Tóm tắt luận án tiến sĩ toán học về sự tồn tại điểm bất động của một số lớp ánh xạ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ KHÁNH HƯNG

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ
TRONG KHÔNG GIAN VỚI CẤU TRÚC ĐỀU
VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 62 46 01 02

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2015


Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh

Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS. TS. Trần Văn Ân
2. TS. Kiều Phương Chi

Phản biện 1:

Phản biện 2:

Phản biện 3:

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường

họp tại Trường Đại học Vinh
vào hồi ...... giờ ...... ngày ...... tháng ...... năm ......

Có thể tìm hiểu luận án tại:
1. Thư viện Nguyễn Thúc Hào, Trường Đại học Vinh
2. Thư Viện Quốc gia Việt Nam


1

MỞ ĐẦU

1

Lý do chọn đề tài

1.1. Kết quả đầu tiên về điểm bất động của các ánh xạ thu được từ năm
1911. Lúc đó, L. Brouwer đã chứng minh rằng: Mỗi ánh xạ liên tục từ một tập
lồi compắc bất kỳ trong không gian hữu hạn chiều vào chính nó có ít nhất một
điểm bất động. Năm 1922, S. Banach đã giới thiệu lớp ánh xạ co trong các
không gian mêtric và chứng minh nguyên lý ánh xạ co nổi tiếng: Mỗi ánh xạ
co từ một không gian mêtric đầy đủ (X, d) vào chính nó có duy nhất điểm bất
động. Sự ra đời của Nguyên lý ánh xạ co Banach cùng với ứng dụng của nó để
nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi phân đánh dấu một sự
phát triển mới của hướng nghiên lý thuyết điểm bất động. Sau đó, nhiều nhà
toán học đã tìm cách mở rộng Nguyên lý ánh xạ co Banach lên các lớp ánh xạ
và không gian khác nhau. Chỉ riêng việc mở rộng ánh xạ co, đến năm 1977 đã
được B. E. Rhoades tổng kết và so sánh với 25 dạng tiêu biểu.
1.2. Nguyên lý ánh xạ co Banach gắn liền với lớp ánh xạ co T : X → X
trong không gian mêtric đầy đủ (X, d) với điều kiện co

(B) d(T x, T y) ≤ kd(x, y), với mọi x, y ∈ X trong đó 0 ≤ k < 1.
Đã có nhiều nhà toán học tìm cách mở rộng Nguyên lý ánh xạ co Banach
lên các lớp ánh xạ và không gian khác nhau. Mở rộng đầu tiên thu được bởi E.
Rakotch bằng cách làm giảm nhẹ điều kiện co có dạng
(R) d(T x, T y) ≤ θ d(x, y) d(x, y), với mọi x, y ∈ X , trong đó θ : R+ → [0, 1) là
hàm đơn điệu giảm.
Năm 1969, D. W. Boyd và S. W. Wong đã đưa ra một dạng mở rộng hơn
của kết quả trên, khi xét điều kiện co có dạng
(BW) d(T x, T y) ≤ ϕ d(x, y) , với mọi x, y ∈ X , trong đó ϕ : R+ → R+ là hàm
nửa liên tục trên bên phải và thỏa mãn 0 ≤ ϕ(t) < t với mọi t ∈ R+ .
Năm 2001, B. E. Roades khi cải tiến và mở rộng kết quả của Y. I. Alber và
S. Guerre-Delabriere đã đưa ra điều kiện co dạng


2

(R1) d(T x, T y) ≤ d(x, y) − ϕ d(x, y) , với mọi x, y ∈ X , trong đó ϕ : R+ → R+
là hàm liên tục, đơn điệu tăng sao cho ϕ(t) = 0 khi và chỉ khi t = 0.
Tiếp tục theo hướng giảm nhẹ điều kiện co, năm 2008, P. N. Dutta và B. S.
Choudhury đã đưa ra điều kiện co dạng
(DC) ψ d(T x, T y) ≤ ψ d(x, y) − ϕ d(x, y) , với mọi x, y ∈ X , trong đó
ψ, ϕ : R+ → R+ là hàm liên tục, đơn điệu không giảm sao cho ψ(t) = 0 = ϕ(t)
khi và chỉ khi t = 0.
Năm 2009, R. K. Bose và M. K. Roychowdhury đã đưa ra khái niệm ánh xạ
co yếu suy rộng mới với điều kiện co sau đây nhằm nghiên cứu điểm bất động
chung của các ánh xạ.
(BR) ψ d(T x, Sy ≤ ψ d(x, y) − ϕ d(x, y) , với mọi x, y ∈ X , trong đó ψ, ϕ :
R+ → R+ là các hàm liên tục sao cho ψ(t) > 0, ϕ(t) > 0 với t > 0 và ψ(0) = 0 =
ϕ(0), hơn nữa, ϕ là hàm đơn điệu không giảm và ψ là hàm đơn điệu tăng.
Năm 2012, B. Samet, C. Vetro và P. Vetro đã giới thiệu khái niệm ánh xạ

kiểu α-ψ -co trên không gian mêtric đầy đủ, với điều kiện co dạng
(SVV) α(x, y)d(T x, T y) ≤ ψ d(x, y) , với mọi x, y ∈ X trong đó ψ : R+ → R+
n
là hàm đơn điệu không giảm thỏa mãn +∞
n=1 ψ (t) < +∞ với mọi t > 0 và
α : X × X → R+ .
1.3. Trong những năm gần đây, nhiều tác giả tiếp tục theo hướng tổng quát
hóa các điều kiện co cho các ánh xạ trên không gian mêtric sắp thứ tự bộ phận.
Theo hướng này, năm 2006, T. G. Bhaskar và V. Lakshmikantham đã đưa ra
khái niệm điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ F : X × X → X có tính chất
đơn điệu trộn và thu được một số kết quả cho lớp ánh xạ đó trên không gian
mêtric sắp thứ tự bộ phận và thỏa mãn điều kiện co
(BL) Tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho d F (x, y), F (u, v) ≤
với mọi x, y, u, v ∈ X mà x ≥ u, y ≤ v .

k
d(x, u) + d(y, v) ,
2

Năm 2009, tiếp tục mở rộng các định lý điểm bất động bộ đôi, V. Lakshmikantham và L. Ciric đã thu được một số kết quả cho lớp ánh xạ F : X ×X → X
có tính chất g -đơn điệu trộn với g : X → X trên không gian mêtric sắp thứ tự
bộ phận và thỏa mãn điều kiện co sau đây.
d g(x), g(u) + d g(y), g(v)
,
2
với mọi x, y, u, v ∈ X mà g(x) ≥ g(u), g(y) ≤ g(v) và F (X × X) ⊂ g(X).

(LC) d F (x, y), F (u, v) ≤ ϕ

3

Năm 2011, V. Berinde và M. Borcut đưa ra khái niệm điểm bất động bộ ba
cho lớp các ánh xạ F : X × X × X → X và đã thu được một số định lý điểm bất
động bộ ba cho các ánh xạ có tính chất đơn điệu trộn trên không gian mêtric
sắp thứ tự bộ phận thỏa mãn điều kiện co
(BB) Tồn tại các hằng số j, k, l ∈ [0, 1) sao cho j + k + l < 1 thỏa mãn
d F (x, y, z), F (u, v, w) ≤ jd(x, u) + kd(y, v) + ld(z, w), với mọi x, y, z, u, v, w ∈ X
mà x ≥ u, y ≤ v, z ≥ w.
Sau đó, năm 2012, H. Aydi và E. Karapinar đã mở rộng kết quả trên và thu
được một số định lý điểm bất động bộ ba cho lớp các ánh xạ F : X ×X ×X → X
có tính chất đơn điệu trộn trên không gian mêtric sắp thứ tự bộ phận thỏa mãn
điều kiện co yếu sau đây.
(AK) Tồn tại hàm φ sao cho với mọi x ≤ u, y ≥ v, z ≤ w ta có
d T F (x, y, z), T F (u, v, w) ≤ φ max d(T x, T u), d(T y, T v), d(T z, T w) .
1.4. Sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết điểm bất động có động lực từ
những ứng dụng rộng rãi của nó, đặc biệt là trong lý thuyết phương trình vi
phân và tích phân mà dấu ấn đầu tiên là việc áp dụng Nguyên lý ánh xạ co
Banach để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi phân thường.
Trong lý thuyết phương trình vi phân và tích phân hiện đại, việc chứng minh
sự tồn tại hay việc xấp xỉ nghiệm vẫn thường được quy về áp dụng thích hợp
một định lý điểm bất động nào đó. Đối với các bài toán biên với miền bị chặn
thì các định lý điểm bất động trong không gian mêtric là đủ để làm tốt công
việc trên. Tuy nhiên, đối với các bài toán biên với các miền không bị chặn thì
các định lý điểm bất động trong không gian mêtric là không đủ để thực hiện.
Vì vậy, vào thập niên 70 của thế kỷ trước, song song với việc tìm cách mở rộng
lớp ánh xạ người ta đã tìm cách mở rộng lên các lớp không gian rộng hơn. Một
trong những hướng mở rộng tiêu biểu là tìm cách mở rộng các kết quả về điểm
bất động của các ánh xạ trên không gian mêtric lên lớp các không gian lồi địa
phương, rộng hơn nữa là các không gian đều và đã thu hút được sự quan tâm

của nhiều toán học mà nổi bật là V. G. Angelov.
Năm 1987, V. G. Angelov đã xét họ các hàm thực Φ = {φα : α ∈ I} sao
cho với mỗi α ∈ I , φα : R+ → R+ là hàm đơn điệu tăng, liên tục, φα (0) = 0 và
0 < φα (t) < t với mọi t > 0. Từ đó ông đã giới thiệu khái niệm ánh xạ Φ-co, đó
là ánh xạ T : M → X thỏa mãn điều kiện
(A) dα (T x, T y) ≤ φα dj(α) (x, y) với mọi x, y ∈ M và với mọi α ∈ I ,


4

trong đó M ⊂ X và thu được một số kết quả về điểm bất động của lớp ánh
xạ này. Bằng cách đưa ra khái niệm không gian có tính chất j -bị chặn, V. G.
Angelov đã thu được một số kết quả về tính duy nhất điểm bất động của lớp
ánh xạ trên.
Theo hướng mở rộng các kết quả về điểm bất động lên lớp các không gian lồi
địa phương, năm 2005, B. C. Dhage thông qua nghiên cứu nghiệm của phương
trình toán tử x = AxBx trong đó A : X → X , B : S → X là hai toán tử thỏa
mãn A là D-Lipschitz, B là hoàn toàn liên tục và x = AxBy kéo theo x ∈ S với
mọi y ∈ S , với S là một tập con đóng, lồi và bị chặn của đại số Banach X , sao
cho thỏa mãn điều kiện co
(Dh) ||T x − T y|| ≤ φ ||x − y|| với mọi x, y ∈ X , trong đó φ : R+ → R+ là hàm
liên tục không giảm, φ(0) = 0,
đã thu được một số định lý điểm bất động trong các đại số Banach.
1.5. Trong thời gian gần đây, cùng với sự xuất hiện những lớp ánh xạ co
mới, những kiểu điểm bất động mới trong không gian mêtric, hướng nghiên cứu
lý thuyết điểm bất động đã có những bước phát triển mới mạnh mẽ. Với những
lý do trên, nhằm mở rộng các kết quả về lý thuyết điểm bất động trên cho lớp
các không gian có cấu trúc đều, chúng tôi chọn đề tài ‘‘Về sự tồn tại điểm
bất động của một số lớp ánh xạ trong không gian với cấu trúc đều
và ứng dụng” làm đề tài luận án tiến sĩ.

2

Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của luận án là mở rộng các kết quả về sự tồn tại điểm bất
động trong không gian mêtric của một số lớp ánh xạ lên lớp không gian với cấu
trúc đều và ứng dụng chúng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số lớp
phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn.

3

Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án là các không gian đều, các ánh xạ co
suy rộng trên không gian đều, điểm bất động, điểm bất động bộ đôi, điểm bất
động bộ ba của một số lớp ánh xạ trong không gian với cấu trúc đều, một số
lớp phương trình tích phân.


5

4

Phạm vi nghiên cứu

Luận án nghiên cứu các định lý điểm bất động trong không gian đều và
ứng dụng vào bài toán sự tồn tại nghiệm của các phương trình tích phân với
hàm độ lệch không bị chặn.

5

Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết của Giải tích hàm,
Lý thuyết phương trình vi phân, phương trình tích phân và Lý thuyết điểm bất
động trong quá trình thực hiện đề tài.

6

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Luận án đã mở rộng được một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động
trong không gian mêtric cho không gian với cấu trúc đều. Đồng thời đã xét được
sự tồn tại nghiệm của một số lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị
chặn, mà chúng ta không thể áp dụng các định lý điểm bất động trong không
gian mêtric.
Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên, học viên cao học
và nghiên cứu sinh chuyên ngành Giải tích nói chung, Lý thuyết điểm bất động
và ứng dụng nói riêng.

7

Tổng quan và cấu trúc luận án

Nội dung luận án được trình bày trong 3 chương. Ngoài ra, luận án còn
có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, Kết luận và Kiến nghị,
Danh mục công trình khoa học của nghiên cứu sinh liên quan đến luận án và
Tài liệu tham khảo.
Trong Chương 1, trước hết chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và các kết

quả đã biết về không gian đều cần dùng cho các trình bày về sau. Tiếp theo,
chúng tôi giới thiệu khái niệm ánh xạ (Ψ, Π)-co, mà nó là mở rộng khái niệm
(ψ, ϕ)-co của P. N. Dutta và B. S. Choudhury trên không gian đều, và thu được
một kết quả về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ (Ψ, Π)-co trên không gian
đều. Bằng cách đưa ra khái niệm không gian đều có tính chất j -đơn điệu giảm,
chúng tôi thu được kết quả về sự tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ
(Ψ, Π)-co. Tiếp theo, mở rộng khái niệm ánh xạ α-ψ -co trên không gian mêtric
cho không gian đều, chúng tôi đưa ra khái niệm ánh xạ (β, Ψ1 )-co trên không


6

gian đều và thu được một số định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ này. Các
định lý thu được trong không gian đều xem như là các mở rộng của những
định lý trong không gian mêtric đầy đủ. Cuối cùng, ứng dụng định lý thu được
về điểm bất động của lớp ánh xạ (β, Ψ1 )-co trên không gian đều, chúng tôi đã
chứng minh sự tồn tại nghiệm của một lớp phương trình tích phân phi tuyến
với độ lệch không bị chặn. Lưu ý rằng, khi xét một lớp phương trình tích phân
với độ lệch không bị chặn, chúng ta không thể áp dụng các định lý điểm bất
động đã biết trong không gian mêtric. Các kết quả chính của Chương 1 là Định
lý 1.2.6, Định lý 1.2.9, Định lý 1.3.11 và Định lý 1.4.3.
Trong Chương 2, chúng tôi xét trên không gian đều sắp thứ tự bộ phận. Đầu
tiên, trong mục 2.1, chúng tôi thu được các kết quả về điểm bất động bộ đôi
cho một lớp ánh xạ trong không gian đều sắp thứ tự bộ phận khi mở rộng điều
kiện co (LC) của V. Lakshmikantham và L. Ciric cho ánh xạ trong không gian
đều. Trong mục 2.2, bằng cách mở rộng điều kiện co (AK) của H. Aydi và E.
Karapinar cho ánh xạ trong không gian đều, chúng tôi thu được các kết quả về
điểm bất động bộ ba của một lớp ánh xạ trong không gian đều sắp thứ tự bộ
phận. Trong mục 2.3, bằng cách đưa vào các khái niệm nghiệm bộ đôi trên và
dưới, nghiệm bộ ba trên và dưới, áp dụng các kết quả thu được trong mục 2.1,

2.2, chúng tôi đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm duy nhất của một vài lớp
phương trình tích phân phi tuyến với độ lệch không bị chặn. Kết quả chính của
Chương 2 là Định lý 2.1.5, Hệ quả 2.1.6, Định lý 2.2.5, Hệ quả 2.2.6, Định lý
2.3.3 và Định lý 2.3.6.
Trong Chương 3, đầu tiên chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về
đại số lồi địa phương cần dùng cho các trình bày về sau. Tiếp theo, trong mục
3.2, bằng cách mở rộng khái niệm D-Lipschitz cho các ánh xạ trên các đại số
lồi địa phương và dựa vào các kết quả đã biết trong đại số Banach, không gian
đều, chúng tôi thiết lập một định lý điểm bất động trong đại số lồi địa phương
mà nó là mở rộng của kết quả thu được bởi B. C. Dhage. Cuối cùng, trong mục
3.3, áp dụng định lý thu được chúng tôi chứng minh sự tồn tại nghiệm của một
lớp phương trình tích phân trong đại số lồi địa phương với độ lệch không bị
chặn. Kết quả chính của Chương 3 là Định lý 3.2.5, Định lý 3.3.2.
Trong luận án này, chúng tôi cũng giới thiệu nhiều ví dụ nhằm minh họa
cho các kết quả thu được và ý nghĩa mở rộng của các định lý được đưa ra.


7

CHƯƠNG 1
KHÔNG GIAN ĐỀU
VÀ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

Trong chương này, đầu tiên chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản
về không gian đều và những kết quả sử dụng cho phần sau. Tiếp theo, chúng
tôi đưa ra các định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ (Ψ, Π)-co trong không gian
đều. Trong phần cuối của chương, chúng tôi mở rộng các định lý điểm bất động
của lớp ánh xạ α-ψ -co trong không gian mêtric lên không gian đều. Sau đó,
chúng tôi ứng dụng các kết quả mới này để chứng tỏ một lớp phương trình tích
phân với độ lệch không bị chặn có nghiệm duy nhất.

1.1

Không gian đều

Mục này chúng tôi nhắc lại một số kiến thức về không gian đều cần dùng
cho những trình bày về sau.
Cho tập X khác rỗng, U, V ⊂ X × X . Ta ký hiệu
1) U −1 = {(x, y) ∈ X × X : (y, x) ∈ U }.
2) U ◦ V = {(x, z) : ∃y ∈ X, (x, y) ∈ U, (y, z) ∈ V } và viết U 2 thay cho U ◦ U .
3) ∆(X) = {(x, x) : x ∈ X} và gọi ∆(X) là đường chéo của X .
4) U [A] = {y ∈ X : ∃x ∈ A để (x, y) ∈ U }, với A ⊂ X và viết U [x] thay cho
U [{x}].
Định nghĩa 1.1.1. Họ U các tập con của X × X được gọi là cái đều hay cấu
trúc đều trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau
1) ∆(X) ⊂ U với mọi U ∈ U .
2) Nếu U ∈ U thì U −1 ∈ U .
3) Nếu U ∈ U thì tồn tại V ∈ U sao cho V 2 ⊂ U .
4) Nếu U, V ∈ U thì U ∩ V ∈ U .
5) Nếu U ∈ U và U ⊂ V ⊂ X × X thì V ∈ U .
Cặp (X, U) được gọi là một không gian đều.


8

Trong phần này, chúng tôi cũng trình bày các khái niệm tôpô sinh bởi cấu
trúc đều, không gian đều với cấu trúc đều sinh bởi họ các giả mêtric, dãy
Cauchy, không gian đều đầy đủ dãy và mối liên hệ giữa chúng.
Chú ý 1.1.8. 1) Giả sử X là không gian đều. Khi đó, tôpô đều trên X được
sinh bởi một họ các giả mêtric liên tục trên X .

2) Nếu E là không gian lồi địa phương với họ bão hòa các nửa chuẩn {pα }α∈I ,
thì họ các giả mêtric liên kết {dα }α∈I xác định bởi dα (x, y) = pα (x − y) với mọi
x, y ∈ E . Khi đó, tôpô đều được sinh bởi họ các giả mêtric liên kết trùng với
tôpô xuất phát của không gian E . Do đó, như là hệ quả của các kết quả của
chúng tôi sau này, ta thu được các định lý điểm bất động trong không gian lồi
địa phương.
3) Cho I là tập chỉ số và ánh xạ j : I → I . Các phép lặp của j được xác định
theo quy nạp bởi j 0 (α) = α, j k (α) = j j k−1 (α) , k = 1, 2, . . .

1.2

Điểm bất động của các ánh xạ co yếu

Trong các trình bày tiếp theo, (X, P) hay đơn giản là X được hiểu là một
không gian đều Hausdorff với cấu trúc đều sinh bởi một họ bão hòa các giả
mêtric P = {dα (x, y) : α ∈ I}, trong đó I là một tập chỉ số. Lưu ý rằng, (X, P)
là Hausdorff nếu và chỉ nếu dα (x, y) = 0 với mọi α ∈ I kéo theo x = y .
Định nghĩa 1.2.2. Không gian đều (X, P) được gọi là j -bị chặn nếu với
mỗi α ∈ I và x, y ∈ X tồn tại q = q(x, y, α) sao cho dj n (α) (x, y) ≤ q(x, y, α) <
∞, với mọi n ∈ N.
Ký hiệu Ψ = {ψα : α ∈ I} là họ các hàm ψα : R+ → R+ đơn điệu tăng, liên
tục, ψα (t) = 0 nếu và chỉ nếu t = 0, với mọi α ∈ I .
Ký hiệu Π = {ϕα : α ∈ I} là họ các hàm ϕα : R+ → R+ , α ∈ I sao cho ϕα là
liên tục, ϕα (t) = 0 nếu và chỉ nếu t = 0.
Định nghĩa 1.2.4. Cho X là không gian đều. Ánh xạ T : X → X được gọi là
(Ψ, Π)-co trên X nếu
ψα dα (T x, T y) ≤ ψα dj(α) (x, y) − ϕα dj(α) (x, y) ,

với mọi x, y ∈ X và với mọi α ∈ I, ψα ∈ Ψ, ϕα ∈ Π.
Chú ý, lớp ánh xạ (Ψ, Π)-co trên X là rộng hơn lớp ánh xạ Φ-co trên X . Thật

vậy, nếu T là ánh xạ Φ-co trên X thì với mọi α ∈ I và φα ∈ Φ ta đặt Ψ = {ψα :
R+ → R+ , α ∈ I} với ψα (t) = t với mọi t ≥ 0 và Π = {ϕα : R+ → R+ , α ∈ I} với
ϕα (t) = t − φα (t) với mọi t ≥ 0. Khi đó T là ánh xạ (Ψ, Π)-co trên X .


9

Định nghĩa 1.2.5. Không gian đều (X, P) được gọi là có tính chất j -đơn điệu
giảm nếu dα (x, y) ≥ dj(α) (x, y) với mọi x, y ∈ X và mọi α ∈ I .
Định lý 1.2.6. Cho X là một không gian đều Hausdorff đầy đủ dãy và ánh xạ
T : X → X . Giả sử
1) T là (Ψ, Π)-co trên X .
2) Ánh xạ j : I → I là toàn ánh và tồn tại x0 ∈ X sao cho dãy {xn } với
xn = T xn−1 , n = 1, 2, . . . thỏa mãn dα (xm , xm+n ) ≥ dj(α) (xm , xm+n ) với mọi m, n ≥
0, mọi α ∈ I .
Khi đó, T có điểm bất động trong X .
Hơn nữa, nếu X có tính chất j -đơn điệu giảm, thì T có điểm bất động duy
nhất.
Ví dụ 1.2.7. Cho X = R∞ = x = {xn } : xn ∈ R, n = 1, 2, . . . . Với mỗi
n = 1, 2, . . . ký hiệu Pn : X → R là ánh xạ xác định bởi Pn (x) = xn với mọi
x = {xm } ∈ X . Xét I = N∗ × R+ . Với mỗi (n, r) ∈ I , ta xác định một giả mêtric
d(n,r) : X × X → R bởi d(n,r) (x, y) = r Pn (x) − Pn (y) , với mọi x, y ∈ X. Khi đó, họ
các giả mêtric {d(n,r) : (n, r) ∈ I} sinh ra một cấu trúc đều trên X .
Bây giờ, với mỗi (n, r) ∈ I ta xác định các hàm ψ(n,r) (t) =

2(n − 1)
t, ϕ(n,r) (t) =
2n − 1

2(n − 1)

t với mọi t ≥ 0 và đặt Ψ = {ψ(n,r) : (n, r) ∈ I}, Π = {ϕ(n,r) : (n, r) ∈ I}.
3(2n − 1)2
1
, với mọi (n, r) ∈ I
Xét j : I → I là ánh xạ xác định bởi j(n, r) = n, r 1 − 2n

và xác định ánh xạ T : X → X bởi
2
2
2
(1 − x1 ), 1 − 1 −
(1 − x2 ), . . . , 1 − 1 −
(1 − xn ), . . . ,
3
3.2
3n
với mọi x = {xn } ∈ X .
Tx = 1 − 1 −

Áp dụng Định lý 1.2.6, T có điểm bất động duy nhất, đó là x = {1, 1, . . .}.
Định lý 1.2.9. Cho X là không gian đều Hausdorff đầy đủ dãy và T, S : X → X
là các ánh xạ thỏa mãn
ψα dα (T x, Sy) ≤ ψα dj(α) (x, y) − ϕα dj(α) (x, y) ,

với mọi x, y ∈ X , trong đó ψα ∈ Ψ, ϕα ∈ Π với mọi α ∈ I .
Giả sử j : I → I là toàn ánh và tồn tại x0 ∈ X sao cho dãy {xn } với
x2k+1 = T x2k , x2k+2 = Sx2k+1 , k ≥ 0 thỏa mãn dα (xm+n , xm ) ≥ dj(α) (xm+n , xm ) với
mọi m, n ≥ 0, α ∈ I .
Khi đó, tồn tại u ∈ X sao cho u = T u = Su.
Hơn nữa, nếu X có tính chất j -đơn điệu giảm, thì tồn tại duy nhất u ∈ X

sao cho u = T u = Su.


10

1.3

Điểm bất động của các ánh xạ (β,Ψ1)-co

Ký hiệu Ψ1 = {ψα : α ∈ I} là họ các hàm thỏa mãn các tính chất
(i) ψα : R+ → R+ đơn điệu không giảm và ψα (0) = 0.
(ii) Với mỗi α ∈ I , tồn tại ψ α ∈ Ψ1 sao cho
+∞

sup ψj n (α) (t) : n = 0, 1, . . .

≤ ψ α (t) và

n

ψ α (t) < +∞ với mọi t > 0.
n=1

Xét họ hàm β = {βα : X × X → R+ , α ∈ I}.
Định nghĩa 1.3.7. Cho (X, P) là không gian đều với P = dα (x, y) : α ∈ I và
T : X → X là ánh xạ cho trước. Ta nói T là ánh xạ (β, Ψ1 )-co nếu với mọi hàm
βα ∈ β và ψα ∈ Ψ1 ta có
βα (x, y).dα (T x, T y) ≤ ψα dj(α) (x, y) ,

với mọi x, y ∈ X .

Định nghĩa 1.3.8. Cho T : X → X . Ta nói rằng ánh xạ T là β -chấp nhận
được (β -admissible) nếu với mọi x, y ∈ X và α ∈ I mà βα (x, y) ≥ 1 kéo theo
βα (T x, T y) ≥ 1.
Định lý 1.3.11. Cho tập hợp X và P = dα (x, y) : α ∈ I là một họ các giả
mêtric trên X sao cho (X, P) là không gian đều Hausdorff đầy đủ dãy. Cho
T : X → X là một ánh xạ (β, Ψ1 )-co thỏa mãn các điều kiện
i) T là β -chấp nhận được.
ii) Tồn tại x0 ∈ X sao cho với mỗi α ∈ I ta có βα (x0 , T x0 ) ≥ 1 và
dj n (α) (x0 , T x0 ) < q(α) < +∞ với mọi n ∈ N∗ .

Ngoài ra, giả thiết thêm
a) T liên tục; hoặc
b) Với mọi α ∈ I , nếu {xn } là dãy trong X sao cho βα (xn , xn+1 ) ≥ 1 với mọi
n và xn → x ∈ X khi n → +∞, thì βα (xn , x) ≥ 1 với mọi n ∈ N∗ .
Khi đó, T có điểm bất động.
Hơn nữa, nếu X có tính chất j -bị chặn và với mọi x, y ∈ X , tồn tại z ∈ X
sao cho βα (x, z) ≥ 1 và βα (y, z) ≥ 1 với mọi α ∈ I , thì điểm bất động của T là
duy nhất.
Chúng tôi cũng đưa ra một số ví dụ minh họa cho các kết quả thu được.


11

1.4

Ứng dụng vào phương trình tích phân phi tuyến

Trong mục này, chúng tôi áp dụng các định lý đã chứng minh trong Mục
1.3 để nghiên cứu bài toán về sự tồn tại duy nhất nghiệm của một lớp phương
trình tích phân phi tuyến với hàm độ lệch không bị chặn.

Xét phương trình tích phân
∆(t)

x(t) =

(1.27)

G(t, s)f s, x(s) ds,
0

trong đó các hàm f : R+ × R → R và G : R+ × R+ → R+ liên tục. Hàm độ lệch
∆ : R+ → R+ liên tục, trong trường hợp tổng quát là không bị chặn. Chú ý, vì
hàm độ lệch ∆ : R+ → R+ không bị chặn, nên chúng ta không thể áp dụng kết
quả của các định lý điểm bất động đã biết trong không gian mêtric cho loại
phương trình tích phân trên.
Giả thiết 1.4.1. A1) Tồn tại hàm u : R2 → R sao cho với mỗi tập con compắc
K ⊂ R+ , tồn tại số thực dương λ và ψK ∈ Ψ1 sao cho với mọi t ∈ R+ , với mọi
a, b ∈ R mà u(a, b) ≥ 0, ta có
∆(t)

và λ sup

f (t, a) − f (t, b) ≤ λψK |a − b|

t∈K

G(t, s)ds ≤ 1.
0

A2) Tồn tại x0 ∈ C(R+ , R) sao cho với mọi t ∈ R+ , ta có

∆(t)

u x0 (t),

G(t, s)f s, x0 (s) ds ≥ 0.
0

A3) Với mọi t ∈ R+ , x, y ∈ C(R+ , R), nếu u x(t), y(t) ≥ 0, thì
∆(t)

u

∆(t)

G(t, s)f s, x(s) ds,
0

G(t, s)f s, y(s) ds ≥ 0.
0

A4) Nếu {xn } là dãy trong C(R+ , R) sao cho xn → x ∈ C(R+ , R) và u(xn , xn+1 ) ≥
0 với mọi n ∈ N∗ , thì u(xn , x) ≥ 0 với mọi n ∈ N∗ .
A5) Với mỗi tập con compắc K ⊂ R+ , tồn tại tập compắc K ⊂ R+ sao cho
với mọi n ∈ N∗ , ta có ∆n (K) ⊂ K .
Định lý 1.4.3 . Giả sử rằng Giả thiết 1.4 được thỏa mãn. Khi đó, phương trình
(1.27) có ít nhất một nghiệm trong C R+ , R .
Hệ quả 1.4.4. Giả sử
1) f : R+ × R → R+ liên tục và đơn điệu không giảm theo biến thứ hai.

12

2) Với mỗi tập con compắc K ⊂ R+ tồn tại số thực dương λ và hàm ψK ∈ Ψ1
sao cho với mọi t ∈ R+ , với mọi a, b ∈ R mà a ≤ b, ta có
∆(t)

f (t, a) − f (t, b) ≤ λψK |a − b|

và λ sup
t∈K

G(t, s)ds ≤ 1.
0

3) Với mỗi tập con compắc K ⊂ R+ , tồn tại tập compắc K ⊂ R+ sao cho với
mọi n ∈ N∗ , ∆n (K) ⊂ K.
Khi đó, phương trình (1.27) có nghiệm duy nhất trong C R+ , R .
Ví dụ 1.4.5. Xét phương trình tích phân phi tuyến
t

x(t) =

G(t, s)f s, x(s) ds,

(1.28)

0

trong đó G : R+ × R+ → R+ được cho bởi
G(t, s) =

3 s−t
4e
3 t−s
4e

nếu t ≥ s ≥ 0
nếu s ≥ t ≥ 0

và f : R+ × R → R+ xác định bởi
f (t, x) =

√
2
x+ 1+
√x
2 + x − 1 + x2

nếu x < 0
nếu x ≥ 0,

với mọi t ∈ R+ .
Áp dụng Hệ quả 1.4.4 ta suy ra phương trình (1.28) có nghiệm duy nhất.

Kết luận Chương 1
Trong Chương này, chúng tôi thu được những kết quả chính sau
• Đưa ra các định lý khẳng định sự tồn tại và tồn tại duy nhất điểm bất
động cho lớp ánh xạ (Ψ, Π)-co trong không gian đều (Định lý 1.2.6, 1.2.9).
Các kết quả này được viết thành bài báo:
Tran Van An, Kieu Phuong Chi and Le Khanh Hung (2014),

Some fixed point theorems in uniform spaces, submitted to Filomat.
• Đưa ra các định lý khẳng định sự tồn tại và tồn tại duy nhất điểm bất
động cho lớp ánh xạ (β, Ψ1 )-co trong không gian đều (Định lý 1.3.11). Ứng dụng

Định lý 1.3.11 để chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm của một lớp phương trình
tích phân với độ lệch không bị chặn.
Các kết quả này được viết thành bài báo:
Kieu Phuong Chi, Tran Van An, Le Khanh Hung (2014),
Fixed point theorems for (α-Ψ)-contractive type mappings in uniform spaces
and applications, Filomat (to appear).


13

CHƯƠNG 2
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ
TRONG KHÔNG GIAN ĐỀU
SẮP THỨ TỰ BỘ PHẬN VÀ ỨNG DỤNG

Trong chương này, chúng tôi sẽ đưa ra một số định lý điểm bất động của
một số lớp ánh xạ trong không gian đều sắp thứ tự bộ phận cùng các ví dụ
minh họa cho những kết quả đó. Sau đó, chúng tôi ứng dụng các định lý thu
được vào việc nghiên cứu bài toán về sự tồn tại nghiệm của một lớp các phương
trình tích phân phi tuyến.

2.1

Điểm bất động bộ đôi trong không gian đều sắp thứ
tự bộ phận

Năm 2006, khi mở rộng các định lý điểm bất động trong không gian mêtric
đầy đủ, T. G. Bhaskar và V. Lakshmikantham đã đưa ra khái niệm điểm bất
động bộ đôi và thu được một số kết quả cho lớp ánh xạ có tính chất đơn điệu
trộn.
Định nghĩa 2.1.1. Cho (X, ≤) là một tập sắp thứ tự bộ phận và F : X ×X → X .
Ánh xạ F được gọi là có tính chất đơn điệu trộn (mixed monotone) nếu F
không giảm theo biến thứ nhất và không tăng theo biến thứ hai, nghĩa là với
mọi x, y ∈ X
nếu x1 , x2 ∈ X, x1 ≤ x2 thì F (x1 , y) ≤ F (x2 , y)
và
nếu y1 , y2 ∈ X, y1 ≤ y2 thì F (x, y1 ) ≥ F (x, y2 ).
Trong mục này, chúng ta chứng minh được một số định lý điểm bất động bộ
đôi cho ánh xạ co suy rộng trong không gian đều sắp thứ tự bộ phận.
Xét họ các hàm Φ1 = {φα : R+ → R+ ; α ∈ I} thỏa mãn các điều kiện


14

i) φα là hàm đơn điệu không giảm.
ii) 0 < φα (t) < t với mọi t > 0 và φα (0) = 0.
Cho (X, ≤) là một tập sắp thứ tự bộ phận. Khi đó, xét thứ tự bộ phận trên
X × X bởi
với (x, y), (u, v) ∈ X × X, (x, y) ≤ (u, v) nếu và chỉ nếu x ≤ u, y ≥ v.
Định lý 2.1.5. Cho (X, ≤) là một tập sắp thứ tự bộ phận và P = {dα (x, y) : α ∈
I} là họ các giả mêtric trên X sao cho (X, P) là không gian đều Hausdorff đầy
đủ dãy. Cho F : X × X → X là ánh xạ có tính chất đơn điệu trộn. Giả sử
1) Với mọi α ∈ I , tồn tại φα ∈ Φ1 sao cho
dα F (x, y), F (u, v) ≤ φα

dj(α) (x, u) + dj(α) (y, v)

,
2

với mọi x ≤ u, y ≥ v .
2) Với mỗi α ∈ I , tồn tại φα ∈ Φ1 sao cho sup{φj n (α) (t) : n = 0, 1, . . .} ≤ φα (t)
và

φα (t)
không giảm.
t
3) Tồn tại x0 , y0 ∈ X sao cho x0 ≤ F (x0 , y0 ), y0 ≥ F (y0 , x0 ) và
dj n (α) x0 , F (x0 , y0 ) + dj n (α) y0 , F (y0 , x0 ) < 2p(α) < ∞

với mọi α ∈ I, n ∈ N.
Ngoài ra, giả thiết thêm
a) F liên tục; hoặc
b) X có tính chất
i) Nếu dãy không giảm {xn } trong X hội tụ đến x thì xn ≤ x với mọi n.
ii) Nếu dãy không tăng {yn } trong X hội tụ đến y thì yn ≥ y với mọi n.
Khi đó, F có điểm bất động bộ đôi.
Hơn nữa, nếu X có tính chất j -bị chặn và với mọi (x, y), (z, t) ∈ X × X tồn
tại (u, v) ∈ X × X so sánh được với chúng, thì F có điểm bất động bộ đôi duy
nhất.
Hệ quả 2.1.6.Ngoài các giả thiết của Định lý 2.1.5, nếu x0 và y0 so sánh được
thì F có điểm bất động duy nhất, nghĩa là tồn tại duy nhất x ∈ X sao cho
F (x, x) = x.


15

2.2

Điểm bất động bộ ba trong không gian đều sắp thứ
tự bộ phận

Năm 2011, V. Berinde và M. Borcut đưa ra khái niệm điểm bất động bộ
ba và đã thu được một số định lý điểm bất động bộ ba cho lớp các ánh xạ có
tính chất đơn điệu trộn. Sau đó, năm 2012, H. Aydi và E. Karapinar tiếp tục
đưa ra các kết quả về sự tồn tại điểm bất động cho lớp ánh xạ co yếu.
Định nghĩa 2.2.1. Cho (X, ≤) là một tập thứ tự bộ phận và F : X ×X ×X → X .
Ánh xạ F được gọi là có tính chất đơn điệu trộn (mixed monotone property)
nếu với mọi x, y, z ∈ X
x1 , x2 ∈ X, x1 ≤ x2 ⇒ F (x1 , y, z) ≤ F (x2 , y, z),
y1 , y2 ∈ X, y1 ≤ y2 ⇒ F (x, y1 , z) ≥ F (x, y2 , z)

và
z1 , z2 ∈ X, z1 ≤ z2 ⇒ F (x, y, z1 ) ≤ F (x, y, z2 ).

Định nghĩa 2.2.2. Cho ánh xạ F : X 3 → X . Phần tử (x, y, z) được gọi là điểm
bất động bộ ba (triple fixed point) của F nếu
F (x, y, z) = x, F (y, x, y) = y và F (z, y, x) = z.

Trong mục này, với họ hàm Φ1 (xác định trong Mục 2.2) cho trước chúng ta sẽ
chứng minh một số định lý điểm bất động bộ ba cho ánh xạ co suy rộng trong
không gian đều, mà chúng là các mở rộng tự nhiên của các định lý điểm bất
động bộ ba đã được giới thiệu gần đây bởi các tác giả khác trong không gian
mêtric. Chúng tôi cũng đưa ra một số ví dụ minh họa cho các kết quả thu được.
Cho (X, ≤) là một tập sắp thứ tự bộ phận. Khi đó, ta xác định thứ tự bộ
phận trên X 3 như sau:
Với (x, y, z), (u, v, w) ∈ X 3 thì

(x, y, z) ≤ (u, v, w) nếu và chỉ nếu x ≤ u, y ≥ v và z ≤ w.

Ta nói (x, y, z) và (u, v, w) là so sánh được nếu
(x, y, z) ≤ (u, v, w)

hoặc (u, v, w) ≤ (x, y, z).

Ngoài ra, ta nói (x, y, z) bằng (u, v, w) nếu và chỉ nếu x = u, y = v và z = w.


16

Định nghĩa 2.2.4. Cho X là không gian đều. Ánh xạ T : X → X được gọi
là ICS (injective, continuous, sequence) nếu T là đơn ánh, liên tục và có tính
chất: với mọi dãy {xn } trong X , nếu dãy {T xn } hội tụ thì {xn } cũng hội tụ.
Định lý 2.2.5. Cho (X, ≤) là một tập sắp thứ tự bộ phận và P = {dα (x, y) : α ∈
I} là họ các giả mêtric trên X sao cho (X, P) là không gian đều Hausdorff đầy
đủ dãy. Cho T : X → X là ánh xạ ICS và F : X 3 → X là ánh xạ có tính chất
đơn điệu trộn. Giả sử
1) Với mỗi α ∈ I tồn tại φα ∈ Φ1 sao cho
dα T F (x, y, z), T F (u, v, w)
≤ φα max dj(α) (T x, T u), dj(α) (T y, T v), dj(α) (T z, T w)

,

với mọi x ≤ u, y ≥ v và z ≤ w.
2) Với mỗi α ∈ I , tồn tại φα ∈ Φ1 sao cho sup{φj n (α) (t) : n = 0, 1, . . .} ≤ φα (t)
φα (t)
là hàm không giảm trên (0, +∞).
t

3) Tồn tại x0 , y0 , z0 ∈ X sao cho x0 ≤ F (x0 , y0 , z0 ), y0 ≥ F (y0 , x0 , y0 ), z0 ≤
F (z0 , y0 , x0 ) và

với mọi t > 0 và

max dj n (α) T x0 , T F (x0 , y0 , z0 ) , dj n (α) T y0 , T F (y0 , x0 , y0 ) ,
dj n (α) T z0 , T F (z0 , y0 , x0 )

< p(α) < ∞,

với mọi α ∈ I, n ∈ N.
Ngoài ra, giả thiết thêm
a) F liên tục; hoặc
b) X có các tính chất
i) Nếu dãy không giảm {xn } trong X hội tụ đến x thì xn ≤ x với mọi n.
ii) Nếu dãy không tăng {yn } trong X hội tụ đến y thì yn ≥ y với mọi n.
Khi đó, F có điểm bất động bộ ba.
Hơn nữa, nếu X có tính chất j -bị chặn và với mọi (x, y, z), (u, v, w) ∈ X 3 tồn
tại (a, b, c) ∈ X 3 so sánh được với chúng, thì F có điểm bất động bộ ba duy nhất.
Hệ quả 2.2.6 . Ngoài các giả thiết của Định lý 2.2.5, nếu giả thiết thêm x0 ≤ y0
và z0 ≤ y0 thì F có điểm bất động duy nhất, nghĩa là tồn tại duy nhất x ∈ X sao
cho F (x, x, x) = x.
Chúng tôi cũng đưa ra một số ví dụ minh họa cho các định lý trong các mục
2.1, 2.2.


17

2.3

Ứng dụng vào phương trình tích phân phi tuyến

Trước hết chúng ta trình bày ứng dụng các định lý điểm bất động bộ đôi vào
việc khảo sát sự tồn tại nghiệm của một lớp phương trình tích phân phi tuyến
với độ lệch không bị chặn.
Xét phương trình tích phân sau
∆(t)

x(t) = h(t) +

K1 (t, s) + K2 (t, s) f (s, x(s)) + g(s, x(s)) ds,

(2.49)

0

trong đó K1 , K2 ∈ C R+ × R+ , R , f, g ∈ C R+ × R, R và hàm chưa biết x ∈
C R+ , R). Hàm độ lệch ∆ : R+ → R+ liên tục, trong trường hợp tổng quát không
bị chặn. Vì hàm độ lệch ∆ không bị chặn nên chúng ta không thể áp dụng các
định lý điểm bất động bộ đôi đã biết trong không gian mêtric cho phương trình
tích phân trên.
Để xét sự tồn tại nghiệm x ∈ C R+ , R) của phương trình tích phân trên,
chúng ta bổ sung thêm các giả thiết sau.
Giả thiết 2.3.1. B1) K1 (t, s) ≥ 0 và K2 (t, s) ≤ 0 với mọi t, s ≥ 0.
B2) Với mỗi tập con compắc K ⊂ R+ , tồn tại λ, µ ≥ 0 và φK ∈ Φ1 sao cho với
mọi x, y ∈ R, x ≥ y và với mọi t ∈ K , ta có
0 ≤ f (t, x) − f (t, y) ≤ λφK
−µφK

x−y

2

và

∆(t)

max(λ, µ) sup
t∈K

0

x−y
,
2

≤ g(t, x) − g(t, y) ≤ 0
1
K1 (t, s) − K2 (t, s) ds ≤ .
2

B3) Với mỗi tập con compắc K ⊂ R+ , tồn tại tập compắc K ⊂ R+ sao cho
∆n (K) ⊂ K, với mọi n ≥ 0.
B4) Với mỗi tập con compắc K ⊂ R+ , tồn tại φK ∈ Φ1 sao cho
không giảm và φ∆n (K) (t) ≤ φK (t) với mọi n và với mọi t ≥ 0.

φK (t)
là hàm
t

Định nghĩa 2.3.2. Phần tử (α, β) ∈ C R+ , R × C R+ , R được gọi là nghiệm

bộ đôi trên và dưới (coupled lower and upper solution) của phương trình (2.49)
nếu α(t) ≤ β(t) và
∆(t)

α(t) ≤ h(t) +

K1 (t, s) f (s, α(s)) + g(s, β(s)) ds
0
∆(t)

+

K2 (t, s) f (s, β(s)) + g(s, α(s)) ds
0


18

và

∆(t)

β(t) ≥ h(t) +

K1 (t, s) f (s, β(s)) + g(s, α(s)) ds
0
∆(t)

+

K2 (t, s) f (s, α(s)) + g(s, β(s)) ds.
0

Định lý 2.3.3. Xét phương trình tích phân (2.49) với các hàm K1 , K2 ∈ C R+ ×
R+ , R , f, g ∈ C R+ × R, R , h ∈ C R+ , R và giả sử Giả thiết 2.3 được thỏa
mãn. Khi đó, sự tồn tại của nghiệm bộ đôi trên và dưới của phương trình (2.49)
sẽ kéo theo sự tồn tại nghiệm duy nhất của phương trình (2.49) trong C R+ , R .
Tiếp theo, chúng tôi trình bày ứng dụng các kết quả thu được về điểm bất
động bộ ba vào bài toán khảo sát sự tồn tại nghiệm của một lớp phương trình
tích phân phi tuyến với hàm độ lệch không bị chặn.
Xét phương trình tích phân phi tuyến
∆(t)

x(t) = k(t) +

K1 (t, s) + K2 (t, s) + K3 (t, s)

(2.50)

0

× f s, x(s) + g s, x(s) + h s, x(s)

ds,

trong đó K1 , K2 , K3 ∈ C R+ × R+ , R , f, g, h ∈ C R+ × R, R và hàm chưa biết
x ∈ C R+ , R), hàm độ lệch ∆ : R+ → R+ liên tục.
Chúng ta giả sử các hàm K1 , K2 , K3 , f, g, h thỏa mãn các điều kiện sau.
Giả thiết 2.3.4. C1) K1 (t, s) ≥ 0, K2 (t, s) ≤ 0 và K3 (t, s) ≥ 0 với mọi t, s ≥ 0.
C2) Với mỗi tập con compắc K ⊂ R+ , tồn tại các số thực λ, µ, η ≥ 0 và hàm

φK ∈ Φ1 sao cho với mọi x, y ∈ R, x ≥ y và với mọi t ∈ K , ta có
0 ≤ f (t, x) − f (t, y) ≤ λφK x − y ,
−µφK x − y ≤ g(t, x) − g(t, y) ≤ 0,
0 ≤ h(t, x) − h(t, y) ≤ ηφK x − y

và

∆(t)

max(λ, µ, η) sup
t∈K

0

1
K1 (t, s) − K2 (t, s) + K3 (t, s) ds ≤ .
3

C3) Với mỗi tập con compắc K ⊂ R+ , tồn tại tập compắc K ⊂ R+ sao cho
với mọi n ∈ N, ∆n (K) ⊂ K, trong đó ∆0 (t) = t, ∆n (t) = ∆ ∆n−1 (t) , với mọi
t ≥ 0 và n = 1, 2, . . .


19

C4) Với mỗi tập con compắc K ⊂ R+ , tồn tại φK ∈ Φ1 sao cho
không giảm và φ∆n (K) (t) ≤ φK (t) với mọi n ∈ N và mọi t ≥ 0.

φK (t)
là hàm

t

Định nghĩa 2.3.5. Về phần tử (α, β, γ) ∈ C R+ , R × C R+ , R × C R+ , R được
gọi là một nghiệm bộ ba trên và dưới (tripled lower and upper solution) của
phương trình tích phân (2.50).
Định lý 2.3.6. Xét phương trình tích phân (2.50) với K1 , K2 , K3 ∈ C R+ ×
R+ , R , f, g, h ∈ C R+ × R, R , k ∈ C R+ , R và giả sử Giả thiết 2.3 thỏa mãn.
Khi đó, sự tồn tại nghiệm bộ ba trên và dưới của (2.50) dẫn đến sự tồn tại
nghiệm duy nhất của (2.50) trong C R+ , R .

Kết luận Chương 2
Trong Chương này, chúng tôi thu được những kết quả chính sau
• Đưa ra các định lý khẳng định sự tồn tại và tồn tại duy nhất điểm bất

động bộ đôi cho một lớp ánh xạ co trong không gian đều sắp thứ tự bộ phận
(Định lý 2.1.5, Hệ quả 2.1.6).
• Đưa ra các định lý khẳng định sự tồn tại và tồn tại duy nhất điểm bất

động bộ ba cho một lớp ánh xạ co trong không gian đều sắp thứ tự bộ phận
(Định lý 2.2.5, Hệ quả 2.2.6).
• Ứng dụng Định lý 2.1.5 để chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm của một lớp

phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn. Ứng dụng Định lý 2.2.5 để
chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm của một lớp phương trình tích phân với độ
lệch không bị chặn.
Các kết quả trên đã được công bố trong các bài báo
• Tran Van An, Kieu Phuong Chi and Le Khanh Hung (2014), Coupled fixed

point theorems in uniform spaces and application, Journal of Nonlinear Convex
Analysis, Vol. 15, No. 5, 953-966.

• Le Khanh Hung (2014), Triple fixed points in ordered uniform spaces, Bul-

letin of Mathematical Analysis and Applications, Vol. 6, Issue 2, 1-22.


20

CHƯƠNG 3
ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG ĐẠI SỐ LỒI
ĐỊA PHƯƠNG VÀ ỨNG DỤNG

Trong chương này chúng tôi thiết lập một định lý điểm bất động trong
đại số lồi địa phương dựa trên ý tưởng của các kết quả đã biết trong đại số
Banach và không gian đều, sau đó chúng tôi áp dụng định lý thu được để chứng
minh sự tồn tại nghiệm của một lớp phương trình tích phân với độ lệch không
bị chặn.

3.1

Đại số lồi địa phương

Mục này giới thiệu một số kiến thức cơ sở về đại số lồi địa phương. Từ
đây về sau ta luôn giả thiết rằng các đại số được nói tới là đại số giao hoán và
kết hợp trên trường số phức hoặc trường số thực K.
Định nghĩa 3.1.1. Cho X là một đại số trên K. X được gọi là đại số tôpô
(topological algebra) nếu trên X được trang bị một tôpô τ sao cho
1) (X, τ ) là không gian véctơ tôpô;
2) Phép toán nhân trong X là liên tục
Định nghĩa 3.1.2. Cho X là một đại số tôpô. Khi đó,
1) Nửa chuẩn p : X → R được gọi là bán nhân tính (submultiplicative) nếu

p(xy) ≤ p(x)p(y) với mọi x, y ∈ X .
2) Tập U ⊂ X được gọi là nhân tính (multiplicative) nếu U.U ⊂ U .
Định nghĩa 3.1.3. Đại số tôpô X được gọi là đại số lồi địa phương nhân tính
(locally multiplicatively-convex algebra) nếu X có một cơ sở lân cận của điểm
0 ∈ X gồm các tập con lồi và nhân tính.
Định nghĩa 3.1.6. Cho X là không gian lồi địa phương và T : X → X . Khi đó,
2) T được gọi là hoàn toàn bị chặn nếu với mỗi tập con bị chặn S của X ,
T (S) là tập hoàn toàn bị chặn của X .
3) T được gọi là hoàn toàn liên tục nếu nó liên tục và hoàn toàn bị chặn.


21

3.2

Điểm bất động trong đại số lồi địa phương

Xét Φ = {φα : R+ → R+ , α ∈ I} là họ các hàm đơn điệu tăng, liên tục,
thỏa mãn 0 < φα (t) < t với mọi t > 0 và φα (0) = 0; Ψ = {ψα : R+ → R+ , α ∈ I}
là họ các hàm đơn điệu tăng, liên tục và ψα (0) = 0.
Cho X là đại số lồi địa phương với một họ bão hòa các nửa chuẩn {pα }α∈I .
Định nghĩa 3.2.4. Ánh xạ T : X → X được gọi là D-Lipschitz với họ các hàm
{ψα }α∈I nếu
pα (T x − T y) ≤ ψα pj(α) (x − y) ,

với mọi x, y ∈ X và mọi α ∈ I , trong đó {ψα }α∈I là một họ con của Ψ.
Nếu ψα (t) = kα t với mọi t ≥ 0, trong đó kα là số thực với mọi α ∈ I , thì T
được gọi là Lipschitz với họ các hằng số Lipschitz {kα }α∈I .
Mở rộng các kết quả trong không gian đều và đại số Banach, chúng tôi thu
được định lý sau trên đại số lồi địa phương.

Định lý 3.2.5. Cho X là đại số lồi địa phương sao cho X là không gian
Hausdorff đầy đủ dãy. Giả sử S là một tập con đóng, lồi và bị chặn của X và
A : X → X , B : S → X là hai toán tử sao cho
1) A là D-Lipschitz với họ các hàm {ψα }α∈I .
2) B là hoàn toàn liên tục và với mọi y ∈ S , x = AxBy kéo theo x ∈ S .
3) pj(α) (x − y) ≤ pα (x − y) với mọi x, y ∈ S và mọi α ∈ I .
4) Với mọi x ∈ X và với mọi α ∈ I , tồn tại q(α, x) sao cho
pj k (α) (x) ≤ q(α, x) < ∞

với mọi k = 0, 1, 2, . . ., trong trường hợp đặc biệt pj k (α) (x) ≤ q(α) < ∞ với mọi
x ∈ S và với mọi k = 0, 1, 2, . . .
5) Với mỗi α ∈ I , thì Mα ψα (t) < t với mọi t > 0 và tồn tại φα ∈ Φ sao cho
φα (t)
không giảm và sup{Mj k (α) ψj k (α) (t) : k = 0, 1, 2, . . .} ≤ φα (t) với mọi t > 0,
t
trong đó Mα = sup pα B(x) : x ∈ S .
Khi đó, phương trình toán tử x = AxBx có nghiệm.

Hệ quả 3.2.7. Cho S là tập con đóng, lồi và bị chặn của đại số lồi địa phương
X sao cho X là không gian Hausdorff đầy đủ dãy và cho A : X → X , B : S → X
là hai toán tử sao cho
1) A là Lipschitz với họ hằng số Lipschitz {kα }α∈I .
2) B là hoàn toàn liên tục và với mọi y ∈ S , x = AxBy kéo theo x ∈ S .
3) pj(α) (x − y) ≤ pα (x − y) với mọi x, y ∈ S và α ∈ I .


22

4) Với mọi x ∈ X và với mọi α ∈ I , tồn tại q(α, x) sao cho
pj k (α) (x) ≤ q(α, x) < ∞

với mọi k = 0, 1, 2, . . ., trong trường hợp đặc biệt pj k (α) (x) ≤ q(α) < ∞ với mọi
x ∈ S và với mọi k = 0, 1, 2, . . .
5) Với mỗi α ∈ I , thì Mα kα < 1 và sup Mj k (α) kj k (α) : k = 0, 1, 2, . . . ≤ rα < 1,
trong đó Mα = sup pα B(x) : x ∈ S , α ∈ I .
Khi đó, phương trình toán tử x = AxBx có nghiệm.

3.3

Ứng dụng vào phương trình tích phân phi tuyến

Trong mục này, chúng tôi sẽ ứng dụng kết quả thu được trong Mục 3.2
để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân với hàm độ lệch
không bị chặn.
Xét phương trình tích phân sau
∆1 (t)

∆m (t)

x(s)ds, . . . ,

x(t) = F t,
0

x(s)ds, x τ1 (t) , . . . , x τn (t)
0

(3.3)

t

f s, x(s) ds ,

× q(t) +
0

trong đó x ∈ C(R+ , R) là hàm chưa biết, các hàm ∆i , τj : R+ → R+ liên tục, nói
chung không bị chặn, q : R+ → R, f : R+ ×R → R liên tục, F : R+ ×Rm+n → [0, 1].
Nghiệm của phương trình (3.3) là hàm liên tục x : R+ → R thỏa mãn (3.3)
trên R+ .
Ký hiệu X = C(R+ , R) là đại số lồi địa phương của tất cả các hàm giá trị
thực liên tục trên R+ với họ các nửa chuẩn
p[0,n] (x) = max |x(t)| : t ∈ [0, n] , n ∈ N∗ .

Để xét sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân trên ta cần thêm các
giả thiết sau.
Giả thiết 3.3.1. D1) Các hàm ∆i (t) : R+ → R+ , i = 1, 2, . . . , m; τl (t) : R+ →
R+ , l = 1, 2, . . . , n liên tục và ∆i (t) ≤ t, τl (t) ≤ t với mọi t > 0.
D2) Hàm F : (t, u1 , u2 , . . . , um , v1 , . . . , vn ) : R+ × Rm+n → [0, 1] liên tục và thỏa
mãn điều kiện
F (t, u1 , . . . , um , v1 , . . . , vn ) − F (t, u1 , . . . , um , v 1 , . . . , v n )
≤ Ω t, |u1 − u1 |, . . . , |um − um |, |v1 − v 1 |, . . . , |vn − v n | ,


23

trong đó hàm Ω(t, x1 , . . . , xm , y1 , . . . , yn ) : Rm+n+1
→ R+ liên tục theo t, không
+
giảm và liên tục theo mỗi biến xi , yl , Ω(t, ay, . . . , ay, y, . . . , y) < y với mọi hằng số

a > 0 và

Ω(t, ay, . . . , ay, y, . . . , y)
là hàm không giảm theo y .
y

D3) Hàm q : R+ → R liên tục đều trên R+ , q

+∞

f s, x(s) ds < 1 − q

∞

∞

= supt∈R+ |q(t)| < 1 và

với mọi x ∈ C(R+ , R) mà |x(t)| ≤ 1 với mọi t.

0

Định lý 3.3.2 Với các giả thiết D1), D2) và D3), thì phương trình (3.3) có ít
nhất một nghiệm x = x(t) thuộc C(R+ , R).
Ví dụ tiếp theo là một minh họa cho Định lý 3.3.
Ví dụ 3.3.3 Xét phương trình tích phân phi tuyến sau
x(t) =

1
2 + x τ (t)

t

2

te−t +

se−s

2

1+x2 (s)

ds ,

(3.9)

0

trong đó τ (t) là hàm liên tục trên R+ và τ (t) ≤ t với mọi t ∈ R+ .
Áp dụng Định lý 3.3, ta chứng minh được (3.9) có nghiệm trong C(R+ , R).

Kết luận Chương 3
Trong Chương này, chúng tôi thu được những kết quả chính sau
• Thiết lập một định lý điểm bất động trong đại số lồi địa phương dựa trên

các ý tưởng của các kết quả đã biết trong đại số Banach và không gian đều
(Định lý 3.2.5).
• Áp dụng Định lý 3.2.5 để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một lớp

phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn.
Các kết quả đã được công bố trong bài báo
Le Khanh Hung (2014), Fixed point theorems in locally convex algebras and
applications to nonlinear intergral equations, Fixed point theory and applications, DOI 10.1186/s13663-015-0310-9.