HD chuyen ngu 2010

<span class='text_page_counter'>(1)</span>§¹i häc quèc gia hµ néi Trờng đại học ngoại ngữ. céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam §éc LËp -Tù Do -H¹nh Phóc. K× thi tuyÓn sinh líp 10 THPT chuyªn ngo¹i ng÷ n¨m 2010 §Ò M«n Thi : To¸n. Thời gian làm bài 120 phút( không kể thời gian phát đề) §Ò chÝnh thøc Ngµy thi 06-06-2010 §Ò thi gåm 01 trang. ( Chú ý: Thí sinh không đợc sử dụng bất kỳ tài liệu nào ,CBCT không giải thích gì thêm). C©u 1: (2®iÓm) Cho biÓu thøc x 2x x −1 2 P= √ + : √ − 9− x 3+ √ x x −3 √ x √ x 1) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P. 2) Tìm giá trị x để P=− 4 3 C©u 2 : ( 2 ®iÓm) 1) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức : x2 + 4x +1 =y4. (. )(. 2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :. ). ¿ x 2+ xy + y 2=3 x 3+3 ( y − x)=1 ¿{ ¿. C©u 3: ( 2 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh Èn x : (m-10)x2 +2(m-10)x + 2 =0 1)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 . 2) Chứng minh rằng khi đó x 31+ x 32 +x 21 x 2 + x 1 x 22<−4 C©u 4:(3 ®iÓm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB <AC). Vẽ đờng cao AD và đờng phân giác trong AO của tam giác ABC ( D , O thuộc BC). Vẽ đờng tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC t¹i M , N 1) Chứng minh các điểm M , N, O, D , A cùng thuộc một đờng tròn. 2) Chøng minh gãcBDM = gãcCDN . 3) Qua O kẻ đờng thẳng vuông góc với BC cắt MN tại I .Đờng thẳng AI cắt BC t¹i K .Chøng minh K lµ trung ®iÓm c¹nh BC C©u 5: ( 1 ®iÓm) Cho a , b , c lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : a + b+c +ab +bc+ ca=6 Chøng minh r»ng:. a3 b3 c 3 2 2 2 + + ≥ a + b +c ≥ 3 b c a. ------------------HÕt---------------Hä vµ tªn thÝ sinh....................................................Sè b¸o danh...........Phßng thi .... HD thi tuyÓn sinh líp 10 THPT chuyªn ngo¹i ng÷ n¨m 2010. C©u 1: (2®iÓm) Cho biÓu thøc x 2x x −1 2 P= √ + : √ − 3+ √ x 9− x x −3 √ x √ x 2) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P. 2) Tìm giá trị x để P=− 4 3 Híng dÉn 1) §KX§ x>0 ;x ≠ 9 ; x ≠ 25. (. )(. ). Biên tập: Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Lâm Thao- Phú Thọ.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> P=. x(3− √ x )+2 x ( √ x − 1) −2( √ x − 3) : (3+ √ x)(3 − √ x ) √ x ( √ x −3). (√. P=. 2) P=. )(. ). √ x( 3+ √ x ) . √ x( √ x −3) = x (3+ √ x)(3 − √ x) 5 − √x √x − 5. −4 x −4 ⇔ = ⇔ 3 x + 4 √ x −20=0 ⇔ 3 x − 6 √ x+10 √ x − 20=0 3 √x − 5 3 ⇔( √ x −2)(3 √ x+10)=0 ⇔ x=4 ∈DKXD. C©u 2 : ( 2 ®iÓm) 3) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức : x2 + 4x +1 =y4 ¿ x + xy + y 2=3 x 2+3 ( y − x)=1 ¿{ ¿ 2. 4) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :. Híng dÉn 1) x2 + 4x +1 =y4 ⇔ (x+2)2-y4=3 ⇔ (x-y2+2)(x+y2+2)=3 v× x;y nªn ⇒ ¿ x − y 2 +2=1 x + y 2 +2=3 ¿ ¿ ¿ x − y 2 +2=−3 ¿ x + y 2 +2=− 1 ¿ ¿ ¿ ⇔ ¿ ¿ ¿ x=0 ¿ ¿ y=1 hoacy =−1 ¿ ¿ ¿. Ph¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm (x;y). { ( 0;1) ;(0;-1) ; ( -4; 1) ; (-4;-1) }.. 2). Biên tập: Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Lâm Thao- Phú Thọ. Z.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> x 2+ xy + y 2=3(1) x3 +3 ( y − x)=1( 2) ⇔ 2 ¿ x + xy+ y 2=3 x 3+(x 2+ xy + y 2)( y − x )=1 ⇔ ¿ 2 2 ¿ x + xy+ y =3 x3 + y 3 − x 3=1 ¿ ⇔ 3 ¿ y =1 x 2 +xy + y 2=3 ⇔ ¿ y=1 x 2 + x − 2=0 ⇔ ¿ y=1 ( x −1)(x+ 2)=0 ⇔ ¿ x=1 y =1 ¿ ¿ ¿ x=−2 ¿ y =1 ¿ ¿. HÖ cã 2 nghiÖm (x;y) {(1;1) ;( -2;1)}. C¸ch kh¸c NÕu x= y tta cã x=y=1 lµ mét nghiÖm Víi x kh¸c y nh©n 2 vÕ PT(1) víi (x-y ) ta cã hÖ. Biên tập: Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Lâm Thao- Phú Thọ.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> x 3 − y 3=3 (x − y ) x 3 −3 ( x − y)=1 ⇔ 3 3 ¿ x − y =3(x − y ) x 3 − x 3 + y 3=1 ⇔ 3 ¿ x −1=3 (x −1) y=1 ¿ ¿ ⇔ 3 ¿ x − 3 x+2=0 y=1 ⇔ 2 x −1 ¿ ( x +2)=0 ¿ y=1 ¿ ⇔ ¿ ¿ x =2 ¿ ¿¿. HÖ cã 2 nghiÖm (x;y). {(1;1) ;( -2;1)}.. C©u 3: ( 2 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh Èn x : (m-10)x2+2(m-10)x + 2 =0 1)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 . 2) Chứng minh rằng khi đó x 31+ x 32 + x 21 x 2 + x 1 x 22< −4 Híng dÉn 1) §Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt th× m− 11 ¿2 − 1 ¿ 2 m− 11 ¿ − 1>0 ⇔ (m−11)>1 ; Hoac :(m−11)<−1 ¿ ⇔ ¿ m> 12 ¿ m<10 ¿ ¿ m− 10 −1 ¿2 − 1=¿ m −10 ¿2 − 2 ( m−10 )=¿ ¿ ¿ ¿ Δ❑ =¿. ¿ m≠ 10 Δ❑ > 0 ¿{ ¿. 2) víi §K trªn theo ViÐt ta cã. Biên tập: Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Lâm Thao- Phú Thọ.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ¿ x 1 + x2 =−2 2 x 1. x 2= m− 10 ¿{ ¿ §Æt Q= x 31+ x 32 + x 21 x 2 + x 1 x 22 3 x 1+ x 2 ¿ −3 x1 x 2 (x1 + x 2)+ x 1 x 2 (x 1 + x2 ) ¿ 8 88 −8 m x 1+ x 2 ¿3 − 2 x 1 x2 ( x 1 + x 2)=− 8+ = m−10 m−10 ¿ ¿ Q=x 31 + x 32+ x21 x 2+ x 1 x 22=¿ ¿ m≠ 10 Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Δ❑>0 ¿{ ¿. C©u 4:(3 ®iÓm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB <AC). Vẽ đờng cao AD và đờng phân giác trong AO của tam giác ABC ( D , O thuộc BC). Vẽ đờng tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC t¹i M , N 4) Chứng minh các điểm M , N, O, D , A cùng thuộc một đờng tròn. 5) Chøng minh gãcBDM = gãcCDN . 6) Qua O kẻ đờng thẳng vuông góc với BC cắt MN tại I .Đờng thẳng AI cắt BC t¹i K .Chøng minh K lµ trung ®iÓm c¹nh BC A. O'. P. N I. Q. M B. D. O. K. C. 1) ta cã ∠ AMO= ∠ ADO= ∠ ANO=900 nªn 5 ®iÓm A, M.D, O, N thuéc đờng tròn Tâm O/ đờng kính AO 2) Ta cã ∠ ADB= ∠ ADC=900 (1) mµ ∠ ADM= ∠ ADN (2) ( gãc néi tiÕp ch¾n 2 cung b»ng nhau) tõ (1);(2) ta cã §PCM Biên tập: Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Lâm Thao- Phú Thọ.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 3)Qua I ta kẻ đờng thẳng //BC cắt AB,AC tại P;Q ta có tứ giác OMPI; OQNI nội tiÕp nªn ∠ POI= ∠ PMI; ∠ QOI= ∠ INA mµ ∠ PMI= ∠ INA (do tam gi¸c AMN c©n t¹i A) Nên ∠ POI= ∠ QOI xét tam giác POQ có OI vừa là đờng cao vừa là pân giác nªn IP=IQ. ¸p dông hÖ qu¶ Ta-lÐt cho 2 tam gi¸c ABK vµ ACK cã PQ//BC Ta cã BK = AK = CK ⇒ BK=CK (dpcm) IP. AI. IQ. C©u 5: ( 1 ®iÓm) Cho a , b , c lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : a + b+c +ab +bc+ ca=6 Chøng minh r»ng:. a3 b3 c 3 2 2 2 + + ≥ a + b +c ≥ 3 b c a. Híng dÉn ¸p dông B§T x 2+ y 2 ≥ 2 xy dÊu “= “ x¶y ra khi x=y Ta cã a2 +b 2 ≥ 2 ab ; c 2+b 2 ≥ 2 cb ; c 2+ a2 ≥ 2 ca ; c 2 +1 ≥2 c ; a2 +1≥ 2 a ; b2 +1 ≥2 b Nªn 3(a2+ b2 +c 2)+3 ≥ 2(a+ b+c +ab+ bc+ ca)=12 ⇔ a2+ b2 +c 2 ≥ 3 (*) DÊu “ =” x¶y ra khi a=b=c=1 MÆt kh¸c a3 b3 c3 + ab≥ 2 a2 ; + bc ≥ 2 b2 ; + ac ≥2 c 2 ; b c a 3 3 3 T cã a + b + c +( ab+ bc+ca )≥ 2(a 2+b 2+ c 2) b c a 2 Mµ a +b 2+ c 2 ≥ ab+ bc+ca nªn 3 3 3 3 3 3 a b c a b c + + +a2 +b 2+ c 2 ≥ + + +(ab+ bc+ca )≥ 2(a2+ b2 +c 2) b c a b c a 3 3 3 Nªn a + b + c ≥ a2+ b2 +c 2 (**) DÊu “=” Khi a=b=c=1 b c a. (. (. ). ). (. ). Tõ (*) vµ (**) ta cã §PCM. Biên tập: Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Lâm Thao- Phú Thọ.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>