Tài liệu Môn học điều khiển bền vững pdf

Chương 3
ĐIỀU KHIỂN BỀN VỮNG
3.1 Giới thiệu
3.1.1 Khái niệm điều khiển bền vững
Hệ thống điều khiển bền vững làm cho chất lượng của sản phẩm ổn định, không phụ thuộc
vào sự thay đổi của đối tượng cũng như của nhiễu tác động lên hệ thống.Mục đích của điều
khiển bền vững là chất lượng vòng kín được duy trì mặc dù có những sự thay đổi trong đối
tượng.
P
0
:Mô hình chuẩn (mô hình danh
định)
∆
P
:Mô hình thực tế với sai lệch

∆
so với mô hình chuẩn
Hình 3.1 : Mô hình điều khiển bền vững
Cho tập mô hình có sai số
∆
P
và một tập các chỉ tiêu chất lượng, giả sử
P
0

∈
∆
P
là mô hình danh định dùng để thiết kế bộ điều khiển K.Hệ thống
hồi tiếp vòng kín được gọi là có tính :

- Ổn định danh định: nếu K ổn định nội với mô hình danh định P
0
- Ổn định bền vững: nếu K ổn định nội với mọi mô hình thuộc
∆
P
- Chất lượng danh định: nếu các mục tiêu chất lượng được thỏa đối với mô hình danh định
P
0
- Chất lượng bền vững: nếu các mục tiêu chất lượng được thỏa đối với mọi mô hình thuộc
∆
P
Mục tiêu bài toán ổn định bền vững là tìm bộ điều khiển không chỉ ổn định mô hình danh
định P
0
mà còn ổn định một tập các mô hình có sai số
∆
P
3.1.2 Chuẩn của tín hiệu
3.1.2.1 Khái niệm chuẩn
Trong điều khiển nói riêng cũng như trong các công việc có liên quan đến tín hiệu nói
chung,thông thường ta không làm việc chỉ riêng với một tín hiệu hoặc một vài tín hiệu điển
hình mà ngược lại phải làm việc với một tập gồm rất nhiều các tín hiệu khác nhau. Khi
phải làm việc với nhiều tín hiệu khác nhau như vậy chắc chắn ta sẽ gặp bài toán so sánh
các tín hiệu để chọn lọc ra được những tín hiệu phù hợp cho công việc.
Các khái niệm như tín hiệu x
1
(t) tốt hơn tín hiệu x
2
(t) chỉ thực sự có nghĩa nếu như chúng
cùng được chiếu theo một tiêu chuẩn so sánh nào đó. Cũng như vậy nếu ta khẳng định rằng

x
1
(t) lớn hơn x
2
(t) thì phải chỉ rõ phép so sánh lớn hơn đó được hiểu theo nghĩa nào, x
1
(t)
có giá trị cực đại lớn hơn , có năng lượng lớn hơn hay x
1
(t) chứa nhiều thông tin hơn x
2
(t)
…..Nói một cách khác ,trước khi so sánh x
1
(t) với x
2
(t) chúng ta phải gắn cho mỗi một tín
hiệu một giá trị đánh giá tín hiệu theo tiêu chuẩn so sánh được lựa chọn .
Định nghĩa: Cho một tín hiệu x(t) và một ánh xạ x(t) →||x(t)||
∈
R
+
chuyển x(t) thành một
số thực dương ||x(t)||.Số thực dương này sẽ được gọi là chuẩn của x(t) nếu nó thỏa mãn:
a. ||x(t)|| ≥ 0 và ||x(t)|| = 0 khi và chỉ khi x(t) =0 (3.1)
b. ||x(t)+y(t)|| ≤ ||x(t)|| + ||y(t)||
∀
x(t), y(t) (3.2)
c. ||ax(t)|| = |a|.||x(t)||
∀

x(t) và
Ra
∈∀
. (3.3)
3.1.2.2 Một số chuẩn thường dùng trong điều khiển cho một tín hiệu x(t):
- Chuẩn bậc 1:
dttxtx
∫
∞
∞−
=
|)(|||)(||
1
(3.4)
- Chuẩn bậc 2:
∫
∞
∞−
=
dttxtx
2
2
|)(|||)(||
. (3.5)
Bình phương chuẩn bậc hai chính là giá trị đo năng lượng của tín hiệu x(t).
-Chuẩn bậc p:
p
p
p
dttxtx

∫
∞
∞−
=
|)(|||)(||
với p
∈
N (3.6)
- Chuẩn vô cùng:
|)(|sup||)(|| txtx
t
=
∞
(3.7)
đây là biên độ hay đỉnh của tín hiệu
Khái niệm chuẩn trong định nghĩa trên không bị giới hạn là chỉ cho một tín hiệu x(t) mà
còn được áp dụng được cho cả vector tín hiệu gồm nhiều phần tử và mỗi phần tử lại là một
tín hiệu.
Xét một vector tín hiệu:
x(t) =











)(
)(
1
tx
tx
n

- Chuẩn 1 của vector x:

∑
=
=
n
i
i
xx
1
1
(3.8)
- Chuẩn 2 của vector x:

∑
=
=
n
i
i
xx
1
2

2
(3.9)
- Chuẩn vô cùng của vector x:

ni
i
xx
,...,2,1
max
=
∞
=
(3.10)
3.1.2.3 Quan hệ của chuẩn với ảnh Fourier và ảnh Laplace:
Để phục vụ mục đích sử dụng khái niệm chuẩn vào điều khiển ,ta cần quan tâm tới mối
liên quan giữa chuẩn tín hiệu x(t) là ||x(t)|| với ảnh Fourier X(j
ω
) cũng như ảnh Laplace
X(s) của nó.
Định lí 3.1: (Parseval) Chuẩn bậc hai của một tín hiệu x(t) và ảnh Fourier X(j
ω
) của nó
có quan hệ :
ωω
π
djXdttxtx
222
|)(|
2
1

|)(|||)(||
2
∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
==
(3.11)
Cho tín hiệu nhân quả causal x(t). Gọi X(s) là ảnh Laplace của nó .Giả sử rằng X(s) có
dạng thực -hữu tỷ với bậc của đa thức tử số không lớn hơn bậc đa thức mẫu số ,tức là:
n
n
m
m
sasaa
sbsbb
sA
sB
sX
+++
+++
==
.....
.....
)(
)(
)(
10
10

với m < n (3.12)
Định lí 3.2: Xét tín hiệu nhân quả causal x(t) có X(s) dạng (3.12) .Để chuẩn bậc 1 của x(t)
là một số hữu hạn ||x(t)||
1
= K <
∞
thì điều kiện cần và đủ là tất cả các điểm cực của X(s)
phải nằm bên trái trục ảo (có phần thực âm) .
3.1.3 Đại số ma trận
3.1.3.1 Một số ma trận thường gặp:
- Một ma trận A=(a
ij
) có số hàng bằng số cột được gọi là ma trận vuông. Đường chéo nối
các phần tử a
ii
trong ma trận vuông được gọi là đường chéo chính .Đường chéo còn lại
được gọi là đường chéo phụ.
A =













nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa




21
22221
11211
(3.13)
- Một ma trận vuông A=(a
ij
) có a
ij
= 0 khi i ≠ j ,tức là các phần tử không nằm trên đường
chéo chính đều bằng 0, được gọi là ma trận đường chéo. Ma trận đường chéo được ký hiệu
bởi:
A =













nn
a
a
a




00
00
00
22
11
= diag(a
ij
) (3.14)
- Ma trận đường chéo I = diag(1) =













100
010
001




gọi là ma trận đơn vị.
- Ma trận vuông A=(a
ij
) có a
ij
= 0 khi i > j (hoặc i < j) được gọi là ma trận tam giác
+ Ma trận tam giác dưới
A=













nnnn
aaa
aa
a




21
2221
11
0
00
(3.15)
+ Ma trận tam giác trên
A=












nn
n

n
a
aa
aaa




00
0
222
11211
(3.16)
3.1.3.2 Các phép tính về ma trận:
- Phép cộng / trừ: Cho hai ma trận A=(a
ij
) và B=(b
ij
) cùng có m hàng và n cột .Tổng hay
hiệu A ± B = C =(c
ij
) của chúng được định nghĩa là một ma trận cũng có m hàng và n cột
với các phần tử
c
ij
= a
ij
+ b
ij
i=1,2,…..,m và j=1,2,…..,n.

- Phép nhân với số thực: Cho ma trận A=(a
ij
) có m hàng và n cột và một số vô hướng
thực(phức) x tùy ý .Tích B = xA = Ax = (b
ij
) được hiểu là ma trận cũng có m hàng và n cột
với các phần tử
B
ij
= x.a
ij
i=1,2,….m và j=1,2,…..,n
- Phép chuyển vị: Ma trận chuyển vị của ma trận A=(a
ij
) với m hàng và n cột là ma trận A
T
= (a
ji
) có n hàng và m cột được tạo từ ma trận A qua việc hoán chuyển hàng thành cột và
ngược lại cột thành hàng.
- Phép nhân ma trận: Cho ma trận A=(a
ik
) có m hàng và p cột và ma trận B=(b
kj
) có p hàng
và n cột ,tức là :
+ A=(a
ik
) i=1,2,....,m và k=1,2,….,p
+ B=(b

kj
) k=1,2,….,p và j=1,2,…..,n
Tích AB = C =(c
ij
) của chúng là một ma trận có m hàng và n cột với các phần tử
C
ij
=
∑
=
p
k
kjik
ba
1

Một ma trận vuông A
nn
R
×
∈
được gọi là ma trận trực giao nếu A
T
A=AA
T
=I
3.1.3.3 Hạng của ma trận:
Cho n vector v
i
i=1,2,…,n Chúng sẽ được gọi là độc lập tuyến tính nếu đẳng thức

a
1
v
1
+a
2
v
2
+…….+a
n
v
n
=0 trong đó a
i
là những số thực (hoặc phức) sẽ đúng khi và chỉ khi a
1
= a
2
= …..=a
n
= 0
Xét một ma trận A=(a
ij
) bất kì có m hàng và n cột .Nếu trong số m vector hàng có nhiều
nhất p ≤ m vector độc lập tuyến tính và trong số n vector cột có nhiều nhất q ≤ n vector
độc lập tuyến tính thì hạng ma trận đươc hiểu là:
Rank(A) = min{p,q}
Một ma trận vuông A kiểu (n
×
n) sẽ được gọi là không suy biến nếu Rank(A)=n .Ngược

lại nếu Rank(A) <n thì A được nói là ma trận suy biến
Hạng ma trận có các tính chất sau:
- Rank(A) = min{p,q} (3.17)
- Rank(AB) ≤ rank(A) và rank(AB) ≤ rank(B) (3.18)
- Rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B) (3.19)
- Nếu B không suy biến thì rank(AB) = rank(B) (3.20)
3.1.3.4 Ma trận nghịch đảo:
Cho ma trận A=(a
ij
),i=1,2,…,m ; j=1,2,…,n,trong đó a
ij
là những số thực (hoặc phức),nói
cách khác A ∈ R
m
×
n
(hoặc A ∈ C
m
×
n
).Nếu tồn tại một ma trận B thỏa mãn :
AB = BA = I (ma trận đơn vị) (3.21)
Thì ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của A và ký hiệu là B = A
-1
.
Do phải tồn tại cả hai phép nhân AA
-1
và A
-1
A cho ra kết quả có cùng kiểu nên ma trận A

phải là một ma trận vuông,tức là phải có m = n.Hơn nữa do det(I) = 1 ≠ 0 nên:
det(A)det(A
-1
) ≠ 0 => det(A) ≠ 0 và det(A
-1
) ≠ 0. (3.22)
Vậy A phải là ma trận không suy biến.
Ma trận nghịch đảo A
-1
của A có tính chất sau:
- Ma trận nghịch đảo A
-1
của A là duy nhất (3.23)
- Tập hợp tất cả các ma trận vuông cùng kiểu và không suy biến cùng với phép nhân ma
trận tạo thành một nhóm (không giao hoán). (3.24)
- Nghịch đảo ma trận kiểu (2
×
2):






−
−
=







=
−
ac
bd
A
dc
ba
A
)det(
1
1
(3.25)
- (AB)
-1
= B
-1
A
-1
(3.26)
- (A
-1
)
T
= (A
T
)
-1

(3.27)
- Nếu A = diag(a
i
) và không suy biến thì A
-1
= diag






i
a
1
(3.28)
- A
-1
=
)det( A
A
adj
(3.29)
trong đó A
adj
là ma trận có các phần tử a 
ij
= (-1)
i+j
det(A

ij
) với A
ij
là ma trận thu được từ A
bằng cách bỏ đi hàng thứ j và như cột thứ i.
- Cho ma trận A ∈ R
n
×
n
không suy biến . Nếu U ∈ R
n
×
m
và V ∈ R
n
×
m
là hai ma trận làm
cho (I+V
T
A
-1
U) cũng không suy biến thì
(A+UV
T
)
-1
= A
-1
– A

-1
U(I+V
T
A
-1
U)
-1
V
T
A
-1
(3.30)
- Cho ma trận vuông A =






43
21
AA
AA
không suy biến,trong đó A
1
,A
2
,A
3
,A

4
cũng là các ma
trận.
Nếu A
1
không suy biến và B = A
4
– A
3
A
1
-1
A
2
cũng không suy biến thì






−
−+
=







=
−
−
−
−
−−
−−
−
−
−
1
1
13
1
1
2
1
1
1
13
1
2
1
1
1
1
1
43
21
1

BAAB
BAAAABAAA
AA
AA
A
(3.31)
Nếu A
4
không suy biến và C = A
1
– A
2
A
4
-1
A
3
cũng không suy biến thì






+−
−
=







=
−
−
−−
−
−
−
−−
−
−
1
32
1
3
1
4
1
4
1
3
1
4
1
42
11
1
43

21
1
AACAAAACAA
AACC
AA
AA
A
(3.32)
3.1.3.5 Vết của ma trận:
Cho ma trận vuông A=(a
ij
) ,i,j=1,2,……,n kiểu (nxn).Vết của A được hiểu là tổng giá trị
các phần tử trên đường chéo chính của A và được ký hiệu bằng trace(A):
trace=
∑
=
m
i
ii
a
1
(3.33)
Vết của ma trận có các tính chất:
a. trace(AB) = trace(BA) (3.34)
b. trace(S
-1
AS) = trace(A) với S là ma trận không suy biến bất kì (3.35)
3.1.3.6 Giá trị riêng và vector riêng:
Số thực
λ

được gọi là giá trị riêng và vector x được gọi là vector riêng bên phải ứng với
giá trị riêng
λ
của A thỏa mãn:
Ax =
λ
x
∀
x (3.36)
⇔
(A -
λ
I)x = 0
∀
x (3.37)
Giá trị riêng và vector riêng của ma trận A có những tính chất sau:
a. Hai ma trận tương đương A và S
-1
AS luôn cùng giá trị riêng, nói cách khác giá trị riêng
của ma trận bất biến với phép biến đổi tương đương:
det(A-
λ
I)=det(S
-1
AS-
λ
I) (3.38)
b. Các giá trị riêng của ma trận bất biến với phép chuyển vị, tức là:
det(A-
λ

I)=det(A
T
-
λ
I) (3.39)
c. Nếu A không suy biến thì AB và BA có cùng các giá trị riêng ,tức là:
det(AB-
λ
I)=det(BA-
λ
I) (3.40)
d. Nếu A là ma trận đối xứng (A
T
=A) thì các vector riêng ứng với những giá trị riêng khác
nhau sẽ trực giao với nhau
Trong Matlab ,sử dụng hàm eig(A) để tìm ma trận riêng và vector riêng.
3.1.3.7 Tính toán ma trận:
Cho ma trận X = (x
ij
) ∈ C
m
×
n
là một ma trận thực (hoặc phức) và F(X) ∈ C là một vô
hướng thực hoặc phức của X .Đạo hàm của F(X) đối với X được định nghĩa









∂
∂
=
∂
∂
)()( XF
x
XF
X
ij
(3.41)
Cho A và B là những ma trận phức với không gian tương thích .Một số công thức đạo
hàm :
( )
( )
( )
1
(3.42)
( ) (3.43)
2 ( ) (3.44)
( ) (3.45)
( ) (3.46)
T T
k k T
T T
T T
T

Trace AXB A B
X
Trace X k X
X
Trace XBX XB B B
X
X AX AX A X
X
Trace AX B BA
X
−
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
= =
∂
∂
= +
∂
∂
=
∂
3.1.3.8 Chuẩn của ma trận:
Người ta cần đến chuẩn của ma trận là nhằm phục vụ việc khảo sát tính giải tích của nó.Có
nhiều chuẩn khác nhau cho một ma trận A=(a
ij

) ,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n.
Những chuẩn thông thường được sử dụng:
- Chuẩn 1 của ma trận A
∑
=
≤≤
=
m
i
ij
nj
aA
1
1
1
max
(3.47)
- Chuẩn 2 của ma trận A
)(max
*
1
2
AAA
i
ni
λ
≤≤
=
(3.48)
- Chuẩn vô cùng của ma trận A

∑
=
≤≤
∞
=
n
j
ij
mi
aA
1
1
max
(3.49)
- Chuẩn Euclide của ma trận A (chuẩn Frobenius)
)(
2
AAtraceaA
T
i j
ij
F
==
∑∑
(3.50)
với
*
A
là ma trận chuyển vị và lấy liên hiệp.
)(

*
AA
i
λ
là trị riêng của ma trận
AA
*
là
một số thực không âm.
3.1.4 Trị suy biến của ma trận – độ lợi chính(Principal gain)
Trị suy biến của ma trận A(m x l) được ký hiệu là
)(A
i
σ
được định nghĩa như sau:
kiAAA
ii
,...2,1)()(
*
==
λσ
(3.51)
với
},min{ lmk
=
.
Nếu chúng ta biểu diễn ma trận A dưới dạng A(s) và đặt
ω
js
=

)0(
∞<≤
ω
, thì trị suy
biến của
)(
ω
jA
là một hàm của
ω
và được gọi là độ lợi chính của A(s). Ở đây chúng ta
giả sử rằng
i
σ
được sắp xếp theo thứ tự sao cho
1
+
≥
ii
σσ
. Như vậy,
1
σ
là trị suy biến
lớn nhất và
k
σ
là trị suy biến nhỏ nhất. Ký hiệu
σ

là trị suy biến lớn nhất và
σ
là trị suy
biến nhỏ nhất.
Ta có:
)(max)(max)(
*
AAAA
ii
λσσ
==

2
A
=
(3.52)
với
2
2
2
sup
x
Ax
A
=
.
Độ lợi của hệ đa biến nằm giữa độ lợi chính lớn nhất và nhỏ nhất.
Trong Matlab tìm trị suy biến của ma trận A dùng lệnh svd(A)
Ví dụ: Cho ma trận A:
>> A =











7
8
4
2
6
9
;
>> S =svd(A)
S =
[14.9359
5.1883]
S: vector của các giá trị suy biến của ma trận A
)(A
σ
=14.9359
σ
(A)=5.1883
3.1.5 Ổn định nội
Ổn định nội là yêu cầu cơ bản đối với một hệ thống hồi tiếp thực. Ý nghĩa của ổn định nội
là khi đầu vào hệ thống bằng không thì tất cả các trạng thái hệ thống đều phải về không từ

mọi giá trị ban đầu. Mọi hệ thống tự động đều phải bảo đảm ổn định nội mới hoạt động
được.
G
G
K
K
w
1
e
1
e
2
w
2
+
+
+
+
Hình 3.2 : Sơ đồ hệ thống dùng để phân tích ổn định nội
Định nghĩa :
Hệ hồi tiếp hình 3.2 được gọi là ổn định nội nếu tất cả các hàm truyền đạt từ w
1
, w
2
đến e
1
,
e
2
đều ổn định.

Điều kiện ổn định nội chặt hơn điều kiện ổn định dựa trên hàm truyền vào-ra thông
thường, vì nó tránh việc khử các cực và zero không ổn định giữa các khâu liên tiếp nhau.
Khi thành lập hàm truyền vào-ra, có thể xảy ra hiện tượng khử cực và zero không ổn định
của các khâu liên tiếp nhau. Như vậy, điều kiện ổn định nội bảo đảm các tín hiệu bên trong
hệ thống đều hữu hạn khi tín hiệu vào là hữu hạn.
Ví dụ, ta khảo sát điều kiện ổn định nội của hệ thống hình 3.2:
2
1
1
1
2
212122
2
1
1
1
1
121211
)()(
)()(
wGKIGwGKIe
GKeGwwGewe
KwKGIwKGIe
KGeKwwKewe
−−
−−
−+−=⇒
++=+=
−+−=⇒
++=+=

Suy ra:
1 1
1 1
1 1
2 2
( ) ( )
( ) ( )
e w
e w
− −
− −
 
− −
   
=
 
   
− −
   
 
I KG I KG K
I GK G I GK
Điều kiện ổn định nội của hệ là các hàm truyền
1
( )
−
−I KG
,
1
( )

−
−I KG K
,
1
( )
−
−I GK G
,
1
( )
−
−I GK
đều ổn định.
3.1.6 Định lý độ lợi nhỏ (Small Gain Theorem)
Cho hệ thống được biểu diễn như hình 3.3: Gọi λ
i
là trị riêng của G
Hình 3.3 : Hệ thống hồi tiếp vòng kín
Định lý độ lợi nhỏ được phát biểu như sau:
G
G
r y
-
u
Giả thiết rằng G(s) ổn định, ρ(G(jω)) là bán kính phổ của G(jω). Hệ thống vòng kín ổn
định nếu
( )
1max))((
<=
i

jG
λωρ
, hoặc
ωω
∀<
,1)( jG
Đối với hệ SISO thì
1)())((
<=
ωωρ
jGjG
(3.53)
Định lý độ lợi nhỏ chỉ là điều kiện đủ để xét ổn định của hệ thống. Điểm mạnh của định lí
này là nó không yêu cầu những thông tin chi tiết về hệ thống.Vì vậy nó không chỉ ứng
dụng được cho hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian mà còn ứng dụng được cho hệ
thống phi tuyến, thay đổi theo thời gian.
3.1.7 Ổn định bền vững
3.1.7.1 Định lý ổn định bền vững
Đây là mô hình cơ bản dùng để phân tích tính ổn định bền vững của một hệ thống. Nếu hệ
danh định ổn định thì M ổn định và ∆ là sai số có thể làm cho hệ thống mất ổn định. Định
lý sau thiết lập điều kiện của M để cho hệ thống vẫn ổn định dưới ảnh hưởng của ∆
Hình 3.4 : Sơ đồ cấu trúc phân tích ổn định bền vững
Định lý ổn định bền vững:
Giả sử M và ∆ ổn định, hệ thống vòng kín hình 3.4 sẽ ổn định khi và chỉ khi biểu đồ cực
của đường cong Nyquist det(I-M∆) không bao điểm gốc. Khi đó hệ thống vòng kín sẽ ổn
định bền vững với mọi ∆
)1)((
≤∆
σ
nếu và chỉ nếu khi một trong các điều kiện sau thỏa

mãn:
a.
)1(,0))((
≤∆∀∀≠∆−
σωω
jMIDet
(3.54)
b.
)1(,1))((
≤∆∀∀<∆
σωωρ
jM
(3.55)
c.
ωωσ
∀<=
∞
1))(( jMM
(3.56)
3.1.7.2 Điều kiện ổn định bền vững đối với sai số cộng:
Với
ωωσδ
∀≤∆∆=∆
1))((),()()( jsss
AA
, (3.57)
v
M
∆
w

Hình 3.5 : Sai số cộng
Ta có:
( ) ( )[ ( ) ( ) ( ) ( )]
A
v s K s s w s G s v s
δ
= − +
(3.58)
hay
1
( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( )
A
v s I K s G s K s s w s
δ
−
= − +
(3.59)
vậy
)]()([
)()(
)(
sGsKI
ssK
sM
A
+
−=
δ
(3.60)
Kết luận: Hệ thống vòng kín hình 3.5 ổn định bền vững khi và chỉ khi:

)(
ωσ
j
=||M(s)||
∞
=

1
)]()([
)()(
<
+
∞
sGsKI
ssK
A
δ
(3.61)
3.1.7.3 Điều kiện ổn định bền vững đối với sai số nhân ở đầu ra
K
v
-
G
+
∆
A
δ
w
M
Hình 3.6 : Sai số nhân ở đầu ra

Với
ωωσδ
∀≤∆∆=∆
1))((),()()( jsss
OO
, (3.62)
Ta có:
( ) ( ) ( )[ ( ) ( ) ( )]
O
v s G s K s s w s v s
δ
= − +
(3.63)
hay
1
( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )
O
v s I G s K s G s K s s w s
δ
−
= − +
(3.64)
vậy
)()(
)()()(
sKsGI
ssKsG
M
O
+

−=
δ
(3.65)
Kết luận: Hệ thống vòng kín hình 3.6 ổn định bền vững khi và chỉ khi:
1
)()(
)()()(
<
+
∞
sKsGI
ssKsG
O
δ
(3.66)
3.2 Phương pháp LQG (Linear Quadratic Gaussian)
3.2.1 Đặt vấn đề
Cho hệ thống
Rt
tDxtz
tvtCxty
twtButAxtx
∈
=
+=
++=
)()(
)()()(
)()()()(
γ


(3.67)
K
v
-
G
+
∆
0
δ
w
M
Ngõ ra y là ngõ ra hồi tiếp và đo được. Ngõ ra z là điều khiển được. Tín hiệu nhiễu w là
nhiễu hệ thống và v là nhiễu đo .
Tín hiệu v và w là những quá trình nhiễu trắng .Trạng thái ban đầu của x(0) được giả sử là
một vector ngẫu nhiên .
Nhiều sự giả sử khác nhau định nghĩa trạng thái x(t) t
∈
R và ngõ ra điều khiển được z(t),t
∈
R là những quá trình ngẫu nhiên .Biểu thức sai số toàn phương :
0)()()()(
≥+
ttRututQztz
TT
(3.68)
là một quá trình ngẫu nhiên.
Vấn đề của điều khiển hệ thống là giá trị mong đợi của tích phân :
dttRututQztzE
T

TT
])()()()([
0
∫
+
(3.69)
là nhỏ. Đây là vấn đề điều khiển tuyến tính nhiễu loạn. Khoảng thời gian [0 T] là xác định
nhưng thật sự chúng ta xem xét trường hợp T
∞→
. Tại bất kỳ thời gian t toàn bộ tín hiệu
đo được ở quá khứ y(s) s
t
≤
được giả sử có giá trị cho hồi tiếp. Hình (3.7) làm rõ trường
hợp này :
Hình 3.7 : Hồi tiếp LQG
3.2.2 Bộ quan sát
Xem xét hệ thống quan sát :
Rt
tCxty
tButAxtx
∈
=
+=
)()(
)()()(

(3.70)
Đây là hệ thống (3.67) nhưng không có nhiễu hệ thống w và nhiễu đo v. Trạng thái x của
hệ thống (3.70) không thể sử dụng được trực tiếp bởi vì chỉ ngõ ra y là đo được. Xây dựng

lại trạng thái với sự chính xác tùy ý bởi việc kết nối một bộ quan sát :
SYSTEM
SYSTEM
CONTROLLER
CONTROLLER
w
v
u
+
+
y
z