Đề thi Giải tích 2 giữa kỳ 2 năm học 2020-2021 – UET

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TailieuVNU.com. Mã số đề: A1/B1/C1/D1/E1 Câu 1. Cho hàm số f ( x, y)  1  xy 2 x 2 y xy 2 y. 1.1. Tìm miền xác định D(f) của hàm số f(x,y); 1.2. Tìm lim f ( x, y) . ( x , y )( 0 , 3). Câu 2. Chứng minh rằng hàm số z  f ( x , y)  ln. 1 x  y2 2. thỏa mãn phương trình Laplace.  2z  2z  2  0 trong không gian R2. 2 x y Câu 3. Khảo sát tính liên tục tại điểm O(0,0) của hàm số 1  2 2 khi ( x , y)  (0,0) x  y cos 2 f ( x , y)   x  y2 a khi ( x , y)  (0,0) trong đó a là tham số.. Câu 4. Khảo sát cực trị của hàm số f(x,y) = 6x2y – 24xy – 6x2 + 24x + 4y3 – 15y2 + 36y + 1. Câu 5. Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số f (x, y)  e xy với điều kiện x + y = 1. ================================== Mã số đề: A2/B2/C2/D2/E2  x 3  y3  khi ( x , y)  0 Câu 1. Cho hàm số f ( x , y)   x 2  y 2 0 khi ( x , y)  0 1.1. Tìm miền xác định D(f) của hàm số f(x,y); 1.2. Tính vi phân toàn phần cấp 1 của hàm số f(x,y) tại điểm (0,0). 1 Câu 2. Chứng minh rằng hàm số u  f ( x , y, z)  thỏa mãn phương trình Laplace x 2  y2  z2  2u  2u  2u    0 trong không gian R3. x 2 y 2 z 2 x 4  y4  khi ( x , y)  (0,0) Câu 3. Cho hàm số f ( x , y)   x 2  y 2 m khi ( x , y)  (0,0) Xác định giá trị của tham số m để hàm số f(x,y) liên tục trên R2.. Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) và giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số f(x,y) = xy trên miền đóng D là hình tròn x2 + y2  1. Câu 5. Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số f(x,y) = xy với điều kiện 2x + 3y = 5. ================================== Mã số đề: A3/B3/C3/D3/E3 Câu 1. Cho hàm số f ( x , y) . x 2  ( y  5) 2  1  1 x 2  ( y  5) 2. 1.1. Tìm miền xác định D(f) của hàm số f(x,y); 1.2. Tìm. lim. ( x , y )( 0 , 5). f ( x , y) .. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> x y z Câu 2. Chứng minh rằng hàm số u  f ( x, y, z)  arctan  arctan  arctan y z x. TailieuVNU.com.  2u  2u  2u    0 trong không gian R3. x 2 y 2 z 2 Câu 3. Khảo sát tính liên tục tại điểm O(0,0) của hàm số 1  2 2 khi ( x , y)  (0,0)  x  y arctan 2 f ( x , y)   x  y2 b khi ( x , y)  (0,0) trong đó b là tham số.. thỏa mãn phương trình Laplace. . . Câu 4. Khảo sát cực trị của hàm số f(x,y) = 4y3 – 15y2 + 36y + 6x2y – 24xy – 6x2 + 24x + 1. 1 1 Câu 5. Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số f ( x , y)   x y 1 1 1 với điều kiện 2  2  . 2 x y ================================== Mã số đề: A4/B4/C4/D4/E4  x 3  y3  khi ( x , y)  (0,0) Câu 1. Cho hàm số f ( x , y)   x 2  y 2 0 khi ( x , y)  (0,0) 1.1. Tìm miền xác định D(f) của hàm số f(x,y); 1.2. Tính vi phân toàn phần cấp 1 của hàm số f(x,y) tại điểm (0,0). Câu 2. Chứng minh rằng hàm số z = f(x,y) = y ln(x2 – y2) thỏa mãn phương trình. 1 z 1 z 1   2 z. x x y y y. 1  khi xy  0 ( x  y) sin Câu 3. Cho hàm số f ( x , y)   xy n khi xy  0 Xác định giá trị của tham số n để hàm số f(x,y) liên tục trên R2.. Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) và giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số f(x,y) = xy + x + y trên miền đóng D là hình chữ nhật được giới hạn bởi các đường thẳng x = 1, x = 2, y = 2 và y = 3. Câu 5. Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số f (x, y)  x 2  y 2 x y với điều kiện   13 . 2 3 ================================== Mã số đề: A5/B5/C5/D5/E5 a b Câu 1. Cho hàm số f ( x, y)  (ax  by) sin sin x y 1.1. Tìm miền xác định D(f) của hàm số f(x,y); 1.2 Tìm. lim. ( x , y )( 0 , 0 ). f ( x , y) . y. Câu 2. Chứng minh rằng hàm số z  f ( x, y)  y x sin. 2. y z z thỏa mãn phương trình x 2  xy  yz . x x y.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> TailieuVNU.com.  x 3  y3  khi ( x , y)  (0,0) Câu 3. Khảo sát tính liên tục tại điểm O(0,0) của hàm số f ( x , y)   x 2  y 2 c khi ( x , y)  (0,0) trong đó c là tham số. Câu 4. Khảo sát cực trị của hàm số f(x,y) = 2x3 – 4y3 – 6xy2 – 21y2 + 9x2 – 18xy – 24y. Câu 5. Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số f(x,y) = x2 + 2y2 với điều kiện x2 + y2 = 1. ================================== Mã số đề: A6/B6/C6/D6/E6  xy  y 3  khi ( x , y)  (0,0) Câu 1. Cho hàm số Cho hàm số f ( x , y)   ln 1  x 2  y 2  0 khi ( x , y)  (0,0) 1.1. Tìm miền xác định D(f) của hàm số f(x,y); 1.2. Tính vi phân toàn phần cấp 1 của hàm số f(x,y) tại điểm (0,0). y y  2z  2z Câu 2. Chứng minh rằng hàm số z  f ( x , y)  thỏa mãn phương trình x 2 2  y 2 2  0 . x y x 3 3  x sin y  y sin x khi x 2  y 2  0  2 2 Câu 3. Cho hàm số f ( x , y)   x y p khi x 2  y 2  0  Xác định giá trị của tham số p để hàm số f(x,y) liên tục trên R2. Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) và giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số f(x,y) = x 2 + y2 – xy – 4x trên miền đóng D là tam giác được giới hạn bởi các đường thẳng x = 0, y = 0 và 2x + 3y = 12. Câu 5. Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số f(x,y) = x2y với điều kiện x2 + y2 = 1. ================================== Mã số đề: A7/B7/C7/D7/E7 Câu 1. Cho hàm số f ( x , y) . ( x  3) 2  y 2  1  1 ( x  3) 2  y 2. 1.1. Tìm miền xác định D(f) của hàm số f(x,y); 1.2. Tìm. lim. ( x , y )  ( 3, 0 ). f ( x , y) .. Câu 2. Chứng minh rằng hàm số z = f(x,y) = ln(1 + x2 + y2) 2.  2z  2z  2      trong không gian R2. thỏa mãn phương trình x 2 y 2  e z . Câu 3. Khảo sát tính liên tục tại điểm O(0,0) của hàm số  x 3 sin y  y 3 sin x  f ( x , y)   x 2  y2 d trong đó d là tham số.. khi ( x , y)  (0,0) khi ( x , y)  (0,0). x 3 3x 2 y 5y 2 .   2xy 2  3 2 2 Câu 5. Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số f(x,y) = xy với điều kiện 2x – 3y = 24. ==================================. Câu 4. Khảo sát cực trị của hàm số f ( x, y) . 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> TailieuVNU.com. Mã số đề: A8/B8/C8/D8/E8  xy  x 3  Câu 1. Cho hàm số f ( x , y)   ln 1  x 2  y 2 0. . . khi ( x , y)  (0,0) khi ( x , y)  (0,0). 1.1. Tìm miền xác định D(f) của hàm số f(x,y); 1.2. Tính vi phân toàn phần cấp 1 của hàm số f(x,y) tại điểm (0,0)..  . . . . Câu 2. Chứng minh rằng hàm số z  f ( x, y)  y sin x 2  y 2  cos x 2  y 2  e x thỏa mãn phương trình. 2.  y2. .  ln x 2  y 2. . 1 z 1 z 1   2 z. x x y y y.  x 4 sin y  y 4 sin x khi x 2  y 2  0  2 2 Câu 3. Cho hàm số f ( x , y)   x y q khi x 2  y 2  0  Xác định giá trị của tham số q để hàm số f(x,y) liên tục trên R2.. Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) và giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số f(x,y) = x 2 + 3y2 + x – y trên miền đóng D là tam giác được giới hạn bởi các đường thẳng x = 1, y = 1 và x + y = 1. Câu 5. Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số f(x,y) = 3x2 + 5xy với điều kiện x + y = 16. ================================== Mã số đề: A9/B9/C9/D9/E9. . . 1  2 2  x  y cos 2 Câu 1. Cho hàm số f ( x , y)   x  y2 0. khi ( x , y)  (0,0) khi ( x , y)  (0,0). 1.1. Tìm miền xác định D(f) của hàm số f(x,y); 1.2. Tính vi phân toàn phần cấp 1 của hàm số f(x,y) tại điểm (0,0)..  . . . . Câu 2. Chứng minh rằng hàm số z  f ( x, y)  y  sin x 2  y 2  cos x 2  y 2  e x thỏa mãn phương trình x. 2.  y2. .  ln x 2  y 2. z z y  x. y x.  x2y  Câu 3. Khảo sát tính liên tục tại điểm O(0,0) của hàm số f ( x , y)   x 2  y 2 t trong đó t là tham số.. khi ( x , y)  (0,0) khi ( x , y)  (0,0). x 3 3x 2 y 5y 2   2xy 2  3 2 2 Câu 5. Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số f(x,y) = 2x – 3y với điều kiện x2 + 3y2 = 5. ==================================. Câu 4. Khảo sát cực trị của hàm số f ( x, y) . 4. .

<span class='text_page_counter'>(5)</span>