Tài liệu Chương 7: Chuyển động tổng hợp của điểm pdf

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (220.46 KB, 14 trang )

-85-
Chơng 7
Chuyển động tổng hợp của điểm
7.1. Chuyển động tuyệt đối, chuyển động tơng đối và
chuyển động kéo theo.
Chuyển động tổng hợp của điểm là chuyển động đợc tạo thành khi điểm
tham gia hai hay nhiều chuyển động đồng thời. Ta xét bài toán trong mô hình
sau đây : Khảo sát chuyển động của điểm M trên hệ toạ độ động o
1
x
1
y
1
z
1
gắn
trên vật A. Vật A lại chuyển động
trong hệ toạ độ cố định oxyz (xem
hình 7.1).
x
y
z
O
x
1

y
1

z

1

M
A
r
r
o

z
1

o
1

y
1

x
1

k
1

j
1

i
1

Chuyển động của điểm M so

với hệ cố định oxyz gọi là chuyển
động tuyệt đối. Vận tốc và gia tốc của
chuyển động tuyệt đối ký hiệu là :
a
v
r

và
a
w
r
.
Hình 7.1
Chuyển động của điểm M so với hệ động o
1
x
1
y
1
z
1
gọi là chuyển động
tơng đối ký hiệu là
và .
r
v
r
r
w
r

Chuyển động của hệ động (vật A) so với hệ cố định oxyz gọi là chuyển
động kéo theo. Vận tốc và gia tốc của điểm thuộc vật A ( hệ động ) bị điểm M
chiếm chỗ ( trùng điểm ) trong chuyển động kéo theo là vận tốc và gia tốc kéo
theo của điểm M và ký hiệu là :
e
v
r
và
e
w
r
.
Nh vậy chuyển động tuyệt đối của điểm M là chuyển động tổng hợp của
hai chuyển động tơng đối và kéo theo của nó.
Thí dụ : Con thuyền chuyển động với vận tốc
u
r
so với nớc. Dòng nớc
chảy với vận tốc
v
r
so với bờ sông. ở đây chuyển động của con thuyền so với bờ
sông là chuyển động tuyệt đối . Chuyển động của con thuyền so với mặt nớc là
chuyển động tơng đối với vận tốc
.uv
r
rr
=
Chuyển động của dòng nớc so với

-86-
bờ là chuyển động kéo theo, vận tốc của chuyển động kéo theo
.
vv
e
rr
=
Theo định nghĩa trên ta thấy, để xét chuyển động tơng đối ta xem hệ
động nh cố định. Khi đó phơng trình chuyển động viết dới dạng véc tơ nh
sau :
11111111
kzjyixMOr
rrr
r
r
++==
. (7-1)
ở đây
1
i
r
,
1
j
r
,
1
k
r
là các véc tơ đơn vị trên các hệ động. Khi xét chuyển

động tơng đối nh ở trên đã nói các véc tơ
1
i
r
,
1
j
r
,
1
k
r
đợc xem nh không đổi.
Còn các toạ độ x
1
, y
1
, z
1
là các hàm của thời gian.
x
1
= x
1
(t) ; y
1
= y
1
(t) ; z
1

= z
1
(t).
Muốn xét chuyển động kéo theo của điểm ta chỉ cần cố định nó trong hệ
động khi đó phơng trình chuyển động của M so với hệ cố định oxyz là phơng
trình chuyển động kéo theo. Ta có :
111111010
kzjyixrrrOMr
rrr
rrrr
+++=+==
(7-2).
Trong phơng trình (7.2) vì ta cố định điểm trong hệ động nên các toạ độ
x
1
, y
1
, z
1
là không đổi, còn
1
i
r
,
1
j
r
,
1
k

r
là các véc tơ biến đổi theo thời gian.
)t(rr
00
rr
=
;
)t(ii
rr
=
;
)t(jj
rr
=
;
)t(kk
rr
=
.
7.2. Định lý hợp vận tốc.
Xét điểm M chuyển động tơng
đối trong hệ động o
1
x
1
y
1
z
1
với vận tốc

; Hệ động chuyển động trong hệ cố
định oxyz kéo theo điểm M chuyển
động với vận tốc kéo theo
(xem hình
7-2). Để xác định vận tốc tuyệt đối ta
thiết lập phơng trình chuyển động
tuyệt đối của điểm M. Ta có :
r
v
r
e
v
r

r
o

r
a

x
y
z
O
x
1

y
1

z
1

M
c
1

c
2

v
e

v
r

v
1

r
o
1

Hình 7.2
111111010
kzjyixr)t(rrr
rrr
rrrr

+++=+=
(7-3)

-87-
Phơng trình này giống phơng trình (7-2) nhng cần lu ý là mọi tham
số của phơng trình đều là các hàm của thời gian.
Đạo hàm bậc nhất theo thời gian phơng trình (7-3) ta đợc :

++

+++==
1
1
1
1
1
1
111

0
a
k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
dt
kd
z
dt
jd
y
dt
id
x
dt
rd
dt
rd
v
rrr
rrr
r
r
r

Trong kết quả tìm đợc, nhóm số hạng thứ nhất

+++
dt
kd
z
dt
jd
y
dt
id
x
dt
rd
111
0
rrr
r

chính là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của phơng trình (7-2) (phơng
trình chuyển động kéo theo ) là vận tốc kéo theo
e

v
r
.
Nhóm các số hạng còn lại :

+
1
1
1
1
1
1
k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
rrr

là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của phơng trình (7.1) (phơng trình
chuyển động tơng đối ) do đó đợc thay thế bằng vận tốc tơng đối

r
v
r
.
Thay các kết quả vừa tìm đợc vào vận tốc tuyệt đối ta đựơc :
rea
vvv
rrr
+=
.
Định lý 7.1 : Trong chuyển động tổng hợp của điểm vận tốc tuyệt đối
bằng tổng hình học vận tốc kéo theo và vận tốc tơng đối :

rea
vvv
rrr
+=
. (7-4)
7.3. Định lý hợp gia tốc
Để thiết lập biểu thức của gia tốc tuyệt đối ta đạo hàm bậc hai theo thời
gian phơng trình chuyển động tuyệt đối của điểm (phơng trình 7.3). Ta có :

++

+++===
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1

2
0
2
a
2
a
k
dt
zd
j
dt
yd
i
dt
xd
dt
kd
z
dt
jd
y
dt
id
x
dt
rd
dt
vd
dt
rd

w
rrr
rrr
r
r
r
r

-88-

++
dt
kd
dt
dz
dt
jd
dt
dy
dt
id
dt

dx
2
111111
rrr

Trong kết quả tìm đợc nhóm các số hạng thứ nhất :

+++
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
0
2
dt
kd
z

dt
jd
y
dt
id
x
dt
rd
rrr
r

là đạo hàm bậc hai theo thời gian của phơng trình (7.2) ( phơng trình
chuyển động kéo theo ) có thể thay bằng gia tốc kéo theo
e
w
r
.
Nhóm các số hạng thứ hai :

+
1
2
1

2
1
2
1
2
1
2
1
2
k
dt
zd
j
dt
yd
i
dt
xd
rrr

là đạo hàm bậc hai theo thời gian của phơng trình (7.1) ( phơng trình
chuyển động tơng đối ) có thể thay bằng gia tốc tơng đối
r
w
r
.
Nhóm các số hạng còn lại :

+
dt
kd
dt
dz
dt
jd
dt
dy
dt
id
dt
dx
2
111111
rrr

đợc gọi là gia tốc quay hay gia tốc Koriolit ký hiệu là
.
k
w
r
Thay các kết quả tìm đợc vào biểu thức của gia tốc tuyệt đối ta đợc :
krea
wwww

rrrr
++=
.
Ta đi đến định lý sau đây gọi là định lý hợp gia tốc.
Đinh lý 7.2 : Trong chuyển động tổng hợp của điểm gia tốc tuyệt đối bằng
tổng hình học của gia tốc kéo theo, gia tốc tơng đối và gia tốc Koriolit.
krea
wwww
rrrr
++=
. (7.5)
7.4. Gia tốc Koriolit.
Gia tốc Koriolit
k
w
r
đợc xác định theo biểu thức :

+=
dt
kd
dt
dz

dt
jd
dt
dy
dt
id
dt
dx
2w
111111
k
rrr
r

-89-
Khi hệ động có chuyển động quay thì các véc tơ đơn vị
1
i
r
,
1
j
r
,
1
k
r
sẽ quay
theo khi đó đạo hàm của nó theo thời gian khác không. Trong trờng hợp hệ

động không tham gia chuyển động quay thì các đạo hàm của nó sẽ bằng không
và do đó gia tốc Koriolit sẽ không có vì vậy gia tốc này còn đợc gọi là gia tốc
quay. Gia tốc Koriolit biểu diễn ảnh hởng chuyển động quay của hệ động đến
gia tốc của điểm.
Nếu vận tốc góc của hệ động (vận tốc góc kéo theo ) là
thì khi hệ động
quay quanh trục o
e

1
với vận tốc góc
e
thì đạo hàm bậc nhất theo thời gian của
các véc tơ đơn vị
1
i
r
,
1
j
r
,
1
k
r
chính là vận tốc đầu mút của chúng trong chuyển
động quay quanh trục o
1
. (xem hình 7.3).
z