HÀM LỒI (a, E1, E2) - LỒI TRÊN TẬP (a, E1, E2)- LỒI
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.3 MB, 69 trang )
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
MỤC LỤC
Trang
Mục lục……………………………………………………………... 1
Lời nói đầu…………………………………………………………. 2
Chương I. Tập
12
,,EE
-lồi……………………………………...
4
1.1. Tập
12
,,EE
-lồi………………………………………………
4
1.2 Các ví dụ....................................................................................... 8
1.3 Các tính chất của tập
12
,,EE
-lồi……………………………
12
Chương II. Hàm
13
,,EE
-lồi…………………………………...
30
2.1 Hàm
13
,,EE
-lồi……………………………………………...
30
2.1.1 Định nghĩa hàm
13
,,EE
-lồi………………………………..
30
2.1.2 Các ví dụ……………………………………………………… 33
2.1.3 Các tính chất hình học-đại số của hàm
12
,,EE
-lồi………
36
2.2. Hàm
13
,,EE
-tựa lồi………………………………………..
49
Chương 3: Tối ưu hàm
E
-lồi……………………………………... 58
3.1 Bài toán tối ưu một mục tiêu với hàm
E
-lồi…………………… 58
3.2 Một số kết quả cho bài toán
E
P
………………….................…
59
3.3 Một số kết quả cho bài toán
E
P
………………….................…
63
Kết luận…………………………………………………………… 69
Tài liệu tham khảo………………………………………………… 70
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
LỜI NÓI ĐẦU
Sau khi lý thuyết qui hoạch tuyến tính được hoàn thiện vào những năm 50 của
thế kỉ trước, với nội dung cơ bản là thuật toán đơn hình của G. B. Dantzig, giải tích
lồi đã được xây dựng và đóng vai trò quan trọng trong giải quyết các bài toán tối ưu
lồi nói riêng và tối ưu phi tuyến nói chung. Mặc dù cho tới nay, nhiều nghiên cứu về
giải tích lồi vẫn còn đang được tiến hành, nhưng có thể nói giải tích lồi đã trở thành
lí thuyết hoàn chỉnh vào những năm 70 của thế kỉ trước với những cuốn sách kinh
điển như Convex Analysis của R. T. Rockafellar (1970) và Nonlinear Programming
của O. L. Mangasarian (1967),...
Mặc dù là công cụ mạnh để giải quyết các bài toán tối ưu phi tuyến, nhiều
bài toán thực tế vẫn không thể mô tả bởi các hàm lồi trên các tập lồi. Vì vậy,
ngay trong giải tích lồi, các nhà toán học đã cố gắng mở rộng khái niệm hàm
lồi. Bằng cách giữ lại một trong các tính chất cơ bản của hàm lồi làm định
nghĩa hoặc tính chất cơ bản, lớp các hàm lồi suy rộng (hàm tựa lồi, hàm giả
lồi, hàm lồi bất biến,…) đã được nghiên cứu sâu về mặt toán học và được áp
dụng hiệu quả trong các bài toán thực tế.
Một trong những suy rộng của hàm lồi được một số nhà nghiên cứu quan
tâm trong khoảng mười năm trở lại đây là lớp hàm
E
-lồi do Ebrahim A.
Youness đề xuất năm 1999 (xem [14]). Khái niệm hàm
E
-lồi là mở rộng khá
tự nhiên của lớp hàm lồi.
Trong luận văn này chúng tôi bước đầu nghiên cứu một lớp hàm mới là
lớp hàm
13
,,EE
-lồi trên tập
12
,,EE
-lồi. Khái niệm
12
,,EE
-lồi cho
phép thống nhất một số khái niệm trong giải tích
E
-lồi (tập
E
-lồi, tập
E
-lồi
mạnh, hàm
E
-lồi, hàm
E
-lồi mạnh, hàm semi hàm
E
-lồi,…).
Bố cục luận văn gồm phần Mở đầu, Ba chương và Tài liệu tham khảo.
Chương 1: Tập
12
,,EE
-lồi.
Chương 2: Hàm
13
,,EE
-lồi.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Chương 3: Tối ưu hàm
E
-lồi.
Mặc dù những nghiên cứu trong luận văn mới chỉ ở dạng phác thảo, theo
cảm nhận của chúng tôi, một số kết quả trong luận văn đã cho phép nhìn lại
một số nghiên cứu về lớp hàm
E
-lồi, vì vậy khái niệm
12
,,EE
-lồi có lẽ
cũng đáng được quan tâm.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Tạ
Duy Phượng, nhân dịp này em xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với
Thầy.
Em xin cảm ơn các thầy cô của Đại học Thái Nguyên và Viện Toán học đã
tận tình giảng dạy em trong suốt quá trình học cao học.
Tôi xin cảm ơn khoa Toán, khoa Sau Đại Học trường ĐHSP Thái Nguyên
và trường Cao đẳng Kinh tế Kĩ thuật Thái Nguyên đã quan tâm giúp đỡ, tạo
điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện kế hoạch học tập của mình.
Xin cảm ơn người thân, đồng nghiệp, bạn bè đã cổ vũ động viên tôi trong
suốt quá trình làm luận văn.
Thái Nguyên, ngày 19.8.2010
Ngô Thị Thu Trang
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Chương I. TẬP
12
,,EE
– LỒI
1.1. Tập
12
,,EE
-lồi
Ta đã biết, một tập
n
M
được gọi là lồi nếu
(1 )x y M
với mọi
,x y M
và
0,1
. Nhằm mở rộng khái niệm tập lồi và hàm lồi với mục
đích áp dụng giải bài toán tối ưu, Youness lần đầu tiên (1999, [14]) đã đưa ra
khái niệm tập
E
-lồi. Ta có
Định nghĩa 1.1
Cho tập
n
M
và ánh xạ
:
nn
E
. Tập
M
được gọi là
E
-lồi trên tập
E
-lồi
M
(tương ứng với ánh xạ
E
) nếu với mọi
,x y M
và
0,1
ta có
( ) (1 ) ( )E x E y M
. (1.1)
Rõ ràng, tập lồi là tập
E
-lồi với
EI
là ánh xạ đồng nhất (
()I x x
với mọi
n
x
). Do đó, khái niệm
E
-lồi là mở rộng của khái niệm tập lồi. Ta có
Mệnh đề 1.1 (Youness, 1999, [14], Proposition 2.2)
Nếu
M
là tập
E
-lồi thì
()E M M
.
Ta có một số nhận xét sau.
Nhận xét 1.1
Tập
M
lồi (theo nghĩa thông thường) có thể không lồi tương ứng với ánh xạ
E
nào đó. Nói cách khác, ánh xạ
E
có thể làm biến dạng tập
M
(làm mất
những tính chất đẹp của tập
E
).
Ví dụ 1.1
Tập
M
là hình vuông
ABCD
được cho bởi:
1 2 1 2
, : 1 1; 1 1M x x x x x
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Ánh xạ
:
nn
E
được cho bởi công thức
1 2 1 2
1
,,
2
E x E x x x x
.
Khi ấy
EM
là hợp của hai tam giác
AOB
và
COD
nên không là tập lồi
(Hình 1.1).
Tuy nhiên, vì
M
là tập lồi nên bao hàm thức (1.1) nghiệm đúng với mọi
,x y M
và
0,1
. Do đó
M
là tập
E
-lồi.
Hình 1.1
Nhận xét 1.2
Tập
M
và ánh xạ
E
có thể rất đẹp, nhưng (1.1) có thể không được thỏa mãn.
Nói cách khác,
M
không phải là
E
-lồi.
Ví dụ 1.2
Tập
M
là hình tròn đơn vị
(0,1)B
tâm tại gốc
22
1 2 1 2
, : 1M x x x x x
Ánh xạ
:
nn
E
được cho bởi công thức
1 2 1 2
, 2 ,2E x E x x x x
.
Khi ấy
EM
là hình tròn
(0,2)B
tâm tại gốc bán kính bằng 2 (Hình 1.2).
Do
E M M
nên
M
không phải là
E
-lồi.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Hình 1.2
E. A. Youness và Tarek Emam đã đưa ra khái niệm tập
E
-lồi mạnh như sau.
Định nghĩa 1.2 (Youness-Emam, 2005, [17])
Tập
n
M
được gọi là
E
-lồi mạnh (tương ứng với ánh xạ
:
nn
E
)
nếu với mọi
,x y M
,
0;1
và
0,1
ta có
( ) (1 ) ( )x E x y E y M
. (1.2)
Nhằm thống nhất một cách hợp lí các khái niệm
E
-lồi và
E
-lồi mạnh (tương
ứng, khái niệm hàm
E
-lồi và hàm
E
-lồi mạnh trong Chương 2), chúng tôi
đưa ra khái niệm tập
12
,,EE
-lồi sau đây.
Định nghĩa 1.3 ([9])
Cho trước tập
n
M
, hai ánh xạ
1,2
:
nn
E
và số
. Tập
M
được
gọi là
12
,,EE
-lồi nếu với mọi
,x y M
và
0,1
ta có
1 1 2
( ) (1 ) ( )x E x y E y E M
. (1.3)
Nếu bất đẳng thức (1.3) đúng với mọi
0;1
thì ta nói
M
là tập
12
,EE
-
lồi mạnh.
Nếu bất đẳng thức (1.3) đúng với
0
thì ta nói
M
là tập
12
,EE
-lồi .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
Nhận xét 1.3
Nếu
12
E E I
và
0
thì (1.3) có dạng
(1 )x y M
với mọi
,x y M
và
0,1
. Vậy tập
M
là lồi theo nghĩa thông thường khi và chỉ
khi nó là
0, ,II
-lồi. Nói cách khác, khái niệm tập
12
,,EE
-lồi là một sự
mở rộng của khái niệm tập lồi thông thường.
Nhận xét 1.4
Nếu
2
EI
,
1
EE
với
:
nn
E
là một ánh xạ nào đó và
0
thì (1.3)
có dạng
( ) (1 ) ( )E x E y M
với mọi
,x y M
và
0,1
. Khi đó
M
là tập
0, ,EI
-lồi khi và chỉ khi nó là tập
E
-lồi theo Định nghĩa 1.1. Như
vậy, khái niệm tập
12
,,EE
-lồi là mở rộng của khái niệm
E
-lồi của
Youness trong [14].
Nhận xét 1.5
Mọi tập bất kỳ đều là
00
12
0, ,EE
-lồi với
00
1 2 0
E x E x x
với mọi
xM
,
trong đó
0
x
là một điểm bất kỳ nào đó của
M
.
Nhận xét 1.6
Youness trong [14] đã định nghĩa tập
E
-lồi như sau.
Định nghĩa 1.4 (Definition 2.1, [14])
A set
n
M
is said to be
E
-convex iff there is a map
:
nn
E
such
that
1 ( ) ( )E x E y M
, for each
,x y M
and
01
.
Theo Nhận xét 1.5, rõ ràng luôn luôn tồn tại ánh xạ
:
nn
E
(
0
E x x
với mọi
xM
, trong đó
0
x
là một điểm bất kỳ nào đó của
M
), để ta có
1 ( ) ( )E x E y M
với mọi
,x y M
và
01
. Do đó, theo Nhận
xét 1.5 thì mọi tập
M
đều là
E
-lồi (với
0
EE
) theo Định nghĩa 1.4. Vì vậy,
Định nghĩa của Youness trong [14] cần được sửa lại như Định nghĩa 1.1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Nhận xét 1.7
Nếu tập
n
M
là
12
,EE
-lồi mạnh (
12
,,EE
-lồi với mọi
01
), với
1
EE
và
2
EI
thì
M
là
E
-lồi mạnh theo Định nghĩa 1.2. Như vậy, tập
12
,EE
-lồi mạnh
M
là tập
E
-lồi mạnh (theo Định nghĩa 1.2) khi
2
EI
.
1.2 Các ví dụ
Ví dụ 1.3
Cho
2
1 2 1 2
; :1 4;1 4M x x x x
là một hình vuông trong
2
.
Cho
22
1,2
:E
được xác định theo công thức
12
0,E x x
;
2 1 2
2,E x x x
với mọi
2
12
,x x x
; nghĩa là
1
E
là phép chiếu
(vuông góc) từ
2
xuống trục tung, còn
2
E
là một ánh xạ tuyến tính giữ
nguyên tọa độ
2
x
, tọa độ
1
x
được chuyển dịch sang trái 2 đơn vị
(
2 1 2
,E x z z
với
1 1 2 2
2;z x z x
).
Ta có
2
1 1 2 1 2
; : 0;1 4E M x x x x
và
2
2 1 2 1 2
; : 1 2;1 4E M x x x x
.
Vậy
1
EM
và
2
EM
là các tập lồi theo nghĩa thông thường và
12
E M E M
hay
1 1 2
( ) (1 ) ( )E x E y E M
với mọi
,x y M
và
0,1
. Vậy
M
là tập
12
0, ,EE
-lồi.
Tuy nhiên,
M
không phải là tập
12
1, ,EE
-lồi. Thật vậy, ta chọn
4,1xM
và
4,4yM
. Khi ấy
1
0,1Ex
;
1
0,4Ey
. Chọn
1
2
(và
1
đã chọn) ta được
1 1 2
1 4,5x E x y E y E M
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Chứng tỏ
M
không phải là tập
12
1, ,EE
-lồi.
Chọn
1
2
và
0
,
4,1xM
và
4,4yM
ta được
11
5
1 0,
2
x E x y E y M
.
Chứng tỏ
M
cũng không phải là tập
1
0, ,EI
-lồi, tức là
M
không phải là tập
1
E
-lồi (khái niệm
1
0, ,EI
-lồi trùng với khái niệm
1
E
-lồi). Do đó
M
cũng
không phải là tập
1
E
-lồi mạnh theo Định nghĩa 1.2.
Ví dụ 1.4
Cho
3
2
1 2 3 1 2 3
1
3
2
1 2 3 1 2 3
1
, , 0,0 2,1 0,3 ; , , 0, 1
, , 0,0 0, 3 2, 1 , , , 0; 1 .
i
i
i
i
M x y x y
x y x y
Khi ấy tập
M
là hợp của hai miền tam giác AOB và COD vậy
M
không phải
là tập lồi (Hình 1.3), nhưng là
1
0, ,EI
-lồi (hay
M
là
1
E
-lồi).
Cho
22
1
:E
,
12
0,E x x
với
12
,x x x
hay
1
E
là phép chiếu
(vuông góc) từ
2
xuống trục tung,
2
EI
với
I x x
mọi
2
x
.
Thật vậy, ta có
2
1
, , 0, 3 3E M x y x y M
là một tập lồi.
Với mọi
,x y M
ta có
11
E x E M
và
11
E y E M
.
Chứng tỏ với mọi
0,1
thì
1 1 1
0 ( ) (1 ) 0 ( ) ( )x E x y E y E M M
hay
M
là tập
1
0, ,EI
-lồi (hay
1
E
-lồi).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Hình 1.3
Ví dụ 1.5
Cho
22
1,2
:E
;
2 1 1 2
1 1 2
24
,;
33
x x x x
E x x
;
2 1 2 1 2
, 2,E x x x x
.
Nhận xét rằng
1,2
E
là các ánh xạ tuyến tính.
Tập
M
cho như trong Ví dụ 1.4. Khi đó ta có
2
EM
là hợp của hai miền
tam giác ABC và ADE (Hình 1.4).
Hình 1.4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
Tập
M
không là tập lồi (xem Hình 1.3) và cũng không là
12
1, ,EE
-lồi. Thật
vậy, chọn
0,3x
,
2, 1y
và
1
2
thì
11
0,3 2,1E x E
và
11
2, 1 0, 3E y E
thì ta có
1 1 2
1 ( ) (1 ) 1 ( ) 0,0x E x y E y E M
.
Vậy tập
M
không phải là
12
1, ,EE
-lồi.
Ví dụ 1.6
Cho
22
1,2
:E
;
1 1 2
,E x x
2 1 2 2
, 0,E x x x
.
Tập
M
được cho như sau:
22
1 2 1 2 1 2 1 2
, : 1, 0 , : 1, 0M x x x x x x x x
.
Tập
M
là hợp của hai tập lồi rời nhau, do đó không phải là tập lồi. Tuy nhiên,
1 2 2 2
0, ,E M E M x x
là tập lồi và
1
E M M
. Chứng tỏ
M
không phải là tập
1
E
-lồi theo nghĩa Youness, nhưng là tập
12
0, ,EE
- lồi.
Điều này nói lên rằng khái niệm tập
12
,,EE
-lồi “uyển chuyển” hơn khái
niệm tập
E
-lồi.
Kết luận
Các ví dụ trên chứng tỏ một tập có thể là
12
,,EE
-lồi với
1
và không
là
12
,,EE
-lồi với
2
nào đó. Tuơng tự, một tập có thể là
12
,,EE
-
lồi với
2
E
này nhưng không là
12
,,EE
-lồi với
2
E
khác. Như vậy, một tập
có thể không lồi theo nghĩa thông thường, nhưng có thể là
12
,,EE
-lồi với
một bộ
12
,,EE
nào đó. Điều này cho phép mở rộng các khái niệm và kết
quả của giải tích lồi sang cho giải tích
12
,,EE
-lồi. Tuy nhiên, do các ánh
xạ
12
,EE
được chọn tương đối tùy ý, nên ảnh của tập
M
có thể bị biến dạng
mạnh và do đó ảnh của tập lồi có thể bị bóp méo và trở thành tập không lồi
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
theo nghĩa thông thường (mặc dù có thể là
E
-lồi). Điều này dẫn đến lưu ý
rằng, mặc dù về mặt hình thức, khái niệm tập
12
,,EE
-lồi là mở rộng của
khái niệm tập lồi, không có nghĩa là, khái niệm tập
12
,,EE
-lồi phản ánh
đúng thực chất cấu trúc của tập mà ta đang quan tâm. Dẫu sao nghiên cứu tập
M
qua ảnh
()EM
của nó có thể cho phép ta hiểu tốt hơn về tập
M
.
1.3 Các tính chất của tập
12
,,EE
-lồi
Cho
n
M
và
1,2
:
nn
E
. Mệnh đề 1.2 dưới đây là mở rộng của Mệnh
đề 2.2 trong [14].
Mệnh đề 1.2
Nếu tập
n
M
là
12
,EE
-lồi tương ứng với các ánh xạ
12
,EE
thì
12
()E M E M
.
Chứng minh
Vì
M
là tập
12
,EE
-lồi nên với mọi
, , 0,1x y M
ta có
1 1 2
1E x E y E M
.
Lấy
1
thì
12
E x E M
với mọi
xM
, vậy
12
E M E M
.
Mệnh đề được chứng minh.
Nếu
2
EI
và
1
EE
thì Mệnh đề 1.1 là hệ quả của Mệnh đề 1.2.
Theo một nghĩa nào đó, Mệnh đề dưới đây là đảo lại của Mệnh đề 1.2.
Mệnh đề 1.3
Giả sử
1
()EM
hoặc
2
()EM
là tập lồi. Nếu
12
()E M E M
thì
M
là tập
12
,EE
- lồi.
Chứng minh
Lấy
,xy
là hai điểm bất kỳ thuộc
M
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
Trường hợp 1:
1
()EM
là tập lồi. Khi ấy với mọi
0,1
ta có
1 1 1
( ) (1 ) ( )E x E y E M
.
Mặt khác,
12
()E M E M
nên
1 1 1 2
( ) (1 ) ( )E x E y E M E M
với
mọi
0,1
. Vậy
M
là tập
12
,EE
-lồi.
Trường hợp 2:
2
()EM
là tập lồi. Vì theo giả thiết
12
()E M E M
nên với
mọi điểm
,xy
bất kỳ thuộc
M
ta luôn có
1 1 2
()E x E M E M
và
1 1 2
()E y E M E M
.
Vì
2
()EM
là tập lồi nên
1 1 2
( ) (1 ) ( )E x E y E M
.
Vậy nếu
1
()EM
hoặc
2
()EM
là tập lồi thì
M
là tập
12
,EE
-lồi.
Nếu
2
EI
và
1
EE
thì ta có
Hệ quả 1.1 (Grace-Thangavelu, 2009, [7], Proposition 2.3)
Giả sử
()EM
là tập lồi. Nếu
()E M M
thì
M
là
E
-lồi.
Mệnh đề 1.4
Giả sử
1
:
nn
E
là ánh xạ tuyến tính, và
2
:
nn
E
thỏa mãn tính
chất
2 1 2 2 2 1 2
E M E M E M M
;
1,2
n
M
là các tập
12
,EE
-lồi.
Khi ấy
12
MM
cũng là
12
,EE
-lồi.
Chứng minh
Lấy
,xy
bất kỳ thuộc tập
12
MM
. Khi đó ta có
12
x x x
với
1 1 2 2
;x M x M
và
12
y y y
với
1 1 2 2
;y M y M
.
Với mọi
0,1
, do
1
E
là ánh xạ tuyến tính nên
1 1 1 2 1 1 1 2
( ) ( )E x E x x E x E x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
và
1 1 1 2 1 1 1 2
( ) ( )E y E y y E y E y
.
Do
1
n
M
là tập
12
,EE
-lồi nên
1 1 1 1 2 1
( ) (1 ) ( ) ( )E x E y E M
.
Do
2
n
M
là tập
12
,EE
-lồi nên
1 2 1 2 2 2
( ) (1 ) ( ) ( )E x E y E M
.
Vì
2
E
có tính chất
2 1 2 2 2 1 2
E M E M E M M
nên ta có
1 1 1 1 1 2 1 1 1 2
1 1 1 1 1 2 1 2
2 1 2 2 2 1 2
( ) (1 ) ( ) (1 )
(1 ) (1 )
.
E x E y E x E x E y E y
E x E y E x E y
E M E M E M M
Vậy với mọi
12
,x y M M
và
0,1
ta có
1 1 2 1 2
( ) (1 ) ( )E x E y E M M
.
hay
12
MM
là tập
12
,EE
-lồi.
Nhận xét 1.8
Nếu
2
E
là ánh xạ tuyến tính, tức là
2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2
E t x t x t E x t E x
với
mọi
12
,tt
thì điều kiện
2 1 2 2 2 1 2
E M E M E M M
mặc nhiên thỏa
mãn.
Nếu
2
EI
và
1
EE
thì ta có
Hệ quả 1.2 (Younes, 1999, [14], Lemma 2.2)
Giả sử
:
nn
E
là ánh xạ tuyến tính,
1,2
n
M
là các tập
E
-lồi. Khi ấy
12
MM
cũng là
E
-lồi.
Mệnh đề 1.4 có thể được tổng quát hóa thành
Mệnh đề 1.5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Giả sử
1,2
:
nn
E
là các ánh xạ tuyến tính, các tập
, 1,
i
M i m
là
12
,EE
-lồi. Khi ấy với mọi bộ số thực
i
t
tập
1
m
ii
i
M t M
là
12
,EE
-lồi.
Chứng minh
Lấy
,xy
bất kỳ thuộc tập
M
. Khi đó tồn tại các phần tử
, ( 1, )
i i i
x y M i m
sao cho
1
m
ii
i
x t x
và
1
m
ii
i
y t y
.
Vì
1
E
là ánh xạ tuyến tính nên ta có
1 1 1 1
11
11
mm
i i i i
ii
E x E y E t x E t y
=
1 1 1 1 1 1 1 1
... 1 ... 1
m m m m
t E x t E x t E y t E y
=
1 1 1 1 1 1 1
1 ... 1
m m m
t E x E y t E x E y
.
Vì
, 1,
i
M i m
là các tập
12
,EE
-lồi nên với mỗi
i
ta có
1 1 2
1
i i i
E x E y E M
Từ đó ta có
1 1 1 2 1 2 2 2 2
1 ...
mm
E x E y t E M t E M t E M
Vì
2
E
là ánh xạ tuyến tính nên
1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2
2 1 1 2 2 2
... ...
... .
m m m m
mm
t E M t E M t E M E t M E t M E t M
E t M t M t M E M
Suy ra với mọi
,xy
bất kỳ thuộc tập
M
ta có
1 1 2
1E x E y E M
.
Vậy theo định nghĩa,
1
m
ii
i
M t M
là tập
12
,EE
-lồi.
Nếu
2
EI
và
1
EE
thì ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Hệ quả 1.3 (Grace-Thangavelu, 2009, [6], Proposition 5.1)
Giả sử
:
nn
E
là ánh xạ tuyến tính, các tập
, 1,
i
M i m
là
E
-lồi. Khi ấy
với mọi bộ số thực
i
t
,
1,im
, tập
1
m
ii
i
M t M
là
E
-lồi.
Mệnh đề 1.6
Giả sử
:
nn
E
là ánh xạ tuyến tính,
1
()E a a
với một số thực
n
a
nào đó và
M
là tập
12
,EE
-lồi. Khi ấy nếu
2
:
nn
E
là ánh xạ có tính
chất
22
E M a E M a
thì
Ma
cũng là tập
12
,EE
-lồi.
Chứng minh
Lấy
,xy
bất kỳ thuộc tập
M
. Khi đó ta có
x a M a
và
y a M a
.
Vì
1
E
là ánh xạ tuyến tính nên
1 1 1
E x a E x E a
và
1 1 1
E y a E y E a
.
Do đó với mọi
0,1
ta có
11
1E x a E y a
11
1E x a E y a
1 1 1 1
11E x E a E y E a
11
11E x E y a a
=
11
1E x E y a
Vì
M
là tập
12
,EE
-lồi nên
1 1 2
1E x E y E M
. Do đó ta có
1 1 2
1E x E y a E M a
Do
22
E M a E M a
theo giả thiết nên ta có
11
1 1 2 2
1
1.
E x a E y a
E x E y a E M a E M a
Vậy
Ma
là tập
12
,EE
-lồi.
Nếu
2
EI
và
1
EE
thì ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
Hệ quả 1.4 (Grace-Thangavelu, 2009, [6], Proposition 3.1)
Giả sử
:
nn
E
là ánh xạ tuyến tính,
()E a a
với một số thực
n
a
nào đó và
M
là tập
E
-lồi. Khi ấy
Ma
cũng là tập
E
-lồi.
Nhận xét 1.9
Điều kiện
22
E M a E M a
nói chung không phải lúc nào cũng đúng.
Thí dụ, cho
0;1M
;
1a
. Khi ấy tập
1;2Ma
. Ánh xạ
2
:E
được cho bởi công thức
2
0, khi 0;
()
1, khi 0.
x
Ex
x
Khi ấy
2
( ) 0;1EM
nên
2
( ) 1;2E M a
, nhưng
2
( ) 0E M a
. Vì
vậy điều kiện
22
E M a E M a
không thỏa mãn.
Mệnh đề 1.7
Giả sử
1,2
n
M
là các tập
12
,,EE
-lồi. Nếu ta có
2 1 2 2 1 2 2
E M M E M E M
thì
12
MM
cũng là
12
,,EE
-lồi.
Chứng minh
Lấy
12
,xx
bất kỳ thuộc tập
12
MM
. Khi đó ta có
1 2 1
,x x M
và
1 2 2
,x x M
Do
1,2
M
là các tập
12
,,EE
-lồi nên với mọi
0,1
ta có
1 1 1 2 1 2 2 1
1x E x x E x E M
Và
1 1 1 2 1 2 2 2
1x E x x E x E M
.
Theo giả thiết
2 1 2 2 1 2 2
E M M E M E M
nên ta có
1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2
1x E x x E x E M E M E M M
.
Vậy
12
MM
là tập
12
,,EE
-lồi.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Nhận xét 1.10
Ta luôn có
1 2 1 2
f M M f M f M
nhưng dấu bằng có thể không
xảy ra. Thí dụ, cho
12
M M M
với
1
1;0M
và
2
0;1M
. Hàm
: 1,1 1,1f
được xác định bởi công thức
1, 1;0 ;
()
1, 0;1 .
xx
fx
xx
Khi ấy
12
(0) 1f M M f
và
12
0;1f M f M
.
Chứng tỏ
1 2 1 2
f M M f M f M
.
Tuy nhiên, nếu
2
EI
và
1
EE
thì ta có
Hệ quả 1.5 (Younes, 1999, [14], Proposition 2.4)
Giả sử
1,2
n
M
là các tập
E
-lồi thì
12
MM
cũng là tập
E
-lồi.
Nhận xét 1.11
Chứng minh hoàn toàn tương tự, Mệnh đề 1.7 có thể mở rộng thành
Mệnh đề 1.7’
Giả sử
n
j
M
là các tập
12
,,EE
-lồi, trong đó
jJ
là tập chỉ số bất
kì. Nếu ta có
2 1 2 2 1 2 2
E M M E M E M
thì
j
jJ
M
cũng là tập
12
,,EE
-lồi.
Nếu
2
EI
và
1
EE
thì ta có
Hệ quả 1.6 (Syau- Lee, 2005, [11], Theorem 2.1)
Giả sử
n
j
M
là các tập
E
-lồi, trong đó
jJ
là tập chỉ số bất kì. Khi ấy
j
jJ
M
cũng là tập
E
-lồi.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Nhận xét 1.12
Giả sử
1,2
n
M
là các tập
12
,,EE
-lồi. Khi ấy
12
MM
có thể không
phải là
12
,,EE
- lồi.
Ví dụ 1.7 (Grace-Thangavelu, 2009, [6], Example 2.1)
Cho
22
1,2
:E
;
2 1 2 1
1 1 2
24
,;
3 3 3 3
x x x x
E x x
và
2 1 2 1 2
,,E x x x x
Xét hai tập lồi
3
2
1 1 2 1 2 3 1 2 3
1
: , : , 0,0 2,1 0,3 ; , , 0; 1
i
i
M x x R x y
;
3
2
2 1 2 1 2 3 1 2 3
1
: , : , 0,0 0, 3 2, 1 ; , , 0; 1
i
i
M x x R x y
.
Nhận xét rằng
1
E
là ánh xạ tuyến tính,
2
E
là ánh xạ đồng nhất, tập
1
M
là
miền tam giác AOB và tập
2
M
là miền tam giác COD (Hình 1.5). Ta có
1
0,0 0,0E
,
1
2,1 0,3E
,
1
0,3 2,1E
, vậy
1 1 1
E M M
.
Ta cũng có
1
2, 1 0, 3E
,
1
0, 3 2, 1E
, vậy
1 2 2
E M M
.
Do đó
1
M
và
2
M
là hai tập
12
,EE
-lồi. Nhưng
12
MM
không phải là tập
12
,EE
-lồi vì với
1
2
;
12
0,3x M M
và
12
2, 1y M M
thì
1 1 1 2
1 1; 1E x E y M M
, hay
1 1 2 1 2
1 1; 1E x E y E M M
.(Hình 1.5)
Hình 1.5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Mệnh đề 1.8
Giả sử
n
M
là tập
12
,EE
-lồi và
12
,EE
-lồi. Nếu
2
()E M M
thì
M
cũng là
1 1 2
,E E E
-lồi và
1 1 2
,E E E
-lồi.
Chứng minh
Vì
M
là
12
,EE
- lồi và
12
,EE
-lồi nên theo Mệnh đề 1.2 thì
12
E M E M
và
12
E M E M
.
Giả sử
M
không phải là
1 1 2
,E E E
-lồi, tức là theo định nghĩa, phải tồn tại
số
0;1
và tồn tại các điểm
,x y M
sao cho
1 1 1 1 2
1E E x E E y E M
hay
1 1 1 1 2
1E E x E E y E M
.
Nhưng, theo giả thiết
2
()E M M
và theo Mệnh đề 1.1, do
n
M
là tập
12
,EE
-lồi nên ta có
1 1 2
x E x E M E M M
và
1 1 2
y E y E M E M M
,
tức là
1 1 2
1E x E y E M
,
trái với giả thiết
n
M
là tập
12
,EE
-lồi.
Vậy
M
là
1 1 2
,E E E
-lồi.
Hoàn toàn tương tự, ta có thể chứng minh được
M
là
1 1 2
,E E E
-lồi.
Nếu
2
EI
và
1
EE
thì ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
Hệ quả 1.7 (Younes, 1999, [14], Lemma 2.1)
Nếu
n
M
là tập
E
-lồi và
E
-lồi thì
M
cũng là
EE
-lồi và
EE
-lồi.
Mệnh đề 1.9
Cho
1,2
:
nn
E
và
1,2
:
mm
E
là các ánh xạ bất kì,
:
nm
A
là
ánh xạ affine sao cho
11
E A A E
và
22
E A A E
. Khi ấy nếu
n
M
là tập
12
,EE
-lồi thì
()
m
AM
là tập
12
,EE
-lồi.
Chứng minh
Vì
M
là
12
,EE
-lồi nên với
,x y M
và
0,1
ta có
1 1 2
1E x E y E M
.
Ta có
11
1E A x E A y
=
11
1E A x E A y
=
11
1A E x A E y
=
11
1A E x A E y
.
(1.4)
Theo giả thiết ta có
A
là ánh xạ affine nên
11
1A E x A E y
=
11
1A E x A E y
=
11
1A E x E y
Do
22
E A A E
nên từ (1.4) ta có
11
1E A x E A y
1 1 2
1A E x E y A E M
2 2 2
.A E M E A M E A M
hay
1 1 2
1E A x E A y E A M
.
Vậy theo định nghĩa
()AM
là tập
12
,EE
-lồi.
Nếu
2 n
EI
và
2 m
EI
thì ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
Hệ quả 1.8 (Grace-Thangavelu, 2009, [6], Proposition 5.3)
Cho
:
nn
E
và
:
mm
E
là các ánh xạ bất kì,
:
nm
A
là ánh xạ
affine sao cho
E A A E
.
Khi ấy nếu
n
M
là tập
E
-lồi thì
()
m
AM
là tập
E
-lồi.
Mệnh đề 1.10
Giả sử
1
:
nn
E
là ánh xạ tuyến tính và
M
là tập
12
,EE
-lồi. Khi ấy
nếu
2
:
nn
E
có tính chất
22
E M E M
với mọi số thực
thì
M
cũng là tập
12
,EE
-lồi với mọi số thực
.
Chứng minh
Lấy
,xy
bất kỳ thuộc vào tập
M
. Khi đó ta có
xM
và
yM
.
Vì
1
E
là ánh xạ tuyến tính nên
11
E x E x
và
11
E y E y
.
Hơn nữa, với mọi
0,1
ta có:
11
1E x E y
11
1E x E y
Vì
M
là tập
12
,EE
-lồi nên
1 1 2
1E x E y E M
.
Vậy
1 1 2
1E x E y E M
.
Do
22
E M E M
nên ta có
1 1 2 2
1E x E y E M E M
.
Vậy
M
là tập
12
,EE
-lồi.
Nếu
2
EI
,
1
EE
thì ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
Hệ quả 1.9 (Grace-Thangavelu, 2009, [6], Proposition 3.2)
Giả sử
:
nn
E
là ánh xạ tuyến tính và
M
là tập
E
-lồi. Khi ấy
M
cũng
là tập
E
-lồi với mọi số thực
.
Mệnh đề 1.11
Giả sử
:
ii
nn
pi
E
1,2i
,
1,2p
là các ánh xạ bất kì. Các ánh xạ tích
1 2 1 2
1,2
:
n n n n
E
được xác định như sau:
1 11 12
( , ): ( ), ( )E x y E x E y
;
2 21 22
( , ): ( ), ( )E x y E x E y
với mọi
12
( , )
nn
z x y
.
Khi ấy nếu
i
n
i
M
,
1,2i
là tập
12
,
ii
EE
-lồi thì tập
1 2 1 2
: , : ,M M M x y x M y M
là
12
,EE
-lồi.
Chứng minh
Lấy
1 1 1 2 2 2 1 2
, , ,z x y z x y M M
. Khi đó
1 2 1
,x x M
và
1 2 2
,y y M
.
Vì
i
M
,
1,2i
là tập
12
,
ii
EE
-lồi nên
11 1 11 2 21 1
1E x E x E M
và
12 1 12 2 22 2
1E y E y E M
.
Với
0;1
ta có
1 1 1 2
1E z E z
1 1 1 1 2 2
, 1 ,E x y E x y
11 1 12 1 11 2 12 2
, 1 ,E x E y E x E y
11 1 11 2 12 1 12 2
1 ; 1E x E x E y E y
Do đó
11 1 11 2 12 1 12 2 21 1 22 2
1 ; 1E x E x E y E y E M E M
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
24
hay
11 1 11 2 12 1 12 2 2 1 2
1 ; 1 .E x E x E y E y E M M
Vậy
12
M M M
là
12
,EE
-lồi.
Nếu
1
21 n
EI
và
2
22 n
EI
thì ta có
Hệ quả 1.10 (Grace-Thangavelu, 2009, [6], Proposition 5.4)
Giả sử
1,2i
là các ánh xạ bất kì. Ánh xạ
1 2 1 2
:
n n n n
E
được xác định
như sau
12
( , ): ( ), ( )E x y E x E y
. Khi ấy nếu
i
M
1,2i
là tập
i
E
-lồi thì tập
1 2 1 2
: , : ,M M M x y x M y M
là tập
E
-lồi.
Định nghĩa 1.5
Ánh xạ
:
nn
E
được gọi là ánh xạ chiếu (Projection) nếu nó là affine và
lũy đẳng, nghĩa là
1 1 2 2 1 1 2 2
E t x t x t E x t E x
với mọi
1,2
t
và mọi
1,2
n
x
và
2
E x E x
với mọi
n
x
.
Mệnh đề 1.12
Giả sử
1
:
nn
E
là ánh xạ chiếu, ánh xạ
2
:
nn
E
có tính chất
1 2 1
E E M E M
và
n
M
là tập
12
,EE
-lồi. Khi ấy với mọi
0
i
,
12
0
ta có
1 2 1 1 1 2 1
( ) ( ) ( )E M E M E M
.
Chứng minh
Lấy
1 2 1
z E M
. Khi đó tồn tại
xM
sao cho
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1
z E x E x E x E M E M
.
Vậy ta luôn có
1 2 1 1 1 2 1
E M E M E M
. (1.5)
Vì
M
là tập
12
,EE
-lồi và
0
i
,
12
0
nên với mọi
,x y M
ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
25
12
1 1 2
1 2 1 2
E x E y E M
Vậy ta có
1 1 2 1 1 2 2
E x E y E M
.
hay
1 1 1 2 1 1 1 2 2
E E x E y E E M
. (1.6)
Vì
1
E
là ánh xạ chiếu nên
22
1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1
E E x E y E x E y E x E y
.
Theo giả thiết
1 2 1
E E M E M
nên
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1
E E M E E M E M
.
Vậy từ (1.6), với mọi
0
i
,
12
0
ta có
1 1 2 1 1 1 1 2 1
1 1 2 2 1 2 1
E x E y E E x E y
E E M E M
hay
1 1 2 1 1 2 1
E M E M E M
. (1.7)
Từ (1.5) và (1.7) suy ra
1 2 1 1 1 2 1
()E M E M E M
.
Nếu
2
EI
và
1
EE
thì ta có
Hệ quả 1.11 (Grace-Thangavelu, 2009, [6], Proposition 5.2)
Giả sử
1
:
nn
E
là ánh xạ chiếu,
M
là tập
E
-lồi. Khi ấy ta có
1 2 1 1 1 2 1
( ) ( ) ( )E M E M E M
với mọi
0
i
,
12
0
.
Định nghĩa 1.6
Giả sử
:
nn
E
và
1
,...,
n
m
x x M
. Tổng
11
...
n
mm
E x E x
, trong đó
0, 1,...,
i
im
,
1
... 1
m
được
gọi là tổ hợp
E
-lồi của các điểm
1
,...,
m
xx
.
