Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số định lí về tính duy nhất và tính hữu hạn của họ các ánh xạ phân hình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
—————————–

VANGTY NOULORVANG

MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ TÍNH DUY NHẤT VÀ
TÍNH HỮU HẠN CỦA HỌ CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH

Chun ngành: Hình học và Tơpơ
Mã số: 9.46.10.05

TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC

Hà Nội, 01-2021


2

Luận án được hoàn thành tại: Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. PHẠM ĐỨC THOAN
PGS.TS. PHẠM HỒNG HÀ

Phản biện 1: GS.TSKH. Hà Huy Khối
Phản biện 2: PGS.TSKH. Tạ Thị Hoài An
Phản biện 3: GS.TS. Trần Văn Tấn

Luận án đã được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp Trường
họp tại .......................

Có thể tìm luận án tại: - Thư viện Quốc Gia
- Thư viện Trường Đại Học Sư Phạm Hà
Nội


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết phân bố giá trị được bắt đầu xây dựng bởi nhà toán học
nổi tiếng R. Nevanlinna từ những năm 20 của thế kỉ trước. Ngay từ
khi ra đời, lý thuyết này đã thu hút được nhiều nhà toán học lớn
trên thế giới quan tâm nghiên cứu. Nhiều kết quả đặc sắc và những
ứng dụng to lớn của lý thuyết này trong những ngành toán học khác
nhau đã được phát hiện. Nội dung cơ bản của lí thuyết phân bố giá
trị là thiết lập định lí Cơ bản bản thứ 2, định lí nói về mối quan hệ
giữa hàm đếm các khơng điểm với độ tăng của hàm đặc trưng. Định
lí này có nhiều áp dụng trong việc nghiên cứu vấn đề duy nhất, tính
hữu hạn, tính phụ thuộc đại số, quan hệ số khuyết cũng như phân
bố về mặt giá trị của các ánh xạ phân hình.
Để thiết lập định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từ Cm
vào không gian xạ ảnh Pn(C), người ta dựa vào bổ đề Đạo hàm
logarit và tính chất của định thức Wronski. Tuy nhiên, năm 2006,
R. Halburd và R. J. Korhonen đã thiết lập được định lí cơ bản thứ
hai cho ánh xạ phân hình từ C vào Pn(C) giao với các siêu phẳng
cố dịnh cũng như các siêu phẳng di động ở vị trí tổng quát bằng
cách thay định thức Wronski bởi định thức Casorati (c-Casorati và
p-Casorati) và thay bổ đề Đạo hàm logarit bởi một bổ đề tương tự,
nó có tên là bổ đề q-dịch chuyển hoặc c-dịch chuyển cho các ánh
xạ phân hình bậc 0 hoặc cho các ánh xạ phân hình có siêu bậc nhỏ

hơn 1 tương ứng. Từ đó, họ có thể nghiên cứu tính duy nhất của
các ánh xạ phân hình này theo kiểu định lí Picard tổng quát. Định
lí Cơ bản thứ hai loại này được gọi là định lí Cơ bản thứ hai p-dịch
chuyển hoặc c-dịch chuyển giao với các mục tiêu. Bằng cách tiếp cận
theo hướng này, năm 2016, T. B. Cao và R. J. Korhonen đã thiết


2

lập định lí Cơ bản thứ hai p-dịch chuyển cho các ánh xạ phân hình
từ Cm vào khơng gian xạ ảnh Pn(C) giao với siêu phẳng ở vị trí dưới
tổng quát.
Một cách tự nhiên là cần xây dựng định lí Cơ bản thứ hai p-dịch
chuyển của ánh xạ phân hình bậc 0 từ Cm vào Pn(C) giao với các
siêu mặt ở vị trí dưới tổng qt thơng qua định thứ p-Casorati cũng
như việc áp dụng nó vào nghiên cứu vấn đề duy nhất kiểu định lí
Picard tổng quát.
Trong trường hợp một chiều, kể từ khi R. Halburd và R. J.
Korhonen đưa ra được bổ đề c-dịch chuyển và định lí Cơ bản thứ
hai c-dịch chuyển cho các hàm phân hình có siêu bậc nhỏ hơn 1,
định lí duy nhất kiểu Picard tương tự như định lí 5 điểm của R.
Nevanlinna được nghiên cứu rất mạnh mẽ. Có rất nhiều kết quả thú
vị theo hướng nghiên cứu này. Chẳng hạn, năm 2009, J. Heittokangas
và các đồng nghiệp đã chứng minh rằng nếu hàm phân hình f (z)
có bậc hữu hạn chia sẻ 3 giá trị phân biệt đếm cả bội với hàm dịch
chuyển f (z + c) thì f là một hàm tuần hồn với chu kì c, tức là
f (z) = f (z + c) với mọi z ∈ C. Định lí kiểu Picard này được chính
các tác giả trên cải tiến cho trường hợp chia sẻ hai giá trị đếm cả
bội và một giá trị không đếm bội. Đầu năm 2016, K. S. Charak, R.
J. Korhonen và G. Kumar đã đưa ra được phản ví dụ để chỉ ra rằng

khơng có định lí duy nhất cho trường hợp 1 giá trị chia sẻ đếm cả
bội và hai giá trị chia sẻ không đếm bội. Chú ý rằng, trong định lí 5
điểm của R. Nevanlinna thì 5 giá trị chia sẻ là không cần đếm bội.
Một câu hỏi đặt ra liệu có được định lí kiểu Picard trong trường
hợp số giá trị chia sẻ không đếm bội là 4 không? Các tác giả đã cố
gắng trả lời câu hỏi trên và đã có được những kết quả theo hướng
này cho các hàm phân hình có siêu bậc nhỏ hơn 1 chia sẻ 4 giá trị


3

dưới một điều kiện về số khuyết.
Năm 2018, W. Lin, X. Lin và A. Wu có được một phản ví dụ chỉ
ra rằng kết quả đó khơng cịn đúng nữa khi bội của các giá trị chia
sẻ bị ngắt. Từ đó, họ đặt ra vấn đề nghiên cứu tính duy nhất kiểu
định lí Picard khi các giá trị bị ngắt bội. Một trong những mục tiêu
khi nghiên cứu vấn đề duy nhất là giảm được số các giá trị chia sẻ.
Theo đó, chúng tơi đặt ra vấn đề nghiên cứu và cải tiến các kết qủa
của W. Lin, X. Lin và A. Wu.
Bài toán về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ Cm
vào Pn(C) được bắt đầu nghiên cứu trong bài báo của S. Ji và cho
đến nay đã có nhiều kết quả được cơng bố. Một số kết quả tốt nhất
gần đây thuộc về Z. Chen và Q. Yan, S. Đ. Quang, S. Đ. Quang và
L. N. Quỳnh. Chú ý rằng, bằng việc nghiên cứu tính phụ thuộc đại
số của 3 hàm phân hình có ảnh ngược giao với 2n + 2 siêu phẳng ở
vị trí tổng quát đã giúp S. Đ. Quang khẳng định được tính hữu hạn
của lớp các ánh xạ phân hình đó.
Tuy nhiên, như đã nói ở trên việc giảm được số siêu phẳng chia
sẻ trong các kết quả là một trong những đích quan trọng trong lí
thuyết phân bố giá trị. Do vậy, chúng tơi đặt ra mục đích nghiên

cứu tính hữu hạn của các ánh xạ phân hình từ Cm vào không gian
xạ ảnh Pn(C) với số siêu phẳng tham gia nhỏ hơn 2n + 2 thơng qua
tính phụ thuộc đại số của 3 ánh xạ phân hình.
Từ những lý do như trên, chúng tôi lựa chọn đề tài “Một số
định lí về tính duy nhất và tính hữu hạn của họ các
ánh xạ phân hình”, để đi sâu vào nghiên cứu các bài toán duy
nhất của các ánh xạ phân hình và ánh xạ dịch chuyển của chúng,
cũng như các bài tốn về tính hữu hạn cho những ánh xạ phân hình.
2. Mục đích nghiên cứu


4

Mục đích đầu tiên của luận án là đưa ra và chứng minh một số
định lí duy nhất của các hàm phân hình f (z) trên mặt phẳng phức
C có siêu bậc nhỏ hơn 1 chia sẻ một phần các giá trị cùng với hàm
dịch chuyển f (z + c) của nó.
Tiếp theo đó, luận án nghiên cứu thiết lập một số định lí Cơ bản
thứ hai và một số định lí duy nhất kiểu Picard cho các ánh xạ phân
hình từ Cm vào khơng gian xạ ảnh Pn(C) có bậc 0 và giao với các
siêu mặt.
Cuối cùng, luận án nghiên cứu tính hữu hạn thơng qua việc thiết
lập định lí phụ thuộc đại số của 3 ánh xạ phân hình từ Cm vào
khơng gian xạ ảnh Pn(C) giao với 2n + 1 siêu phẳng ở vị trí tổng
quát.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là một số định lí duy nhất kiểu
Picard và vấn đề phụ thuộc đại số cũng như tính hữu hạn của các
ánh xạ phân hình.
Đề tài được nghiên cứu trong phạm vi của lý thuyết Nevanlinna

cho các ánh xạ phân hình.
4. Phương pháp nghiên cứu
Để giải quyết các vấn đề đặt ra trong luận án, chúng tôi sử dụng
những phương pháp của lý thuyết phân bố giá trị và hình học phức.
Bên cạnh việc sử dụng các kỹ thuật truyền thống, chúng tôi đưa ra
những kỹ thuật mới nhằm đạt được những mục đích đã đặt ra trong
đề tài.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Luận án góp phần làm sâu sắc hơn các kết quả về vấn đề duy nhất
và tính hữu hạn của các hàm phân hình hoặc của các ánh xạ phân


5

hình. Bên cạnh việc làm phong phú thêm các bài toán này, luận án
cũng đưa ra được những kết quả mới cho sự phụ thuộc đại số của 3
ánh xạ phân hình vào khơng gian xạ ảnh với ít họ siêu phẳng.
Luận án là tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, học viên cao
học và nghiên cứu sinh theo hướng nghiên cứu này.
6. Cấu trúc luận án
Cấu trúc của luận án bao gồm bốn chương chính. Chương Tổng
quan dành để phân tích một số kết quả nghiên cứu của những tác giả
trong và ngoài nước liên quan đến nội dung của đề tài. Ba chương
cịn lại trình bày các kiến thức chuẩn bị cũng như những chứng minh
chi tiết cho các kết quả mới của đề tài.
Chương I. Tổng quan.
Chương II. Tính duy nhất của lớp các hàm phân hình có siêu
bậc nhỏ hơn 1.
Chương III. Tính duy nhất của lớp các ánh xạ phân hình có
bậc 0.

Chương IV. Tính phụ thuộc đại số và tính hữu hạn của họ các
ánh xạ phân hình chia sẻ 2n + 1 siêu phẳng.
Luận án được viết dựa trên ba bài báo đã được đăng.
7. Nơi thực hiện luận án
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.


6

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN
I. Tính duy nhất của lớp các hàm phân hình có siêu bậc
nhỏ hơn 1
Việc tìm điều kiện cho hàm phân hình f (z) trên mặt phẳng phức
trùng với hàm dịch chuyển f (z + c) của nó được nghiên cứu mạnh
mẽ mấy năm trở lại đây. Kể từ khi cơng trình của R. Halburd và R.
Korhonen, có rất nhiều định lí duy nhất thú vị tương tự như định lí
5 điểm của Nevanlinna ra đời. Chẳng hạn, vào 2009, J. Heittokangas
và các đồng nghiệp đã xét vấn đề này đối với hàm phân hình f (z)
trên mặt phẳng phức C có bậc hữu hạn chia sẻ 3 giá trị CM với hàm
dịch chuyển f (z + c) của nó. Sau đó, kết quả trên được cải tiến cho
trường hợp chia sẻ hai giá trị CM và một giá trị IM bởi chính các
tác giả này.
Năm 2016, K. S. Charak, R. Korhonen và G. Kumar đã đưa ra
một ví dụ để chỉ ra rằng trường hợp chia sẻ một giá trị CM và hai
giá trị IM (và do đó là ba giá trị IM) là khơng xảy ra trong trường
hợp tổng quát.
Khái niệm chia sẻ một phần các giá trị của hàm phân hình có siêu
bậc nhỏ hơn 1 được giới thiệu bởi K. S. Charak, R. Korhonen và G.
Kumar trong. Họ có được một định lí duy nhất cho hàm phân hình
có siêu bậc nhỏ hơn 1 chia sẻ một phần bốn giá trị IM với hàm dịch

chuyển của nó dưới điều kiện về số khuyết sau đây.
Định lí A Cho f là một hàm phân hình khác hằng có siêu bậc
ˆ ) là bốn hàm
γ(f ) < 1 và c ∈ C \ {0}. Cho a1, a2, a3, a4 ∈ S(f
phân hình tuần hồn phân biệt có chu kỳ c. Nếu δ(a, f ) > 0 với
ˆ ) và
a ∈ S(f
E(aj , f (z)) ⊆ E(aj , f (z + c)), j = 1, 2, 3, 4


7

thì f (z) = f (z + c) với mọi z ∈ C.
Năm 2018, W. Lin, X. Lin và A. Wu có đã đưa ra được một
phản ví dụ để chỉ ra rằng Định lí A khơng cịn đúng khi điều kiện
"chia sẻ một phần giá trị E(aj , f (z)) ⊆ E(aj , f (z + c)), j = 1, 2"
được thay thế bằng điều kiện "chia sẻ một phần giá trị cắt cụt
E ≤k (aj , f (c)) ⊆ E ≤k (aj , f (z + c)), j = 1, 2" với một số nguyên
dương k nào đó, thậm chí ngay cả khi f (z) và f (z + c) chia sẻ a3, a4
CM. Sau đó, họ đã đưa ra các kết quả sau đây dưới điều kiện về
2
số khuyết thu gọn Θ(0, f ) + Θ(∞, f ) > k+1
. Một ví dụ cũng chỉ ra
rằng điều kiện này là tốt nhất.
Đinh lí B Cho f là một hàm phân hình khác hằng có siêu bậc
γ(f ) < 1 và c ∈ C \ {0}. Cho k1, k2 là hai số nguyên dương và
ˆ ) là bốn hàm phân hình tuần
cho a1, a2 ∈ S(f ) \ {0}, a3, a4 ∈ S(f
hồn có chu kỳ c sao cho f (z) và f (z + c) chia sẻ a3, a4 CM và
E ≤kj (aj , f (z)) ⊆ E ≤kj (aj , f (z + c)), j = 1, 2.

Nếu Θ(0, f ) + Θ(∞, f ) >
f (z + c) với mọi z ∈ C.

2
k+1 ,

ở đó k := min{k1, k2} thì f (z) =

Định lí C Cho f là một hàm phân hình khác hằng có siêu bậc
γ(f ) < 1, Θ(∞, f ) = 1 và c ∈ C \ {0}. Cho a1, a2, a3 ∈ S(f ) là ba
hàm phân hình tuần hồn có chu kỳ c sao cho f (z) và f (z + c)
chia sẻ a3 CM và
E ≤k (aj , f (z)) ⊆ E ≤k (aj , f (z + c)), j = 1, 2.
Nếu k ≥ 2 thì f (z) = f (z + c) với mọi z ∈ C.
Như một áp dụng của Định lí B và C, các tác giả trên đã đưa ra
các điều kiện cần để một hàm phân hình là tuần hồn sau đây.
Định lí D Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng thỏa


8

mãn Θ(∞, f ) = Θ(∞, g) = 1, ở đó f là một hàm tuần hồn có
chu kỳ c ∈ C \ {0} với siêu bậc γ(f ) < 1. Cho k1, k2 là hai số
nguyên dương, a1, a2, a3 ∈ S(f ) là ba hàm phân hình tuần hồn
có chu kỳ c sao cho f và g chia sẻ a3 CM và
E ≤k (aj , f ) ⊆ E ≤k (aj , g), j = 1, 2.
Khi đó, ta có g là một hàm phân hình tuần hồn với chu kì T ,
ở đó T ∈ {c, 2c}, nghĩa là g(z) = g(z + T ) với mọi z ∈ C.
Câu hỏi đầu tiên được đặt ra là liệu có thể tổng qt hóa và cải
tiến Định lí B và C bằng cách giảm số các giá trị chia sẻ được

khơng?
Câu hỏi thứ hai là liệu có thể đưa ra một vài định lí duy nhất
theo hướng này, cũng như một số áp dụng của nó để có được định
lí tương tự định lí D hay khơng?
Mục đích đầu tiên của luận án là trả lời các câu hỏi trên. Cụ thể,
chúng tôi đã chứng minh được các định lí sau đây.
Định lí 2.2.1. Cho f là một hàm phân hình khác hằng có siêu
ˆ ) là ba
bậc γ(f ) < 1 và cho c ∈ C \ {0}. Cho a1, a2, a3 ∈ S(f
hàm phân hình tuần hồn có chu kỳ c và cho k là một số nguyên
dương. Giả sử rằng f (z) và f (z + c) chia sẻ một phần a1, a2 CM,
nghĩa là
E(a1, f (z)) ⊆ E(a1, f (z + c)), E(a2, f (z)) ⊆ E(a2, f (z + c))
và thỏa mãn
E ≤k (a3, f (z)) ⊆ E ≤k (a3, f (z + c)).
2
1 +a2 )−2a1 a2
Nếu Θ(a, f ) > k+1
với a ∈ C ∪ {∞} \ {a3, a3(a
2a3 −(a1 +a2 ) } thì
f (z) = f (z + c) với mọi z ∈ C.


9

Hệ quả 2.2.2. Cho f là một hàm phân hình khác hằng có siêu
bậc γ(f ) < 1, Θ(∞, f ) = 1 và cho c ∈ C \ {0}. Cho a1, a2 ∈ S(f )
là hai hàm phân hình tuần hồn có chu kỳ c sao cho f (z) và
f (z + c) chia sẻ một phần a1 CM, nghĩa là
E(a1, f (z)) ⊆ E(a1, f (z + c)).

và thỏa mãn
E ≤k (a2, f (z)) ⊆ E ≤k (a2, f (z + c)).
Nếu k ≥ 2 thì f (z) = f (z + c) với mọi z ∈ C.
Trong trường hợp k = ∞, chúng ta có định lí sau.
Định lí 2.2.3. Cho f là một hàm phân hình khác hằng có siêu
ˆ ) là ba hàm
bậc γ(f ) < 1 và cho c ∈ C \ {0}. Cho a1, a2, a3 ∈ S(f
phân hình riêng biệt có chu kỳ c. Giả thiết rằng f (z) và f (z + c)
chia sẻ một phần a1, a2 CM và chia sẻ một phần a3 IM, nghĩa là
E(a1, f (z)) ⊆ E(a1, f (z + c)), E(a2, f (z)) ⊆ E(a2, f (z + c))
và thỏa mãn
E(a3, f (z)) ⊆ E(a3, f (z + c)).
ˆ ) \ {a3} thì f (z) = f (z + c) với mọi
Nếu Θ(a, f ) > 0 với a ∈ S(f
z ∈ C.
Bỏ qua giả thiết về số khuyết, chúng ta sẽ có kết quả sau.
Định lí 2.2.4. Cho f là một hàm phân hình khác hằng có siêu
bậc γ(f ) < 1 và cho c ∈ C \ {0}. Cho k, l là hai số nguyên dương
ˆ ) là bốn hàm phân hình phân biệt tuần
và cho a1, a2, a3, a4 ∈ S(f
hồn có chu kỳ c. Giả thiết rằng f (z) và f (z + c) chia sẻ một
phần a1, a2 CM và
E ≤k (a3, f (z)) ⊆ E ≤k (a3, f (z+c)), E ≤l (a4, f (z)) ⊆ E ≤l (a4, f (z+c)).
Khi đó:


10

(i) nếu kl > min{k, l} + 2 thì f (z) = f (z + c) hoặc

f (z)−a1
f (z)−a2

=

(z+c)−a1
với mọi z ∈ C. Hơn nữa, khẳng định thứ hai chỉ xảy
− ff (z+c)−a
2
−a1
a3 −a1
ra khi aa44−a
=
−
a3 −a2 .
2

(ii) nếu max{k, l} = ∞ thì f (z) = f (z + c) với mọi z ∈ C.
Sử dụng ý tưởng trong phần chứng minh của Định lí D, chúng ta
nhận được một kết quả tương tự và nó là một áp dụng của Định lí
1.2.1 và Hệ quả 2.2.2.
Định lí 2.3.1. Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng
thỏa mãn Θ(∞, f ) = Θ(∞, g) = 1, ở đó f có chu kỳ c ∈ C \ {0}
với siêu bậc γ(f ) < 1. Cho k với một số nguyên dương và
a1, a2 ∈ S(f ) là hai hàm phân hình tuần hồn có chu kỳ c sao
cho f và g chia sẻ một phần a1 CM và
E ≤k (a2, f ) ⊆ E ≤k (a2, g).
Nếu k ≥ 2 thì g là một hàm phân hình tuần hồn có chu kỳ c,
nghĩa là g(z) = g(z + c) với mọi z ∈ C.
Tương tự như trong phần chứng minh Định lí 2.3.1, chúng ta cũng

nhận được kết quả ở dạng này khi áp dụng Định lí 2.2.4.
Định lí 2.3.2 Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng,
trong đó f có chu kỳ c ∈ C \ {0} với siêu bậc γ(f ) < 1. Cho k, l
là hai số nguyên dương và cho a1, a2 ∈ S(f ) \ {0} là hai hàm
tuần hồn có chu kỳ c sao cho
E(0, f ) ⊆ E(0, g), E(∞, f ) ⊆ E(∞, g)
và
E ≤k (a1, f ) ⊆ E ≤k (a1, g), E ≤l (a2, f ) ⊆ E ≤l (a2, g).
Khi đó:


11

(i) nếu kl > min{k, l} + 2 thì g là một hàm tuần hồn có chu kỳ
T , ở đó T ∈ {c, 2c}, nghĩa là g(z) = g(z + T ) với một z ∈ C.
(ii) nếu max{k, l} = ∞ thì g là một hàm tuần hồn có chu kỳ c,
nghĩa là g(z) = g(z + c) với mọi z ∈ C.
II. Tính duy nhất của lớp các ánh xạ phân hình có bậc
0
Trong những năm gần đây, Định lí Cơ bản thứ hai cho các ánh
xạ phân hình giao với các siêu mặt được khảo sát bởi rất nhiều tác
giả như T. V. Tấn và V. V. Trường, M. Ru, S. Đ. Quang và các tác
giả khác. Chẳng hạn, năm 2004, M. Ru đã chứng minh một định lí
cơ bản thứ hai cho trường hợp ánh xạ không suy biến đại số vào
Pn(C) giao với họ siêu mặt ở vị trí tổng quát, đây là một kết quả
đột phá. Vào năm 2017, S. Đ. Quang có được định lí cơ bản thứ
hai cho trường hợp tổng quát, ánh xạ phân hình vào đa tạp con xạ
ảnh giao với các siêu mặt vị trí tổng quát bằng cách sử dụng trọng
Chow.
Cho mục đích nghiên cứu tính duy nhất hay định lí kiểu Picard

của các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) có bậc 0 giao với các
siêu mặt, chúng tôi đã nghiên cứu và đưa ra một vài kết quả cho
phân bố giá trị q-dịch chuyển của các ánh xạ phân hình nhiều biến
phức giao với các siêu mặt nằm ở vị trí dưới tổng quát dựa vào ý
tưởng của M. Ru và S. Đ. Quang.
Định lí 3.2.1. Cho q = (q1, . . . , qm) ∈ Cm với qj = 0
(1 ≤ j ≤ m) và cho f : Cm → Pn(C) là một ánh xạ phân hình
có bậc 0. Giả thiết rằng f không suy biến đại số trên trường φ0q .
Gọi f˜ = (f0 : · · · : fn) là biểu diễn thu gọn địa phương của f.
Cho Qj là các siêu mặt bậc dj (1 ≤ j ≤ p) nằm ở vị trí N -dưới
tổng quát trong Pn(C). Cho d là bội số chung nhỏ nhất của mọi


12

dj . Khi đó, tồn tại một số nguyên dương u lớn nhất chia hết cho
d sao cho
p

(q − (N − n + 1)(n + 1)) Tf (r) ≤
i=1

1
N ˜ (r) −
di Qi(f )

N −n+1
un+1
(n+1)!

+ O(un)

× NCq (f I1 ,...,f IM )(r) + o (Tf (r))
đúng trên tập trù mật logarit 1, ở đó Ij = (ij0, . . . , ijn), |Ij | =
u+d
ij0 + · · · + ijn = u và M =
.
u
Ta có kết quả sau tương tự như định lí Nochka-Cartan với bội bị
cắt cụt.
Định lí 3.2.3. Cho q = (q1, . . . , qm) ∈ Cm với qj = 0 (1 ≤ j ≤ m)
và cho f : Cm → Pn(C) là một ánh xạ phân hình có bậc 0.
Giả thiết rằng f không suy biến đại số trên trường φ0q . Gọi
f˜ = (f0 : · · · : fn) là biểu diễn thu gọn địa phương của f. Cho Qj
là các siêu mặt có bậc dj (1 ≤ j ≤ p) ở vị trí N -dưới tổng quát
trong Pn(C). Cho d là bội số chung nhỏ nhất của tất cả dj . Khi
đó, với mọi > 0, ta có
p

(p − (N − n + 1)(n + 1) − ) Tf (r) ≤
j=1

1 ¯ [M0,q]
N
(r) + o (Tf (r))
dj Qj (f˜)

đúng trên tập trù mật logarit 1, trong đó M0 = 4(ed(N − n +
1)(n + 1)2I( −1))n − 1.
Ở đây, kí hiệu I(x) là số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn số thực

x.
Chúng tôi cố gắng đưa ra một phiên bản mở rộng của định lí
Picard trong trường hợp siêu mặt nằm ở vị trí N -dưới tổng quát
Pn(C).


13

Định lí 3.3.1. Cho q = (q1, . . . , qm) ∈ Cm với qj = 0, 1
(1 ≤ j ≤ m) và cho f : Cm → Pn(C) là một ánh xạ phân hình có
bậc 0. Cho Q1, . . . , Qp là các siêu mặt trong Pn(C) nằm ở vị trí
n+d
N -dưới tổng qt có bậc chung d. Đặt M =
− 1. Giả
n
thiết rằng f bất biến qua Qj tương ứng với toán tử τq (z) = qz.
Nếu p ≥ M + 2N − n + 1 thì ảnh của phép nhúng bậc d của f
được chứa trong một khơng gian con tuyến tính trên trường φ0q
có chiều ≤ M − n − 1 +

p

[

p−N −1
M −n+1

]+1

.

Trong trường hợp siêu mặt là siêu phẳng ở vị trí tổng qt trong
Pn(C), ta có d = 1 và M = n. Hơn nữa, nếu |qi| = 1 với mọi
i ∈ {1, . . . , m} thì f (z) = f (qz). Điều này kéo theo f phải là một
ánh xạ không đổi. Ngay lập tức, chúng tôi có hệ quả sau.
Hệ quả 3.3.5. Cho f là một ánh xạ phân hình có bậc 0 từ Cm
vào Pn(C) và cho τq (z) = qz, ở đó q = (q1, . . . , qm) ∈ Cm với
qj = 0 (1 ≤ j ≤ m). Giả thiết rằng τq ((f, Hj )−1) ⊂ (f, Hj )−1
(đếm cả bội) đúng với mọi siêu phẳng {Hj }pj=1 nằm ở vị trí N dưới tổng quát trong Pn(C). Nếu p > 2N thì f (qz) = f (z). Đặc
biệt, nếu |qi| = 1 với mọi i ∈ {1, . . . , m} thì f là một ánh xạ
hằng.
III. Tính phụ thuộc đại số và tính hữu hạn của họ các
ánh xạ phân hình chia sẻ 2n + 1 siêu phẳng
Bài tốn phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình nhiều biến phức
vào không gian xạ ảnh phức cho các mục tiêu cố định lần đầu tiên
được nghiên cứu bởi S. Ji và W. Stoll. Sau đó, kết quả của họ đã
được nhiều tác giả như H. Fujimoto, Z. Chen và Q. Yan, S. Đ. Quang
và L. N. Quỳnh phát triển. Cụ thể hơn, H. Fujimoto đã đưa ra định


14

lí suy biến đối với n + 2 ánh xạ phân hình chia sẻ 2n + 2 siêu phẳng
+ n. Gần đây, S. Đ. Quang đã
với các bội bị cắt cụt đến mức n(n+1)
2
chứng minh được định lí phụ thuộc đại số cho ba ánh xạ phân hình
và sử dụng nó để đưa ra kết quả về tính hữu hạn của các ánh xạ
phân hình chia sẻ 2n + 2 siêu phẳng ở vị trí tổng qt mà khơng
cần đếm bội.

Vào năm 2019, S. Đ. Quang đã chứng minh được định lí sau, trong
đó tác giả khơng cần phải đếm tất cả các khơng điểm có bội lớn hơn
một giá trị nhất định.
Định lí E Cho H1, . . . , H2n+2 là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát
trong Pn(C). Nếu
2n+2

j=1

n+1
1
<
kj + 1 n(3n + 1)

thì mọi ba ánh xạ f 1, f 2, f 3 ∈ F(f, {Hj , kj }2n+2
j=1 , 1) thỏa mãn
f 1 ∧ f 2 ∧ f 3 ≡ 0 trên Cm.
Năm 2015, S. Đ. Quang và L. N. Quỳnh đã tìm thấy một điều
kiện đủ cho sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình chia sẻ ít
hơn 2n + 2 siêu phẳng ở vị trí tổng quát như sau.
Định lí F Cho f 1, f 2, f 3 ∈ F(f, {Hj }qj=1, n) và {Hi}qi=1 là
một họ q√siêu phẳng của Pn(C) ở vị trí tổng quát. Nếu q >
2n + 5 + 28n2 + 20n + 1
thì một trong các khẳng định sau là
4
đúng:
(i) tồn tại

q
3

+ 1 siêu phẳng Hi1 , . . . , Hi q sao cho
[ 3 ]+1

(f u, Hi q )
(f , Hi1 ) (f , Hi2 )
[ 3 ]+1
=
=
·
·
·
=
,
(f v , Hi1 ) (f v , Hi2 )
(f v , Hi q )
[ 3 ]+1
u

u


15

(ii) f 1 ∧ f 2 ∧ f 3 ≡ 0 trên Cm.
Rõ ràng để có được khẳng định (ii) trong định lí F , họ cần giả
thiết rằng (i) không xảy ra. Câu hỏi đặt ra là chúng ta có thể bỏ
qua điều kiện này cho trường hợp q < 2n + 2 khơng?
Mục đích đầu tiên của phần này là đưa ra một câu trả lời phù hợp
cho câu hỏi trên. Với mục đích này, chúng tơi sẽ sắp xếp lại các siêu

phẳng thành các nhóm thích hợp và sử dụng kỹ thuật "sắp xếp lại
các hàm đếm" do Đ. Đ. Thai và S. Đ. Quang đưa ra, cũng như đề
xuất hàm bổ trợ mới. Điều này giúp chúng tơi có được một định lí
hồn chỉnh cho sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình chia
sẻ 2n + 1 siêu phẳng ở vị trí tổng qt. Cụ thể, chúng tơi đã chứng
minh được định lí sau đây.
Định lí 4.2.1. Cho H1, . . . , H2n+1 là các siêu phẳng ở vị trí tổng
quát trong Pn(C) (n ≥ 5). Cho f 1, f 2, f 3 : Cm → Pn(C) là các
ánh xạ phân hình thuộc F(f, {Hj , kj }2n+1
j=1 , n). Nếu
2n+1

i=1

n−4
1
<
,
ki + 1 2n(2n + 1)

thì f 1 ∧ f 2 ∧ f 3 ≡ 0 trên Cm.
Chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng Định lí E đóng một vai trị thiết
yếu trong việc chứng minh của S. Đ. Quang về tính hữu hạn của
các ánh xạ phân hình.
Định lí G Cho f là một ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C)
khơng suy biến tuyến tính. Cho H1, . . . , H2n+2 là 2n + 2 siêu
phẳng của Pn(C) ở vị trí tổng quát và cho k1, . . . , kn+2 là các số
nguyên dương hoặc +∞. Giả thiết rằng
2n+2

i=1

1
n + 1 5n − 9
n2 − 1
< min
,
,
.
ki + 1
3n2 + n 24n + 12 10n2 + 8n


16

Thế thì F(f, {Hi, ki}2n+2
i=1 , 1) ≤ 2.
Câu hỏi sau đây tự nhiên nảy sinh tại thời điểm này: Bằng cách
sử dụng các kỹ thuật của S. Đ. Quang trong và Định lí 1.0.11, chúng
ta có thu được kết quả về tính hữu hạn đối cho các ánh xạ phân
hình chia sẻ 2n + 1 siêu phẳng ở vị trí tổng qt có ngắt bội ở mức
n khơng?
Mục đích thứ hai của phần này là cũng đưa ra một câu trả lời cho
câu hỏi trên.
Định lí 4.3.1. Cho f là một ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C)
khơng suy biến tuyến tính. Cho H1, . . . , H2n+1 là 2n+1 siêu phẳng
của Pn(C) ở vị trí tổng quát và cho k1, . . . , kn+1 là các số nguyên
dương hoặc +∞ sao cho
2n+1

i=1

n−4
1
<
.
ki + 1 2n(2n + 1)

Nếu n ≥ 8 thì F(f, {Hi, ki}2n+1
i=1 , n) ≤ 2.

CHƯƠNG 2: Vấn đề duy nhất của các hàm
phân hình có siêu bậc nhỏ hơn 1
Chương 2 được viết dựa trên bài báo [1] trong mục Các công trình
đã cơng bố liên quan đến luận án.
2.1 Một số kiến thức chuẩn bị
Bổ đề 2.1.3 Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên C.
Cho a1, a2, . . . , aq (q ≥ 3) là q các hàm phân hình phân biệt biệt
và nhỏ so với f trên C. Khi đó, ta có
q

(q − 2)T (r, f ) ≤

N r,
i=1

1
+ S(r, f ).
f − ai

17

Bổ đề 2.1.4 Cho f là một hàm phân hình khác hằng và cho
c ∈ C. Nếu f có bậc hữu hạn thì
m r,

f (z + c)
log r
=O
T (r, f )
f (z)
r

đúng với mọi r bên ngoài một tập con E trù mật logarit 0. Nếu
siêu bậc γ(f ) của f nhỏ hơn 1 thì với > 0, chúng ta có
m r,

T (r, f )
f (z + c)
= o 1−γ(f )−
f (z)
r

đúng với mọi r bên ngồi một tập có độ đo logarit hữu hạn.
Bổ đề 2.1.5 Cho T : R+ → R+ là một hàm liên tục không giảm
và s ∈ (0, +∞) sao cho siêu bậc của T nhỏ hơn thực sự 1, nghĩa
log+ log+ T (r)
là γ = lim supr→∞
< 1. Thế thì

log r
T (r + s) = T (r) + o

T (r)
r1−γ−

,

với > 0 và r → ∞ bên ngồi một tập có độ đo logarit hữu hạn.
Đối với mỗi hàm phân hình f , chúng ta kí hiệu fc(z) = f (z + c)
và ∆cf := fc − f.
Bổ đề 2.1.6 Cho c ∈ C và cho f là một hàm phân hình khác
hằng có siêu bậc γ(f ) < 1 sao cho ∆cf ≡ 0. Cho q ≥ 2 và
a1(z), . . . , aq (z) là các hàm nhỏ so với f và tuần hồn với chu kỳ
c. Thế thì
q

m(r, f ) +

m r,
k=1

1
≤ 2T (r, f ) − Npair (r, f ) + S1(r, f ),
f − ak

ở đó Npair (r, f ) = 2N (r, f ) − N (r, ∆cf ) + N r, ∆1cf .
2.2 Vấn đề duy nhất của các hàm phân hình có siêu bậc
nhỏ hơn 1

18

Trong mục này, chúng tơi chứng minh các Định lí và hệ quả 2.2.1,
2.2.2, 2.2.3 và 2.2.4.
2.3 Tính tuần hồn của các hàm phân hình có siêu bậc
nhỏ hơn 1
Trong mục này, chúng tôi đưa ra một số điều kiện cần để một
hàm phân hình có siêu bậc nhỏ hơn 1 có tính chất tuần hồn. Đây
là một áp dụng của Định lí 2.2.1 và Hệ quả 2.2.2. Cụ thể là chúng
tơi chứng minh các Định lí 2.3.1 và 2.3.2.

CHƯƠNG 3: Vấn đề duy nhất của các ánh xạ
phân hình có bậc 0
Chương 3 được viết dựa trên bài báo [2] trong mục Các cơng trình
đã cơng bố liên quan đến luận án.
3.1. Một số kiến thức chuẩn bị
Bổ đề 3.1.1 Cho q ∈ Cm \{0}. Đối với một số nguyên dương M ,
đặt Iα = {(i0, . . . , in) ∈ Nn+1
: i0 + · · · + in = α}, Ij ∈ Iα với mọi
0
j ∈ {1, . . . , M }. Khi đó, ánh xạ phân hình f = (f0 : · · · : fn) :
Cm → Pn(C) có bậc 0 thỏa mãn Cq (f ) = Cq f I1 , . . . , f IM ≡ 0
nếu và chỉ nếu các hàm f0, . . . , fn phụ thuộc đại số trên trường
φ0q .
Bổ đề 3.1.2 Cho Q1, . . . , Qk+1 là các siêu mặt trong Pn(C)
cùng bậc d sao cho k+1
i=1 Qi = ∅. Khi đó, tồn tại n siêu mặt
P2, . . . , Pn+1 có dạng Pt = k−n+t
ctj Qj , ctj ∈ C, t = 2, . . . , n+1

j=2
sao cho n+1
i=1 Pi = ∅.
Bổ đề 3.1.3 Cho {Qi}i∈R là một họ siêu mặt trong Pn(C) có
cùng bậc d và cho f là một ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C).
Giả thiết rằng i∈R Qi = ∅. Khi đó, tồn tại các hằng số dương
α và β sao cho α||f˜||d ≤ maxi∈R |Qi(f˜)| ≤ β||f˜||d.


19

Bổ đề sau được gọi là bổ đề đạo hàm Logarit q-dịch chuyển, tương
tự với bổ đề đạo hàm logarit.
Bổ đề 3.1.4 Cho f là một hàm phân hình bậc 0 khác hằng từ
Cm vào C và q = (q1, . . . , qm) ∈ Cm với qj = 0 với mọi j, khi đó
m r,

f (qz)
f (z)

= o(T (r, f (z)))

đúng trên một tập trù mật logarit 1.
3.2 Định lí cơ bản thứ hai q-dịch chuyển
Trong mục này, chúng tơi chứng minh các Định lí 3.2.1 và 3.2.3.
3.3 Định lí duy nhất kiểu Picard
Trong mục này, chúng tơi sẽ đưa ra và chứng minh các Định lí
3.3.1 và Hệ quả 3.3.5.
Để chứng minh Định lí 3.3.1, ta cần bổ đề chính sau đây.
Bổ đề 3.3.2 Cho Q1, . . . , Qp là các siêu mặt có bậc d trong

n+d
Pn(C) nằm ở vị trí N -dưới tổng quát. Đặt M =
−1
n
và p˜ =

p−N −1
M −n+1

+ N + 1. Nếu p ≥ M + 2N − n + 1 thì tồn tại

một tập con U ⊂ {1, . . . , p} với |U | ≥ p˜ thỏa mãn điều kiện:
(∗) cho mọi tập hợp con R ⊂ U với |R| ≤ p˜ − N − 1, ta có
span{Q∗j }j∈R ∩ span{Q∗i }i∈R∗ = {0}, ở đó R∗ = U \ R và Q∗j là
một đa thức thuần nhất xác định Qj .
Bổ đề 3.3.3 Cho f : Cm → Pn(C) là một ánh xạ phân hình với
một biểu diễn rút gọn f˜ = (f0 : · · · : fn) và cho q = (q1, . . . , qm) ∈
Cm với qj = 0 với mọi j. Giả thiết rằng σ(f ) = 0 và tất cả các
không điểm của f0, . . . , fn dịch chuyển bất biến ứng với toán tử
n+d
τq (z) = qz. Cho d ∈ N∗ và đặt M =
− 1. Nếu d,
n


20

f Ii
∈ φ0q với mọi i, j ∈ {0, . . . , M } sao cho Ii = Ij thì f0, . . . , fn
Ij

f
khơng suy biến đại số trên trường φ0q .
Bổ đề 3.3.4 Cho f = (f0 : · · · : fn) là một ánh xạ phân hình
từ Cm vào Pn(C) có bậc σ(f ) = 0 với mọi q = (q1, . . . , qm) ∈ Cm
với qj = 0, 1 với mọi j. Giả sử rằng tất cả các không điểm của
f0, . . . , fn dịch chuyển bất biến qua τq (z) = qz. Cho d ∈ N∗, đặt
n+d
M =
− 1. Cho S1 ∪ · · · ∪ Sl là một phân hoạch của
n
{0, . . . , M } được hình thành theo cách mà i và j cùng lớp Sk nếu
f Ii
và chỉ nếu I ∈ φ0q . Nếu f I0 + · · · + f IM = 0 thì
f Ij = 0 với
j
f
j∈Sk
mọi k ∈ {1, . . . , l}.

CHƯƠNG 4: Tính phụ thuộc đại số và tính
hữu hạn của các ánh xạ phân hình
Chương 4 được viết dựa trên bài báo [3] trong mục Các cơng trình
đã cơng bố liên quan đến luận án.
Trong chương này, chúng tơi chứng minh một định lí về tính phụ
thuộc đại số của 3 ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) giao với 2n+1
siêu phẳng ở vị trí tổng quát và ngắt bội ở mức n. Ở đó, những giao
điểm có bội lớn hơn thực sự một giá trị nhất định sẽ không cần phải
đếm. Như một áp dụng, chúng tơi có được một định lí về tính hữu
hạn của những ánh xạ phân hình này.
4.1 Một số tính chất cơ bản và các kết quả phụ trợ

Định lí 4.1.1 [Định lí Cơ bản thứ nhất] Cho f : Cm → Pn(C) là
một ánh xạ phân hình khơng suy biến tuyến tính và H là một
siêu phẳng trong Pn(C). Khi đó
N(f,H)(r) + mf,H (r) = Tf (r), r > 1.


21

Định lí 4.1.2 [Định lí Cơ bản thứ hai] Cho f : Cm → Pn(C) là
một ánh xạ phân hình khơng suy biến tuyến tính và H1, . . . , Hq
là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong Pn(C). Khi đó
q
[n]

||(q − n − 1)Tf (r) ≤

N(f,Hi)(r) + o(Tf (r)).
i=1

Bổ đề 4.1.3 Nếu Φα (F, G, H) = 0 và Φα F1 , G1 , H1 = 0 cho mọi
α với |α| ≤ 1 thì có một trong các khẳng định sau đây:
(i) F = G, G = H hoặc H = F .
(ii)

F G
G, H

và

H

F

là các hằng số.

Định lí 4.1.4 Cho f 1, f 2, f 3 là ba ánh xạ trong F(f, {Hi, ki}qi=1, 1).
Giả sử rằng tồn tại s, t, l ∈ {1, . . . , q} sao cho
(f 1, Hs) (f 1, Ht) (f 1, Hl )
P := (f 2, Hs) (f 2, Ht) (f 2, Hl ) ≡ 0.
(f 3, Hs) (f 3, Ht) (f 3, Hl )
Khi đó, chúng ta có
[1]

(N (r, min {ν(f u,Hi),≤ki }) − N(f 1,H ),≤k (r))

T (r) ≥ NP (r) ≥

1≤u≤3

i=s,t,l
q

i

i

[1]

+2

N(f 1,H ),≤k (r),

i

i

i=1
3
u=1 Tf u (r).
1
4.1.5 Nếu 2n+1
i=1 ki +1

ở đó T (r) =

q
Định lí
< n−1
thì
mọi
g
∈
F(f,
{H
,
k
}
i
i
i=1 , n)
n
khơng suy biến tuyến tính, đồng thời

||Tg (r) = O(Tf (r)) và ||Tf (r) = O(Tg (r)).

4.2. Tính phụ thuộc đại số của 3 ánh xạ phân hình chia
sẻ 2n + 1 siêu phẳng


22

Trong mục này, chúng tơi chứng minh Định lí 4.2.1. Để chứng
minh định lí này, ta cần bổ đề sau.
Bổ đề 4.2.2 Cho q, N là hai số nguyên thỏa mãn q ≥ 2N + 2,
N ≥ 2 và q là số chẵn. Cho {a1, a2, . . . , aq } là một họ véc tơ
trong không gian véc tơ 3 chiều sao cho rank{aj }j∈R = 2 với bất
kỳ tập hợp nào R ⊂ Q = {1, . . . , q} có R = N + 1. Khi đó, tồn
q/2
tại một phân hoạch j=1 Ij của {1, . . . , q} thỏa mãn Ij = 2 và
{ai}i∈Ij = 2 với mọi j = 1, . . . , q/2.
4.3 Tính hữu hạn của các ánh xạ phân hình chia sẻ 2n+1
siêu phẳng
Trong mục này, chúng tơi chứng minh Định lí 4.3.1. Tuy nhiên,
chúng tơi phải cần các bổ đề sau.
Bổ đề 4.3.2 Với giả thiết của Định lí 4.3.1, cho h và g là hai
phần tử của họ F(f, {Hi, ki}2n+1
i=1 , n). Nếu tồn tại một hằng số λ
(g,Hi )
(h,Hi )
=
λ
thì λ = 1.

và hai chỉ số i, j sao cho (h,H
)
(g,H
j
j)
Bổ đề 4.3.3 Cho f 1, f 2, f 3 là ba phần tử của F(f, {Hi, ki}2n+1
i=1 , n),
cho ki (1 ≤ i ≤ 2n + 1) là các số nguyên dương hoặc +∞. Giả sử
rằng f 1 ∧ f 2 ∧ f 3 ≡ 0 và Vi ∼ Vj với i khác j. Khi đó f 1, f 2, f 3
là khơng phân biệt.
Bổ đề 4.3.4 Với giả thiết của Định lí 4.3.1, cho f 1, f 2, f 3 là
1
2
3
ba ánh xạ trong F(f, {Hi, ki}2n+1
i=1 , n). Giả sử rằng f , f , f là
phân biệt và có hai chỉ số i, j ∈ {1, 2, . . . , 2n + 1} (i = j) sao cho
Vi ∼
= Vj và
Φαij := Φα (F1ij , F2ij , F3ij ) ≡ 0
với mọi α = (α1, . . . , αm) ∈ Z+
m mà |α| = 1. Khi đó, với mọi
t ∈ {1, . . . , 2n + 1} \ {i}, các khẳng định sau là đúng
(i) Φαit ≡ 0 với mọi |α ≤ 1|,


23

(ii) nếu Vi ∼
= Vt thì F1ti, F2ti, F3ti phân biệt và

[1]

[1]

N(f,Hi),≤ki (r) ≥

[1]

N(f,Hs),≤ks (r) − N(f,Ht),≤kt (r)
s=i,t
3
[1]

−2

N(f u,Hs),>ks (r) + o(T (r)).
u=1 s=i,t

Bổ đề 4.3.5 Với giả thiết của Định lí 4.3.1, cho f 1, f 2, f 3 là
1
2
3
ba ánh xạ trong F(f, {Hi, ki}2n+1
i=1 , n). Giả sử rằng f , f , f phân
biệt và có hai chỉ số i, j ∈ {1, 2, . . . , 2n + 1} (i = j) và α ∈ Z+
m
với |α| = 1 sao cho Φαij ≡ 0. Thế thì, ta có
3

3

[n]
N(f u,Hi),≤ki (r)

T (r) ≥
u=1

[n]

+

N(f u,Hj ),≤kj (r)
u=1

[1]

+2

N(f,Ht),≤kt (r) + o(T (r))
t=1,t=i,j

1
1
− (2n + 1)N(f,H
(r) − (n + 1)N(f,H
(r) + N (r, νj )
i ),≤ki
j ),≤kj
3

−

1+
u=1

n − 1 [1]
2n − 2 [1]
N(f u,Hj ),>kj + 1 +
N(f u,Hi),>ki ,
3
3

ở đó νj := {z : ki ≥ ν(f u,Hi)(z) = ν(f t,Hi)(z)} với mỗi hoán vị
(u, v, t) của (1, 2, 3).

Kết luận và kiến nghị
Kết luận
Luận án nghiên cứu một số kiểu bài tốn duy nhất, tính phụ thuộc
đại số và tính hữu hạn của các ánh xạ phân hình. Luận án đã đạt
được một số kết quả sau:
• Đưa ra và chứng minh một số kiểu định lí duy nhất cho hàm
phân hình có siêu bậc nhỏ hơn 1 trong mặt phẳng phức.