ON TAP THI VAO 10 HAY

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (223.62 KB, 19 trang )

(1)Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa. Bài 1: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau). 1 √ 3x − 1. 8¿. √ x2 +3 ¿ 2 ¿ √5 − 2x. √ x 2 − 2¿ 3 ¿. 9¿. 1 √ 7x −14. 10¿. Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức. Bµi 1: §a mét thõa sè vµo trong dÊu c¨n. a¿. 3 5 ; 5 3. √. b¿. x. √. 2 ( víi x>0); x. c¿. Bµi 2: Thùc hiÖn phÐp tÝnh.. x. √. 2 ; 5. d¿. ( x − 5). √. x ; 2 25 − x. e¿ x. √. 7 2 x. 0,4 a( √ 28 −2 √ 14+ √7)⋅ √7+ 7 √ 8; Bµi 3: Thùc hiÖn phÐp tÝnh. 2 3− 6 216 1 a¿ ( √ √ − √ )⋅ b¿ 3 √ 8 −2 √6 Bµi 4: Thùc hiÖn phÐp tÝnh.. a(4+ √15)(¿ √ 4 − √ 15. b). Bµi 5: Rót gän c¸c biÓu thøc sau:. d¿. √6+ 2 √5+ √ 6 −2 √ 5 ; ¿ b ¿. √14 − √ 7 + √15 − √ 5 ¿ : 1 1− √2 1− √3 √7 − √5. c¿. ( √ 8 −3 √ 2+ √ 10)(¿. √ 5 −2 √ 6+ √ 8 −2 √15 √ 7+2 √10. ¿ 6 √10 − √¿ 5 3− √ ¿ ¿ 5 3+ √ ¿ √ 3+ √ 5 − √ 3 − √ 5− √ 2. ( ¿ √3+ √ 5+( √ 3 − √ 5 ¿ c ). d). √4 − √. ¿ a. 1 1 − √7 − √24 +1 √ 7+ √ 24+1. b¿. Bµi 6: Rót gän biÓu thøc:. √3. −. √3. √ √3+ 1−1 √ √3 −1+1. ¿ c¿. √. 5+ 2 √ 6 5 −2 √ 6 + 5− √ 6 5+ √ 6. √. ¿. √ √. a 6+2 √ 5− √ 13+ √ 48. b¿ 4 + 5 √3+5 √ 48 − 10 √7+ 4 √ 3 ¿. c¿. Bµi 7: Rót gän biÓu thøc sau:. d¿. 1 1 + + 1+ √ 2 √ 2+ √ 3 √. ¿ a. a √ b+b √ a 1 : , √ ab √ a − √b. víi a> 0, b> 0 vµ a ≠ b . ¿ b ¿. (1+ a+√ a+1√ a )(1 − a√ −a −1√ a ), víi a >0 vµ. a ≠1 .¿ c ¿. a √ a −8+ a. Bµi 8: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc a=x 2 −3x √ y +2y, khi x=. 1 1 3 3 ;y= ¿ b ¿ B=x3 +12x − 8 víi x=√ 4 ( √ 5+ 1)− √ 4 ( √ 5 −1); ¿ c ¿ C=x+ 9+4 √5 √ 5 −2. D¹ng 3: Bµi to¸n tæng hîp kiÕn thøc vµ kü n¨ng tÝnh to¸n. x −3 Bµi 1: Cho biÓu thøc P= √ x −1 − √ 2 a) Rót gän P. b) TÝnh gi¸ trÞ cña P nÕu x = 4(2 - √ 3 ). c) TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P. 2 Bµi 2: XÐt biÓu thøc A= a + √ a − 2a + √ a +1 . a − √ a+1 √a a) Rót gän A. b) BiÕt a > 1, h·y so s¸nh A víi | A| . c) Tìm a để A = 2. d) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A. Bµi 3: Cho biÓu thøc C= 1 − 1 + √ x 2 √ x − 2 2 √ x +2 1− x a) Rót gän biÓu thøc C..

(2) b) TÝnh gi¸ trÞ cña C víi x= 4 .. 9 c) Tính giá trị của x để |C|= 1 . 3 a a b Bµi 4: Cho biÓu thøc M = 2 2 − 1+ 2 2 : √a − b √ a − b a − √ a2 −b 2. (. ). a) Rót gän M. b) TÝnh gi¸ trÞ M nÕu a = 3 . b 2 c) Tìm điều kiện của a, b để M < 1.. Bµi 5: XÐt biÓu thøc. 1 − x ¿2 ¿ ¿ x −2 x +2 P= √ − √ ⋅¿ x −1 x +2 √ x +1. (. ). a) Rót gän P. b) Chøng minh r»ng nÕu 0 < x < 1 th× P > 0. c) T×m gi¸ trÞ l¬n nhÊt cña P. Bµi 6: XÐt biÓu thøc Q= 2 √ x − 9 − √ x +3 − 2 √ x +1 . x − 5 √ x +6 √ x − 2 3 − √ x a) Rót gän Q. b) Tìm các giá trị của x để Q < 1. c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tơng ứng của Q cũng là số nguyên. 2 3 3 ( x − √ y ) + √ xy x − y x − y √ √ √ Bµi 7: XÐt biÓu thøc H= − : x−y √x −√ y √ x +√ y a) Rót gän H. b) Chøng minh H ≥ 0. c) So s¸nh H víi √ H . 2√ a Bµi 8: XÐt biÓu thøc A= 1+ √ a : 1 − . a+1 √ a −1 a √ a+ √ a −a − 1 a) Rót gän A. b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a sao cho A > 1. c) TÝnh c¸c gi¸ trÞ cña A nÕu a 2011  2 2010 . Bµi 9: XÐt biÓu thøc M =3x+ √ 9x −3 − √ x+ 1 + √ x −2 . x+ √ x −2 √ x+ 2 1− √ x a) Rót gän M. b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tơng ứng của M cũng là số nguyên. Bµi 10: XÐt biÓu thøc P=15 √ x −11 + 3 √ x −2 − 2 √ x+ 3 . x+ 2 √ x − 3 1 − √ x √ x +3 a) Rót gän P. b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x sao cho P= 1 .. (. ). (. )(. ). 2. c) So s¸nh P víi. 2 . 3. 2 Bµi 11: Cho biÓu thøc: P= √ a − 1 . √ a −1 − √ a+1 2 2√a √ a+1 √ a− 1 a) Rót gän P b) Tìm giá trị của a để P > 0.. (. )(. 1 1 + +1 Bµi 13: Cho biÓu thøc: A= 1+ √ a 1 − √ a a) Rót gän A. b) Tìm a để A= 1 2. ).

(3) Bµi 14: Cho biÓu thøc: A=. ( x+2√ x√+2x+1 − √xx−1−2 ) . √ √x+x 1. a) Rót gän A b) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyen cña x sao cho A cã gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 15: Cho biÓu thøc A= a √ a −1 − a √ a+ 1 : a+2 a −√a a+ √ a a −2 a) Tìm điều kiện để A có nghĩa. b) Rót gän biÓu thøc A. c) Tìm giá trị nguyên của a để biểu thức A nhận giá trị nguyên.. (. ). 2 ( x −2 √ x+1 ) Bµi 16: Cho biÓu thøc: A= x √ x −1 − x √ x+1 : x −1 x −√ x x +√ x a) Rót gän A b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên. (. Bµi 17: Cho biÓu thøc: A=. ). ( √ x1−1 + √ x1+1 )( √xx−1−1 − 2). víi x ≥ 0 ; x ≠ 1. a) rót gän A b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên. Bµi 18: Cho biÓu thøc: A= x +2 √ x +1 + x − 1 − √ x ( víi x ≥ 0 ; x ≠ 1¿ √ x +1 √ x −1 a) Rót gän A b) Tìm các giá trị nguyên của x để 6 nhận giá trị nguyên. A Bµi TËp bæ sung Bµi 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: a) 2 x − 100 = 3 x −800 d). 3 4 5 x +1 3 x − 2 − =2 x +3 x−1. b) 4 x − 1 − 5 x+3 =0 5. 3. e) 9 −2 x=4 −|2 x − 5|. Bµi 2: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: a) 3 x −60 > 5 x −100 5. 6. c) x (x +2) −5=0. 6. f) |2 x −5|=2 − x. b) x −1 − 4 x+ 3 < 1 −5 x c) ( x+ 2 )2+5 x −4 ≥ ( x +2 ) ( x −3 ) 5 10 25. 1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh, rót gän biÓu thøc chøa c¨n bËc hai: Bµi 1: TÝnh a) √ 20− √5 b) ( 8 √ 27 −6 √ 48 ) : √ 3 c) 5 √ 2 − √18 e) √ 12− √3 f) √ 2. √ 8− 3 g) 4 √ ( − 3 )6 +5 √( − 2 )4 i) √ 144 . 49 . √ 0 , 01 m). √√. 64 √ 6+ 10 √ 21+ √ 35. k) ( √ 18+ √ 32− √ 50 ) . √2. n) √6 − 2 √ 5 √5 −1. d) ( √ 2+ 1 )( √ 2 −1 ) h) √ ( √ 8− 7 )2 − √ 8. l) √ 50− √18+ √ 200 − √ 162. p) ( 3+√ 5 ) ( 3 − √ 5 ) − ( 2+ √ 3 ) ( 2 − √ 3 ). q). Bµi 2: TÝnh: a) ( 7 √ 48+3 √ 27 −2 √ 12 ) : √ 3. b). (√ 71 − √ 167 + √7) : √ 7. c). 1 1 + 3+ √ 2 3− √ 2. d) √5 − √ 3 + √ 5+ √ 3 e) 3+ 2 √ 3 + 2+ √ 2 − ( 2+ √ 3 ) f) √ 6+2 √5+ √ 6 − 2 √ 5 √ 5+ √ 3 √5 − √3 √ 3 √2+1 Bµi 3: Ph©n tÝch ra thõa sè a) 3 − √ 3+√ 15− 3 √ 5 b) √ 1− a+√ 1− a2 ( víi – 1 < a < 1 ) c) x 2 −7 d) x 2+2 √ 7 x+7 e) √ a3 − √ b3 + √ a2 b − √ ab 2 f) x − y+ √ xy 2 − √ y 3 Bµi 4: Rót gän: a) A= 5 √ 25 a 2 − 25 a víi a < 0 b) B = √ 49 a2 +3 a víi a ≥ 0. 3 36 : 15 45. √ √.

(4) c) C = 3 x+ √ x 2+ 6 x+ 9 víi x < - 3 Bµi 5: Rót gän biÓu thøc: 2 a) A = 3 x 49 y2. 7y. √. 9x. víi x > 0; y < 0. 2. 4. 3. d) D =. √ a (a − 2) + a. b) B =. 9 ( x 2 +2 xy + y 2 ) 2 2 2 4 x −y. √. víi a < 2 víi x > - y. c) C = √ 25 a+√ 49 a − √ 64 a víi a > 0 d) D = x + √ xy víi x>0 ; y>0 ; x ≠ − y x−y Bµi 6: Gi¶i ph¬ng tr×nh: a) x 2 − 9 √ x +14=0 b) √ 2 x −1= √ 2 −1 c) √ x2 − 4 x+ 4 − 2 x +5=0 d) 5 √ 12 x − 4 √ 3 x+ 2 √ 48 x=14 e) √ 4 x −20+ √ x − 5− 1 √ 9 x − 45=4 f) √ x+1 − √ x − 2=1 3 Chủ đề 2: Phơng trình bậc hai và định lí Viét. D¹ng 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai. Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh 1) x2 – 6x + 14 = 0 ; 2) 4x2 – 8x + 3 = 0 ; 2 3) 3x + 5x + 2 = 0 ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = 0 ; 2 5) x – 4x + 2 = 0 ; 6) x2 – 2x – 2 = 0 ; 2 7) x + 2 √ 2 x + 4 = 3(x + √ 2 ) ; 8) 2 √ 3 x2 + x + 1 = √ 3 (x + 1) ; 9) x2 – 2( √ 3 - 1)x - 2 √ 3 = 0. Bµi 2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch nhÈm nghiÖm: 1) 3x2 – 11x + 8 = 0 ; 2) 5x2 – 17x + 12 = 0 ; 3) x2 – (1 + √ 3 )x + √ 3 = 0 ; 4) (1 - √ 2 )x2 – 2(1 + √ 2 )x + 1 + 3 √ 2 = 0 ; 5) 3x2 – 19x – 22 = 0 ; 6) 5x2 + 24x + 19 = 0 ; 7) ( √ 3 + 1)x2 + 2 √ 3 x + √ 3 - 1 = 0 ; 8) x2 – 11x + 30 = 0 ; 2 9) x – 12x + 27 = 0 ; 10) x2 – 10x + 21 = 0. D¹ng 2: Chøng minh ph¬ng tr×nh cã nghiÖm, v« nghiÖm. Bµi 1: Chøng minh r»ng c¸c ph¬ng tr×nh sau lu«n cã nghiÖm. 1) x2 – 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ; 2) x2 + (m + 1)x + m = 0 ; 2 2 3) x – (2m – 3)x + m – 3m = 0 ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0 ; 2 2 2 5) x – (2m + 3)x + m + 3m + 2 = 0 ; 6) x – 2x – (m – 1)(m – 3) = 0 ; 7) x2 – 2mx – m2 – 1 = 0 ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – 3 + m = 0 9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0. Bµi 2: a) Chøng minh r»ng víi a, b , c lµ c¸c sè thùc th× ph¬ng tr×nh sau lu«n cã nghiÖm: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 b) Chøng minh r»ng víi ba sè thøc a, b , c ph©n biÖt th× ph¬ng tr×nh sau cã hai nghiÖm ph©n biÕt: 1 1 1 + + =0 (Èn x) x −a x − b x − c. c) Chứng minh rằng phơng trình: c2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = 0 vô nghiệm với a, b, c là độ dài ba c¹nh cña mét tam gi¸c. d) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh bËc hai: (a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = 0 lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt. Bµi 3: a) Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét trong c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai sau ®©y cã nghiÖm: ax2 + 2bx + c = 0 (1) bx2 + 2cx + a = 0 (2) cx2 + 2ax + b = 0 (3) b) Cho bèn ph¬ng tr×nh (Èn x) sau: x2 + 2ax + 4b2 = 0 (1) x2 - 2bx + 4a2 = 0 (2) x2 - 4ax + b2 = 0 (3) 2 2 x + 4bx + a = 0 (4) Chøng minh r»ng trong c¸c ph¬ng tr×nh trªn cã Ýt nhÊt 2 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm. c) Cho 3 ph¬ng tr×nh (Èn x sau):.

(5) 2b √b+ c 1 x+ =0 b+ c c +a 2c √ c +a 1 bx2 − x+ =0 c +a a+b 2a √ a+b 1 cx 2 − x+ =0 a+b b+c ax 2 −. (1) ( 2) (3). víi a, b, c lµ c¸c sè d¬ng cho tríc. Chøng minh r»ng trong c¸c ph¬ng tr×nh trªn cã Ýt nhÊt mét ph¬ng tr×nh cã nghiÖm. Bµi 4: a) Cho ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0. Biết a ≠ 0 và 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh rằng phơng trình đã cho có hai nghiệm. b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) cã hai nghiÖm nÕu mét trong hai ®iÒu kiện sau đợc thoả mãn: a(a + 2b + 4c) < 0 ; 5a + 3b + 2c = 0. Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm của phơng tr×nh bËc hai cho tríc. Bµi 1: Gäi x1 ; x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 – 3x – 7 = 0. TÝnh: A=x 1 + x2 ; 1 1 C= + ; x 1 −1 x 2 − 1 E=x 1 + x 2 ; 2. B=|x 1 − x 2|;. 2. 3. D=( 3x1 + x 2 ) ( 3x2 + x 1 ) ;. 3. F=x 1 + x 2 1 1 vµ . x 1 −1 x 2 −1 4. LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm lµ. 4. Bµi 2: Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 5x2 – 3x – 1 = 0. Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: A=2x 1 −3x 1 x 2 +2x 2 −3x 1 x 2 ; 2 x x x x 1 1 B= 1 + 1 + 2 + 2 − − ; x2 x 2 +1 x 1 x 1+1 x1 x2 3x +5x1 x 2+3x 2 C= 1 . 4x 1 x 2 + 4x 1 x 2 3. 2. 3. 2. (. 2. ). 2. 2. 2. Bµi 3: a) Gäi p vµ q lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai: 3x2 + 7x + 4 = 0. Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y p q thµnh lËp ph¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè b»ng sè mµ c¸c nghiÖm cña nã lµ vµ . q −1. b) LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã 2 nghiÖm lµ. p −1. 1 1 vµ . 10 − √ 72 10+6 √ 2. Bµi 4: Cho ph¬ng tr×nh x2 – 2(m -1)x – m = 0. a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã hai nghiÖm x1 ; x2 víi mäi m. 1. 1. b) Víi m ≠ 0, lËp ph¬ng tr×nh Èn y tho¶ m·n y 1=x 1+ x vµ y 2=x 2+ x . 2 1 Bµi 5: Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh 3x2 + 5x – 6 = 0. H·y tÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau: x1 x + 2 ; x 2 −1 x 1 −1 x +2 x +2 D= 1 + 2 x1 x2. A=( 3x 1 − 2x 2) ( 3x 2 − 2x1 ) ;. B=. C=|x  1 − x 2|;. Bµi 6: Cho ph¬ng tr×nh 2x2 – 4x – 10 = 0 cã hai nghiÖm x1 ; x2. Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y thiÕt lËp ph¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1 Bµi 7: Cho ph¬ng tr×nh 2x2 – 3x – 1 = 0 cã hai nghiÖm x1 ; x2. H·y thiÕt lËp ph¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n: ¿ a ¿ y 1=x 1+ 2¿ y 2=x 2 +2 ¿. b¿ ¿ ¿ y 1=. x1 x ¿ y2 = 2 ¿ ¿ { ¿ x2 x1 2. 2.

(6) Bµi 8: Cho ph¬ng tr×nh x2 + x – 1 = 0 cã hai nghiÖm x1 ; x2. H·y thiÕt lËp ph¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n: ¿. x x y y a ¿ y 1 + y 2= 1 + 2 ¿ 1 + 2 =3x1 +3x 2 ¿ ; x2 x 1 y 2 y 1. b ¿ ¿ ¿ y 1+ y 2=x1 + x 2 ¿ y 1 + y 2 +5x1 +5x 2=0 . ¿ ¿{ 2. 2. 2. 2. Bµi 9: Cho ph¬ng tr×nh 2x2 + 4ax – a = 0 (a tham sè, a ≠ 0) cã hai nghiÖm x1 ; x2. H·y lËp ph¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n: y 1+ y 2=. 1 1 + vµ x1 x2. 1 1 + =x 1+ x2 y1 y2. Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm. Bµi 1: a) Cho ph¬ng tr×nh (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 (Èn x). Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này. b) Cho ph¬ng tr×nh (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0. Tìm m để phơng trình có nghiệm. a) Cho ph¬ng tr×nh: (m – 1)x2 – 2mx + m – 4 = 0. - Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm. - Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó. b) Cho ph¬ng tr×nh: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – 5 = 0. Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt. Bµi 2: 2 a) Cho ph¬ng tr×nh: 4x4. 2. x + 2x +1. −. 2 ( 2m− 1 ) x + m2 − m−6=0 . 2 x +1. Xác định m để phơng trình có ít nhất một nghiệm. b) Cho phơng trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = 0. Xác định m để phơng trình có ít nhất một nghiệm. Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phơng trình ax2 + bx + c = 0 thoả mãn điều kiện cho tríc. Bµi 1: Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. 2) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại. 3) Víi ®iÒu kiÖn nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu (tr¸i dÊu) 4) Víi ®iÒu kiÖn nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng d¬ng (cïng ©m). 5) Định m để phơng trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. 6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = - 2. 7) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nhận giá trị nhỏ nhÊt. Bài 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra: a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – 3 = 0 ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 b) mx2 – (m – 4)x + 2m = 0 ; 2(x12 + x22) = 5x1x2 2 c) (m – 1)x – 2mx + m + 1 = 0 ; 4(x12 + x22) = 5x12x22 2 2 d) x – (2m + 1)x + m + 2 = 0 ; 3x1x2 – 5(x1 + x2) + 7 = 0. Bài 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra: a) x2 + 2mx – 3m – 2 = 0 ; 2x1 – 3x2 = 1 2 2 b) x – 4mx + 4m – m = 0 ; x1 = 3x2 c) mx2 + 2mx + m – 4 = 0 ; 2x1 + x2 + 1 = 0 d) x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = 0 ; x1 = x22 2 3 e) x + (2m – 8)x + 8m = 0 ; x1 = x22 2 2 f) x – 4x + m + 3m = 0 ; x12 + x2 = 6. Bµi 4: a) Cho phơnmg trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – 3 + m = 0. Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. b) Ch phơng trình bậc hai: x2 – mx + m – 1 = 0. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho biÓu thøc R=. 2x 1 x 2 +3 x 1 + x 2 +2(1+ x 1 x 2) 2. đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.. 2. c) Định m để hiệu hai nghiệm của phơng trình sau đây bằng 2. mx2 – (m + 3)x + 2m + 1 = 0. Bµi 5: Cho ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)..

(7) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiÖm kia lµ 9ac = 2b2. Bài 6: Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm mµ nghiÖm nµy gÊp k lÇn nghiÖm kia (k > 0) lµ : kb2 = (k + 1)2.ac D¹ng 6: So s¸nh nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai víi mét sè. Bµi 1: a) Cho phơng trình x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 tho¶ m·n 1 < x1 < x2 < 6. b) Cho phơng trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm ph©n biÖt x1 ; x2 tho¶ m·n: - 1 < x1 < x2 < 1. Bµi 2: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + 1. a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh f(x) = 0 cã nghiÖm víi mäi m. b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f(x) = 0 có hai nghiÖm lín h¬n 2. Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0. a) Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè a, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp. TÝnh c¸c nghiÖm kÐp. b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn – 1. Bµi 4: Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0. a) Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1. b) Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2. Bài 5: Tìm m để phơng trình: x2 – mx + m = 0 có nghiệm thoả mãn x1 ≤ - 2 ≤ x2. D¹ng 7: T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai kh«ng phô thuéc tham sè. Bµi 1: a) Cho ph¬ng tr×nh: x2 – mx + 2m – 3 = 0. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo tham sè m. b) Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = 0. Khi ph¬ng tr×nh cã nghiÖm, h·y t×m mét hÖ thøc gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè m. c) Cho phơng trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = 0. Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm đối với hai số – 1 vµ 1. Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: (m – 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = 0. Khi ph¬ng tr×nh cã nghiÖm, h·y t×m mét hÖ thøc gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè m. Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2mx – m2 – 1 = 0. a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm x1 , x2 víi mäi m. b) T×m biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x1 ; x2 kh«ng phô thuéc vµo m. c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn:. x1 x2 5 . + =− x2 x1 2. Bµi 4: Cho ph¬ng tr×nh: (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0. a) Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh theo m. b) Khi ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 ; x2: - Tìm một hệ thức giữa x1 ; x2 độc lập với m. - T×m m sao cho |x1 – x2| ≥ 2. Bµi 5: Cho ph¬ng tr×nh (m – 4)x2 – 2(m – 2)x + m – 1 = 0. Chøng minh r»ng nÕu ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 ; x2 th×: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + 2 = 0. D¹ng 8: Mèi quan hÖ gi÷a c¸c nghiÖm cña hai ph¬ng tr×nh bËc hai. KiÕn thøc cÇn nhí: 1/ Định giá trị của tham số để phơng trình này có một nghiệm bằng k (k ≠ 0) lần một nghiệm của phơng trình kia: XÐt hai ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 (1) a’x2 + b’x + c’ = 0 (2) trong đó các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ phụ thuộc vào tham số m. Định m để sao cho phơng trình (2) có một nghiệm bằng k (k ≠ 0) lần một nghiệm của phơng trình (1), ta cã thÓ lµm nh sau: i) Gi¶ sö x0 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) th× kx0 lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2), suy ra hÖ ph¬ng tr×nh:.

(8) ¿ ax 0 + bx 0 +c=0 a'k 2 x 0 + b'kx0 +c'=0 (∗) ¿{ ¿ 2. 2. Giải hệ phơng trình trên bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại số để tìm m. ii) Thay các giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) và (2) để kiểm tra lại. 2/ Định giá trị của tham số m để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với nhau. XÐt hai ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (3) a’x2 + b’x + c’ = 0 (a’ ≠ 0) (4) Hai phơng trình (3) và (4) tơng đơng với nhau khi và chỉ khi hai phơng trình có cùng 1 tập nghiệm (kÓ c¶ tËp nghiÖm lµ rçng). Do đó, muỗn xác định giá trị của tham số để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với nhau ta xét hai trờng hợp sau: i) Trêng hîp c¶ hai ph¬ng trinhg cuïng v« nghiÖm, tøc lµ: ¿ Δ(3) <0 Δ(4 )< 0 ¿{ ¿. Giải hệ trên ta tịm đợc giá trị của tham số. ii) Trờng hợp cả hai phơng trình đều có nghiệm, ta giải hệ sau: ¿ Δ(3) ≥0 Δ(4) ≥ 0 S(3) =S(4 ) P(3) =P(4 ) ¿{{{ ¿. Chú ý: Bằng cách đặt y = x2 hệ phơng trình (*) có thể đa về hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn nh sau: ¿ bx+ay =−c b'x+a'y=− c' ¿{ ¿. §Ó gi¶i quyÕt tiÕp bµi to¸n, ta lµm nh sau: - Tìm điều kiện để hệ có nghiệm rồi tính nghiệm (x ; y) theo m. - T×m m tho¶ m·n y = x2. - KiÓm tra l¹i kÕt qu¶. Bài 1: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: 2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0 4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0 Bài 2: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó: a) 2x2 + (3m + 1)x – 9 = 0; 6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0. b) 2x2 + mx – 1 = 0; mx2 – x + 2 = 0. 2 2 c) x – mx + 2m + 1 = 0; mx – (2m + 1)x – 1 = 0. Bµi 3: XÐt c¸c ph¬ng tr×nh sau: ax2 + bx + c = 0 (1) cx2 + bx + a = 0 (2) Tìm hệ thức giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phơng trình trên có một nghiệm chung duy nhÊt. Bµi 4: Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 – 2mx + 4m = 0 (1) x2 – mx + 10m = 0 (2) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm của phơng trình (1). Bµi 5: Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 + x + a = 0.

(9) x2 + ax + 1 = 0 a) Tìm các giá trị của a để cho hai phơng trình trên có ít nhất một nghiệm chung. b) Với những giá trị nào của a thì hai phơng trình trên tơng đơng. Bµi 6: Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 + mx + 2 = 0 (1) x2 + 2x + m = 0 (2) a) Định m để hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung. b) Định m để hai phơng trình tơng đơng. c) Xác định m để phơng trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt Bµi 7: Cho c¸c ph¬ng tr×nh: x2 – 5x + k = 0 (1) x2 – 7x + 2k = 0 (2) Xác định k để một trong các nghiệm của phơng trình (2) lớn gấp 2 lần một trong các nghiệm của ph¬ng tr×nh (1). Chủ đề 3: Hệ phơng trình. A - HÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: Dạng 1: Giải hệ phơng trình cơ bản và đa đợc về dạng cơ bản Bµi 1: Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh 1¿ 3x −2y=4 ¿ 2x+ y =5 ¿;. 2 ¿ ¿ ¿ 4x −2y=3¿ 6x −3y=5 ¿ ;. 3 ¿ ¿ ¿ 2x+ 3y=5 ¿ 4x+ 6y=10 ¿ ¿ ¿ 4 ¿ ¿. Bµi 2: Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau: 1¿ ( 3x +2 ) ( 2y −3 )=6xy ¿ ( 4x+5 )( y −5 ) =4xy ¿;. 2 ¿ ¿ ¿ ( 2x-3 ) (2y + 4 ) =4x ( y −3 )+54 ¿ ( x+1 ) ( 3y − 3 )=3y ( x+. Dạng 2: Giải hệ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau 1¿. 2 1 4 3 + =3 ¿ − =1 ¿; x+ 2y y+ 2x x+2y y +2x. 2¿ ¿¿. 3x 2 2x 5 − =4 ¿ − =9 ¿ ; x+ 1 y +4 x +1 y +4. 3¿ ¿¿. x +1 3y + x −1 y. Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc Bµi 1: a) Định m và n để hệ phơng trình sau có nghiệm là (2 ; - 1). ¿ 2mx − ( n+1 ) y=m −n ( m+ 2 ) x +3ny=2m −3 ¿{ ¿. b) §Þnh a vµ b biÕt ph¬ng tr×nh: ax2 - 2bx + 3 = 0 cã hai nghiÖm lµ x = 1 vµ x = -2. Bài 2: Định m để 3 đờng thẳng sau đồng quy: a) 2x – y = m ; x = y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – 1 b) mx + y = m2 + 1 ; (m + 2)x – (3m + 5)y = m – 5 ; (2 - m)x – 2y = - m2 + 2m – 2. Bµi 3: Cho hÖ ph¬ng tr×nh ¿ mx+ 4y=10 −m x +my=4 ( m lµ tham sè) ¿{ ¿. a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi m = √ 2 . b) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ theo m. c) Xác định các giá tri nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y > 0. d) Víi gi¸ trÞ nguyªn nµo cña m th× hÖ cã nghiÖm (x ; y) víi x, y lµ c¸c sè nguyªn d¬ng. e) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho S = x2 – y2 đạt giá trị nhỏ nhất. (câu hỏi tơng tù víi S = xy). f) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm M(x ; y) luôn nằm trên một đờng thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau..

(10) ¿ ( m− 1 ) x −my=3m− 1 Bµi 4: Cho hÖ ph¬ng tr×nh: 2x − y=m+5 ¿{ ¿. a) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ theo m. b) Víi c¸c gi¸ trÞ nguyªn nµo cña m th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x ; y) sao cho x > 0, y < 0. c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất. d) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x2 + 2y = 0. (Hoặc: sao cho M (x ; y) n»m trªn parabol y = - 0,5x2). e) Chøng minh r»ng khi hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x ; y) th× ®iÓm D(x ; y) lu«n lu«n n»m trªn mét đờng thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau. ¿ x +my =2 mx −2y=1 ¿{ ¿. Bµi 5: Cho hÖ ph¬ng tr×nh:. a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh trªn khi m = 2. b) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x > 0 và y < 0. c) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x, y là các số nguyên. d) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà S = x – y đạt giá trị lớn nhất. B - Một số hệ bậc hai đơn giản: Dạng 1: Hệ đối xứng loại I VÝ dô: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh Bµi tËp t¬ng tù: Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau: 2. 2. 2. ¿ x + y + xy=11 2 2 x + y +3 ( x + y )=28 ¿{ ¿. 2. 1¿ x + y + x+ y=8 ¿ x + y + xy=7 ¿. 2. 2. 2. 2 ¿ ¿ ¿ x +xy + y =4 ¿ x+ xy + y=2 ¿ ¿ ¿ 3 ¿ ¿ ¿ xy + x + y=19 ¿ x y. Dạng 2: Hệ đối xứng loại II VÝ dô: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh Bµi tËp t¬ng tù: Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau: 2. ¿ x 3 +1=2y y 3 +1=2 x ¿{ ¿. 2. 1¿ x +1=3y ¿ y +1=3x ¿ 9 ¿ x 2 −3x= y ¿ y 2 − 3y=x ¿. 2. 2. 2. 2. 3. 3. 2¿ ¿ ¿ x y +2= y ¿ xy +2=x ¿ ¿ ¿ 3 ¿ ¿ ¿ x =2x+ y ¿ y =2y + x ¿ ¿. 10 ¿ ¿ ¿ x3 =7x+3y ¿ y 3=7y+ 3x ¿ ¿ { ¿. Dạng 3: Hệ bậc hai giải bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại số Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau: 1¿ x + y −1=0¿ x 2 + xy+3=0 ¿. Chủ đề 4: Hàm số và đồ thị. Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số Bài 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y = 2x – 5 ; Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 khi: a) a = 2 ;. 2¿ ¿ ¿ x 2 − xy − y 2=12 ¿ xy − x 2+ y 2 =8 ¿ ¿ ¿3 ¿. b) y = - 0,5x + 3 b) a = - 1..

(11) Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng Bìa 1: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết: a) (d) ®i qua A(1 ; 2) vµ B(- 2 ; - 5) b) (d) đi qua M(3 ; 2) và song song với đờng thẳng () : y = 2x – 1/5. c) (d) đi qua N(1 ; - 5) và vuông góc với đờng thẳng (d’): y = -1/2x + 3. d) (d) ®i qua D(1 ; 3) vµ t¹o víi chiÒu d¬ng trôc Ox mét gãc 300. e) (d) đi qua E(0 ; 4) và đồng quy với hai đờng thẳng f) (): y = 2x – 3; (’): y = 7 – 3x t¹i mét ®iÓm. g) (d) đi qua K(6 ; - 4) và cách gốc O một khoảng bằng 12/5 (đơn vị dài). Bài 2: Gọi (d) là đờng thẳng y = (2k – 1)x + k – 2 với k là tham số. a) Định k để (d) đi qua điểm (1 ; 6). b) Định k để (d) song song với đờng thẳng 2x + 3y – 5 = 0. c) Định k để (d) vuông góc với đờng thẳng x + 2y = 0. d) Chứng minh rằng không có đờng thẳng (d) nào đi qua điểm A(-1/2 ; 1). e) Chứng minh rằng khi k thay đổi, đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định. Dạng 3: Vị trí tơng đối giữa đờng thẳng và parabol Bµi 1: a) Biết đồ thị hàm số y = ax2 đi qua điểm (- 2 ; -1). Hãy tìm a và vẽ đồ thị (P) đó. b) Gọi A và B là hai điểm lần lợt trên (P) có hoành độ lần lợt là 2 và - 4. Tìm toạ độ A và B từ đó suy ra phơng trình đờng thẳng AB. Bµi 2: Cho hµm sè y=− 1 x 2 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên. b) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc với (P). Bµi 3: Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol (P): y=− 1 x 2 và đờng thẳng (D): y = mx - 2m - 1. 4 a) Vẽ độ thị (P). b) T×m m sao cho (D) tiÕp xóc víi (P). c) Chứng tỏ rằng (D) luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P). Bµi 4: Cho hµm sè y=− 1 x 2 2 a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên. b) Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lợt có hoành độ là - 2; 1. Viết phơng trình đờng thẳng MN. c) Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đờng thẳng MN và chỉ c¾t (P) t¹i mét ®iÓm. Bµi 5: Trong cùng hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax2 (a  0) và đờng thẳng (D): y = kx + b. 1) T×m k vµ b cho biÕt (D) ®i qua hai ®iÓm A(1; 0) vµ B(0; - 1). 2) Tìm a biết rằng (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc ở câu 1). 3)Vẽ (D) và (P) vừa tìm đợc ở câu 1) và câu 2). 4) Gọi (d) là đờng thẳng đi qua điểm C 3 ; −1. (2 ). vµ cã hÖ sè gãc m. a) ViÕt ph¬ng tr×nh cña (d). b) Chứng tỏ rằng qua điểm C có hai đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) và vuông góc với nhau. Chủ đề 5: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình. Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, trên đờng sông có tính đến dòng nớc chảy) Bµi 1: Một ôtô đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đờng AB và thời gian dự định đi lúc đầu. Bµi 2: Một ngời đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định trớc. Sau khi đợc 1 3 quãng đờng AB ngời đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đờng còn lại. Tìm vận tốc dự định và thời gian xe lăn bánh trên đờng, biết rằng ngời đó đến B sớm hơn dự định 24 phút. Bµi 3:.

(12) Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngợc từ B trở vÒ A. Thêi gian xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ngîc 1 giê 20 phót. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai bÕn A vµ B. BiÕt r»ng vËn tèc dßng níc lµ 5 km/h vµ vËn tèc riªng cña can« lóc xu«i vµ lóc ngîc b»ng nhau. Bµi 4: Mét can« xu«i mét khóc s«ng dµi 90 km råi ngîc vÒ 36 km. BiÕt thêi gian xu«i dßng s«ng nhiÒu h¬n thêi gian ngîc dßng lµ 2 giê vµ vËn tèc khi xu«i dßng h¬n vËn tèc khi ngîc dßng lµ 6 km/h. Hái vËn tèc can« lóc xu«i vµ lóc ngîc dßng. D¹ng 2: To¸n lµm chung – lµn riªng (to¸n vßi níc) Bµi 1: Hai ngêi thî cïng lµm chung mét c«ng viÖc trong 7 giê 12 phót th× xong. NÕu ngêi thø nhÊt lµm trong 5 giờ và ngời thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai ngời chỉ làm đợc 3 công việc. Hỏi một ng4 ời làm công việc đó trong mấy giờ thì xong? Bµi 2: Nếu vòi A chảy 2 giờ và vòi B chảy trong 3 giờ thì đợc 4 hồ. Nếu vòi A chảy trong 3 giờ và vòi 5. 1 2. B chảy trong 1 giờ 30 phút thì đợc hå. Hái nÕu ch¶y mét m×nh mçI vßi ch¶y trong bao l©u míi ®Çy hå. Bµi 3: Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét bÓ th× sau 6 giê ®Çy bÓ. NÕu mçi vßi ch¶y mét m×nh cho ®Çy bÓ th× vßi II cÇn nhiÒu thêi gian h¬n vßi I lµ 5 giê. TÝnh thêi gian mçi vßi ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ? Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm. Bµi 1: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy. Trong tháng hai, tổ I vợt mức 15%, tổ II vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiªu chi tiÕt m¸y?. Bµi 2: N¨m ngo¸i tæng sè d©n cña hai tØnh A vµ B lµ 4 triÖu ngêi. D©n sè tØnh A n¨m nay t¨ng 1,2%, cßn tØnh B t¨ng 1,1%. Tæng sè d©n cña c¶ hai tØnh n¨m nay lµ 4 045 000 ngêi. TÝnh sè d©n cña mçi tØnh n¨m ngo¸i vµ n¨m nay? D¹ng 4: To¸n cã néi dung h×nh häc. Bµi 1: Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi là 280 m. Ngời ta làm lối đi xung quanh vờn (thuộc đất trong vờn) rộng 2 m. Tính kích thớc của vờn, biết rằng đất còn lại trong vờn để trồng trọt là 4256 m2. Bµi 2: Cho mét h×nh ch÷ nhËt. NÕu t¨ng chiÒu dµi lªn 10 m, t¨ng chiÒu réng lªn 5 m th× diÖn tÝch t¨ng 500 m2. NÕu gi¶m chiÒu dµi 15 m vµ gi¶m chiÒu réng 9 m th× diÖn tÝch gi¶m 600 m 2. TÝnh chiÒu dµi, chiÒu réng ban ®Çu. Bµi 3: Cho mét tam gi¸c vu«ng. NÕu t¨ng c¸c c¹nh gãc vu«ng lªn 2 cm vµ 3 cm th× diÖn tÝch tam gi¸c t¨ng 50 cm2. NÕu gi¶m c¶ hai c¹nh ®i 2 cm th× diÖn tÝch sÏ gi¶m ®i 32 cm 2. TÝnh hai c¹nh gãc vu«ng. D¹ng 5: To¸n vÒ t×m sè. Bµi 1: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị. Bµi 2: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó và nếu số cần tìm chia cho tổng các chữ số của nó thì đợc thơng là 4 và số d là 3. Bµi 3: Nếu tử số của một phân số đợc tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng 1 . Nếu 4. tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng 5 . Tìm phân số đó. 24 Bµi 4: NÕu thªm 4 vµo tö vµ mÉu cña mét ph©n sè th× gi¸ trÞ cña ph©n sè gi¶m 1. NÕu bít 1 vµo c¶ tö vµ mẫu, phân số tăng 3 . Tìm phân số đó. 2. Chủ đề 6: Phơng trình quy về phơng trình bậc hai..

(13) D¹ng 1: Ph¬ng tr×nh cã Èn sè ë mÉu. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: ¿. a. x x+ 3 2x − 1 x +3 t2 2t 2+5t + =6 ¿ b ¿ +3= ¿c ¿ +t= ¿ x −2 x −1 x 2x −1 t−1 t+1. D¹ng 2: Ph¬ng tr×nh chøa c¨n thøc. ¿ Lo¹i √ A=√ B ⇔ A ≥0 (hayB ≥0) A=B ¿ Lo¹i √ A=B ⇔ B≥0 A=B2 ¿ ¿{ ¿. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 2. 2. ¿ b ¿ √ ( x+2 ) = √3x − 5x+14 ¿ c ¿ √ 2x +3x −5=x +1 2. a √ 2x −3x − 11= √ x − 1. Dạng 3: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:. 2. 2. ¿ b¿ |x +2|−2x +1=x +2x+3 ¿ c ¿. 2. 2. a|x − 1|+ x =x +3. |x 4 +2x 2 +2|+ x 2+ x =x 4 − 4. D¹ng 4: Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) 4x4 + 7x2 – 2 = 0 ; b) x4 – 13x2 + 36 = 0; 4 2 c) 2x + 5x + 2 = 0 ; d) (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 – 9 = 0. D¹ng 5: Ph¬ng tr×nh bËc cao. Giải các phơng trình sau bằng cách đa về dạng tích hoặc đặt ẩn phụ đa về phơng trình bậc hai: Bµi 1: a) 2x3 – 7x2 + 5x = 0 ; b) 2x3 – x2 – 6x + 3 = 0 ; c) x4 + x3 – 2x2 – x + 1 = 0 ; d) x4 = (2x2 – 4x + 1)2. Bµi 2: a) (x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – 3 = 0 c) (x2 + 4x + 2)2 +4x2 + 16x + 11 = 0. (. c x ¿2 − x+ 2 √ x 2 − x +3=0. d ¿ 4 x2 +. 1 1 x 2+ x −5 3x −16 x + +23=0 ¿ e ¿ + 2 + 4=0 x x x2 x +x− 5. ) ( ). Bµi 3: a) 6x5 – 29x4 + 27x3 + 27x2 – 29x +6 = 0 b) 10x4 – 77x3 + 105x2 – 77x + 10 = 0 c) (x – 4,5)4 + (x – 5,5)4 = 1 d) (x2 – x +1)4 – 10x2(x2 – x + 1)2 + 9x4 = 0 Bµi tËp vÒ nhµ: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: ¿ 1.. 2.. 3.. 4.. ¿ + 3 =1 a1 2 ( x − 1 ) x 2 −1 4. a) x4 – 34x2 + 225 = 0 c) 9x4 + 8x2 – 1 = 0 e) a2x4 – (m2a2 + b2)x2 + m2b2 = 0. 4x x+ 3 b¿ + =6 ¿ x +1 x. c¿. 2x+2 x −2 − x= 4 x−4. b) x4 – 7x2 – 144 = 0 d) 9x4 – 4(9m2 + 4)x2 + 64m2 = 0 (a ≠ 0). a) (2x2 – 5x + 1)2 – (x2 – 5x + 6)2 = 0 b) (4x – 7)(x2 – 5x + 4)(2x2 – 7x + 3) = 0 c) (x3 – 4x2 + 5)2 = (x3 – 6x2 + 12x – 5)2 d) (x2 + x – 2)2 + (x – 1)4 = 0 e) (2x2 – x – 1)2 + (x2 – 3x + 2)2 = 0 a) x4 – 4x3 – 9(x2 – 4x) = 0. b) x4 – 6x3 + 9x2 – 100 = 0.

(14) 5.. 6.. c) x4 – 10x3 + 25x2 – 36 = 0. d) x4 – 25x2 + 60x – 36 = 0. a) x3 – x2 – 4x + 4 = 0 c) x3 – x2 + 2x – 8 = 0 e) x3 – 2x2 – 4x – 3 = 0. b) 2x3 – 5x2 + 5x – 2 = 0 d) x3 + 2x2 + 3x – 6 = 0. a) (x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12 = 0. b) (x4 + 4x2 + 4) – 4(x2 + 2) – 77 = 0. c) x2 – 4x – 10 - 3 √ ( x+2 ) ( x − 6 ) = 0 7.. d). (. 2x − 1 2 2x −1 −4 +3=0 x +2 x +2. ) (. ). e) √ x+ √5 − x + √ x ( 5 − x )=5 a) (x + 1)(x + 4)(x2 + 5x + 6) = 24. b) (x + 2)2(x2 + 4x) = 5. 1 1 c) 3 x 2 + 2 −16 x+ +26=0. 1 1 d) 2 x 2+ 2 −7 x − +2=0. (. ( x) x ). (. x. ) ( x). 8. a √ x2 − 4x=√ x +14. b¿. √2x 2 + x − 9=| x −1|¿ c ¿ √ 2x2 +6x+ 1=x +2. 9. Định a để các phơng trình sau có 4 nghiệm a) x4 – 4x2 + a = 0 b) 4y4 – 2y2 + 1 – 2a = 0 4 2 2 c) 2t – 2at + a – 4 = 0. PhÇn II: H×nh häc Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện của một hình. Bµi 1: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn tâm O. D và E lần lợt là điểm chính giữa của các cung AB vµ AC. DE c¾t AB ë I vµ c¾t AC ë L. a) Chøng minh DI = IL = LE. b) Chøng minh tø gi¸c BCED lµ h×nh ch÷ nhËt. c) Chøng minh tø gi¸c ADOE lµ h×nh thoi vµ tÝnh c¸c gãc cña h×nh nµy. Bµi 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn có các đờng chéo vuông góc với nhau tại I. a) Chứng minh rằng nếu từ I ta hạ đờng vuông góc xuống một cạnh của tứ giác thì đờng vuông góc này qua trung điểm của cạnh đối diện của cạnh đó. b) Gọi M, N, R, S là trung điểm của các cạnh của tứ giác đã cho. Chứng minh MNRS là hình chữ nhËt. c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật này đi qua chân các đờng vuông góc hạ từ I xuèng c¸c c¹nh cña tø gi¸c. Bµi 3: Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v) có AH là đờng cao. Hai đờng tròn đờng kính AB và AC có tâm là O1 và O2. Một cát tuyến biến đổi đi qua A cắt đờng tròn (O1) và (O2) lần lợt tại M và N. a) Chøng minh tam gi¸c MHN lµ tam gi¸c vu«ng. b) Tø gi¸c MBCN lµ h×nh g×? c) Gọi F, E, G lần lợt là trung điểm của O1O2, MN, BC. Chứng minh F cách đều 4 điểm E, G, A, H. d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A thì E vạch một đờng nh thế nào? Bµi 4: Cho hình vuông ABCD. Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đờng tròn phía trong hình vuông.Lấy AB làm đờng kính , vẽ 1/2 đờng tròn phía trong hình vuông. Gọi P là điểm tuỳ ý trên cung AC ( không trùng với A và C). H và K lần lợt là hình chiếu của P trên AB và AD, PA và PB cắt nửa đờng tròn lần lợt ở I và M. a) Chøng minh I lµ trung ®iÓm cña AP. b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui. c) Chøng minh PM = PK = AH d) Chøng minh tø gi¸c APMH lµ h×nh thang c©n. đ) Tìm vị trí điểm P trên cung AC để tam giác APB là đều. Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đờng tròn. Bµi 1: Cho hai đờng tròn (O), (O') cắt nhau tại A, B. Các tiếp tuyến tại A của (O), (O') cắt (O'), (O) lần l ợt tại các điểm E, F. Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EAF. a) Chøng minh tø gi¸c OAO'I lµ h×nh b×nh hµnh vµ OO'//BI. b) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' cùng thuộc một đờng tròn..

(15) c) KÐo dµi AB vÒ phÝa B mét ®o¹n CB = AB. Chøng minh tø gi¸c AECF néi tiÕp. Bµi 2: Cho tam giác ABC. Hai đờng cao BE và CF cắt nhau tại H.Gọi D là điểm đối xứng của H qua trung ®iÓm M cña BC. a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đợc trong một đờng tròn.Xác định tâm O của đờng tròn đó. b) Đờng thẳng DH cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ 2 là I. Chứng minh rằng 5 điểm A, I, F, H, E cùng nằm trên một đờng tròn. Bµi 3: Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Tia OA cắt đờng tròn (O') tại C, tia O'A cắt đờng trßn (O) t¹i D. Chøng minh r»ng: a) Tø gi¸c OO'CD néi tiÕp. b) Tứ giác OBO'C nội tiếp, từ đó suy ra năm điểm O, O', B, C, D cùng nằm trên một đờng tròn. Bµi 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn đờng kính AD. Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại E. VÏ EF vu«ng gãc AD. Gäi M lµ trung ®iÓm cña DE. Chøng minh r»ng: a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp đợc. b) Tia CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BCF. c)* Tứ giác BCMF nội tiếp đợc. Bµi 5: Từ một điểm M ở bên ngoài đờng tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn. Trên cung nhá AB lÊy mét ®iÓm C. VÏ CD  AB, CE  MA, CF  MB. Gäi I lµ giao ®iÓm cña AC vµ DE, K lµ giao ®iÓm cña BC vµ DF. Chøng minh r»ng: a) Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp đợc. b) CD2 = CE. CF c)* IK // AB Bµi 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O). Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đờng tròn. Vẽ hai đờng cao BD vµ CE. a) Chứng minh rằng bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đờng tròn. b) Chứng minh rằng xy// DE, từ đó suy ra OA  DE. Bµi 7: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn (O). Trên cung nhỏ AB lấy một điểm M. Đờng thẳng qua A song song víi BM c¾t CM t¹i N. a) Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác đều. b) Chøng minh r»ng MA + MB = MC. c)* Gäi D lµ giao ®iÓm cña AB vµ CM. Chøng minh r»ng: 1 + 1 = 1 AM MB MD Bµi 8: Cho ba điểm A, B, C cố định với B nằm giữa A và C. Một đờng tròn (O) thay đổi đi qua B và C. Vẽ đờng kính MN vuông góc với BC tại D ( M nằm trên cung nhỏ BC).Tia AN cắt đờng tròn (O) Tại mét ®iÓm thø hai lµ F. Hai d©y BC vµ MF c¾t nhau t¹i E. Chøng minh r»ng: a) Tứ giác DEFN nội tiếp đợc. b) AD. AE = AF. AN c) Đờng thẳng MF đi qua một điểm cố định. Bµi 9: Từ một điểm A ở bên ngoài đờng tròn ( O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn. Gọi M là trung điểm của AB. Tia CM cắt đờng tròn tại điểm N. Tia AN cắt đờng tròn tại điểm D. a) Chøng minh r»ng MB2 = MC. MN b) Chøng minh r»ng AB// CD c) Tìm điều kiện của điểm A để cho tứ giác ABDC là hình thoi. Tính diện tích cử hình thoi đó. Bµi 10: Cho đờng tròn (O) và một dây AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Vẽ đờng kính MN Cắt AB tại I. Gọi D là một điểm thuộc dây AB. Tia MD cắt đờng tròn (O) tại C. a) Chứng minh rằng tứ giác CDIN nội tiếp đợc b) Chứng minh rằng tích MC. MD có giá trị không đổi khi D di động trên dây AB. c) Gọi O' là tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD. Chøng minh r»ng MAB = 1  AO'D. 2 d) Chứng minh rằng ba điểm A, O', N thẳng hàng và MA là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam gi¸c ACD. Bµi 11:.

(16) Cho tam giác ABC vuông ở A ( AB < AC), đờng cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy D sao cho HD = HB. VÏ CE vu«ng gãc víi AD ( E  AD). a) Chøng minh r»ng AHEC lµ tø gi¸c néi tiÕp. b) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC. c) Chøng minh r»ng CH lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ACE. d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng CA. CH và cung nhỏ AH của đờng tròn nói trªn biÕt AC= 6cm, ACB = 300. Bµi 12: Cho đờng tròn tâm O có đờng kính BC. Gọi A là Một điểm thuộc cung BC ( AB < AC), D là điểm thuéc b¸n kÝnh OC. §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC ë E, c¾t tia BA ë F. a) Chøng minh r»ng ADCF lµ tø gi¸c néi tiÕp. b) Gäi M lµ trung ®iÓm cña EF. Chøng minh r»ng AME = 2 ACB. c) Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến của đờng tròn (O). d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng BC, BA và cung nhỏ AC của đờng tròn (O) biÕt BC= 8cm, ABC = 600. Bµi 13: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R. Điểm M thuộc nửa đờng tròn. Vẽ đờng tròn tâm M tiếp xúc với AB ( H là tiếp điểm). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đờng tròn (M) ( C, D là tiếp ®iÓm). a) Chøng minh r»ng C, M, D th¼ng hµng b) Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đờng tròn (O). c) TÝnh tæng AC + BD theo R. d) TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c ABDC biÕt AOM = 600. Bµi 14: Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (A = 900), trung ®iÓm I cña c¹nh BC. XÐt mét ®iÓm D trªn tia AC. Vẽ đờng tròn (O) tiếp xúc với các cạnh AB, BD, DA tại các điểm tơng ứng M, N, P. a) Chứng minh rằng 5 điểm B, M, O, I, N nằm trên một đờng tròn. b) Chøng minh r»ng ba ®iÓm N, I, P th¼ng hµng. c) Gäi giao ®iÓm cña tia BO víi MN, NP lÇn lît lµ H, K. Tam gi¸c HNK lµ tam gi¸c g×, t¹i sao? d) Tìm tập hợp điểm K khi điểm D thay đổi vị trí trên tia AC. Chủ đề 3: Chứng minh các điểm thẳng hàng, các đờng thẳng đồng quy. Bµi 1: Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B. Đờng thẳng AO cắt đờng tròn (O) và (O') lần lợt tại C và C'. Đờng thẳng AO' cắt đờng tròn (O) và (O') lần lợt tại D và D'. a) Chøng minh C, B, D' th¼ng hµng b) Chøng minh tø gi¸c ODC'O' néi tiÕp c) Đờng thẳng CD và đờng thẳng D'C' cắt nhau tại M. Chứng minh tứ giác MCBC' nội tiếp. Bµi 2: Từ một điểm C ở ngoài đờng tròn ( O) kể cát tuyến CBA. Gọi IJ là đờng kính vuông góc với AB. Các đờng thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đờng tròn (O) tại M, N. a) Chứng minh rằng IN, JM và AB đồng quy tại một điểm D. b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại M, N đi qua trung điểm E của CD. Bµi 3: Cho hai đờng tròn ( O; R) và ( O'; R' ) tiếp xúc ngoài tại A ( R> R' ). Đờng nối tâm OO' cắt đờng tròn (O) và (O') theo thứ tự tại B và C ( B và C khác A). EF là dây cung của đờng tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm I của BC, EC cắt đờng tròn (O') tại D. a) Tø gi¸c BEFC lµ h×nh gi? b) Chøng minh ba ®iÓm A, D, F th¼ng hµng. c) CF cắt đờng tròn (O’) tại G. Chứng minh ba đờng EG, DF và CI đồng quy. d) Chứng minh ID tiếp xúc với đờng tròn (O’). Bµi 4: Cho đờng tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại C. AC và BC là đờng kính của (O) và (O’), DE là tiếp tuyÕn chung ngoµi (D  (O), E  (O’)). AD c¾t BE t¹i M. a) Tam gi¸c MAB lµ tam gi¸c g×? b) Chøng minh MC lµ tiÕp tuyÕn chung cña (O) vµ (O’). c) KÎ Ex, By vu«ng gãc víi AE, AB. Ex c¾t By t¹i N. Chøng minh D, N, C th¼ng hµng. d) Về cùng phía của nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đờng tròn đờng kính AB và OO’. Đờng thẳng qua C cắt hai nửa đờng tòn trên tại I, K. Chứng minh OI // AK. Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định. Bµi 1: Cho đờng tròn (O ; R). Đờng thẳng d cắt (O) tại A, B. C thuộc d ở ngoài (O). Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đờng kính PQ cắt AB tại D. CP cắt (O) tại điểm thứ hai I, AB cắt IQ tại K. a) Chøng minh tø gi¸c PDKI néi tiÕp..

(17) b) Chøng minh: CI.CP = CK.CD. c) Chøng minh IC lµ ph©n gi¸c ngoµi cña tam gi¸c AIB. d) A, B, C cố định, (O) thay đổi nhng vẫn luôn qua A, B. Chứng minh rằng IQ luôn đi qua điểm cố định. Bµi 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O ; R). M di động trên AB. N di động trên tia đối của tia CA sao cho BM = CN. a) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) tại A và D. Chứng minh rằng D cố định. b) TÝnh gãc MDN. c) MN c¾t BC t¹i K. Chøng minh DK vu«ng gãc víi MN. d) Đặt AM = x. Tính x để diện tích tam giác AMN là lớn nhất. Bµi 3: Cho (O ; R). Điểm M cố định ở ngoài (O). Cát tuyến qua M cắt (O) tại A và B. Tiếp tuyến của (O) t¹i A vµ B c¾t nhau t¹i C. a) Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đờng tròn tâm K. b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định là O và H khi cát tuyến quay quanh M. c) CH c¾t AB t¹i N, I lµ trung ®iÓm AB. Chøng minh MA.MB = MI.MN. d) Chøng minh: IM.IN = IA2. Bµi 4: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB tâm O. C là điểm chính giữa cung AB. M di động trên cung nhỏ AC. LÊy N thuéc BM sao cho AM = BN. a) So s¸nh tam gi¸c AMC vµ BCN. b) Tam gi¸c CMN lµ tam gi¸c g×? c) KÎ d©y AE//MC. Chøng minh tø gi¸c BECN lµ h×nh b×nh hµnh. d) Đờng thẳng d đi qua N và vuông góc với BM. Chứng minh d luôn đi qua điểm cố định. Bµi 5: Cho đờng tròn (O ; R), đờng thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D. Điểm M tuỳ ý trên d, kẻ tiếp tuyÕn MA, MB. I lµ trung ®iÓm cña CD. a) Chứng minh 5 điểm M, A, I, O, B cùng thuộc một đờng tròn. b) Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c MAB, tø gi¸c OAHB lµ h×nh g×? c) Khi M di đồng trên d. Chứng minh rằng AB luôn qua điểm cố định. d) §êng th¼ng qua C vu«ng gãc víi OA c¾t AB, AD lÇn lît t¹i E vµ K. Chøng minh EC = EK. Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng và chứng minh đẳng thức hình học. Bµi 1: Cho đờng tròn (O) và dây AB. M là điểm chính giữa cung AB. C thuộc AB, dây MD qua C. a) Chøng minh MA2 = MC.MD. b) Chøng minh MB.BD = BC.MD. c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB tại B. d) Gọi R1, R2 là bán kính các đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD. Chứng minh R 1 + R2 không đổi khi C di động trên AB. Bµi 2: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R và một điểm M trên nửa đờng tròn (M khác A, B). Tiếp tuyến tại M của nửa đờng tròn cắt các tiếp tuyến tại A, B lần lợt ở C và E. a) Chøng minh r»ng CE = AC + BE. b) Chøng minh AC.BE = R2. c) Chứng minh tam giác AMB đồng dạng với tam giác COE. d) Xét trờng hợp hai đờng thẳng AB và CE cắt nhau tại F. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trªn AB. + Chøng minh r»ng: HA = FA . HB FB + Chứng minh tích OH.OF không đổi khi M di động trên nửa đờng tròn. Bµi 3: Trên cung BC của đờng tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P bất kì. Các đờng thẳng AP vµ BC c¾t nhau t¹i Q. Chøng minh r»ng: 1 = 1 + 1 . PQ PB PC Bµi 4: Cho góc vuông xOy. Trên tia Ox đặt đoạn OA = a. Dựng đờng tròn (I ; R) tiếp xúc với Ox tại A và c¾t Oy t¹i hai ®iÓm B, C. Chøng minh c¸c hÖ thøc: a). 1 1 1 + 2= 2 . 2 AB AC a. b) AB2 + AC2 = 4R2. Chủ đề 6: Các bài toán về tính số đo góc và số đo diện tích..

(18) Bµi 1: Cho hai đờng tròn (O; 3cm) và (O’;1 cm) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC (B  (O); C  (O’)). a) Chøng minh r»ng gãc O’OB b»ng 600. b) Tính độ dài BC. c) Tính diện tích hình giới hạn bởi tiếp tuyến BC và các cung AB, AC của hai đờng tròn. Bµi 2: Cho ®iÓm C thuéc ®o¹n th¼ng AB sao cho AC = 10 cm, CB = 40 cm. VÏ vÒ mét phÝa cña AB c¸c nửa đờng tròn có đờng kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K. Đờng vuông góc với AB tại C cắt nửa đờng tròn (O) ở E. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB với các nửa đờng tròn (I), (K). a) Chøng ming r»ng EC = MN. b) Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến chung của các nửa đờng tròn (I), (K). c) Tính độ dài MN. d) Tính diện tích hình đợc giới hạn bởi ba nửa đờng tròn. Bµi 3: Từ một điểm A ở bên ngoài đờng tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đờng tròn. Từ một điểm M trªn cung nhá BC kÎ mét tiÕp tuyÕn thø ba c¾t hai tiÕp tuyÕn kia t¹i P vµ Q. a) Chứng minh rằng: Khi điểm M chuyển động trên cung BC nhỏ thì chu vi tam giác APQ có giá trị không đổi. b) Cho biết BAC = 600 và bán kính của đờng tròn (O) bằng 6 cm. Tính độ dài của tiếp tuyến AB và diện tích phần mặt phẳng đợc giới hạn bởi hai tiếp tuyến AB, AC và cung nhỏ BC. Bµi 4: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp , K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc A, O lµ trung ®iÓm cña IK. a) Chứng minh rằng: 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc một đờng tròn. b) Chứng minh rằng: AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O). c) Tính bán kính của đờng tròn (O) biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm. Bµi 5: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R. E là một điểm trên đờng tròn mà AE > EB. M là một ®iÓm trªn ®o¹n AE sao cho AM.AE = AO.AB. a) Chøng minh AOM vu«ng t¹i O. b) OM cắt đờng tròn ở C và D. Điểm C và điểm E ở cùng một phía đối với AB. Chứng minh ACM đồng dạng với AEC. c) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác CEM. d) Gi¶ sö tØ sè diÖn tÝch hai tam gi¸c Acm vµ AEC lµ 2 . TÝnh AC, AE, AM, CM theo R. 3 Chủ đề 7: Toán quỹ tích. Bµi 1: Cho tam giác ABC cân (AB = AC) nội tiếp trong đờng tròn (O) và M là điểm di động trên đờng tròn đó. Gọi D là hình chiếu của B trên AM và P là giao điểm của BD với CM. a) Chøng minh BPM c©n. b) Tìm quỹ tích của điểm D khi M di chuyển trên đờng tròn (O). Bµi 2: Đờng tròn (O ; R) cắt một đờng thẳng d tại hai điểm A, B. Từ một điểm M trên d và ở ngoài đờng trßn (O) kÎ c¸c tiÕp tuyÕn MP, MQ. a) Chứng minh rằng góc QMO bằng góc QPO và đờng tròn ngoại tiếp tam giác MPQ đi qua hai điểm cố định khi M di động trên d. b) Xác định vị trí của M để MQOP là hình vuông? c) Tìm quỹ tích tâm các đờng tròn nội tiếp tam giác MPQ khi M di động trên d. Bµi 3: Hai đờng tròn tâm O và tâm I cắt nhau tại hai điểm A và B. Đờng thẳng d đi qua A cắt các đờng tròn (O) và (I) lần lợt tại P, Q. Gọi C là giao điểm của hai đờng thẳng PO và QI. a) Chøng minh r»ng c¸c tø gi¸c BCQP, OBCI néi tiÕp. b) Gọi E, F lần lợt là trung điểm của AP, AQ, K là trung điểm của EF. Khi đờng thẳng d quay quanh A thì K chuyển động trên đờng nào? c) Tìm vị trí của d để tam giác PQB có chu vi lớn nhất. Chủ đề 8: Một số bài toán mở đầu về hình học không gian. Bµi 1: Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCDA’B’C’D’. BiÕt AB = 4 cm; AC = 5 cm vµ A’C = 13 cm. TÝnh thÓ tÝch và diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật đó. Bµi 2:.

(19) Cho h×nh lËp ph¬ng ABCDA’B’C’D’ cã diÖn tÝch mÆt chÐo ACC’A’ b»ng 25 √ 2 cm2. TÝnh thÓ tích và diện tích toàn phần của hình lập phơng đó. Bµi 3: Cho h×nh hép chø nhËt ABCDA’B’C’D’. BiÕt AB = 15 cm, AC’ = 20 cm vµ gãc A’AC’ b»ng 60 0. Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật đó. Bµi 4: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’. Tính diện tích xung quanh và thể tích của nó biết cạnh đáy dài 6 cm và góc AA’B bằng 300. Bµi 5: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại trọng tâm G của tam giác ABC. Trên đờng thẳng d lấy một điểm S. Nối SA, SB, SC. a) Chøng minh r»ng SA = SB = SC. b) TÝnh diÖn tÝch toµn phÇn vµ thÓ tÝch cña h×nh chãp S.ABC, cho biÕt SG = 2a. Bµi 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a và đờng cao là a √2 . 2. a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác đều. b) TÝnh thÓ tÝch vµ diÖn tÝch xung quanh cña h×nh chãp. Bµi 7: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. a) TÝnh diÖn tÝch to¸n phÇn cña h×nh chãp. b) TÝnh thÓ tÝch cña h×nh chãp. Bµi 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiếu cao 15 cm và thể tích là 1280 cm3. a) Tính độ dài cạnh đáy. b) TÝnh diÖn tÝch xung quanh cña h×nh chãp. Bµi 9: Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ là 75 cm 2, diện tích đáy lớn gấp 4 lần diện tích đáy nhỏ và chiều cao là 6 cm. Tính thể tích của hình chóp cụt đó. Bµi 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). a) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp. b) Chøng minh r»ng bèn mÆt bªn lµ nh÷ng tam gi¸c vu«ng. a) TÝnh diÖn tÝch xung quanh cña h×nh chãp. Bµi 11: Một hình trụ có đờng cao bằng đờng kính đáy. Biết thể tích hình trụ là 128 cm3, tính diện tích xung quanh cña nã. Bµi 12: Một hình nón có bán kính đáy bằng 5 cm và diện tích xung quanh bằng 65 cm2. Tính thể tích của hình nón đó. Bµi 13: Cho hình nón cụt, bán kính đáy lớn bằng 8 cm, đờng cao bằng 12 cm và đờng sinh bằng 13 cm. a) Tính bán kính đáy nhỏ. b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón cụt đó. Bµi 14: Một hình cầu có diện tích bề mặt là 36 cm2. Tính thể tích của hình cầu đó..

(20)

ON TAP THI VAO 10 HAY

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về