(Luận văn thạc sĩ) về định lý helly và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN THỊ HÂN

VỀ ĐỊNH LÝ HELLY
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN THỊ HÂN

VỀ ĐỊNH LÝ HELLY
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy

THÁI NGUYÊN - 2017

i

Mục lục
Lời cảm ơn

ii

Mở đầu

2

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Tập compact trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2

1.2

Dãy Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Tập hợp lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1
1.2.2

Khái niệm và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Tính chất của tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Chương 2. Về định lý Helly và một số ứng dụng
2.1

Tính chất giao hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Định lý Helly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Một số ứng dụng của Định lý Helly . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1
2.2.2

2.3

20

Định lý Helly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1
2.1.2

2.2

4
4

Định lý Thư viện Nghệ thuật . . . . . . . . . . . . . 28
Bài toán của Vincensini . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Một số bài toán áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Kết luận

48

Tài liệu tham khảo

49


ii

Lời cảm ơn
Với lòng biết ơn sâu sắc em xin chân thành gửi tới PGS.TS. Nguyễn Thị
Thu Thủy - người cơ đã tận tâm, nhiệt tình chỉ bảo, động viên giúp đỡ
em trong suốt q trình nghiên cứu và hồn thành luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cơ trong khoa Tốn - Tin, Trường
Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, các giáo sư của Trường Đại
học Khoa học Tự nhiên – Đại học quốc gia Hà Nội; của Viện Toán học –
Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã tạo điều kiện thuận
lợi giúp đỡ em trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học
Khoa học.
Em xin chân thành cảm ơn các anh chị và bạn bè đồng nghiệp trong
lớp Cao học Tốn K9B2 đã ln giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập
và nghiên cứu.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Hân

2

Mở đầu
Tập hợp lồi là một khái niệm xuất hiện từ lâu trong nhiều ngành của Tốn
học, nó được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu như E. Buchman
và F.A. Vanlentine, V.L. Klee, C. Carathéodery . . . Đặc biệt là nhà toán
học E. Helly.
Định lý Helly là một kết quả cơ bản trong hình học rời rạc về giao của
các tập hợp lồi. Định lý cho ta một điều kiện đủ để nhận biết khi nào một
họ các hình lồi sẽ có giao khác rỗng. Nó được phát hiện bởi E. Helly năm
1913, nhưng chỉ được xuất bản vào năm 1923, khi các chứng minh khác
của Radon (1921) v Kăonig (1922) ó c ng.
nh lý Helly c phỏt biểu như sau: Giả sử F := {F1 , F2 , . . . , Fk } là
họ gồm k tập hợp lồi F1 , F2 , . . . , Fk trong Rn , trong đó k > n. Nếu giao
của mọi bộ n+1 tập của họ F là khác rỗng, thì giao của tất cả các tập hợp
trong họ F là khác rỗng, nghĩa là

k
j=1 Fj

= ∅. Để áp dụng cho một số vô

hạn các tập hợp ta cần có thêm tính chất compact: Nếu F := {Fα , α ∈ I}
là một họ các tập hợp lồi compact trong Rn và giao của mọi bộ không quá
n + 1 tập của họ F là khác rỗng thì giao của tất cả các tập hợp trong họ
đó là khác rỗng.
Mục đích của đề tài luận văn là tìm hiểu và trình bày các chứng minh
của định lý Helly, trình bày một số ứng dụng của định lý Helly như định
lý Thư Viện Nghệ Thuật, bài toán của Vincensini, đồng thời tìm hiểu một

số đề thi học sinh giỏi toán quốc gia và quốc tế áp dụng định lý Helly để
giải.
Nội dung của đề tài luận văn được trình bày trong hai chương. Chương
1 giới thiệu một số khái niệm và tính chất của tập compact, tập hợp lồi


3

trong khơng gian Rn . Chương 2 trình bày chứng minh định lý Helly, một
số ứng dụng của định lý Helly và một số bài toán áp dụng định lý Helly
để giải.


4

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số kiến thức về tập hợp compact và tập hợp
lồi trong không gian Rn . Mục 1.1 giới thiệu khái niệm tập hợp compact và
một số tính chất của tập compact trong Rn . Mục 1.2 giới thiệu về tập hợp
lồi và một số tính chất của tập hợp lồi. Nội dung của chương được viết
trên cơ sở tài liệu [6], [7].

1.1
1.1.1

Tập compact trong Rn
Tập compact

Định nghĩa 1.1.1 Một tập con K của Rn được gọi là tập compact nếu
mỗi tập con vơ hạn của K có một điểm tụ thuộc K.
Chú ý 1.1.2 Cho K ∈ Rn là tập compact, Định nghĩa 1.1.1 thỏa mãn hai
điều kiện:
(i) Mỗi tập hợp con vơ hạn của K đều có ít nhất một điểm tụ p;
(ii) Điểm tụ p phải thuộc K.
Định lý 1.1.3 (xem [6]) Tập hợp con K của Rn là compact nếu và chỉ
nếu
(i) Mỗi tập hợp con vơ hạn của K đều có ít nhất một điểm tụ p;
(ii) Tất cả các điểm tụ của K đều thuộc K.


5

Định lý 1.1.4 (xem [6]) Tập tập hợp con K compact của Rn là tập đóng
và bị chặn.
Cho
I = {(x1 , x2 , . . . , xn )} ∈ Rn ;

ai ≤ xi ≤ bi ,

i = 1, n

với a = (a1 , a2 , . . . , an ) và b = (b1 , b2 , . . . , bn ) và ta đặt l (I) là cạnh lớn
nhất của I, nghĩa là
l (I) = sup {b1 − a1 , b2 − a2 , . . . , bn − an } .
Định lý 1.1.5 (Bolzano–Weierstrass) (xem [6]) Mọi tập con vô hạn bị
chặn của Rn đều có điểm tụ.
Chứng minh. Giả sử A là một tập hợp con vô hạn bị chặn của Rn và cho
I1 là một hình đóng chứa A. Chia I1 thành 2n hình đóng bằng cách cắt

ngang mỗi cạnh của nó. Vì I1 chứa vơ số điểm của A, nên tồn tại ít nhất
một hình I2 trong số những hình được chia nhỏ sẽ chứa vô số điểm của A.
Tiếp theo ta lại chia hình I2 thành 2n hình đóng bằng cách cắt ngang
mỗi cạnh của nó, sao cho có ít nhất một hình đóng I3 , trong số những hình
được chia nhỏ, chứa vô số điểm của A.
Tiếp tục theo cách này, ta nhận được dãy {Ik }k≥1 các hình đóng lồng
nhau khác rỗng, mỗi một hình trong đó chứa vô hạn điểm của A.
Chú ý rằng cạnh dài nhất của hình thứ k thỏa mãn
0 < l (Ik ) =

l (I1 )
2k−1

và dãy các số thực {l(Ik )}k≥1 hội tụ đến 0. Như vậy, với mỗi i thỏa mãn
1 ≤ i ≤ n, các khoảng đóng [ak,i , bk,i ] của Ik tạo thành một dãy các tập
con lồng nhau khác rỗng compact của R. Do đó, tồn tại một điểm pi ∈ R
thỏa mãn:

∞

pi ∈

[ak,i , bk,i ].
k=1

Nếu ta đặt p = (p1 , p2 , . . . , pn ) ∈ Rn thì suy ra mỗi hình cầu B (p, ε) chứa
điểm của A khác p, ở đây ε là số dương bé tùy ý. Vì vậy, p là điểm tụ của
A.

6

Định lý 1.1.6 (Heine–Borel) (xem [6]) Mỗi tập hợp con của Rn là tập
compact nếu và chỉ nếu nó đóng và bị chặn.
Hệ quả 1.1.7 (xem [6]) Tập hợp con đóng của tập hợp bị chặn là tập
compact.
Hệ quả 1.1.8 (xem [6]) Tập hợp con đóng của tập hợp compact là tập
compact.
Hệ quả 1.1.9 (xem [6]) Nếu K là tập compact và S là tập đóng, thì K ∩S
cũng là tập compact.
Định lý 1.1.10 (Định lý các tập hợp lồng nhau) (xem [6]) Nếu K1 , K2 , K3 , . . .
là một họ các tập con khác rỗng compact của Rn thỏa mãn
K1 ⊇ K2 ⊇ K3 ⊇ . . .
thì

∞

Ki = ∅.
i=1

Sau đây sự tương đương của định nghĩa tập compact trong Rn ở trên
với định nghĩa theo quan điểm của phủ các tập hợp mở.
Định lý 1.1.11 (xem [6]) Tập con K của không gian Rn là tập compact
khi và chỉ khi mọi phủ mở của K đều có phủ con hữu hạn.
Chứng minh. Từ những kết quả trên, ta chỉ cần chứng minh K đóng và
bị chặn (và do đó compact) nếu và chỉ nếu mỗi phủ mở của K đều có phủ
con hữu hạn.
Giả sử mỗi phủ mở của K đều có phủ con hữu hạn. Đặt U là họ các
hình cầu mở dạng B (k, 1) tâm k bán kính 1, trong đó k ∈ K. Hình cầu
B (k, 1) này là một phủ mở của tập compact K và do đó có phủ con hữu

hạn. Nếu {k1 , k2 , . . . , km } là tâm của các phủ con này, thì
m

K⊂

B (ki , 1)
i=1

và tập K bị chặn.
Bây giờ, giả sử mọi phủ mở của K đều có một một phủ con hữu hạn.
Gọi U = Rn \K là phần bù của K. Vì tập K bị chặn nên U = ∅. Ta sẽ


7

chỉ ra rằng khơng có điểm q ∈ U nào là điểm tụ của K. Thật vậy, giả sử
q ∈ U là một điểm tùy ý, và với mỗi p ∈ K ta xét hình cầu mở
B (p, δ (p)) = {x ∈ Rn : x − p < δ (p)} ,
ở đây δ (p) =

1
2

p − q > 0 nếu p = q. Họ U = {B (p, δ (p)) : p ∈ K} là

một phủ mở của K, và do đó có phủ con hữu hạn. Vì vậy ta có các điểm
{p1 , p2 , . . . , pm } của K thỏa mãn
m

K⊂

B (pi , δ (pi )).
i=1

Đặt r = min {δ (pi ) : i = 1, 2, . . . } và xét lân cận B (p, r) của q. Nếu 1 ≤
i ≤ m và s ∈ B (q, r) thì
2δ (pi ) = q − pi
≤ q−s
< r + s − pi + s − pi
≤ δ (pi ) + s − pi ,
vì vậy s − pi > δ (pi ) với mọi i = 1, . . . , m và do đó s ∈
/ B (pi , δ (pi )) với
mọi i = 1, . . . , m. Suy ra
m

m

B (q, r)∩K ⊂ B (q, r)∩

B (q, r)∩B (pi , δ (pi )) = ∅.

B (pi , δ (pi )) =
i=1

i=1

Vì vậy B (p, r) ⊂ Rn \K và do đó Rn \K là tập mở nên K là tập đóng.
Ngược lại, giả sử tập K là tập đóng và bị chặn của Rn và
U = {Uα : α ∈ I}
là một họ các tập mở của Rn sao cho K ⊂ ∪ {Uα : α ∈ I}. Giả sử K không

chứa trong hợp của bất kỳ họ hữu hạn các tập mở của U .
Vì tập K là bị chặn nên có một số M > 0 sao cho K ⊆ I1 trong đó I1
là hình đóng trong Rn được cho bởi
I1 = {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn : |xk | ≤ M,

k = 1, . . . , n} .

Bằng cách cắt ngang mỗi cạnh của I1 , ta nhận được 2n khoảng đóng trong
I1 chứa các điểm của K nhưng không được chứa trong hợp của bất kỳ số


8

hữu hạn nào các tập trong tập U . Gọi I2 là một hình đóng bất kỳ trong
những hình đóng được chia của I1 sao cho tập hợp K ∩ I2 không chứa
trong hợp của bất kỳ số hữu hạn nào của tập U .
Tiếp tục, ta lại cắt ngang mỗi cạnh của I2 để được 2n hình đóng chứa
trong I2 . Gọi I3 là một hình đóng tùy ý trong những hình đóng được phân
chia từ I2 sao cho tập hợp khác rỗng K ∩ I3 không chứa trong hợp của bất
kỳ số hữu hạn nào của tập U .
Ta tiếp tục quá trình này và thu được một dãy {Ik }k≥1 các hình đóng
sao cho độ dài l (Ik ) của cạnh dài nhất của Ik thỏa mãn
0 < l (Ik ) ≤

l (I1 )
2M
≤
,
2k−1
2k−i

k > 1.

Theo chứng minh của Định lý Bolzano–Weierstrass trong Rn , vì dãy các
số thực {Ik }k≥1 hội tụ đến 0, thì với mọi i ≥ 1, khoảng đóng và bị chặn
tương ứng [ak,i , bk,i ] của Ik tạo thành dãy các tập con compact của R, do
đó tồn tại pi ∈ R sao cho
∞

pi ∈

[ak,i , bk,i ].
k=1

Nếu ta đặt p = (p1 , . . . , pn ) ∈ R thì p ∈
n

∞

Ik . Vì mỗi Ik đều chứa các

k=1

điểm của K nên suy ra điểm p là điểm tụ của K và vì K đóng nên p ∈ K.
Bây giờ, vì U là một phủ mở của K, nên tồn tại số α sao cho p ∈ Uα và
do đó tồn tại số δ > 0 sao cho B (p, δ) ⊂ Uα . Vì lim l (Ik ) = 0, nên ta có
k→∞

thể chọn k đủ lớn sao cho 0 < l (Ik ) < và toàn bộ điểm của Ik đều được
chứa trong tập hợp Uα . Điều này là mâu thuẫn với cách xây dựng Ik tức

δ
2

là K ∩ Ik không chứa trong hợp của một số hữu hạn các tập hợp của U .
Do đó, K được phủ bằng họ hữu hạn các phần tử của U .
Định lý 1.1.12 (Bolzano–Weierstrass) (xem [6]) Mọi dãy vơ hạn bị chặn
của Rn đều có dãy con hội tụ.
Chứng minh. Giả sử {xk }k≥1 là một dãy bị chặn trong Rn . Nếu chỉ có
một số hữu hạn các điểm phân biệt trong dãy này, thì ít nhất một trong
những điểm này, gọi là x0 , phải xuất hiện một cách vô hạn. Xác định một


9

dãy con của dãy {xk }k≥1 bằng cách chọn các phần tử này mỗi lần khi nó
xuất hiện. Đây là dãy con hội tụ của dãy gốc.
Mặt khác, nếu dãy {xk }k≥1 chứa vô số điểm phân biệt trong Rn , thì
theo Định lý Bolzano–Weierstrass suy ra rằng có ít nhất một điểm tụ, gọi
là x0 , của tập hợp vô hạn điểm phân biệt từ dãy này. Giả sử xk1 là phần
tử của dãy sao cho
xk1 − x0 < 1.
Xét hình cầu mở B x0 , 21 , vì x0 là điểm tụ của tập hợp S1 = {xk : k ≥ 1},
nó cũng là điểm tụ của tập hợp S2 = {xk : k > k1 } bằng cách xóa đi một số
hữu hạn điểm của S1 . Do đó, có một điểm xk2 của S2 thuộc vào B x0 , 12 .
Chú ý rằng từ xk2 ∈ S2 , suy ra k2 > k1 .
Lại xét hình cầu mở B x0 , 13 và cho S2 = {xk : k > k2 }. Vì x0 là điểm
tụ của S3 nên có một điểm xk3 ∈ S3 sao cho xk3 ∈ B x0 , 31 . Chú ý rằng
k3 > k2 vì xk3 ∈ S3 .
Tiếp tục thực hiện các bước như trên ta thu được dãy con {xki }i≥1 của
dãy {xk }k≥1 thỏa mãn

sao cho lim xki = x0 .

1
xk i − x 0 < ,
i

i→∞

Những điều này chứng tỏ rằng nếu dãy {xk }k≥1 là bị chặn và x0 là
điểm tụ của tập hợp S = {xk : k ≥ 1} thì có một dãy con{xki }i≥1 của dãy
{xk }k≥1 hội tụ đến x0 .
Sau đây là đặc điểm của tính compact trong Rn theo quan điểm dãy.
Định lý 1.1.13 (xem [6]) Tập hợp con K của Rn là tập hợp compact nếu
và chỉ nếu mọi dãy trong K đều có dãy con hội tụ đến điểm của K.
Chứng minh. Giả sử tập hợp con K của Rn là tập compact, và giả sử
{xk }k≥1 là dãy các điểm với xk ∈ K, k ≥ 1. Do K là tập bị chặn nên dãy
này là bị chặn và theo Định lý Bolzano–Weierstrass, dãy này có dãy con
hội tụ {xki }i≥1 , với lim xki = x0 . Vì tập K là đóng và {xki }i≥1 là dãy các
i→∞

điểm của K hội tụ đến x0 , nên x0 ∈ K.
Ngược lại, giả sử bất kỳ dãy {xk }k≥1 các điểm của xk ∈ K, với mọi
k ≥ 1, đều có dãy con {xki }i≥1 với x0 = lim xki ∈ K.
i→∞


10

Đầu tiên ta chỉ ra rằng K bị chặn. Nếu K khơng bị chặn thì với mỗi số
dương k, ta đều tìm được điểm xk ∈ K sao cho xk ≥ k. Bây giờ, theo giả

thiết, có dãy con hội tụ {xki }i≥1 của dãy này sao cho x0 = lim xki ∈ K,
i→∞

và theo bất đẳng thức tam giác ta có
xk i ≤ x ki − x0 + x 0 ,

∀i > 1.

Chọn số nguyên i0 thỏa mãn xki − x0 < 1 với i > i0 sao cho
xki ≤ max

xk1 , . . . , xki0 −1 , 1 + x0

,

∀i ≥ 1.

Tuy nhiên, từ cách mà dãy {xk }k≥1 được xây dựng, ta có
xki ≥ ki → ∞ khi i → ∞,
điều này là mâu thuẫn. Do đó, K bị chặn.
Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra tập K là tập đóng. Thật vậy, giả sử a là một
điểm tụ của K, với mỗi số nguyên k ≥ 1, tồn tại một điểm xk trong
B a, k1 \ {a}. Từ

1
k
hội tụ tới a. Theo giả thiết, vì dãy {xk }k≥1

xk − a <
với mọi k ≥ 1, nên dãy {xk }k≥1

nằm trong K, nó có một dãy con hội tụ đến một số x0 ∈ K. Tuy nhiên,
dãy {xk }k≥1 hội tụ tới a, do đó dãy {xk }k≥1 cũng hội tụ với a. Vì giới hạn
là duy nhất, nên x0 = a và a ∈ K. Do đó, K là tập đóng.
Vì K đóng và bị chặn nên K là tập compact.
Định lý 1.1.14 (xem [6]) Nếu K là tập hợp con của Rn , các điều kiện
sau là tương đương:
(i) Mỗi phủ mở của K đều có phủ con hữu hạn;
(ii) K đóng và bị chặn;
(iii) Mỗi tập hợp con vơ hạn của K có điểm tụ trong K;
(iv) Mỗi dãy trong K có dãy con hội tụ đến điểm của K.
Do đó, K ⊂ R là tập compact nếu và chỉ nếu bất kỳ một trong những điều
kiện ở trên đúng.


11

1.1.2

Dãy Cauchy

Định nghĩa 1.1.15 Một dãy các điểm {xk }k≥1 trong Rn là một dãy Cauchy
nếu có bất kỳ ε > 0, tồn tại một số nguyên k0 = k0 (ε) sao cho
xk − x m < ε
với k, m > k0 .
Chúng ta có các bổ đề sau, và các chứng minh tương tự cho các dãy
Cauchy trong R.
Bổ đề 1.1.16 (xem [6]) Nếu {xk }k≥1 là dãy Cauchy trong Rn thì dãy
{xk }k≥1 là bị chặn.
Bổ đề 1.1.17 (xem [6]) Nếu {xk }k≥1 là dãy Cauchy trong Rn và dãy con

{xki }i≥1 của {xk }k≥1 hội tụ, nghĩa là lim xki = x0 , thì dãy {xk }k≥1 cũng
i→∞

hội tụ đến x0 .

Bây giờ ta sẽ chỉ ra khơng gian tuyến tính định chuẩn Rn là khơng gian
đầy đủ, nghĩa là một dãy hội tụ nếu và chỉ nếu nó là dãy Cauchy.
Định nghĩa 1.1.18 Cho A là một tập hợp con khác rỗng bị chặn của Rn .
Đường kính của A, gọi diam(A), được định nghĩa như sau:
diam (A) = sup { x − y , x ∈ A, y ∈ A} .
Nếu A không bị chặn ta định nghĩa diam (A) = ∞.
Định lý 1.1.19 (xem [6]) Một tập khác rỗng A trong Rn và bao đóng A
của nó có cùng đường kính, nghĩa là, diam A =diam(A).
Chứng minh. Từ A ⊂ A suy ra
sup { x − y : x ∈ A, y ∈ A} ≤ sup

x − y : x ∈ A, y ∈ A ,

nên diam(A) ≤ diam A .
Ngược lại, giả sử x′ ∈ A và y ′ ∈ A và đặt δ > 0 tùy ý. Khi đó tồn tại
x ∈ A và y ∈ A sao cho
x − x′ <

δ
2

và

δ
y − y′ < .

2


12

do đó
x′ − y ′ ≤ x′ − x + x − y + y − y ′ ≤ diam (A) + δ,

∀x, y ∈ A.

Nên
diam A ≤ diam (A) + δ
và do δ > 0 bé tùy ý nên ta có diam A ≤ diam(A).
Vậy ta được diam A = diam(A).
Định lý 1.1.20 (xem [6]) Một dãy {xk }k≥1 trong Rn hội tụ nếu và chỉ khi
nó là dãy Cauchy.
Chứng minh. Giả sử {xk }k≥1 là dãy Cauchy trong Rn và đặt
Ak = {xk , xk+1 , xk+2 , . . . }
với k = 1, 2, 3, . . . . Ta có
A1 ⊃ Ak ⊃ Ak+1

và A1 ⊃ Ak ⊃ Ak+1

với k = 1, 2, 3, . . . . Vì A1 là bị chặn nên mỗi một tập Ak là đóng và bị chặn
và do đó nó là tập compact.
Từ định lý Nested cho tập hợp
Lấy x0 ∈ R sao cho x0 ∈
n

∞

k=1

∞

Ak là một tập compact khác rỗng.

k=1

Ak . Dãy {xk }k≥1 là một dãy Cauchy, nên với

mọi ε > 0 bé tùy ý, tồn tại một số nguyên k0 sao cho
xk − x j < ε
với k, j ≥ k0 . Mặt khác, k ≥ k0 và j ≥ k0 suy ra xk ∈ Ak0 và xj ∈ Ak0 nên
diam(Ak0 ) < ε.
Bây giờ, x0 ∈ Ak0 và x0 ∈ Ak0 ⊂ Ak0 với mọi k ≥ k0 . Do đó từ
diam Ak0 = diam(Ak0 ) ta có
xk − x0 ≤ diam Ak0 = diam (Ak0 ) ≤ ε
khi k ≥ k0 , suy ra {xk }k≥1 hội tụ đến x0 .
Ngược lại, dễ thấy bất kỳ dãy hội tụ trong Rn đều là dãy Cauchy.


13

1.2

Tập hợp lồi

1.2.1

Khái niệm và ví dụ

Ta sẽ sử dụng ký hiệu như khoảng của đường thẳng thực và sử dụng cho
thuật ngữ trong R, mặc dù (p, q) không là tập mở trong Rn ngoại trừ khi
n = 1 như sau:
(i) [p, q] là hình đóng nối p và q xác định bởi:
[p, q] = {x ∈ Rn : x − (1 − µ) p + µq : 0 ≤ µ ≤ 1} .
(ii) (p, q) là hình mở nối p và q:
(p, q) = {x ∈ Rn : x − (1 − µ) p + µq : 0 < µ < 1} .
(iii) [p, q), (p, q] là hình nửa mở nối p và q:
[p, q) = {x ∈ Rn : x − (1 − µ) p + µq : 0 ≤ µ < 1} ,
(p, q] = {x ∈ Rn : x − (1 − µ) p + µq : 0 < µ ≤ 1} .
Chú ý rằng vơ hướng µ tăng từ µ = 0 tới µ = 1 , điểm x di chuyển dọc
trên đường x = p đến đường x = q.
Định nghĩa 1.2.1 Tập con C của Rn được gọi là tập lồi nếu nó chứa tất
cả các đoạn thẳng được xác định bởi hai điểm bất kỳ của tập con C.
Theo định nghĩa này thì tập rỗng, tập một điểm, khơng gian con là các
tập lồi.
Định lý 1.2.2 (xem [6]) Giả sử f là hàm tuyến tính khác khơng của Rn
và β một số thực. Siêu phẳng
Hβ = f −1 (β) = {x ∈ Rn : f (x) = β}
và nửa không gian mở
H = {x ∈ Rn : f (x) < β}
là các tập lồi.


14

Chứng minh. Lấy x và y thuộc Hβ và 0 < λ < 1, ta sẽ chỉ ra rằng tổ hợp
lồi λx+(1 − λ) y cũng thuộc Hβ . Thật vậy, vì f là tuyến tính và x, y ∈ Hβ ,
nên

f (λx + (1 − λ) y) = λf (x) + (1 − λ) f (y) = λβ + (1 − λ) β = β
suy ra λx + (1 − λ) y ∈ Hβ .
Tương tự lấy x và y thuộc H và 0 < λ < 1. Vì λ > 0 và 1 − λ > 0, ta có
f (λx + (1 − λ) y) = λf (x) + (1 − λ) f (y) < λβ + (1 − λ) β = β
suy ra λx + (1 − λ) y ∈ H.

1.2.2

Tính chất của tập lồi

Nếu K là một tập hợp trong Rn thì
αK := {αx ∈ Rn : x ∈ K}
cũng là tập hợp trong Rn . Nếu α > 0, thì tập αK + x0 được gọi là phép vị
tự dương của K.
Định lý 1.2.3 (xem [6]) Nếu [p, q] là một hình đóng nối p và q trong Rn
thì
(a) [p, q] + x0 = [p + x0 , q + x0 ] với mọi x0 ∈ Rn , và
(b) α [p, q] = [αp, αq] với mọi số thực α = 0.
Chứng minh.
(a) Ta có x ∈ [p, q] + x0 nếu và chỉ nếu tồn tại số λ với 0 ≤ λ ≤ 1 sao cho
x = (1 − λ) p + λq + x0
= (1 − λ) p + λq + (1 − λ) x0 + λx0
= (1 − λ) (p + x0 ) + λ (q + x0 ) .
Điều này xảy ra nếu và chỉ nếu x ∈ [p + x0 , q + x0 ]. Vậy
[p, q] + x0 = [p + x0 , q + x0 ]

với mọi x0 ∈ Rn .


15

(b) Phần tử x ∈ α [p, q] nếu và chỉ nếu tồn tại số λ với 0 ≤ λ ≤ 1 sao cho
x = α [(1 − λ)p + λq]
= (1 − λ) αp + λαq.
Điều này xảy ra nếu x ∈ [αp, αq]. Khi đó α [p, q] = [αp, αq].

Hệ quả 1.2.4 (xem [6]) Nếu C là một tập con lồi của Rn thì C + x0 và
αC là các tập hợp lồi với mọi x0 ∈ Rn và α ∈ Rn .
Chứng minh. Lấy p và q là các điểm tùy ý trong tập C + x0 . Khi đó,
p − x0 và q − x0 là các điểm thuộc C. Vì C là tập hợp lồi nên đoạn thẳng
[p − x0 , q − x0 ] thuộc C. Theo định lý trên,
[p − x0 , q − x0 ] + x0 = [p − x0 + x0 , q − x0 + x0 ] = [p, q] .
Suy ra [p, q] ⊂ C + x0 , và vì p và q là các điểm tùy ý của của C + x0 nên
C + x0 là tập lồi.
Nếu α = 0 thì αC = 0 là lồi (kể cả khi C khơng lồi), vì thế ta chỉ
cần xét trường hợp α = 0. Lấy p và q là hai điểm tùy ý trong αC, khi đó
p = αx và q = αy với x và y là hai điểm nào đó trong C. Vì C là tập lồi
nên [x, y] ⊂ C và α [x, y] ⊂ αC. Từ định lý trên thì [p, q] ⊂ αC, do đó αC
là tập lồi.
Từ hệ quả trước, giúp chúng ta khơng gặp phải các vấn đề về tìm tính
lồi. Ví dụ để chứng minh rằng hình cầu B (x0 , p) là lồi, ta cần chú ý đến
sự phân bố và tích vơ hướng thích hợp. Ta sẽ chứng minh hình cầu đơn vị
mở B 0, 1 là tập hợp lồi. Thật vậy nếu x và y nằm trong B 0, 1 , ta chỉ
cần chứng minh rằng nếu 0 ≤ λ ≤ 1 thì (1 − λ) x + λy cũng thuộc B 0, 1 .
Ta sử dụng bất đẳng thức tam giác:
(1 − λ) x + λy ≤ (1 − λ) x + λy
= (1 − λ) x + λ y
< (1 − λ) + λ
= 1.

16

Để chứng minh rằng (1 − λ) x + λy ∈ B 0, 1 khi x, y ∈ B 0, 1 và 0 ≤
λ ≤ 1. Định lý tiếp theo, mà đã được đề cập và chứng minh trong chương
một đã chỉ ra rằng tính lồi được bảo tồn dưới các đường giao nhau. Thêm
vào đó, họ F trong điều kiện của định lý có thể hữu hạn hoặc vơ hạn.
Định lý 1.2.5 (xem [6]) Nếu F là họ các tập con lồi khác rỗng của Rn thì
tập C =

{A : A ∈ F } là tập lồi.

Chứng minh. Lấy x và y là hai điểm tùy ý trong C. Ta chứng minh rằng
[x, y] ⊂ C. Vì C là giao của tất cả các phần tử của F nên x ∈ A với
mỗi A ∈ F và y ∈ A với mỗi A ∈ F , do đó tập A là lồi. Từ đó suy ra
[x, y] ⊂ C = {A : A ∈ F } và C là tập lồi.
Ví dụ 1.2.6 Chứng minh rằng tập S =

(x, y) ∈ R2 : y ≥ x1 , x > 0

là

tập lồi.
Chứng minh.

S = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 1/x; 0 < x < ∞}
Chứng minh sau đây sử dụng bất đẳng thức a + a1 ≥ 2 với mọi a > 0, đẳng
thức xảy ra nếu và chỉ nếu a = 1.
Giả sử p1 = (x1 , y1 ) , p2 = (x2 , y2 ) ∈ C và 0 ≤ λ ≤ 1. Nếu x1 > 0 và
x2 > 0 thì (1 − λ) x1 + λx2 > 0. Suy ra,

[(1 − λ) x1 + λx2 ] [(1 − λ) y1 + λy2 ]
= (1 − λ)2 x1 y1 + λ (1 − λ) [x1 y2 + x2 y1 ] + λ2 x2 y2 .


17

Vì
x1 y1 ≥ 1,

x2 y2 ≥ 1,

và x1 y2 + x2 y1 ≥ x1

1
1
+ x2 ≥ 2
x2
x1

nên
[(1 − λ) x1 + λx2 ] [(1 − λ) y1 + λy2 ] ≥ (1 − λ)2 + 2λ (1 − λ) + λ2
= [(1 − λ) + λ]2
= 1.
Mặt khác,
(1 − λ) y1 + λy2 ≥

1
(1 − λ) x1 + λx2

nên

(1 − λ) p1 + λp2 = ((1 − λ) x1 + λx2 , (1 − λ) y1 + λy2 ) ∈ S
và S là tập lồi.
Một trong những lý do mà tập lồi được sử dụng là tính lồi được bảo
tồn qua các phép biến đổi tuyến tính.
Định nghĩa 1.2.7 Phép biến đổi tuyến tính là ánh xạ T : Rn → Rn thỏa
mãn
(i) T (x + y) = T (x) + T (y) với mọi x, y ∈ Rn , và
(ii) T (αx) = αT (x) với mọi x ∈ Rn với mọi α ∈ R.
Ta có định nghĩa tương đương sau đây.
Định nghĩa 1.2.8 Ánh xạ T : Rn → Rn là phép biến đổi tuyến tính nếu
T (αx + βy) = αT (x) + βT (y)
với mọi x, y ∈ Rn và với mọi α và β thuộc R.
Định lý 1.2.9 (xem [6]) Ảnh của phân đoạn đường thẳng dưới phép biến
đổi tuyến tính là phân đoạn đường thẳng.
Chứng minh. Giả sử T là phép biến đổi tuyến tính và cho phân đoạn
đường thẳng [p, q]. Ta sẽ chứng minh
{T (x) ∈ Rn : x ∈ [p, q]} = [T (p) , T (q)] .


18

Thật vậy, ta thấy x ∈ [p, q] nếu và chỉ nếu x = (1 − λ) p + λq với λ ∈ [0, 1].
Vì T là phép biến đổi tuyến tính nên:
T (x) = T ((1 − λ) p + λq) = (1 − λ) T (p) + λT (q) .
Vậy x ∈ [p, q] nếu và chỉ nếu T (x) ∈ [T (p) + T (q)].
Định lý 1.2.10 (xem [6]) Nếu C là một tập con lồi của Rn và nếu T là
phép biến đổi tuyến tính trên Rn thì T (C) cũng là tập lồi.
Chứng minh. Lấy u và v là hai điểm trong T (C). Ta sẽ chứng minh đoạn
[u, v] là tập con của T (C).
Thật vậy vì u và v nằm trong T (C), nên u = T (p) và v = T (q) với p

và q trong C. Vì tính lồi của C nên [p, q] ⊂ C, do đó T ([p, q]) ⊆ T (C).
Kết hợp với định lý trên ta nhận được điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.2.11 Giả sử A và B là hai tập con của Rn và đặt
A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}
còn gọi là tổng Minkowski của A và B.
(a) Chứng minh rằng nếu A và B là các tập lồi thì A + B cũng là tập lồi.
(b) Trong Rn , đặt
A = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x < 1, y = 0
và
B = (x, y) ∈ R2 : x = 0, 0 ≤ y < 1 .
Hãy minh họa tổng Minkowski của A + B.
Chứng minh.
(a) Nếu x, y ∈ A + B và 0 < λ < 1 thì
(1 − λ) x + λy = (1 − λ) (a1 + b1 ) + λ (a2 + b2 ) .
với a1 , a2 ∈ A và b1 , b2 ∈ B, và vì vậy
(1 − λ) x + λy = [(1 − λ) a1 + λa2 ] + [(1 − λ) b1 + λb2 ] ∈ A + B.
Vì A và B là các tập lồi nên A + B cũng là tập lồi.


19

(b) Tổng Minkowski của A + B thể hiện bằng hình vẽ dưới đây.

Tổng Minkowski của A + B


20

Chương 2

Về định lý Helly và một số ứng
dụng
Chương này trình bày một số khái niệm về tính chất giao hữu hạn, nội
dung định lý Helly, cũng như một số ứng dụng của định lý Helly. Phần
cuối của chương là một số đề thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế áp dụng
định lý Helly để giải. Nội dung của chương được viết trong ba mục. Mục
2.1 giới thiệu định lý Helly. Mục 2.2 trình bày một số ứng dụng của định lý
Helly. Mục 2.3 giới thiệu một số bài toán áp dụng. Kiến thức của chương
được tham khảo trong các tài liệu [1]–[7].

2.1

Định lý Helly

Trong toàn bộ mục này, ta luôn giả thiết Rn là không gian tuyến tính
n-chiều được trang bị chuẩn Euclid.
2.1.1

Tính chất giao hữu hạn

Định nghĩa 2.1.1 Ta nói rằng họ F các tập con của khơng gian Rn có
tính chất giao hữu hạn nếu mọi họ con hữu hạn của F đều có giao khác
rỗng.
Ví dụ 2.1.2 Cho F = {F1 , F2 , . . .} là một họ các tập lồng nhau, nghĩa là
Fi+1 ⊂ Fi , i = 1, 2, . . . . Khi đó, F có tính chất giao hữu hạn.


21

Ví dụ 2.1.3 Cho F là một họ các hình cầu đóng B (x, 1) tâm x bán kính

1 trong Rn với tập hợp điểm x ∈ Rn có x = 1. Họ F không phải là một
họ lồng nhau và cũng khơng có tính chất giao hữu hạn.
Tính compact của một tập hợp có thể được định nghĩa lại bằng việc
dùng tính chất giao hữu hạn. Ta có định lý sau:
Định lý 2.1.4 (xem [6]) Cho K là một tập hợp con của Rn . Các phát biểu
sau là tương đương:
(i) Tập hợp K là tập compact;
(ii) Nếu F là họ các tập con đóng của K có tính chất giao hữu hạn thì họ
F có giao khác rỗng.
Chứng minh. (i) → (ii) Giả sử K là tập con compact của Rn và giả sử
{Fα : α ∈ I} là một họ bất kì các tập con đóng của K. Với mỗi α trong
tập chỉ số I, cho Uα là phần bù của Fα tức là Uα = Rn \Fα . Vì Fα là tập
đóng nên Uα là tập mở.
Giả sử giao của họ Fα là bằng rỗng, tức là

Fα = ∅. Khi đó,
α∈I

Rn = Rn \∅ = Rn \

Fα
α∈I

(Rn \Fα ) =

=
α∈I

Do đó, K ⊂

Uα .
α∈I

Uα và vì tập K là compact, {Uα : α ∈ I} là một phủ mở
α∈I

của K nên theo Định lý 1.1.11, có hữu hạn các chỉ số α1 , α2 , . . . , αr sao
cho
r
K⊂

Uα k
k=1

do đó

r

r

Fαk ⊂ Rn \K. Hơn nữa nếu x ∈

Fαk thì x ∈
/ K. Điều này mâu

k=1
r

k=1

thuẫn với mỗi Fαi ⊂ K. Vì vậy ta phải có

Fαk = ∅.
k=1

Ta đã chỉ ra rằng nếu K ⊂ Rn là tập compact và {Fα : α ∈ I} là họ các
tập con đóng trong K và có

Fα = ∅ thì tồn tại một họ con hữu hạn
α∈I


22

{Fα1 , Fα2 , . . . , Fαr } sao cho

r

Fαk = ∅.
k=1

Do đó, nếu K ⊂ Rn là tập compact và {Fα : α ∈ I} là họ các tập con
đóng của K có tính chất giao hữu hạn thì

r

Fαk = ∅.
k=1

(ii) → (i) Giả sử tập K khơng phải là tập compact. Khi đó, tồn tại một

phủ mở U = {Uα : α ∈ I} của K khơng có phủ con hữu hạn nào. Giả sử
{Uα1 , Uα2 , . . . , Uαr } là phủ con mở hữu hạn bất kì của U sao cho phủ con
này khơng phủ K. Khi đó
r

Uαk = ∅.

K\
k=1

Với mỗi α ∈ I và giả sử Kα = K\Uα , F = {Kα : α ∈ I}. Khi đó F là họ
các tập con đóng của K và có tính chất giao hữu hạn. Theo giả thiết F
có giao khác rỗng, nghĩa là
Kα =
α∈I

Uα = ∅,

(K\Uα ) = K\
α∈I

α∈I

và do đó,
K⊂

Uα ,
α∈I

trái giả thiết U là phủ mở của K vậy nên K phải là tập compact.

Hệ quả 2.1.5 (xem [6]) Nếu F là một họ các tập con compact của Rn có
tính chất giao hữu hạn thì F có giao khác rỗng.
Chứng minh. Chọn tập T tùy ý trong F. Theo giả thiết, mọi phần tử F
của F đều có giao với T . Giả sử T là họ {T ∩ F : F ∈ F}. Vì mỗi phần
tử của F đều là tập đóng, nên mỗi tập hợp con T ∩ F của T cũng là tập
đóng. Vì F có tính chất giao hữu hạn nên T cũng có tính chất giao hữu
hạn. Kết luận của hệ quả được suy từ
∩ {F : F ∈ F} ≡ ∩ {T ∩ F : F ∈ F} .

Chú ý, nếu F là họ các tập con compact của Rn có tính chất giao hữu
hạn, thì sẽ có một điểm chung của tất cả các tập hợp con đó. Nói cách