Tài liệu Toán chuyên ngành viễn thông P2 doc

Chương 1: Hàm biến số phức

41
Ví dụ 1.24: Tính tích phân
()
2
2
0
1
dx
I
x
∞
=
+
∫
.
Giải: Hàm
()
()
()()
222
2
11
1
Rz
zi zi
z
==
−+
+

có cực điểm kép
iz
=
nằm trong nửa mặt
phẳng
0Im >z
. Vậy
() ()
2223
22
111 12
2Res ; lim
22 ()(2)4
11
zi
dx d
Iiiii
dz z i i
xz
π
πππ
∞
→
−∞
⎡⎤
⎡⎤
−
⎢⎥
==⋅ = ==
⎢⎥

⎢⎥
+
⎣⎦
++
⎣⎦
∫
.
1.6.4.2. Tích phân dạng
()
cosR xxdx
β
∞
−∞
∫
,
()
sinR xxdx
β
∞
−∞
∫

Hai tích phân trên là phần thực và phần ảo của tích phân
()
ix
R xe dx
β
∞
−∞
∫

.
Bổ đề: Giả sử hàm
()
zf
giải tích trong nửa mặt phẳng
0Im ≥z
, trừ tại một số hữu hạn các
điểm bất thường cô lập và thoả mãn:

()
R
k
Cz
R
M
zf ∈∀≤ ,
;
Mk ,0>
là hằng số (1.75)
thì
()
0lim =
∫
λ
∞→
R
C
zi
R
dzzfe

, với mọi
0>λ
. Trong đó
{ }
0Im, ≥=∈= zRzzC
R

.
Định lý 1.23: Giải sử
()
)(
)(
zQ
zP
zR =
là một phân thức hữu tỷ thoả mãn các điều kiện sau:
i.
)(zR
giải tích trong nửa mặt phẳng
0Im >z
ngoại trừ tại một số hữu hạn các cực điểm
n
aa ,...,
1
.
ii.
)(zR
có thể có m cực điểm
m
bb ,...,

1
trên trục thực và
()
ix
Rxe
β
khả tích tại những
điểm này.
iii. Bậc của
)(zQ
lớn hơn bậc của
)(zP
ít nhất là 1.
Khi đó
() () ()
11
2Res ; Res ;
nm
ix iz iz
kk
kk
R xe dx i Rze a i Rze b
ββ β
ππ
∞
==
−∞
⎡⎤⎡⎤
=+
⎣⎦⎣⎦

∑∑
∫
(1.76)
Ví dụ 1.25: Tính tích phân
22
0
cos
,(, 0)
x
Idxa
xa
λ
λ
∞
= >
+
∫
.
Giải: Vì hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn nên
Chương 1: Hàm biến số phức

42
22 22 22
1cos 1 1
Re Re 2 Res ;
22 2 2
ix ix a
x eee
Idx dxiai
x axa xaa

λ λλ
λπ
π
∞∞
−
−∞ −∞
⎛⎞
⎛⎞
⎡⎤
== = =
⎜⎟
⎜⎟
⎢⎥
⎜⎟
++ +
⎣⎦
⎝⎠
⎝⎠
∫∫
.
Ví dụ 1.26: Tính tích phân
∫
∞
=
0
sin
dx
x
x
I

.
Giải: Vì hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn nên
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
dx
x
e
dx
x
x
I
ix
Im
2
1sin
2
1
.

Hàm
z
zR
1
)( =
thoả mãn các điều kiện của định lý 1.23, có cực điểm đơn duy nhất
0=z

trên trục thực. Do đó
()
11
Im Res ; 0 Im
222
iz
e
Ii i
z
π
ππ
⎛⎞
⎡⎤
===
⎜⎟
⎢⎥
⎜⎟
⎣⎦
⎝⎠
.
1.6.4.3. Tích phân dạng
()

∫
π
2
0
sin,cos dxnxnxR
.
Đặt
ix
ez =
thì
iz
dz
dx
i
zz
nx
zz
nx
nnnn
=
−
=
+
=
−−
,
2
sin,
2
cos

Khi
x
biên thiên từ
π→ 20
thì
ix
ez =
vạch lên đường tròn đơn vị C theo chiều dương. Vì
vậy

()
2
0
cos ,sin ,
22
nnnn
C
zzzz dz
RnxnxdxR
iiz
π
−−
⎛⎞
+−
=
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
v

(1.77)
Ví dụ 1.27: Tính tích phân
∫
π
+
=
2
0
sin35 x
dx
I

Giải: Vì hàm số
()
iz
i
zz
i
z 3
3
3
2
1
3
10
3
2
2
+
⎟

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
chỉ có một cực điểm đơn
3
i
z −=
nằm
trong đường tròn đơn vị C, do đó
22
12 2
2Res ;
3 1 10 10
32
53131
23 3
CC
dz dz i
Ii

ii
iz
zzz zz
iz
π
π
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
=== −=
⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞
⎢⎥
+− +− +−
⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦
∫∫vv
.
1.7. PHÉP BIẾN ĐỔI Z
Dựa vào tính chất xác định duy nhất của hàm số giải tích trong hình vành khăn
Rzr <<

bởi dãy các hệ số trong khai triển Laurent của nó (1.66) - định lý 1.19, người ta xây dựng phép
biến đổi Z và sử dụng để biểu diễn các tín hiệu rời rạc qua các hàm giải tích trong hình vành khăn.
Chương 1: Hàm biến số phức

43
Phép biến đổi Z có rất nhiều ứng dụng trong lý thuyết xử lý tín hiệu và lọc số, vì nói chung việc
khảo sát các hàm giải tích sẽ thuận lợi và dễ dàng hơn so với khảo sát các dãy rời rạc.

1.7.1. Định nghĩa phép biến đổi
Z

Định nghĩa 1.13: Biến đổi Z của dãy tín hiệu
{ }
∞
−∞=
n
nx )(
là hàm phức

( )
∑∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
==
n
n
n
n
znxznxzX
1
)()()(
(1.78)
Miền hội tụ của chuỗi (1.78) là miền xác định của biến đổi Z.
Trường hợp dãy tín hiệu

{}
∞
−∞=
n
nx )(
chỉ xác định với
0≥n
, nghĩa là
() 0,
xn
=

0
n∀ <
,
khi đó biến đổi
Z
của tín hiệu này được gọi là biến đổi một phía.
Ví dụ 1.28: Tìm biến đổi
Z
cúa tín hiệu
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤<∞−
=
30

32
)(
n
n
nx
n
nÕu
nÕu

Giải:
∑∑∑
−
−∞=
−
−∞=
−
∞
−∞=
−
++++===
1
23
3
21
248
2)()(
n
nn
n
nn

n
n
z
z
zz
zznxzX
.
Đổi
nm −=
vào chuỗi cuối cùng vế phải ở trên ta được:

,
2
2
2
1
1
2
2121
01
1
z
z
z
zz
m
m
m
mm
n

nn
−
=
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=+=+
∑∑∑
∞
=
∞
=
−
−
−∞=
−
với
2<z
.
Vậy
zz
zz
zX
−
+++=

2
2248
)(
23
với
20 << z
.
1.7.2. Miền xác định của biến đổi
Z

Để tìm miền xác định của phép biến đổi
Z
ta có thể áp dụng tiêu chuẩn Cauchy hoặc tiêu
chuẩn D'Alembert (định lý 1.14, công thức (1.62)).
Ta tách chuỗi vô hạn hai phía thành tổng của 2 chuỗi:

( )
)()()()()(
21
1
zXzXznxznxzX
n
n
n
n
+===
∑∑
∞
−∞=
−

∞
−∞=
−
.
trong đó
()
∑
∞
=
−
=
0
1
1
)()(
n
n
znxzX
,
( )
∑∑
∞
=
−
−∞=
−
−==
1
1
1

2
)()()(
m
m
n
n
zmxznxzX
(đặt
nm −=
).
Có hai tiêu chuẩn sau về miền xác định của
)(zX
.
♦ Tiêu chuẩn D'Alembert
Nếu

)(
)1(
lim
nx
nx
r
n
+
=
∞→
và
)1(
)(
lim

1
+
=
∞−→
nx
nx
R
n
(2.79)
Chương 1: Hàm biến số phức

44
thì
)(
zX
xác định khi
Rzr <<
.
♦ Tiêu chuẩn Cauchy
Nếu

n
n
nxr )(lim
∞→
=
và
n
n
nx

R
−
∞−→
= )(lim
1
(2.80)
thì
)(
zX
xác định khi
Rzr <<
.
Trong ví dụ 1.28:
3,0)( >∀= nnx

0=⇒ r
.
2
1
2
2
)1(
)(
3,2)(
1
==
+
⇒≤∀=
+
n

n
n
nx
nx
nnx

hoặc
20,
2
1
2)( =⇒<∀==
−
−
Rnnx
n
n
n

Vậy biến đổi
Z
có miền xác định
20 << z
.
Ví dụ 1.29: Tìm biến đổi
Z
của tín hiệu xác định bởi
n
nx
⎟
⎠

⎞
⎜
⎝
⎛
=
4
3
)(
.

()
∑∑
∞
=
∞
=
−
−
=
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠

⎞
⎜
⎝
⎛
=
00
1
1
34
4
4
3
1
1
4
3
4
3
)(
n
n
n
n
n
z
z
z
z
zzX
, với

1
4
3
<
z
hay
4
3
>z
.

() ()
∑∑∑
∞
=
−
−∞=
−
−
−
−∞=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==
1
1
1
1
1
2
4
3
4
3
)()(
m
m
n
n
n
n
n
z
zznxzX
(đặt
nm −=
)

z
z
z
z
z
m
m
34
3
1
34
4
1
4
3
1
1
1
4
3
0
−
=−
−
=−
−
=−
⎟
⎠
⎞

⎜
⎝
⎛
=
∑
∞
=
, với
1
4
3
<
z
hay
3
4
<z
.
Vậy
()()
zz
z
z
z
z
z
zX
3434
7
34

3
34
4
)(
−−
=
−
+
−
=
, với
3
4
4
3
<< z
.
Ta cũng thấy rằng
4
3
4
3
lim)(lim =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==

∞→∞→
n
n
n
n
n
nxr
.

3
4
4
3
4
3
lim
4
3
lim)(lim =⇒=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜

⎝
⎛
=
∞→
−
−
∞−→
−
∞−→
Rnx
n
n
n
n
n
n
n
n
.
1.7.3. Biến đổi
Z
ngược
Theo định lý 1.19, mỗi hàm phức
)(zX
giải tích trong hình vành khăn
Rzr <<
,
(
∞≤<≤ Rr0
) đều có thể khai triển thành chuỗi Laurent:

Chương 1: Hàm biến số phức

45
∑
∞
−∞=
=
n
n
n
zczX )(
với
1
1()
2
n
n
C
Xz
cdz
iz
π
+
=
∫v
,
C
là đường cong kín bao quanh gốc
O
và nằm trong hình vành khăn

Rzr <<
.
Đặt
n
cnx
−
=)(
thì
∑
∞
−∞=
−
=
n
n
znxzX )()(
với
1
1
() ()
2
n
C
x nzXzdz
i
π
−
=
∫v
. (2.81)

Theo (2.81)
{}
∞
−∞=n
nx )(
xác định duy nhất bởi
)(zX
được gọi là biến đổi ngược của biến
đổi
Z
của
)(zX
.
Tương tự khai triển Laurent, do tính chất duy nhất của khai triển hàm số giải tích trong hình
vành khăn
Rzr <<
thành tổng của chuỗi lũy thừa nên ta có thể sử dụng phương pháp tính trực
tiếp theo công thức (2.81) hoặc các phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa để tìm biến đổi
ngược của phép biến đổi
Z
.
Ví dụ 1.30: Hàm
2
2
1
22 1
2
()
1
73

273 3
2
2
22
zz
Xz
zz z
z
zz
−
++
== =+
− +−
⎛⎞
−
−+
⎜⎟
⎝⎠
giải tích tại mọi
1
,3
2
z ≠
. Vì vậy ta có thể tìm biến đổi ngược trong 3 miền sau:
a. Miền
1
2
z <
:
0

11
000
11 1 1 1
() 2 2 2
12 3 3 3 3
31
3
n
nn n n n n
nn n
nnn n
z
X zzzz
z
z
∞∞∞
−−
+−+
=== =−∞
−
⎛⎞⎛ ⎞
=+ = − = − = −
⎜⎟⎜ ⎟
−
⎛⎞
⎝⎠⎝ ⎠
−
⎜⎟
⎝⎠
∑∑∑ ∑

Vậy
1
1
20
()
3
00
n
n
n
xn
n
−
−+
⎧
−−∞<≤
⎪
=
⎨
⎪
>
⎩
nÕu
nÕu
.
b. Miền
1
3
2

z<<
:
0
1
001
111 1
() 2 2 3
1
233
21 31
23
n
nn nn n n
n
nnnn
z
X zzzz
z
z
z
z
∞∞∞
− −−−−−
====−∞
−−−
=+= −=−−
⎛⎞⎛⎞
−−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

∑∑∑∑
.
Vậy
1
30
()
20
n
n
n
xn
n
−
−
⎧
−−∞<≤
⎪
=
⎨
−>
⎪
⎩
nÕu
nÕu
.