Đề và Đáp án Thi HSG Cấp trường Toán lớp 6

TrƯờng THCS KIM TRA HC SINH GII
QUảNG tiến Mụn :Toỏn Lp 6
( Thi gian lỏm bi 150 phỳt- Thớ sớnh khụng phi ghi
bi vo t giy thi)
Câu 1
a) Cho a+b = P , ( P nguyên tố). Chứng minh a và b nguyên tố cùng nhau.
b) Tìm số nguyên tố P sao cho: P +10 và P + 14 đều là những số nguyên tố.
Câu 2
a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 3 d 2, chia cho 4 d 3, chia cho 5 d 4 và chia
. cho 6 d 5 ?
b) Một số chia cho 3 d 2, chia cho 4 d 3, chia cho 167 d 130. Hỏi khi chia số đó cho. .
2004 thì số d là bao nhiêu ?
Câu 3
a) Tìm hai số tự nhiên a v b ,biết a > b ; a + b = 16 v ƯCLN(a,b) = 4
b) Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó thì nó
tăng thêm 1112 đơn vị.
Câu 4 : Tìm x biết
a) x +
3
= 0
b) 2
x
+2
x+1
+2
x+2
+2
x+3
= 480
Câu 5
a) Cho đoạn thẳng AB = 8cm v C l trung điểm của n ó . lấy điểm D l trung

điểm của CB ; E l trung điểm của CD . Tính độ d i đoạn thẳng EB
b) Cho 6 đờng thẳng đôi một cắt nhau. Hỏi 6 đờng thẳng đó có thể cắt nhau ít nhất tại bao
nhiêu điểm, nhiều nhất tại bao nhiêu điểm.
hớng dẫn chấm KIM TRA HC SINH GiỏI
Môn: Toán Lớp6
B i Nội dung điểm
B i1
(4điểm)
a) Giả sử a và b không nguyên tố cùng nhau. Suy ra a và b có ít
nhất một ớc số d > 1.
=> a d , b d => (a + b) d => P d, d > 1 điều này vô lý vì
P nguyên tố
=> (a, b) = 1
0,75
0,75
0,5
b) P = 2 => P + 10; P + 14 không nguyên tố
P = 3 => P + 10 = 13 và P + 14 = 17 nguyên tố (thoả mãn)
P > 3 => P = 3k + 1 hoặc P = 3k + 2 (Do P nguyên tố)
Khi đó ta thấy P + 10, hoặc P + 14 không nguyên tố
Vậy chỉ có P = 3 thoả mãn
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
B i2
(4điểm)
a) Gọi số tự nhiên đó là a ta có:
(a + 1) 3

(a + 1) 4
(a + 1) 5 (a + 1) chia hết cho 3, 4, 5 và 6
(a + 1) 6
mà a nhỏ nhất => a + 1 = BCNN (3,4,5,6) = 60 => a = 59
1
1
b) Gọi số đó là A ta có:
A = 3k + 2 => A + 37 = 3 k + 2 + 37 = 3(k + 13) 3
A = 4q + 3 => A + 37 = 4q + 40 = 4(q +10) 4
A = 167r + 130 => A + 37 = 167r + 167 = 67 (r+1) 167
=> A + 37 3.4.167 = 2004 => A + 37 = 2004 n
=> A = 2004 n 37 = 2004(n-1) + 2004 - 37 = 2004 (n-1) + 1967
Vậy A chia cho 2004 có số d là 1967
0,5
0,5
0,5
0,5
B i3
(4điểm)
a) ƯCLN(a,b) = 4

a = 4k v b = 4m với k, m

N
*

a + b = 4(k + m) = 16

k +m = 4
Vỡ a > b nên k > m v k ; m

N
*
,do đó k = 3 v m = 1 .vậy
a=12 ; b=4
0,5
0,75
0,5
0,25
b) Gọi số phải tìm là
abc
. Khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải ta
đợc số
5abc
Theo bài ra ta có:

5abc
=
abc
+ 1112 = 10
ì

abc
+ 5 =
abc
+ 1112

10
ì

abc
=
abc
+ 1112 5

10
ì

abc
-
abc
= 1107

( 10 1 )
ì

abc
= 1107

9
ì

abc
= 1107



abc
= 1107 : 9

abc
= 123
Vậy số phải tìm là 123.
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
B i4
(4điểm)
a) a)Ta có :
3
=3 nên x +
3
= 0
khi x và
3
đối nhau vậy : x = -3
1
1
b) 2
x
+2
x+1
+2
x+2
+2
x+3

= 480


2
x
.1 +2
x
2
1
+2
x
. 2
2
+2
x
.2
3
= 480


2
x
( 1 +

2
1
+ 2
2
+ 2
3

) = 480


2
x
( 1 +

2

+ 4 + 8 ) = 480


2
x
.15 = 480


2
x
= 32 = 2
5


x = 5
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5
B i 5

(4điểm)
a) Hình vẽ
A C E D B
+C l trung điểm của AB nên : CB =
1
2
AB =
1
2
. 8 = 4 (cm )
+D l trung điểm của CB nên : DB =
1
2
CB =
1
2
. 4 = 2 (cm )
+E l trung điểm của CD nên : ED =
1
2
CD =
1
2
. 2 = 1 (cm )
+EB = ED + DB = 1 = 2 = 3 (cm)
0,5
0,5
0,5
0,5
+ 6 đờng thẳng cho có thể cắt nhau ít nhất tại 1 điểm (nếu 6 đờng

thẳng đó đồng quy).
+ Nếu không có 3 đờng thẳng nào đồng quy thì mỗi đờng thẳng sẽ
cắt 5 đờng thẳng còn lại tạo thành 5 giao điểm.
Có 6 đờng thẳng nên có 6.5 = 30 giao điểm.
Nhng mỗi giao điểm lại đợc tính 2 lần, nên chỉ có
2
5.6
= 15 giao
điểm.
0,5
0,5
0,5
0,5
Chỳ ý : Nu hc sinh lm theo cỏch khỏc ỳng vn chm im ti a.