Phân tích tĩnh kết cấu vỏ bằng phần tử vỏ phẳng có biến dạng trơn kết hợp ES+NS-MITC3

Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng, NUCE 2021. 15 (2V): 34–48

PHÂN TÍCH TĨNH KẾT CẤU VỎ BẰNG PHẦN TỬ VỎ PHẲNG CÓ
BIẾN DẠNG TRƠN KẾT HỢP ES+NS-MITC3
Đỗ Anh Vũa , Châu Đình Thànhb,∗
a

Phịng Quản lý Kiến trúc quy hoạch và Hạ tầng kỹ thuật, Sở Xây Dựng Đồng Tháp,
số 60 đường 30/4, Phường 1, thành phố Cao Lãnh, tỉnh Đồng Tháp, Việt Nam
b
Khoa Xây dựng, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh,
số 01 Võ Văn Ngân, Phường Linh Chiểu, TP. Thủ Đức, TP. Hồ Chí Minh, Việt Nam
Nhận ngày 22/02/2021, Sửa xong 05/04/2021, Chấp nhận đăng 15/04/2021

Tóm tắt
Trong nghiên cứu này, phương pháp làm trơn biến dạng kết hợp trên cạnh (ES) và trên nút (NS) phần tử được
phát triển cho phần tử vỏ phẳng tam giác 3 nút MITC3. Phần tử vỏ phẳng MITC3 có biến dạng cắt ngồi mặt
phẳng được xấp xỉ lại nên khơng xảy ra hiện tượng khóa cắt khi phân tích các kết cấu vỏ mỏng. Các biến dạng
hằng số trên miền phần tử vỏ phẳng MITC3 được làm trơn bằng cách trung bình trên miền các phần tử chung
cạnh và chung nút. Phần tử vỏ phẳng đề xuất ES+NS-MITC3 điều chỉnh sự đóng góp của phương pháp làm
trơn biến dạng trên cạnh có khuynh hướng làm tăng độ cứng và phương pháp làm trơn biến dạng trên nút có
tính chất làm giảm độ cứng thơng qua hệ số tỉ lệ β ∈ [0, 1]. Hiệu quả của phần tử vỏ phẳng ES+NS-MITC3
được đánh giá thơng qua phân tích tĩnh một số kết cấu vỏ đồng nhất điển hình. Kết quả so sánh độ võng của
các kết cấu vỏ điển hình khi được tính tốn bằng phần tử ES+NS-MITC3 và một số phần tử vỏ phẳng tam giác
3 nút tương tự cho thấy độ chính xác và hội tụ của phần tử đề xuất được cải thiện.
Từ khoá: phần tử vỏ phẳng; khóa cắt; kỹ thuật MITC3; phương pháp làm trơn biến dạng; phương pháp làm trơn
biến dạng kết hợp.
STATIC ANALYSES OF SHELL STRUCTURES USING FLAT SHELL FINITE ELEMENTS HAVING
COMBINED SMOOTHED STRAINS ES+NS-MITC3
Abstract
In this study, the combination of the edge-based smoothed strain (ES) and the node-based smoothed strain (NS)

methods is developed for the 3-node triangular flat shell finite element MITC3. Using the MITC3 technique to
interpolate the transverse shear strains independently, the flat shell finite element MITC3 overcomes the shear
locking phenomenon when used to analyze thin shell structures. The constant strains on each flat shell finite
element MITC3 are smoothed by averaging on domains of elements having common edges and nodes. The
proposed flat shell finite element ES+NS-MITC3 modifies the contribution of the edge-based smoothed strain
approach, which usually behaves over stiffness, and the node-based smoothed strain approach normally causing
overly soft behaviors by using the scale factor β ∈ [0, 1]. The effectiveness of the ES+NS-MITC3 element is
evaluated by static analyses of several benchmark homogenous shell structures. Comparison between numerical
deflections computed by the ES+NS-MITC3 element and those provided by other similar 3-node triangular flat
shell finite elements shows that the accuracy and convergence of the proposed element are improved.
Keywords: flat shell finite element; shear locking; MITC3 technique; smoothed strain methods; combined
smoothed strain methods.
© 2021 Trường Đại học Xây dựng (NUCE)

∗

Tác giả đại diện. Địa chỉ e-mail: (Thành, C. Đ.)

34


Vũ, Đ. A., Thành, C. Đ. / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng

1. Giới thiệu
Việc phân tích các kết cấu vỏ có tầm quan trọng trong các ngành khoa học kỹ thuật như: xây dựng,
cơ khí, hàng khơng, hàng hải, ô tô, . . . Kết cấu vỏ tuy mỏng, nhẹ nhưng có ưu điểm là chịu tải trọng
tốt, khả năng vượt nhịp lớn và có tính thẩm mỹ cao. Lý thuyết tấm vỏ đồng nhất hiện nay có thể chia
làm 2 loại: lý thuyết tấm vỏ cổ điển của Kirchhoff –Love (CPT) và lý thuyết tấm vỏ biến dạng cắt
bậc nhất của Reissner-Mindlin (FSDT) [1]. Trong đó, lý thuyết tấm vỏ cổ điển bỏ qua biến dạng cắt
ngoài mặt phẳng được áp dụng cho các loại tấm vỏ mỏng. Đối với tấm vỏ dày, biến dạng cắt ngồi

mặt phẳng ln khác khơng nên lý thuyết tấm vỏ biến dạng cắt bậc nhất được sử dụng.
Do các kết cấu vỏ thường có hình dạng, điều kiện biên và chịu tải trọng phức tạp nên các phương
pháp số, phổ biến nhất là phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH), được áp dụng. Khi phân tích
bằng PP PTHH [2] các kết cấu vỏ thường được rời rạc bằng một trong các loại phần tử: phần tử vỏ
khối 3 chiều, phần tử vỏ 3 chiều suy biến hoặc phần tử vỏ phẳng. Trong các loại phần tử này thì phần
tử vỏ phẳng, kết hợp giữa phần tử tấm ứng xử theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và phần tử ứng
suất phẳng, thường được sử dụng rộng rãi vì dễ thiết lập công thức PTHH dựa vào xấp xỉ chuyển vị
tuyến tính dạng C 0 . Tuy nhiên, khi phân tích các kết cấu vỏ mỏng, phần tử vỏ phẳng dạng C 0 thuần
túy không loại bỏ được biến dạng cắt ngoài mặt phẳng và dẫn đến hiện tượng khóa cắt làm cho kết
quả tính tốn khơng chính xác. Do đó, để phân tích kết cấu vỏ dày hoặc mỏng bằng cơng thức PTHH
vỏ phẳng dạng C 0 thì phải khử hiện tượng khóa cắt bằng các kỹ thuật xấp xỉ lại biến dạng cắt ngoài
mặt phẳng như kỹ thuật dạng Mindlin (Mindlin type – MIN) [3], chênh lệch biến dạng cắt rời rạc
(Discrete Shear Gap – DSG) [4], hoặc các thành phần ten-xơ nội suy hỗn hợp (Mixed Interpolation
of Tensorial Components – MITC) [5]. Đối với phần tử vỏ phẳng tam giác 3 nút, với ưu điểm dễ dàng
trong việc chia lưới PTHH các kết cấu vỏ có hình dạng phức tạp, các kỹ thuật khử khóa cắt MIN3
[3] và DSG3 [4] có ma trận độ cứng phụ thuộc vào thứ tự đánh số nút phần tử. Trong khi đó, Lee và
Bathe [6] đã phát triển kỹ thuật khử khóa cắt MITC3 cho phần tử vỏ 3 chiều suy biến dạng tam giác
3 nút có đặc điểm nổi trội là ma trận độ cứng độc lập với thứ tự đánh số nút phần tử. Công thức biến
dạng cắt ngoài mặt phẳng theo kỹ thuật MITC3 đã được Chau-Dinh và cs. [7] thiết lập ở dạng tường
minh chỉ phụ thuộc vào tọa độ nút phần tử.
Trong nổ lực cải thiện khả năng tính tốn của PP PTHH thơng thường, Liu và Nguyen – Thoi [8]
đã phát triển PP PTHH trơn biến dạng bằng cách trung bình các biến dạng bên trong phần tử (cellbased smoothing – CS) hoặc giữa các phần tử chung cạnh (edge-based smoothing – ES) hoặc giữa
các phần tử chung nút (node-based smoothing – NS). PP PTHH trơn đã được phát triển cho các phần
tử vỏ phẳng tam giác 3 nút bằng cách kết hợp các phương pháp làm trơn biến dạng trên phần tử (CS)
và trên cạnh (ES) hoặc trên nút (NS) với các kỹ thuật khử khóa cắt DSG3 hoặc MITC3. Kết quả, các
phần tử vỏ phẳng tam giác 3 nút CS-DSG3, ES-DSG3 và NS-DSG3 đã được xây dựng để phân tích
tĩnh kết cấu vỏ đồng nhất trong các nghiên cứu [9–11]. Tương tự, các phần tử vỏ phẳng ES-MITC3 và
NS-MITC3 cũng đã được đề xuất để phân tích tĩnh kết cấu vỏ đồng nhất [12, 13]. Pham và cs. [14, 15]
nghiên cứu ứng xử tĩnh của các kết cấu vỏ làm bằng vật liệu composite nhiều lớp hoặc vật liệu phân
lớp chức năng bằng phần tử ES-MITC3.

Các kết quả phân tích ứng xử kết cấu bằng PP PTHH trơn cho thấy so với PP PTHH thông thường,
phương pháp làm trơn biến dạng trên cạnh thường làm tăng độ cứng phần tử. Ngược lại, phương pháp
làm trơn biến dạng trên nút lại có khuynh hướng mềm hóa độ cứng phần tử. Vì vậy, với mong muốn
cải thiện độ hội tụ bằng cách tận dụng đặc điểm của cả 2 phương pháp làm trơn biến dạng trên cạnh và
trên nút, phương pháp làm trơn biến dạng kết hợp miền làm trơn trên cạnh và trên nút hay còn gọi là
PP β-PTHH (β-FEM) đã được nghiên cứu. Nhờ hệ số β ∈ [0, 1] tỉ lệ tham gia vào độ cứng phần tử của
phương pháp làm trơn biến dạng trên cạnh và trên nút được hiệu chỉnh. PP β-PTHH đã được phát triển
35


11
12

13

14

15
16
17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

Vũ, Đ. A., Thành, C. Đ. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng

cho các phần tử tấm sử dụng kỹ thuật khử khóa cắt DSG3 [16] hoặc MITC3 [17]. Nguyen-Hoang và
cs. đã áp dụng phương pháp làm trơn biến dạng kết hợp cho phần tử vỏ phẳng DGS3 để phân tích tĩnh
và dao động tự do các kết cấu vỏ đồng nhất theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất [18]. Kết quả nghiên
cứu cho thấy phần tử sử dụng phương pháp làm trơn biến dạng kết hợp có kết quả nằm giữa kết quả
của phần tử chỉ sử dụng một phương pháp làm trơn biến dạng trên cạnh hoặc trên nút.
Dựa trên các kết quả nghiên cứu về các phần tử tấm, vỏ có biến dạng được làm trơn, và từ phần tử
giác
3 nút
[17]
bài báo
này phát triển
công
thức PTHH
vỏ phẳng
tam giác 3
Tạptấm
chhítam
Khoa
học

C ES+NS-MITC3
Cơng
nghệ Xây
X dựng,
NU
UCE
2018
p-ISSN
N 2615-9058;
; e-ISSN
273
34-9489
nút ES+NS-MITC3 để phân tích tĩnh một số kết cấu vỏ đồng nhất điển hình. Phần tử đề xuất sử dụng
phương pháp làm trơn biến dạng trên cạnh kết hợp làm trơn biến dạng trên nút và kỹ thuật khử khóa
cắt MITC3. So với phần tử tấm ES+NS-MITC3 [17], các biến dạng của phần tử đề xuất phải được
kết quả
ả phân tíchh chuyển vị
v tĩnh mộtt số kết cấấu vỏ đồng
g nhất điểnn hình. Cuố
ối cùng,
chiếu trên cùng hệ trục tọa độ được thiết lập cho các phần tử chung cạnh và chung nút trước khi được
Tạp chhí ược
Khoa học Cơng
C kết
Xây
X ph
dựng,
NU
UCE 2018
p-ISSN

N 2615-9058;; e-ISSN 273
34-9489
mộtlàm
số kết
k nghệ
trong
hần
4.
trơnluận
do cácđư
phần tổng
tử trong
kết
cấu vỏ
không
đồng phẳng. Trong phần tiếp theo, các bước thiết lập
công thức PTHH vỏ phẳng ES+NS-MITC3 sẽ được trình bày chi tiết. Ở phần 3, độ hội tụ và chính
2. Cơng
g thức
PT
THH
vỏđược
ph
hẳng
ES+N
NS-MITC3
3 phân tích chuyển vị tĩnh một số kết cấu vỏ
xác
phần
tử

đề xuất
đánhvị
thơng
kết quả
111của kết
quả
ả phân
tíchh chuyển
vgiá
tĩnh
mộttqua
số kết
cấấu vỏ đồng
g nhất điểnn hình. Cuố
ối cùng,
đồng
nhất
điển
hình.
Cuối
cùng,
một
số
kết
luận
được
tổng
kết
trong
phần

4.
112
một sốPT
kết
luậnvỏ
đư
ược
tổng MITC
kết
k trong
phhần 4.hệ
2.1. Cơ
ơng thức
THH
ph
hẳng
C3 trong
ệ tọa độ cục bộ
2. Công
113
thức
PT
THH
hẳng ES+N
Xét
kết
cấugPTHH
vỏ đồng
nhất
n vỏ ph

được
rrời NS-MITC3
rạc bằn
ng 3các phần
n tử tam ggiác 3 nút. Theo lý
2.X
Công
thức
vỏ phẳng
ES+NS-MITC3
114biến2.1.
Côôngcắt
thức
PT
THH
vỏ chuyển
ph
hẳng MITC
trong hệ
hệệ tọa
c bộ bộ oxxyz với mặ
thuyết
bậc
nh
hất,
n vịC3trong
tọađộđộcụcục
ặt phẳng
dạng
2.1. Công thức PTHH vỏ phẳng MITC3 trong hệ tọa độ cục bộ

t trung
phầnnhất
đđượcrrời
xác
oxy trùn
ịnh
115ng với mặt
X
Xét
kết cấubình
vỏhđồng
n tử được
rạcđbằn
ng[1]:
các phần
n tử tam ggiác 3 nút. Theo lý
Xét kết cấu vỏ đồng nhất được rời rạc bằng các phần tử tam giác 3 nút. Theo lý thuyết biến dạng
116 thuyết biến dạng cắt bậc nh
hất, chuyểnn vị trong hệ tọa độ cục bộ oxxyz với mặặt phẳng
cắtu bậc
tọađộ
phần
 unhất,
chuyển
; v  vịv 0trong
 z xhệ
; w
w0cục bộ 0xyz với mặt phẳng 0xy trùng với mặt trung bình (1)
0  z
yng

117 oxy
với mặtt trung
bình
h phần
tử đđược xác định [1]:
trùn
tử được xác định [1]:
=zux0; −wnzθ
v = v0 +
zθ x ; phươ
w ơng
= w0 x, y, z ; u0, v0, w0 (1)
(1)
 zlượt
v 0uchuyển
 yvị
w; 0 thẳng
trong118
đđó, u , v ,u w u 0lần
là các
theo
y ; v  là

trong
u, v, w
lầnu ,lượt
là tr
chuyển
vịlàthẳng
x, y, phươ

z;làu0các
, v0 , x,
w0y,làzxo
các
vị
thẳng
của
mặt
chuyển
n vịđótrong
thẳng
ung
bình
vvà theo
nx,vịphương
lầần lượt
góc
trung
đđó,của
lần
lượt
chuyển
ơng
;oay
u0,chuyển
vcủa
làặt
các
119
theo

v, w
ythẳng
0, w0m
mặt trung bình và θ x , θy lần lượt là các góc xoay của mặt trung bình quanh trục x và y với chiều dương
mặt trdương
chuyển
ung bình
x, như
lượt là1.
120
bìnhqui
quuanh
trụcnxvịvàthẳng
y vớicủachiều
g quivvàước
ny lầầnHình
1các góc xooay của mặt trung
ước như Hình 1.
121

bình quuanh trục x và y với chiều dươngg qui ước như
n Hình 1.
1

Hình 11. Phần tử vỏ
v phẳng tam giác 3 nnút và các

Hình 2. Tọa độ cácc điểm buộ
ộc trong

2. Tọa độ các điểm buộc trong hệ tọa độ tự
Hình 1.thành
Phầnp
tử vỏ chuyể
phẳngểntam
giác 3chiều
cácng qui ước
theo
c nút3 và
dươn
đ tự độ
nhiên
n crstđiểm
theo kỹ
kbuộ
thuật
hệ
tọa
Tọa
các
Hình
11. Phần
tửphần
v phẳng
vỏ
tvịam
giác
nnút
Hình
2. độ

ộc trong
và các Hình
nhiên rst theo kỹ thuật khử khóa cắt MITC3 [6]
thành phần chuyển vị theo chiều dương qui ước trong
trong
h
hệ
tọa
độ
cụ
ục
bộ
oxyz
z
kh
hử
khóa
cắt
t
MITC3
[
6]
thành pphần chuyể
c 0xyz dươnng qui ước hệ tọa độ
đ tự nhiênn rst theo kỹ
k thuật
hệển
tọavị
độtheo
cục bộchiều

trongTừừhệ
h chuyển
tọa độvịcụ
ục
bộ oxyz
hử
khóa cắt
t MITC3
biến dạng
ở công
thứcz (1), biến dạng
g trong kh
mặ
ặt phẳng
 và
d [6]cắt
122

vị ởphẳng
cơng thức
(1), hbiến
trong
vàg:biến dạng cắt ngồi mặt phẳng ε s
ệ tọadạng
độ cụ
123Từ chuyển
ngồi m
mặt
ục bộ mặt
phầnphẳng

tử có εdạng
ε s trong
Từ
ừ chuyển vị ở công
thức (1), biến dạng
g trong mặặt phẳng  và biến dạng
d
cắt
trong hệ tọa độ cục bộ phầnTtử có dạng:
T
(2)
 u , x độ
  ε m tửz εcó
ngồi124
m
mặt phẳng
bộ
dạng
g:
ε  εs x trong
 y  xxy hệtọa
v, y cụ
u ,ục
y  v
, x  phần
b
T
T
ε = ε x εyT γ xy = u,x v,y u,y + v,x =T εm + zεb
(2)

T
T
với
125
(3)







ε

u
v
u
+
v
ε





;
m
0,
x
0,

y
0
,
y
0,
x
b
y
,
x
x
,
y
y
,
y
x
,
x
(2)




ε    x  y  xxy    u , x v, y u , y  v, x    ε m  z ε b

36
T
T
126

(4)
ε      T  u  w v  w 
T
với ε m   u 0, x v0, sy u0 , yxz+ vyz0,x  ; ε, z b  ,x , z y , x ,y x , y   y , y   x , x 
(3)
127
Trrong bài bááo này, dấu
u phẩy dướới “,” được dùng cho ký hiệu đạạo hàm.
T
T
(4)
ε       u  w v  w 


Vũ, Đ. A., Thành, C. Đ. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng

với
εm = u0,x v0,y u0,y + v0,x

T

ε s = γ xz γyz

T

εb = −θy,x θ x,y − θy,y + θ x,x

;

= u,z + w,x v,z + w,y

T

(3)

T

(4)

Trong bài báo này, dấu phẩy dưới ı,  được dùng cho ký hiệu đạo hàm.
Các thành phần chuyển vị cục bộ u0 , v0 , w0 , θ x , θy trên mặt trung bình của phần tử được xấp xỉ như
sau [19]:
3

u0 =

(5)

NI uI
I=1

T

T

trong đó, u0 = u0 v0 w0 θ x θy ; uI = u0I v0I w0I θ xI θyI là chuyển vị cục bộ của nút I có
chiều dương qui ước ở Hình 1; và NI là các hàm dạng tuyến tính dạng C 0 được xác định trong hệ tọa
độ tự nhiên rst:
N1 = 1 − r − s; N2 = r; N3 = s
(6)

Từ xấp xỉ chuyển vị cục bộ trên mặt trung bình ở cơng thức (5), các biến dạng màng εm , biến dạng
uốn εb và biến dạng cắt ngoài mặt phẳng ε s ở các công thức (3) và (4) được xác định:
3

εm =

3

εb =

BmI uI ;
I=1

(7)

BbI uI
I=1

3

εs =

(8)

B sI uI
I=1

với BmI , BbI , B sI là các ma trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị nút phần tử có dạng





0 0 0 0 
 0 0 0 0 −NI,x 
 NI,x




0 
BmI =  0 NI,y 0 0 0  ; BbI =  0 0 0 NI,y




0 0 0 NI,x −NI,y
NI,y NI,x 0 0 0
B sI =

(9)

0 0 NI,x 0 −NI
0 0 NI,y NI
0

(10)

Gọi (x1 , y1 ) , (x2 , y2 ) và (x3 , y3 ) lần lượt là tọa độ nút 1, 2, 3 của phần tử trong hệ tọa độ cục bộ
0xyz như Hình 1 và định nghĩa a = (x2 − x1 ) , b = (y2 − y1 ) , c = (y3 − y1 ) , d = (x3 − x1 ) , Ae là diện
tích của phần tử. Đạo hàm của các hàm dạng NI theo các biến x, y có thể được biểu diễn ở dạng tường

minh chỉ phụ thuộc tọa độ nút phần tử như sau:
N1,x =

b−c
;
2Ae

N1,y =

d−a
;
2Ae

N2,x =

c
;
2Ae

N2,y =

−d
;
2Ae

N3,x =

−b
;
2Ae

N3,y =

a
2Ae

(11)

Biến dạng cắt ngoài mặt phẳng ε s được tính trực tiếp từ xấp xỉ chuyển vị ở công thức (8) sẽ không
tiến về 0 khi phân tích kết cấu vỏ có chiều dày mỏng dần. Kết quả phần tử vỏ phẳng tam giác 3 nút sẽ
bị hiện tượng khóa cắt khi được sử dụng để phân tích kết cấu vỏ mỏng. Để khắc phục hiện tượng khóa
cắt Lee và Bathe [6] đã phát triển kỹ thuật khử “khóa cắt” MITC3 bằng cách xấp xỉ lại các biến dạng
cắt ngoài mặt phẳng bằng hàm mới thông qua những điểm buộc trong hệ tọa độ tự nhiên như sau:
ε˜ rt = ε(1)
rt + cs;

ε˜ st = ε(2)
st − cr

(1)
(3)
(3)
với c = ε(2)
st − εrt − ε st + εrt

37

(12)

Vũ, Đ. A., Thành, C. Đ. / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng
(2) (3) (3)
trong đó, ε(1)
rt , ε st , εrt , ε st lần lượt là giá trị của biến dạng cắt ngồi mặt phẳng tính theo công thức
(8) tại các điểm buộc (1), (2), (3) có tọa độ như Hình 2.

e˜ rt = e(1)
rt + cs;

e˜ st = e(2)
st − cr

(13)

(1)
(3)
(3)
trong đó c = e(2)
st − ert − e st + ert .
Dùng công thức biến đổi biến dạng từ hệ tọa độ tự nhiên rst sang hệ tọa độ cục bộ xyz và sử dụng
1 điểm Gauss để tính tốn, biến dạng cắt ngồi mặt phẳng xấp xỉ theo kỹ thuật MITC3 được biểu diễn
lại theo chuyển vị nút phần tử như sau:
3

ε MITC3
s

=

B MITC3

uI
sI

(14)

I=1

trong đó
1
2Ae
1
=
2Ae
1
=
2Ae

B MITC3
=
s1
B MITC3
s2
B MITC3
s3

(b − c) (b + c)/6
0 0 b−c
Ae + (d − a) (b + c)/6
0 0 d − a −Ae − (b − c) (a + d)/6
− (d − a) (a + d)/6

0 0 c −bc/2 + c (b + c)/6 ac/2 − d (b + c)/6
0 0 −d bd/2 − c (a + d)/6 −ad/2 + d (a + d)/6
0 0 −b bc/2 − b (b + c)/6 −bd/2 + a (b + c)/6
0 0 a −ac/2 + b (a + d)/6 ad/2 − a (a + d)/6

(15)

Thế các công thức (7) và (14) vào phương trình cơng ảo, ma trận độ cứng của phần tử vỏ phẳng
MITC3 trong hệ trục tọa độ cục bộ được xác định:
T

T
e
T
e
MITC3
Ke,loc
D s B MITC3
Ae
sJ
I J = BmI Dm BmJ A + BbI Db BbJ A + B sI

(16)

trong đó

 1 ν
Eh  ν 1
Dm =


1 − ν2 
0 0


0 

0  ; D =
b
1 − v 
12
2 3
kh
E
Ds = 2
2
(1
2
+ ν)
h + αhe

Eh3
1 − v2


 1 v
 v 1


0 0

0
0
1−v
2




 ;


(17)

1 0
0 1

với E, ν lần lượt là mô-đun đàn hồi và hệ số Poisson của vật liệu, h là chiều dày của vỏ, k = 5/6, he là
chiều dài lớn nhất của cạnh phần tử và α = 0, 1 là hệ số ổn định [20].
2.2. Công thức PTHH vỏ phẳng MITC3 trong hệ tọa độ toàn cục
Gọi U I = [U I VI WI θXI θY I θZI ]T là chuyển vị của nút I trong hệ tọa độ toàn cục 0XYZ. Quan
hệ giữa chuyển vị nút uI trong hệ trục tọa độ cục bộ 0xyz và chuyển vị nút UI trong hệ trục tọa độ
toàn cục 0XYZ cho bởi:
uI = TUI
(18)
trong đó






T = 




n xX n xY
nyX nyY
nzX nzY
0
0
0
0
0
0

n xZ 0
0
nyX 0
0
nzZ 0
0
0 n xX n xY
0 nyX nyY
0 nzX nzY
38

0
0
0
n xZ

nyZ
nzZ












(19)


Vũ, Đ. A., Thành, C. Đ. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng

với (n xX , n xY , n xZ ) , nyX , nyY , nyZ , (nzX , nzY , nzZ ) lần lượt là cosin chỉ phương của trục x, y, z trong hệ
trục tọa độ toàn cục 0XYZ.
Thế (18) vào (7) và (14), quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị nút phần tử trong hệ trục tọa độ
toàn cục được xác định:
3

εm =

3

BmI TUI ;

I=1

εb =

3

BbI TUI ;

ε MITC3
=
s

I=1

B MITC3
TUI
sI

(20)

I=1

Kết quả, ma trận độ cứng của phần tử vỏ phẳng MITC3 trong hệ trục tọa độ tồn cục có dạng:
KeIJ = TT Ke,loc
IJ T

(21)

Công thức (16) cho thấy thành phần của ma trận độ cứng phần tử vỏ phẳng MITC3 trong hệ tọa
độ cục bộ liên quan bậc tự do θzI bằng 0. Vì vậy, trong ma trận độ cứng kết cấu, thành phần liên quan

đến bậc tự do θzI tại các nút kết nối giữa các phần tử đồng phẳng sẽ bằng 0, tức là ma trận độ cứng kết
cấu bị suy biến. Để khắc phục hiện tượng này, tại vị trí liên quan bậc tự do θzI , một giá trị bằng 10−3
lần giá trị lớn nhất của các thành phần trên đường chéo chính của ma trận độ cứng phần tử được thêm
vào [20].
2.3. Công thức PTHH vỏ phẳng ES+NS-MITC3
Các ma trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị nút của phần tử vỏ phẳng MITC3 cho bởi các
Tạp(15)
chhí Khoa
học Cơng
C số nghệ
Xmiền
dựng,phần
NU
UCEtử2018
p-ISSN
N 2615-9058;
e-ISSN
34-9489
cơng thức (9) và
là hằng
trênXây
vì chỉ phụ
thuộc
vào ;tọa
độ 273
nút
phần tử. Kết quả,
trường biến dạng giữa các phần tử vỏ phẳng MITC3 không liên tục. Để giảm sự chênh lệch biến dạng
k
này, biến

của
các phần
tử thấy,
đượcphhương
làm trơn
các dạng
phầntrên
tử chung
ΩđkES hoặc
202dạng
quả
nghhiên
cứu chho
phápptrên
làmmiền
trơn biến
miềnn cạnh
bởi chung nút
ES xác định
k
k
ΩNS . Các
kết quả nghiên cứu
cho thấy, phương pháp làm
trơn biến dạng trên miềnc ΩEScóxác định bởi
203 các đoạạn thẳng nối
n 2 nút của 1 cạnnh với trọn
ng tâm củaa 2 phần ttử chung cạnh
các đoạn
thẳng

nối
2
nút
của
1
cạnh
với
trọng
tâm
của
2
tử chung
cạnh
khuynh
204 khuynh
h hướng lààm tăng độ
ộ cứng. Nggược lại, phương
p phầnph
háp
làmk trơơn
biếncódạạng
trên hướng làm
tăng độ205
cứng.miền
Ngược
lại, phương pháp làm trơn biến dạng
trên miền ΩNS trọng
giới hạn
bởi các đoạn thẳng
g điểm cácc cạnh với

tâm của các
kNS giới hạạn bởi các đoạn thẳngg nối trung
nối trung điểm các cạnh với trọng tâm của các phần tử chung nút sẽ làm mềm độ cứng. Vì vậy, trong
206 phần tử
ử chung núút sẽ làm mềm
m
độ cứ
ứng. Vì vậy
y, trong ng
ghiên cứu nnày các biếến dạng
nghiên cứu này các biến dạng được làm trơn trên miền kết hợp gồm phần bao quanh nút để tạo thành
207 được lààm trơnktrêên miền kế
ết hợp gồm
m phần bao quanh nútt để tạo thàành miền làm trơn
ˆ
miền làm trơn trên nút
Ω
NS và phần còn lại chung cạnh giữa 2 phần tử là miền làm trơn trên cạnh
ˆ k và
208
trên
nú
út
p
phần
còn lại
l chung ccạnh giữa 2 phần tử là miền lààm trơn trên cạnh

k
NS

¯ [18] như Hình 3.
Ω
ES
209

8] như Hình 3.
kES [18

 Nút
N của phầần tử,  Trọ
ọng tâm củ
ủa phần tử

Hình 3. Miền làm trơn biến dạng kết hợp trên cạnh (ES) và trên nút (NS) của kết cấu vỏ
H
Hình 3. Miề
ền làm
trơn
nbằng
biến các
dạnggphần
kết hợp
t phẳng
cạnhtam
(E
ES)giác
và trên
nút (NS) của kết
được
rời rạc

tử vỏtrên
3 nnút
cấu vỏ
v được rờ
ời rạc bằng các phần tử
t vỏ phẳng
g tam giác 3 nút
210

Đ
Để điều chỉnh tỉ lệ giữ
ữa 2 miền làm trơn, hệ số hiệu
u chỉnh    0,1 đư
ược định

211

k
ˆ k và
nghĩa nnhằm xác định
đ
tỉ lệ chiều dài trrên cạnh ph
hần tử tham
m gia vào m
miền 
NS v  ES .

212

Nghĩa llà,   0 tương

t
ứng với miền llàm trơn trrên cạnh bằằng 0 và trrở thành miền
m làm

213

trơn trêên nút hoànn toàn;   1 tương ứng với miền
m
làm trơ
ơn trên cạnnh hoàn to
oàn. Khi

39


Vũ, Đ. A., Thành, C. Đ. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng

Để điều chỉnh tỉ lệ giữa 2 miền làm trơn, hệ số hiệu chỉnh β ∈ [0, 1] được định nghĩa nhằm xác
ˆ k và Ω
¯ k . Nghĩa là, β = 0 tương ứng với
định tỉ lệ chiều dài trên cạnh phần tử tham gia vào miền Ω
NS
ES
miền làm trơn trên cạnh bằng 0 và trở thành miền làm trơn trên nút hoàn toàn; β = 1 tương ứng với
ˆ k có diện tích
miền làm trơn trên cạnh hồn tồn. Khi đó, miền Ω
NS
Aˆ kNS = (1 − β2 )AkNS
¯ k có diện tích:
và miền Ω

ES
với

AkNS

(22)

A¯ kES = β2 AkES

(23)
ΩkNS

AkES

ΩkES .

và
lần lượt là diện tích của miền làm trơn thuần túy trên nút
và trên cạnh
k
¯
Do miền làm trơn ΩES của cạnh k gồm 2 phần tử vỏ phẳng không đồng phẳng nên các biến dạng
được định nghĩa trong hệ trục tọa độ cục bộ oxyz của mỗi phần tử được biến đổi thành các biến dạng
trong hệ trục tọa độ cục bộ o˜ x˜y˜ z˜ chung của 2 phần tử trước khi áp dụng phương pháp làm trơn. Hệ trục
tọa độ cục bộ o˜ x˜y˜ z˜ được định nghĩa bởi trục o˜ x˜ trùng với cạnh chung, trục o˜
˜ z có véc-tơ chỉ phương là
tổng các véc-tơ pháp tuyến của 2 phần tử chung cạnh và trục o˜
˜ y tạo với trục o˜ x˜, o˜
˜ z thành 1 tam diện
ˆ k của

thuận. Tương tự, một hệ trục tọa độ cục bộ o x y z chung cho các phần tử trong miền làm trơn Ω
NS
nút k được thiết lập có trục o x theo phương cạnh của phần tử đầu tiên, trục o z có véc-tơ chỉ phương
¯ k và trục o y tạo với trục o x và trục o z
là tổng các véc-tơ pháp tuyến của các phần tử trong miền Ω
NS
thành một tam diện thuận.
Các biến dạng của phần tử vỏ phẳng MITC3 trong hệ tọa độ cục bộ oxyz được chuyển sang hệ tọa
độ toàn cục 0XYZ và cuối cùng chuyển sang hệ trục tọa độ cục bộ o˜ x˜y˜ z˜, o x y z của các miền làm trơn
¯k ,Ω
ˆ k như sau [10, 19]:
Ω
ES
NS
˜ m1 Rm2 εm ;
ε˜ m = R

˜ b1 Rb2 εb ;
ε˜ b = R

˜ s1 R s2 ε MITC3
ε˜ MITC3
=R
s
s

εm = Rm1 Rm2 εm ;

εb = Rb1 Rb2 εb ;

εs

MITC3

(24)

= R s1 R s2 ε MITC3
s

(25)

trong đó, các ma trận chuyển hệ tọa độ được xác định bởi
˜ m1 = R
˜ b1
R

Rm1




= 


n2x˜ X
n2y˜ X
2n x˜ X ny˜ X

n2x˜Y
n2y˜Y

2n x˜Y ny˜Y

n2x˜Z
n2y˜Z
2n x˜Z ny˜Z

n x˜ X n x˜Y
ny˜ X ny˜Y
n x˜ X ny˜Y + ny˜ X n x˜Y

n x˜Y n x˜Z
ny˜Y ny˜Z
n x˜Z ny˜Y + ny˜Z n x˜Y

n x˜ X n x˜Z
ny˜ X ny˜Z
n x˜ X ny˜Z + ny˜ X n x˜Z

n x˜ X nz˜Z + nz˜X n x˜Z 

ny˜ X nz˜Z + nz˜X ny˜Z



˜ s1 =  2n x˜ X nz˜X 2n x˜Y nz˜Y 2n x˜Z nz˜Z n x˜ X nz˜Y + nz˜X n x˜Y n x˜Z nz˜Y + nz˜Z n x˜Y
R
2ny˜ X nz˜X 2ny˜Y nz˜Y 2ny˜Z nz˜Z ny˜ X nz˜Y + nz˜X ny˜Y ny˜Z nz˜Y + nz˜Z ny˜Y


n2

n2
n2
n x X n xY
n xY n xZ
xX
xY
xZ

2
2
2

n
n
n
nyXnyY
nyYnyZ
= Rb1 = 
yX
yY
yZ

2n x X n y X 2n xY n y Y 2n xZ n y Z n x X n y Y + n y X n xY n xZ n y Y + n y Z n xY







(26)

(27)

n x X n xZ
nyXnyZ
n x X n y Z + n y X n xZ








(28)

 2n n
xX z X
R s1 = 
2n y X n z X

2n xY n z Y
2n y Y n z Y

2n xZ n z Z
2n y Z n z Z

Rm2 = Rb2

n x X n z Y + n z X n xY
nyXnz Y + nz XnyY


 n2xX

2
 n xY

n2xZ
= 
 2n xX n xY

 2n xY n xZ
2n xX n xZ

n2yX
n2yY
n2yZ
2nyX nyY
2nyY nyZ
2nyX nyZ
40

n xZ n z Y + n z Z n xY
nyZnzY + nzZnyY

n xX nyX
n xY nyY
n xZ nyZ

n xX nyY + n xY nyX
n xY nyZ + n xZ nyY
n xX nyZ + n xZ nyX

n x X n z Z + n z X n xZ
nyXnz Z + nz XnyZ
















(29)

(30)


Vũ, Đ. A., Thành, C. Đ. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng

R s2


n xX nzX
nyX nzX


n
n
nyY nzY
xY zY


n xZ nzZ
nyZ nzZ
= 
 n xX nzY + n xY nzX nyX nzY + nyY nzX

 n xZ nzY + n xY nzZ nyZ nzY + nyY nzZ
n xX nzZ + n xZ nzX nyX nzZ + nyZ nzX












(31)

với (n x˜ X , n x˜Y , n x˜Z ) , ny˜ X , ny˜Y , ny˜Z , (nz˜X , nz˜Y , nz˜Z ) , n x X , n x Y , n x Z , n y X , n y Y , n y Z , n z X , n z Y , n z Z lần
lượt là cosin chỉ phương của trục x˜, y˜ , z˜, x, y, z trong hệ trục tọa độ toàn cục 0XYZ.
Theo PP PTHH trơn [8], các biến dạng của phần tử vỏ phẳng MITC3 được làm trơn trên miền
¯ k và Ω
ˆ k như sau:
Ω
ES
NS
ε¯ km =

εˆ km =

1
¯
AkES

ε˜ m dΩ;

ε¯ kb =

¯k
Ω
ES

1
Aˆ k

εm dΩ;

εˆ kb =

NS ˆ k
ΩNS

1
¯
AkES

ε˜ b dΩ;

ε¯ ks =

¯k
Ω
ES

1
Aˆ k

εb dΩ;

εˆ ks =

NS ˆ k
ΩNS

1

¯
AkES

ε˜ MITC3
dΩ
s

(32)

¯k
Ω
ES

1
Aˆ k

MITC3

εs

dΩ

(33)

NS ˆ k
ΩNS

Thế các biến dạng cho bởi các công thức (7), (14), (24) và (25) vào các biến dạng trơn ở các công
thức (32) và (33), ta được
k

NES

Ae
β2
3
e=1

1
ε¯ km =
2
β AkES
1
ε¯ kb = k
AES
εˆ km

k
NES

e=1

1
=
1 − β2 AkNS

εˆ kb =

1
AkNS

k
trong đó NES
¯ k và Ω
ˆk .
Ω
ES
NS

k
NNS

e=1

và

Ae
3

k
NNS

Ae
3

3

˜ m1 Re Be ue = 1
R
m2 mI I
AkES

I=1

3

˜ b1 Re Be ue ;
R
b2 bI I
I=1

k
NNS

1−β
e=1

2

Ae
3

3

Rm1 Rem2 BemI ueI
I=1

3

Rb1 Reb2 BebI ueI ;
I=1

1
ε¯ ks = k
AES

εˆ ks =

1
AkNS

k
NNS

e=1

k
NES

e=1
k
NES

e=1

Ae
3
Ae
3

1
= k

ANS

Ae
3

3

˜ m1 Re Be ue ;
R
m2 mI I
I=1

(34)

3

˜ s1 Re B MITC3,e ue
R
I
s2 sI
I=1

k
NNS

e=1

Ae
3

3

Rm1 Rem2 BemI ueI ;
I=1

(35)

3

R s1 Res2 B MITC3,e
ueI
sI
I=1

lần lượt là số phần tử chung cạnh và chung nút của miền làm trơn biến dạng

Từ các quan hệ cho bởi các công thức (34) và (35), ma trận độ cứng của phần tử vỏ phẳng MITC3
có các biến dạng được làm trơn trên miền kết hợp cạnh (ES) và nút (NS), tức là độ cứng phần tử vỏ
phẳng ES+NS-MITC3, trong hệ tọa độ tồn cục 0XYZ có dạng:
,loc
,loc
+NS
KIES
= TT KES
+ KNS
T
J
IJ
IJ

(36)

,loc
¯ TmI Dm B¯ mJ + B¯ T Db B¯ bJ + B¯ MITC3 T D s B
¯ MITC3 β2 Ak
KIES
= B
ES
sI
sJ
bI
J

(37)

trong đó

,loc
ˆ MITC3
ˆ TmI Dm B
ˆ mJ + B
ˆ T Db B
ˆ bJ + B
ˆ MITC3 T D s B
KNS
= B
sI
sJ
bI
IJ

41

1 − β2 AkNS

(38)


262

với
B mI

263

1
 k
AES

k
N EES

Ae 
1
R m1 R em 2 B emI ; B bI  k
3
AES


e 1

k
N ES

Vũ, Đ. A., Thành, C.
Đ. / Tạp1chí
MITC 3

B sI

với
¯ mI
B

1
= k
A
264ES

k
NES

e=1

1
B¯ MITC3
= k
sI
AES




e 1

Ae 
R b1 R be 2 B bIeb ;
3

Khoaehọc



k
ESS e 1

A

k
N ES

nghệ Xây dựng
A  Công
R s1R es 2 B sIMITC 3, e
3
Nk

Ae ˜
1 ES Ae ˜ 1e N e A e 
e 1 e N A ¯e 

e
e
e
Rˆ m1 R B ; BbI
R m=1 R mk2 B emI ; Bˆ3bI Rb1 Rkb2 B
bI ; R b1 R b 2 B bI ;

3 B mI  m2A k mI
A
3
A
3
ES e=1
e 1
e 1
k
N
NS

NS

k
NES

e=1

NS

k
N NS

1
A 
e
MITC 3, e
BˆA R
MITC3,e R s1R s 2 B sI
˜ s1ReAB
k 
s2 NSSsIe 1 3
3
e 3
MITC
sI

k
NS

e

(39)

k
265 3. Các ví dụ số
NNS
e
A
Ae
1
1

e
e
e
e
ˆ mI =
ˆ bI =
B
R
R
B
;
B
;
m1
m2 mI
266
Để đánh
giáá hiệu quả
phần
nRb1tửRb2
vỏBbIph
hẳng
đề xu
uất, trong pphần n
3
AkNS e=1 3 Đ
AảkNScủa
e=1
267
chuyển

n vị của phhần tử ES+
+NS-MITC
C3 sẽ được so sánh với
v (40)
phần tửử ES-M
k
NNS
e
1
A
ES+NS-D
DSG3 [18] và lời giảii tham khảảo khi phânn tích t
268= NS-MIITC3
ˆ MITC3
B
R s1[13],
Res2 B MITC3,e
sI
sI
k
3
A
kếte=1
cấuu vỏ điển hìình. Dựa trrên kết quảả so sánh chuyển vị cho bởi phầần tử đề
269 NS
k
NNS

270

3. Các ví dụ số

271

thay đổổi từ 0 đến 1 với lời giải
g tham kkhảo, hệ số hiệu chỉnh
h tỉ lệ tham
m gia củ
trơn trêên cạnh vàà trên nút của
c phần ttử vỏ phẳn
ng ES+NS--MITC3 đưược chọ

cho tất
cả phẳng
các ví đề
d xuất, trong phần này kết quả chuyển vị của phần
dụ.
272của phần
Để đánh giá hiệu quả
tử vỏ
tử ES+NS-MITC3 sẽ được
tử ES-MITC3
[12],
NS-MITC3
[13],
ES+NS-DSG3
[18]
hyperboli
oid chịu
tảii trọng

bản
n thân
3.1. với
Vỏỏ phần
c parabolo
273so sánh
và lời giải tham khảo khi phân tích tĩnh một số kết cấu vỏ điển hình. Dựa trên kết quả so sánh chuyển
Kết
ỏ1 với
dạng
hyperbolic
h tham khảo,paraboloi
id chỉnh
[21] tỉclệ
ó tham
phươngg trình
274khi β thay K
vị cho bởi phần tử đề xuất
đổi từcấu
0 đếnvỏ
lời giải
hệ số hiệu
2 nút 2của phần tử vỏ phẳng ES+NS-MITC3 được chọn β = 0,9
gia của miền làm trơn trên
cạnh
và
trên
Z  X  Y , X   0,5;0,5
5 m và Y   0,5;0,,5 m, liên
n kết một đầu ng

275
cho tất cả các ví dụ.
ợng bản thhân q = 80
000 N/m3 theo phươnng Z n
276 đầu tự do, và chịu trọng lượ
3.1. Vỏ hyperbolic paraboloid
chịucótảicchiều
trọngdày
bản hthân
= 0,001 m, và các đđặc trưng vật
v liệu E  2  1011 N
N/m 2 , 
277 Vỏ

Kết cấu vỏ dạng hyperbolic paraboloid [21]
có phương trình hình học Z = X 2 − Y 2 , X ∈
[−0,5; 0,5] m và Y ∈ [−0,5; 0,5] m, liên kết một
đầu ngàm và một đầu tự do, và chịu trọng lượng
bản thân q = 8000 N/m3 theo phương Z như
Hình 4. Vỏ có chiều dày h = 0,001 m, và các đặc
trưng vật liệu E = 2 × 1011 N/m2 , ν = 0,3.
Vỏ được mơ hình bằng các lưới NX × NY × 2
với NX = NY = 8, 12, 16, 20 và 24 là số phần tử
Hình
4 Hình học
c và4.điều
kiện
biên
ủa
hype

erbolic
paraaboloid
trên các cạnh theo phương X và phương Y. Với
các4.
Hình
Hìnhk
học và
điềucủ
kiệnvỏ
biên
của
vỏ
hyperbolic paraboloid
lưới phần tử NX = NY = 16, 20 và 24, chuyển vị
thẳng tại điểm C của vỏ hyperbolic paraboloid cho
11
bởi phần tử vỏ phẳng ES+NS-MITC3 với các giá trị của hệ số tỉ lệ β thay đổi từ 0 đến 1 được thể hiện
trong Hình 5. So với kết quả tham khảo 0,0064 m [21], Hình 5 cho thấy với hệ số tỉ lệ β từ 0,7 đến
0,9 phần tử đề xuất cho kết quả tốt nhất cho cả 3 loại lưới khảo sát NX = NY = 16, 20 và 24. Khảo sát
tương tự với hệ số tỉ lệ β từ 0,7 đến 0,9 cho các ví dụ khác trong nghiên cứu này cho thấy với hệ số tỉ
lệ β = 0,9 phần tử vỏ phẳng ES+NS-MITC3 cho các kết quả gần với các lời giải tham khảo nhất. Vì
vậy, hệ số tỉ lệ β = 0,9 được chọn để tính tốn chuyển vị bằng phần tử đề xuất cho các ví dụ số trong
bài báo.
Kết quả chuyển vị theo phương Z tại điểm C (X = 0,5 m; Y = 0 m) tính bằng phần tử ES+NSMITC3, các phần tử khác và lời giải tham khảo [21] được trình bày trong Bảng 1.
42


284

lưới khhảo sát N X  NY = 16

6, 20 và 244. Khảo sáát tương tự với hệ số tỉ lệ  từ 0,7 đến

285

0,9 choo các ví dụụ khác trong nghiên ccứu này ch
ho thấy với hệ số tỉ lệệ  = 0,9 phần tử

286
287

vỏ phẳnng ES+NS
S-MITC3 ch
ho các kết quả gần với
v các lời giải
g tham kkhảo nhất. Vì vậy,
hệ số tỉỉ lệ  = 0,9 được ch
họn để tínhh tốn chuy
yển vị bằng
g phần tử đđề xuất cho
o các ví

288

dụ số trrong bài Vũ,
bááo.Đ. A., Thành, C. Đ. / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng

Hình 5. Chuyển vị thẳng (m
m) tại điểm
m C của vỏ
ỏ hyperbolic parabolooid được xáác định

Hình 5. Chuyển vị thẳng (m) tại điểm C của vỏ hyperbolic paraboloid được xác định bằng các lưới
các24
lưới
NXtử= vỏ
NYphẳng
= 8, 1ES+NS-MITC3
6, 24 phần
n tử vỏvàphẳn
NX = NY bằng
= 8, 16,
phần
hệng
số ES+NS
tỉ lệ β S-MITC3
thay đổi từ 0 đến 1

vàà hệ số tỉ lệệ  thay đổi
đ từ 0 đến
n1

297

289
Kết quả
qtử vỏ
chuyển
n vịMITC3
thẳng (m)
tạilàm

điểểm
C của
lic parabol
ỏ hyperbol
Bảảng
Bảng 1 cho
thấy1.phần
phẳng
được
trơn
trênvnút
(NS-MITC3)
chooid
kết quả chuyển
vị lớn hơn làm trơn trên cạnh (ES-MITC3). Phần
tử
MITC3
làm
trơn
kết
hợp
(ES+NS-MITC3)
có
Kết
Lưới phần
n tử
%
quả
chuyển vị nằm
giữa giá trị tính bởi phần tử ES-MITC3 và NS-MITC3, và gần vớisaikết quả

của phần tử
Loại phần tử
tham
Tạp
ch
hí
Khoa
học
C
Cơng
nghệ
Xây
X
dựng,
NU
UCE
2018
p-ISSN
N
2615-9058;
;
e-ISSN
273
34-9489
Tạp chhíTạp
Khoa
học
C
Cơng
nghệ

Xây
X
dựng,
NU
UCE
2018
p-ISSN
N
2615-9058;
;
e-ISSN
273
34-9489
ES-MITC3
do
hệ
số
hiệu
chỉnh
β
=
0,9.
Khi
lưới
phần
tử
mịn
dần
thì
phần

tử
ES+NS-MITC3
16162
20202
2 2615-9058;
24242
chhí Khoa học Cơng
C 882
nghệ Xây
X 12122
dựng, NU
UCE
2018
p-ISSN
N
; e-ISSN
số 27334-9489 cho kết
khảo
quả hội tụ đến lời giải tham khảo với độ chính xác hơn phần tử cùng loại sử dụng kỹ thuật khử khóa
S-DSG3
0,0075
0,007
0,0068
0,0068
0,00677 4,69
cắt DSG3ES+NS
(ES+NS-DSG3).
K
Kết
quả

chu
uyển
vị phương
the
g Zđiể
tại
C
X

Ym
0tín
m bằng
tín
nh bằng

K
Kết quả
chu
uyểnchu
vị
the
eo
phương
g eo
Z phương
tại
điểểm
Cểm
X điể
ểm

0,5
m;
Y
 0,5
0Ymm;
nh

290 290
K
Kết
quả
uyển
vị
the
eo
g
Z
tại
C
X

0,5
m;
 0tín
nh

 bằng
ES-MIITC3
0,0064
0,0063

0,0063
0,0063
0,0063
3
1,56
Bảng 1. Kết quả chuyển vị thẳng (m) tại điểm C của vỏ hyperbolic paraboloid0,0064
phần
tử
ử ES+NS-M
cáác
phần
tử
và
lờ
ờitham
giải
tham
m được
khảo
21] bày
được trrình bày
phần291
tử
ử ES+NS-M
MITC3,
cáácMITC3,
phần tử
khác
lờ
ờikhác

giải
m
khảo
[221]
tr[2
rình
291
phần
tử
ử ITC3
ES+NS-M
MITC3,
phần
tử và
khác
và
lờ
ờitham
giải
m khảo
[2
NS-MI
0,0083cáác 0,0074
0,0071
0,0069
0,0068
821] được
6,25 trrình bày
Bảng
trong292

B
Bảng
1.
292
trongtrong
B
BảngB
1. 1.
Lưới0,0064
phần tử 0,0063
Kết quả
ES+NS
S-MITC3
0,0066 0,0064
0,00633 1,56%
Loại
phần
tử
293
B
thấy
phần
n
tử
vỏ
phẳ
ẳng
MITC3
3
được

làm
m
trơn
trên
n
nút
(NS-M
MITC3)
ảng
1
cho
B
thấy
phần
n
tử
vỏ
phẳ
ẳng
MITC3
3
được
làm
m
trơn
trên
n
nút
(NS-M
MITC3)

ảng
1
cho
sốMITC3)
tham
khảo
293
Bảng 1 cho
thấy phần
n tử vỏ phẳ
ẳng MITC3
320×20×2
được làm
m trơn
trênn nút sai
(NS-M
8×8×2
12×12×2
16×16×2
24×24×2
cho
kết
294
t
quả
chuy
yển
vị
lớn
hơn

h
làm
tr
rơn
trên
cạ
ạnh
(ES-M
MITC3).
Ph
hần
tử
MIT
TC3
cho
kết
t
quả
chuy
yển
vị
lớn
hơn
h
làm
tr
rơn
trên
cạ
ạnh

(ES-M
MITC3).
Ph
hần
tử
MIT
TC3
làm
cho kếtt quả chuy
294
yển vị lớn0,007
hơn
h làm tr0,0068
rơn trên
ạnh0,0068
(ES-M
MITC3).
Phhần tử 4,69
MIT
TC3 làm làm
12 cạ
ES+NS-DSG3
0,0075
0,0067
295
trơn
kế
ết (ES
hợp
(ES

S+NS-MIT
TC3)
có
nằm
n trịgiá
giá
gbởi
trị
tínhhphần
phần
trơn
kếtrơn
ết hợp
S+NS-MIT
TC3)
có chhuyển
vị nằm
nchhuyển
giá
ggiữa
tính
h0,0063
tửbởi
ES295
kếết(ES
hợp
S+NS-MIT
TC3)
có chhuyển
vị giữa

nằm
n vị
ggiữa
trị
tính
hphần
bởi
tử
ES-tử ESES-MITC3
0,0064
0,0063
0,0063
0,0063
1,56
0,0064
MITC3
3
và
NS-M
MITC3,
và
gần
g
với
kết
t
quả
của
phần
p

tử
ES-MITC3
do
o
hệ
số
hiệ
ệu chỉnh
296
MITC3
3 và NS-M
MITC3,
và gần
g và
với
t quả
p của tử
-MITC3
do
o hệdo
số
hiệệu
chỉnh
MITC3
3 và
NS-M
MITC3,
gần
g kếtvới
kếtcủa

t quảphần
phần
p EStử ES--MITC3
o hệ
số
hiệệu chỉnh
296
NS-MITC3
0,0083
0,0074
0,0071
0,0069
0,0068
6,25
,9.lướ
= Khi
0,,9.phần
Khi
lướ
ới phần
mịn
mphần
dần
th
tửITC3
ES+NS-MI
E ITC3
ITC3
cho
kkết

quả
ội tụ đến
ES+NS-MITC3
=297
0,,9.
ới
mịn
m
dần
thhìdần
tử
ES+NS-MI
Ehì phần
cho 0,0063
kkết
hộ
ội1,56
tụhộ
đến
 =Khi
0,
lướ
ới tử
phần
tử
mịn
m tử
thhì
phần
tử ES+NS-MI

E 0,0063
choquả
kkết
quả
ội
tụ hộ
đến
297
0,0066
0,0064
0,0064

298
299

lờii khảo
giảioi tham
ođộvới
độhhơn
ch
hính
xáctử
phần
ửsửloại
cùng
i sử
dụng
kkỹkhóa
thuật
kh

hử khóa
298
lời giải
i tham
với
độ
ch
hính
xác
phần
ửhhơn
cùng
itử
dụng
kkỹ
thuật
kh
hử
lời
giải
tham
khảo
o khảo
với
ch
hính
xác
hhơn
phần
tử

ử loại
cùng
i sửloại
dụng
kkỹ
thuật
kh
hử khóa
298
cắt
DSG
G3
(ES+N
S-DSG3).
299
cắt
DSG
G3
(ES+N
S-DSG3).
G3 (ES+NS-DSG3).
299 cắt DSG

290
291
292
293
294
295
296

(a)
trLưới
rái(a) Lưới
(a)trái
trrái trrái
(a)Lưới
Lưới

(b)loại
Lưới
l 1(c) Lưưới
(c)(c)
Lư
ưới
loại2 2
(b) L
Lưới
lL
phải
lo
ạiLưới
2lophải
(b)(b)phải
L
Lưới
phải
loại
lphải
(c) Lư

ưới
phải
ại 2loại
Lưới
phải1loại
1 1loại
phải

66.hyper
Vỏ rbolic
hyper
rbolic
para
aboloid
đượ
mơ
hình
h 8bằng
ử82
phần
với
sơ đồ
đ đánh
Hình 66.
VỏHình
hyper
paraaboloid
đượợc
mơ
hình

hợc
bằng
82
vớitử
sơ tử
đồ
đ3ử sơ
đánh
Hình
66. Vỏrbolic
paraaboloid
đượợc
mơ
hình
h 8bằng
phần
828tử
phần
ử3 với
đồ
đ3 đánh
Hình
6.
Vỏ
hyperbolic
paraboloid
được
mơ
hình
bằng

8×8×2
phần
tử
nnútsố
phần
tử
ửnhau
khác
nhau
u:nhau
(a)i u:
Lưới
trái,
Lưới
L (b)lo
phải
oại
(c) 1,
L
Lưới
phải
oại
số nnút số
phần
tử
ửnnút
khác
u:
(a) Lưới
trái,

Lưới
L i(b)
phải
oại
(c) 1,
L
Lưới
phải
oại
2lo
phần
tử
ử khác
(a)i(b)
Lưới
trái,
Lưới
L 1,lo
phải
lo
oại
(c)lo
L
Lưới
phải2 lo
oại 2

300

với 3 sơ đồ đánh số nút phần tử khác nhau

300
Bảng
22.
Kết
cquả
t(m)vịttại
ttại
điểm
Cvỏcủa
vỏcủa
hyp
perbolic
paaraboloid
mơ
m hình
Bảng300
22.
KếtBảng
quả
c22.quả
chuyển
vị thẳng
t chuyển
điểm
C
của
hyp
araboloid
mơ
maraboloid

hình
Kếtchuyển
c vị thẳng
thẳng
t(m)
(m)
ttại điểm
Cperbolic
vỏ pa
hyp
perbolic
pa
mơ
m hình

301

301 301

bằngg88
lưới
với
đồ
đánh
h số
nút
phầ
ần
tử
khác

bằngg lưới
2
với2
các
ssơ
đồ
đánh
h ssơ
số
nút
phầ
ần
tử
khác
nhau
bằng
g 88
lưới
88
2các
vớissơ
các
đồ
đánh
h số
nút
phầ
ần tử nhau
khác nhau
43

đồSơ
đáánh
nútsố
phần
p nút tử
Sơ đồSơ
đáánh
số
nútsố
phần
pánh
tử
đồ
đá
phần
p
tử
Loại
phầần phầ
tử ần tử
Loại phầ
ần tử
Loại
(a) (a) (a)
(b) (b) (b)
(c) (c) (c)
ES+NS-D
SG3 SG3
00,007600,0076
ES+NS-D

SG3
0,00750,0075
ES+NS-D
0,0075 0,00720,00720,0072 00,0076


Vũ, Đ. A., Thành, C. Đ. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng

Bảng 2. Kết quả chuyển vị thẳng (m) tại điểm C của vỏ hyperbolic paraboloid mô hình bằng lưới 8×8×2 với
các sơ đồ đánh số nút phần tử khác nhau

Sơ đồ đánh số nút phần tử
Loại phần tử
ES+NS-DSG3
ES+NS-MITC3

(a)

(b)

(c)

0,0075
0,0066

0,0072
0,0066

0,0076
0,0066

Để kiểm tra khả năng tính tốn của phần tử ES+NS-MITC3 không phụ thuộc vào thứ tự đánh số
nút, kết cấu vỏ hyperbolic paraboloid được đánh số nút theo 3 sơ đồ khác nhau với lưới 8×8×2 phần
tử như Hình 6. Giá trị chuyển vị tại điểm C tính bởi phần tử ES+NS-MITC3 ở cả 3 trường hợp đánh
số nút phần tử khác nhau được so sánh với phần tử ES+NS-DSG3 ở Bảng 2. Bảng 2 cho thấy kết quả
tính tốn bằng phần tử vỏ phẳng ES+NS-MITC3 khơng phụ thuộc vào thứ tự đánh số nút phần tử.
Ngược lại, phần tử vỏ phẳng ES+NS-DSG3 cho kết quả tính tốn phụ thuộc vào cách đánh số phần tử
vì kỹ thuật khử khóa cắt DSG3 khơng có tính đẳng khơng gian.
3.2. Vỏ trụ chịu tải trọng tập trung
Tạp chhí Khoa học Cơng
C
nghệ Xây
X dựng, NU
UCE 2018
p-ISSN
N 2615-9058;; e-ISSN 273
34-9489
Vỏ trụ cóTạp
bán
= 300
dài Xây
L = dựng,
600 mNU
và
dày
h = 3 m ởp-ISSN
Hình
7(a) chịu ;tải
trọng273
tập

trung P
chhíkính
KhoaRhọc
C m,nghệ
Cơng
X
UCE
2018
N 2615-9058;
e-ISSN
34-9489

313

= 1 kN. Vỏ chịu liên kết màng ngăn cứng ở 2 đầu (U = W = 0) . Vật liệu làm vỏ có E = 3 × 106 kN/m2
và ν = 0,3 [22].
Vật313
liệuu làm
vỏ cóó E  3  106 kN/m 2 và   0,3
3 [22]. 3 [22].
Vật liệuu làm vỏ cóó E  3  106 kN/m 2 và   0,3

(a) điều
Hình họọc,
điều và
kiệệntảảibiên
và tảải trọng
(a) Hình
họọc,
ện biên

trọng
(a) Hình
học, điềukiệ
kiện
biên và tải
trọng

b)
Lưới
88
82tử
tử
ử tam
b) Lưới
88
82
phần
ửphần
tamgiác
(b
(b) (b
Lưới
8×8×2
phần
tử
tam
3 nút mơ
g
giác
ggiácphỏng 1/8 vỏ trụ

c trung:
chịu
tải tập
Hình
btải trọng
và tảicủa
trọng
Hình 77. VỏHình
trụ chịu
c77. Vỏtảitrụtập
(a)trung:
Hình (a)
học,
điềuhọc,
kiệnđiều
biên
b kiện
và biên
vỏ của
trụ, vỏ trụ,
Hình 7. Vỏ trụ chịu tải tập trung
(b) 2
2tam
phầngiác
tử tam
nút
mơ1/8
ph
hỏng
1/8 vỏỏ trụ

Lưới
88
giác
(b) Lưới 88
phần
tử
3 nút
mơ3 ph
hỏng
vỏỏ trụ
Do tính chất đối xứng, chỉ 1/8 vỏ được rời rạc bằng các lưới 8×8×2, 12×12×2, 16×16×2, 20×20×2
và 24×24×2, tương đương 128, 288, 512, 800 và 1152 phần tử. Hình 7(b) minh họa trường hợp lưới
8×8×2 phần tử. Chuyển vị theo phương và tại vị trí đặt lực tập trung của vỏ trụ khi phân tích bằng
phần tử vỏ phẳng ES+NS-MITC3 sử dụng lưới có số phần tử tăng dần được thể hiện trong Hình 8.
Kết quả chuyển vị ở Hình 8 cho thấy phần tử đề xuất ES+NS-MITC3 hội tụ đến lời giải tham khảo
1,8248×10−5 m [22] khi lưới phần tử mịn dần và có độ chính xác tốt hơn phần tử ES+NS-DSG3.
Trong ví dụ này, phần tử đề xuất có đường hội tụ của chuyển vị cũng nằm giữa so với kết quả cho bởi
phần tử ES-MITC3 nằm dưới và phần tử NS-MITC3 nằm trên.
44


(a) Hình họọc, điều kiệện biên và tảải trọng

b) Lưới 8882 phần tử
ử tam
(b
ggiác

Hình 77. Vỏ trụ chịu
c

tải tập trung: (a) Hình học, điều kiện biên
b và tải trọng của vỏ trụ,
Vũ, Đ. A., Thành, C. Đ. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
(b) Lưới 88
2 phần tử tam giác 3 nút mơ ph
hỏng 1/8 vỏỏ trụ

Hình
88. Chuyển
v trí
vị
tạiđặt
vịlực
trí tập
trung
củaa xác
vỏ định
trụ đượ
ợc phần
xác tử
định
bằngES+NS-MITC3
phầần tử vỏ
đặttrung
lực của
tậpp vỏ
Hình
8. Chuyển
vị tại vị
trụ được

bằng
vỏhphẳng
Tạp ch
hí
Khoa
học
C
Cơng
nghệ
Xây
X
dựng,
NU
UCE
2018
p-ISSN
N
2615-9058;
;
e-ISSN
và
các
phần
tử
tham
khảo
ứng
với
số
phần

tử
tăng
dần
phhẳng ES+N
NS-MITC3 và các phầần tử tham khảo ứng với số phầần tử tăng273
dần
d34-9489
C chấ
Công
nghệ
Xây
X xứng
dựng,
UCE1/8
2018v
p-ISSN
Nời2615-9058;
; ge-ISSN
273
34-9489
314 Tạp chhí Khoa
D
Dohọc
tính
ất đối
g,NU
chỉ
vỏ được
rờ
rạc bằng

các lưới
882, 12
2122,
3.3. Vỏ panel cầu chịu tải trọng tập trung
322
giữ
ữa
với kết
k2 quả
cho
o242,
bởi phần
nng
tử đương
ES-MIITC3
nằm dưới
và phhần
tử NS315 nằm
1616
2,so2020
và 24
tươn
128, 288,
và 1152
phần
p-MITC3
tử.
512, 800
Vỏ
panel

cầu
liên
kết
tựa
đơn
4
cạnh
và
chịu
tải
trọng
tập
trung
P
=
454
N
như
Hình
9(a).
Các
ên.
323
322
giữ
ữatrê
so
vớiminh
k quả
kết

bởi phần
n tử lưới
ES-MI
ITC3 nằm
dưới
phhần
-MITC3
316nằmnằm
Hình
7(b)
h chootrường
họa
hợp
8882
phầần
tử. và
Chuy
yểntửvịNStheo
o phương và
v tại vị
thơng số hình học và vật liệu của vỏ panel như sau: chiều dài L = 0,4 m, bán kính 2 phương R = 2,4
trêên.
323 317nằm trí
10 tử 2vỏ
đặt
llực
trun
củatải
vỏtrrọng
trụ

t đàn
khi
phâ
ân
tích
bằn×g10
phần
E
ES+NS-MI
ITC3
sử
324 m,
3.3.
Vỏỏ dày
panel
ung
chịu
tậphồi
tru
ung
chiều
htập
=cầu
2,54
mm,
mô-đun
E=
703,7
N/m vvàphẳng
hệ số Poisson

ν = 0,3
[23].
dụng
lư
ưới
số tải
p trrọng
phần
tửtập
tăăng
dần đư
ược thể hiệện trong Hình
H
8. Kếtt quả chuy
yển vị ở
324 3183.3. Vỏ
ỏ panel
cầuucóchịu
truung
319 Hình 8 cho thấy
y phần tử đề xuất E
ES+NS-MIITC3 hội tụ đến lờời giải tham
m khảo

320
321

1,8248
10-5 m [222] khi lưới phần tử
ử mịn dần và có độ chính xácc tốt hơn phần

p
tử
ES+NS
S-DSG3. Trong
T
ví dụ
ụ này, phầnn tử đề xuấất có đường hội tụ củủa chuyển vị cũng
14

((a)(a)Hình
ọc,
biênvà
vàtảitảitrọng
i trọng
Hìnhhọ
học,điều
điều kiện
kiệnn biên

ưới (b)
882
2 phần
taamtửgiác
(b) Lư
Lưới
8×8×2tửphần
tam giác 3 nút mơ phỏng

((a) Hình họọc, điều kiện
n biên và tảii nh

trọng
1/4
vỏ2panel
cầutử ta
ưới
phần
am giác
Hình 9. Vỏ paneel cầu chịu tải tập trunng: (a) Hìn
học, điều
u kiện(b)
biênnLư
và tải882
trọn
ng
của
nel cầu
chịịupane
tải el
tậpcầu
trrung,
(b)tải
Lư
ưới
ta
am học,
giác 3điều
nnútu mơ
ỏngn1/4
vỏ pan
Hình

9. Vỏ
chịu
tập882
trunng:phần
(a) tử
Hìn
nh
kiệnphỏ
biên
và tải trọn
ng của
Hình 9. Vỏ panel cầu chịu tải tập trung
vvỏ panel
cầ
ầu 882 phần tử ta
(b) Lư
ưới
am giác 3 nnút mơ phỏ
ỏng 1/4
vỏ pannel cầu chịịu tải tập trrung,

Vì panel
tính chất
của đơn
kết cấu,
chỉ và
1/4
cầu
mơ
tính

V
Vỏ
cầầuđối
liênxứng
kết tựa
4 cạnh
cvỏpanel
tải panel
trọn
ng được
tập trun
nghình
P = để
454
4 N tốn
như chuyển vị thẳng
vvỏchịu
cầầu
tại vị
trí Các
đặt lực
tập số
trung.
chính
xácliệu
và tốc
tụl của
đề xuất
khảo sát bằng cách
Hình

9(a).
thhơng
hìn
nhĐộ
học
và vvật
củ
ủađộ
vỏhội
panel
nhưphần
sau: tử
cchiều
dài được
L = 0,4
325
V
Vỏ panel cầầu liên kết tựa đơn 4 cạnh và chịu
c
tải trọn
ng tập trunng P = 454
4 N như
327 m, bán
n kính 2 phương
p
R = 2,4 m
m, chiều dày
d
h = 2,54
2

mm, mơ-đun đàn
đ hồi
45 củ
326 Hình 9(a).10Các th
hơng số hìn
nh học và vvật liệu
ủa vỏ panell như sau: cchiều dài L = 0,4
E  703,7  10 N
N/m 2 và hệệ số Poissoon   0,3 [23].
328
325
326

327

329

328

p
R = 2,4-5 m
m, chiều dày
d
h = 2,54
2
mm, mơ-đun đàn
đ hồi
m, bánn kính 2 phương
Bảng 3. Kếtt quả chuyểển vị thẳngg (10 m) tại điểm đặt lực của vỏ panel cầu
Kếtt quả

Lưới ph
hần tử

E  703,7  1010 N
N/m 2 và hệệ số Poissoon   0,3 [23].


Vũ, Đ. A., Thành, C. Đ. / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng

tính chuyển vị và sai số tương đối của chuyển vị so với giá trị tham khảo 1,0×10−5 m [23] khi vỏ cầu
panel được rời rạc bằng lưới mịn dần từ 8×8×2, 12×12×2, 16×16×2, 20×20×2 đến 24×24×2 phần
tử. Hình 9(b) minh họa lưới 8×8×2 phần tử tam giác 3 nút. Kết quả chuyển vị thẳng tại điểm đặt lực
cho bởi phần tử ES+NS-MITC3 và các phần tử khác ứng với các lưới khác nhau được trình bày trong
Bảng 3.
Bảng 3. Kết quả chuyển vị thẳng (×10−5 m) tại điểm đặt lực của vỏ panel cầu

Lưới phần tử
Loại phần tử

336
337

8×8×2

12×12×2

16×16×2

ES+NS-DSG3
1,0194

1,0292
1,0273
Tạp chhí Khoa học 0,9328
C
Cơng
nghệ Xây
X 0,9696
dựng, NU
UCE0,9834
2018
ES-MITC3
NS-MITC3
1,3335
1,2045
1,1382
ES+NS-MITC3
0,9559
0,9873
0,9967

20×20×2

24×24×2

1,0235

1,0199

Kết quả
tham khảo

p-ISSN
N 2615-9058;
; e-ISSN 273
34-9489
0,9895
0,9926

1,1002
0,9999

1,0765
1,0010

1,0

phần tử
ử ES+NS-M
MITC3 vàà các phần tử khác ứng
ứ với cácc lưới khácc nhau đượ
ợc trình
bày tronng Bảng 3.

Hình
10.
chínnhxác
xácvàvà
ốc
ttụ chuyển
của chuy

vị
v lực
trí tập
đặttrung
lựcc tập
g của
vỏ
Hình1
10. Độ
Độ chính
tốctố
độ độ
hội hội
tụ của
vịyển
tại vịvịtrítạiđặt
của trung
vỏ cầu
panel
ccầu panelcho
c bởi
cho
bởi
bằn
ng
phần
tử ES+NS-M
MITC3
các
c tử phần

tửử tham khảo
bằng
phần
tử ES+NS-MITC3
và các và
phần
tham khảo
338
H
Hình 10 biểuu diễn quaan hệ giữa ssai số tươn
ng đối của chuyển vị thẳng tại điểm
đ
đặt
Hình 10 biểu diễn quan hệ giữa sai số tương đối của chuyển vị thẳng tại điểm đặt lực tập trung
339và chiều
lực tập
và chiều
c tử trong
dài cạhệ
ạnhtọa
phần
tử trongđược
hệệ tọa
log
garit
xxác định
bằng
b
các
dài trung

cạnh phần
độ tlogarit
xácđộ
định
bằngđược
các phần
tử ES-NS-MITC3,
340ES-MITC3,
ử NS-MITC3
ES-NS-M
MITC3,
ES
S-MITC3, N
NS-MITC3
3 và
ES+N
NS-DSG3.
Nhờ
ng pháp
phần tử
và ES+NS-DSG3.
Nhờ
phương
pháp
làm
trơn biến N
dạngphươn
kết hợp
trên cạnh
hợp

tử ES+NS-MITC3
có tốctrườn
độ hội
tụ vànày,
độ, chính
341và nút,
làmtrong
trơ
ơntrường
biến dạn
ng này,
kết phần
hợp
p trên
cạnhh và nút, trrong
g hợp
phần xác
tử ES+NSEtốt hơn phần
sử dụng
trên cạnh
trênphần
nút như
ES-MITC3
NS-MITC3.
342tử chỉMITC3
3 cóphương
tốc độpháp
hội tụlàm
vàtrơn
độ

đ chính
xxác hoặc
tốt hơn
hỉ sử dụng hoặc
phương
ph
háp làmCùng
tử ch
kếttrên
hợpnút
nhưng
tử đề xuất
sử NS-MIT
dụng kỹ
thuậtCùng
khử khóa
cắt ph
MITC3
343phương
trơnpháp
trêên làm
cạnhtrơn
hoặc
t nhưphần
ES-M
MITC3
hoặặc
TC3.
phương
háp làmcó độ

chính xác và tốc độ hội tụ vượt trội phần tử ES+NS-DSG3.
ng phần tử đề xuất sử
ử dụng kỹ thuật
t
khử khóa
k
cắt M
MITC3 có độ
đ chính
344 trơn kếết hợp nhưn
ội phần tử E
ES+NS-DS
SG3.
345 xác và tốc độ hội tụ vượt trộ
346

4. Kết luận

347
348
349
350

Trrong bài bááo này, phầần tử vỏ phhẳng tam giác
g 3 nút ES+NS-MI
E
ITC3 đã đư
ược phát
46
triển đểể phân tíchh tĩnh kết cấu vỏ đồồng nhất. Công

C
thức PTHH củaa phần tử đề xuất
được thhiết lập dự
ựa trên lý th
huyết biến dạng cắt bậc
b nhất củ
ủa Reissneer-Mindlin và hàm
0
xấp xỉ cchuyển vị tuyến
t
tính dạng C . K
Kỹ thuật kh
hử khóa cắt MITC3 vvới ưu điểm
m không


Vũ, Đ. A., Thành, C. Đ. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng

4. Kết luận
Trong bài báo này, phần tử vỏ phẳng tam giác 3 nút ES+NS-MITC3 đã được phát triển để phân
tích tĩnh kết cấu vỏ đồng nhất. Công thức PTHH của phần tử đề xuất được thiết lập dựa trên lý thuyết
biến dạng cắt bậc nhất của Reissner-Mindlin và hàm xấp xỉ chuyển vị tuyến tính dạng C 0 . Kỹ thuật
khử khóa cắt MITC3 với ưu điểm không phụ thuộc vào thứ tự đánh số nút phần tử được sử dụng để
xấp xỉ lại biến dạng cắt ngoài mặt phẳng. Các biến dạng của phần tử ES+NS-MITC3 được làm trơn
trên miền kết hợp giữa các phần tử chung cạnh và chung nút.
Kết quả phân tích chuyển vị của một vài kết cấu vỏ cong theo 1 hoặc 2 phương chịu tải tập trung
và phân bố điển hình cho thấy phần tử được làm trơn trên cạnh (ES) tiếp cận lời giải tham khảo từ dưới
lên, ngược lại phần tử được làm trơn trên nút (NS) tiếp cận lời giải tham khảo từ trên xuống. Bằng
cách kết hợp cả 2 phương pháp làm trơn biến dạng trên cạnh và nút thông qua hệ số tỉ lệ β ∈ [0, 1],
phần tử ES+NS-MITC3 cho kết quả nằm giữa kết quả phần tử ES-MITC3 và NS-MITC3. Vì vậy,

phần tử ES+NS-MITC3 có độ chính xác và hội tụ cao hơn phần tử ES-MITC3 và NS-MITC3 trong
các ví dụ khảo sát. Ngồi ra, nhờ kỹ thuật khử khóa cắt MITC3, phần tử ES+NS-MITC3 cũng cho kết
quả tốt hơn phần tử ES+NS-DSG3.
Phần tử đề xuất có thể ứng dụng để tính toán dao động và ổn định cũng như phát triển để phân
tích các kết cấu vỏ khơng đồng nhất. Phần tử ES+NS-MITC3 có độ cứng được hiệu chỉnh thơng qua
hệ số tỉ lệ β ∈ [0, 1] nên dự báo sẽ cải thiện được độ chính xác khi phân tích dao động và ổn định các
kết cấu vỏ đồng nhất và không đồng nhất so với các phần tử ES-MITC3 và NS-MITC3.
Tài liệu tham khảo
[1] Timoshenko, S. P., Woinowsky-Krieger, S. (1959). Theory of plates and shells. McGraw-hill.
[2] Zienkiewicz, O. C., Taylor, R. L. (1989). The finite element method: basic concepts and linear applications. Mc Growhill, London.
[3] Tessler, A., Hughes, T. J. R. (1985). A three-node mindlin plate element with improved transverse shear.
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 50(1):71–101.
[4] Bischoff, M., Bletzinger, K.-U. (2001). Stabilized DSG plate and shell elements. Trends in Computational
Structural Mechanics, 253–263.
[5] Dvorkin, E. N., Bathe, K.-J. (1984). A continuum mechanics based four-node shell element for general
non-linear analysis. Engineering Computations, 1(1):77–88.
[6] Lee, P.-S., Bathe, K.-J. (2004). Development of MITC isotropic triangular shell finite elements. Computers & Structures, 82(11-12):945–962.
[7] Chau-Dinh, T., Nguyen-Duy, Q., Nguyen-Xuan, H. (2017). Improvement on MITC3 plate finite element
using edge-based strain smoothing enhancement for plate analysis. Acta Mechanica, 228(6):2141–2163.
[8] Liu, G.-R., Nguyen-Thoi, T. (2010). Smoothed finite element methods. CRC Press.
[9] Nguyen-Thoi, T., Phung-Van, P., Thai-Hoang, C., Nguyen-Xuan, H. (2013). A cell-based smoothed discrete shear gap method (CS-DSG3) using triangular elements for static and free vibration analyses of shell
structures. International Journal of Mechanical Sciences, 74:32–45.
[10] Cui, X., Liu, G.-R., Li, G.-Y., Zhang, G., Zheng, G. (2009). Analysis of plates and shells using an edgebased smoothed finite element method. Computational Mechanics, 45(2-3):141–156.
[11] Chai, Y., Li, W., Liu, G., Gong, Z., Li, T. (2017). A superconvergent alpha finite element method (SαFEM)
for static and free vibration analysis of shell structures. Computers & Structures, 179:27–47.
[12] Quach-Van, N. (2017). Phân tích kết cấu vỏ bằng phần tử MITC3 được làm trơn trên cạnh (ES-MITC3).
Luận văn thạc sĩ, Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM.
[13] Do-Anh, V. (2020). Phân tích kết cấu vỏ bằng phần tử trơn NS-MITC3. Luận văn thạc sĩ, Trường ĐH Sư
phạm Kỹ thuật Tp.HCM.

47


Vũ, Đ. A., Thành, C. Đ. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng

[14] Pham, Q.-H., Tran, T.-V., Pham, T.-D., Phan, D.-H. (2018). An Edge-Based Smoothed MITC3 (ESMITC3) Shell Finite Element in Laminated Composite Shell Structures Analysis. International Journal
of Computational Methods, 15(07):1850060.
[15] Pham, Q.-H., Pham, T.-D., Trinh, Q. V., Phan, D.-H. (2019). Geometrically nonlinear analysis of functionally graded shells using an edge-based smoothed MITC3 (ES-MITC3) finite elements. Engineering
with Computers, 36(3):1069–1082.
[16] Wu, F., Zeng, W., Yao, L. Y., Hu, M., Chen, Y. J., Li, M. S. (2019). Smoothing Technique Based Beta
FEM (βFEM) for Static and Free Vibration Analyses of Reissner–Mindlin Plates. International Journal
of Computational Methods, 17(02):1845006.
[17] Thanh, C. D., Con, H. T., Binh, L. P. (2019). Static analysis of Reissner-Mindlin plates using ES+NSMITC3 elements. Journal of Science and Technology in Civil Engineering (STCE) - NUCE, 13(3):45–57.
[18] Nguyen-Hoang, S., Phung-Van, P., Natarajan, S., Kim, H.-G. (2015). A combined scheme of edge-based
and node-based smoothed finite element methods for Reissner–Mindlin flat shells. Engineering with
Computers, 32(2):267–284.
[19] Bathe, K.-J. (1996). Finite Element Procedures. Prentice Hall International, Inc.
[20] Lyly, M., Stenberg, R., Vihinen, T. (1993). A stable bilinear element for the Reissner-Mindlin plate model.
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 110(3-4):343–357.
[21] Bathe, K.-J., Iosilevich, A., Chapelle, D. (2000). An evaluation of the MITC shell elements. Computers
& Structures, 75(1):1–30.
[22] Fluge, W. (1960). Stress in shells. Berlin: Springer.
[23] Mousa, A. I., El Naggar, M. H. (2007). Shallow spherical shell rectangular finite element for analysis of
cross shaped shell roof. Electronic Journal of Structural Engineering, 7:41–51.

48