tich phan tung phan tSy hay

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Bài 5-tiết 4. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN A. MỤC ĐÍCH . 1. Công thức tính tích phân từng phần :I=.   u.dv uv   v.du . . (*). . I f ( x)dx..  2. Khi tính tích phân : , ta không thể sử dụng các phương pháp : Phân tích để sử dụng trực tiếp bảng nghuyên hàm cơ bản , cũng như phương pháp phân tích để tính trực tiếp , thì khi đó ta phải sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân I. Trong những năm thi tuyển sinh đại học gần đây , nhất là từ khi đề chung cho đến nay , số đề tích phân cho dưới dạng tích phân từng phần chiếm tới 90% số đề ra về tích phân .. . 3. Đối với phương pháp tính tích phân từng phần có dạng :. . I f ( x)dx. u  x  dv  x  . . .. . I u.dv.  Hay viết tắt : . Trong đó : u=u(x),v=v(x) ( là các hàm số theo x ) thì cái khó nhất là chọn hàm số u(x) và vi phân dv(x) sao cho nguyên hàm v(x) dễ tìm nhất và . v.du. phải kết hợp với vi phân du sao cho tích phân có thể tính trực tiếp bằng các phương pháp đã trình bày trên . 4. Về phương pháp tích phân từng phần thường có một số dạng thường gặp sau : . B. MỘT SỐ DẠNG THƯỜNG GẶP VÀ GỢI Ý CÁCH GIẢI   ax  I P  x  e dx      I  P  x  sin axdx       I  P x cosaxdx      I. Tích phân dạng : . Trong đó : P(x) là một đa thức, a là hằng số .. 1. Gọi ý cách giải : - Sử dụng phương pháp tích phân từng phần bằng cách chọn : U=P(x) suy ra du = P'(x)dx  e ax dx  dv  sin axdx  cosax .  1 ax ae  1  v   cosax  a   1 sin ax  a . Sau đó thay vào công thức (*). 2. Một số ví dụ minh họa.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Ví dụ 1. ( KD-2006) . Tính tích phân sau : 1. a.. I  x  2  e2 x dx 0. ln 3. .. b.. I   x 2  2 x  e x dx 1. Giải 1 u  x  2  du dx ; dv e 2 x dx  v  e 2 x 2 a. Đặt : . Thay vào công thức (*) ta có : 1 1 1 1 5  3e 2 1 1 1 I   x  2  e 2 x  e2 x dx    e2  2   e2 x  0 20 0 2 2 4 4. .. b. Đặt :. u  x  2 x  2. x.  du  x  2  dx ; dv e dx  v e x. Thay vào công thức (*) ta có : ln 3. Tính :. I  x 2  2 x  e x. ln 3  1. ln 3 x.  2 x  2  e dx ln. ln 3.  2 x  4  e x. 1. 3  2ln 3  e  J  1. 1. J   2 x  2  e x dx   2 x  2  d  e x   2 x  2  e x 1. 2. ln 3  1. ln 3. e 1. x. ln 3 2dx   2 x  2  e x  2e x  1. ln 3  2 ln 3  4  3    2  e 6 ln 3  12  2e 1 I  ln 2 3  2ln 3  e    6 ln 3  12  2e  ln 2 3  8ln 3  12  e. Thay vào (1) ta có : Ví dụ 2. Tính các tích phân sau  4. a..  x. 2.  2.  4 x  3 sin 2 xdx. b.. 0. 2.  2 x  1 cos xdx 0. Giải  4. a..  x. 2.  4 x  3 sin 2 xdx. 0. 1 cos2x 2. u  x 2  4 x  3  du  2 x  4  dx; dv sin 2 xdx  v . - Đặt : - Thay vào (*) :.  2. 2 2  1   1 1 2 1 1   1   I   x  4 x  3 cos2x+  2 x  4  cos2xdx     2  3    1   J     2  3    J  1 2 20 2   4 2   4    2  2. - Tính :  2.      2 1 1  J  2 x  4  cos2xdx   2 x  4  d  sin 2 x     2 x  4  sin 2 x 2  2 sin 2 xdx  cos 2 x 2  2 20 2 0 0   0 0   2  1 1    2  8  4 I    2  3      2   2   4 8   2 - Thay vào (1) ta có : 1  cos2x cos 2 x  2 b. Vì : . Cho nên :.  2.  2.  2. . . 2 1 12  1  cos2x   I  2 x  1 cos 2 xdx  2 x  1  dx  x  dx   2 x  1 cos2xdx     2 2 2   0 0 0 0.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>       2 2 2 1   1  1 2 1   x  x  2   2 x  1 d  sin 2 x       2 x  1 sin 2 x 2  sin 2 x.2dx   2  20 8 4 2 2   0 0 0     2  1 2     0  cos2x 2    1  8 4 8 4 2  0  . = * Chú ý : Qua ví dụ trên ta có các nhận xét sau : - Bậc của P(x) càng cao thì số lần lấy tích phân từng phần càng lớn : Nếu bậc của P(x) cao nhất là 2 thì ta phải láy hai lần tích phân từng phần thì mới ra kết quả . . - Tổng quát : Nếu gặp phải các tích phân có dạng : phải sử dụng các công thức hạ bậc :. . P( x)sin. . n. axdx . n. P  x cos axdx. . . Ta. 1  cos2x 1  cos2x 3sin x  sin 3 x 3cos x  cos3x sin 2 x  ; cos 2 x  ;sin 3 x  ; cos 3 x  2 2 4 4 Như :. Sau đó tách tích phân đã cho thành hai hay nhiều tích phân mà ta có thể tìm dược nhờ các gợi ý đã biết . Ví dụ 3. Tính các tích phân sau. x  1. a..  2 x 2  3x  1 e. 0. 2. c.. 3. 2x. 1. dx. b.. 3 x2. x e 0. dx. .. 2 x. xe.  x  2 . 2. dx. . ( Cao đẳng GTVT-2004 ). 0. Giải. x  1. a.. 3.  2 x  3x  1 2. e2 x. 0. - Đặt : . -. u  x3  2 x 2  3x  1  du  3x 2  4 x  3 dx ; dv . dx 2  v  2 x 2x e e . Thay vào (*). 1 1  3x 2  4 x  3  2 3 6 2 x  2 x  3 x  1  2    dx 2  2  2 J  1 2x 2x 0 0 e e e . - Đặt : J . dx. u1  3 x 2  4 x  3  du1  6 x  4  dx ; dv1 . . Tương tự : Ta tính J .. dx 2  v1  2 x 2x e e . Do đó :. 1 1 6x  4 2 4 2 3 x  4 x  3  2  2 x dx 6  2  2 K  2    2x 0 0 e e e. .. 1. - Ta tính +/ Đặt :. 6x  4 K  2 x dx e 0. .. u2 6 x  4  du2 6dx ; dv2 . +/ Do đó :. dx 2  v2  2 x 2x e e. 1 1 6dx 6 2 1 1 6 K  2 x  x  4   2 2 x  2  8  6 2 x  2  8  0 0 e e e e 0 e.  1  6  2  1  2  3 e .

<span class='text_page_counter'>(4)</span> - Thay (3) vào (2) :. b.. 4 4  2( 2) 2  2 2 e e . Lại thay vào (1) ta có :. 6 4 14   2  2  2  6  2 2 e e  e . I 2  1. J 6 . 3 x2. dt 2 xdx; x 0  t 0, x 1  t 1 t x 2   t  f ( x) dx te dt 0 . Đặt : 1 1 1 1 1 1 t I t.e dt  t.d  et    t.et  et   0 2 20 2 0 1. 2. 2 x x e dx x e .xdx 0. Do đó : 2. x 2e x.  x  2 . 2. dx. c. Cách 1.. . Ta giải bằng hai cách :. 0. - Đặt :. u  x 2e x  du  2 x.e x  x 2e x  dx xe x  2  x  dx ; dv  2. I . x 2e x x2. 2. dx.  x  2. 2.  v . 1 x2. 2 2 x 2e x 2 dx   xe x dx  e2   xe x  e x  1 0 x2 0 0.  0  - Vậy : Cách 2. ( Đổi biến số trước ,sau lấy tích phân từng phần sau ) dt dx, x 0  t 2; x 2  t 4  2 t x  2   t  2  et  2   2  .dt  t   4  et  2 dt  f ( x )dx  t t    - Đặt 4 4 t 2 4 e I tet  2 dt   dt  4et  2 dt J  K  4 L  1 t 2 2 2 - Suy ra : .. - Các tích phân J,K,L các em đều có thể tính được . * Chú ý : Qua ví dụ 3 ta có một số nhân xét quan trọng sau . - Đối với tích phân có dạng :. eax I  dx P ( x ) . , ta vẫn có thể áp dụng cách giải của dạng. . I P( x)e ax dx.  tích phân được . - Ta có thể kết hợp cả hai phương pháp : đổi biến số và tích phân từng phần . Nghĩa là trước khi lấy tích phân từng phần , ta đổi biến số . Ví dụ 4. Tính các tích phân sau  4. a..  x.  4 x  3 sin 2 xdx. b.. 0.  4. c.. 2.  2. x. 2. d.. 0. Giải a..  x 0. 2.  4 x  3 sin 2 xdx. 2. xdx. 0.  2. cos x dx  4. x.sin 2. x cosxdx 0.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> - Đặt :. u  x 2  4 x  3  du  2 x  4  dx , dv sin 2 xdx  v . 1 cos2x 2 . Thay vào (*). . -.  1 14 3 1 2 I  cos2x  x  4 x  3 4   2 x  4  cos2xdx   J  1 2 20 2 2 0  4.     4 1 1  J  2 x  4  cos2xdx   2 x  4  d  sin 2 x    sin 2 x  2 x  4  4  2sin 2 xdx  20 2 0   0 0   - Tính :   1    5     4   cos2x 4    3 1  5  4  8 2 I      2  4  0  2 2 8 2 16 .  . Thay vào (1) ..  2.  4.  2.  2 1  1  cos2x  x.sin 2 xdx x   dx   xdx   2 2 0  0 0   b..  2.      12   11 2 x.cos2xdx    x 2  x.d  sin 2 x    2 2 20 0  0   .   2    2    1  1 1  2 8  1 2 1     x.sin 2 x  2  sin 2 xdx    0  cos2x 2      2 8 2 2  8 2  2 16   0 0 0        ..  4. c..  4. .  4  x   1 dx x.d  t anx  x.t anx 4  t anxdx   ln  cosx  4   ln 2 2  cos x 4 4 2 0 0 0 0 0  2. 2. x cosxdx. d. 0 . 2 - Đặt : u x  du 2 xdx , dv cosxdx  v=sinx .       2  2 2 2 2     2 I  x .s inx 2  2 x.s inxdx   x.d  cosx     x.cosx 2  cosxdx  4 0 4   0 0 0 0   Do đó :   2  2  4   0  s inx 2    4  4 0  . . II. Tích phân dạng : 1. Gợi ý cách giải :. P( x).ln. k. xdx. . u ln k x  du k .ln k  1 x.. dx , dv P ( x)dx x. - Đặt : 2. Một số ví dụ minh họa và chú ý : Ví dụ 1. Tính các tích phân sau. 2. e. a.. 3 2 x ln xdx 1. . ( KD-2007). b.. ln  x 3. 2.  x  dx. . ( KD-2004 ).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> c.. e. e. 3 ln xdx. x. d. Giải. 1. 2. ln xdx. 1. . ( Tham khảo 2005 ). e. a.. x. 3. ln 2 xdx. 1. - Đặt :. .. u ln 2 x  du 2 ln x. dx 1 , dv x3 dx  v  x 4 x 4. e e 1 4 2 e 1 x4 e4 1 3 e4 1 I  x .ln x  2 ln x. dx   x ln xdx   J  1 1 41 4 x 4 21 4 2. - Do đó :. .. e. J x 3 ln xdx. - Tính. 1. +/ Đặt :. u1 ln x  du1 . +/ Do đó :. dx 1 , dv x 3 dx  v  x 4 x 4. e 1e 1 e 4 1 4 e 3e 4 1 J  x 4 ln x  x3 dx   x  1 41 4 4 16 1 16. 4. I. .. 4. . Thay vào (1) ta có :. 4. e 1  3e  1  5e  1    4 2  16  32 .. 2. b.. ln  x. 2.  x  dx. 3. - Đặt :. .. u ln  x 2  x   du  3 I x.ln  x  x   2 2. - Do đó : 3. 2x  1 dx, dv dx  v  x x2  x . 3. x  2 x  1 dx 3ln 6  2ln 2   x  x  1 2. 3. 2 x  2 1 dx x 1 2. . 3. ln 54  2dx  2. 3 d  x  1 ln 54  2  ln  x  1 3ln 3  2 2 x 1 2 .. . e. c.. ln. 3. xdx. 1. - Đặt :. .. u ln 3 x  du 3ln 2 x. - Do đó : +/ Đặt :. e e I x ln 3 x  3ln 2 xdx e  3 J  1 1 1. u1 ln 2 x  du1 . +/ Do vậy :. +/ Thay vào (1) : e. d.. 1. 2. ln xdx. ... e. .Tính :. J ln 2 xdx 1. 2 ln x dx, dv1 dx  v1  x x. e e J x ln x  2ln xdx e  1 1.  e e  e 2  x ln x  dx  e  2  x ln x  x  e  2  1 1  1  . I e  3  e  2  6  2e 2. x. dx , dv dx  v  x x.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> - Đặt :. u ln x  du . dx 1 , dv x 2 dx  v  x3 x 3. e 1e 2 1 3 e3 1 3 e 2e3  1 I  x ln x  x dx   x  1 31 3 3 9 1 9. - Do đó : * Chú ý : Lũy thừa kcủa lnx bằng số lần lấy tích phân từng phần , như vậy số lần lấy tích phân từng phần không phụ thuộc vào bậc của đa thức P(x). Ví dụ 2. Tính các tích phân sau : 3. a.. 3  ln x.  x 1. 2. 2. dx. . ( KB-2009 ). 1. b.. ln x. x 1. 3. dx. . ( KD-2008 ). 2. ln  x  1 dx 2 x 1 c. . ( CĐ cơ khí luyện kim-2006 ). . Giải 3. a.. 3  ln x.  x 1. 2. 1. 3. . 3. dx  1. 3. - Với : 1  x  1. 2. 3. 3.  x  1. 2. dx   1. ln x.  x  1. 2. dx  1. .. 3 3 3  x 1 1 4. dx . 27 ln 3 3 3 3 ln x ln x 1 ln 3  1 1  ln 3 x dx   dx     dx   ln  16  2  x  1 1 1 x  x  1 4 1  x x 1  4 x 1 1 4 1  x  1 3. - Với : 3 I  4 Thay vào (1) : 2 ln x dx 3  b. 1 x .. ln. 27 27 3  ln 16  16 4 4. 2. - Đặt :. u ln x  du  I . - Do vậy :. dx dx 1 , dv  3  v  2 x x 2x 1. 2 1 2 dx 1 ln 2 1 2 3  2 ln 2 ln x   3    2 1 21 x 2x 8 4 x2 1 16. 2. 2 ln  x  1 ln  x  1 2 1 ln 3  1 1  dx   dx  ln 2      dx 2    x x x x  1 2 x x  1     . 1 1 c. 1 ln 3 ln 3 ln 2  3ln 3  x 2 ln 2   ln   ln 3   1 ln 2  2 2 2  x 1 . . * Chú ý : Qua ví dụ 2 ta thấy tích phân dạng : . I P( x) ln xdx.  cho tích phân dạng : Ví dụ 3. Tính các tích phân sau .. ln x. P( x) dx. . , vẫn có thể áp dụng cách giải.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 1. x ln  1  x  dx 2. a.. 0. . ( CĐKTKT công nghiệp II-2006 )  3. 3. b.. x ln  x. 2.  5  dx. 0. . CĐTCKT-2006 ). c.. ln  t anx .  sin 2 x . dx. . (CĐTCHải quan -2006 ). 4. Giải 1. a.. 1. 1  1 1 2 2 2 2 1 ln 1  x d 1  x  1  x ln 1  x  d 1  x2              0 0 20 2   . 1   2 ln 2  1  0 2. 2 x ln  1  x  dx  0. 1   2 ln 2   1  x 2  2 3. b.. x ln  x. 2.  5  dx. 0. .. dt 2 xdx; x 0  t 5, x 3  t 14  t x  5   1 2  f ( x)dx x ln  5  x  dx  2 ln tdt - Đặt : 14 14 14 ln14  5ln 5  11 1 1 I  ln tdt   t ln t  t   5 25 2 2 2. - Do đó :.  ln  t anx  1 1 1 3 1 dx  ln  t anx  d  ln  t anx     ln 2  t anx    ln 2 3  0  ln 2 3   4 sin 2 x 2 4 16  4 4 4 c. .  3.  3. . . Cách khác : dx dt  2 dt= cos 2 x  1  t  dx  dx 1  t 2 t t anx   2t  x   t 1; x   t  3 sin 2 x   4 3  1 t2 - Đặt : . Với : 3. ln t dt 1  2 2t 1  t 2 2 1 t. I  1. - Khi đó : 3. +/. 3. ln t. t 1. 3. 1 dt  J  1 2. ln t 1 3 1 2 1 J   dt  ln t.d  ln t   ln 2 t  ln 3  0  ln 2 3 t 2 8 1 2 1 1. . . 1 I  ln 2 3 16 +/ Thay vào (1) ta có :. * Chú ý : Qua ví dụ 3, ta thấy có thể đổi biến trước khi lấy tích phân từng phần . . . I eax sin bxdx  J e ax cosbxdx.   III. Tích phân dạng : 1. Gợi ý cách giải  Gọi hai tích phân như trên . Sau đó ta đi tính tích phân I bằng cách : Đặt. 1 1 u eax  du  eax ; dv sin bxdx  v  cosbx a b , ta sẽ có được kết quả dạng :  I= A+mJ I-mJ=A (1).

<span class='text_page_counter'>(9)</span>  Sau đó để tính tích phân J ta làm tương tự bằng cách : Đặt 1 1 u eax  du  e ax ; dv cosbxdx  v  sin bx a b , ta sẽ có được kết quả dạng :  J=B+nI J-nI = B (2).  Giải hệ hai phương trình (1) và (2) ta tìm được I và J . 2. Ví dụ minh họa : Ví dụ 1. Tính các tích phân sau :  2. a.. e. 2x. cos3xdx. b.. 0. . c..  2. e. 2x. I  e 3x sin 5xdx 0. 1. 2. sin xdx d.. 0. (e. x2. ( CĐKTKT-2005). sin x  e x x 2 )dx. 1. . ( ĐHTN-2000). Giải  2. a.. e. 2x. cos3xdx. 0. 1 e 2 x  du 2e 2 x , dv cos3xdx  v= sin 3 x 3 . Đặt : u= . 1 I  sin 3 x.e 2 x 3. - Do đó :  2. e. 2x.  1 2 2x 1 2 2 1  e sin 3 xdx  e  J  I  J  e  1 2  30 3 3 3 3 0. sin 3 xdx. - Tính J = 0. . Đặt :. u e 2 x  du 2e 2 x dx; dv sin 3xdx  v . 1 cos3x 3. . J . 1 cos3x.e 2x 3. - Do vậy :.  2 2 2x 1 2 2 1  e cos3xdx   I  J  I   2  2  30 3 3 3 3 0.  3e  2 - Từ (1) và (2) ta có hệ hai phương trình . Giải hệ ta có I= 13  2. b.. I  e 3x sin 5xdx 0. .. Đặt :. u e3 x  du 3e3 x dx; dv sin 5 xdx  v . 1 cos5x 5. . - Do đó :. 3  2 1 3x 3 3x e2 3 3 1 32 I  e cos5x 2  e cos5xdx   J  I  J  .e 5 50 5 5 5 5 0.  1. 1 u e3 x  du 3e3 x dx; dv cos5 xdx  v  sin 5x 5 - Ta lại đặt : . - Do đó :. 3  1 3x 3 2 3x e2 3 3 1 3 I  e sin 5x 2  e sin 5xdx   I  J  I  .e 2 5 50 5 5 5 5 0.  2.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 1 1 32 I  J  .e 4 20 - Từ (1) và (2) ta tính được : . . c.. e. 2x. 0.   1  2x 1   2x sin xdx  e  1  cos2x  dx   e dx  e 2x cos2xdx  20 2  0 0  2. 1 2x   2x 1 1  e  e cos2xdx  e2  1  J  1 0 0 4 4 2. . . e. 2x. . cos2xdx. 1 u e 2 x  du 2e 2 x dx; dv cos2xdx  v= sin 2 x 2 - Tính J= 0 . Đặt :  1 1 1 J  e 2 x sin 2 x  e 2 x sin 2 xdx  K  2  0 20 2 2. - Do đó :. . Ta tính K. 1 u e 2 x  du 2e2 x dx; dv sin 2xdx  v= cos2 x 2 - Lại đặt :   1 1 1 K  e 2 x cos2 x  e 2 x cos2 xdx   e 2  1  J  K  J   e 2  1  3 0 0 2 2 2. - Do đó :. Từ (2) và (3) ta tính được : 1. (e. x2. J. 1 1 1  e 2  I   e  1  2 2 , sau đó lại thay vào (1). 0. x 2. sin x  e x )dx  (e. x2. 1. x 2. 2. sin x  e x )dx  (e x sin x  e x x 2 )dx J  K  1. 1 0 d.  1 - Tính J: Đặt t=-x suy ra dt=-dx . Khi x=0 thì t=0;x=-1 thì t=1 . Khi đó : 0. 1. 2. 2. 1. 2. J et sin   t    dt   et sin tdt  e x s inxdx  J  2 J 0  J 0. 1 0 0 2 x x +/ Tính K : Đặt u x  du 2 xdx; dv e dx  v e .. K  x 2 .e x. +/ Do vậy :. .. 1   1 1 x 1 1  2 x.e dx e  2 x.d  e x  e  2  x.e x  e x dx  0 0 0 0   0.  1 e  2  e  e x   e  2  e  1 e  2 0  .. - Vậy : I=K= e-2. Ví dụ 2. Tính các tích phân sau 1. a.. b.. 0. /4. c.. /2. x 2 e sin (x)dx.   tgx  e 0. sin x. . cos x dx. . (DB-2005) Giải. e 0. cos x. sin 2xdx. ( DB-2004).

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 1. a.. e. x. 0. 1. 2. x  1. sin (x)dx e   0. 1  cos2x  1 1 x x dx  e dx  e c os2  xdx      2 2  0  0 . 1 1  e 1 1   ex  J    J  1 2 0  2 2 . Tính J : 1 u e x  du e x dx; dv cos2 xdx  v= sin 2 x 2 - Đặt : .. - Do đó : 1 1 11 1 1 1 1 J  e x sin 2 x  e x sin 2 xdx   e.sin 2  sin 0   e x sin 2 xdx  K  1  0 20 2 2 2 0 2. 1 u e x  du e x dx; dv sin 2 xdx  v  cos2 x 2 +/ Tính K : Đặt 1 1 1 x 1 1 1 K  e x cos2 x  e cos2 xdx   e  1  I  2  0 2 0 2 2 2. +/ Do vậy : Từ (1) và (2) ta có :. 2   e  1 e  1 1  1  e  1 1  1 e 1 e 1  4  1    e  1 I   I  I  I  2  I  I     2 2  2  2  2  4 2 8 8 2 2  4 1  4 . /2.  2. 0. 0. 1. 1. cos x cosx t t  e sin 2xdx 2 e .cosx.  sinxdx  2 e t   dt  2 e dt. b.. 0. . 2 e t  t. 0. .. 1.  0 2  e  1  1 2  e  2 .  t 1, x   t 0 2 Vì :  t cosx  dt=-sinxdx . Khi x=0 thì / 4.   tgx  e. c.. sin x. .  4.  4. 0. 0. cosx dx t anxdx  e sinxcosxdx. 0. ..  4.   1 ln 2 sinx sinx  ln cosx 4  e d  sinx   ln e e 4 2 2 0 0 0. 2 2. 1. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Tính các tích phân sau  2. a..  e. x.  cosx  cosxdx. 0.  3. x.tan . 2. b.. 2. x.sin 2 xdx. x cosxdx. 0. 2. c.. e. xdx. d. 4 Bài 2. Tính các tích phân sau.  4. e.. x.ln xdx 1. 0. 0. f.. x  e. 1. 2x. .  3 x  1 dx.

<span class='text_page_counter'>(12)</span>  6. a..  2. x.s inxcos xdx 0. e. ln x.  x 1. 2. dx. 1 e. d. Bài 3. Tính các tích phân sau  4. a.. e. b. e.. 3x. sin 4 xdx. b.. 0. xcos x dx. . d. 0 Bài 4. Tính các tích phân sau 1. x 2e x.  x  2  0. 2. e.. dx. d. 1 Bài 5. Tính các tích phân sau. e.. 1. ln  x  1 dx 2  x  1 0. b.. f.. x.sin. 3. ln  s inx  dx  cos 2 x  6. 4. x cos xdx. d. Bài 5. Tính các tích phân sau 0. e.. 2. x ln  x 1 dx. b.. sin 2 x. s inxcos3 xdx. 0. .. c..  x  sin x  cosxdx 2. 0. 1. e. 2x  x  2  e dx. x. 0. f.. 3. 1 2. c..  1 x . x.ln  1  x  dx 0. 2. 2  x  x  ln xdx. x. 1. ln 2 xdx. 0. 2. f.. ln x 5. dx. 1.  2. 1. s inxln  1+cosx  dx.  1  x . 0. 1  s inx x e dx  1+cosx 0  4. 3. sin 2 xdx.  2. c..  2. . a.. e.  1 x 2 ln  1   dx  x  b. 1. 2 cos  ln x  dx. 0. s inx.ln  cosx  dx 0. 2x. 0.  2. 2.  e2. a.. c.. e.  3.  3. 2 4. a.. . x.s inx dx  1+cosx 0. ln  t anx  dx 0. e 2 x dx. 2. ln xdx. 0. 4. f.. 2.  x  1 1.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>