ONTAPDAISO8THEOCHUYENDE

<span class='text_page_counter'>(1)</span>chuyên đề nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức và bẩy hằng đẳng thức đáng nhớ. I) Nhân đơn thức với đa thức: 1. KiÕn thøc c¬ b¶n: A(B + C) = A. B + A. C 2. Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1. Lµm tÝnh nh©n: a) 3x(5x2 - 2x - 1); b) (x2 - 2xy + 3)(-xy); 1 2 2 c) 2 x2y(2x3 - 5 xy2 - 1); d) 7 x(1,4x - 3,5y); 1 2 3 4 e) 2 xy( 3 x2 - 4 xy + 5 y2); f)(1 + 2x - x2)5x; 2 g) (x2y - xy + xy2 + y3). 3xy2; h) 3 x2y(15x - 0,9y + 6); 3 i) 7 x4(2,1y2 - 0,7x + 35); Bµi 2. §¬n gi¶n biÓu thøc råi tÝnh gi¸ trÞ cña chóng. 3 a) 3(2a - 1) + 5(3 - a) víi a = 2 . b) 25x - 4(3x - 1) + 7(5 - 2x) víi x = 2,1. c) 4a - 2(10a - 1) + 8a - 2 víi a = -0,2. 1 d) 12(2 - 3b) + 35b - 9(b + 1) víi b = 2 Bµi 3. Thùc hiÖn phÐp tÝnh sau: a) 3y2(2y - 1) + y - y(1 - y + y2) - y2 + y; b) 2x2.a - a(1 + 2x2) - a - x(x + a); c) 2p. p2 -(p3 - 1) + (p + 3). 2p2 - 3p5; d) -a2(3a - 5) + 4a(a2 - a). Bµi 4. §¬n gi¶n c¸c biÓu tøc: a) (3b2)2 - b3(1- 5b); b) y(16y - 2y3) - (2y2)2; 1 1 c) (- 2 x)3 - x(1 - 2x - 8 x2); d) (0,2a3)2 - 0,01a4(4a2 - 100). Bµi 5. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn x. a) x(2x + 1) - x2(x + 2) + (x3 - x + 3); b) x(3x2 - x + 5) - (2x3 +3x - 16) - x(x2 - x + 2); Bµi 6. Chøng minh r»ng c¸c biÓu thøc sau ®©y b»ng 0; a) x(y - z) + y((z - x) + z(x - y); b) x(y + z - yz) - y(z + x - zx) + z(y - x). Bµi tËp n©ng cao Bµi 7. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: a) P(x) = x7 - 80x6 + 80x5 - 80x4 +….+ 80x + 15 víi x = 79. b) Q(x) = x14 - 10x13 + 10x12 - 10x11 + …+ 10x2 - 10x + 10 víi x = 9. c) M(x) = x3 - 30x2 - 31x + 1 víi x = 31. d) N(x) = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x víi x = 14. Bµi 8. Chøng minh r»ng : a) 356 - 355 chia hÕt cho 34 b) 434 + 435 chia hÕt cho 44. Bµi 9. Cho a vµ b lµ c¸c sè nguyªn. Chøng minh r»ng: a) nÕu 2a + b  13 vµ 5a - 4b  13 th× a - 6b  13; b) nÕu 100a + b  7 th× a + 4b  7; c) nÕu 3a + 4b  11 th× a + 5b  11; II) Nh©n ®a thøc víi ®a thøc. 1. KiÕn thøc c¬ b¶n: (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D; 2. Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: a) (5x - 2y)(x2 - xy + 1); b) (x - 1)(x + 1)(x + 2); 1 1 c) 2 x2y2(2x + y)(2x - y); d) ( 2 x - 1) (2x - 3); 1 1 e) (x - 7)(x - 5); f) (x - 2 )(x + 2 )(4x - 1);.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> g) (x + 2)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (1 - x)(1 + x +x2 + x3 + x4); h) (2b2 - 2 - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b); i) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3); Bµi 2.Chøng minh: a) (x - 1)(x2 - x + 1) = x3 - 1; b) (x3 + x2y + xy2 + y3)(x - y) = x3 - y3; Bµi 3. Thùc hiÖn phÐp nh©n: a) (x + 1)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (x - 1)(1 + x + x2 + x3 + x4); b) ( 2b2 - 2 - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b); c) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3); d) (2ab + 2a2 + b2)(2ab2 + 4a3 - 4a2b) e) (2a3 - 0,02a + 0,4a5)(0,5a6 - 0,1a2 + 0,03a4). Bµi 4. ViÕt c¸c biÓu thøc sau díi d¹ng ®a thøc: a) (2a - b)(b + 4a) + 2a(b - 3a); b) (3a - 2b)(2a - 3b) - 6a(a - b); c) 5b(2x - b) - (8b - x)(2x - b); d) 2x(a + 15x) + (x - 6a)(5a + 2x); Bµi 5. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn y: a) (y - 5)(y + 8) - (y + 4)(y - 1); b) y4 - (y2 - 1)(y2 + 1); Bµi 6. T×m x, biÕt: a) (2x + 3)(x - 4) + (x - 5)(x - 2) = (3x - 5)(x - 4); b) (8x - 3)(3x + 2) - (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x - 1); c) 2x2 + 3(x - 1)(x + 1) = 5x(x + 1); d) (8 - 5x)((x + 2) + 4(x - 2)(x + 1) + (x - 2)(x + 2); e) 4(x - 1)( x + 5) - (x +2)(x + 5) = 3(x - 1)(x + 2). Bµi tËp n©ng cao Bài 7. Chứng minh hằng đẳng thức: a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca). Bµi 8. Cho a + b + c = 0. Chøng minh M = N = P víi : M = a(a + b)(a + c); N = b(b + c)(b + a); P = c(c + a)(c + b); Bµi 9. Sè 350 + 1 cã lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp kh«ng ? HD: Tríc hÕt chøng minh tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp chia cho 3 th× d 0 hoÆc 2. ThËt vËy nªu trong hai sè tù nhiªn liªn tiÕp cã mét sè chia hÕt cho 3 th× tÝch cña chóng chia hÕt cho 3, nÕu c¶ hai số đều không chia hết cho 3 thì tích của chúng chia cho 3 d 2 ( tự chứng minh). Số 350 + 1 chia cho 3 d 1 nªn kh«ng thÓ lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp. Bµi 10. Cho A = 29 + 299. Chøng minh r»ng A  100 HD: Ta cã A = 29 + 299 = 29 + (211)9 = (2 + 211)(28 - 27 .211 + 26.222 - …-2.277 + 288) Thõa sè thø nhÊt 2 + 211 2050    A 4100  A 100 Thõa sè thø hai ch½n  III) Các hằng đẳng thức đáng nhớ 1) KiÕn thøc c¬ b¶n: 1.1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2. 1.2) (A - B)2 = A2 - 2.AB + B2. 1.3) A2 - B2 = (A - B)(A + B). 1.4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3. 1.5) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 + B3. 1.6) A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2). 1.7) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2). 2) Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1. TÝnh a) (x + 2y)2; b) (x - 3y)(x + 3y);. c) (5 - x)2. 1 f) (x - 2 )2.. d) (x - 1)2; e) (3 - y)2 Bµi 2. ViÕt c¸c biÓu thøc sau díi d¹ng b×nh ph¬ng cña mét tæng: 1 a) x2 + 6x + 9; b) x2 + x + 4 ; c) 2xy2 + x2y4 + 1. Bµi 3. Rót gän biÓu thøc: a) (x + y)2 + (x - y)2; b) 2(x - y)(x + y) +(x - y)2 + (x + y)2; c) (x - y + z)2 + (z - y)2 + 2(x - y + z)(y - z). Bài 4. ứng dụmg các hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tính sau; a) (y - 3)(y + 3); b) (m + n)(m2 - mn + n2); c) (2 - a)(4 + 2a + a2); d) (a - b - c)2 - (a - b + c)2; e) (a - x - y)3 - (a + x - y)3; f) (1 + x + x2)(1 - x)(1 + x)(1 - x + x2);.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bµi 5. H·y më c¸c dÊu ngoÆc sau: a) (4n2 - 6mn + 9m2)(2n + 3m) b) (7 + 2b)(4b2 - 4b + 49); 2 2 c) (25a + 10ab + 4b )(5a - 2b); d)(x2 + x + 2)(x2 - x - 2). Bµi 6. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: a) x2 - y2 t¹i x = 87 víi y = 13; b) x3 - 3x2 + 3x - 1 Víi x = 101; c) x3 + 9x2 + 27x + 27 víi x = 97; d) 25x2 - 30x + 9 víi x = 2; e) 4x2 - 28x + 49 víi x = 4. Bµi 7. §¬n gi¶n c¸c biÓu thøc sau vµ tÝnh gi¸ trÞ cña chóng: a) 126 y3 + (x - 5y)(x2 + 25y2 + 5xy) víi x = - 5, y = -3; b) a3 + b3 - (a2 - 2ab + b2)(a - b) víi a = -4, b = 4. Bài 8. Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tính sau: a) (a + 1)(a + 2)(a2 + 4)(a - 1)(a2 + 1)(a - 2); b) (a + 2b - 3c - d)(a + 2b +3c + d); c) (1 - x - 2x3 + 3x2)(1 - x + 2x3 - 3x2); d) (a6 - 3a3 + 9)(a3 + 3); e) (a2 - 1)(a2 - a + 1)(a2 + a + 1). Bµi 9. T×m x, biÕt: a) (2x + 1)2 - 4(x + 2)2 = 9; b) (x + 3)2 - (x - 4)( x + 8) = 1; 2 2 c) 3(x + 2) + (2x - 1) - 7(x + 3)(x - 3) = 36; d)(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1; e) (x + 1)3 - (x - 1)3 - 6(x - 1)2 = -19. Bài 10.Tính nhẩm theo các hằng đẳng thức các số sau: a) 192; 282; 812; 912; b) 19. 21; 29. 31; 39. 41; c) 292 - 82; 562 - 462; 672 - 562; Bài 11. Chứng mih các hằng đẳng thức sau: a) a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab; b) a4 + b4 = (a2 + b2)2 - 2a2b2; 6 6 2 2 2 2 2 2 2 c) a + b = (a + b )[(a + b ) - 3a b ]; d) a6 - b6 = (a2 - b2)[(a2 + b2)2 - a2b2]. C¸c bµi to¸n n©ng cao Bài 12. Chứng minh các hằng đẳng thức sau: X4 + y 4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2; Bµi 13. H·y viÕt c¸c biÓu thøc díi d¹ng tæng cña ba b×nh phong: (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2. Bµi 14. Cho (a + b)2 = 2(a2 + b2). Chøng minh r»ng a = b. Bµi 15. Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca. Chøng minh r»ng a = b =c. Bµi 16. Cho ( a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca). Chøng minh r»ng a = b = c. Bµi 17. Cho a + b + c = 0 (1) a2 + b2 + c2 = 2(2) TÝnh a4 + b4 + c4. Bài 18. cho a + b + c = 0. Chứng minh đẳng thức: a) a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 +c2a2); b) a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2;. a. 2.  b2  c 2. . 2. 2 c) a4 + b4 + c4 = ; Bµi 19. Chøng minh r»ng c¸c biÓu thøc sau lu«n lu«n cã gi¸ trÞ d¬ng víi mäi gi¸ trÞ cña biÕn. a) 9x2 - 6x +2; b) x2 + x + 1; c) 2x2 + 2x + 1. Bµi 20. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau: a) A = x2 - 3x + 5; b) B = (2x -1)2 + (x + 2)2; Bµi 21. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: a) A = 4 - x2 + 2x; b) B = 4x - x2; Bµi 22. Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc x3 + y3. Bµi 23. Cho x + y = a; xy = b. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau theo a vµ b: a) x2 + y2; b) x3 + y3; c) x4 + y4; d) x5 + y5; 3 3 Bµi 24. a) cho x + y = 1. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: x + y + 3xy. b) cho x - y = 1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: x3 - y3 - 3xy. Bµi 25. Cho a + b = 1. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: M = a3 + b3 + 3ab(a2 + b2) + 6a2b2(a + b). Bµi 26. Rót gän c¸c biÓu thøc sau: a) A = (3x + 1)2 - 2(3x + 1)(3x + 5) + (5x + 5)2; b) B = (3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)(318 + 1)(332 + 1); c) C = (a + b - c)2 + (a - b + c)2 - 2(b - c)2; d) D = (a + b + c)2 + (a - b - c)2 + (b - c - a)2+ (c - b - a)2; e) E = (a + b + c + d)2 + (a + b - c - d)2 + (a + c - b - d)2 + (a + d - b - c)2; g) G = (a + b + c)3 - (b + c - a)3 - (a + c - b)3 + (a + b - c)3;.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> h) H = (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 - 3(a + b)(b + c)(c + a). Bài 28. Chứng minh các đẳng thức sau: a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 +(b + c)2 + (c + a)2; b) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a). Bµi 29. Cho a + b + c = 0. chøng minh r»ng: a3 + b3 + c3 = 3abc. Bµi 30. Chøng minh r»ng: a) nÕu n lµ tæng hai sè chÝnh ph¬ng th× 2n còng lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng. b) nÕu 2n lµ tæng hai sè chÝnh ph¬ng th× n còng lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng. c) nÕu n lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng th× n2 còng lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng. Bµi 31. a) Cho a = 11…1(n ch÷ sè 1), b = 100…05(n - 1 ch÷ sè 0). Chøng minh r»ng: ab + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng. b) Cho mét d·y sè cã sè h¹ng ®Çu lµ 16, c¸c sè h¹ng sau lµ c¸c sè t¹o thµnh b»ng c¸ch viÕt chÌn sè 15 vµo chÝnh gi÷a sè h¹ng liÒn tríc : 16, 1156, 111556, … Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số chính phơng. Bµi 32. Chøng minh r»ng ab + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng víi a = 11…12(n ch÷ sè 1), b = 11…14(n ch÷ sè 1). Bµi 33. Cho a gåm 2n ch÷ sè 1, b gåm n + 1 ch÷ sè 1, c gåm n ch÷ sè 6. Chøng minh r»ng a + b + c + 8 lµ sè chÝnh ph¬ng. Bµi 34. Chøng minh r»ng c¸c biÓu thøc sau lµ sè chÝnh ph¬ng: 11...1  22...2 11...1  44...4 1     n n a) A = 2 n b) B = 2 n Bµi 35. C¸c sè sau lµ b×nh ph¬ng cña sè nµo ? 99...9 00...0 25 99...9800...01     n n a) A = n ; b) B = n ; 44...488...89 11...122...25     n 1 n1 c) C = n ; d) D = n .. chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử I) Phơng pháp đặt nhân tử chung: A(B + C ) =A.B +A.C *) Bµi tËp: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö *) Bµi 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> a) 3x - 3y b) 2x 2  5x3  x 2 y c)14x 2  21xy 2  28x 2 y 2 d)4x 3  14x 2 e)5y10  15y 6 f)9x 2 y 2  15x 2 y  21xy g)x(y  1)  y(y  1) h)10x(x  y)  8y(y  x) i)3x 2 (x  1)  2(x  1) j)a(b  c)  3b  3c k)a(c  d)  c  d l)b(a  c)  5a  5c m)b(a  c)  5a  5c n)a(m  n)  m  n o)mx  my  5x  5y p)ma  mb  a  b q)1  xa  x  a r)(a  b)2  (b  a)(a  b) t)a(a  b)(a  b)  (a  b)(a 2  ab  b 2 ) Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö a)2x(x+3)+2(x+3) b)4x(x-2y)+8y(2y-x) c) y 2 (x 2  y)  zx 2  zy d)3x(x  7)2  11x 2 (x  7)  9( x  7) e)(x  5)2  3(x  5) f)2x(x  3)  (x  3)2 g)x(x  7)  (7  x)2 h)3x(x  9)2  (9  x)3 i)5x(x  2)  (2  x) j)4x(x  1)  8x 2 (x  1) k)p m 2 .q  p m 1 .q 3  p 2 .q n 1  p.q n 3 o)5x 5 (x  2z)  5x 5 (2z  x) p)10x(x  y)  8y(y  x) q)21x 2  12xy 2 r)2x(x  1)  2(x  1) t)4x(x  2y)  8y(2y  x).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Bµi 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 4x2  6x; b)21x2 y  12xy2 ; c)x3  x2  2x; d)3x  x  1  7 x2  x  1 ; e)x2 y2 z  xy2 z2  x2 yz; f )2x  x  1  2  x  1 ; g)4x  x  2y   8y  2y  x  Bµi 4: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc a) 15.91,5+ 150.0,85 b) 5x 5 (x  2z)  5x5 (2z  x)t¹i x= 1999; y= 2000; z= -1 Bµi 4: T×m x, biÕt a) 5x(x-2)-(2-x)= 0 b) 4x(x+ 1)= 8(x+ 1) 1 2 c) x(2x-1)+  x 0 3 3 d)x(x  4)  (x  4) 2 0 e)x2  5x 0; f )3x(x  2)  2(2  x) 0; g)5x(3x  1)  x(3x  1)  2(3x  1) 0. Bµi 5:Chøng minh r »ng a) B×nh ph ¬ng cña mét sè lÎ chia cho 4 th× d 1 b) B×nh ph ¬ng cña mét sè lÎ chia cho 8 th× d 1 Bµi 6: chøng minh r»ng: n 2  n  1  2n  n  1 lu«n chia hÕt cho 6 víi mäi sè nguyªn n.. II) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp dung hằng đẳng thức: 1) Phơng pháp: Biến đổi các đa thức thành dạng tích nhờ sử dụng hằng đẳng thức 1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 2. A2 - 2AB + B2 = (A + B)2 3. A2 - B2 = (A - B)(A + B) 4. A3 + 3A2B + 3AB2 +B2 = (A + B)3.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 5. A3 -3A2B + 3AB2 - B3 = ( A - B)3 6. A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) 7. A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB +B2) 2)Bµi tËp: Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x2 - 9; b) 4x2 - 25; 6 6 c) x - y d) 9x2 + 6xy + y2; e) 6x - 9 - x2; f) x2 + 4y2 + 4xy g) 25a2 + 10a + 1; h)10ab + 0,25a2 + 100b2 1 i)9x2 -24xy + 16y2 j) 9x2 - xy + 36 y2 k)(x + y)2 - (x - y)2 l)(3x + 1)2 - (x + 1)2 3 3 3 n) x + y + z - 3xyz. Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x3 + 8; b) 27x3 -0,001 c) x6 - y3; d)125x3 - 1 3 2 e) x -3x + 3x -1; f) a3 + 6a2 + 12a + 8 Bµi 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x6 + 2x5 + x4 - 2x3 - 2x2 + 1; 2.  4abcd  a 2  b 2 c 2  d 2   4  cd a 2  b 2  ab c 2  d 2     b) M = . . . . . . . . 2. Bµi 4. TÝnh nhanh: a) 252 - 152; b) 872 + 732 - 272 - 132 2 2 c) 73 -27 ; d) 372 - 132 e) 20092 - 92 Bµi 5 T×m x, biÕt a) x3 - 0,25x = 0; b) x2 - 10x = -25 c) x2 - 36 = 0; d) x2 - 2x = -1 e) x3 + 3x2 = -3x - 1 Bµi 6: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 2x8 - 12x4 + 18; b) a4b + 6a2b3 + 9b5; c) -2a6 - 8a3b - 8b2; d) 4x + 4xy6 + xy12. Bµi 7 Chøng minh r»ng c¸c ®a thøc sau chØ nhËn nh÷ng gi¸ trÞ kh«ng ©m a) x2 - 2xy + y2 + a2; b) x2 + 2xy + 2y2 + 2y + 1; c) 9b2 - 6b + 4c2 + 1; d) x2 + y2 +2x + 6y + 10; Bµi 8 Chøng minh r»ng c¸c ®a thøc sau kh«ng ©m víi bÊt k× gi¸ trÞ nµo cña c¸c ch÷: a) x2 + y2 - 2xy + x - y + 1 b) 2x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy - 2xz + 6yz c) 8x2 + y2 + 11z2 + 4xy - 12 xz - 5yz d) 5x2 + 5y2 + 5z2 + 6xy - 8xz - 8yz Bµi 9 Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n ta cã: (4n + 3)2 - 25 chia hÕt cho 8. III) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p nhãm c¸c h¹ng tö. 1) Kiến thức cơ bản: Tìm cách tách đa thức đã cho thành nhóm các hạng tử thích hợp sao cho khi phân tÝch mçi nhãm h¹ng tö thµnh nh©n tö th× xuÊt hiÖn nh©n tö chung. 2) Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1 Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) x2 - xy + x - y; b) xz + yz - 5(x + y) c) 3x2 -3xy - 5x + 5y. 2 2 2 2 2 d) x + 4x - y + 4; e) 3x + 6xy + 3y - 3z ; f) x2 -2xy + y2 - z2 + 2zt - t2; g) x2 - x - y2 - y; h) x2 - 2xy + y2 - z2; i) 5x - 5y + ax - ay; 3 2 2 j) a - a x - ax + xy; k) 7a -7ax - 9a + 9x; l) xa - xb + 3a - 3b; Bµi 2 Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö; a) ma - mb + na - nb -pa + pb; b) x2 + ax2 -y - ax +cx2 - cy; c) ax - bx - cx + ay - by - cy; d) ax2 + 5y - bx2 + ay + 5x2 - by; Bµi 3 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x3 + y3 + 2x2 -2xy + 2y2; b) a4 + ab3 - a3b - b4; c) a3 - b3 + 3a2 + 3ab + 3b2; c) x4 + x3 y - xy3 - y4; Bµi 4 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) 70a - 84b - 20ab - 24b2; b) 12y - 9x2 + 36 - 3x2y; 2 3 c) 21bc - 6c - 3c +42b; d) 30a3 - 18a2b - 72b + 120a. Bµi 5 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x3 + 3x2y + x +3x2y + y + y3; b) x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3;.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 1 c) 27x3 + 27x2 + 9x +1 + x + 3 ; d) x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x +1)2. Bµi 6 T×m x, biÕt: a) x3 + x2 + x + 1 = 0; b) x3 - x2 - x + 1 = 0; c) x2 - 6x + 8 = 0; d) 9x2 + 6x - 8 = 0. e) x(x - 2) + x - 2 = 0; f) 5x(x - 3) - x + 3 = 0. Bµi 7 TÝnh nhanh gi¸ trÞ cña mçi ®a thøc sau; a) x2 - 2xy - 4z2 + y2 t¹i x = 6; y = -4; z = 45. b) 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4)2 + 48 t¹i x = 0,5 Bµi 8. TÝnh nhanh : a) 37,5 . 6,5 - 7,5 . 3,4 - 6,6 . 7,5 + 3,5 . 37,5; b) 452 + 402 - 152 + 80.45. Bµi 9. Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: P = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a). Bµi 10. Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) x3z + x2yz - x2z2 - xyz2; b) pm+2q - pm+1q3 - p2qn+1 + pqn+3. IV) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch phèi hîp nhiÒu ph¬ng ph¸p. 1) KiÕn thøc c¬ b¶n: - §Æt nh©n tö chung. - Dùng hằng đẳng thức. - Nhãm nhiÒu h¹ng tö vµ c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c. 2) Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1. Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) x3 - 2x2 + x; b) 2x2 + 4x + 2 - 2y2; c) 2xy - x2 - y2 + 16; 4 3 3 2 3 2 d) a + a + a b + a b e) a + 3a + 4a + 12; f) a3 + 4a2 + 4a + 3; g) x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz; h) a2 + b2 + 2a - 2b - 2ab; i) 4a2 - 4b2 - 4a + 1; j) a3 + 6a2 + 12a + 8; k) (a + b + c)3 - (a + b - c)3 - ( a - b + c)3 - (-a + b +c)3. Bµi 2. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) (2x + 3y)2 - 4(2x + 3y); b) (x + y)3 - x3 - y3; 2 2 c) (x - y + 4) - (2x + 3y - 1) ; d) (a2 + b2 - 5)2 - 4(ab + 2)2. e) bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b); f) 2a2b + 4ab2 - a2c + ac2- 4b2c + 2bc2 - 4abc; g) y(x - 2z)2 + 8xyz + x(y - 2z)2 - 2z(x + y)2; h) x5 - 5x3 + 4x; 3 2 4 2 2 i) x - 11x + 30x; j) 4x - 21x y + y4; 3 2 2 k) x + 4x - 7x - 10; l) (x + x)2 - (x2 + x) + 15; n) (x +2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24; m) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15; o) (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x + 2) - 6. Bµi 2: T×m x, biÕt. 1 a) 5x(x - 1) = x - 1; b) 2(x + 5) - x2 - 5x = 0; c) x3 - 4 x = 0; 2 2 2 d) (2x - 1) - (x + 3) = 0 e) x (x - 3) +12 - 4x =0. Bµi 3. TÝnh nhanh gi¸ trÞ biÓu thøc: 1 1 a) x2 + 2 x + 16 t¹i x = 49,75; b) x2 - y2 - 2y - 1 t¹i x = 93 vµ y = 6. To¸n khã më réng: Bµi 4. a) Sè 717 + 17. 3 - 1 chia hÕt cho 9. Hái sè 718 + 18.3 - 1 cã chia hÕt cho 9 kh«ng? b) Biến đổi thành tích các biểu thức: A = 1 + a[(a + 1)9 + (a + 1)8 + (a + 1)7 + …+ (a + 1)2 + a + 2]. Bài 5. Chứng minh các hằng đẳng thức sau: 1) x6 + 3x2y2 + y6 = 1 Víi x2 + y2 = 1 4 2 2 4 2 2 2) x + x y + y = a - b víi x2 + y2 = a, xy = b 3 3 3 3 3 6 6 3) (a + b - a b ) + 27a b = 0 víi ab = a + b. 4) p2 + (p - a)2 + (p - b)2 + (p - c)2 = a2 + b2 + c2 víi a + b + c = 2p. Bµi 6. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: a) A = 217 - 216 - 215 - 214 - …- 22 - 2 - 1. b) B = x17 - 12x16 + 12x15 - 12x14 +…- 12x2 + 12x - 1 víi x = 11. Bµi 7. Rót gän: a) A = 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)(264 + 1). 2 22 23 24 2n 3(2  1)(2  1)(2  1)(2  1)...(2  1) b) Më réng: B = Bµi 8. Chøng minh: 1 a5(b2 + c2) + b5(a2 + c2) + c5(a2 + b2) = 2 (a3 + b3 + c3)(a4 + b4 + c4) víi a + b + c = 0 Bµi 9. Chøng minh: 2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2) víi a + b + c = 0..

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Bµi 10. Tæng c¸c sè nguyªn a1, a2, a3, …, an chia hÕt cho 3. Chøng minh r»ng A = a13 + a23 + a33 + …+ an3 còng chia hÕt cho 3 V) Một số phơng pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử. 1) Ph¬ng ph¸p t¸ch mét sè h¹ng thµnh nhiÒu sè h¹ng kh¸c. 1.1) §a thøc d¹ng f(x) = ax2 + bx + c. - Bíc 1: T×m tÝch ac. - Bíc 2: Ph©n tÝch a.c ra tÝch cña hai thøa sè nguyªn b»ng mäi c¸ch. - Bíc 3: Chän hai thõa sè mµ tæng b»ng b. C¸c bµi tËp ¸p dông d¹ng nµy: Bµi 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 4x2 - 4x - 3; b) x2 - 4x + 3; c) x2 + 5x + 4; d) x2 - x - 6; e) x2 + 8x + 7; f) x2 - 13 x + 36; 2 2 2 g) x +3x - 18; h) x - 5x - 24; i) 3x - 16x + 5; j) 8x2 + 30x + 7; k) 2x2 - 5x - 12; l) 6x2 - 7x - 20. 1.2) §a thøc tõ bËc ba trë lªn ngêi ta dïng ph¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc. a) Chó ý: nÕu ®a thøc f(x) cã nghiÖm x = a th× nã chøa thõa sè x - a. Trong đó a là ớc số của an,, với f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2+ …+ an-1 + an. b) VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: f(x) = x3 - x2 - 4. LÇn lît kiÓm tra víi x = 1, 2, 4, ta thÊy f(2) = 23 - 22 - 4 = 0. Đa thức có nghiệm x =2, do đó chứa thừa số x - 2. Ta t¸ch nh sau: C¸ch 1: x3 - x2 - 4 = x3 - 2x2 + x2 - 2x + 2x - 4 = x2(x - 2) + x(x - 2) + 2(x - 2) = ( x - 2)(x2 + x + 2). 3 2 3 C¸ch 2: x - x - 4 = x - 8 - x2 + 4 = (x - 2)(x2 + 2x + 4) - (x + 2)(x - 2) = (x - 2)(x2 + 2x + 4 - x - 2) = (x - 2)(x2 + x + 2). 2) Phơng pháp đặt ẩn phụ: Khi một đa thức phức tạp, hoặc có bậc cao, ta có thể đặt ẩn phụ nhằm “ giảm bậc” của đa thức để phân tích. 2.1) VÝ dô. Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12. b) g(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24. HD: a) Đặt y = x2 + x + 1, khi đó đa thức f(x) = y(y + 1) - 12 = y2 + y - 12 = (y - 3)(y + 4) Thay ngợc trở lại y = x2 + x + 1 vào đa thức f(x) ta đợc: f(x) = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x + 5)(x2 + x - 2) = (x - 1)(x + 2)(x2 + x + 5) b) f(x) = [(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] - 24 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - 24 = y(y + 2) - 24 víi y = x2 + 5x + 4 = y2 + 2y - 24 = (y - 4)(y + 6) Thay ngợc trở lại y = x2 + 5x + 4 ta đợc f(x) = (x2 + 5x + 4 - 4)(x2 + 5x + 4 + 6) = (x2 +5x)(x2 + 5x + 10) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10) 3) Phơng pháp thêm, bớt một hạng tử thích hợp để làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu hai bình ph¬ng. *) VÝ dô: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö a) x8 + x4 + 1; b) x4 + 4; HD: a) x8 + x4 + 1 = x8 + 2x4 + 1 - x4 = (x4 + 1)2 - x4 = (x4 + x2 +1)(x2 - x2 + 1) = [(x4 + 2x2 + 1) - x2][(x4 + 2x2 + 1) - 3x2] = [(x2 + 1)2 - x2][(x2 + 1)2 - ( 3 x)2] = (x2 +1 - x)(x2 + 1 -. 3 x)(x2 + 1 + x)(x2 + 1 +. 3 x). *) Bµi tËp ¸p dông : Bµi 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) f(x) = x4 + 324 b) f(x) = x8 + 1024; c) f(x) = x8 + 3x4+ 4 1 Bµi 2. a) Ph©n tÝch n4 + 4  4 1  4 1   4 1   1    2   ...  19   4 4  4   4 1  4 1   4 1   2    4   ...  20   4  4  4 b) ¸p dông: Rót gän S =  4) Phơng pháp xét giá trị riêng: Trớc hết ta xác định dạng của các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại. a) VÝ dô: Ph©n tÝch thµnh thõa sè: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y). Gi¶i:.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Thö thay x bëi y th× P = y2(y - z) - y2(z - y) = 0. Nh vËy P chøa thõa sè x = y nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì P không đổi. Do đó P chứa thừa số có dạng (x - y), (y - z), (z - x). vËy P cã d¹ng P = k(x - y)(y - z)(z - x). Vì đăngt thức x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) đúng với mọi x, y, z, Nên ta gán x = 2, y = 1, z = 0 vào đẳng thức ta đợc: 4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2)  2 = -2k  k = -1 vËy P = -(x - y)(y - z)(z - x) C¸c bµi tËp ¸p dông cña c¸c d¹ng trªn. Bµi 1: Ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè a) 6x2 - 11x + 3; b) 2x2 + 3x - 27; c) 2x2 - 5xy + 3y2; d) 2x2 -5xy - 3y2. Bµi 2. Ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè: a) x3 + 2x - 3; b) x3 - 7x + 6; c) x3 + 5x2 + 8x + 4; d) x3 - 9x2 + 6x + 16; e) x3 - x2 - 4; f) x3 - x2 - x - 2; 3 2 g) x + x - x + 2; h) x3 - 6x2 - x + 30. Bµi 3. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (b»ng nhiÒu c¸ch). x3 - 7x - 6. Bµi 4. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) 27x3 - 27x2 + 18x - 4; b) 2x3 - x2 + 5x + 3. Bµi 5. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) (x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 15; b) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12; 2 2 c) (x + x + 1)(x + x + 2) - 12; d) (x + 2)(x + 3)(x + 4)( x+ 5) - 24; e) (x + a)( x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4 f) (x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2; g) 2(x4 + y4 + z4) - (x2 + y2 + z2)2 - 2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4. Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử (dùng phơng pháp đổi biến - Đặt ẩn phụ) a) (a + b + c)3 - 4(a3 + b3 + c3) - 12abc HD: §Æt x = a + b, y = a - b. Bµi 7. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) 4x4 - 32x2 + 1; b) x6 + 27; c) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2; d) (2x2 - 4)2 + 9; e) 4x4 + 1; f) 64x4 + y4; 4 g) x + 324; h) x8 + x + 1; 7 5 8 i) x + x + 1; j) x + x4 + 1; k) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6; l) x3 + 3xy + y3 - 1. Bài 8. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp hệ số bất định a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1; b) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 c) x4 - 7x3 + 14x2 - 7x + 1; c) x4 - 8x + 63. Bµi 9. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x8 + 98x2 + 1. Bµi 10. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ( Dïng ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ d¬ng). a) M = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c( a + b - c)2 + (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b). b) N = a(m - a)2 + b(m - b)2 + c(m - c)2 - abc víi 2m = a + b + c chuyên đề chia đa thức cho đa thức I) Chia đơn thức cho đơn thức (trờng hợp đơn thức A chia hết cho đơn thức B). 1) Ph¬ng ph¸p: - Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B. - Chia từng luỹ thừa của từng biến trong A cho luỹ thừa của biến đó có trong B. - Nhân các kết quả tìm đợc với nhau. 1) VÝ dô vµ bµi tËp: Bµi 1. Lµm phÐp tÝnh chia: a) 10015 : 10012; b) (-79)33 : (- 79)32; 16. 14.  1 1   :  c)  2   2  ; Bài 2. Chia các đơn thức: a) -21xy5z3 : 7xy2z3; c) x2yz : xyz; e) 18x2y2z : 6xyz; g) 27x4y2z : 9x4y; 3 1 i) ( 4 m2n4) : 2 m2n2;. 21. 18.  3  3   :  d)  5   5  . 1 3 b) ( 2 a3b4c5) : 2 a2bc5; d) x3y4 : x3y; f) 5a3b : (-2a2b); h) 9x2y3 : (-3xy2); j) 5x4y3z2 : 3xyz2;.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> k) (-7a3b4c5) : (-21b3c2); n) (x + y)2 : (x + y);. 3 1 l) 2 (a - b)5 : 2 (b - a)2; m)(x - y)5 : (y - x)4; 2 ¬) 0,5ambnc3 : ( 3 a2bc);. o) (x - y +z)4 : (x - y + z)3; p) 1,8an+3bn+2cn +1 : (-0,9an+1bn-1c). Bµi 3. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau: 1 (-x2y5)2 : (-x2y5) t¹i x = 2 vµ y = -1. Bµi 4. Thùc hiÖn phÐp chia: 4 6 1 a) (xy2 - 3 x2y3 + 5 x3y2) : 2xy; b) (x3 - 3x2y +5xy2) : ( 3 x); 3 6 9 3 c) ( 4 a3b6c2 + 5 a4b3c - 10 a5b2c3) : 5 a3bc; d) [3(a - b)5 - 6(a - b)4 + 21(b - a)3 + 9(a - b)2] : 3(a - b)2 e) (u4 - u3v + u2v2 - uv3) : (u2 + v2). Bài 5. Với giá trị nào của n thì thực hiện đợc các phép chia đơn thức sau? Với điều kiện tìm đợc hãy thực hiện phép chia đó . a)x2n : xn + 3; b) 3xny2 : 4x2y; 3 5 n 2 c) 6x y : 5x y ; d) xnyn+2 : 3x3y4. II) Chia đa thức cho đơn thức. 1) Phơng pháp: Chia đa thức A cho đơn thức B. - Chia mỗi hạng tử của đa thức A cho đơn thức B. - Céng c¸c kÕt qu¶ l¹i víi nhau. 2) Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: a) (7. 35 - 34 + 36) : 34; b) (163 - 642) : 83; Bµi 2. Lµm tÝnh chia: a) (5x4 - 3x3 + x2) : 3x2; b) (5xy2 + 9xy - x2y2): (-xy); 1 1 c) (x3y3 - 2 x2y3 - x3y2) : 3 x2y2; d) (24x4y3 - 40x5y2 - 56x6y3) : (-24x4y2); 2 e) [a3 - (4a6 + 6a5 - 9a4) : 6a2].(1,5a2 + 3 a4); f) [(3x2y - 6x3y2) : 3xy + (3xy - 1)x]2 : 0,5x2. g) [7(a - b)5 + 5(a - b)3] : (b - a)2; h) [7(a - 3b)3 + (a - 3b)] : (2a - 6b); 3 2 2 3 i) (x + 3x y + 3xy + y ) : (2x + 2y). Bµi 3. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 15 a) (3ambn - 1cp-2x - 7a5b3c5 + 4 a2mnbn-1cp+2x) : (-3a3-mb5c4); b) [(a + b - c)3 + (a - b + c)3 + (-a + b + c)3 - (a + b + c)3] : 24abc; c) [(x + y)7 - (x7 + y7)] : 7xy. d) Chøng minh sè cã d¹ng A = 34n + 4 - 43n + 3 chia hÕt cho 17 ( n thuéc N). Bµi 4. Lµm tÝnh chia: a) [5(a - b)3 + 2(a - b)2] : (b - a)2 b) 5(x - 2y)3 : (5x - 10y); 3 3 c) (x - 8y ) : (x + 2y); d) [5(a + b)7 - 12(a + b)5 + 7(a + b)11] : 4(-a - b)3 e) [3(a - b)4(2a + b)3 + 10(a - b)5 - (a - b)6(2a + b)] : 5(a - b)3. Bµi 5. Rót gän råi tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc víi x = -2. A = (2x2 - x) : x + (3x3 - 6x2) : 3x2 + 3. III) Chia đa thức một biến đã sắp xếp: 1) Ph¬ng ph¸p chung: - Chia hạng tử cao nhất của đa thức bị chia cho hạng tử cao nhất của đa thức chia thì đợc hạng tử cao nhÊt cña th¬ng. - Nhân hạng tử cao nhất của thơng với đa thức chia rồi lấy đa thức bị chia trừ đi tích vừa tìm đợc, ta đợc d thø nhÊt. - Chia hạng tử cao nhất của đa thức d thứ nhất cho hạng tử cao nhất của đa thức chia ta đợc hạng tử thứ hai cña th¬ng. - Nhân hạng tử thứ hai của thơng với đa thức chia rồi lấy d thứ nhất trừ đi tích vừa tìm đợc, ta đợc d thứ hai. - Lặp lại quá trình trên cho đến khi: +) nếu d cuối cùng bằng 0 thì phép chia có d bằng 0 và đợc gọi là phép chia hết..

<span class='text_page_counter'>(12)</span> +) nếu d cuối cùng khác 0 và bậc của đa thức d thấp hơn bậc của đa thức chia thì phép chia đó đợc gọi là phép chia có d. 2) Ký hiÖu: A(x) lµ ®a thøc bÞ chia; B(x) lµ ®a thøc chia; Q(x) lµ ®a thøc th¬ng; R(x) lµ ®a thøc d; Ta lu«n cã: A(x) = B(x). Q(x) + R(x); - NÕu R(x) = 0 th× A(x) = B(x) . Q(x) gäi lµ phÐp chia hÕt. - NÕu R(x) 0 th× A(x) = B(x). Q(x) + R(x),( bËc cña R(x) nhá h¬n bËc cña B(x)) gäi lµ phÐp chia cã d. 3) Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1. Lµm tÝnh chia: a) (6x2 + 13x - 5) : (2x + 5); b) (x3 - 3x2 + x - 3) : (x - 3); c) (2x4 + x3 - 5x2 - 3x - 3) : (x2 - 3); Bµi 2. S¾p sÕp c¸c ®a thøc sau theo luü gi¶m dÇn thõa cña biÕn: a) (12x2 - 14x + 3 - 6x3 + x4) : (1 - 4x + x2); b) (x5 - x2 - 3x4 + 3x + 5x3 - 5) : (5 + x2 - 3x); c) (2x2 - 5x3 + 2x + 2x4 - 1) : (x2 - x - 1); d) (x3 - 7x + 3 - x2) : (x - 3); e) (2x4 - 3x3 - 3x2 - 2 + 6x) : (x2 - 2); f) (x3 + 2x2 - 3x + 9) : (x + 3); g) (9x4 - 6x3 +15x2 + 2x - 1) : (3x2 - 2x + 5); h) (6x3 - 2x2 - 9x + 3) : (3x - 1); i) (3x4 + 11x3 - 5x2 - 19x + 10) : (x2 + 3x - 2); j) (-3x2 + 10x3 - x - 3 + 12x4) : (x + 1 + 3x2); k) (5x + 3x2 - 2 + 2x4 - 11x3 + 6x5) : (-3x + 2x2 + 2); l) (2x3 + 5x2 - 2x + 3) : (2x2 - x + 1); n) (2x3 - 5x2 + 6x - 15) : (2x - 5); m) (x4 - x - 14) : (x - 2). Bµi 3. Kh«ng thùc hiÖn phÐp chia, h·y xem phÐp chia sau ®©y cã lµ phÐp chia hÕt kh«ng vµ t×m ®a thøc d trong trêng hîp kh«ng chia hÕt; a) (x3 + 2x2 - 3x + 9) : (x + 3); b) (9x4 - 6x3 +15x2 + 2x - 1) : (3x2 - 2x + 5). HD: a) KÝ hiÖu sè d lµ r, ta cã thÓ biÕt: x3 + 2x2 - 3x + 9 = (x + 3).q(x) + r Trong đẳng thức trên đặt x = -3, ta đợc: r = (-3)3 + 2(-3)2 - 3(-3) + 9 = 9 vËy d trong phÐp chia lµ 9. b) Ta thấy ngay thơng trong bớc thứ nhất của phép chia là 3x và do đó đa thức d thứ nhất là 2x 1. Vì 2x - 1 có bậc nhỏ hơn 3x2 - 2x + 5 nên không thể thực hiện tiếp phép chia đợc nữa. Do đó phép chia kh«ng lµ phÐp chia hÕt vµ ®a thøc d lµ 2x - 1. Bµi 4. Kh«ng thùc hiÖn phÐp chia, xÐt xem phÐp chia sau ®©y cã lµ phÐp chia hÕt kh«ng vµ t×m ®a thøc d trong trêng hîp kh«ng chia hÕt. 1 a) (8x2 - 6x + 5) : (x - 2 ); b) 6x2 - 3x + 3) : (2x - 1); c) (x4 + x3 + x2 + x - 4) : (x - 1); d) (18x5 + 9x4 - 3x3 + 6x2 + 3x - 1) :(6x2 + 3x - 1). Bµi 5. TÝnh nhanh: a) (9a2 - 16b2) : (4b - 3a); b) (25a2 - 30ab + 9b2) : (3b - 5a); c) (27a3 - 27a2 + 9a - 1) : (9a2 - 6a + 1); 1 4 1 d) (64a3 - 27 b3) : (16a2 + 3 ab + 9 b2). 4) Một số phơng pháp khác để tìm đa thức thơng và đa thức d: 4.1) Phơng pháp đặt phép chia: VÝ dô: Xác định các số hữu tỷ a và b để đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x + 2. Gi¶i Thùc hiÖn phÐp chia x3 + ax + b x2 + x - 2 x3 + x2 - 2x -x2 + (a +2)x + b x-1 -x2 x + 2 (a + 3)x + (b -2) Để chia hết, đa thức d phải đồng nhất băng 0, nên :.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>  a  3 0  a  3   b  2 0 b 2 vËy víi a = -3; b = 2 th× x3 + ax + b chia hÕt cho x2 + x + 2. 4.2) Phơng pháp hệ số bất định. - NÕu hai ®a thøc f(x) vµ g(x) b»ng nhau víi mäi gi¸ trÞ cña biÕn sè x th× ngêi ta goi lµ hai ®a thøc h»ng đẳng hoặc hai đa thức đồng nhất. Kí hiệu f(x)  g(x). - Hai đa thức (đã viết dới dạng thu gọn) đợc gọi là đồng nhất (hằng đẳng) khi và chỉ khi các hệ số của các đơn thức đồng dạng chứa trong hai đa thức đó là bằng nhau. *) VÝ dô: Xác định các số hữu tỷ a và b để đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x + 2. Gi¶i §a thøc bÞ chia cã bËc lµ ba, ®a thøc chia cã bËc hai, nªn th¬ng lµ mét nhÞ thøc bËc nhÊt, h¹ng tö bËc nhÊt lµ x3 : x2 = x. Gäi th¬ng cña phÐp chia lµ x + c, ta cã: x3 + ax + b = (x2 + x - 2)(x + c) x3 +ax + b = x3 + (c + 1)x2 + (c - 2)x - 2c. Hai đa thức trên đồng nhất nên : c  1 0 c  1   c  2 a   a  3   2c b b 2   VËy víi a = -3, b = 2 th× x3 + ax + b chia hÕt cho x2 + x - 2, th¬ng lµ x - 1. 4.3) Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng. *) VÝ dô: Xác định các số hữu tỷ a và b để đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x + 2. Gi¶i Gäi th¬ng cña phÐp chia x3 + ax + b cho x2 + x - 2 lµ Q(x), ta cã: x3 + ax + b = (x - 1)(x + 2).Q(x) Vì đẳng thức đúng với mọi x, nên lần lợt cho x = 1, x = -2 ta đợc : 1  a  b 0 a  b  1 a  3     8  2a  b 0  2a  b 8 b 2 Víi a = -3; b = 2 th× x3 + ax + b chia hÕt cho x2 + x - 2 vµ th¬ng lµ x - 1. 4.4) Phơng pháp vận dụng vào định lý Bơdu a) §Þnh lý: Sè d trong phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc x - a b»ng gi¸ trÞ cña ®a thøc f(x) t¹i x = a.(NghÜa lµ r = f(a)). b) Chó ý: §a thøc f(x) chia hÕt cho x - a khi vµ chØ khi f(a) = 0 C¸c bµi tËp ¸p dông cho c¸c ph¬ng ph¸p trªn. Bài 1. Xác định a và b để đa thức x4 - 6x3 + ax2 + bx + 1 là bình phơng của một đa thức. HD: sử dụng phơng pháp hệ số bất định, ta có ha đáp số. x4 - 6x3 + 7x2 + 6x + 1 = (x2 - 3x - 1)2 x4 - 6x3 + 11x2 - 6x + 1 = (x2 - 3x +1)2 Bài 2. Xác định a và b để đa thức x4 - 3x3 + 2x2 - ax + b chia hết cho đa thức x2 - x - 2. HD: sử dụng phơng pháp giá trị riêng, ta đợc kết quả a = 2; b = - 4. Bài 3. Xác định các hệ số a và b sao cho: a) x4 + ax2 + b chia hÕt cho x2 + x + 1; b) 2x3 + ax + b chia cho x + 1 d -6, chia cho x - 1 d 21. HD: ta cã kÕt qu¶ a) a = 1; b = 1; b) a = 3; b = -1. Bài 4. Tìm các giá trị nguyên của x để: a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc x3 + 3x2 + 3x - 2 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc x + 1; b) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2x2 + x - 7 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc x - 2. HD a) Thùc hiÖn phÐp chia (x3 + 3x2 + 3x - 2) : (x + 1) = x2 + 2x + 1 d lµ -3 Suy ra -3  (x + 1)  x  {0; -2; 2; -4}. b) x  {3; 1; 5; -1}. Bài 5. Cho đa thức A(x) = a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a (a thuộc Q). Xác định a sao cho A(x) chia hết cho x + 1. HD *) C¸ch 1. (§Æt phÐp chia ®a thøc). A(x) = a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a chia cho đa thức (x + 1) đợc thơng là a2x2 + (3a - a2)x + (a2 - 3a - 6) vµ ®a thøc d lµ -a2 + a + 6 - §Ó ®a thøc A(x) chia hÕt cho ®a thøc x + 1 th× ®a thøc d ph¶i b»ng 0, tøc lµ -a2 + a + 6 = 0, giải phơng trình ta đợc a = -2; a = 3. *) Cách 2. (Dùng phơng pháp hệ số bất định). +) T×m h¹ng tö bËc cao nhÊt a2x3 : x = a2x2, h¹ng tö bËc thÊp nhÊt -2a : 1 = -2a.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> +) Biểu diễn A(x) = (a2x2 + bx - 2a)(x + 1), sau đó dùng phơng pháp đồng nhất để tìm ra a = -2; a = 3 vµ kÕt luËn. *) C¸ch 3. (Dïng ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng). Bài 6. Xác định hằng số a sao cho: a) 10x2 - 7x + a chia hÕt cho2x - 3; b) 2x2 + ax + 1 chia cho x - 3 d 4; c) ax5 + 5x4 - 9 chia hÕt cho x - 1. Bài 7. Xác định các hằng số a và b sao cho: a) x4 + ax2 + b chia hÕt cho x2 - x + 1; b) ax3 + bx2 + 5x - 50 chia hÕt cho x2 + 3x - 10; c) ax4 + bx3 + 1 chia hÕt cho ®a thøc(x - 1)2; d) x4 + 4 chia hÕt cho x2 + ax + b. Bµi 8. T×m c¸c h»ng sè a vµ b sao cho x3 + ax + b chia cho x + 1 th× d 7, chia cho x - 3 th× d - 5. Chuyên đề phân thức đại số I) Phân thức đại số: 1) KiÕn thøc c¬ b¶n: A a) Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng B , trong đó A, B là những đa thức, B là đa thức khác đa thức 0 A lµ tö thøc (tö). B lµ mÉu thøc Mỗi một đa thức cũng đợc coi là một đa thức có mẫu là 1. b) Hai ph©n tøc b¼ng nhau: A C A C Víi hai ph©n thøc B vµ D , ta nãi B = D nÕu A.D = B.C 2) Bµi tËp: Bài 1. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau: x2  x  2 x x 2 y 3 7 x3 y 4  2  x2 x x  2 35 xy ; a) 5 b)  ; 2 3 2 3  x x  6x  9 x  4x  x  2x   2 9 x 5 c) 3  x ; d) 10  5 x ; 3 x x  5   3x 5 y 20 xy   2  x  5 2 7 8 x e) ; f) ; 2 2 x  2 x  1   x2  x  x  2 x  3x  2   2 x 1 x 1 x 1 ; g) x  1 ; h) x3  8 x  2 2 i) x  2 x  4 . Bài 2. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau. A 6 x 2  3x 4 x 2  3x  7 4 x  7  2  A 2x  3 ; a) 2 x  1 4 x  1 ; b) 4x2  7 x  3 A x2  2 x x2  2x   2 x2  1 x 2  2 x 1 ; A . c) d) 2 x  3 x  2 Bài 3. Bạn Lan viết các đẳng thức sau và đố các bạn trong nhóm học tập tìm ra chỗ sai. Em hãy sửa sai cho đúng. 5 x  3 5 x 2  13x  6 x 1 x2  3   2 x2  4 a) x  2 ; b) x  3 x  6 x  9 ; x2  2 x  2  2 c) x  1 x  1 ; Bµi 5. Ba ph©n thøc sau cã b»ng nhau kh«ng? x2  x  2 x  2 x2  4 ; ; x2  1 x 1 x2  x  2 . Bài 6. Tìm tập xác định của các phân thức sau:. 2 x2  5x  3 2 x2  x  3  2 2 d) x  3x  4 x  5 x  4 ..

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 3 x2  3 2 a) 5 x  2 ; b) x  6 x  9 ; x 2 x 1 2 2 c) x  3 x ; d) x  3 x  2 . Bài 7. tìm các giá trị của biến để các biểu thức sau bằng 0. 3x  1 x2  x 2 a) x  5 ; b) 2 x  1 ; 2 2 x  3x  2 x  2x 2 2 x 1 ; c) d) x  4 x  4 ; x 4  x3  x  1 x4  5x2  4 4 3 2 4 2 e) x  x  2 x  x  1 ; f) x  10 x  9 . Bài 8. Tìm các giá trị nguyên của biến để các phân thức sau nhận giá trị nguyên: 2  x  1 3 6 2 3 a) x  x  1 ; b) x  3 ; c) x  1 ; II) Tính chất cơ bản của phân thức đại số: 1) KiÕn thøc c¬ b¶n: a) TÝnh chÊt: A A.M  - TÝnh chÊt 1: B B.M (M lµ ®a thøc kh¸c ®a thøc 0). A A: M  - TÝnh chÊt 2: B B : M (M lµ nh©n tö chung kh¸c 0). A A  b) Quy tắc đổi dấu: B  B . 2) Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1. Dïng tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc, h·y ®iÒn mét ®a thøc thÝch hîp vµo chç trèng trong c¸c đẳng thức sau: x  x2 x x 2  8 3 x3  24 x   2 ... a) 5 x  5 ... ; b) 2 x  1 ;. ... 3 x 2  3xy  x  y 3 y  x 2.  x 2  2 xy  y 2 ...  2 x y y  x2 ; c) ; d) 5 x  5 y 5x 2  5 y 2 x3  x 2 ...   2 ... 2 y  2x . x  1 x  1 e) ; f) Bài 2. Biến đổi mỗi phân thức sau thành một phân thức bằng nó và có tử thức là đa thức A cho trớc. 8x2  8x  2 4x  3 2 , A 1  2 x , A= 12x +9x 2 4 x  2 15 x  1     a) x  5 ; b) ; Bài 3. Dùng tính chất cơ bản của phân thức để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức b»ng nã vµ cã cïng tö thøc. 3 x 1 x 5 x 2  25 a) x  2 vµ 5 x ; b) 4 x vµ 2 x  3 ; Bài 4. Dùng tính chất cơ bản của phân thức hoặc quy tắc đổi dấu để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thµnh mét cÆp ph©n thøc b»ng nã vµ cã cïng mÉu thøc: 3x 7x  2 4x 3x a) x  5 vµ 5  x ; b) x  1 vµ x  1 ; 2x x 3 2 x 4 2 x  1  x  3 x  1  x  2  c) x  8 x  16 vµ 2 x  8 ; d)  vµ  ; Bµi 5. C¸c ph©n thøc sau cã b»ng nhau kh«ng? x3 y 3 x2 x2 x2 3 2 2 2 a) xy vµ y ; b) x  y vµ x  y ;.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> 1 x x 1  3( x  1) 3( x  1) 2 2 c) ( x  1)(3  x ) vµ ( x  1)( x  3) ; d) (1  x) vµ ( x  1) ; Bµi 6. H·y viÕt c¸c ph©n thøc sau díi d¹ng mét ph©n thøc cã mÉu thøc lµ 1 - x3; x2 x x 1 3 2 a) x  1 ; b) x  1 ; c) x  x  1 . Bài 7. áp dụng quy tắc đổi dấu để viết các phơng trình bằng các phân thức sau:  xy 2 1  x2 a) 2 x  x ; b) x  1 ; y 2  x2  2 x 1 c) x  y ; d)  x  2 . Bµi 8. ViÕt c¸c ph©n thøc sau díi d¹ng nh÷ng ph©n thøc cã cïng mÉu thøc: x x y 2 a) x vµ x  1 ; b) 2 y vµ x ; 2x  y x x 1 1 x 3 3 5 4 4 5 c) x  y vµ x  y ; d) x y vµ x y . Bµi 9. ViÕt c¸c ph©n thøc sau díi d¹ng nh÷ng ph©n thøc cã cïng tö thøc: x 1 x 2 y y a) x vµ x  3 ; b) vµ x ; x2  y2 x3 y 2 x2 y3 x y 2 c) 2 x  xy vµ x ; d) x  y vµ x  y ; III) Rót gän ph©n thøc 1) Ph¬ng ph¸p: - Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung. - Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó. 2) Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1. Rót gän c¸c ph©n thøc sau: 14 xy 5 (2 x  3 y ) 8 xy (3x  1)3 2 2 3 a) 21x y (2 x  3 y ) ; b) 12 x (1  3 x) ; 20 x 2  45 2 c) (2 x  3) ; 80 x 3  125 x e) 3( x  3)  ( x  3)(8  4 x) ; 32 x  8 x 2  2 x3 x 3  64 g) ; x2  5x  6 2 i) x  4 x  4 . x 2  xy  x  y 2 k) x  xy  x  y ;. 5 x 2  10 xy 3 d) 2(2 y  x ) ; 9  ( x  5) 2 2 f) x  4 x  4 ; 5 x3  5 x 4 h) x  1 ; 10 xy 2 ( x  y ) 3 J) 15 xy ( x  y ) ;. 7 x 2  14 x  7 2 n) 3 x  3 x ; x 2  xy 2 2 o) y  x ;. 3 x 2  12 x  12 x4  8x l) ; 2 2a  2ab m) ac  ad  bc  bd ; 2x  2 y 2 2 ¬) x  2 xy  y ;. 2  2a 3 p) a  1 ; x 4  2 x3 4 3 v) 2 x  x ;. x2  6 x  9 2 q) x  8 x  15 ; x7  x4 6 u) x  1 ;.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 24,5 x 2  0,5 y 2 ( x  2) 2  ( x  2) 2 2 16 x ) ; x) 3,5 x  0,5 xy ; (a  b)(c  d ) a 3  3a 2  2a  6 2 2 2 2 2 a 2 y) ; z) (b  a )( d  c ) . Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau: x 2 y  2 xy 2  y 3 xy  y 2 x 2  3xy  2 y 2 1   2 2 3 2 2 3 2x  y ; x y . a) 2 x  xy  y b) x  2 x y  xy  2 y Bµi 3. §æi dÊu ë tö hoÆc ë mÉu råi rót gän ph©n thøc: 45 x (3  x) y 2  x2 3 2 3 3 a) 15 x ( x  3) ; b) x  3x 2 y  3xy  y . Bµi 4. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: 1 ax 4  a 4 x x3  x 2  6 x 2 2 3 a) a  ax  x víi a = 3, x = 3 ; b) x  4 x víi x = 98 x3  3x 1  3 5 c) 3 x  x víi x = 2 ; 10ab  5a 2 1 1 2 e) 16b  8ab víi a = 6 , b = 7 ; 2x  4 y 2 2 g) 0, 2 x  0,8 y víi x + 2y = 5;. x 4  2 x3 1  2 3 d) 2 x  x víi x = 2 ; a7 1 15 8 f) a  a víi a = 0,1;. a 2  b 2  c 2  2ab 2 2 2 e) a  b  c  2ac ;. a 2  b2 2 2 f) a  a  b  b ; a 3 (b 2  c 2 )  b 3 ( c 2  a 2 )  c 3 ( a 2  b 2 ) a 2 (b  c)  b 2 (c  a )  c 2 ( a  b) h) ;. x2  9 y 2 h) 1,5 x  4,5 y víi 3x - 9y = 1. a b Bµi 5. Cho 3a2 + 3b2 = 10ab vµ b > a > 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = a  b . Bµi 6. Chøng minh c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn x. x2  y2 2ax  2 x  3 y  3ay a) ( x  y )(ay  ax ) ; b) 4ax  6 x  6 y  6ay ; Bµi tËp n©ng cao. Bµi 7. Rót gän c¸c biÓu thøc. m4  m ab 2  a 3  a 2b 2 a 3b  b 4 a) 2m  2m  2 ; b) ; xy  1  x  y ax  ay  bx  by c) y  z  1  yz ; d) ax  ay  bx  by ;. a3 1 2 g) 2a  4a  2 ; x 2  (a  b) x  ab 2 i) x  (a  b) x  ab ; 3x3  2 x 2  4 x  5 6 x 2  3x  9 ; k) a2 x  b2 x x x n) a  b ; 33 x  33 y x y o) 3  3 ; a 2 (b  c)  b 2 (c  a )  c 2 (a  b) ab 2  ac 2  b3  bc 2 p) ;. x 2  a 2  b 2  2bc  2ax  c 2 2 2 2 2 j) x  b  a  2bx  2ac  c ; x x 2 2 l) x  5 x  6 . 1  (2a  3b) 2 m) 2a  3b  1 ; 24 m  24 n 2n 2m ¬) 2  2 ;. 2 x 3  7 x 2  12 x  45 3 2 q) 3 x  19 x  33 x  9 ;.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> x 3  y 3  z 3  3xyz x 3  y 3  z 3  3xyz 2 2 2 2 2 2 u) ( x  y )  ( y  z )  ( z  x) ; ) ( x  y )  ( y  z )  ( z  x) . Bài 8. Tìm các giá trị của x để các phân thức sau bằng 0. x 4  x3  x  1 x4  5x2  4 4 3 2 4 2 a) x  x  2 x  x  1 ; b) x  10 x  9 . Bµi 9. ViÕt gän biÓu thøc sau díi d¹ng mét ph©n thøc. A = (x2 - x + 1)(x4 - x2 + 1)(x8 - x4 + 1)(x16 - x8 + 1)(x32 - x16 + 1). HD: Nhân biểu thức A với x2 + x + 1, từ đó xuất hiện những biểu thức liên hợp nhau x2  y2  z 2 2 2 2 Bµi 10. Rót gän ( y  z )  ( z  x)  ( x  y ) biÕt r»ng x + y + z = 0. 3x  2 y Bµi 11. TÝnh gi¸ trÞ cña ph©n thøc A = 3 x  2 y , biÕt r»ng 9x2 + 4y2 = 20xy, vµ 2y < 3x <0. HD 9 x 2  4 y 2  12 xy 20 xy  12 xy 8 xy 1    2 2 Ta cã A2 = 9 x  4 y  12 xy 20 xy  12 xy 32 xy 4 1   3 x  2 y  0,3 x  2 y  0  A  0 Do 2y < 3x < 0 . vËy A = 2 . 4 4 4 (1  4)(5  4)(9  4)...(214  4) 4 4 4 4 Bµi 12. Rót gän biÓu thøc: P = (3  4)(7  4)(11  4)...(23  4) . HD XÐt n4 + 4 = (n2 + 2)2 - 4n2 = (n2 +2n + 2)(n2 - 2n + 2) = [n(n - 2) + 2][n(n + 2) + 2] ( 1.1  2)(1.3  2) (3.5  2)(5.7  2) (19.21  2)(21.23  2)  1.1  2 1  ....    (21.23  2)(23.25  2) 23.25  2 577 Do đó P = (1.3  2)(3.5  2) (5.7  2)(7.9  2) 1 Bµi 13. Cho ph©n sè A = 1, 00...01 (mÉu cã 99 ch÷ sè 0). TÝnh gi¸ trÞ cña A víi 200 ch÷ sè thËp ph©n. HD 10100 100 Ta có A = 10  1 . Nhân tử và mẫu với 10100 - 1, ta đợc: 100 100 100 100 10 (10  1) 99...9 00...0  0, 99...9 00...0   10200  1 99...9 100 100  200 A= (Theo quy tắc đổi số thập phân tuần hoàn đơn ra phân số). (a 2  b2  c 2 )(a  b  c)2  (ab  bc  ca )2 (a  b  c) 2  (ab  bc  ca) Bµi 14. Cho ph©n thøc: M = a) Tìm các giá trị của a, b, c để phân thức có nghĩa. b) Rót gän biÓu thøc M. HD: a) Điều kiện để phân thức M có nghĩa là mẫu thức kác 0. XÐt (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) = 0  a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca = 0.  2a2 + 2b2 + 2c2 +2ab + 2bc + 2ca = 0  (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 = 0  a+b=b+c=c+a  a = b = c. vậy điều kiện để phân thức M có nghĩa là a, b, c không đồng thời bằng 0, tøc lµ a2 + b2 c2  0. b) Do (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca, do đó dặt a2 + b2 + c2 = x; ab + bc + ca = y. Khi đó (a + b + c)2 = x + 2y. x ( x  2 y )  y 2 x 2  2 xy  y 2 ( x  y )2   x  y a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca x y x y Ta cã M = x  2 y  y.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> (§iÒu kiÖn lµ a2 + b2 c2  0) IV) Quy đồng mẫu thức. 1) T×m mÉu thøc chung cña nhiÒu ph©n thøc: - Ph©n tÝch c¸c mÉu thµnh nh© tö (nÕu cÇn). - LËp tÝch c¸c nh©n tö b»ng sè vµ ch÷: +) Nh©n tö b»ng sè lµ BCNN cña c¸c sè ë mÉu. +) Nh©n tö b»ng ch÷ lµ luü thõa víi sè mò lín nhÊt. 2) Bµi tËp ¸p dông C¸c bµi tËp c¬ b¶n vµ n©ng cao. Bài 1. Quy đồng mẫu thức các phân thức sau: 25 14 11 3 , , 2 5 4 3 a) 14 x y 21xy ; b) 102 x y 34 xy ; 3x 1 y  2 1 x 1 x  1 , 2 3 , 2 4, 4 3 2 3 c) 12 xy 9 x y ; d) 6 x y 9 x y 4 xy ; 3  2x 5 2 , 2 2, 4 5 e) 10 x y 8 x y 3xy ; 2x x 2 , 3 2 g) ( x  2) 2 x ( x  2) ; Bài 2. Quy đông mẫu thức các phân thức sau. 7 x  1 5  3x , 2 2 a) 2 x  6 x x  9 ;. 4x  4 x 3 , ; f) 2 x( x  3) 3x ( x  1) 5 3 , 3 h) 3x  12 x (2 x  4)( x  3) . x 1 x2 , 2 2 b) x  x 2  4 x  2 x ; 7 4 x y , , 2 2 d) 5 x x  2 y 8 y  2 x ; x x 1 x 1 , 2 , 2 3 f) x  1 x  x x  x  1 ; a d ad , 2 2 h) a  ab  ad  bd a  ab  ad  bd ;. 4 x 2  3x  5 2x 6 , 2 , 3 x 1 x  x 1 x  1 ; c) 2 5x 4x 3 , 2 , 3 2 e) x  6 x  12 x  8 x  4 x  4 2 x  4 ; a x ax , 2 2 2 2 g) 6 x  ax  2a 3 x  4ax  4a ; x y z , 2 , 2 2 2 2 2 2 2 2 i) x  2 xy  y  z x  y  2 yz  z x  2 xz  y  z ; x x2  y 2 1 3 2 , ,x y , , 2 2 2 3 x  y x  2 xy  y x  1 2 x  2 x  x  1 j) ; k) ;. x2 2 x 1 x 1 , 2 , 2 2 l) 6 x  7 x  3 2 x  7 x  6 3 x  5 x  2 . Bài 3. Quy đồng mẫu thức các phân thức: ax bx b a 2 x 1 x  2a , 2 2, , 2 3 2 2 2 a) axb a xb axb ; b) x  4ax  4a x  2ax ; ax a x a b a c , 2 , 2 2 2 2 2 2 c) 6 x  ax  2a 3 x  4ax  4a ; d) a  bc  ac  ab a  bc  ac  b ; x x2 x 1 x2 x 2x 1 , 2 , 2 , , 3 2 2 2 e) x  27 x  6 x  9 x  3x  9 ; f) x  3x  2  2 x  5 x  3  2 x  7 x  6 . Bài 4. Quy đồng mẫu thức các phân thức (có thể đổi dấu để tìm MTC cho thuận tiện). x  1 x 1 1 2x  1 a x 2 x2  1 , , , 2 , 3 2 2 3 a) 2 x  2 2 x  2 1  x ; b) x  a  x  ax  a x  a ; 24 4x 18 x 1 x 2x  1 , , 2 , 4 , 7 3 2 2 4 2 c) 4 x  x x  2 x 2 x  x ; d) 2 x  x x  2 x  4 x  8 x ; 2x y 4 xy , , 2 2 2 2 2 2 e) x  3 xy  2 y  3x  4 xy  y 3x  7 xy  2 y . Bài 5. Rút gọn rồi quy đồng mẫu thức các phân thức sau..

<span class='text_page_counter'>(20)</span> x2  5x  6 2 x2  7 x  5 , 2 2  x  4x  3 ; a) x  4 3 2 x  2 x  5 x  26 x3  4 x 2  10 x  12 , 3 3 2 2 c) x  5 x  17 x  13 x  x  2 x  16 ;. x3  2 x 2  x  2 x3  5 x  4 , 3 2 3 2 b) x  x  4 x  4 x  2 x  3x  4 ;. x 2  y 2  z 2  2 xy  2 yz  2 zx x 3  y 3  z 3  3 xyz , x 2  y 2  z 2  2 yz ( x  y ) 2  ( y  z ) 2  ( z  x) 2 . d) x x2 , 2 2 Bµi 6. Cho biÓu thøc B = 2x3 + 3x2 - 29x + 30 vµ hai ph©n thøc 2 x  7 x  15 x  3 x  10 a) Chia đa thức B lần lợt cho các mẫu của hai phân thức đã cho. b) Quy đồng mẫu thức của hai phân thức đã cho. 1 2 , 2 2 Bµi 7. Cho hai ph©n thøc: x  4 x  5 x  2 x  3 . Chøng tá r»ng cã thÓ chän ®a thøc x3 - 7x2 + 7x + 15 làm mẫu thức cung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho. Hãy quy đồng mẫu thøc. V) PhÐp céng c¸c ph©n thøc ®ai sè. 1) Céng hai ph©n thøc cïng mÉu: Céng tö víi tö vµ gi÷ nguyªn mÉu 2) Céng hai ph©n thøc cã mÉu thøc kh¸c nhau: - Quy đồng mẫu thức các phân thức. - Cộng hai phân thức cùng mẫu (sau khi đã quy đồng). 3) Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1. Céng c¸c ph©n thøc cïng mÉu thøc: x2  2 2 x 1 2x 3  2 y 2x  4   3  2 3 3 x( x  1) 2 ; 6x y ; a) 6 x y 6 x y b) x( x  1) 3x  1 x2  6x  2 2 c) x  3 x  1 x  3 x  1 ; Bµi 2. Céng c¸c ph©n thøc kh¸c mÉu thøc: 5 7 11   2 2 a) 6 x y 12 xy 18 xy ;. x 2  38 x  4 3 x 2  4 x  2  2 2 d) 2 x  17 x  1 2 x  17 x  1 .. 1 1 x   2 2 2 c) x  6 x  9 6 x  x  9 x  9 ; x x 4 xy   2 2 e) x  2 y x  2 y 4 y  x . Bµi 4. Céng c¸c ph©n thøc: 1 1 1   a) ( x  y )( y  z ) ( y  z )( z  x) ( z  x )( x  y ) ; 4 3 3   b) ( y  x )( z  x) ( y  x)( y  z ) ( y  z )( x  z ) ;. x2  2 2 1  2  3 d) x  1 x  x  1 1  x ;. 4 x  2 5 y  3 x 1  2  3 15 x y 9 x y 5 xy 3 ; b) 3 3x  3 3x  2 x3  2 x 2x 1    2  2 3 c) 2 x 2 x  1 2 x  4 x ; d) x  1 x  x  1 x  1 ; y 4x 1 3 x  14  2  2  2 2 e) 2 x  xy y  2 xy ; f) x  2 x  4 ( x  4 x  4)( x  2) ; 1 1 1 1 1    g) x  2 ( x  2)(4 x  7) ; h) x  3 ( x  3)( x  2) ( x  2)(4 x  7) ; Bài 3. Dùng quy tắc đổi dấu để tìm mẫu thức chung rồi thực hiện phép cộng. 4 2 5x  6 1  3x 3x  2 3x  2     2 2x  1 2x  4x2 ; a) x  2 x  2 4  x ; b) 2 x. 1 1 1   c) x( x  y )( x  z ) y ( y  x)( y  z ) z ( z  x)( z  y ) ;.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> 4 3 3   d) ( a  x)(c  x) ( a  x)( a  c) ( a  c)( x  c) ; 1 1 1   e) a (a  b)(a  c) b(b  a )(b  c ) c (c  a )(c  b) . Bµi 5. Lµm tÝnh céng c¸c ph©n thøc. 11x  13 15 x  17 2 x 1 32 x 2 1 2x    2 2 2 4  4x ; 2x  x ; a) 3 x  3 b) 2 x  x 1  4 x 1 1 2x x4    x3  x 2  x  1 2 2 3 x  x  1 x  x 1  x 1  x c) ; d) ; 5 3 x x 1 2x  3   3  2 2 y ; e) 2 x y 5 xy f) 2 x  6 x( x  3) ; 3x  5 25  x  2 g) x  5 x 25  5 x ; 4 x 2  3 x  17 2x  1 6  2  3 x 1 x  x 1 1  x ; i) Bµi 6. Cho hai biÓu thøc: 1 1 x 5   A = x x  5 x( x  5) , Chøng tá r»ng A = B. Bµi 7. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : 2x 1 1  2  2 3 x  x x  x  1 víi x = 10; a) A = 1  x. x2  h). x4 1 1 1  x2 ;. 3 B = x 5. x4  x3  x 2  x  2 b) B = 1  x víi x = -99 C¸c bµi tËp n©ng cao a b x2  5  2 3 Bài 8. Tìm các số a và b sao cho phân thức x  3 x  2 viết đợc thành x  2 ( x  1) HD: Dùng một trong hai phơng pháp (hệ số bất định hoặc xét giá trị riêng) để tìm a và b sau khi quy đồng. Bµi 9. Chøng minh c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo x x y y z z x y z x     yz zx ; a) xy b) ( x  y )( y  z ) ( y  z )( z  x) ( z  x)( x  y ) . Bµi 10. Céng c¸c ph©n thøc : 1 1 1   2 2 2 2 2 (b  c )(a  ac  b  bc) (c  a )(b  ab  c  ac ) (a  b )(c  bc  a 2  ab ) . (§Ò thi häc sinh giái líp 8 toµn quèc 1980) Bµi 11. Rót gän biÓu thøc : 1 1 2 4 8     2 4 8 A = 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x . Bài 12. Tìm các số A, B, C để có : x2  x  2 A B C    3 3 2 ( x  1) ( x  a) ( x  1) x 1. Bài 13. Chứng minh hằng đẳng thức : a 2  3ab 2a 2  5ab  3b 2 a 2  an  ab  bn   a 2  9b 2 6ab  a 2  9b 2 3bn  a 2  an  3ab . VI) Phép trừ các phân thức đại số. 1) Phân thức đối: - Hai phân thức đợc gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0..

<span class='text_page_counter'>(22)</span>  - C«ng thøc: 2) PhÐp trõ:. A A A A    B B vµ B B.. A C A C - Quy tắc: Muốn trừ phân thức B cho phân thức D , ta cộng B với phân thức đối của D A C A C    B D B D - C«ng thøc: 3) Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1. Lµm tÝnh trõ c¸c ph©n thøc: 3x  2 7 x  4 3 x  5 5  15 x   3 2 xy 2 xy 4 x y 4 x3 y ; a) ; b) 4 x  7 3x  6  c) 2 x  2 2 x  2 ; xy x2  2 2 y 2  x2 ; e) x  y x x  g) 5 x  5 10 x  10 ; 3 x 6  2 i) 2 x  6 2 x  6 x ; x  1 1  x 2 x(1  x)   9  x2 ; k) x  3 x  3. 9x  5 5x  7  2 2 d) 2( x  1)( x  3) 2( x  1)( x  3) ; 5x  y 2 5 y  x2  2 xy 2 ; f) x y x 9 3  2 2 h) x  9 x  3x ; x 4  3x 2  2 2 x 1  x2  1 ; j) 3x 1 1 x 3   2 x 1 1  x2 ; l) ( x  1) 3x  2 6 3x  2  2  2 2 m) x  2 x  1 x  1 x  2 x  1 .. 5 4  3x 2  3 2 2 n) 2 x  6 x x  9 ; Bài 2. Theo định nghĩa của phép trừ, khi viết A C E A C E      B D F B D F . áp dụng điều này để làm các phép tính sau: 18 3 x 1 1 3x  6  2  2   2 2 a) 3 x  2 3x  2 4  9 x ; b) ( x  3)( x  9) x  6 x  9 x  9 . Bµi 3. rót gän c¸c biÓu thøc : 3x 2  5 x  1 1 x 3 1 x2  2    1  2 x3  1 x2  x 1 x  1 ; x3 1 ; a) b) x  x  1 7 x 36   2 c) x x  6 x  6 x . Bµi 4. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 1 2 3   a) ( x  1)( x  2) ( x  2)( x  3) ( x  3)( x  1) ; 1 1 1   a ( a  b)(a  c ) b(b  a )(b  c ) (a  c)(c  b) . b) Bµi 5. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc: 1 x2  2 1  3 2 x  1 víi x = 99; a) A = x  x  1 2 x 1 1  2 x 2 1   2 b) B = 4 x  2 4 x  2 1  4 x víi x = 4 . C¸c bµi to¸n n©ng cao Bµi 6. Rót gän c¸c biÓu thøc : A.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> a a a 1    a) A = x( x  a ) ( x  a )( x  2a ) ( x  2a)( x  3a ) x  3a ; 1 1 1 1    ...  (3n  2)(3n  5) ; b) B = 2.5 5.8 8.11 3 3 3 3    ...  (3n  2)(3n  5) HD: Thực hiện nhân hai vế với 3 ta đợc 3.B = 2.5 5.8 8.11 3 1 1   Từ đó ta có (3n  2)(3n  5) 3n  2 3n  5 3 1 1   XÐt tõng sè h¹ng cô thÓ : 2.5 2 5 3 1 1   5.8 5 8 ….. 3 1 1   (3n  2)(3n  5) 3n  2 3n  5 3 3 3 3 1 1 3n  5  2 3( n  1)    ...     2.5 5.8 8.11 (3n  2)(3n  5) = 2 3n  5 2(3n  5) 2(3n  5) 3(n  1) n 1  B 2(3n  5) Hay 3.B = 2(3n  5) 1 1 1 1    ...  n( n  1) . c) C = 1.2 2.3 3.4 HD : Thùc hiÖn nh phÇn trªn Bµi 7. Chøng minh c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo c¸c biÕn x, y, z. xz x y yz   ( x  y )( y  z ) ( x  z )( y  z ) ( x  y )( x  z ) . Bµi 8. Thùc hiÖn phÐp tÝnh : 1 1 1 A   (a  b)(a  c) (b  a )(b  c ) (c  a)(c  b) ; a) 1 1 1   a (a  b)(a  c ) b(b  a )(b  c) c (c  a)(c  b) ; b) bc ac ab C   ( a  b)(a  c) (b  a )(b  c) (c  a )(c  b) ; c) a2 b2 c2 D   (a  b)(a  c) (b  a)(b  c) (c  a)(c  b) ; d) Bài 9. Xác định các số hữu tỷ a, b, c sao cho: 1 ax  b c  2  2 a) ( x  1)( x  1) x  1 x  1 ; B. 1 1 1  Đáp số: Dùng phơng pháp đồng nhất ta đợc a = 2 , c = 2 , b = 2 . 1 a b c 1 1    a  ; b  1; c  x ( x  1)( x  2) x x  1 x  2 2 2) b) ; (§S : 1 a b c    2 2 x  2 . (§S: a = -1; b = 1; c = 1) c) ( x  1) ( x  2) x  1 ( x  1) Bµi 10. Cho abc = 1 (1) 1 1 1 a b c    a b c (2) .

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Chøng minh trong 3 sè a, b, c tån t¹i mét sè b»ng 1. HD bc  ac  ab a b c  abc Tõ (2) : Do abc = 1 nªn a + b + c = ab + bc + ca (3) §Ó chøng minh trong 3 sè a, b, c cã mét sè b»ng 1 ta chóng minh: (a - 1)(b - 1)(c - 1) = 0 XÐt (a - 1)(b - 1)(c - 1) = (ab - a - c + 1)(c - 1) = (abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1) = (abc - 1) + (a + b + c) - (ab + bc + ca) Từ (1) và (3) suy ra biểu thức trên bằng 0, tồn tại một trong ba thừa số a - 1, b - 1, c - 1 bằng 0, do đó tồn t¹i mét trong ba sè a, b, c b»ng 1. x 2x  3y  x 6 . Bµi 11. Cho 3y - x = 6. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A = y  2 3 y  6 2 x  ( x  6)  3  1 4 y  2 x  6 HD : A = . x2 y 2 z 2 x2  y 2  z2    3 4 5 Bµi 12. T×m x, y, z biÕt : 2 . HD:  x2 x2   y 2 y 2   z 2 z 2  x 2 y 2 z 2 x2  y 2  z 2          0    2 5 3 5 4 5      3 4 5 Tõ 2 suy ra :  3 2 2 2 1 2  x  y  z 0  x  y  z 0. 10 15 20 1 1 x 2  y 2  2  2 4 x y Bµi 13. T×m x, y biÕt: . HD 2. 2.  1  1  2 1   2 1   2 1   2 1   x  2    y  2  4   x  2  2    y  2  2  0   x     y   0 x   y  x y x  y      Ta cã  1   x  x  x 2 1     2  y 1 y 1 y  Có bốn đáp số nh sau: x y. 1 1. 1 -1. -1 1. -1 -1. 1 1 1 1 1 1   2  2  2 2 2 Bµi 14. Cho biÕt : a b c (1), a b c (2). Chøng minh r»ng a + b + c = abc. HD 1 1 1 1 1   1  2  2  2    4 2  ab ac bc  Tõ (1) suy ra : a b c 1 1 1 a b c   1  1  a  b  c abc abc Do (2) nªn : ab ac bc a 2 b2 c2 a b c x y z  2 2 ,    2   0 2 x y z . x y z a b c Bµi 15. Cho (1) (2). TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: HD Tõ (1) suy ra : bcx + acy + abz = 0 (3) 2 2 2  ab ac bc  a b c  2  2  2    4 2 x y z xy xz yz   Tõ (2) suy ra : a2 b2 c2 abz  acy  bcx  2  2 4  2 4 2 y z xyz Do đó : x.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> 1 1 1 3  3 3 3 abc . Bµi 16. Cho (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 vµ a, b, c kh¸c 0. CMR: a b c HD Tõ gi¶ thiÕt suy ra : ab + bc + ca = 0. ab  bc  ca 1 1 1 0    0 abc a b c Do đó : Sau đó chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì x3 + y3 + z3 = 3xyz. a b c b c a      Bµi 17. Cho b c a a b c . Chøng minh r»ng trong ba sè a, b, c tån t¹i hai sè b»ng nhau. HD 2 2 2 Tõ gi¶ thiÕt suy ra : a2c + ab2 + bc2 = b2c + ac2 +a2b  a (c  b)  a(c  b )  bc(c  b) 0  (c  b)(a 2  ac  ab  bc) 0  (c  b)(a  b)(a  c) 0 Tóm lại một trong các thừa số c- b, a - b, a - c bằng 0. Do đó trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau. Bài 18. Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị nguyên : 5 2 x3  6 x 2  x  8 A A 2 x 2  1  x 3 x  3  x    2; 2; 4;8 ) a) ; (§S : 3 x 4  2 x3  3x 2  8 x  1 2 B  x  4   x   0; 2 B 2 2 ( x  1) x  2 x  1 b) ; (§S : ) 2 x 4  3x 3  2 x 2  6 x  2 C C x2  3x  2  x   0 2 x 2 x 2 c) . (§S : 1 1 2 4 8 A     2 4 1  x 1  x 1  x 1  x 1  x8 Bµi 19. Rót gän biÓu thøc : HD Rút gọn bằng cách quy đồng từng đôi một : 1 1 2 4 8 2 2 4 8 4 4 8 A            2 4 8 2 2 4 8 4 4 1  x 1  x 1  x 1  x 1  x 1  x 1  x 1  x 1  x 1  x 1  x 1  x8 8 8 16   8 8 16 = 1 x 1 x 1 x Chú ý: Khi trình bày phải viết thêm điều kiện để biểu thức có nghĩa. Bµi 20. Rót gän biÓu thøc : 3 5 2n  1   ...  2 2 2 (1.2) (2.3)  n(n  1) B= HD Ta tách từng phân thức thành hiệu của phân thức rồi dùng phơng pháp khử liên tiếp, ta đợc : 2k  1 ( k  1) 2  k 2 1 1   2 2 2 2 2 k (k  1) k (k  1) k (k  1) 2 1 1 1 1 1 1 1 n(n  2)  2  2  2  ...  2  1   2 2 2 n (n  1) ( n  1) ( n  1) 2 Do đó B = 1 2 2 3 VII) Phép nhân các phân thức đại số. A C A.C   1) KiÕn thøc c¬ b¶n: B D B.D . 2) TÝnh chÊt c¬ b¶n: A C C A    - Giao ho¸n: B D D B A C E A C E         - KÕt hîp:  B D  F B  D F  A C E  A C A E       B - Phân phối đối với phép cộng:  D F  B D B F . 3) Bµi tËp c¬ b¶n:.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Bµi 1. Lµm tÝnh nh©n ph©n thøc : 10 x 3 121y 5  2 11 y 25 x ; a). 24 y 5  21x    2 3  7 x  12 y  ; b).  18 y 3   15 x 2       25 x 4   9 y 3   c) ; 2 2 2 x  20 x  50 x  1  3 x  3 4( x  5)3 ; e) ( x 2  1)( x 4  1)( x8  1) x16  1 g) . 1 ( x3  8 y 3 ) 2 2 5 x  10 xy  20 y i) ;. 4 x  8 2 x  20  3 2 d) ( x  10) ( x  2) ; ( x 2  xy ) 2 x3  y3  2 2 x3 y  x 2 y 2  xy 3 ; f) x  y x 2  6 x  9 x 3  27  2 h) x  3 x  9 3x  9 ;. x 2  ax  bx  ab x 2  2ax  a 2  2 2 2 j) x  ax  bx  ab x  bx  b ; a 2  ax  ba  bx a 2  ax  bx  ab x 2  ax  3a  3 x x 2  4 x  ax  4a   2 2 2 2 k) a  ax  ab  bx a  ax  bx  ab ; l) x  3a  ax  3 x x  4 x  ax  4a . Bài 2. Rút gọn biểu thức (chú ý thay đổi dấu để thấy đợc nhân tử chung). x  3 8  12 x  6 x 2  x 3 6 x  3 25 x 2  10 x  1   2 2 9 x  27 1  8x3 a) x  4 ; b) 5 x  x ; 3x 2  x 1  x 4  2 3 c) x  1 (1  3 x) . Bµi 3. Ph©n tÝch c¸c tö thøc vµ mÉu thøc (nÕu cÇn th× dïng ph¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö hoÆc t¸ch mét sè thµnh hai sè h¹ng) råi rót gän biÓu thøc : x  2 x2  2x  3 x 1 4 x  2  2 2 a) x  1 x  5 x  6 ; b) x  2 x  8 x  x ; x2 x 2  36  2 c) 4 x  24 x  x  2 . Bài 4. áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để rút gọn biểu thức: x3 2 x  1954 x3 21  x    x 1 x  1975 x  1 ; a) x  1975 19 x  8 5 x  9 19 x  8 4 x  2    x  7 x  1945 . b) x  7 x  1945 x 2  y 2 ( x  y)2 y 2 ( x  y)2  2   2 x xy x c) x  y ; Bµi 5. Rót gän biÓu thøc : x 4  15 x  7 x 4x3  4   3 2 4 a) 2 x  2 14 x  1 x  15 x  7 ;. x7  3x 2  2 3x x2  x 1   x3  1 x  1 x 7  3x 2  2 . b).  x y  2 2    (x  y ) c)  x  y x  y  ; Bµi 6. Rót gän råi tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc :  x2 y 2   x y 1      2  2 x   x  xy  y x y   y víi x = 15, y = 5. Bµi 7. Chøng minh r»ng : x 32  x16  1 x 2  x  1 x 4  x 2  1 x8  x 4  1 x16  x8  1  2 x  x 1 .. . . . . .

<span class='text_page_counter'>(27)</span>

<span class='text_page_counter'>(28)</span>