De va dap an thi HSG capr truong 2011 2012

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GD & ĐT QUẢNG NINH. Trêng thpt trÇn phó. Đề chính thức. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Năm học: 2011- 2012 Môn: TOÁN Lớp: 10 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề). Họ và tên thí sinh: ..................................................... lớp: .............. số báo danh: ....................... ĐỀ BÀI 2 2 Câu 1 (5,0 điểm). Cho phương trình: x  2( m  1) x  2m  3m  1 0 (1) (m là tham số) 1 m 4. a. Giải phương trình với b. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Gọi hai nghiệm của A  x1  x2  2 x1 x2  8 phương trình là x1 và x2 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .. Câu 2 (5,0 điểm) a. Giải bất phương trình: 9( 4 x  1  3x  2) x  3 . 3 3 b. Giải phương trình: x  2012 2012 x  2011  2011 0 . Câu 3 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC, có các cạnh a, b, c thỏa mãn : 1 1 3   ba a c a bc . Chứng minh rằng góc A = 600. Câu 4 (5,0 điểm). a. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC có B  2;  1 , đường cao hạ từ A và phân giác góc C lần lượt có phương trình là 3x  4 y  27 0 và x  2 y  5 0 . Tìm tọa độ điểm A và điểm C. Phân giác góc C nói trên là phân giác trong hay phân giác ngoài? b. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d phụ thuộc tham số m có phương trình: x  ( m  1) y  m 0 . Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định. Tìm m để khoảng cách từ điểm A(3; 1) đến d là lớn nhất. Câu 5 (3,0 điểm). Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a  b  c 3 . Chứng minh rằng: a2 b2 c2   1 a  2 bc b  2 ca c  2 ab. ------------------------ Hết -----------------------(đề thi có 01 trang) Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay trong quá trình làm bài thi..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Giáo viên coi thi không giải thích gì thêm..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM THI HSG CẤP TRƯỜNG Năm học: 2011- 2012. Môn: Toán Lớp: 10 Câu a 1,5đ. Đề chính thức. Nội dung 1 3 3 m x 2  x  0  8 x 2  12 x  3 0 4 ta có phương trình: 2 8 + Với . ’ = 36 - 24 = 12 > 0, nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.  6  12  3  3  6  12  3  3 x1   , x2   8 4 8 4. Điểm 0,5 1,0. 2.  '  m  1   2m 2  3m  1  m2  m. 0,5. Điều kiện để PT (1) có hai nghiệm phân biệt là:. 0,5.  '  0   m 2  m  0  0  m  1  *. 1 b 3,5đ.  x1  x2 2  m  1  x  2 x2 2m 2  3m  1 Với điều kiện (*), áp dụng định lí Viet ta có:  1 .. 0,5. A  x1  x2  2 x1 x2  8  2( m  1)  2(2m 2  3m  1)  8 4 m 2  m  2. 0,5. + Vì 0  m  1 nên m2 - m - 2 < 0, khi đó 2 2  1  9 1  A  4( m  m  2)  4   m      4  m    9 2  4  2    . 1 m 2. Vậy A đạt giá trị lớn nhất bằng 9 khi 1  x    4 x  1 0 2  4   x  3 3x  2 0  x 2  3 ĐK: .. 1,0. 2. 2. a 2,5đ. BPT. 9. . 4x 1 . 3x  2.  9  x  3  x  3. . . . 4 x  1  3x  2  x  3. 4 x  1  3x  2. . 4 x  1  3x  2. 0,5. 0,5. . . 0,5.  9  4 x  1  3x  2  do x  3  0   81 4 x  1  3x  2  2  82  7 x 2.  4 x  1  3x  2   4 x  1  3x  2 . 82  7 x 0  2 2  82  7 x  4 12 x  5x  2  82 x  82  7x 0 7   2   x 6  x  6  x  1128 x  6732 0    x 1122. . 0,5. . 2  x   ;6 3  + Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là:. 0,5. 0,5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 3  x  2012 y  2011 0  3  y  2012 x  2011 0. b 2,5đ. 3. 2,0đ. 3 + Đặt y  2012 x  2011 . Ta có hệ phương trình:  x 3  y 3  2012( x  y ) 0 ( x  y )( x 2  xy  y 2  2012) 0  3  3 x  2012 y  2011 0   x  2012 y  2011 0   2  x  y 0 y  3y2  x 2  xy  y 2  2012  x     2012  0, x, y  3 x  2012 y  2011 0 2 4     (vì  x  1 0 x 3  2012 x  2011 0  ( x  1)( x 2  x  2011) 0   2  x  x  2011 0   x 1   x   1  8045 2   .  1  8045 x 2 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt: x = 1 và . 1 1 3 a b c a b c c b     3  1  1  3 ba ac a b ac + Có: b  a a  c a  b  c c b   1  c( a  c )  b(a  b) (a  b)(a  c ) a b a c  ca  c 2  ba  b2 a 2  ac  ba  bc. b2  c 2  a 2 1 1   cos A   A 600 2bc 2 2 BC là đường thẳng đi qua B và vuông góc với đường cao hạ từ A nên có PT:  b 2  c 2  a 2 bc . 4. a. . 4 x  3 y  5 0    x  2 y  5 0.  x  1  C   1;3  y 3  Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: Gọi d là đường thẳng đi qua B và vuông góc với đường phân giác góc C, d có 2 x  2    y  1 0  2 x  y  5 0 phương trình:  . Tọa độ điểm H là giao điểm của d và phân giác góc C là nghiệm của hệ:  x  2 y  5 0  x 3   H  3;1   2 x  y  5 0  y 1 Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua đường phân giác góc C, khi đó B’ thuộc AC và H là trung điểm BB’ nên ta có:. AC là đường thẳng đi qua C và có vectơ chỉ phương. 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25. 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5. 4  x  2   3  y  1 0  4 x  3 y  5 0. xB ' 2 xH  xB 4; yB ' 2 yH  y B 3  B '  4;3 . 0,5.  CB '  5;0 . nên có PT là:. 0,5. 0,5. 0,5. 0  x  1  5  y  3 0  y  3 0. .  y  3 0  x  5   A   5;3  3 x  4 y  27 0 y 3   Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: A   5;3  , C   1;3. 0,5. Vậy . Thay tọa độ A, B lần lượt vào vế trái phương trình đường phân giác góc C ta được các số:  4;  5 , do đó đường phân giác góc C đó là phân giác ngoài.. 0,5.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> b. + Dễ thấy đường thẳng d luôn đi qua điểm M(-1; -1) với mọi m. + Kẻ AH  d tại H, ta luôn có AH  AM. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi H trùng với M, tức là d vuông góc  với AM.  n (1; m  1) + Khi đó vectơ pháp tuyến của d cùng phương với vectơ AM ( 4; 2) ,. 0,5 1,0 0,5. 1 m 1 3  m 2 . Từ đó suy ra 2. nên 4 2 2 2 a b c   1 a  2 bc b  2 ca c  2 ab + Có theo BCCT Cô si ta có: 2 bc b  c, 2 ca c  a , 2 ab a  b .. 5. a2 b2 c2 a 2  b2  c 2 a 2  b 2  c 2     a  b  a 3 a  2 bc b  2 ca c  2 ab  . + Ta lại có: a 2  1 2 a, b2  1 2b, c 2  1  2c  a 2  b 2  c 2 2( a  b  c )  3 3 a2 b2 c2   1 a  2 bc b  2 ca c  2 ab Vậy . Dấu “=” xảy ra  a = b = c = 1.. 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5. ------------------------ Hết -----------------------Chú ý: 1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được điểm tối đa. 2. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho câu, phần đó. 3. Có thể chia điểm từng phần nhưng không dưới 0,25 đ và phải thống nhất trong cả tổ chấm. 4. Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm. Không làm tròn điểm. 5. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ.. Móng Cái, ngày 4 tháng4 năm 2012 Tổ chuyên môn ký xác nhận (Ký, ghi rõ họ và tên).

<span class='text_page_counter'>(6)</span>