chuyen Vinh Phuc lan 4 nam 2012

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC. KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 4 NĂM HỌC 2011­2012 Môn: Toán 12. Khối A.. Đề chính thức (Đề thi gồm 01 trang). Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề). A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số : y = x 3 - 3x 2 + 1 có đồ thị là ( C ) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) 2) Với giá trị nào của m thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (C) tiếp xúc với 2. 2. đường tròn ( G ) : ( x - m ) + ( y - m - 1) = 5. Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình : (1 - tan x )(1 + sin 2 x ) = 1 + tan x ìï x - 2 - y - 1 = 27 - x 3 2) Giải hệ phương trình: í ( x, y Î R) . 4 ïî( x - 2 ) + 1 = y 1. Câu III (1,0 điểm)Tính tích phân : I = ò éëln ( 3x 4 + x 2 ) - 2 ln x ùûdx 1 3. Câu IV. (1,0 điểm) Cho lăng trụ tam giác đều ABC . A1B1C1 có chín cạnh đều bằng 5 .Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB1 và BC1 . Câu V. (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn ab + bc + ca = 7 abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S =. 8a 4 + 1 108b5 + 1 16c 6 + 1 + + . a2 b2 c2. B. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2) 1.Theo chương trình Chuẩn 2 Câu VIa. ( 2,0 điểm)1)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn ( C ) : ( x - 4 ) + y 2 = 4 và điểm E ( 4;1) .Tìm toạ độ điểm M trên trục tung sao cho từ điểm M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn ( C ) với A, B là các tiếp điểm sao cho đường thẳng AB đi qua E. 2)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : x - 2 y + 2 z - 1 = 0 và các đường thẳng x -1 y - 3 z x -5 y z +5 = = và d 2 : = = .Tìm các điểm M Î d1 , N Î d 2 sao cho MN song song 2 -3 2 6 4 -5 với ( P ) và cách ( P ) một khoảng bằng 2. d1 :. (. ). x. (. Câu VIIa. ( 1,0 điểm) Giải phương trình: 3 - 5 + 12 3 + 5. ). x. = 2 x+3. 2. Theo chương trình Nâng cao Câu VIb. ( 2,0 điểm)1)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,cho đường thẳng ( d ) : x - 3 y - 4 = 0 và đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 - 4 y = 0. Tìm điểm M Î ( d ) và điểm N Î ( C ) sao cho chúng đối xứng nhau qua điểm A ( 3;1) . x-2 y z-4 = = và hai điểm 3 -2 2 A (1; 2; -1) , B ( 7; -2;3 ) .Tìm trên D những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng. 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng D : chứa AB là nhỏ nhất . 2. 1 2. Câu VIIb.(1,0điểm) Giải phương trình: log ( x 2 - 1) = log ( x + 1) + log ( x - 2 ). 2. Cảm ơn bạn gửi tới www.laisac.page.tl.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐÁP ÁN ,THANG ĐIỂM TOÁN 12 KHỐI A ( 5 Trang) Câu I. Ý 1. Nội dung. Điểm 2,00 1,00. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x 3 - 3x 2 + 1 · Tập xác định: Hàm số có tập xác định D = ¡ .. · Sự biến thiên: éx = 2 y' = 3x 2 - 6 x Ta có y' = 0 Û ê ëx = 0. v Chiều biến thiên :. 0,25. v y, > 0 Û x < 0 Ú x > 2 Û h/số đồng biến trên các khoảng ( -¥; 0 ) & ( 2; +¥ ) v y, < 0 Û 0 < x < 2 Û hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ). 0,25. v yCD = y ( 0 ) = 1; yCT = y ( 2 ) = -3 3. 1. v Giới hạn lim y = lim x 3 æç 1 - + 3 ö÷ = ±¥ x ®±¥ x x x ®±¥ è. v Bảng biến thiên: x y'. ø. -¥. 0 0. +. 2 0. -. +¥ +. 1. 0,25. +¥. y. -¥ · Đồ thị:. ­3. cắt trục Oy tại điểm (0;1). y. y = x3 - 3 x 2 + 1 1 2 0,25 O. x. ­3. 2. Với giá trị nào của m thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị..... 1,00. Đồ thị hàm số có điểm cực đại A ( 0;1) ,điểm cực tiểu B ( 2; -3 ) suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A, B là ( d ) 2 x + y - 1 = 0 2. 2. đường tròn ( G ) : ( x - m ) + ( y - m - 1) = 5 có tâm I ( m; m + 1) bán kính R = 5 điều. 0,25 0,25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> kiện ( d ) tiếp xúc với. ( G ) Û d ( I , ( d )) = R Û Đáp số : m = ±. 2m + m + 1 - 1 2. 2. = 5 Û 3m = 5 Û m = ±. 2 +1. 5 3. 0,25. 5 3. 0,25 2,00. II 1. Giải phương trình : (1 - tan x )(1 + sin 2 x ) = 1 + tan x Đặt t = tan x Þ sin 2 x =. (1). 1,00. 2t .Phương trình (1) trở thành 1+ t2. 0,25. ét = -1 2t 2 (1 - t ) æç 1 + 2 ö÷ = 1 + t Û (1 - t )(1 + t ) = (1 + t ) 1 + t 2 Û ê 2 è 1+ t ø êë(1 - t )(1 + t ) = 1 + t. (. 2. ). (. 0,25. ). p t = -1 Ú t = 0 Û tan x = -1 Ú tan x = 0 Û x = - + k p Ú x = k p ( k Î ¢ ) 4 Giải hệ phương trình:. ìx ³ 2 ĐK í từ phương trình (2) ta có îy ³1 phương trình. ( x - 2). x - 2 = 27 - x 3 + x 2 - 4 x + 4 Û. (1) ta được. 4. = y -1 Þ. y -1 = ( x - 2). 0,25 0,25 1,00. 2. thay vào. x - 2 + x 3 - x 2 + 4 x - 31 = 0 (* ). 0,25. 0,25. Xét hàm số f ( x ) = x - 2 + x 3 - x 2 + 4 x - 31, với mọi x ³ 2 1 + 3x 2 - 2 x + 4 > 0"x > 2 2 x-2. Þ f ' ( x) =. 0,25. hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; +¥ ) mặt khác f ( 3 ) = 0 Þ x = 3 là nghiệm duy nhất của (*) thay vào phương trình (2) ta được y = 2 vậy nghiệm của hệ phương trình là. 0,25. x = 3; y = 2 III. Tính tích phân …. 1,00. 1. 1. 1. Ta có I = ò éëln ( 3x 4 + x 2 ) - 2ln x ùûdx = ò éëln(3 x 2 + 1) + ln x 2 - ln x 2 ùû = ò ln ( 3 x 2 + 1)dx 1 1 1 3. 3. 3. 0,25. ìïu = ln ( 3 x 2 + 1) ìïdu = 6 xdx Đặt í Þí 3x2 + 1 ïîv = x îïdv = dx 1. 0,25. 6 x 2 dx 4ln 2 + ln 3 = -J 2 3 1 3x + 1. I = x ln ( 3 x 2 + 1) |11 - ò 3. 3 1. 1. 3. 3. 2 ö 4 dx 4 p æ Với J = ò ç 2 - 2 dx = - 2ò 2 = ( đặt ÷ 3x + 1 ø 3 3 3 3 1è 1 3x + 1 1 dx = 1 + tan 2 t ) dt ( 3. đổi cận. æ p pö 3 x = tan t với t Î ç - ; ÷ è 2 2ø. 0,25. 0,25 1 p p x = Þ t = ; x =1Þ t = 3 6 3. từ đó tính được.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 4 p 3 4 ln 2 + ln 3 4 p 3 ÞI= - + 3 9 3 3 9 ... Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB1 và BC1 . Ta có đáy lăng trụ là tam giác đều cạnh bằng 5 các mặt bên là hình vuông cạnh bằng 5 ÞJ =. IV. Þ AB1 = BC1 = 5 2 .Dựng hình bình hành. 1,00. 0,25. BDB1C1 Þ DB1 = BC1 = 5 2, BD = C1 B1 = 5 , AD = CD.sin 600 = 5 3. (do DACD vuông tại A vì BA = BC = BD) Þ a = ( AB1 ; BC1 ) = ( AB1; DB1 ). (. 2. ) (. 2. ) (. 5 2 + 5 2 - 5 3 AB12 + DB12 - AD 2 cos · AB1 D = = 2 AB1.DB2 2.5 2.5 2. ). 2. =. 1 Þ· AB1 D nhọn từ đó 4. 1 . Ta thấy BC1 / / mp ( AB1 D ) , AB1 Ì mp ( AB1 D ) từ đó 4 3VB. AB1D 3VB1 . ABC d ( BC1 , AB1 ) = d ( BC1 , mp ( AB1D ) ) = d ( B, mp ( AB1D ) ) = = 1 dtDAB1 D AB1 .DB1 .sin a 2. 0,25. a=· AB1 D Û cos a =. 25 3 4. 1 ì ïcos a = ( a = ( AB1 ; BC1 ) ) 4 = = = 5 .Đáp số í 1 1 15 ï d ( AB , BC ) = 5 AB . AD1 sin a .5 2.5 2. 1 1 î 2 1 2 4 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn ab + bc + ca = 7 abc .Tìm giá trị nhỏ nhất…. BB1dtDABC. V. 5.. giả thiết tương đương với 1 æ có: S = ç 8a 2 + 2 2a è. 1 1 1 + + = 7 áp dụng bất đẳng thức Côsi+Bunhiacôpxki ta a b c. 2 2 2 ö æ 3 3 ÷ + ç 54b + 54b + 2 + 2 + 2 9b 9b 9b ø è. ö ÷+ ø. 1 1 ö æ 4 ç 16c + 2 + 2 ÷ 4c 4c ø è. 0,25. 0,25. 1,00 0,25 0,25. 2. 1 1 ö 1 1 2 æ 1 æ 1 1 1ö + ç 2 + 2 + 2 ÷ ³ 4 + 10 + 3 + ç + + ÷ = 17 + .7 = 24 dấu bằng xẩy 3b 2c ø 2 +3+ 2 è a b c ø 7 è 2a 1 1 1 1 ra khi a = c = , b = .Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 24 đạt khi a = c = , b = 2 3 2 3. VIa 1. …Tìm toạ độ điểm M trên trục tung sao cho từ điểm M kẻ được hai tiếp tuyến…. 0,25 0,25 2,00 1,00. 2. Đường tròn ( C ) : ( x - 4 ) + y 2 = 4 có tâm I ( 4;0 ) bán kính R = 2 .Gọi toạ độ điểm M ( 0; a ) .Tiếp điểm A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) .Do MA là tiếp tuyến của ( C ) và A Î ( C ) uuur uuur ur uuur uur ìï MA = ( x1 ; y1 - a ) ìï MA ^ I A ìï MA.IA = 0 Ûí (*) mà í uur từ đó (*) Û í ïî A Î ( C ) ïî A Î ( C ) ïî IA = ( x1 - 4; y1 ). 0,25. 0,25. ìï x1 ( x1 - 4 ) + ( y1 - a ) y1 = 0 (1) Ûí ,lấy (1) trừ (2) theo vế ta được 2 2 ïî( x1 - 4 ) + y1 = 4 ( 2 ). 4 x1 - ay1 - 12 = 0 tương tự cho điểm B ( x2 ; y2 ) ta được 4 x2 - ay2 - 12 = 0 từ đó ta có phương trình đường thẳng chứa dây. AB. là. ( d ) ; 4 x - ay - 12 = 0. mà điểm. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 2. E ( 4;1) Î ( d ) Û 4.4 - a.1 - 12 = 0 Û a = 4 Û M ( 0; 4 ) .Đáp số M ( 0; 4 ). 0,25. … M Î d1 , N Î d 2 sao cho MN song song với ( P ) và cách ( P ) một khoảng bằng 2.. 1,00. ì x = 1 + 2t ì x = 5 + 6s ìïM (1 + 2t ;3 - 3t ; 2t ) Î d1 ï ï PT tham số của d1 : í y = 3 - 3t & d 2 : í y = 4 s Vậy í ïî N ( 5 + 6s; 4s; -5 - 5s ) Î d 2 ï z = 2t ï z = -5 - 5 s î î uuuur Þ MN = ( 6 s - 2t + 4; 4s + 3t - 3; -5s - 2t - 5 ) uuuur r uuuur r r mặt phẳng ( P ) có 1 vtpt n = (1; -2; 2 ) , MN / / ( P ) Þ MN ^ n Û MN .n = 0. 0,25. 0,25. Û 1 ( 6 s - 2t + 4 ) - 2 ( 4 s + 3t - 3 ) + 2 ( -5 s - 2t - 5 ) = 0 Û t = - s .Vì MN / / ( P ) 1 + 2t - 2 ( 3 - 3t ) + 2 ( 2t ) - 1. d ( MN , ( P ) ) = d ( M , ( P ) ) =. 7a. 1+ 4 + 4. ·. t = 1 Þ s = -1 Þ M 1 ( 3;0; 2 ) , N1 ( -1; -4; 0 ). ·. t = 0 Þ s = 0 Þ M 2 (1;3; 0 ) , N 2 ( 5;0; -5 ). (. Giải phương trình: 3 - 5. ). x. (. + 12 3 + 5. ). x. ét = 1 = 2 -6 + 12t = 6 Û ê ët = 0. 0,25. 0,25. = 2 x+3. 1,00 x. x. æ 3- 5 ö æ3+ 5 ö Chia hai vế của phương trình cho 2 > 0 ta được : çç ÷÷ + 12 çç ÷÷ = 8 (1) do 2 2 è ø è ø x. x. x. x. x. æ 3- 5 ö æ 3+ 5 ö æ3- 5 ö æ 3+ 5 ö 1 çç ÷÷ . çç ÷÷ = 1 đặt t = çç ÷÷ Þ t > 0 & çç ÷÷ = khi đó pt (1) trở 2 2 2 2 è ø è ø è ø è ø t thành t +. 0,25. 0,25. ét = 2 12 ( thoả mãn) = 8 Û t 2 - 8t + 12 = 0 Û ê t ët = 6 x. ·. æ 3- 5 ö t = 2 Þ çç ÷÷ = 2 Û x = log 3- 5 2 2 è ø 2. ·. æ 3- 5 ö t = 6 Þ çç ÷÷ = 6 Û x = log 3- 5 6 è 2 ø 2. 0,25. x. 0,25. VIb. 2,00 1. Tìm điểm M Î ( d ) và điểm N Î ( C ) sao cho chúng đối xứng nhau qua điểm A ( 3;1) .. 1,00. Gọi M ( 3a + 4; a ) Î ( d ) mà N đối xứng với M qua A ( 3;1) Þ N ( 2 - 3a; 2 - a ) theo gt. 0,25. 2. 2. N Î ( C ) : x 2 + y 2 - 4 y = 0 Û ( 2 - 3a ) + ( 2 - a ) - 4 ( 2 - a ) = 0 Û 2 a ( 5a - 6 ) = 0 Û a = 0 Ú a =. 2. 6 5. ·. a = 0 Þ M 1 ( 4;0 ) , N1 ( 2; 2 ). ·. 6 æ 38 6 ö æ 8 4ö a = Þ M 2 ç ; ÷ , N2 ç - ; ÷ 5 è 5 5ø è 5 5ø. ...điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng chứa AB là nhỏ nhất . uuur r Ta có AB = ( 6; -4; 4 ) đường thẳng D có một vtcp u = ( 3; -2; 2 ) Þ AB / / D. Gọi H là. 0,25. 0,25 0,25 1,00 0,25.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> ( P ) là mặt phẳng qua và ( P ) ^ D Þ ( P ) : 3x - 2 y + 2 z + 3 = 0 . {H } = D Ç ( P ) nên toạ độ điểm H hình. chiếu. của. A. trên. D .Gọi. A (1; 2; -1). 0,25. là nghiệm. ì x = -1 ì3 x - 2 y + 2 z + 3 = 0 ï ï ' của hệ pt : í x - 2 y z - 4 Û í y = 2 Û H ( -1; 2; 2 ) .Gọi A đối xứng với A qua ïî 3 = -2 = 2 ïz = 2 î. 0,25. D Þ A' ( -3; 2;5 ) ( do H là trung điểm của AA' ) Ta có A, A' , B, D cùng nằm trong một. mặt phẳng ( P ) .Pt đường thẳng A' B là. x +3 y -2 z -5 x +3 y -2 z -5 = = Û = = 7 + 3 -2 - 2 3 - 5 5 -2 -1. Từ đó điểm M cần tìm là giao điêm giữa A' B và D Þ toạ độ M là nghiệm hpt ìx+3 ïï 5 = í ïx-2 = îï 3 7b. 0,25. y-2 z -5 ìx = 2 = ï -2 -1 Û í y = 0 Û M ( 2; 0; 4 ) . Đáp số M ( 2; 0; 4 ) y z-4 ïz = 4 = î -2 2. 1 2 2 Giải phương trình: log ( x 2 - 1) = log ( x + 1) + log ( x - 2 ) 2 ìx2 -1 > 0 ì2 ¹ x > 1 Đ/k: í . Ûí î x < -1 î x + 1 ¹ 0; x - 2 ¹ 0 2. 1,00. 0,25. Khi đó phương trình Û log ( x 2 - 1) = log ( x + 1) + log x - 2 2 2 Û log x 2 - 1 = log é( x + 1) x - 2 ù Û x 2 - 1 = ( x + 1) x - 2 ë û. (. ). é ïì x > 2 éì x > 2 êí êí 2 éx = 1+ 2 êîï x - 1 = ( x + 1)( x - 2 ) êî x - 2 x - 1 = 0 Û x - 1 = ( x + 1) x - 2 Û ê Ûê Ûê 1 < x < 2 Ú x < -1 êë x = ± 3 ê ìï1 < x < 2 Ú x < -1 ê ìí í ê ï x - 1 = ( x + 1)( - x + 2 ) êë î x 2 = 3 ëî Phương trình có 3 nghiệm .: x = 1 + 2, x = ± 3. Lưu ý khi chấm bài: ­ Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. ­ Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. ­ Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. ­ Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau. ­ Trong lời giải câu IV, nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình không cho điểm. ­ Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.. ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­. 0,25. 0,25 0,25.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>