de thi hoc sinh gioi mon toan 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GIÁO DỤC ĐỨC CƠ TRƯỜNG PTCS LƯƠNG THẾ VINH. KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS Năn học 2009-2010. Đề thi Môn : Toán Thời gian: 150 phút Bài 1( 4đ) P. 1) Rút gọn biểu thức sau:. x2 y 2 ( x  y)2  xy x y. 2 x 2  2 x. . 2 2.  x2    x . x 2. 2) Giải phương trình: Bài 2( 4đ) 1) Phân tích thành nhân tử: a3 +b3 +c3 -3abc. x. y2 y.    .  2. 1 1 1   0 2) Cho a b c và abc ≠ 0 . Chứng minh rằng biểu thức: bc ac ab M 2 2 2 a b c không phụ thuộc vào a,b,c. Bài 3 (4đ) 1) Cho: 1 1 1 1 A    ...  1 2 2 3 3 4 120  121 1 1 B 1   ....  2 35. Hãy so sánh A và B 2) Cho a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1   2(   ) p a p b p c a b c với p là nửa chu vi của tam giác đó. Bài 4(8đ) 1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. vẽ đường cao BE và AD. Gọi H là trực tâm và G là trọng tâm tam giác ABC. AD a) Chứng minh rằng: tgB.tgC = HD b) Chứng tỏ rằng HG//BC  tgB.tgC = 3. 2) Cho hình bình hành ABCD, qua đỉnh D kẻ một đường thẳng cắt các đường thẳng AC, AB, BC tại M, N, K. chứng minh rằng: a) DM 2 = MN . MK DM DM  1 b) DN DK.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> LỜI GIẢI VÀ THANG ĐIỂM Lời giải. Điểm. Bài 1 1) Với Đk x 0; y 0; x y ta có: x2 y 2 ( x  y )2 P  xy x y.  x2    x  xy x  y  x y       xy x  y  x y . y2 y. (2 . x )3  (2 . (2  x )3  (2 . 0.25 0.25 0.5. x )3 3 2 x. 0.25 0.25 0.5. x )3  2 (4  x)3 18 x. 0.5. (4  x)3 3 x  8 3.  3x – 8 > 0 và (4  x) (3x  8) 8 x  3 và x 3  3 x 2 0. 2. Vậy x = 3 thỏa đk đầu bài Bài 2: 1) a3 +b3 +c3 -3abc = =(a3+3a2b+3ab2+b3) +c3 (3abc+3a2b+3ab2) =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)  (a  b)2  (a  b)c  c 2  3ab  =(a+b+c) . =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) 2) Theo câu a ta có a+b+c = 0 thì a3 +b3 +c3 -3abc = 0=> a3 +b3 +c3 = 3abc áp dụng kết quả trên nếu: 1 1 1 1 1 1 1   0  3  3  3 3. a b c a b c abc. ta có:. 0.5. 0.5. 2) Đk: 0 < x < 4 Quuy đồng mẫu thức rồi khử mẫu ta đưa pt về dạng:. Điểm. Bài 3.    . Xét TH: Xy > 0 => P = 1 Xy < 0 => P = 1 Vậy P = 1. Lời giải. 1 1 1 A    ... 1 2 2 3 3 4 1 ....  120  121  1  2 . 2  3.....  120  121.  121  1 10 1 1 B 1   ...  2 35 2 2 2    ...  2 1 2 2 2 35 2 2 2    ...  1 1 2 2 35  35 1 1 1  B  2(   ...  1 2 2 3 35  36 B  2(6  1) 10. Vậy B >A 1 1 4   2) Ta chứng minh được : x y x  y. Áp dụng bđt trên ta có: 0.5. 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5. 0.5. 1 1 4 4    p  a p  b 2p  a  b c 1 1 4 4    p  b p  c 2p  b c a 1 1 4 4    p c p a 2p c a b 1 1 1 1 1 1 2(   ) 4(   ) p a p b p c a b c 1 1 1 1 1 1   2(   ) p a p b p c a b c. (có thể có nhiều cách khác để chứng minh). 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5. 0.75 0.5 0.25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> bc ac ba abc abc abc    3  3  3 a 2 b2 c 2 a b c 1 1 1 3 abc( 3  3  3 ) abc. 3(abc 0) a b c abc M. 0.75 0.25 Bài 4 1). =>Kết luận. 0.5. AD AD a) tìm được tgB= BD ,tgC= CD AD 2 => tgB.tgC= BD.CD BDH ADC  BD.CD  AD.DH AD =>tgB.tgC= DH AM 3 b) chứng minh được : GM ( M là. 0.5 0.5 0.5 0.5. trung điểm của BC)  ADM có HG//BC  HG // DM. AM AH   GM HD  3 tgB.tgC. 0.5. (nếu hs cm hai chiều thì chiều thứ nhất 0.75đ, chiều ngược lại 0.75đ) 2) a) chứng minh được MD AM MD CM  (1),  (2) MK MC MN MA MD DM MA CM  .  . MK MN MC MA MD 2 MK .MN. Từ (1) => MK MC MK MC    MK  MD AM  MC KD AM  MC (1'). 0.5 0.5 0.5. 0.5 0.5 0.5 0.5. Từ (2)=> MD MC MD MC    MN  MD AM  MC ND AM  MC (2 ') MK DM  DK DN Từ (1’,2’) => DM DM MK DM DK      1 DN DK DK DK DK. 0.5 0.5 0.5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>

<span class='text_page_counter'>(5)</span>