021. DÊu “=” x¶y ra khi x = 2010 vµ y = 1 hoÆc x = 1 vµ y = 2010 C¸ch 2: P = 20113 - 6031xy theo bµi ra ta cã 1  x, y  2010 Ta chøng minh 2010  xy  1005. 1006. ThËt vËy xy – 2010 = x(2011 – x) – 2010 = 2011x – x 2 – 2010 = 2010x – x2 + x – 2010 = (2010 – x)(x – 1)  0 (v× 1  x, y  2010) Ta có xy  2010. Do đó P  8120605021 MÆt kh¸c 1005.1006 – xy = 1005. 1006 – x(2011 – x) = … = (1005 – x)(1006 – x)  0 Ta có 1005.1006 – xy  0 Do đó 2035205401  P. . . . . Bài 4: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R, một dây cung MN = R di chuyển trên nửa đờng tròn. Qua M kẻ đờng thẳng song song ON cắt đờng thẳng AB tại E. Qua N kẻ đờng thẳng song song OM cắt đờng thẳng AB t¹i F. a) CMR: MNE  NFM b) Gọi K là giao điểm của EN và FM. Hãy xác định vị trí của dây MN để chu vi tam giác MKN lớn nhất Gi¶i tãm t¾t: 0   a) Dễ dàng chứng minh đợc EMN FNM 120 ME MO ME MN    MN NF (vì MON đều) MÆt kh¸c EMO  ONF  NO NF    b) MNE  NFM  MNE NFM FMO      MKN 1800  MNE  NMF 1800  FMO  NMF 180 0  600 1200 mµ không đổi K thuộc cung tròn chứa góc 120 0 dựng trên đoạn thẳng MN = R không đổi. Từ đó suy ra K là điểm giữa cung MKN hay MK = NK. KÐo dµi EM vµ FN c¾t nhau t¹i I vµ ta chøng minh ® îc MN ë vÞ trÝ sao cho AM = MN = NB = R. . . . . Bµi 5: Cho a, b, c > 0 vµ abc = 1. a3 b3 c3 3    1 b   1 c   1 c   1 a   1 a   1 b  4 Chøng minh r»ng  Gi¶i tãm t¾t: ¸p dông B§T CauChy ta cã a3 1 b 1 c a3 1  b 1  c 3a   3 3 . .  8  1 b   1 c  8  1 b   1 c  8 8 4 a3 b3 c3 a b c 3     3 4  1 b   1 c   1 c   1  a   1  a   1 b . tơng tự rồi cộng lại đợc 3 Mµ a  b  c 3 abc 3 ruy ra ®pcm DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c = 1.

<span class='text_page_counter'>(39)</span>