GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, dùng cho học sinh ôn tập thi vào lớp 10, nguyễn cao cường

Chuyên đề
Giải bài toán
bằng cách lập ph-ơng trình,
hệ ph-ơng trình
Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập thi vào lớp 10 THPT

Biên soạn nội dung: Thầy giáo Nguyễn Cao C-ờng
GV : Tuyensinh247.com


Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình

Phần I. đề bài
Bi 1.Mt ngi i xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km. Khi đi từ B trở về A, người đó tăng vận
tốc thêm 3 km/h, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút. Tính vận tốc của người đi xe đạp khi đi
từ A đến B.
Bài 2. Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6(m) và bình phương độ dài đường
chéo gấp 5 lần chu vi. Xác định chiều dài và chiều roọng maỷnh ủaỏt ủoự.
Bi 3.Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm trong một thời gian đà định. Nh-ng thực tế xí nghiệp lại
giao 80 sản phẩm. Mặc dù ng-ời đó mỗi giờ đà làm thêm một sản phẩm so với dự kiến, nh-ng thời gian
hoàn thành công việc vẫn chậm so với dự định là 12 phút. Tính số sản phẩm dự kiến làm trong 1 giờ của
ng-ời đó. Biết mỗi giờ ng-ời đó làm không quá 20 s¶n phÈm
Bài 4. Một đội xe cần phải chuyên chở 150 tấn hàng. Hơm làm việc có 5 xe được điều đi làm nhiệm vụ
khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 5 tấn. Hỏi đội xe ban đầu có bao nhiêu chiếc?
Bài 5. Hai thành phố A và B cách nhau 50km. Một người đi xe đạp từ A đến B. Sau đó 1giờ 30 phút,
một người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn người đi xe đạp 1giờ. Tính vận tốc của mỗi người
biết rằng vận tốc của người đi xe máy lớn hơn vận tốc của người đi xe đạp là 18km/h.
Bi 6.Hai ô tô xuất phát từ A đến B dài 300km, ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai mỗi giờ 10 km
nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc mỗi ô tô.
Bi 7.Một ca nô chuyển động xuôi dòng tõ bÕn A ®Õn bÕn B sau ®ã chun ®éng ng-ợc dòng từ B về A
hết tổng thời gian là 5 giờ . Biết quÃng đ-ờng sông từ A đến B dài 60 Km và vận tốc dòng n-ớc là 5 km/h .

TÝnh vËn tèc thùc cđa ca n« (VËn tốc của ca nô khi n-ớc đứng yên ).
Bi 8.Một hình chữ nhật có chu vi là 160m và diện tích là 1500m2. Tính chiều dài và chiều rộng hình chữ
nhật ấy
Bi 9.Một ng-ời đi xe đạp từ A đến B. Khi còn cách B 30 km ng-ời đó nhận thấy rằng: Nếu giảm vận tốc
đi 3km/h thì đến B muộn hơn 30 phút; nếu tăng vận tốc 3km/h thì ®Õn B sím 30 phót. TÝnh vËn tèc lóc
®Çu cđa ng-ời đi xe đạp.
Bi 10. Mt tam giỏc vuụng cú hai cạnh góc vng hơn kém nhau 8m . Nếu tăng một cạnh góc vng
của tam giác lên 2 lần và giảm cạnh góc vng cịn lại xuống 3 lần thì được một tam giác vng mới có
diện tích là 51m2 . Tính độ dài hai cạnh góc vng của tam giác vng ban đầu.
Bài 11. Cho sè tù nhiªn có hai chữ số, tổng của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng 14. Nếu đổi
chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cho nhau thì đ-ợc số mới lớn hơn số đà cho 18 đơn vị. Tìm số đÃ
cho.
Bi 12.Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45m. Tính diện tích thửa ruộng,
biết rằng nếu chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng 3 lần thì chu vi thửa ruộng không thay đổi.
Bi 13.Theo k hoch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật
mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn
thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch ?
Bài 14. Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 14km/giờ thì đến
sớm 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4km/giờ thì đến muộn 1 giờ.
Tính vận tốc dự định và thời gian dự định.
Bài 15. Một tam giác có chiều cao bằng

2
cạnh đáy. Nếu chiều cao giảm đi 2 dm và cạnh đáy tăng thêm
5

3 dm thì diện tích của nó giảm đi 14 dm2.Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác.
Bài 16. Hai người cùng làm chung một cơng việc sẽ hồn thành trong 4 giờ. Nếu mỗi người làm riêng để
hồn thành cơng việc thì thời gian người thứ nhất làm ít hơn người thứ hai 6 giờ.Hỏi nếu làm riêng thì
mỗi người phải làm trong bao lâu sẽ hồn thành cơng việc?

Bài 17. Hai vịi nước cùng chảy vào một bể (ban đầu không chứa nước) thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu chảy
một mình cho đầy bể thì vịi I cần nhiều thời gian hơn vòi II là 5 giờ. Hỏi nếu chảy một mình để đầy bể
thì mỗi vịi cần bao nhiêu thời gian ?

Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất!

2


Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình
Bi 18. Mt cụng vic nu giao cho hai đội cơng nhân làm chung thì làm xong trong 4 giờ 48 phút. Hỏi
nếu làm riêng thì mỗi đội hồn thành cơng việc trong bao lâu ? Biết rằng thời gian làm riêng xong công
việc của đội II nhiều hơn thời gian của đội I là 4 giờ.
Bài 19. Hai vật chuyển động trên một đ-ờng tròn có đ-ơng kÝnh 2m , xt ph¸t cïng mét lóc tõ cïng một
điểm . Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây lại gặp nhau. Nếu chúng chuyển động ng-ợc
chiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật.
Bi 20.Một chiếc thuyền khởi hành từ bến s«ng A, sau 5 giê 20 phót mét ca n« chạy từ bến sông A đuổi
theo và gặp thuyền cách bÕn A 20 km. Hái vËn tèc cđa thun, biÕt rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12
km/h.
Bi 21. QuÃng đ-ờng AB dài 270 km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B. Ô tô thứ nhất chạy
nhanh hơn ô tô thứ hai 12 km/h, nên đến tr-ớc ô tô thứ hai 40 phút. Tính vận tốc của mỗi Ô tô.
Bi 22. Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 km, cả đi vµ vỊ mÊt 8 giê 20 phót. TÝnh vËn tèc của
tàu thuỷ khi n-ớc yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng n-ớc là 4 km/h.
Bi 23. Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến sông A đến bến sông B ,ca nô I chạy với vận tốc
20 km/h, ca nô II chạy với vận tốc 24 km/h. Trên đ-ờng đi ca nô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy
với vận tốc nh- cũ. Tính chiều dài quÃng sông AB, biết rằng hai ca nô đến B cùng một lúc.
Bi 24.Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đến địa điểm B dài 240 km. Mỗi giờ ô tô thứ nhất
chạy chanh hơn ô tô thứ hai 12 km/h nên đến địa điểm B tr-ớc ô tô thứ hai là 100 phút. Tính vận tốc của
mỗi ô tô.
Bi 25. Một ca nô xuôi dòng 42 km rồi ng-ớc dòng trë l¹i 20 km hÕt tỉng céng 5 giê. BiÕt vận tốc của

dòng chảy là 2 km/h. Tính vận tốc của ca nô lúc dòng n-ớc yên lặng.
Bi 26. Hai ng-ời đi xe đạp cùng xuất phát một lúc đi từ A đến B dài 30 km, vận tốc của họ hơn kém nhau
3 km/h nên đến B sớm muộn hơn nhau 30 phút. Tính vận tốc của mỗi ng-ời.
Bi 27. Mét ng-êi ®i tõ tØnh A ®Õn tØnh B cách nhau 78 km. sau đó 1 giờ ng-ời thứ hai đi từ tỉnh B đến
tỉnh A hai ng-ời gặp nhau tại địa điểm C cách B 36 km. Tính thời gian mỗi ng-ời đà đi từ lúc khởi hành
đến lóc gỈp nhau, biÕt vËn tèc ng-êi thø hai lín hơn vận tốc ng-ời thứ nhất là 4 km/h.
Bi 28.QuÃng đ-ờng AB dài 120 km. Hai Ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B,Ô tô thứ nhất chạy
nhanh hơn Ô tô thứ hai là 10 km/h nên đến B tr-ớc Ô tô thứ hai 24 phút. Tính vận tốc mỗi xe.
Bi 29. Một ng-ời dự định đi từ A đến B với thời gian đẵ định. Nếu ng-ời đó tăng vận tốc thêm 10 km/h
thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ. Nếu ng-ời đó giảm vận tốc đi 10 km/h thì đến B muộn hơn dự định 2
giờ. Tính vận tốc, thời gian dự định đi và độ dài quÃng đ-ờng AB.
Bi 30. Một ca nô xuôi dòng 1 km và ng-ợc dòng 1km hết tất cả 3,5 phút. Nếu ca nô xuôi 20 km và
ng-ợc 15 km thì hết 1 giờ. Tính vận tốc dòng n-ớc và vận tốc riêng của ca nô.
Bi 31. Bạn Hồng dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian đà định. Sau khi ®i 1 giê,
Hång nghØ 10 phót, do ®ã để đến B đúng hẹn Hồng phải tăng vận tốc thêm 6 km/h. Tính vận tốc lúc đầu
của Hồng .
Bi 32. Tìm hai cạnh của một tam giác vuông biết cạnh huyền bằng 13 cm và tổng hai cạnh góc vuông
bằng 17.
Bi 33. Một khu v-ờn hình chữ nhật có chu vi 280 m. Ng-ời ta làm một lối đi xung quanh v-ên (thc
®Êt v-ên ) réng 2 m, diƯn tích còn lại để trồng trọt là 4256 m2. Tính kích th-ớc ( các cạnh) của khu v-ờn
đó
Bi 34. Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m. TÝnh diƯn tÝch cđa thưa rng biÕt r»ng nÕu chiỊu
dµi giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi.
Bi 35. Cho một tam giác vuông. Khi ta tăng mỗi cạnh góc vuông lên 2 cm thì diện tích tăng 17 cm2. Nếu
giảm các cạnh góc vuông đi một cạnh đi 3 cm một cạn 1 cm thì diện tích sẽ giảm đi 11cm2. Tìm các cạnh
của tam giác vuông đó.
Bi 36. Một đội máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày cày đ-ợc 52 ha, vì vậy
đội không những cày xong tr-ớc thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm đ-ợc 4 ha nữa. Tính diện tích thửa
ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch.
Bi 37. Hai ng-ời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ng-ời thứ nhất làm trong 3 giờ,

ng-ời thợ thứ hai làm trong 6 giờ thì học làm đ-ợc 25% khối l-ợng công việc. Hỏi mỗi ng-ời thợ làm một
mình công việc đó trong bao lâu.
Bi 38. Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công. HÃy tính số công nhân của
đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 ng-ời thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày.
Bi 39. Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định xong trong 12 ngày. Họ cùng làm
chung với nhau đ-ợc 8 ngày thì đội 1 đ-ợc điều động đi làm công việc khác, đội 2 tiếp tục làm. Do cải
Truy cp trang ụn luyn thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất!

3


Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình
tiến kỹ thuật, năng suất tăng gấp đôi nên đội 2 đẵ làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi mỗi đội
làm một mình thì sau bao nhiêu ngày sẽ làm xong công việc nói trên ( với năng suất bình th-ờng).
Bi 40. An và Tâm cùng làm một công việc trong 7 giờ 20 phút thì xong. Nếu An làm trong 5 giờ và
3
Tâm làm trong 6 giờ thì cả hai làm đ-ợc
khối l-ợng công việc. Hỏi mỗi ng-ời làm công việc đó
4
trong mấy giờ thì xong.
4
Bi 41. Hai vòi n-ớc chảy chung vào một bể thì sau 4 giờ đầy bể. Mỗi giờ l-ợng n-ớc của vòi I chảy
5
1
đ-ợc bằng 1 l-ợng n-ớc chảy đ-ợc của vòi II. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu đầy bể?
2
Bi 42.Một máy bơm muốn bơm đầy n-ớc vào một bể chứa trong một thời gian quy định thì mỗi giờ
1
phải bơm đ-ợc 10m3. Sau khi bơm đ-ợc dung tích bể chứa, ng-ời công nhân vận hành cho máy bơm
3

công xuất lớn hơn mỗi giờ bơm đ-ợc 15 m3. Do đó bể đ-ợc bơm đầy tr-ớc 48 phút so với thời gian quy
định. Tính dung tích của bể chứa ?
Bi 43.Hai vòi n-ớc cùng chảy vào một bể sau 1 giờ 20 phút thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong
2
10 phút và vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì đầy
bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì bao lâu mới
15
đầy bể ?
Bi 44.Tìm hai số biết tổng bằng 19 và tổng các bình ph-ơng của chúng bằng 185.
Bi 45.Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng chục
là 2 và tích của hai chữ số đó của nó luôn lớn hơn tổng hai chữ số của nó là 34.
Bi 46.Đoàn học tập h-ớng nghiệp tại Bát Tràng của tr-ờng THCS Thái Thịnh gồm180 học sinh. Nếu
dùng loại xe lớn chuyên chở một l-ợt hết số học sinh thì phải điều động ít hơn dùng loại xe nhỏ là 2
chiếc. Biết rằng mỗi ngế ngồi 1 học sinh và mỗi xe lớn nhiều hơn xe nhỏ là 15 chỗ ngồi. Tính số xe lớn ?
Bi 47. Một đội xe phải chở 168 tấn thóc. Nếu tăng thêm 6 xe và chở thêm 12 tấn thóc thì mỗi xe chở nhẹ
hơn lúc đầu là 1 tấn. Hỏi lúc đầu mỗi có bao nhiêu xe ?
Bi 48. Một phòng họp có 360 ghế ngồi đ-ợc xếp thành từng dÃy và sè ghÕ cđa tõng d·y ®Ịu nh- nhau.
NÕu sè d·y tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dÃy tăng thêm 1, thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi trong phòng
họp có bao nhiêu dÃy ghế, mỗi dÃy có bao nhiêu ghế.
Bi 49.Cho một số có hai chữ số. Tìm số đó, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần, nếu
thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ đ-ợc một số theo thứ tự ng-ợc lạivới số đẵ cho.
Bi 50.Trong tháng đầu hai tổ công nhân sản xuất đ-ợc 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai tổ v-ợt mức
15%, tổ II sản xuất v-ợt mức 20%, do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất đ-ợc 945 chi tiết máy. Hỏi rằng
trong tháng đầu, mỗi tổ công nhân sản xuất đ-ợc bao nhiêu chi tiết máy.
Bi 51.Năm ngoái dân số của hai tỉnh A và B là 4 triệu ng-ời. Dân số tỉnh A năm nay tăng 1,2 % còn tỉnh
B tăng 1,1 %, tổng dân số của hai tỉnh năm nay là 4 045 000 ng-ời. Tính dân số của mỗi tỉnh năm ngoái
và năm nay.
Bi 52.Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất đ-ợc 720 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai tổ v-ợt
mức 15%, tổ II sản xuất v-ợt mức 12%, do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất đ-ợc 819 chi tiết máy. Hỏi
rằng trong tháng đầu, mỗi tổ công nhân sản xuất đ-ợc bao nhiêu chi tiết máy.

Bi 53.Hai vòi n-ớc cùng chảy đầy một bẻ không có n-ớc trong 3h 45ph . Nếu chảy riêng, mỗi vòi phải
chảy trong bao lâu mới đầy bể ? biết rằng vòi chảy sau lâu hơn vòi tr-ớc 4 h .
Bi 54.Hai ng-ời thợ cùng làm một công việc . Nếu làm riêng, mỗi ng-ời nửa việc thì tổng số giờ làm việc
là 12h 30ph . Nếu hai ng-ời cùng làm thì hai ng-ời chỉ làm việc đó trong 6 giờ. Nh- vậy, làm việc riêng
cả công việc mỗi ng-ời mất bao nhiêu thời gian ?
Bi 55.Hai tổ thanh niên tình nguyện cùng sửa một con đ-ờng vào bản trong 4 giờ thì xong . Nếu làm
riêng thì tổ 1 làm nhanh hơn tổ hai 6 giờ . Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu sẽ xong việc?
Bi 56.Hai đội công nhân làm một đoạn đ-ờng . Đội 1 làm xong một nửa đoạn đ-ờng thì đội 2 đến làm
tiếp nửa còn lại với thời gian dài hơn thời gian đội 1 đà đà làm là 30 ngày . Nếu hai đội cùng làm thì trong
72 ngày xong cả đoạn đ-ờng .Hỏi mỗi đội đà làm bao nhiêu ngày trên đoạn đ-ờng này ?
Bi 57.Hai đội công nhân trồng rừng phải hoàn thành kế hoạch trong cùng một thời gian . Đội 1 phải
trồng 40 ha , đội 2 phải trồng 90 ha . Đội 1 hoàn thành công việc sớm hơn 2 ngày so với kế hoạch .Đội 2
hoàn thành muộn hơn 2 ngày so với kế hoạch . Nếu đội 1 làm công viÖc trong mét thêi gian b»ng thêi gian
Truy cập trang để ơn luyện thi vào 10 Tốn – Văn – Anh tốt nhất!

4


Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình
đội 2 đà làm và đội 2 làm trông thời gian bằng đội 1 đà làm thì diện tích trồng đ-ợc của hai đội bằng nhau
. Tính thời gian mỗi đội phải làm theo kế hoạch ?
Bi 58.Hai ng-ời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong . Nếu ng-ời thứ nhất làm trong 3 giờ
và ng-ời thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm đ-ợc 25% công việc . Hỏi mỗi ng-ời làm công việc đó trong
mấy giờ thì xong .
Bi 59. Hai vòi n-ớc cùng chảy vào một bể không chứa n-ớc thì sau 6 giờ đầy bể . Nếu vòi thứ nhất chảy
2
trong 2 giờ , vòi thứ 2 chảy trong 3 giờ thì đ-ợc bể . Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu thì đầy
5
bể ?
Bi 60. Hai ng-ời dự định làm một công việc trong 12 giờ thì xong . Họ làm với nhau đ-ợc 8 giờ thì ng-ời

thứ nhất nghỉ , còn ng-ời thứ hai vẫn tiếp tục làm . Do cố gắng tăng năng suất gấp đôi , nên ng-ời thứ hai
đà làm xong công việc còn lại trong 3giờ 20phút . Hỏi nếu mỗi ng-ời thợ làm một mình với năng suất dự
định ban đầu thì mất bao lâu mới xong công việc nói trên ?
Bi 61. Hai ng-ời A và B làm xong công việc trông 72 giờ , còn ng-ời A và C làm xong công việc trong
đó trong 63 giờ và ng-ời B và C làm xong công việc ấy trong 56 giờ . Hỏi nếu mỗi ng-ời làm một mình
thì trong bao lâu thì trong bao lâu sẽ làm xong công việc .Nếu ba ng-ời cùng làm sẽ hoàn thành c«ng viƯc
trong mÊy giê ?
Bài 62. Mét ca n« xu«i dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km; cïng lóc ®ã, cịng tõ A vỊ B
một bè nứa trôi với vận tốc dòng n-ớc là 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa tại địa điểm
C cách A là 8 km. TÝnh vËn tèc thùc cđa ca n«.
Bài 63.Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc . Thời gian để đội I làm một mình xong công
việc ít hơn thời gian để đội II làm một mình xong công việc đó là 4 giờ . Tổng thời gian này gấp 4,5 lần
thời gian hai đội cùng làm chung để xong công việc đó . Hỏi mỗi đội làm một mình thì phải bao lâu mới
xong.
Bi 64. Một tấm sắt hình chữ nhật có chu vi 96 cm. Ng-ời ta cắt ra ở mỗi góc một hình vuông cạnh 4 cm
rồi gấp lên thành một hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích 768 cm3. Tính kích th-ớc của tấm sắt.
Bi 65. Một nhóm thợ đặt kế hoạch sản xuất 3000 sản phẩm. Trong 8 ngày đầu họ thực hiện đúng mức đề
ra, những ngày còn lại họ đà v-ợt mức mỗi ngày 10 sản phẩm, nên đà hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày.
Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
3
Bi 66.Một hình chữ nhật có chiều dài bằng chiều rộng. Nếu bớt mỗi chiều đi 5cm thì diện tích hình
2
chữ nhật đó giảm đi 16 % . Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu.

Truy cp trang để ơn luyện thi vào 10 Tốn – Văn – Anh tốt nhất!

5


Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình

Phần II. Lời giải hoặc gợi ý
Bi 1) Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km. Khi đi từ B trở về A, người đó tăng vận tốc
thêm 3 km/h, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút. Tính vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ
A đến B.
Đáp án: Gọi vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là x (km/h; x > 0)
Thì vận tốc khi người đó đi từ B về A là : x + 3 (km/h)
36
Thời gian người đó đi từ A đến B là: x (h)
36
Thời gian người đó đi từ B về A là: x  3 (h)
Vì thời gian về ít hơn thời gian đi nên ta có phương trình :
36
36
3
2
=
Có  = 729 > 0
x
x3
5 <=> x + 3x - 180 = 0
Giải được: x1 = 12 (thoả mãn điều kiện của ẩn)
x2 = -15 (không thoả mãn điều kiện của ẩn)
Vậy vận tốc của người đó đi từ A đến B là 12 km/h.
Bà i 2) Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6(m) và bình phương độ dài đường
chéo gấp 5 lần chu vi. Xác định chiều dài và chiều rộng mảnh đất đó.
Đáp án
Gọi x(m) là chiều dài mảnh đất hình chữ nhật.(ĐK: x> 6)
=> x-6 (m) là chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật
chu vi mảnh đất là 2.  x+  x-6   = 2. 2x-6   4 x  12

:

Theo định lí Pitago; bình phương độ dài đường chéo sẽ là:
x 2   x-6   x 2  x 2  36  12 x  2x 2  12 x  36
2

Ta có phương trình : 2x 2  12 x  36  5.  4 x  12 
 2x 2  12 x  36  20 x  60

 2x 2  32 x  96  0
 x 2  16 x  48  0
 '  64  48  16
  '  16  4 0
8 4
84
 12(nhận) và x 2 
 46  loại 
1
1
Vậy chiều dài mảnh đất là 12(m) và chiều rộng mảnh đất laứ 6(m)
Bi 3.Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm trong một thời gian đà định. Nh-ng thực tế xí nghiệp lại
giao 80 sản phẩm. Mặc dù ng-ời đó mỗi giờ đà làm thêm một sản phẩm so với dự kiến, nh-ng thời gian
hoàn thành công việc vẫn chậm so với dự định là 12 phút. Tính số sản phẩm dự kiến làm trong 1 giờ của
ng-ời đó. Biết mỗi giờ ng-ời đó làm không quá 20 sản phẩm
Phửụng trỡnh co ựhai nghieọm: x1

Gii:
Gọi năng suất của công nhân đó là x (xN*, x<20; sp/h)
*) Theo dự định:

- Số sản phẩm ng-ời công nhân đó phải làm là 72 (sp)
72
- Thời gian dự định hoàn thành công việc lµ
(h)
x
Truy cập trang để ơn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất!

6


Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình
*) Thực tế:
- Số sản phẩm ng-ời công nhân đó phải làm là 80 (sp)
- Năng suất của công nhân là x+1(sp/h)
80
- Thời gian dự định hoàn thành công việc là
(h)
x 1
1
80 72 1
*)Vì thực tế hoàn thành công việc chậm 12 = (h) nên ta có pt:


5
x 1 x 5
Bài 4. Một đội xe cần phải chuyên chở 150 tấn hàng. Nh-ng có 5 xe được điều đi làm nhiệm vụ khác
nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 5 tấn. Hỏi đội xe ban đầu có bao nhiêu chiếc?
Giải: Gọi x là số xe của đội xe lúc đầu ( x > 5, xN*, xe).
150
Lượng hàng mỗi xe dự định phải chuyển là:

(tấn)
x
Số xe thực tế khi làm việc là : x -5 (xe)
150
Nên lượng hàng mỗi xe phải chở thực tế là :
(tấn)
x 5
150 150
Theo đề ra ta có phương trình :
=5
x
x 5
Rút gọn, ta có phương trình : x2 -5x -150 = 0
Giải ra ta được x1 = 15 (nhận), x2 = -10 (loại)Vậy đội xe ban đầu có 15 chiếc
Bài 5) Hai thành phố A và B cách nhau 50km. Một người đi xe đạp từ A đến B. Sau đó 1giờ 30 phút,
một người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn người đi xe đạp 1giờ. Tính vận tốc của mỗi người
biết rằng vận tốc của người đi xe máy lớn hơn vận tốc của người đi xe đạp là 18km/h.
Giải: Gọi x (km/h)là vận tốc của người đi xe đạp (Đ k: x > 0)
Vận tốc người đi xe máy là x+18 (km/h)
50
Thời gian người đi xe đạp từ A đến B là
 h
x
50
Thời gian người đi xe mày từ A đến B là
 h
x  18
50
50
5

=
Theo bài ta có phương trình
x x + 18 2
Giải phương trình tìm được x = 12 (chọn) , x = –30 (loại)
Trả lời vận tốc xe đạp 12 km/h, vn tc xe mỏy 12+18=30(km/h)
6) Hai ô tô xuất phát từ A đến B dài 300km, ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai mỗi giờ 10 km nên
đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc mỗi ô tô.
Gi i: Gọi x km/h là vận tốc của xe thứ nhất (x >10)
300
Thì vận tốc của xe thứ 2 là x-10 (km/h) Thì thêi gian cđa xe thø nhÊt tõ A ®Õn B là
(h)
x
300
(h)
Thời gian của xe thứ 2 từ A đến B là
x 10
300
300
Theo bài ra có PT :
=1 Giải PT ra có các nghiệm là x = - 50 (loi) vµ x = 60 (nhận)
x  10
x
VËy vËn tèc cđa xe thø nhÊt lµ 60 km/h vµ xe 2 lµ 60-10=50 (km/h)
7) Một ca nô chuyển động xuôi dòng từ bến A đến bến B sau đó chuyển động ng-ợc dòng từ B về A hết
tổng thời gian là 5 giờ . Biết quÃng đ-ờng sông từ A đến B dài 60 Km và vận tốc dòng n-ớc là 5 km/h .
TÝnh vËn tèc thùc cđa ca n« (VËn tèc của ca nô khi n-ớc đứng yên ).
Gi i: Gọi vận tốc thực của ca nô là x ( km/h) ( x>5)
Vận tốc xuôi dòng của ca nô là x + 5 (km/h) Vận tốc ng-ợc dòng của ca nô lµ x - 5 (km/h)
Truy cập trang để ơn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất!

7


Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình
60
60
Thời gian ca nô đi xuôi dòng là :
( giờ) Thời gian ca nô đi xuôi dòng là :
( giê)
x5
x5
60
60
Theo bµi ra ta cã PT:
+
=5
x5 x5
<=> 60(x-5) +60(x+5) = 5(x2 - 25)
<=> 5 x2 - 120 x - 125 = 0
x1 = -1 ( không TMĐK)
x2 = 25 ( TMĐK)
Vậy vân tốc thực của ca nô là 25 km/h.
8) Một hình chữ nhật có chu vi lµ 160m vµ diƯn tÝch lµ 1500m2. TÝnh chiỊu dµi và chiều rộng hình chữ
nhật ấy
Gii:
Cách 1:
Nửa chu vi của HCN lµ 80cm
Gäi chiỊu dµi cđa HCN lµ x (0x<40, m)
Chiều rộng của HCN là 80-x (m)
Vì diện tích của HCN là 1500m2 nên ta có ph-ơng trình: x.(80-x) = 1500

Giải pt ta có x = 50.
Cách 2:
Goùi x,y ( m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ( x>y>0)
Ta có phương trình:
x  y  80

xy  1500
 x 2  80x  1500  0

x 1  50
c .dai  50


c .rong  30
 x 2 30
Bi 9) Một ng-ời đi xe đạp từ A đến B. Khi còn cách B 30 km ng-ời đó nhận thấy rằng: Nếu giảm vận tốc
đi 3km/h thì đến B muộn hơn 30 phút; nếu tăng vận tốc 3km/h thì đến B sớm 30 phút. Tính vận tốc lúc
đầu của ng-ời đi xe đạp.
Gii:
Gọi vận tốc ban đầu của ng-ời đó là x (x >3;km/h)
*) Nếu giảm vận tốc 3km/h:
- Vận tốc của ng-ời đó là x – 3 (km/h)
30
- Thêi gian ng-êi ®ã ®i hÕt 30km là :
(h)
x 3
*) Nếu tăng vận tốc 3km/h:
- Vận tốc của ng-ời đó là x + 3 (km/h)
30
- Thời gian ng-ời đó đi hết 30km là :

(h)
x 3
30 1
30 1


*) Ta cã pt:
x 3 2 x 3 2
Bài 10) Một tam giác vng có hai cạnh góc vng hơn kém nhau 8m . Nếu tăng một cạnh góc vng
của tam giác lên 2 lần và giảm cạnh góc vng cịn lại xuống 3 lần thì được một tam giác vng mới có
diện tích là 51m2 . Tính độ dài hai cạnh góc vng của tam giác vng ban đầu.
Giải: Gọi độ dài cạnh góc vng bé là x (m)
Thì độ dài cạnh góc vng lớn là x + 8 (m)

(đ/k: x  0 )

1
x 8
1 x
.2x.
 51 hoặc . .2(x  8)  51
2
3
2 3
2
 x  8x  153  0 ; Giải PT được : x1  9 (tmđk) ; x 2 17 (loại)

Theo bi ta có PT:

Truy cập trang để ơn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất!

8


Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình
Vy: di cnh gúc vuụng bộ l 9m ; độ dài cạnh góc vng lớn là 17m
Bài 11) Cho số tự nhiên có hai chữ số, tổng của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng 14. Nếu đổi
chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cho nhau thì đ-ợc số mới lớn hơn số đà cho 18 đơn vị. Tìm số đÃ
cho.
Gii:
Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x, ®iỊu kiƯn x   , 0 < x 9
Chữ số hàng đơn vị của số cần tìm là y, điều kiện y , 0 y 9
Tổng chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng 14 nên có ph-ơng trình:
x + y = 14
Đổi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cho nhau thì đ-ợc số mới lớn hơn số đà cho 18 đơn
vị nên có ph-ơng trình: 10y + x –(10x + y) = 18
 x  y 14
x 6
Giải hệ ph-ơng trình:
(tmdk)

y x 2
y 8
Số cần tìm là 68
12) Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45m. Tính diện tích thửa ruộng, biết
rằng nếu chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng 3 lần thì chu vi thửa ruộng không thay đổi.
Cách 1.
Gọi chiều rộng HCN là x (x>0;m)
Chiều dài HCN lµ x + 45(m)
Chu vi HCN lµ [x + (x+45)].2=4x+90 (m)

Nếu chiều dài giảm đi hai lần thì chiều dài có kích th-ớc là

x 45
(m)
2

Nếu chiều rộng tăng 3 lần thì chiều rộng có độ dài là 3x (m)
x  45

 3x  .2  7x  45(m) .
Chu vi HCN lúc này là
2

Vì chu vi HCN không thay đổi nên ta có pt: 4x + 90 = 7x + 45
Gi¶i pt ta cã: x = 15.
Cách 2. Gọi chiều dài của thửa ruộng là x(m)
Chiều réng cđa thưa rng lµ y(m) ( x>45, x>y>0)
 x y 45

=> x
Giải hệ ta đ-ợc x = 60, y = 15 (tho¶ m·n)
 2  3 y  x  y
VËy diƯn tÝch cđa thưa rng lµ: 60.15 = 900(m2).
Bài 13) Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ
thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ
đã hồn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch ?.
Gi¶i: Gäi sè sp tổ I làm theo kế hoạch là x (xN*, x < 600; sp)
Số sản phẩm tổ II làm theo kế hoạch là 600 x (sp)
Thực tế:
Tổ I làm đ-ợc 118%x (sp)

Tổ II làm đ-ợc 121%(600-x) (sp)
Vì thực tế hai tổ làm đ-ợc 600+120 = 720 (sp) nên ta có pt:
118%x+121%(600-x) = 720.
Giải pt ta có x = 200sp.
Cách 2: Giải bằng cách lập hpt.
Bi 14) Mt xe mỏy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 14km/giờ thì đến
sớm 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4km/giờ thì đến muộn 1 giờ.
9
Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất!


Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình
Tớnh vn tc d nh v thi gian dự định.
Giải: Gọi thời gian dự định là x (x >2;h)
vận tốc dự định là (y > 4;km/h)
* Quãng đường AB dài là: x.y (km)
* Nếu vận tốc giảm đi 4km/h thì thời gian đi sẽ tăng lên 1 giờ nên ta có:
(x + 1)(y - 4) = x.y  -4x + y = 4
* Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h thì thời gian đi sẽ bớt đi 2 giờ nên ta có:
(x - 2)(y + 14) = x.y  14x - 2y = 28
Theo bài ra ta có hệ phương trình:

4x  y  4

14x  2y  28

(1)
(2)

8x  2y  8


14x  2y  28

(1')
(2')

Cộng từng vế của hai phương trình ta có: 6x = 36  x = 6
Thay x = 6 vào (1) ta có y = 28
Đáp số: Thời gian dự định là 6 giờ và vận tốc dự định là 28km/giờ.
Bài 15) Một tam giác có chiều cao bằng

2
cạnh đáy. Nếu chiều cao giảm đi 2 dm và cạnh đáy tăng
5

thêm 3 dm thì diện tích của nó giảm đi 14 dm2.Tính chiều cao v cnh ỏy ca tam giỏc.
Gii:
Cách 1: Gọi cạnh đáy của tam giác là x (x>0,dm)

2
x (dm)
5
1 2
1 2
Diện tích của tam giác là . x.x x (dm2)
2 5
5
Chiều cao của tam giác là:

Sau khi thay đổi độ dài: Chiều cao của tam giác là

2
x -2 (dm)
5

Cạnh đáy của tam giác là x + 3 (dm)
Diện tích của tam giác lúc này là :

1 2
.( x 2).(x 3) (dm2)
2 5

Vì diện tích của tam giác giảm 14dm2 nên ta có ph-ơng trình:

1 2 1 2
x .( x  2).(x  3)  14
5
2 5
55
Gi¶i pt ta cã: x 
2

C¸ch 2:Gọi chiều cao và cạnh đáy của tam giác đã cho là x và y (x > 0; y > 0, tính bằng dm). Theo
bài ra ta có hệ phương trình:

2

2

 x  5 y

x  y

5

1
1
 xy  (x  2)(y  3)  14  xy  (xy  3x  2y  6)  28
 2
2

Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất!

10


Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình

2

x 11
x y



5
55 (tha món điều kiện).
y

3x  2y  22 
2

55
Trả lời: Chiều cao của tam giác là 11 dm và cạnh đáy của tam giác là
dm .
2
Bài 16) Hai người cùng làm chung một cơng việc sẽ hồn thành trong 4 giờ. Nếu mỗi người làm riêng để
hồn thành cơng việc thì thời gian người thứ nhất làm ít hơn người thứ hai 6 giờ.Hỏi nếu làm riêng thì
mỗi người phải làm trong bao lõu s hon thnh cụng vic?
Gii :
Cách 1: Giải b»ng c¸ch lËp hƯ pt.
Gäi thêi gian ng-êi thø nhÊt làm một mình xong công việc là x (x>4;h)
Gọi thời gian ng-ời thứ hai làm một mình xong công việc là y (y>4;h).

1
(công việc)
x
1
Mỗi giờ ng-ời thứ hai làm đ-ợc
(công việc).
y
1
Mỗi giờ hai ng-ời cùng làm đ-ợc
(công việc)
4
1 1 1
Ta có pt:
(1)
x y 4
Mỗi giờ ng-ời thứ nhất làm đ-ợc

Nếu làm một mình thì ng-ời thứ nhất làm ít thời gian hơn ng-ời thứ hai là 6 giờ nªn ta cã pt:

y – x = 6 (2)
1 1 1

Từ (1) và (2) ta có hệ ph-ơng trình: x y 4 . Giải hpt ta có x = 6; y = 12
y  x  6

C¸ch 2.
Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình để hồn thành cơng việc là x ( x > 4;h)
 người thứ hai làm một mình để hồn thành cơng việc hết (x + 6) giờ.

1
công việc
x
1
Trong 1 giờ, người thứ hai làm được
công việc
x+6
1
Trong 1 giờ, nêu làm chung cả hai người làm được
cơng việc.
4
1
1
1
Nên ta có phương trình:
+
=
x x+6 4

Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được

 4(x + 6) + 4x = x(x + 6)
 x2 – 2x – 24 = 0
Phương trình có hai nghiệm: x1 = 6 (t/m) ; x2 = – 4 (loại).
Vậy thời gian người thứ nhất làm một mình để hồn thành công việc là 6 giờ
 thời gian người thứ hai làm một mình để hồn thành cơng việc là 6 + 6 = 12( giờ)
Bài 17) Hai vòi nước cùng chảy vào một bể (ban đầu khơng chứa nước) thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu chảy
một mình cho đầy bể thì vịi I cần nhiều thời gian hơn vịi II là 5 giờ. Hỏi nếu chảy một mình để đầy bể
thì mỗi vịi cần bao nhiêu thời gian ?
Truy cập trang để ơn luyện thi vào 10 Tốn – Văn – Anh tốt nhất!

11


Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình
Gii: Gi thi gian chy mt mỡnh y bể của vòi II là x (x>6;h)
Thời gian chảy một mình đầy bể của vịi I là x + 5 (giờ)
Trong một giờ, vịi I chảy được
phương trình :

1
1
1
bể, vịi II chảy được
bể, cả hai vịi chảy được
bể. Ta có
x5
6
x

1
1
1
+
=  x2 – 7x – 30 = 0
x5
6
x

 = 49 + 120 = 169   = 13
 x1 = -3 (loại) , x2 = 10 (thoả mãn).
Vậy để chảy một mình đầy bể vịi II cần 10 giờ, vịi I cn 10 + 5 = 15 (gi)
Cách 2: Giải bằng cách lập hệ pt: T-ơng tự bài 16.
Bi 18) Một công việc nếu giao cho hai đội công nhân làm chung thì làm xong trong 4 giờ 48 phút. Hỏi
nếu làm riêng thì mỗi đội hồn thành cơng việc trong bao lâu ? Biết rằng thời gian làm riêng xong công
việc của đội II nhiều hơn thời gian của đội I là 4 giờ.
Giải: Đổi 4 giờ 48 phút =

24
giờ.
5

Gọi thời gian làm riêng xong công việc của đội I là x (x >

24
;h)
5

Thời gian làm riêng xong công việc của đội II là x + 4 ( giờ)
Trong một giờ, đội I làm được

1
1
5
công việc, đội II làm được
cơng việc, cả hai đội làm được
24
x
x4

cơng việc.
Ta có phương trình :

1
1
5
+
=
.  5x2 – 28x - 96 = 0
24
x
x4

 / = 196 + 480 = 676 

 / = 26.  x1 = 8 (thoả mãn) , x2 = -2,4 (loại).
Vậy để làm một mình hồn thành cơng việc đội I cần 8 giờ, đội II cần 12 giờ.

19) Hai vật chuyển động trên một đ-ờng tròn có đ-ơng kÝnh 2m , xt ph¸t cïng mét lóc tõ cïng
mét ®iĨm . NÕu chóng chun ®éng cïng chiỊu th× cø 20 giây lại gặp nhau. Nếu chúng chuyển động

ng-ợc chiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật.
Giải
Gọi vận tốc của vật I là x ( m/s).(x> 0).
Gäi vËn tèc cđa vËt II lµ y ( m/s).(y> 0), (x>y).
Sau 20 s hai vËt chun ®éng đ-ợc quÃng đ-ờng là 20x, 20y ( m ).
Vì nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây lại gặp nhau do đó ta có ph-ơng trình:
20x 20y = 20
Sau 4 s hai vật chuyển động đ-ợc quÃng đ-ờng là 4x, 4y ( m ).
Vì nếu chúng chuyển động ng-ợc chiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau do đó ta có ph-ơng trình:
4x + 4y = 20 
20 x  20 y  20
Theo bµi ra ta có hệ ph-ơng trình:
4 x 4 y 20

x 3
Giải hệ PT ta đ-ợc:
; VËy vËn tèc cđa hai vËt lµ: 3  (m/s) vµ 2  (m/s).
 y  2

Truy cập trang để ơn luyện thi vào 10 Tốn – Văn – Anh tốt nhất!

12


Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình
20) Một chiếc thuyền khởi hành từ bến s«ng A, sau 5 giê 20 phót mét ca n« chạy từ bến sông A
đuổi theo và gặp thuyền cách bÕn A 20 km. Hái vËn tèc cđa thun, biÕt rằng ca nô chạy nhanh hơn
thuyền 12 km/h.
Giải
Gọi vận tốc cđa cđa thun lµ x ( km/h).(x> 0).

Ta cã vËn tốc của ca nô là x + 12 (km/h).
20
Thời gian thuyền đi hết quÃng đ-ờng 20 km là:
( h).
x
20
Thời gian ca nô đi hết quÃng đ-ờng 20 km là:
( h).
x 12
Vì sau 5 giờ 20 phút một ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp thuyền cách bến A 20 km, do
20
20
16
đó ta có ph-ơng trình:
=
;
giải PTBH x2 + 12x 45 =0 ta đ-ợc x = 3 (TM).
3
x
x  12
VËy vËn tèc cđa ca n« là 15 km/h.
21) QuÃng đ-ờng AB dài 270 km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B. Ô tô thứ nhất
chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 12 km/h, nên đến tr-ớc ô tô thứ hai 40 phút. Tính vận tốc của mỗi Ô tô.
Giải
Gọi vận tốc của ô tô thứ nhất là x ( km/h).( ®iỊu kiƯn :x > 12).
Ta cã vËn tèc cđa « t« thø hai lµ x - 12 (km/h).
270
Thêi gian ô tô thứ nhất đi hết quÃng đ-ờng AB là:
( h).
x

270
Thời gian ô- tô thứ hai đi hết quÃng đ-ờng AB là:
( h).
x 12
Vì hai ô tô cùng xuất phát và ô tô thứ nhất đến B tr-ớc ô tô thứ hai là 40 P nên ta có PT:
270
270 2
=
x 12
3
x
Giải PTBH ta đ-ợc x= 6+12 34
Vậy vận tèc cđa « t« thø nhÊt 6+12 34 km/h, « tô thứ hai là 12 34 - 6 km/h.
22) Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 km, cả đi và về mất 8 giờ 20 phút. Tính vận tốc
của tàu thuỷ khi n-ớc yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng n-ớc là 4 km/h.
Giải
Gọi vận tốc của tàu thuỷ khi n-ớc yên lặng là x ( km/h).(x> 4).
Vận tốc tàu thuỷ khi đi xuôi dòng: x + 4 ( km/h).
Vận tốc tàu thuỷ khi đi ng-ợc dòng: x - 4 ( km/h).
80
80
Thời gian tàu thuỷ đi xuôi dòng là:
(h), Thời gian tàu thuỷ đi ng-ợc dòng là:
(h).
x4
x4
Vì tổng thời gian cả xuôi dòng và ng-ợc dòng là 8 giờ 20 phút do đo ta có ph-ơng trình:
80
80
25

+
= .
x4
x4 3
Giải PTBH: đ-ợc: x = 20 (TM).
Vậy vận tốc tàu thuỷ khi n-ớc yên lặng là: 20 km/h.
23) Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến sông A đến bến sông B ,ca nô I chạy với vận
tốc 20 km/h, ca nô II chạy với vận tốc 24 km/h. Trên đ-ờng đi ca nô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục
chạy với vận tốc nh- cũ. Tính chiều dài quÃng sông AB, biết rằng hai ca nô đến B cùng một lúc.
Giải
Gọi chiều dài quÃng sông A B là x ( km).(x> 0).
x
Ta có thời gian canô I chạy từ A đến B là:
( h),
20
x
Thời gian canô II chạy từ A đến B lµ:
( h).
24
Truy cập trang để ơn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất!

13


Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình
Trên đ-ờng đi ca nô II dừng lại 40 phút và cùng đến B do đó ta có ph-ơng trình:

x x
2
=

20 24 3

Giải PTBN ta đ-ợc x = 80 km.
Vậy quÃng đ-ờng AB là 80km.
24) Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đến địa điểm B dài 240 km. Mỗi giờ ô tô thứ
nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 12 km/h nên đến địa điểm B tr-ớc ô tô thứ hai là 100 phút. Tính vận tốc
của mỗi ô tô.
Giải
Gọi vận tốc của ô tô thứ hai là x ( km/h).(x> 0).
Ta có vận tốc của ô tô thứ nhất là x + 12 km/h.
240
Thời gian ô tô thứ hai đi hết quÃng đ-ờng AB là:
( h).
x
240
Thời gian ô tô thứ nhất đi hết quÃng đ-ờng AB là:
( h).
x 12
240 240 5
Vì ô tô thứ nhất đến địa điểm B tr-ớc ô tô thứ hai là 100 phút do đó ta có PT:
=
x x 12 3
Giải PTBH ta đ-ợc x= 36.
VËy vËn tèc cđa « t« thø nhÊt 48 km/h, ô tô thứ hai là 36 km/h.
25) Một ca nô xuôi dòng 42 km rồi ng-ớc dòng trở lại 20 km hÕt tæng céng 5 giê. BiÕt vËn tèc của
dòng chảy là 2 km/h. Tính vận tốc của ca nô lúc dòng n-ớc yên lặng.
Giải
Gọi vận tốc của ca nô khi n-ớc yên lặng là x ( km/h).(x> 2).
Vận tốc ca nô khi đi xuôi dòng: x + 2 ( km/h).
Vận tốc ca nô khi đi xuôi dòng: x - 2 ( km/h).

42
Thời gian ca nô đi xuôi dòng là:
(h).
x2
20
Thời gian ca nô đi ng-ợc dòng là:
(h).
x2
Vì tổng thời gian cả xuôi dòng và ng-ợc dòng là 5 giờ do đó ta có ph-ơng trình:
42
20
+
= 5.
x2
x2
Giải PTBH: 5x2 - 62x + 24 = 0 ta đ-ợc: x = 12 (TM).
Vậy vận tốc ca nô khi n-ớc yên lặng là:
12 km/h.
26) Hai ng-ời đi xe đạp cùng xuất phát một lúc đi từ A đến B dài 30 km, vận tốc của họ hơn kém
nhau 3 km/h nên đến B sím mn h¬n nhau 30 phót. TÝnh vËn tèc cđa mỗi ng-ời.
Giải
Gọi vận tốc của ng-ời đi chậm là x ( km/h).(x> 0).
Ta cã vËn tèc cđa ng-êi ®i nhanh là x + 3 (km/h).
30
Thời gian ng-ời đi nhanh từ A đến B là
(h).
x3
30
Thời gian ng-ời đi chậm từ A đến B là
(h).

x
30
1
30
Vì hai ng-ời đến B sớm, muộn hơn nhau 30 phút do đó ta có ph-ơng trình:
=
x3 2
x
Giải PTBH: x2 + 3x - 180 = 0 ta đ-ợc x = 12 ( TM)
VËy vËn tèc cđa ng-êi ®i nhanh là 15km/h, vận tốc của ng-ời đi chậm là:12 km/h.
27) Mét ng-êi ®i tõ tØnh A ®Õn tØnh B cách nhau 78 km. sau đó 1 giờ ng-ời thứ hai đi từ tỉnh B đến
tỉnh A hai ng-ời gặp nhau tại địa điểm C cách B 36 km. Tính thời gian mỗi ng-ời đà đi từ lúc khởi hành
đến lóc gỈp nhau, biÕt vËn tèc ng-êi thø hai lín hơn vận tốc ng-ời thứ nhất là 4 km/h.
Truy cp trang để ơn luyện thi vào 10 Tốn – Văn – Anh tốt nhất!

14


Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình
Giải
Gọi vận tốc của ng-ời đi từ A là x ( km/h).(x> 0).
Thời gian ng-ời đi từ A, tính từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau là:

42
(h).
x

Vận tốc của ng-ời đi từ B là x + 4 ( km/h).
Thêi gian ng-êi ®i tõ B, tÝnh tõ lóc khởi hành đến lúc gặp nhau là:

36
(h).
x4

Vì hai ng-ời gặp nhau tại C, ng-ời thứ hai đi sau ng-ời thứ nhất 1 giờ do đó ta có ph-ơng trình:

42
x

36
=1;
x4
Giải PTBH: x2 - 2x - 168 = 0 ta đ-ợc x= 14 (TM).
VËy thêi gian ng-êi ®i tõ A tõ lóc khởi hành đến lúc gặp nhau là: 3 giờ.
thời gian ng-ời đi từ B từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau là: 2 giờ.
28) QuÃng đ-ờng AB dài 120 km. Hai Ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B,Ô tô thứ nhất chạy
nhanh hơn Ô tô thứ hai là 10 km/h nên đến B tr-ớc Ô tô thứ hai 24 phút. Tính vận tốc mỗi xe.
Giải
Gọi vận tốc của ô tô thứ nhất là x ( km/h).(x> 10).
Ta cã vËn tèc cđa « t« thø hai là x - 10 ( km/h).
120
`Thời gian ô tô thứ nhất đi hết quÃng đ-ờng AB là:
( h).
x
120
Thời gian ô tô thứ hai hết quÃng đ-ờng AB là:
( h).
x 10
Vì ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai là 10 km/h nên đến B tr-ớc « t« thø hai 24 phót do ®ã
120 120 2

ta có ph-ơng trình:
=
x 10
x
5
Giải PT BH: x2 - 10x - 300 = 0 ta đ-ợc x= 60 (TM).
Vậy vận tốc của ô tô thứ nhất là : 60 km/h
,vận tốc của ô tô thứ hai là : 50 km/h.

29) Một ng-ời dự định đi từ A đến B với thời gian đẵ định. Nếu ng-ời đó tăng vận tốc thêm 10
km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ. Nếu ng-ời đó giảm vận tốc đi 10 km/h thì đến B muộn hơn dự định
2 giờ. Tính vận tốc, thời gian dự định đi và độ dài quÃng đ-ờng AB.
Giải :
Gọi vận tốc dự định đi từ A ®Õn B cđa ng-êi ®ã lµ x ( km/h).(x> 10).
Gäi thời gian dự định đi từ A đến B của ng-ời đó là y (h).(y> 1).
Ta có độ dài của quÃng đ-ờng AB là x.y ( km)
Vì nếu ng-ời đó tăng vận tốc thêm 10 km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ do đó ta có PT (x +
10).(y-1) =xy. (1)
Vì nếu ng-ời đó giảm vận tốc đi 10 km/h thì đến B muộn hơn dự định 2 giê do ®ã ta cã PT
(x - 10).(y+2) =xy (2)
( x  10)( y  1)  xy
 x 30
Theo bài ra ta có hệ ph-ơng trình:
;giải hệ ph-ơng trình ta đ-ợc
( x 10)( y 2) xy
y 4
Vậy vân tốc dự định là 30 km/h, thời gian dự định là 4 giờ, QuÃng đ-ờng AB là 120 km.
30) Một ca nô xuôi dòng 1 km và ng-ợc dòng 1km hết tất cả 3,5 phút. Nếu ca nô xuôi 20 km và
ng-ợc 15 km thì hết 1 giờ. Tính vận tốc dòng n-ớc và vận tốc riêng của ca nô.
Giải :

Gọi vận tốc riêng của ca nô là x ( km/phút), ( x> 0).
Gọi vận tốc riêng của dòng n-ớc là y ; ( km/phót), ( y> 0) ; (x> y).
Ta cã vËn tốc của ca nô khi đi xuôi dòng là x+ y ( km/phút), ng-ợc dòng là x - y ( km/phút).
1
Thời gian ca nô xuôi dòng 1 km là
( phút ).
x y
Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất!

15


Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình
1
Thời gian ca nô ng-ợc dòng 1 km là
( phút ).
x y
Vì tổng thời gian xuôi dòng 1 km và ng-ợc dòng 1km hết tất cả 3,5 phút
do đó ta có ph-ơng trình ( 1) là

1
1
+
=3,5
x y
x y
Vì tổngthời gian ca nô xuôi dòng 20 km và ng-ợc 15 km thì hết 1 giờ do đó ta có ph-ơng trình (2)
20
15
+

=60
x y
x y
1
1
x y x  y  3.5

Theo bµi ra ta cã hƯ ph-ơng trình:
20 15 60.
x y x  y
 x  7 / 12
gi¶i hƯ ph-ơng trình ta đ-ợc
(Tm đk)
y 1 / 12
Vậy vận tốc của dòng n-ớc là:1/12 ( km/ phút ) , Vận tốc riêng của ca nô là:7/12 (km/ phút)
31) Bạn Hồng dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian đà định. Sau khi ®i 1 giê,
Hång nghØ 10 phót, do ®ã để đến B đúng hẹn Hồng phải tăng vận tốc thêm 6 km/h. Tính vận tốc lúc đầu
của Hồng .
Giải :
Gọi vận tốc lúc đầu của Hồng là x ( km/h), ( x> 0)
120
Thời gian Hồng dự định đi từ A đến B là
( giờ);
x
Sau 1 giờ Hồng đi đ-ợc quÃng đ-ờng là x km, quÃng đ-ờng còn lại Hồng phải đi là ( 120 - x) km;
120 x
Thời gian Hồng đi trên quÃng đ-ờng còn lại ( 120 - x) km là
( giờ );
x6
Vì trên đ-ờng đi Hồng nghØ 10 phót, do ®ã ®Ĩ ®Õn B ®óng hĐn Hồng phải tăng vận tốc thêm 6 km/h

120
1 120 x
nên ta có ph-ơng trình:
=1+
+
, giải PT BH: x2 + 42x - 4320 = 0 ta đ-ợc: x1 = 48, x2 =
x
6
x6
- 90 ( loại ).
Vậy vận tốc lúc đầu của Hồng là 48 km/h.
32) Tìm hai cạnh của một tam giác vuông biết cạnh huyền bằng 13 cm và tổng hai cạnh góc vuông
bằng 17.
Giải :
Gọi cạnh góc vuông thứ nhất của tam giác là x ( cm ), ( 0< x < 17 ).
Ta có cạnh góc vuông còn lại là: ( 17 - x ) ( cm).
Vì cạnh huyền của tam giác vuông là 13, theo định lý Pytago ta có ph-ơng trình:
x2 + ( 17 - x )2 = 132
Gi¶i PTBH: x2 - 17x + 60 = 0 ta đ-ợc: x1 = 12, x2 = 5. ( thỏa mÃn điều kiện )
Vậy độ dài các cạnh góc vuông lần l-ợt là 12 cm, 5 cm.
33) Một khu v-ờn hình chữ nhật có chu vi 280 m. Ng-ời ta làm một lối đi xung quanh v-ờn (thuộc
đất v-ờn ) rộng 2 m, diện tích còn lại để trồng trọt là 4256 m2. Tính kích th-ớc ( các cạnh) của khu v-ờn
đó
Giải :
Gọi một cạnh của khu v-ờn là x, ( 0Ta có cạnh còn lại của khu v-ên lµ: ( 140 - x) (m)
16
Truy cập trang để ơn luyện thi vào 10 Tốn – Văn – Anh tốt nhất!

Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình
Do lối xung quanh v-ờn rộng 2 m nên các kích th-ớc các cạnh còn lại để trồng trät lµ: ( x -4 ) và (140
- x - 4 ) ( m ).
Vì diện tích còn lại để trồng trọt là 4256 m2 do đó ta có ph-ơng tr×nh: ( x -4 ). (136 - x ) = 4256.
Gi¶i PTBH: x2 - 140x + 4800 = 0 ta ®-ỵc x2 = 80, x2 = 60. ( tháa m·n điều kiện )
Vậy các cạnh của khu v-ờn HCN là 80 m, 60 m.
34) Một thửa ruộng hình chữ nhật cã chu vi 250 m. TÝnh diƯn tÝch cđa thưa ruộng biết rằng nếu
chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi.
Giải :
Gọi chiều rộng và chiều dài của thửa ruộng hình chữ nhật lần l-ợt là x và y, ( m ), (0< x< y < 125).
V× chu vi thưa ruộng hình chữ nhật là 250 m do đó ta có ph-ơng trình: x + y = 125.
Vì chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi do đó ta có ph-ơng
trình:
2. x +

y
= 125.
3

x y 125

Theo bài ra ta có hệ ph-ơng trình:
y
2 x 3 125
x 50
Giải hệ ph-ơng trình ta đ-ợc
( thỏa mÃn điều kiện )
y

75

Vậy dịên tích của thửa ruéng HCN lµ; 50. 75 = 3750 m2.
35) Cho mét tam giác vuông. Khi ta tăng mỗi cạnh góc vuông lên 2 cm thì diện tích tăng 17 cm 2.
Nếu giảm các cạnh góc vuông đi một cạnh đi 3 cm một cạn 1 cm thì diện tích sẽ giảm đi 11cm 2. Tìm các
cạnh của tam giác vuông đó.
Giải :
Gọi các cạnh của tam giác vuông lần l-ợt là x, y; ( cm ), x, y > 3.
V× khi tăng mỗi cạnh góc vuông lên 2 cm thì diện tích tăng 17 cm2 do đó ta có ph-ơng trình:
1
1
( x+ 2 ) ( y + 2 ) =
xy + 17.
2
2
Vì nếu giảm các cạnh góc vuông đi một cạnh đi 3 cm một cạn 1 cm thì diện tích sẽ giảm đi 11cm 2
1
1
do đó ta có ph-ơng trình: ( x - 3 ) ( y - 1 ) =
xy - 11.
2
2
 x  y  15
Theo bµi ra ta có hệ ph-ơng trình:
,
x 3 y 25
x 10
giải hệ ph-ơng trình ta đ-ợc: 
( tháa m·n ®iỊu kiƯn )
y  5
VËy ta cã các cạnh của tam giác là: 5, 10 ( cm).

36) Một đội máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày cày đ-ợc 52 ha, vì vậy
đội không những cày xong tr-ớc thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm đ-ợc 4 ha nữa. Tính diện tích thửa
ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch.
Giải:
Gọi diện tích mà đội phải cày theo kế hoạch là x ( ha ), ( x> 0).
x
Thêi gian ®éi dù định cày là:
( giờ ).
40
Diện tích mà đội thực cày lµ: ( x + 4 ), ( ha ).
x4
Thêi gian mà đội thực cày là:
( giờ).
52
Vì khi thực hiện đội đẵ cày xong tr-ớc thời hạn 2 ngày do đó ta có ph-ơng trình:
x
x4
= 2.
40
52
Giải PTBN ta đ-ợc x= 360( thỏa mÃn điều kiện )
Vậy diện tích mà đội dự định cày theo kế hoạch là: 360 ha.
17
Truy cp trang để ơn luyện thi vào 10 Tốn – Văn – Anh tốt nhất!


Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình
37) Hai ng-ời thợ cùng làm một công viƯc trong 16 giê th× xong. NÕu ng-êi thø nhÊt làm trong 3
giờ, ng-ời thợ thứ hai làm trong 6 giờ thì học làm đ-ợc 25% khối l-ợng công việc. Hỏi mỗi ng-ời thợ làm
một mình công việc đó trong bao lâu.

Giải:
Gọi thời gian để ng-ời thứ nhất làm một mình xong công việc là x, ( giờ), x > 16.
Gọi thời gian để ng-ời thứ hai làm một mình xong công việc là y, ( giờ), y > 16.
1 1
Trong 1 giê ng-êi thø nhÊt vµ ng-êi thø hai làm đ-ợc khối l-ợng công việc t-ơng ứng là: ,
x y
Vì hai ng-ời làm chung trong 16 giờ thì xong KLCV do đó ta có ph-ơng trình:
1
1
1
+
=
(1)
16
x
y
1
Sau 3 giờ ng-ời thứ nhất làm đ-ợc 3. (KLCV).
x
1
Sau 6 giờ ng-ời thứ hai làm đ-ợc 6.
(KLCV).
y
Vì ng-ời thứ nhất làm trong 3 giờ, ng-ời thợ thứ hai làm trong 6 giờ thì học làm đ-ợc 25% khối
3
1
6
l-ợng công việc do đó ta có ph-ơng trình:
+
= . (2)

x
4
y
1 1 1
x y 16

Từ (1) và (2) ta có hệ ph-ơng trình: 
3  6  1 .
 x y 4

 x 24
giải hệ ph-ơng trình ta đ-ợc:
( thỏa mÃn ®iỊu kiƯn )
 y  48
VËy thêi gian ®Ĩ Ng-êi thứ nhất làm một mình xong công việc là: 24 ( giờ ).
Thời gian để Ng-ời thứ hai làm một mình xong công việc là: 48 ( giờ) .
38) Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công. HÃy tính số công nhân của đội,
biết rằng nếu đội tăng thêm 5 ng-ời thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày.
Giải:
Gọi số công nhân của đội là x (xN*, ng-ời)
420
Số ngày hoàn thành công việc với x ng-ời là:
( ngày ).
x
Số công nhân sau khi tăng 5 ng-ời là: x + 5 (ng-ời)
420
Số ngày hoàn thành công việc với x + 5 ng-ời là:
( ngày ).
x5
Vì nếu đội tăng thêm 5 ng-ời thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày do đó ta có

ph-ơng trình:
420 420
= 7.
Giải PTBH ta đ-ợc: x1 = 15( thỏa mÃn điều kiƯn ); x2 = - 20 ( lo¹i ).
x5
x
VËy sè công nhân của đội là 15 ng-ời.
39) Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định xong trong 12 ngày. Họ cùng làm
chung với nhau đ-ợc 8 ngày thì đội 1 đ-ợc điều động đi làm công việc khác, đội 2 tiếp tục làm. Do cải
tiến kỹ thuật, năng suất tăng gấp đôi nên đội 2 làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi mỗi đội
làm một mình thì sau bao nhiêu ngày sẽ làm xong công việc nói trên ( với năng suất bình th-ờng).
Giải:
Gọi thời gian để đội I làm một mình xong công việc là x (x > 12, ngày)
Gọi thời gian để đội II làm một mình xong công việc là y (y > 12, ngày)
1 1
Trong 1 ngày đội I và đội II làm đ-ợc khối l-ợng công việc t-ơng ứng là: ,
.
x y
Vì hai đội dự định làm chung trong 12 ngày thì xong KLCV ,do đó ta có ph-ơng trình ( 1)
18
Truy cp trang ụn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất!


Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình
1
1
1
+
=
12

x
y
8
2
Phần công việc hai đội làm chung trong 8 ngày là
= (KLCV).
12
3
2
1
Phần việc còn lại đội II phải làm là: 1 = ( KLCV).
3
3
1
Vì năng suất tăng gấp đôi nên đội II đẵ làm xong
phần việc còn lại trong 3,5 ngày do đo ta có
3
1 1
1
ph-ơng trình: 3. .
= .
2 y
3

1 1 1
 x  y  12

Theo bài ra ta có hệ ph-ơng trình:
7 1 .
y 3

x 28
Giải hệ ph-ơng trình ta ®-ỵc: 
( tháa m·n ®iỊu kiƯn )
y

21

VËy thêi gian ®Ĩ đội I làm một mình xong công việc là: 28 ( ngày ).
Thời gian để đội II làm một mình xong công việc là: 21 ( ngày) .
40) An và Tâm cùng làm một công việc trong 7 giờ 20 phút thì xong. Nếu An làm trong 5 giờ và
3
Tâm làm trong 6 giờ thì cả hai làm đ-ợc
khối l-ợng công việc. Hỏi mỗi ng-ời làm công việc đó
4
trong mấy giờ thì xong.
Giải:
22
Gọi thời gian An làm một mình xong công việc là x (x >
, h)
3
22
Gọi thời gian Tâm làm một mình xong công việc là y (y >
, h)
3
1 1
Mỗi giờ An và Tâm làm đ-ợc ,
(công việc)
x y
Vì An và Tam cùng làm một công việc trong 7 giờ 20 phút thì xong do đó ta có ph-ơng trình:
1

1
3
+
=
.
22
x
y
1
5 giờ An làm đ-ợc KLCV là: 5.
(công việc)
x
1
6 giờ Tâm làm đ-ợc KLCV là: 6.
(công việc)
y
3
Vì An làm trong 5 giờ và Tâm làm trong 6 giờ thì cả hai làm đ-ợc
KLCV do đó ta có
4
5
6
3
ph-ơng trình: +
=
4
x
y
1 1 3
 x  y  22


Theo bµi ra ta có hệ ph-ơng trình: :
5 6 3 .
 x y 4

Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất!

19


Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình
44

x 3
Giải hệ ph-ơng trình ta đ-ợc:
( thỏa mÃn điều kiện )
44
y

3
Vậy An làm công việc đó một mình trong: 44/3 giờ , Tâm làm công việc đó một mình trong:
44/3 giờ.
41) Hai vòi n-ớc chảy chung vào một bể thì sau 4
đ-ợc bằng 1

4
giờ đầy bể. Mỗi giờ l-ợng n-ớc của vòi I chảy
5

1

l-ợng n-ớc chảy đ-ợc của vòi II. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu đầy bể?
2

Giải:
24
, h)
5
24
Gọi thời gian để vòi II chảy một mình đầy bể là y, (y >
, h)
5

Gọi thời gian để vòi I chảy một mình đầy bể là x, ( x >

1 1
,
( bể ).
x y
24
1
5
1
Vì hai vòi cùng chảy sau
thì đầy bể do đó ta có ph-ơng trình ( 1) :
+
=
5
x
24
y

2
Vì trong 1 giờ l-ợng n-ớc chảy đ-ợc của vòi I bằng
l-ợng n-ớc chảy đ-ợc của vòi II do đó ta có
3
1
3 1
ph-ơng trình ( 2 ):
= .
x
2 y
1 1 5
x y 24

Theo bài ra ta có hệ ph-ơng tr×nh: : 
1  3 . 1 .
 x 2 y
x 8
Giải hệ ph-ơng trình ta đ-ợc:
( thỏa mÃn điều kiện )
y 12
Vậy vòi I chảy một mình đầy bể trong 8 giờ, Vòi II chảy một mình đầy bể trong 12 giờ.
42) Một máy bơm muốn bơm đầy n-ớc vào một bể chứa trong một thời gian quy định thì mỗi giờ
1
phải bơm đ-ợc 10m3. Sau khi bơm đ-ợc dung tích bể chứa, ng-ời công nhân vận hành cho máy bơm
3
công xuất lớn hơn mỗi giờ bơm đ-ợc 15 m3. Do đó bể đ-ợc bơm đầy tr-ớc 48 phút so với thời gian quy
định. Tính dung tÝch cđa bĨ chøa ?
Gi¶i:
Gäi dung tÝch cđa bĨ chøa lµ x, ( m3 ), x > 0.
x

Ta cã thời gian dự định để bơ m đầy bể là:
( giờ ).
10
1
x
Thời gian để bơm
bể với công suất 10 m3/s là:
( giờ).
3
30
2
2x
Thời gian để bơm
bể còn lại với công suất 15 m3/s là:
.
3
45
2
Do công suất tăng khi bơm
bể còn lại nên thời gian thời gian bơm đầy tr-ớc 48 phút so với quy
3
x
2x
4
x
định do đó ta có ph-ơng trình:
-(
+
)=
10

45
5
30
Giải PTBN ta đ-ợc x = 36. ( thỏa mÃn điều kiện )
20
Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Tốn – Văn – Anh tốt nhất!

Trong 1 giê vßi I và vòi II chảy đ-ợc l-ợng n-ớc t-ơng ứng lµ:


Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình
Vậy dung tích bể chứa là 36 m3.
43) Hai vòi n-ớc cùng chảy vào một bể sau 1 giờ 20 phút thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy
2
trong 10 phút và vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì đầy
bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì bao
15
lâu mới đầy bể ?
Giải:
Gọi thời gian để vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x, ( phút), x > 80.
Gọi thời gian để vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là y, ( phút), y > 80.
1
1
Công suất tính theo phút của vòi thứ nhất là:
( Bể ), vòi thứ hai là
( Bể ).
x
y
Vì hai vòi cùng chảy sau 1 giờ 20 phút = 80 phút, thì đầy bể do đó ta có ph-ơng trình ( 1) :
1

1
1
+
=
x
80
y
1
Sau 10 phút Vòi 1 chảy đ-ợc: 10.
( Bể ).
x
1
Sau 12 phút Vòi 2 chảy đ-ợc: 12.
( Bể )
y
2
Vì nếu mở Vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và Vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì đầy
bể do
15
10 12
2
đó ta có ph-ơng trình:
+
=
.
x
15
y

1 1 1

x y 80

Theo bài ra ta có hệ ph-ơng trình:
10 12 2
x
y 15
Giải hệ ph-ơng trình ta đ-ợc: x= 120 , y = 240 ( thỏa mÃn điều kiện )
Vậy thời gian vòi 1 chảy đầy bể là 120 phút, vòi 2 là 240 phút.
44) Tìm hai số biết tổng bằng 19 và tổng các bình ph-ơng của chúng bằng 185.
Giải:
Gọi số thứ nhất là x, (0< x<19).
Ta cã sè thø hai lµ ( 19 - x).
Vì tổng các bình ph-ơng của chúng bằng 185 do đó ta có ph-ơng trình: x2 + ( 19 - x)2 = 185.
Gi¶i PTBH: x2 - 19x + 88 = 0 đ-ợc: x1= 11, x2 = 9. ( thỏa mÃn điều kiện )
Vậy hai số phải tìm là 11 và 9.
45) Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng
chục là 2 và tích của hai chữ số đó của nó luôn lớn hơn tổng hai chữ số của nó là 34.
Giải:
Gọi chữ số phải tìm là ab ; 0 a,b 9, a 0.
Vì chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng chục là 2 do đó ta có ph-ơng trình: a - b = 2.
Vì tích của hai chữ số đó của nó luôn lớn hơn tổng hai chữ số của nó là 34, do đó ta có ph-ơng tr×nh:
a.b - ( a + b) = 34.
a  b 2
Theo bài ra ta có hệ ph-ơng trình:
a.b (a b) 34

a 8
Giải hệ ph-ơng trình ta đ-ợc :
( thỏa mÃn điều kiện )
b 6

Vậy số phải tìm là 86.
Truy cp trang để ơn luyện thi vào 10 Tốn – Văn – Anh tốt nhất!

21


Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình
46) Đoàn học tập h-ớng nghiệp tại Bát Tràng của tr-ờng THCS Thái Thịnh gồm180 học sinh. Nếu
dùng loại xe lớn chuyên chở một l-ợt hết số học sinh thì phải điều động ít hơn dùng loại xe nhỏ là 2
chiếc. Biết rằng mỗi ngế ngồi 1 học sinh và mỗi xe lớn nhiều hơn xe nhỏ là 15 chỗ ngồi. Tính số xe lớn ?
Giải:
Gọi số xe lín lµ x (xN*, xe)
Ta cã sè xe nhá lµ: x + 2. (xe)
180
( Hs).
x
180
Ta cã sè hoc sinh xe nhỏ chở đ-ợc là:
( Hs).
x2

Ta có số hoc sinh xe lớn chở đ-ợc là:

Vì mỗi xe lớn chở đ-ợc số học sinh nhiều hơn số xe nhỏ là 15 học sịnh do đó ta có ph-ơng trình:
180 180
= 15
x2
x
Giải ph-ơng trình ta đ-ợc x = 4 ( thỏa mÃn điều kiện )
Vậy số xe lớn là 4 chiếc

47) Một đội xe phải chở 168 tấn thóc. Nếu tăng thêm 6 xe và chở thêm 12 tấn thóc thì mỗi xe xhở
nhẹ hơn lúc đầu là 1 tấn. Hỏi lúc đầu mỗi đội có bao nhiêu xe ?
Giải:
Gọi số xe lúc đầu lúc đầu của đội là x (xN*, chiếc)
168
Số thóc lúc đầu mỗi xe phải chở là :
( tấn).
x
Số xe sau khi tăng thêm 6 xe là: ( x + 6 ), ( chiếc).
168 12
Sau khi tăng số xe thêm 6 , số thóc thêm 12 tấn thì số thóc mỗi xe cần phải chở là:
(tấn).
x6
Vì số thóc mỗi xe chở nhẹ hơn 1 tấn sau khi tăng số xe và thêm 12 tấn do đó ta có ph-ơng trình:
168 168 12
=1
x
x6
Giải PTBH: x2 + 2x - 24 = 0 ta đ-ợc: x = 24( thỏa mÃn điều kiện )
Vậy số xe lúc đầu của đội là 24 xe.
48) Một phòng họp có 360 ghế ngồi đ-ợc xếp thành từng dÃy và số ghế của từng dÃy đều nh- nhau.
Nếu số dÃy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dÃy tăng thêm 1, thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi trong phòng
họp có bao nhiêu dÃy ghế, mỗi dÃy có bao nhiêu ghế.
Giải:
Gọi số dÃy của ghế của phòng học là x (xN*, dÃy)
360
Ta có số ng-ời của từng dÃy là:
ng-ời.
x
Số dÃy ghế sau khi tăng thêm 1 d·y lµ: ( x + 1) (d·y)

360
Sè ng-êi sau khi tăng thêm 1 ng-ời trên dÃy là:
+ 1 (ng-ời)
x
Vì sau khi tăng số dÃy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dÃy tăng thêm 1, thì trong phòng có 400 ghế
360
do đó ta có ph-ơng trình: ( x + 1) (
+ 1) = 400
x
Giải PTBH ta đ-ợc : x1 = 15, x2 = 24. ( tháa m·n ®iỊu kiện )
Vậy nếu số dÃy là 15 thì số ghế trên dÃy là 24.
49) Cho một số có hai chữ số. Tìm số đó, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần, nếu
thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ đ-ợc một số theo thứ tự ng-ợc lạivới số đẵ cho.
Giải:
Gọi chữ số phải tìm là xy ; x, y nguyên d-ơng, 0  x,y  9, x# 0.
Truy cập trang để ơn luyện thi vào 10 Tốn – Văn – Anh tốt nhất!

22


Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình
Vì tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần do đó ta có ph-ơng tr×nh: 6 ( x + y ) = xy .
V× nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ đ-ợc một số theo thứ tự ng-ợc lạivới số đẵ cho do đó
ta có ph-ơng trình: xy + 25 = yx .

6( x  y )  xy
x  5
Theo bài ra ta có hệ ph-ơng trình:
; Giải hệ ph-ơng trình ta đ-ợc
( thỏa mÃn

xy 25 yx
y 4
điều kiện )
Vậy số phải tìm là 54.
50) Trong tháng đầu hai tổ công nhân sản xuất đ-ợc 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai tổ v-ợt
mức 15%, tổ II sản xuất v-ợt mức 20%, do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất đ-ợc 945 chi tiết máy. Hỏi
rằng trong tháng đầu, mỗi tổ công nhân sản xuất đ-ợc bao nhiêu chi tiết máy.
Giải:
Gọi số chi tiết sản xuất đ-ợc trong tháng đầu của Tổ I là x ( x nguyên d-ơng), 0Gọi số chi tiết sản xuất đ-ợc trong tháng đầu của Tổ II là y ( y nguyên d-ơng), 0Vì trong tháng đầu hai tổ sản xuất đ-ợc 800 chi tiết máy do đó ta có ph-ơng trình (1)
x + y = 800
Vì trong tháng thứ hai Tổ I v-ợt mức 15%, Tổ II sản xuất v-ợt mức 12%, cả hai tổ sản xuất đ-ợc
15x
115
112
20x
945 chi tiết máy do đó ta có ph-ơng trình (2) là: x +
+y+
= 945
x+
y = 945
100
100
100
100
 x  y  800

Theo bµi ra ta có hệ ph-ơng trình: 115
112

100 x 100 y 945
x 300
Giải hệ ph-ơng trình ta đ-ợc:
( thỏa mÃn điều kiện )
y 500
Vậy trong tháng đầu tổ I sản xuất đ-ợc 300 chi tiết máy, tổ II sản xuất đ-ợc 500 chi tiết máy.
Cách 2: Giải bằng cách lập ph-ơng trình, em hÃy thử xem.
51) Năm ngoái dân số của hai tỉnh A và B là 4 triệu ng-ời. Dân số tỉnh A năm nay tăng 1,2 % còn
tỉnh B tăng 1,1 %, tổng dân số của hai tỉnh năm nay là 4 045 000 ng-ời. Tính dân số của mỗi tỉnh năm
ngoái và năm nay.
Giải:
Gọi dân số năm ngoái của tỉnh A là x ( x nguyên d-ơng), x< 4 triệu.
Gọi dân số năm ngoái của tỉnh B là y ( y nguyên d-ơng), y< 4 triệu
Vì dân số năm ngoái của hai tỉnh năm ngoái là 4 triệu do đó ta có ph-ơng trình (1)
x+y=4
Vì dân số năm nay của tỉnh A năm nay tăng 1,2%, tỉnh B tăng 1,1 % do đó ta có ph-ơng trình (2) là:
1,2 x 1,1 y
+
= 0, 045
100
100
x  y  4

Theo bµi ra ta cã hƯ ph-ơng trình: 1,2 x 1,1y
100 100 0,045

x 1012000
Giải hệ ph-ơng trình ta đ-ợc:
( thỏa mÃn điều kiện )
y 3033000

Vậy dân số của tỉnh A năm nay là 1 012 000 ng-ời, tỉnh B là 3 033 000 ng-ời.
52) Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất đ-ợc 720 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai tổ v-ợt
mức 15%, tổ II sản xuất v-ợt mức 12%, do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất đ-ợc 819 chi tiết máy. Hỏi
rằng trong tháng đầu, mỗi tổ công nhân sản xuất đ-ợc bao nhiêu chi tiết máy.
Giải:
Gọi số chi tiết sản xuất đ-ợc trong tháng đầu của tổ I là x ( x nguyên d-ơng), x< 720.
23
Truy cp trang ụn luyn thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất!


Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình
Gọi số chi tiết sản xuất đ-ợc trong tháng đầu của tổ II là y ( y nguyên d-ơng), y< 720.
Vì trong tháng đầu hai tổ sản xuất đ-ợc 720 chi tiết máy do đó ta có ph-ơng trình (1)
x + y = 720
Vì trong tháng thứ hai tổ I v-ợt mức 15%, tổ II sản xuất v-ợt mức 12%, cả hai tổ sản xuất đ-ợc 819
15x
12x
115
112
chi tiết máy do đó ta có ph-ơng trình (2) là: x +
+y+
= 819 
x+
y = 819
100
100
100
100
 x  y  720


Theo bài ra ta có hệ ph-ơng trình: 115
112
100 x 100 y 819

x 420
Giải hệ ph-ơng trình ta đ-ợc:
( thỏa mÃn điều kiện )
y 300
Vậy trong tháng đầu tổ I sản xuất đ-ợc 420 chi tiết máy, tổ II sản xuất đ-ợc 300 chi tiết máy.
Cách 2: Giải bằng cách lập ph-ơng trình, em hÃy thử xem.
53) Hai vòi n-ớc cùng chảy đầy một bẻ không có n-ớc trong 3h 45ph . Nếu chảy riêng, mỗi vòi phải chảy
trong bao lâu mới đầy bể ? biết rằng vòi chảy sau lâu hơn vòi tr-ớc 4 h .
Giải
15
Gọi thời gian vòi đầu chảy chảy một mình đầy bể là x ( x >
, x tính bằng giờ )
4
15
Gọi thời gian vòiớau chảy chảy một mình đầy bể là y ( y >
, y tính bằng giờ )
4
1
1 giờ vòi đầu chảy đ-ợc ( bể )
x
1
1 giờ vòi sau chảy đ-ợc
( bể )
y
1
1

1 giờ hai vòi chảy đ-ợc
+ ( bể )
(1)
y
x
15
Hai vòi cùng chảy thì đầy bĨ trong 3h 45ph =
h
4
15 4
VËy 1 giê c¶ hai vòi chảy đ-ợc 1:
=
( bể ) ( 2)
4 15
1
1
4
Từ (1) và (2) ta có hệ ph-ơng trình
+ =
y 15
x
Mất khác ta biết nếu chảy một mình thì vòi sau chảy lâu hơn vòi tr-ớc 4 giờ tức là y x = 4
Vậy ta có hệ ph-ơng trình
1 1 4
 
 x y 15
y  x  4


 x  6

(a)

x

6


1
4
1
y

10
4 x 2  14 x  60  0 2 x 2  7 x  30  0 

 

 x x  4 5  

  x  2,5  
 x  2,5
y  x  4
y  x  4
 y  x  4
y  x  4

(b)

 y  1,5
VËy vßi đầu chảy một mình đầy bể trong 6 h

vòi sau chảy một mình đầy bể trong 10 h
54) Hai ng-ời thợ cùng làm một công việc . Nếu làm riêng, mỗi ng-ời nửa việc thì tổng số giờ làm việc là
12h 30ph . Nếu hai ng-ời cùng làm thì hai ng-ời chỉ làm việc đó trong 6 giờ. Nh- vậy , làm việc riêng cả
công việc mỗi ng-ời mất bao nhiêu thời gian ?
Giải
Truy cp trang ụn luyn thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất!

24


Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình
Gọi thời gian ng-ời thứ nhất làm riêng rẽ để xong nửa công việc là x ( x > 6; h)
Gọi thời gian ng-ời thứ hai làm riêng rẽ để xong nửa công việc là y ( y > 6;h )
1
Ta cã pt : x + y = 12
(1)
2
Thời gian ng-ời thứ nhất làm riêng để xong công viƯc lµ 2x => 1 giê ng-êi thø nhÊt lµm đ-ợc

1
công
2x

việc
Gọi thời gian ng-ời thứ hai làm riêng để xong công việc là 2y => 1 giờ ng-ời thứ hai làm đ-ợc

1
công
2y

việc

1
1
1
1
công việc nên ta có pt :
+
=
(2)
6
2x 2 y 6
1

15
x  5

 x  y  12 2

x 
Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ pt : 

2 ( thoả mÃn đk của ẩn)
15
1 1 1
y  2  y  5
 2 x 2 y 6
Vậy nếu làm việc riêng rẽ cả công việc một ng-ời làm trong 10 giờ còn ng-ời kia làm trong 5 giờ
55)Hai tổ thanh niên tình nguyện cùng sửa một con đ-ờng vào bản trong 4 giờ thì xong . Nếu làm riêng
thì tổ 1 làm nhanh hơn tổ hai 6 giờ . Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu sẽ xong việc ?

Giải
Gọi thời gian một mình tổ 1sửa xong con đ-ờng là x ( x >4;h )
Thêi gian mét m×nh tỉ 2 sưa xong con ®-êng lµ x + 6 ( giê )
1
Trong 1 giê tổ 1 sửa đ-ợc ( con đ-ờng )
x
1
Trong 1 giờ tổ 2 sửa đ-ợc
(con đ-ờng)
x6
1
Trong 1 giờ cả hai tổ sửa đ-ợc
(con đ-ờng )
4
1
1
1
Vậy ta có pt: +
=
4( x  6)  4 x  x( x  6)  x 2  2 x  24  0  x1= 6; x2 = -4
x6
4
x
x2 = - 4 < 4 , không thoả mÃn điều kiện của ẩn
Vậy một mình tổ 1 sửa xong con đ-ờng hết 6 ngày
một mình tổ 2 sửa xong con đ-ờng hết 12 ngày
56) Hai đội công nhân làm một đoạn đ-ờng . Đội 1 làm xong một nửa đoạn đ-ờng thì đội 2 đến làm tiếp
nửa còn lại với thời gian dài hơn thời gian đội 1 đà đà làm là 30 ngày . Nếu hai đội cùng làm thì trong 72
ngày xong cả đoạn đ-ờng .Hỏi mỗi đội đà làm bao nhiêu ngày trên đoạn đ-ờng này ?
Giải

Gọi thời gian đội 1 làm là x ( x > 0;ngày )
Thời gian đội 2 làm việc là x + 30 ( ngày )
1
Mỗi ngày đội 1 làm đ-ợc
( đoạn đ-ờng )
2x
1
Mỗi ngày đội 2 làm đ-ợc
( đoạn đ-ờng )
2( x 30)
1
Mỗi ngày cả hai đội làm đ-ợc
( đoạn đ-ờng )
72
1
1
1
Vậy ta có pt :
+
=
2 x 2( x  30) 72
2
Hay
x -42x – 1080 = 0
x1 = 21 + 39 = 60 ; x2 = 21- 39 = - 18 < 0 kh«ng thoả mÃn đk của ẩn
Vậy đội 1 làm trong 60 ngày , đội 2 làm trong 90 ngày .
1 giờ cả hai ng-ời làm đ-ợc

Truy cp trang ụn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất!

25