TU BOI DUONG TOAN 7

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Môc lôc. I. Lêi më ®Çu................................................................................... II. KiÕn thøc cÇn nhí....................................................................... III. KiÕn thøc bæ sung...................................................................... IV. C¸c d¹ng bµi tËp vµ ph¬ng ph¸p chung ................................... 2 3 3 4. D¹ng 1. Bµi tËp chøng minh tØ lÖ thøc ..................................... 1.1. Ph¬ng ph¸p chung ...................................... 1.2. Mét sè vÝ dô ................................................. 1.3. TiÓu kÕt ......................................................... 1.4. Bµi tËp t¬ng tù ............................................ 4 4 4 8 9. D¹ng 2. T×m sè cha biÕt trong d·y tØ sè b»ng nhau .............. 2.1. Ph¬ng ph¸p chung ...................................... 2.2. Mét sè vÝ dô ................................................. 2.3. TiÓu kÕt ......................................................... 2.4. Bµi tËp t¬ng tù ............................................. 10 10 11 17 17. D¹ng 3. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc ................................................. 3.1. Ph¬ng ph¸p chung ....................................... 3.2. Mét sè vÝ dô .................................................. 3.3. TiÓu kÕt .......................................................... 3.4. Bµi tËp t¬ng tù ............................................. 20 20 21 23 23. Dạng 4. Toán đố ....................................................................... 4.1. Ph¬ng ph¸p chung ................................... 4.2. Mét sè vÝ dô ................................................ 4.3. TiÓu kÕt ........................................................ 4.4. Bµi tËp t¬ng tù ............................................. 23 23 24 30 30. V. KÕt qu¶ ................................................................................... VI. Vấn đề còn hạn chế ................................................................ VII. §iÒu kiÖn ¸p dông .................................................................. VIII. KÕt luËn ................................................................................. IX.Tµi liÖu tham kh¶o ................................................................... 34 34 34 35 36. I.. §. Lêi Më §Çu. · tõng lang thang qua nhiÒu hiÖu s¸ch, v¨n phßng phÈm, cöa hµng s¸ch cò. và cũng đã từng đọc khá nhiều loại sách tham khảo Tôi thấy thị trờng sách tham khảo cho các môn học rất rộng rãi, phong phú và đa dạng, có đủ tất cả các loại… Nhng những bài tập của một mảng kiến thức thì lại nằm dải rác đâu đó trong mỗi.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> phần của từng cuốn sách. Tôi thiết nghĩ, tại sao chúng không đợc sắp xếp theo một trật tự nhất định nào đó? Đặc biệt là kiến thức của bộ môn Toán, một môn khoa học tự nhiên chứa đựng vô cùng nhiều điều bí ẩn thú vị-nó xuất hiện cùng với loài ngời vµ kh«ng ngõng ph¸t triÓn theo trÝ tuÖ cña con ngêi, vµ chÝnh con ngêi l¹i kh«ng ngừng khám phá, chinh phục nó. Toán học cuốn hút con ngời ngay từ khi học đếm . Nhng sự học là vô tận, biết đến toán học và hiểu đợc nó là cả một quá trình phức tạp đi từ không đến có. Vậy thì làm thế nào để học tốt bộ môn này? Nếu trả lời đợc câu hỏi đó thì bạn đã học toán rất tốt rồi còn gì? Nếu cha trả lời đợc thì khi đọc xong cuốn sách này bạn đã có trong tay một phơng pháp hữu hiệu để học bộ môn toán một cách ngon lành. Đó là cách gì vậy? Hệ thống kiến thức theo từng mảngxắp xếp theo một trật tự nhất định, hợp lí. Gióp ngêi häc rÌn luyÖn c¸c thao t¸c t duy, ph¬ng ph¸p suy luËn vµ kh¶ n¨ng sáng tạo trong quá trình học tập để đạt đợc kết quả tốt. Nung nấu ý định đó trong xuốt quá trình giảng dạy, Tôi đã quyết định viết về một số mảng kiến thức, trong đó có : “Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau” theo tiêu chí trên; Mỗi dạng bài tập đều có phơng pháp chung, một số ví dụ đã chọn lọc cách giải hợp lí và một số bài tập tơng tự-Tất cả đều đợc xắp xếp theo một hệ thống trình tự từ dễ tới khó phù hợp cho mọi đối tợng, với mong muốn giúp ngời đọc, ngời học dễ dàng hơn trong việc tìm hiểu còng nh viÖc häc vµ muèn nghiªn cøu s©u h¬n vÒ m¶ng kiÕn thøc nµy mét c¸ch hiệu quả nhất. Tuy đây chỉ là một mảng kiến thức nhỏ đợc giới thiệu qua một tiết lí thuyết ở sách giáo khoa lớp 7 nhng đằng sau đó là cả một chuỗi bài tập, ứng dụng rất nhiều. Với hệ thống bài tập đợc sắp xếp từ dễ đến khó sẽ giúp ngời học kích thích tính t duy, suy luận logic, óc sáng tạo và tận hởng đợc cảm giác vui sớng khi tự mình tìm tòi, khám phá ra đáp án cho từng bài toán. Mong muốn chiếm lĩnh đ ợc tri thức là mong muốn của rất nhiều ngời, đặc biệt là học sinh – sinh viên, nhng làm sao, làm nh thế nào để chiếm lĩnh đợc những thứ quí báu đó thì lại là điều băn kho¨n, tr¨n trë cña tÊt c¶ chóng ta. Với lượng kiến thức của học sinh mới vào lớp 7, các em đã có trong tay một số kĩ năng giải toán như biến đổi các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa. Nhưng rất nhiều khó khăn mà các em sẽ gặp phải khi học và làm bài tập phần này, đặc biệt là những bài toán phức tạp, yêu cầu cần phân tích kĩ đầu bài để hiểu phải sử dụng những điều đã cho nh thế nào, biến đổi ra sao để đạt đợc mục đích, tìm ra đợc đáp án cho bài toán. Nh vậy, rất cần thiết phải đợc trang bị tri thức phơng pháp cho các em để khi làm bài không cảm thấy lúng túng, sợ, ngại những bài toán phức tạp. Với tất cả những gì vừa nêu đã thúc đẩy Tôi thực hiện chuyên đề này. II.. KiÕn thøc cÇn nhí. 1. TØ lÖ thøc. a b. . c d. 1.1. Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số Trong đó: a, b, c, d là các số hạng. a, d lµ ngo¹i tØ. b, c lµ trung tØ. 1.2. TÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc: a c  a.d  b.c d * NÕu b Th× * NÕu a . d  b . c vµ a, b, c, d  0 th× ta cã: a c a b d c    b d ; c d ; b a ; 2. TÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau. 2.1. TÝnh chÊt:. d c. . b a.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> a x. . b y. . c z. Tõ d·y tØ sè b»ng nhau ta suy ra: a b c a b c a  bc a b c      x y z xyz x yz x y z (Với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) 2.2. Chó ý: a b c   y z ta nãi c¸c sè a, b, c tØ lÖ víi c¸c sè x, y, z; Ta Khi cã d·y tØ sè x cßn viÕt a : b : c = x : y : z.. KiÕn thøc bæ sung. III.. 1. Luü thõa cña mét th¬ng: n  x xn  y   yn   Víi n  N, x  0 vµ x, y  Q. 2. Mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n: a a.m  b.m Víi m  0. * b a c a c    d b.n d .n * b Víi n  0. a * b. c  d. . a   b. n. c    d. n. Víi n  N.. IV. C¸c d¹ng bµi tËp vµ ph¬ng ph¸p chung Bµi tËp vÒ “TÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau” kh¸ phong phó vµ ®a d¹ng ë từng mức độ khác nhau nhng theo ý kiến chủ quan của bản thân Tôi thì có thể chia làm 4 dạng cơ bản gắn liền với phơng pháp chung (của mỗi dạng). Các cách làm đợc trình bày theo mạch t duy suy luận logic của học sinh nhằm hình thành và phát triển cách nghĩ, cách làm, cách trình bày và có thể tự tìm đợc con đờng đi của riêng m×nh cho häc sinh.. D¹ng 1. Bµi tËp chøng minh tØ lÖ thøc. 1.1. Ph¬ng ph¸p chung: +) Thờng thì ở dạng bài tập này, bài sẽ cho sẵn một số điều kiện nào đó vµ yªu cÇu chøng minh tØ lÖ thøc. +) Để làm xuất hiện tỉ lệ thức đã cần chứng minh thì chúng ta có thể biến đổi từ tỉ lệ thức bài cho hoặc từ điều kiện bài cho. Với tính chất các phép toán và tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc hoÆc tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau chóng ta cã thÓ biến đổi linh hoạt điều đã cho thành điều cần có. +) Có nhiều con đờng để đi đến một cái đích, hãy lựa chọn phơng pháp phï hîp, hîp lÝ nhÊt trong khi chøng minh. +) Lu ý: Trong quá trình biến đổi chứng minh nên luôn nhìn về biểu thức cần chứng minh để tránh tình trạng biến đổi dài, vô ích. 1.2. Mét sè vÝ dô:.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> a VÝ dô 1. Cho b. . c d.  1. Víi a, b, c, d  0. a c  c d Chøng minh r»ng: a  b Đây không phải là bài toán khó đối với đa số học sinh, nhng các em sẽ lúng túng khi lựa chọn cách làm bài toán này. Có rất nhiều cách để làm bài toán cơ bản này; tuy nhiên, ở đây Tôi xin đợc trình bày một số cách mà học sinh thêng nghÜ tíi vµ sö dông trong qu¸ tr×nh chøng minh. Lêi gi¶i: C¸ch 1. a c a b a b a b a a b         d c d c d c d c c d Cã: b a c  c  d (§pcm). Hay a  b.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> C¸ch 2. a Cã: b. . c d. . a.d.  b.c . ac . ad. a c  d . C¸ch 3. a Cã: b Khi đó:. Do đó: C¸ch 4.. . c d.  m . a a b. . mb mb  b. Cã:. . . mb b  m  1. c c d. . . . nªn C¸ch 5. a Cã: b. . c d. c c d . b a. (§pcm).. m m 1.  c a  b. ad.  ac. a.d a b .  c a  b a c  a b c d. m m 1. a c  d . ac . a a b. bc. . a mb ; c md. c md md   c d md  d d  m  1 a c  a b c  d (§pcm). a a b.  ac. . bc.  b.c c  d là đẳng thức đúng. là dẳng thức thức đúng. . d c. . 1. b a.  1. a c  c  d (§pcm) Suy ra: a  b C¸ch 6. a c   ad  bc d Cã: b Do đó: a ad ad bc    a b d  a  b ad  bd bc  bd a c  a b c  d (§pcm). VËy: C¸ch 7.. d c. . . bc b c  d . a b a. . . c c d. c d d.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> a b. c b d   d a c Cã: a b a b d c d    1   a a a c c Khi đó: a c  c  d (§pcm). Suy ra: a  b a c 5a  3b 5a  3b   d . Chøng minh r»ng: 5c  3d 5c  3d VÝ dô 2. Cho b Häc sinh quan s¸t kÜ ®Çu bµi sÏ ph¸t hiÖn ra ngay c¸ch lµm; Cã thÓ sö dông tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, nhng phải biến đổi một chút đã: Lêi gi¶i: a c a b 5a 3b 5a  3b 5a  3b        b d c d 5c 3d 5c  3d 5c  3d Cã: 5a  3b 5a  3b  5c  3d 5c  3d (§pcm). VËy: . a 2  b2 ab a c   2 2 cd . d . Chøng minh: c  d VÝ dô 3. Cho b Bài này có khó hơn một chút. Học sinh không biết làm thế nào để xuất hiện đab îc a2 vµ b2; Nhng bï l¹i th× c¸c em biÕt t¹o ra cd tõ tØ lÖ thøc bµi cho. ChØ cÇn gợi ý một chút xíu nữa là các em làm đợc ngay thôi! Em hãy so sánh: a a b b ab . ; . c c d d vµ cd ? Bây giờ thì các em đã biết phải làm nh thế nào rồi! Lêi gi¶i: a c a b a2 b2 ab a 2  b2        d c d c2 d2 cd c2  d 2 Cã: b a2  b2 ab  2 2 cd (§pcm). VËy: c  d Với cách t duy trên, dễ dàng nghĩ ngay ra con đờng đi cho bài tập không dễ sau: a c   1 d VÝ dô 4. Cho b vµ c  0. Chøng minh r»ng: 2.  a  b 2 c d. ab  cd. 3. a 3  b3  a b     3 c  d c  d3   a) b) §· cã bµi tËp ë vÝ dô 3 th× häc sinh kh«ng mÊy khã kh¨n khi lµm xuÊt hiÖn ®iÒu ph¶i chøng minh. Lêi gi¶i: a c a b a b    d  c d c d a) Cã: b.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> a b . c d Suy ra:. Hay:. . a b a b . c d c d 2. ab cd.  a  b 2 c d.  a b. b). c d. . Cã: 3 3 a b      c Suy ra:  c  a3 c3. Do đó:. (§pcm). a b  c d . b3  3 d.  a b      cd  a 3  b3  3 c  d3. . a b cd. 3.  a b      cd . 3. 3. a 3  b3  a b     3 c  d c  d 3 (§pcm).   VËy: Ngợc lại với cách làm những bài tập trên, từ một đẳng thức phức tạp phải chứng minh đẳng thức đơn giản hơn thì các em tỏ ra bối rối khi làm bài. VÝ dô 5. Cho = . Chøng minh r»ng: = . Không mấy khó khăn để đơn giản biểu thức đã cho. Nhìn về điều phải chứng minh th× ®a a lªn tö, ®a b xuèng mÉu vµ lµm “biÕn mÊt” nh÷ng g× kh«ng cÇn thiÕt trong nh¸y m¾t. Lêi gi¶i: Cã: = suy ra: = = = Hay: = (§pcm). VÝ dô 6. Cho 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z). Chøng minh r»ng: = . Hãy làm xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau trớc đã. Tõ 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z) ®a vÒ d·y tØ sè b»ng nhau nh thÕ nµo? Lêi gi¶i: Cã: 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z)  Suy ra: = = = = +) = = = (1) +) = = = (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã = (§pcm). a 2  b2 c2  d 2 =. VÝ dô 7. Cho víi a, b, c, d ≠ 0 vµ c ≠  d. Chøng minh r»ng: = hoÆc = . §Çu bµi khã thËt, nhng c¸c em sÏ ph¸t hiÖn ra ngay ®©y lµ bµi to¸n ngîc cña ví dụ 3. Làm theo quy trình ngợc lại ? Điều đó không đa các em đến đợc với điều phải chứng minh. Vậy thì phải biến đổi nh thế nào? Lúc này giáo viên vào cuộc bằng một gợi ý nhỏ: có thể biến đổi điều đã cho về hằng đẳng thức không? Lêi gi¶i: a 2  b2 c2  d 2 = 2. =. =.  a  b  a  b  2 2 cd c d Suy ra: = +) NÕu =. =. 2. . hoÆc = - . th× = = =. ( )2 = ( )2.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>  = = (1) +) NÕu = - th× = - = =  = = (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã: = hoÆc = . 1.3. TiÓu kÕt: Với dạng bài tập này, các em phải biết sử dụng linh hoạt kiến thức để tạo ra dãy tỉ số bằng nhau hợp lí, có thể kết hợp với mối quan hệ khác mà bài cho để đi đến điều phải chứng minh. Lu ý học sinh khi sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau phải nhớ đặt dấu ngoặc, tránh nhầm dấu. Có nhiều cách để chứng minh mét tØ lÖ thøc nhng cÇn lùa chän c¸ch nµo phï hîp víi kh¶ n¨ng vµ møc độ nhận thức của ngời học sao cho đơn giản mà lại dễ hiểu, dễ làm, dễ trình bµy. MÆt kh¸c, trong qu¸ tr×nh chøng minh ph¶i lu«n híng vÒ ®iÒu ph¶i chøng minh nhằm tránh “lạc đờng”, dài dòng không cần thiết, có khi lại không tới đợc đích cần đến. Còn bây giờ là lúc các em đã tự tin làm bài tập tơng tự..

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 1.4. Bµi tËp t¬ng tù: a 2  b2 a  b2  c2 c. Bµi 1. Cho b2 = ac. Chøng minh: Bµi 2. Cho b2 = ac ; c2 = bd víi b, c, d ≠ 0; b+c ≠ 0; b3+c3 ≠  d3. Chøng minh a 3  b3  c3  a  b  c    b3  c 3  d 3  b  c  d . 3. a 3  b3  c 3 a  b3  c 3  d 3 d. r»ng: a) b) Bµi 3. Cho = víi a, b, c ≠ 0. Chøng minh r»ng tõ ba sè a, b, c (cã mét sè sö dông 2 lÇn) cã thÓ lËp thµnh mét tØ lÖ thøc. Bµi 4. Cho = víi a, b, c, d > 0. Chøng minh r»ng: 2. a). 2a  3b 2c  3d  2a  3b 2c  3d 2. b). 2. ab  a  b   cd  c  d  2. 3a 2  10b2  17ab 3c 2  10d 2  cd  2 2 2 7c  d 2  5cd d) 7a  b  5ab. 7 a  3ab 7c  3cd  2 2 2 2 c) 11a  8b 11c  8d. Bµi 5. (Më réng) Cho = . Chøng minh: a) = b) = c) = d) = e) = f) = Bµi 6. Cho = = . Chøng minh r»ng:. a 3  b3  c 3 a  b3  c 3  d 3 d. a) ( )3= b) Bµi 7. Cho = = . Chøng minh: = = . Bµi 8. Cho a(y+z) = b(z+x) = c(x+y) víi a ≠ b ≠ c vµ a, b, c ≠ 0. Chøng minh r»ng: = = . Bµi 9. Chøng minh r»ng: NÕu a+c = 2b & 2bd = c(b+d) th× = víi b, d ≠ 0. Bµi 10. Chøng minh r»ng: NÕu a2 = bc th× = . Điều đảo lại có đúng không? Bµi 11. Cho bèn sè kh¸c 0 lµ: a1, a2, a3, a4 tho¶ m·n a22 = a1.a3 vµ a32 = a2.a4 Chøng minh r»ng:. a13  a23  a33 a1  a23  a33  a4 3 a4. Bµi 12. Chøng minh r»ng: NÕu Bµi 13. Chøng minh r»ng: NÕu. a n  bn a n  bn  n n n n = th× c  d c  d víi n  N. a 2 k  b 2 k a 2 k  b2 k  c 2 k  d 2 k c 2 k  d 2 k th× =  .. a n  bn n n Bµi 14. Tõ ( )n = c  d. víi n  N suy ra: = nÕu n lµ sè tù nhiªn lÎ & =  nÕu n lµ sè tù nhiªn ch½n. Bµi 15. Chøng minh r»ng: =( )2008 biÕt = = = … = . a 2  b2 2 2 Bµi 16. Chøng minh r»ng: NÕu c  d =. th× = . Bµi 17. Cho k, m, n  N . Chøng minh r»ng: NÕu k2 = m.n th× = . Bµi 18. Cho = . H·y chøng minh: a) = = b) (a+2c).(b+d) = (a+c).(b+2d) *. a 4  b4 4 4 c) ( )4 = c  d. Bµi 19. Chøng minh:. =. biÕt r»ng (a+b+c+d).(a-b-c+d) = (a-b+c-d).(a+b-c-d).

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Bµi 20. Chøng minh: = (§©y lµ c¸ch rót gän hçn sè) HD: = = = . D¹ng 2. T×m sè cha biÕt trong d·y tØ sè b»ng nhau. 2.1. Ph¬ng ph¸p chung: +) D¹ng bµi tËp nµy c¸c em gÆp rÊt nhiÒu, nã rÊt phong phó vµ ®a d¹ng. Bµi thêng cho 2 d÷ kiÖn, còng cã khi chØ cho 1 d÷ kiÖn. Tõ nh÷ng mèi quan hÖ đó ta có thể tìm đợc đáp án của bài, nhng cũng có thể phải biến đổi rồi mới sử dụng đợc. +) Cã thÓ sö dông ph¬ng ph¸p ë d¹ng 1. +) Lu ý đến dấu của số cần tìm trong trờng hợp có số mũ chẵn hoặc tích của 2 số, để tránh tìm ra số không thoả mãn yêu cầu của bài. Cũng lu ý các trờng hợp có thể xảy ra để không bỏ xót những giá trị cần tìm..

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 2.2. Mét sè vÝ dô: VÝ dô 1. T×m x, y kh¸c 0 biÕt: a) = vµ 2x + 5y = 10 b) = - vµ 2x + 3y = 7 c) 21.x = 19.y vµ x – y = 4 d) = vµ x.y = 84 Bài này tơng đối dễ, chỉ cần áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau là tìm đợc ngay đáp số của bài; Nhng trớc tiên phải biến đổi tỉ lệ thức của bài một chót cho phï hîp víi mèi quan hÖ cßn l¹i. Lêi gi¶i: a) Cã =  = = = ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã: = = = = Do đó: +) = suy ra x = = +) = suy ra y = = VËy: x = vµ y = b) Cã =  = Do đó: = = = Hay: +) = suy ra: 2x =  x = +) = suy ra: y = VËy: x = - vµ y = c) 21.x = 19. y  = Do đó: = = = = -2 Hay: +) = -2  x = -2.19 = -38 +) = -2  y = -2.21 = -42 VËy: x = - 38 vµ y = - 42 d) =  = = = =4 Hay: +) = 4  x2 = 36  x=6 +) = 4  y2 = 196  y =  14 VËy: x = 6 vµ y = 14 hoÆc x = - 6 vµ y = -14 * Còng cã em lµm c¸ch kh¸c: Cã =  = mµ xy = 84 ( x vµ y cïng dÊu) nªn . xy = . 84  x2 = 36  x =  6 vµ xy: = 84:  y2 = 196  y = 14 VÝ dô 2. T×m x, y, z biÕt: a) = ; = vµ 2x + 3y – z = 186 b) x : y : z = 3 : 5 (- 2) vµ 5x – y + 3z = 124 c) = = = Lêi gi¶i: a) Ch¾c ch¾n lµ ph¶i sö dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau nhng l¹i cha cã, h·y lµm xuÊt hiÖn d·y tØ sè b»ng nhau. Cã: =  = =  = Do đó: = = = = = = = 3 Hay: +) = 3  x = 3.15 = 45 +) = 3  y = 3.20 = 60 +) = 3  z = 3.28 = 84 VËy: x = 45 ; y = 60 ; z = 84 b) T¬ng tù nh c©u a): Cã x : y : z = 3 :5 : (- 2)  = = Do đó, ta có: = = = = = = = 31 Hay: +) = 31  x = 31.3 = 93 +) = 31  y = 31.5 = 155 +) = 31  z = 31.(-2) = -62 VËy: x = 93 ; y = 155 ; z = -62. c) Bµi chØ cho d·y tØ sè b»ng nhau chø kh«ng cho thªm mèi quan hÖ kh¸c nh nh÷ng bµi tríc. Kh¸c nh÷ng bµi tríc, häc sinh thÊy míi l¹. VËy th× lµm thÕ nµo? LiÖu cã lµm xuÊt hiÖn mèi quan hÖ kh¸c tõ d·y tØ sè b»ng nhau kh«ng?.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Cã: = = = = = 2 Suy ra: x+y+z = . Khi đó: y+z = - x ; x+z = - y ; x+y = - z Do đó: +) = 2  =2  x= +) = 2  =2  y= +) = 2  =2  z=VËy: x = ; y = ; z = - . VÝ dô 3. T×m c¸c sè x, y, z biÕt: = = vµ 5z – 3x – 4y = 50 GÆp bµi nµy, c¸c em kh«ng tr¸nh khái b¨n kho¨n: T¹o ra 5z, 3x, 4y b»ng c¸ch nµo ®©y? V× x cßn víng -1, y víng 3 vµ z víng -5. Cø b×nh tÜnh vµ lµm nh b×nh thêng xem sao? Lêi gi¶i: Cã: = = & 5z – 3x – 4y = 50  = = & 5z – 3x – 4y = 50  = = = = =2 Hay: +) = 2  x–1=4  x=5 +) = 2  y+3=8  y=5 +) = 2  z – 5 = 12  z = 17 VËy: x = y = 5 ; z = 17 VÝ dô 4. T×m a, b, c biÕt r»ng: 2a = 3b = 4c vµ a – b + c = 35 Đã có dãy tỉ số bằng nhau cha? Làm thế nào để có dãy tỉ số bằng nhau? Lêi gi¶i: Cã: 2a = 3b = 4c  = = = = = Khi đó: = = = = = 7 Hay: +) = 7  a = 7.6 = 42 +) = 7  b = 7.4 = 28 +) = 7  c = 7.3 = 21 VËy: a = 42 ; b = 28 ; c = 21 VÝ dô 5. T×m x biÕt: = Đầu bài thật đơn giản, nhng làm nh thế nào? Chỉ có mỗi một mối quan hệ, có thể làm triệt tiêu x đợc không? Lêi gi¶i: Cã: = = = = 4 Hay: =4  x – 12 = 20  x = 20 + 12  x = 32 VËy: x = 32. VÝ dô 6. T×m a, b biÕt r»ng: a) = vµ a2 – b2 = 36 b) = vµ ab = 48 Muốn sử dụng đợc tính chất của dãy tỉ số bằng nhau thì phải qua bớc biến đổi đã: Phải làm xuất hiện đợc a2, b2 ở câu a và tích ab ở câu b. Làm đợc điều đó thì coi nh bài toán đã đợc hoàn thành 90%. Lêi gi¶i: a) Cã: = (a, b cïng dÊu) Suy ra: = = = = 4 Hay: = 4  a2 = 100  a =  10 =4  b2 = 64  b= 8 VËy: a = 10 vµ b = 8 hoÆc a = - 10 vµ b = - 8. b) Cã: = Suy ra: = = = = 4 Hay: = 4  a2 = 36  a= 6 =4  b2 = 64  b= 8 VËy: a = 6 vµ b = 8 hoÆc a = - 6 vµ b = - 8. VÝ dô 7. T×m x1, x2, x3, …, x9 biÕt r»ng: = = = … = vµ x1 + x2 + x3 + … + x9 = 90 Nhìn có vẻ khó vì nhiều số cha biết phải tìm quá. Không vấn đề gì, đã có tính chÊt cu¨ d·y tØ sè b»ng nhau ®©y råi..

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Theo tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã: = = =…= =.  x1  x2  ...  x9    1  2  ...  9  =. 9  8  ...  1. 90  45 = 45. =1 +) = 1  x1 = 9 + 1 = 10 +) = 1  x2 = 8 + 2 = 10 +) = 1  x3 = 7 + 3 = 10 ……………… +) = 1  x9 = 1 + 9 = 10 VËy: x1 = x2 = x3 = … = x9 = 10. VÝ dô 8. a) T×m ph©n sè cã d¹ng tèi gi¶n biÕt = víi a, b  Z vµ b ≠ 0. b) Cho ph©n sè . T×m c¸c sè nguyªn x, y sao cho = . Lêi gi¶i: a) = ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã: = = = = Ph©n sè cÇn t×m cã d¹ng tèi gi¶n = nªn ph©n sè cÇn t×m cã d¹ng víi k  Z vµ k ≠ 0. b) T¬ng tù nh c©u a, nhng tæng qu¸t h¬n. Cã: = = = Với = thì ta có thể tìm đợc vô số các số nguyên x, y thoả mãn. VÝ dô 9. T×m x, y biÕt: a) = & x4 y4 = 16 b) = & x10 y10 = 1024 c) = = Bµi nµy khã ®©y, sè mò to, cã 2 sè cha biÕt mµ chØ cã 1 mèi quan hÖ. Lµm b»ng c¸ch nµo, lµm nh thÕ nµo? Lêi gi¶i: a) Có thể đa về số mũ nhỏ hơn không? Đa về bài toán đã biết cách làm có đợc kh«ng? Cßn chÇn chõ g× n÷a, cø thö xem? Tõ = suy ra: = = vµ x, y cïng dÊu (1) Víi x4 y4 = 16  xy =  2 (2) KÕt hîp (1) vµ (2) ta cã: == = = 2 Hay: +) =  x = 1  x =  1 +) =  y2 = 4  y =  2 VËy: x = 1 vµ y = 2 hoÆc x = - 1 vµ y = - 2 b) Có sử dụng đợc cách làm nh ở câu a không? Tại sao lại không thử xem? Chú ý đến dấu của x, y vì rất dễ kết luận thiếu giá trị cần tìm. Cã: = = =  =  = x2  x= Khi đó: x10y10 = (± )10.y10 = 1024  y20 = 210.1024  20 20 y =2  y=2 Do đó: x =  1 VËy: x = 1 vµ y = 2 hoÆc x = –1 vµ y = –2 hoÆc x = 1 vµ y = –2 hoÆc x = –1 vµ y = 2 c) Câu này làm học sinh hoang mang bởi vị trí của x. Nhng chính điều đó lại là chìa khoá để mở cửa căn phòng chứa đáp án của bài..

<span class='text_page_counter'>(14)</span> H·y gîi ý c¸c em nhËn vÒ mèi quan hÖ gi÷a 2x +1, 3y – 2 vµ 2x + 3y – 1. B©y giờ thì bài lại trở thành quá đơn giản với những gì có trong hành trang của các em. = = (1) = = = (2) Tõ (1), (2) ta cã: 6x = 12  x = 2 thay vµo (1) th× y = 3 VËy: x = 2 vµ y = 3. VÝ dô 10. T×m ba sè x, y, z biÕt = = (1) vµ x2 + y2 + z2 = 14 Lµm thÕ nµo ®©y khi võa cã mò 3 l¹i cã c¶ mò 2? Thêng th× h¹ bËc xuèng thấp cho dễ tính, làm điều đó với bậc 2 ở đây là không thể, còn bậc 3 thì sao? (1)  = = Suy ra: = = = = = Hay: +) =  x2 = 1  x =  1 +) =  y2 = 4  y =  2 +) =  z2 = 9  z =  3 Mµ theo (1) th× x, y, z cïng dÊu Nªn: x = 1; y = 2; z = 3 hoÆc x = –1; y = –2; z = –3. 2.3. TiÓu kÕt: Dạng bài tập này tơng đối phức tạp, nếu không làm và trình bày cẩn thận thì rất dễ bị nhầm lẫn. Kiến thức thì không phải là quá khó nhng rất cần đến khả năng quan sát và kĩ năng biến đổi. Cũng cần đến sự khéo léo đa bài toán về dạng quen thuộc đã biết cách làm ở dạng 1. 2.4. Bµi tËp t¬ng tù: Bµi 1. T×m c¸c sè a, b, c, d biÕt: a) a : b : c : d = 15 : 7 : 3 : 1 vµ a – b + c – d b) 2a = 3b ; 5b = 7c vµ 3a + 5c – 7b = 30 c) 3a = 4b & b – a = 5 Bµi 2. T×m x1, x2, …, xn–1, xn biÕt: vµ x1+x2+ … +xn–1+xn = c. = = …… = =. (Víi a1, a2, … ,an–1, an kh¸c 0 vµ a1+a2+ … +an–1+an ≠ 0) Bµi 3. T×m a, b, c, d biÕt: a) = = =. & a + b + c + d = 12.. b) = =. & a – 2b + 3c = 35.. c) = ;. =. & a + b – c = 69.. d) a = b = c & a – b = 15. e) = =. & 2a + 3b – c = 95. Bµi 4. T×m x, y, z biÕt: x y  a) 2 3 vµ xy = 54. b). x y  5 3 ; x2 – y2 = 4 víi x, y > 0.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> x y  c) 2 3. ;. y z  5 7 vµ x + y + z = 92. d) 2x = 3y = 5z vµ x + y – z = 95 x y z   x  y  z e) y  z  1 x  z  1 x  y  2 y z x  2 3 vµ 4x – 3y + 2z 36 g) x 1 y 2 z 3   3 4 h) 2 vµ x – 2y + 3z = 14 4 2 3   i) x  1 y  2 z  2. vµ xyz = 12. x2 y 2  k) 9 16 vµ x2 + y2 = 100 x 2 x 3   y 3 ; z 5 l). vµ x2 + y2 + z2 = 217. x  16 y  25 z  9   16 25 m) 9. vµ. 2x3 – 1 = 1. x y  n) 5 4 ; x2 – y2 = 81 víi x, y > 0 x 2  y 3 p). vµ. x2 + y2 = 208. Bµi 5. T×m x biÕt: x 2 x4  a) x  1 x  7. x 3 5  b) x  5 7. x  18 x  17  d) x  4 x  16. 72  x 3  e) x  18 5. Bµi 6. T×m a, b, c biÕt a b c   a) 3 8 5 vµ 3a + b – 2c = 14 a 1 b 2 c 2   3 2 vµ a + 2b – c = 6 b) 5. x 1 x 2  c) x  2 x  3.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> a b c   c) 10 6 21. vµ 5a + b – 2c = 28. a 1 b 2 c 3   3 4 d) 2. vµ 2a + 3b – c = 50. 12a  15b 20c  12a 15b  20c   7 9 11 e). vµ a + b + c = 48. 2a 3b 4c   f) 3 4 5 vµ a + b +c = 49 a b c   g) 2 3 5. vµ abc = 810. 6 9 18 a b c 5 h) 11 2. vµ. –a + b + c = –120. a b b c  ;  5 7 i) 3 4. vµ 2a + 3b – c = 186. a b b c  ;  3 5 k) 3 4. vµ. 2a – 3b + c = 6. a 10 b 3  ;  c 4 l) b 9. vµ. a – b + c = 78. a 7 b 5  ;  c 8 m) b 20. vµ. 2a + 5b – 2c = 100. a 2  ; n) b 3. a 1  c 2. vµ. a3 + b3 + c3 = 99. p) 3a = 2b ; 7b = 5c vµ a – b + c = 32 q) 5a = 8b = 20c vµ a – b – c = 3. D¹ng 3. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc. 3.1. Ph¬ng ph¸p chung: +) Đây là loại bài tập khó, đòi hỏi học sinh phải huy động nhiều kiến thức và kĩ năng cũng nh biết tổng hợp tri thức phơng pháp đã học. Khả năng quan sát và dự đoán đợc sử dụng nhiều, liên tục, đồng thời với sự suy luận logic, sáng t¹o....

<span class='text_page_counter'>(17)</span> +) Làm dạng bài tập này, học sinh rất cần đến sự xúc tác của giáo viên mỗi khi các em gặp bế tắc. Những lúc đó thì giáo viên chỉ cần gợi mở hớng đi cho häc sinh b»ng nh÷ng c©u hái më....

<span class='text_page_counter'>(18)</span> 3.2. Mét sè vÝ dô: x y z   VÝ dô 1. Cho x, y, z tho¶ m·n: 2 5 7 víi x, y, z kh¸c 0.. TÝnh:. x yz P = x  2y  z. Bài này tơng đối khó khi thoạt nhìn, vì học sinh chẳng biết làm thế nào để tính đợc P đây? Cứ bình tĩnh quan sát đặc điểm của biểu thức P để tìm mối liên hệ giữa P và dãy tỉ số bằng nhau đã cho thì các em không chỉ tìm đợc một cách lµm. * §Æt. x y z   2 5 7 = k (k kh¸c 0) th×. x = 2k , y = 5k , z = 7k. 2k  5k  7 k 4k 4   Khi đó: P = 2k 10k  7k 5k 5 4 VËy: P = 5. * HoÆc c¸ch kh¸c: x y z x yz x yz     4 Ta cã: 2 5 7 2  5  7 suy ra x – y + z = 2x x 2y z x  2y  z x  2y  z     5 L¹i cã: 2 10 7 2 10  7. 5x suy ra x + 2y – z = 2. 2x 4x 4   5x 5x 5 Do đó: P = 2 4 VËy: P = 5. VÝ dô 2. Cho 3 tØ sè b»ng nhau. a b bc ; ca ;. c a b .. Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó. Với bài này các em dễ dàng tìm ra đáp án: a b c b c = c a = a b =. a b c 1 (b  c )  ( c  a )  ( a  b ) = 2.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> 1 Và kết luận: Giá trị của mỗi tỉ số đã cho là 2 .. Nhng chỉ có thế thì lời giải bài toán cha đợc hoàn thiện. Mà phải trình bày đợc nh sau: a b c Cã: b  c = c  a = a  b =. a b c a bc  (b  c )  (c  a )  (a  b) 2(a  b  c ). a b c +) NÕu a + b +c ≠ 0 th× b  c = c  a = a  b =. (*). a b c 1 (b  c )  (c  a )  (a  b) = 2. +) NÕu a + b +c = 0 th× b + c = –a ; c + a = –b ; a + b = –c. Khi đó:. a a b b  1   1 bc =  a ; ca  b ;. c c   1 a b  c. a b c c  1 HoÆc: b  c = c  a = a  b =  c a b c 1 VËy: +) NÕu a + b +c ≠ 0 th× b  c = c  a = a  b = 2. +) NÕu a + b +c = 0 th×. VÝ dô 3.. a b c b c = c  a = a b =  1. x  y y  z z t t  x    z  t t  x x  y yz Cho biÓu thøc: P =. T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc P biÕt:. x y z t    y  z  t z  t  x t  x  y x  y  z (*). Chỉ cần nhìn đầu bài thôi đã thấy sợ rồi. Làm thế nào để tính đợc giá trị cña biÓu thøc P? Cã thÓ thÊy d·y tØ sè b»ng nhau (*) kh¸ quen thuéc, nhng P th× kh«ng. Liệu có thể sử dụng các cách đã làm không? Sử lí (*) nh thế nào đây? Lêi gi¶i: x y z t 1  1  1  1 y  z  t z  t  x t  x  y x  y  z Cã: x  y  z t x  y  z t x  y  z t x  y  z t    z t  x tx y xyz Hay: y  z  t. +) NÕu x + y + z + t ≠ 0 th× y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z.

<span class='text_page_counter'>(20)</span>  x=y=z=t. khi đó: P = 1 + 1 + 1 +1 = 4. +) NÕu x + y + z + t = 0 th× x + y = – (z + t) ; y + z = – (z + t) Khi đó: P = (– 1) + (– 1) + (– 1) +(– 1) = – 4 VËy: +) P = 4 khi x + y + z + t ≠ 0 +) P = – 4 khi x + y + z + t = 0 3.3. TiÓu kÕt: Dạng bài tập này gây tơng đối nhiều khó khăn cho học sinh bởi sự suy luËn logic vµ tÝnh phøc t¹p cña nã. Nhng víi vai trß gîi më cña gi¸o viªn th× học sinh có đợc cảm giác của ngời khám phá ra điều thú vị, cảm xúc của ngời chiến thắng. Điều đó chính là động lực kích thích các em, gây hứng khởi cho c¸c em tiÕp tôc chinh phôc nh÷ng bµi tiÕp theo. 3.4. Bµi tËp t¬ng tù: x  2 y  3z Bµi 1. Cho A = x  2 y  3 z .. TÝnh A biÕt x, y, z tØ lÖ víi 5, 4, 3. Bµi 2. Cho c¸c sè A, B, C tØ lÖ víi a, b, c. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc : Bµi 3. Cho 4 tØ sè b»ng nhau:. Ax  By  C Q = ax  by  c. a b c b c d c  d  a d  a b d a b c ; ; ;. T×m gi¸ trÞ cña mçi tØ sè trªn.. 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d Bµi 4. Cho d·y: a b b c c d d a    T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc: M = c  d d  a a  b b  c. Dạng 4. Toán đố:. 4.1. Ph¬ng ph¸p chung: +) Loại bài tập này đầu bài đợc cho dới dạng lời văn, sẽ khó khăn khi các em chuyển lời văn thành biểu thức đại số để tính toán. +) Khi thể hiện đầu bài bằng bểu thức đại số đợc rồi thì việc tìm ra đáp án cho bài toán là đơn giản vì các em đã làm thành thạo từ các dạng trớc, nhng đa sè häc sinh quªn kh«ng tr¶ lêi cho bµi to¸n theo ng«n ng÷ lêi v¨n cña ®Çu bµi. Phải luôn nhớ rằng: Bài hỏi gì thì ta kết luận đấy! +) Lu ý: Khi gọi kí hiệu nào đó là dữ liệu cha biết thì học sinh phải đặt điều kiện và đơn vị cho kí hiệu đó - dựa vào đại lợng cần đặt kí hiệu. Và kết quả tìm đợc của kí hiệu đó phải đợc đối chiếu với điều kiện ban đầu xem có thoả m·n hay kh«ng. NÕu kh«ng tho¶ m·n th× ta lo¹i ®i, nÕu cã tho¶ m·n th× ta tr¶ lêi cho bµi to¸n. 4.2. Mét sè vÝ dô: a VÝ dô 1. T×m ph©n sè b biÕt r»ng nÕu céng thªm cïng mét sè kh¸c 0 vµo tö vµ. vào mẫu của phân số thì giá trị phân số đó không đổi. Dựa vào yếu tố bài cho để lập dãy tỉ số bằng nhau. Lêi gi¶i: Theo bµi: NÕu ta céng thªm cïng mét sè x 0 vµo tö vµ vµo mÉu cña ph©n sè th× giá trị phân số không đổi . Ta cã:. a ax b = bx. . a ax ax a x b = bx = bx b = x = 1.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> a VËy: b = 1. 3 VÝ dô 2. T×m hai ph©n sè tèi gi¶n. BiÕt hiÖu cña chóng lµ: 196 vµ c¸c tö tØ lÖ víi. 3; 5 vµ c¸c mÉu tØ lÖ víi 4; 7. Thật không đơn giản chút nào. Học sinh đọc bài xong thấy các dữ kiện bài cho cø rèi tung lªn, ph¶i lµm sao ®©y? Gi¸o viªn cã thÓ gì rèi cho c¸c em b»ng gîi ý nhá: “C¸c tö tØ lÖ víi 3; 5 cßn 3 c¸c mÉu t¬ng øng tØ lÖ víi 4; 7 th× hai ph©n sè tØ lÖ víi: 4 vµ. Nh vËy, häc sinh sÏ gi¶i quyÕt bµi to¸n ngay th«i ! Lêi gi¶i: Gäi hai ph©n sè tèi gi¶n cÇn t×m lµ: x, y.. Theo bµi to¸n, ta cã :. 5 3 7 x : y = 4 : vµ. . x 21 y = 20 x y 21 = 20. vµ. 5 7. ”.. 3 x – y = 196 . 3 x – y = 196 3 x – y = 196. Hay : vµ ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau, ta cã:. 3 x y x y 3 196 21 = 20 = 21  20 = 1 = 196 x 3 3 9 +) 21 = 196  x = 196 .21 = 28 . y 3 3 15 +) 20 = 196  y = 196 .20 = 49 9 15 VËy: hai ph©n sè tèi gi¶n cÇn t×m lµ: 28 vµ 49 .. Ví dụ 3. Tìm 1 số có 3 chữ số, biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của nã tØ lÖ víi 1; 2; 3. Đọc đầu bài thì các em thấy ngắn, đơn giản, nhng khi bắt tay vào tìm lời giải cho bài toán thì các em mới thấy sự phức tạp và khó khăn. Vì để tìm đợc đáp ¸n cho bµi to¸n nµy th× ph¶i sö dông linh ho¹t kiÕn thøc mét c¸ch hîp lÝ, lËp luận logic từ những dữ kiện đầu bài cho và mối quan hệ giữa các yếu tố đó để tìm ra đáp án cho bài toán. Lêi gi¶i: * Gäi 3 ch÷ sè cña sè cÇn t×m lµ: a, b, c (®/k: a, b, c  N; 0 a, b, c 9 vµ a, b, c không đồng thời bằng 0) Ta cã 1 a+b+c 27. V× sè cÇn t×m 18 = 2.9 mµ (2;9)=1 Nªn a+b+c cã thÓ b»ng 9; 18; 27 (1)..

<span class='text_page_counter'>(22)</span> a b c a b c Ta cã: 1 = 2 = 3 = 1  2  3 V× a N* nªn a + b + c  6. a b c 6 . a=. Tõ (1) vµ (2) suy ra: a + b + c = 18 a b c a b c Khi đó: 1 = 2 = 3 = 1  2  3 = a 1 = 3  a = 3.1 = 3 +) b 2 = 3  b = 3.2 = 6 +) c 3 = 3  c = 3.3 = 9 +). (2).. 18 6. =3. Mà số cần tìm 18 nên chữ số hàng đơn vị phải là chữ số 6 . VËy: sè cÇn t×m lµ : 396 hoÆc 936 . VÝ dô 4. 1 Mét cöa hµng cã 3 tÊm v¶i, dµi tæng céng 126m. Sau khi hä b¸n ®i 2 tÊm v¶i 2 3 thø nhÊt, 3 tÊm v¶i thø hai vµ 4 tÊm v¶i thø ba, th× sè v¶i cßn l¹i ë ba tÊm b»ng. nhau. H·y tÝnh chiÒu dµi cña ba tÊm v¶i lóc ban ®Çu . Bài cho rất rõ ràng, dễ hiểu. Chỉ cần học sinh biểu diễn đợc số vải còn lại ở mỗi tấm sau khi bán thì bài toán trở nên đơn giản và rất dễ dàng. Lêi gi¶i: Gäi sè mÐt v¶i cña ba tÊm v¶i lÇn lît lµ a, b, c (m)(a ,b, c > 0) 1 Sè mÐt v¶i cßn l¹i ë tÊm thø nhÊt: 2 a (m) 2 Sè mÐt v¶i cßn l¹i ë tÊm thø hai: 3 b (m) 3 Sè mÐt v¶i cßn l¹i ë tÊm thø ba: 4 c (m) 1 1 1 a + b + c = 126 vµ 2 a = 3 b = 4 c .. Theo đề bài, ta có: ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau, ta cã: a b c a  b  c 126 2 = 3 = 4 = 2  3  4 = 9 =14 a +) 2 =14  a = 14.3 = 28 b +) 3 =14  b = 14.3 = 42 c +) 4 =14  c = 14.4 = 56. VËy: chiÒu dµi cña mçi tÊm v¶i lóc ®Çu lÇn lît lµ: 28m, 42m, 56m. VÝ dô 5..

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Có ba tủ sách đựng tất cả 2250 cuốn sách. Nếu chuyển 100 cuốn từ tủ thứ nhất sang tñ thø 3 th× sè s¸ch ë tñ thø 1, thø 2, thø 3 tØ lÖ víi 16;15;14. Hái tríc khi chuyÓn th× mçi tñ cã bao nhiªu cuèn s¸ch ? Bµi nµy kh¸ phøc t¹p ë chç: sè lîng s¸ch trong mçi tñ tríc vµ sau khi chuyÓn. Lêi gi¶i: * * Gäi sè quyÓn s¸ch cña tñ 1, tñ 2, tñ 3 lóc ®Çu lµ: a, b, c (quyÓn) (a, b, c  N vµ a, b, c < 2250). Th× sau khi chuyÓn ,ta cã: Tñ 1: a –100 (quyÓn) Tñ 2: b (quyÓn) Tñ 3: c + 100 (quyÓn) a  100 b c  100 Theo đề bài ta có : 16 = 15 = 14. vµ a + b + c = 2250. 2250 45. a  100 b c  100 a  100  b  c  100  16 = 15 = 14 = 16  15  14 = =50 a  100 +) 16 =50  a –100 = 50.16  a = 800 + 100 = 900 (t/m) b +) 15 =50  b = 50.15 = 750 (t/m) c  100 +) 14 =50  c + 100 = 50.14  c = 700 – 100 = 600 (t/m). VËy: Tríc khi chuyÓn th×: Tñ 1 cã : 900 quyÓn s¸ch Tñ 2 cã : 750 quyÓn s¸ch Tñ 3 cã : 600 quyÓn s¸ch. VÝ dô 6. Cho tam gi¸c ABC cã ¢ vµ B̂ tØ lÖ víi 3 vµ 15, Ĉ = 4  . TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC. Đây là bài toán có nội dung hình học nhng lại đợc giải bằng phơng pháp đại số, thật đơn giản khi nhớ đợc dữ kiện cho dới dạng ẩn là tổng các góc trong một tam gi¸c b»ng 1800 Lêi gi¶i: *. Aˆ Bˆ Theo bµi ta cã 3 = 15 Aˆ Bˆ Cˆ. vµ. Cˆ Aˆ 4=1 0. 3 = 15 = 12 mµ ¢ + B̂ + Ĉ = 180 (Tæng 3 gãc trong mét tam gi¸c) Hay : Nªn theo tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã: Aˆ Bˆ Cˆ Aˆ  Bˆ  Cˆ 1800 3 = 15 = 12 = 3  15  12 = 30 = 60 Aˆ 0 +) 3 = 6 . 0 0 ¢ = 6 .3 = 18. Bˆ 0 +) 15 = 6  Cˆ. 0 0 B̂ = 6 .15 = 90. 0 0 0 +) 12 = 6  Ĉ = 6 .12 = 72 0 0 0 VËy c¸c gãc cña tam gi¸c ABC lµ : ¢ = 18 , B̂ = 90 , Ĉ = 72 . VÝ dô7..

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Mét khu vên h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch 300 m2, cã hai c¹nh tØ lÖ víi 4 vµ 3. TÝnh chiÒu dµi vµ chiÒu réng cña khu vên. Quá dễ khi bài toán này đợc viết dới dạng biểu thức. Nhng để lập đợc biểu thức thể hiện mối quan hệ theo đầu bài thì lại là cả một quá trình không đơn gi¶n chót nµo. Víi lîng kiÕn thøc vµ vèn hiÓu biÕt cßn h¹n chÕ cña häc sinh míi bíc vµo lớp 7 thì giáo viên cần tỉ mỉ dẫn dắt các em từng bớc nhỏ để làm xuất hiện kiến thức quen thuộc mà các em đã biết. (?) Bµi to¸n yªu cÇu t×m nh÷ng yÕu tè nµo? * ChiÒu dµi vµ chiÒu réng cña khu vên. (?) Em h·y gäi nh÷ng yÕu tè cha biÕt Êy b»ng kÝ hiÖu? * Gäi chiÒu dµi khu vên lµ x vµ chiÒu réng khu vên lµ y. (?) §¬n vÞ vµ ®iÒu kiÖn cña x, y lµ g× ? * x (m) & y (m) (x > y > 0) (?) Theo đề bài: Hãy biểu diễn diện tích của vờn theo x, y và hai cạnh tỉ lệ với 4 & 3 đợc viết nh thế nào ?. *. x 4=. y 3. x.y=300 ; Rất nhiều học sinh không để ý đến sự tơng ứng giữa x & y với 4 & 3 nên có tỉ lệ x 3 =. y 4. thøc: . Giáo viên cần lu ý đến điều đó! (?) T×m x,y. Đến đây đã trở thành bài toán quen thuộc đối với các em, dễ dàng tìm ra kết quả: x = 20(m) (t/m) y = 15(m) (t/m) Vậy: chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó là 20m và 15m. VÝ dô 8. Một ô tô đi từ A  B mỗi giờ đi đơc 60,9 km. Hai giờ sau, một ô tô thứ hai còng ®i tõ A  B víi vËn tèc 40,6 km. Hái « t« thø nhÊt ®i tõ A  B mÊt mÊy giê. Biết rằng xe ô tô thứ hai đến muộn hơn ô tô thứ nhất là 7 giờ. Với bài toán này, học sinh phải nhớ đợc mối quan hệ giữa ba đại lợng trong chuyển động: Quãng đờng = Vận tốc.Thời gian Nhng nhớ đợc công thức rồi mà đầu bài cho rắc rối quá. Giáo viên giúp häc sinh nhËn ra mèi quan hÖ vÒ thêi gian ®i tõ A  B cña hai xe « t«. Lêi gi¶i: * Gäi thêi gian « t« thø 1 ®i tõ A  B lµ : x (h) (§/k x>0) « t« thø 2 xuÊt ph¸t sau 2h nhng l¹i tíi B muén h¬n 7h nªn thêi gian « t« thø 2 ®i tõ A  B lµ : x – 2 + 7 = x + 5 (h) Vì cùng là quãng đờng đi từ A  B nên ta có: 60,9.x = 40,6.(x + 5)  . x x 5 40, 6 = 60,9 x x 5 x 5 x 5 50 40, 6 = 60, 9 = 60,9  40, 6 = 20,3 = 203 x 50 40, 6 = 203. 50 50 406 x = 203 .40,6 = 203 . 10 = 10 (t/m).  VËy « t« thø nhÊt ®i tõ A  B mÊt 10 giê.. . VÝ dô 9. Ba xí nghiệp cùng xây dựng chung một cây cầu hết 38 triệu đồng. Xí nghiệp I cã 40 xe ë c¸ch cÇu 1,5 km, xÝ nghiÖp II cã 20 xe ë c¸ch cÇu 3 km, xÝ nghiÖp III.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> cã 30 xe ë c¸ch cÇu 1 km. Hái mçi xÝ nghiÖp ph¶i tr¶ cho viÖc x©y dùng cÇu bao nhiªu tiÒn, biÕt r»ng sè tiÒn ph¶i tr¶ tØ lÖ thuËn víi sè xe vµ tØ lÖ nghÞch víi kho¶ng cách từ xí nghiệp đến cầu? Chắc chắn nhiều học sinh không làm đợc bài toán này vì đầu bài rắc rối quá, vừa tỉ lệ thuận lại vừa tỉ lệ nghịch thì làm nh thế nào? Thật đơn giản, cứ làm b×nh thêng th«i:.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Lêi gi¶i: Gọi số tiền mỗi xí nghiệp I, II, III phải trả lần lợt là a, b, c (triệu đồng) với 0 < a, b, c < 38. 40 20 30 :  8 : 2 : 9 Theo bµi ta cã: a + b + c = 38 vµ a : b : c = 1,5 3 1. ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã: a b c a  b  c 38     2 8 2 9 8  2  9 19 a 2  +) 8 b 2  +) 2 c 2  +) 9. a 2.8 16 b 2.2 4. (t/m) (t/m). c 2.9 18. (t/m) Vậy: Mỗi xí nghiệp I, II, III theo thứ tự phải trả: 16 triệu đồng, 4 triệu đồng, 18 triệu đồng. VÝ dô 10. Một bài toán cổ có tên “chia dê” đã làm đau đầu không ít ngời muốn tìm ra đáp số, nhng với tính chất dãy tỉ số bằng nhau thì bài toán trở nên đơn giản. Một ngời dân Arập sinh đợc 3 ngời con trai, lúc lâm chung ngời cha nói 1 1 r»ng : “sau khi ta mÊt ®i, cßn l¹i 17 con dª, cha dµnh 2 cho con c¶, 3 cho con 1 thứ và 9 cho con út. Các con chia thế nào mà các con đê đều là dê sống, không. đợc bán dê để chia tiền, cũng không đợc giết thịt để chia thịt.” Sau khi ngời cha qua đời, các con tìm hết cách cũng không làm theo đợc lêi tr¨n trèi cña cha. Em h·y gióp c¸c ngêi con cña «ng cô. Dễ thôi, chỉ cần giải quyết một vấn đề: Làm thế nào để chia đợc 17 con dê cho 3 anh em họ mà số con dê chia đợc phải còn nguyên vẹn, trong khi 1 1 1 2 của 17, 3 của 17 và 9 của 17 đều không phải là số tự nhiên?. Víi tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau, ta gi¶i quyÕt nh sau: Lêi gi¶i: Gọi số con dê mà 3 anh em họ đợc chia lần lợt là: a, b, c (con) (a, b, c  N* vµ a, b, c < 17) a b c   1 1 1 2 3 9 vµ a + b + c = 17 Khi đó, theo bài ra ta có: a b c a  b  c 17     18 1 1 1 1 1 1 17   Suy ra: 2 3 9 2 3 9 18 a 1 18  a 18. 9 1 2 +) 2 (t/m) b 1 18  b 18. 6 1 3 +) 3 (t/m).

<span class='text_page_counter'>(27)</span> +). c 18  1 9. 1 c 18. 2 9. (t/m). 1 Nh vậy: Số con dê đợc chia đúng nh lời trăn trối của ông cụ: Con cả đợc 2 1 1 số dê là 9 con; Con thứ đợc 3 số dê là 6 con và con út đợc 9 số dê là 2 con.. Ngày đó, 3 anh em nhà nọ không chia đợc số dê theo lời cha, nhng có một cụ già láng giềng biết chuyện đã cời và cho họ mợn 1 con dê. 1 1 Tất cả có 18 con, anh cả đợc 2 .18 = 9 con, anh hai đợc 3 .18 = 6 con, 1 em út đợc 9 .18 = 2 con, còn thừa 1 con đem trả lại cụ già đã cho mợn.. 4.3. TiÓu kÕt: Đây là dạng bài tập khó đối với học sinh, không chỉ học sinh trung bình mà cả đối với học sinh khá-giỏi, khó ở công đoạn chuyển bài toán lời văn về d¹ng biÓu thøc. Gi¸o viªn cÇn dÉn d¾t c¸c em thËt tØ mØ tõng bíc, tõ ph©n tích đầu bài để tìm ra yếu tố bài cho, yếu tố cha biết, yếu tố cần tìm và mối quan hệ giữa chúng, kể cả những mối quan hệ đã biết dới dạng ẩn(Ví dụ nh: quãng đờng = vận tốc.thời gian hoặc tổng các góc trong một tam giác bằng 1800...), rồi đến cách gọi kí hiệu kèm điều kiện và đơn vị ra sao... Đặc biệt là khi kÕt luËn cho bµi ph¶i chÝnh x¸c theo yªu cÇu. 4.4. Bµi tËp t¬ng tù Bµi 1. T×m 3 ph©n sè, biÕt r»ng tæng cña chóng b»ng. 3. 3 70 , c¸c tö cña chóng tØ lÖ. víi 3; 4; 5 vµ c¸c mÉu cña chóng tØ lÖ víi 5; 1; 2. Bài 2. Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng số đó là bội của 72 và các chữ số của nó nếu xếp từ nhỏ đến lớn thì tỉ lệ với 1; 2; 3. Bµi 3. T×m hai sè kh¸c 0. BiÕt r»ng tæng, hiÖu, tÝch cña chóng tØ lÖ víi 5; 1; 12. Bµi 4. N¨m líp 7A, 7B, 7C, 7D, 7E nhËn ch¨m sãc vên trêng cã diÖn tÝch. 300m2.. 1 Trong đó: Lớp 7A nhận 15% diện tích, 7B nhận 5 diện tích còn lại.. Sau khi 2 lớp 7A và 7B nhận thì phần còn lại đợc chia cho 3 lớp 7C, 7D, 7E theo 1 1 5 tØ lÖ 2 ; 4 ; 16 . TÝnh diÖn tÝch vên giao cho mçi líp..

<span class='text_page_counter'>(28)</span> 1 Bµi 5. Ba líp 7A, 7B, 7C cã tÊt c¶ 144 häc sinh. NÕu rót ë líp 7A 4 sè häc. 1 1 sinh, rót ë líp 7B 7 sè häc sinh, rót ë líp 7C 3 sè häc sinh th× sè häc sinh cßn. l¹i ë 3 líp b»ng nhau. TÝnh sè häc sinh lóc ®Çu ë mçi líp. Bµi 6. Sè häc sinh 3 khèi 6, 7, 8 tØ lÖ víi 10, 9, 8. TÝnh sè häc sinh mçi khèi, biÕt r»ng sè häc sinh khèi 8 Ýt h¬n sè häc sinh khèi 6 lµ 50 häc sinh. Bµi 7. Häc sinh líp 7A chia thµnh 3 tæ lÇn lît tØ lÖ víi 2; 3; 4. T×m sè häc sinh mçi tæ biÕt líp 7A cã 45 häc sinh. 2 Bµi 8. Mét trêng cã 3 líp 6. BiÕt r»ng 3 sè häc sinh líp 6A b»ng sè häc sinh. 4 líp 6B vµ b»ng 5 sè häc sinh líp 6C. Líp 6C cã sè häc sinh Ýt h¬n tæng sè häc. sinh 2 líp kia lµ 57 häc sinh. TÝnh sè häc sinh mçi líp. Bµi 9. Mét bÓ chøa h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu réng vµ chiÒu dµi tØ lÖ víi 4 vµ 5; ChiÒu réng vµ chiÒu cao tØ lÖ víi 5 vµ 4. ThÓ tÝch cña bÓ lµ 64m 3. TÝnh chiÒu réng, chiÒu dµi vµ chiÒu cao cña bÓ. Bµi 10. T×m sè ®o c¸c gãc cña tam gi¸c ABC biÕt sè ®o c¸c gãc ¢, B̂ , Ĉ tØ lÖ víi:. a) 2; 3; 4.. b) 1; 2; 3.. 2 Bµi 11. TÝnh 2 c¹nh cña mét h×nh ch÷ nhËt, biÕt r»ng tØ sè gi÷a 2 c¹nh lµ 3 vµ. chu vi b»ng 90 m. Bài 12. Tìm 3 cạnh của một tam giác. Biết chu vi tam giác đó bằng 30cm và ba c¹nh cña nã tØ lÖ víi 3;5;7. Bµi 13. §é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c tØ lÖ víi 2; 3; 4. Ba chiÒu cao t¬ng øng với 3 cạnh đó tỉ lệ với 3 số nào?.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> Bài 14. Ba đờng cao của một tam giác có độ dài bằng 4; 12; x. Biết rằng x là mét sè tù nhiªn. T×m x( Cho biÕt mçi c¹nh cña tam gi¸c nhá h¬n tæng hai c¹nh kia vµ lín h¬n hiÖu cña chóng) Bµi 15.. Cho tam gi¸c ABC cã c¸c gãc ngoµi cña tam gi¸c t¹i A, B, C tØ lÖ víi. 4; 5; 6. Hái c¸c gãc trong t¬ng øng tØ lÖ víi c¸c sè nµo? Bài 16. Một ngời đi bộ từ A đến B đã tính rằng: Nếu đi với vận tốc 6 km/h thì 4 đến B lúc 11h 45phút. Nhng ngời đó chỉ đi đợc 5 quãng đờng với vận tốc dự. định trớc, đoạn đờng còn lại chỉ đi với vận tốc 4,5 km/h nên đã đến B lúc 12h. Hỏi ngời đó khởi hành lúc mấy giờ và quãng đờng AB bao nhiêu km? Bài 17. Một ô tô phải đi từ A đến B trong một khoảng thời gian dự định. Sau 1 khi đi đợc 2 quãng đờng thì ô tô tăng vận tốc lên 20%, do đó đến B sớm hơn. dự định 10 phút. Tính thời gian ô tô dự định đi từ A đến B. Bài 18. Hai xe ô tô cùng khởi hành một lúc từ 2 địa điểm A và B. Xe thứ nhất đi quãng đờng AB hết 4 giờ 15 phút, xe thứ hai đi quãng đờng BA hết 3 giờ 45 phút. Đến chỗ gặp nhau, xe thứ hai đi đợc quãng đờng dài hơn quãng đờng xe thứ nhất đã đi là 20 km. Tính quãng đờng AB. Bài 19. Để đi từ A đến B có thể dùng các phơng tiện: máy bay, ô tô, xe lửa. Vận tốc của máy bay, ô tô, xe lửa tỉ lệ với 6; 2; 1. Biết rằng thời gian đi từ A đến B b»ng m¸y bay Ýt h¬n so víi ®i b»ng « t« lµ 6 giê. Hái thêi gian xe löa ®i quãng đờng AB là bao lâu? Bài 20. Trên một công trờng xây dựng có 3 đội công nhân làm việc. Biết rằng 2 8 4 3 số công nhân đội I bằng 11 số công nhân đội II và 5 số công nhân đội III;. Số công nhân đội I ít hơn tổng số công nhân đội II và đội III là 18 ngời. Tính số công nhân của mỗi đội..

<span class='text_page_counter'>(30)</span> Bài 21. Ba đội công nhân phải vận chuyển tổng cộng 1530 kg hàng từ kho theo thứ tự đến 3 địa điểm cách kho 1500m, 2000m, 3000m. Hãy phân chia số hàng cho mỗi đội sao cho khối lợng hàng tỉ lệ nghịch với khoảng cách cần chuyển. Bài 22. Ba công nhân tiện đợc tất cả 860 dụng cụ trong cùng một thời gian. Để tiÖn mét dông cô, ngêi thø nhÊt cÇn 5 phót, ngêi thø hai cÇn 6 phót, ngêi thø ba cần 9 phút. Tính số dụng cụ mỗi ngời tiện đợc. 1 Bµi 23. Ba kho A, B, C chøa mét sè g¹o. Ngêi ta nhËp vµo kho A thªm 7 sè g¹o 1 2 của kho đó, xuất ở kho B đi 9 số gạo của kho đó, xuất ở kho C đi 7 số gạo của. kho đó. Khi đó số gạo của 3 kho bằng nhau. Tính số gạo ở mỗi kho lúc đầu, biết r»ng sè g¹o ë kho B Ýt h¬n sè g¹o ë kho A lµ 20 t¹. Bài 24. Ba em bé: An 5 tuổi, Hoà 6 tuổi, Nam 10 tuổi đợc bà cho 42 chiếc kẹo. Số kẹo đợc chia tỉ lệ nghịch với số tuổi của mỗi em. Hỏi mỗi em đợc chia bao nhiªu chiÕc kÑo? Bµi 25. Bµi to¸n vÒ “Tr¹ng chia ngùa” Theo tÝch xa kÓ l¹i, mét lÇn «ng tr¹ng cìi ngùa tíi mét n¬i ch¨n th¶ gia sóc. ë đó có 3 ngời đang gặp bế tắc trong việc chia ngựa: Họ có 23 con ngựa, theo 1 1 1 thoả thuận thì anh A đợc 2 số ngựa, anh B đợc 3 số ngựa, anh C đợc 8 số. ngựa. Họ không muốn xẻ đôi, xẻ ba con ngựa khi chia nhng lại muốn chia theo đúng tỉ lệ mà mỗi ngời đợc hởng. Ông trạng đã nghĩ ra đợc cách chia ngựa cho họ. Em có biết cách đó nh thế nào không?.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> V.. KÕt qu¶. Nh đã nói, với vốn kiến thức ít ỏi lại chỉ đợc học lí thuyết trong một vài tiết nên häc sinh gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n khi lµm bµi tËp vÒ phÇn nµy. Sau khi T«i triÓn khai chuyên đề này thì đa số các em đều tiếp thu rất tốt và quan trọng là các em biết độc lập chiếm lĩnh kiến thức, chất lợng bài tập học sinh làm tăng lên rõ dệt, hơn cả sự mong đợi. Cụ thể, kiểm tra học sinh lớp 7A của trờng THCS Phùng Hng nh sau:. VI. XÕp lo¹i Tríc khi häc Sau khi häc. Giái 3% 30%. Vấn đề còn hạn chế. Kh¸ 15% 47%. Trung b×nh 30% 17%. Díi trung b×nh 62% 6%. Qua quá trình giảng dạy Tôi thấy học sinh nói chung rất cần đợc trang bị tri thức phơng pháp thờng xuyên để các em luôn sẵn sàng tiếp cận những kiến thức mới. Với phạm vi kiến thức của học sinh lớp 7 còn hạn chế nên Tôi cha đề cập tới những bài tập ở mức độ cao hơn nữa. §©y lµ m¶ng kiÕn thøc kh¸ réng vµ phæ biÕn, ®a d¹ng vÒ thÓ lo¹i, phøc t¹p vÒ néi dung nªn víi kho¶ng thêi gian h¹n hÑp T«i chØ nªu ra mét sè d¹ng bài tập. Nếu có thể, Tôi sẽ đầu t nhiều thời gian hơn nữa để nghiên cứu chuyên đề này sâu hơn nữa. VII. §iÒu. kiÖn ¸p dông. Trớc khi thực hiện chuyên đề này, giáo viên cần nghiên cứu kĩ tài liệu tham khảo có liên quan đến từng đơn vị kiến thức cần sử dụng. Tuỳ theo mức độ nhận thức của từng đối tợng học sinh mà giáo viên triển khai các dạng bài cho phù hợp, dẫn dắt và gợi mở kiến thức thật dễ hiểu để bài học đạt hiệu quả cao nhÊt. Chuyên đề này dành cho tất cả học sinh khối 7. Nhng các em phải nắm v÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n cã liªn quan; Cã thÓ t×m hiÓu thªm trong tµi liÖu tham khảo; Có quyết tâm không ngại bài tập khó, không dừng lại khi cha tìm ra đáp ¸n cho bµi ®ang lµm-cïng víi sù dÉn d¾t cña thÇy c«. Cuèn s¸ch nhá nµy cã thÓ lµm tµi liÖu cho gi¸o viªn dïng lµm tµi liÖu tham khảo khi tìm hiểu hoặc sử dụng để dạy học mảng kiến thức này, có thể dùng cho học sinh để tự học phần kiến thức này, cũng có thể dùng cho phụ huynh học sinh đọc tham khảo, hoặc bất kì bạn đọc nào yêu thích nó .... VIII. KÕt. luËn. Qua qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y, T«i thÊy nÕu gi¸o viªn cã sù ®Çu t nghiªn cøu bài dạy càng kĩ thì hiệu quả đạt đợc càng cao. Tâm huyết với nghề là một trong nh÷ng yÕu tè t¹o nªn thµnh c«ng cña bµi d¹y. §øng tríc nh÷ng bµi tËp, kiÕn thøc ë “giíi h¹n gÇn tíi”, häc sinh thêng lóng tóng, hoang mang v× kh«ng biÕt phải làm nh thế nào; Lúc đó chính là thời điểm để giáo viên xuất hiện cùng với vai trò định hớng, dẫn dắt các em bớc qua khó khăn, gợi mở để các em không những làm đợc mà còn làm tốt không chỉ bài đó hay kiến thức đó mà cả những bµi, nh÷ng kiÕn thøc kh¸c, cã liªn quan hoÆc kh«ng liªn quan b»ng nh÷ng sù.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> liªn hÖ logic. §ã chÝnh lµ c¸ch t duy, kÓ c¶ viÖc n¾m v÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n, biÕt khai thác và mở rộng kiến thức và đặc biệt là biết cách vận dụng nó... Vận dụng nh thế nào để mang lại hiệu quả cao nhất! Đó chính là mong muốn của bản thân T«i vµ kh«ng ph¶i chØ cña riªng m×nh T«i. Mặc dù đã cố gắng khi phân chia kiến thức và trình bày chuyên đề này nhng trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn kh«ng tr¸nh khái sai xãt, nhÇm lÉn hoÆc cha khoa học nên Tôi rất mong nhận đợc những lời động viên, ý kiến đóng góp quí báu từ phía ngời đọc để chuyên đề này có thể hoàn thiện hơn nữa về cả nội dung vµ h×nh thøc, còng nh mang l¹i hiÖu qu¶ h¬n n÷a khi triÓn khai tíi häc sinh. Hy vọng rằng đọc giả sẽ tìm thấy sự bổ ích và đạt đợc kết quả tốt khi sử dông cuèn tµi liÖu nhá nµy! T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n! Phïng Hng, ngµy 5 th¸ng 01 n¨m 2009 Ngêi viÕt:. Hoµng D¬ng.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> Tµi liÖu tham kh¶o 1. KiÕn thøc c¬ b¶n vµ n©ng cao to¸n 7. 2. C¬ b¶n vµ n©ng cao to¸n 7.. 3. Nh÷ng bµi to¸n c¬ b¶n vµ n©ng cao chän läc 7. 4. N©ng cao vµ ph¸t triÓn to¸n 7. 5. B¸o thÕ giíi trong ta. 6. B¸o to¸n häc vµ tuæi trÎ. 7. TuyÓn chän 400 bµi tËp to¸n 7. 8. Toán bồi dỡng đại số 7. 9. Toán nâng cao đại số 7. 10. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề 11. Ôn kiến thức-luyện kĩ năng đại số 7. 12.Mét sè s¸ch b¸o tham kh¶o kh¸c.. NXB HN NXB GD NXB §HSP NXB GD NXB §µ N½ng NXB HN NXB GD NXB GD NXB GD.

<span class='text_page_counter'>(34)</span>