Chuyển động tổng hợp của điểm

-85Chơng 7
Chuyển động tổng hợp của điểm
7.1. Chuyển động tuyệt đối, chuyển động tơng đối và
chuyển động kéo theo.

Chuyển động tổng hợp của điểm là chuyển động đợc tạo thành khi ®iĨm
tham gia hai hay nhiỊu chun ®éng ®ång thêi. Ta xét bài toán trong mô hình
sau đây : Khảo sát chuyển động của điểm M trên hệ toạ độ động o1x1y1z1 gắn
trên vật A. Vật A lại chuyển động
z

trong hệ toạ độ cố định oxyz (xem
hình 7.1).

z1

A

Chuyển động của điểm M so

k1
r

với hệ cố định oxyz gọi là chuyển
động tuyệt đối. Vận tốc và gia tốc của
r
chuyển động tuyệt ®èi ký hiƯu lµ : v a
r
vµ w a .

y1

M

z1

j1 x1
o1
i1 y1

ro
O

x1

y

x

Hình 7.1

Chuyển động của điểm M so với hệ động o1x1y1z1 gọi là chuyển động
r
r
tơng đối ký hiệu là v r và w r .
Chuyển động của hệ động (vật A) so với hệ cố định oxyz gọi là chuyển
động kéo theo. Vận tốc và gia tốc của điểm thuộc vật A ( hệ động ) bị điểm M
chiếm chỗ ( trùng điểm ) trong chuyển động kéo theo là vận tốc và gia tốc kéo
r
r
theo của điểm M vµ ký hiƯu lµ : v e vµ w e .

Nh vậy chuyển động tuyệt đối của điểm M là chuyển động tổng hợp của
hai chuyển động tơng đối và kÐo theo cđa nã.

r
ThÝ dơ : Con thun chun ®éng với vận tốc u so với nớc. Dòng nớc
r
chảy với vận tốc v so với bờ sông. ở đây chuyển động của con thuyền so với bờ
sông là chuyển động tut ®èi . Chun ®éng cđa con thun so víi mặt nớc là
r
r
chuyển động tơng đối với vận tốc v r = u. Chuyển động của dòng nớc so với


-86r
r
bờ là chuyển động kéo theo, vận tốc của chuyển ®éng kÐo theo v e = v .

Theo ®Þnh nghÜa trên ta thấy, để xét chuyển động tơng đối ta xem hệ
động nh cố định. Khi đó phơng trình chuyển động viết dới dạng véc tơ nh
r
r
r
r r
sau :
(7-1)
r1 = O1M = x 1 i1 + y1 j1 + z1k 1 .
r r r
ở đây i1 , j1 , k 1 là các véc tơ đơn vị trên các hệ ®éng. Khi xÐt chun
r r r
®éng t−¬ng ®èi nh− ë trên đà nói các véc tơ i1 , j1 , k 1 đợc xem nh không đổi.

Còn các toạ độ x1 , y1 , z1 là các hàm của thời gian.
x1 = x1(t) ;

y1 = y1(t) ;

z1 = z1(t).

Muèn xÐt chuyển động kéo theo của điểm ta chỉ cần cố định nó trong hệ
động khi đó phơng trình chuyển động của M so với hệ cố định oxyz là phơng
trình chun ®éng kÐo theo. Ta cã :

r
r
r
r
r r r
r = OM = r0 + r1 = r0 + x1 i1 + y1 j1 + z1k 1

(7-2).

Trong phơng trình (7.2) vì ta cố định điểm trong hệ động nên các toạ độ
r r r
x1 , y1 , z1 là không đổi, còn i1 , j1 , k 1 là các véc tơ biến đổi theo thời gian.
r r
r r
r r
r r
r0 = r0 ( t ) ; i = i ( t ) ; j = j ( t ) ; k = k ( t ) .
7.2. Định lý hợp vận tốc.

Xét điểm M chuyển động tơng

z

đối trong hệ động o1x1y1z1 víi vËn tèc
r
v r ; HƯ ®éng chun ®éng trong hệ cố

c2 M
c1

z1

r1 ve

định oxyz kéo theo điểm M chuyển
r
động với vận tốc kéo theo v e (xem hình

r

va

o1

ro

7-2). Để xác định vận tốc tuyệt đối ta

y1

vr

x1

y

O

thiết lập phơng trình chuyển động
tuyệt đối của điểm M. Ta có :
r
r
r
r r r
r
r = r0 + r1 ( t ) = r0 + x 1 i1 + y1 j1 + z1k 1

x

H×nh 7.2
(7-3)


-87Phơng trình này giống phơng trình (7-2) nhng cần lu ý là mọi tham
số của phơng trình đều là các hàm của thời gian.
Đạo hàm bậc nhất theo thời gian phơng trình (7-3) ta đợc :

r

r
r
r
r
d r d r0
di
dj
dk ⎞ ⎛ dx 1 r dy1 r dz1 r ⎞
r
va =
i1 +
j1
k1 ⎟
=⎜
+ x1
+ y1 + z 1 ⎟ +
dt dt
dt
dt
dt dt
dt
dt


Trong kết quả tìm đợc, nhóm số hạng thứ nhất
r
r
r
r
d r0

di
dj
dk


dt + x 1 dt + y1 dt + z1 dt


chính là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của phơng trình (7-2) (phơng
r
trình chuyển động kéo theo ) là vận tốc kéo theo v e .
Nhóm các số hạng còn lại :

dx 1 r dy1 r dz1 r
i1 +
j1
k1

dt
dt
dt
là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của phơng trình (7.1) (phơng trình
r
chuyển động tơng ®èi ) do ®ã ®−ỵc thay thÕ b»ng vËn tèc tơng đối v r .
Thay các kết quả vừa tìm đợc vào vận tốc tuyệt đối ta đựơc :
r
r
r
va = ve + vr .

Định lý 7.1 : Trong chuyển động tổng hợp của điểm vận tốc tuyệt đối
bằng tổng hình học vận tốc kéo theo và vận tốc tơng đối :
r
r
r
va = ve + vr .

(7-4)

7.3. Định lý hợp gia tốc
Để thiết lập biểu thức của gia tốc tuyệt đối ta đạo hàm bậc hai theo thời
gian phơng trình chuyển động tuyệt đối của điểm (phơng trình 7.3). Ta có :

r
r
r
r
r
r
d 2 r dv a ⎛ d 2 r0
d2 i
d2 j
d 2 k ⎞ ⎛ d 2 x 1 r d 2 y1 r d 2 z 1 r ⎞
r
wa =
=
=⎜
+ x 1 2 + y1 2 + z1 2 ⎟ + ⎜ 2 i1 + 2 j1 2 k 1 ⎟
⎟
dt

dt ⎜ dt 2
dt
dt
dt ⎟ ⎜ dt
dt
dt
⎠
⎠ ⎝
⎝


-88-

r
r
r
⎛ dx 1 d i1 dy1 d j1 dz1 dk 1 ⎞
⎟
+ 2⎜
⎜ dt dt + dt dt dt dt


Trong kết quả tìm đợc nhóm các số hạng thứ nhÊt :

r
r
r
r
2
2

2
⎛ d 2 r0
d i
d j
d k⎞
⎜ 2 + x 1 2 + y1 2 + z 1 2
dt
dt
dt
dt


là đạo hàm bậc hai theo thời gian của phơng trình (7.2) ( phơng trình
r
chuyển động kéo theo ) cã thÓ thay b»ng gia tèc kÐo theo w e .
Nhóm các số hạng thứ hai :
d 2 x 1 r d 2 y1 r d 2 z 1 r ⎞
⎜ 2 i1 + 2 j1 2 k 1
dt

dt
dt



là đạo hàm bậc hai theo thời gian của phơng trình (7.1) ( phơng trình
r
chuyển động tơng đối ) có thể thay bằng gia tốc tơng đối w r .
Nhóm các số hạng còn lại :
r

r
r
dx 1 d i1 dy1 d j1 dz1 dk 1 ⎞
⎟
2⎜
⎜ dt dt + dt dt dt dt


r
đợc gọi là gia tèc quay hay gia tèc Koriolit ký hiƯu lµ w k .

Thay các kết quả tìm đợc vào biểu thức của gia tốc tuyệt đối ta đợc :
r
r
r
r
wa = we + wr + wk .
Ta đi đến định lý sau đây gọi là định lý hợp gia tốc.
Đinh lý 7.2 : Trong chuyển động tổng hợp của điểm gia tốc tuyệt đối bằng
tổng hình học của gia tốc kéo theo, gia tốc tơng đối và gia tốc Koriolit.
r
r
r
r
wa = we + wr + wk .

(7.5)

7.4. Gia tèc Koriolit.

r
Gia tèc Koriolit w k đợc xác định theo biểu thức :

r
r
r
dx 1 d i1 dy1 d j1 dz1 dk 1 ⎞
r
⎟
w k = 2⎜
⎜ dt dt + dt dt dt dt ⎟
⎝
⎠


-89r r r
Khi hệ động có chuyển động quay thì các véc tơ đơn vị i1 , j1 , k 1 sẽ quay

theo khi đó đạo hàm của nó theo thời gian khác không. Trong trờng hợp hệ
động không tham gia chuyển động quay thì các đạo hàm của nó sẽ bằng không
và do đó gia tốc Koriolit sẽ không có vì vậy gia tốc này còn đợc gọi là gia tèc
quay. Gia tèc Koriolit biĨu diƠn ¶nh h−ëng chun ®éng quay cđa hƯ ®éng ®Õn
gia tèc cđa ®iĨm.
NÕu vËn tèc gãc cđa hƯ ®éng (vËn tèc gãc kÐo theo ) là e thì khi hệ động
quay quanh trục o1 với vận tốc góc e thì đạo hàm bậc nhất theo thời gian của
r r r
các véc tơ đơn vị i1 , j1 , k 1 chính là vận tốc đầu mút của chúng trong chuyển
động quay quanh trục o1ε. (xem h×nh 7.3).
z

Ta cã :
r
d i1 r r
= ωe × i1
dt
r
r
dk 1 r
= ωe × k 1
dt

r
d j1 r r
= e ì j1
dt



y

A

e
vA

k1
j1
O
i1
x

Thay các kết quả biểu thức trên vào biểu
r
thức của w k ta đợc :

Hình 7.3

r
r
r
dx 1 d i1 dy 1 d j1 dz 1 dk 1 ⎞
r
⎟
w k = 2⎜
+
+
⎜ dt dt
dt dt
dt dt ⎟
⎝
⎠

(

)

(

)

(

r dy r
r dz r
r
⎛ dx r
= 2⎜ 1 ω C x i + 1 ω C x j + 1 ω C x k
⎜ dt
dt
dt
⎝

⎟
)⎞
⎟
⎠

r ⎛ dx r dy r dz r ⎞
r
r
= 2ω e x ⎜ 1 i1 + 1 j1 + 1 k 1 ⎟ = 2ω e × v r
⎟
⎜ dt
dt
dt
⎠
⎝

Nh− vËy gia tèc Koriolit b»ng hai lần tích hữu hớng giữa vận tốc góc kéo
theo và véc tơ vận tốc tơng đối.

-90r
r
r
w k = 2ω e × v r .

( 7.6)

Tõ (7.6) ta có thể xác định độ lớn của gia tèc Koriolit theo biÓu thøc :

w k = 2ω e .v r sin (ω e .v r ) .
Ta thÊy ngay gia tốc Koriolit bằng không trong trờng hợp sau :
- Khi hệ động chuyển động tịnh tiến nghĩa là khi e = 0 ;
- Khi động điểm đứng yên trong hệ
r
động, nghĩa là khi v r = 0 ;

e

- Khi chuyển động tơng đối theo
phơng dọc theo trục quay của chuyển động
r
r
kéo theo nghĩa là khi góc hợp giữa e và v r

wk

r
vr

Hình 7.4

bằng không hoặc bằng 1800 .
Theo (7.6) gia tốc Koriolit có phơng
r
vuông góc với mặt phẳng chứa hai véc tơ e
r
và v r có chiều sao cho khi nhìn từ mút của
r
nó xuống mặt phẳng đó sẽ thấy e quay

vr

Hình 7.4
e

e

M

v'r

wK

ngợc chiều kim đồng hồ ®i mét gãc nhá
r
h¬n 1800 sÏ ®Õn trïng víi v r (xem hình 7.4).
Hình 7.5
Trong thực hành ta có thể xác định

r
phơng chiều của w k nh sau :
r
Chiếu véc tơ vận tốc tơng đối v r lên mặt phẳng vuông góc với trục quay
r
của chuyển động kéo theo. Sau ®ã quay h×nh chiÕu v r ®ã ®i mét gãc 900 theo

chiều quay của e trong mặt phẳng trên (xem hình 7.5) ta sẽ xác định đợc
phơng chiều của gia tốc Koriolit.
Sau đây sẽ giới thiệu một số ví dụ vận dụng các định lý hợp vận tốc và
hợp gia tốc trong chuyển động tổng hợp của điểm.


-91-

ThÝ dơ 7.1: Tay quay OA cđa c¬ cÊu tay quay cu lit quay quanh trục O
vuông góc với mặt phẳng của cơ cấu. Đầu A của tay quay nối bằng khớp bản lề
với con trợt B. Con trợt B có thể trợt trong máng BC của cu lit. Máng BC có
thể chuyển động tịnh tiến lên xuống nhờ rÃnh hớng dẫn
D

E. Xác định vận tốc, gia tốc của máng BC cịng nh− vËn
tèc gia tèc cđa con tr−ỵt so víi cu lit BC.
B

Cho biÕt tay quay cã chun ®éng quay đều với

O

C

A

vận tốc góc n = 120 vòng/phút. Độ dài OA = 1 = 30cm
(xem hình 7.6).

E

Hình 7.6

Bài giải:

Nếu chọn hệ động gắn với cu lit (máng BC) và hệ cố định gắn với trục
quay O thì chuyển động của con trợt A trong máng là chuyển động tơng đối.
Chuyển động của máng tịnh tiến lên xuống là chuyển ®éng kÐo theo cßn chun
®éng cđa A quay quanh O là chuyển động tuyệt đối.
Trớc hết ta có thể xác định đợc vận tốc tuyệt đối và gia tốc tuyệt ®èi
cđa ®iĨm A.
VËn tèc cđa tay quay OA.
ω=

π.n π.120
=
= 4π(rad / s) .
30
30
D

Vị trí của cơ cấu đợc xác định b»ng

C3

B3

gãc quay cña tay quay OA :

A3

ϕ = ωt = 4t (rad).

O
B

Đầu A của tay quay thực hiện chuyển
động tròn tâm O bán kính OA = 1.
Vận tốc của điểm A : Va = ω.1 = 4π.30

B1

r
r
v
wa r e
we
ϕ
r
wr A

A1

E

= 120π ≈ 3,77 m/s.
H×nh 7.7

r
v
r
vr

C1

x


-92r
v a có phơng vuông góc với OA hớng theo chiều quay (xem hình 7.7).
r
v a chính là vận tốc tuyệt đối của điểm A : va = vA.

Vì tay quay quay đều nên gia tốc điểm A chỉ có một thành phần pháp
tuyến.

r
r
wA = wn
A

về độ lớn

wA = ω2.1 = 16π2.1

= 16π2.30 ≈ 4733 cm/s2 ;
= 47,33 m/s2
r
Gia tèc w A cã chiỊu h−íng tõ A vµo O. Gia tốc tuyệt đối của điểm A là
r
wA .

Để tìm vận tốc của máng (vận tốc kéo theo) và vận tốc của con trợt A
trong máng (vận tốc tơng đối) ta áp dụng định lý hợp vận tốc. Ta có :
r
r
r
va = ve + vr
r
r
r
ở đây v a = v A đà biết cả độ lớn và phơng chiều. v e là vận tốc của máng
r
chuyển động tịnh tiến lên xuống do đó có phơng thẳng đứng. Còn v r là vận tốc

của con trợt dọc theo máng BC nên có phơng nằm ngang. Từ định lý hợp vận
r
tốc ta có thể nhận đợc một hình bình hành mà đờng chéo là v a còn hai cạnh là
r
r
r
r
v e và v r . Dễ dàng tìm đợc các véc tơ vËn tèc kÐo theo v e vµ v r nh− trên hình
(7.7). Ta có :
v e = v A .sin ϕ = 3,77.sin 4π.t ( m / s)

v r = v A . cos ϕ = 3,77. cos 4π.t ( m / s)
r
r
Phơng chiều của các vận tốc v e và v r nh hình vẽ.

Để xác định gia tốc kéo theo và tơng đối (gia tốc của máng và gia tốc của
con trợt trong máng) ta áp dụng dịnh lý hỵp gia tèc.


-93r
r
r
r
wa = we + wr + wk .
r
Trong bài toán này hệ động chuyển động tịnh tiến nên w k = 0 ta chØ cßn

biĨu thøc :
r
r
r
wa = we + wr .
r
ở đây gia tốc tuyệt đối đà đợc xác định. Gia tốc kéo theo w e có phơng
r
thẳng đứng còn gia tốc tơng đối w r có phơng năm ngang. Cũng dễ dàng nhận
r
r
thấy các véc tơ gia tốc kéo theo w e và gia tốc tơng đối w r là hai cạnh của hình
r

bình hành nhận gia tốc w a làm đờng chéo (xem hình 7.7). Ta có :

w e = w A . cos ϕ = 47,33. cos 4π.t
w r = w A .sin ϕ = 47,33.sin 4.t

r
r
Phơng chiều của gia tốc w e và w r nh trên hình vẽ 7.7 .

Kết quả trên cho thấy vËn tèc, gia tèc cđa m¸ng BC ( ve, wed ) và vận tốc,
gia tốc con trợt trong máng ( vr , wr ) lµ hµm cđa thêi gian. Ta có thể xác định
chúng tại các vị trí đặc biệt sau :
Khi ϕ1 = 4πt = 0 ta cã ve = 0
We = 47,33 m/s
Khi

;

;

vr = 3,77 m/s
wr = 0

ϕ2 = 4πt = π / 2 ta cã ve = 3,7 m / s
we= 0 m / s

; vr = 0

; wr = 3,77 m / s

ThÝ dô 7.2 : Động điểm M chuyển động bắt đầu từ đỉnh O của nón dọc
theo đờng sinh OC với vận tốc không ®ỉi vr = 24 cm / s . Nãn cịng đồng thời
quay bắt đầu cùng thời điểm xuất phát của điểm M theo quy luật = 0,125t2.
Xác định vận tốc tuyệt đối và gia tốc tuyệt đối của động điểm M tại thời điểm t =
4 giây. (xem hình 7.8). Cho biết góc đỉnh nón là 600.


-94Bài giải
Trong bài toán này chuyển động của điểm M dọc
B

theo đờng sinh OC là chuyển động tơng đối. Nh vậy

z

vận tốc tơng đối của điểm đà biết.

O

r
ve



Vr = 24 cm / s = 0,24 m / s cã ph−¬ng chiỊu tõ O

k

r
va

M

®Õn C.

r
vr

ωe

Chun ®éng quay cđa nãn quanh trơc AB với

C

e

quy luật = 0,125t là chuyển động kéo theo.
2

A

Để xác định đợc vận tốc kéo theo của điểm ta

Hình 7.8

phải xác định vị trí của nó tại thời ®iĨm t1 trªn nãn.
Ta cã OM = vr.t = 24.4 = 96 cm
Khoảng cách từ động điểm tại vị trí ®ang xÐt tíi trơc quay AB lµ :
MK = OM.sin300 = 96.0,5 = 48 cm.

z
B

VËn tèc kÐo theo t¹i thêi ®iĨm t1 lµ :
dϕ
ωe =
= 0,25t
dt

y

Gia tèc gãc trong chun ®éng kÐo theo lµ :

d 2ϕ
= 0,25(rad / s 2 )
2
dt

x

α

víi t = t1 = 4 gi©y

ωet1 = 0,25.4 = 1 rad / s ;

e =

O

k

r
e
r
e
A

wn e

M
vr

we

wk

C

Hình 7.9

Các véc tơ e và e biểu diễn trên hình vẽ (7.9).

r
r
Các véc tơ vận tốc kéo theo v e và vận tốc tơng đối là v r tại thời điểm t1 =
4s đợc biểu diễn trên hình 7.8.
Về độ lớn vận tốc kéo theo xác định đợc :
ve = MK . e = 48,1 cm / s ≈ 0,48 m / s .

-95r
r
r
áp dụng định lý hợp vận tốc ta có : v a = v e + v r

VỊ ®é lín vận tốc tuyệt đối của M tại thời điểm t1 lµ :
2
Va = VM = v e + v 2 = 48 2 + 24 2 = 53,64(cm / s) = 0,5364(m / s) .
r

Để xác định gia tốc tuyệt đối của M, từ định lý hợp gia tốc ta cã :
r
r
r
r
r
wa = wM = we + wr + wk

r
rn rr
Chuyển động kéo theo là chuyển động tròn nên w e = w e + w e .
rn
Trong ®ã : w e cã ph−¬ng chiỊu h−íng tõ M vỊ K (xem hình 7.9), có độ
lớn :

n
2
w e = MK.e = 48.1 = 48(cm / s 2 ) .

rr
r
w e cã phơng chiều trùng với phơng chiều v e có độ lín :
r
2
w e = MK.ε e = 48.0,25 = 12(cm / s 2 ) .

r
Gia tốc tơng đối w r trong trờng hợp này bằng không còn gia tốc
r
Koriolit w k có phơng chiều nh trên hình vẽ. Có độ lín :

wk = 2ωe . vr .sin300 = 2.1.24.0,5 = 24 (cm / s2) .
ChiÕu biĨu thøc trªn lªn hai trục Mxy nh trên hình ta có :
wx = wer + wk = 12 + 24 = 36 cm / s2 = 0,36 m/ s2.
wy = wen = 48 cm / s2 = 0,48 m / s2.
Gia tèc tut ®èi cđa ®iĨm

w M = w 2 + w 2 = 36 2 + 482 = 60c(cm / s 2 ) .
x
y
Phơng và chiều của wM có thể xác định bằng các góc chỉ phơng xác
định nh sau :
cos(w M x ) =

wx
wM

= 0,6

;

cos(w M y ) =

wy
wM

= 0,8

ThÝ dô 7.3. : Cơ cấu điều chỉnh ly tâm biểu diễn nh hình vẽ 7.10. Tại


-96thời điểm đang xét quả cầu quay quanh điểm treo O cïng víi thanh OM víi vËn
tèc gãc vµ gia tèc gãc ω1 = 2 rad / s vµ ε1 = 0,2 rad / s2. Cơ cấu quay quanh trục
thẳng ®øng víi vËn tèc gãc vµ gia tèc gãc ω2 =4 rad / s vµ ε2 = o,8 rad / s2. Xác
định vận tốc tuyệt đối và gia tốc tuyệt đối của quả cầu M tại thời điểm đó. Cho
biết kích thớc của cơ cấu tại vị trí đang xét lµ :
l = 40 cm

;

e = 5 cm

;

α = 300.

Bµi giải

Trong bài toán này, chuyển động của cơ cấu quay

quanh trục thẳng đứng là chuyển động kéo theo. Vận tốc gãc
kÐo theo ωe = ω2 = 4 rad / s và gia tốc góc trong chuyển động
kéo theo là e = ε2 = 0,8 rad / s .

ω2
ε2

l
l
α

ze e
o ω1

ε1

C R

2

ve
M

vM = vA
vr

Chuyển động của quả cầu M quay quanh O là chuyển
động tơng đối.Vận tốc góc trong chuyển động tơng đối là

Hình 7.10

r = 1 = 2 rad / s và gia tốc góc trong chuyển động tơng đối
là r = 1 = 0,2 rad / s2.
Quỹ đạo chuyển động tơng đối của M là đờng tròn bán kính 1 và tâm 0
Quỹ đạo chuyển động kéo theo của M là đờng tròn nằm trong mặt phẳng
vuông góc với trục quay AB và có bán kính :
CM = R = e+1sin300 = 5+40.0,5 = 25 cm.
VËn tèc tut ®èi của điểm M đợc xác định nh sau :
r
r
r
r
va = vM = ve + vr ;
ve = R.ωe = 25.4 = 100 cm / s
ve cã ph−¬ng tiÕp tun víi quỹ đạo của chuyển động kéo theo , hớ theo
chiều quay cđa c¬ cÊu ; Vr tiÕp tun víi q đạo của chuyển động tơng đối có
nghĩa là vuông


-97gãc víi thanh OM h−íng theo chiỊu quay cđa ωr , cã trÞ sè Vr = l.ωr =
40.2 = 80 cm/s
r
r
Nh vậy hai véc tơ v e và v r vuông góc với nhau vì vậy độ lớn vận tốc

tuyệt đối xác định đợc :
2
v M = v e + v 2 = 100 2 + 80 2 = 128(cm / s) .
r

Phơng chiều của VM xác định nh trên hình vẽ 7.10.
Vì chuyển động tơng đối và chuyển động kéo theo đều là chuyển động
tròn nên biểu thức gia tèc tut ®èi cđa ®iĨm M ta cã thĨ viÕt :
r
r
r
r
r
r
w M = w r e + w n e + w k + w rr + w n .
(a)
r
Sau đây xác định độ lớn và phơng chiều của các thành phần gia tốc ở vế phải .
Wet = R . εe = 25 . 0,8 = 20 cm / s2 . Wet cïng ph−¬ng chiỊu víi vËn tèc
kÐo theo .
rn
w e = R. ω22 = 25.16 = 400cm/s2. H−íng tõ M vµo C
wrr = 1 . εr = 40 . 0,2 = 8 cm / s2.
wrn = 1 . ω2r = 40 . 4 = 160 cm / s2.

r
w rr h−íng theo chiỊu cđa vr .
r
w n h−íng tõ M vµo O
r

wk = 2ωe . vr sin(ωetvr) = 2 . 4. 80 .0,866 = 554 cm / s2
r r
ë ®©y gãc < (ωe , v r ) = 60 0
nên sin(e,vr) = 0,866.

r
Phơng chiều của w k xác định theo phơng pháp
thực O hành sẽ tìm thấy nh ở hình vẽ (7.11) .
r
Để xác định gia tốc tuyệt đối w M ta chiếu phơng
trình (a) lên 3 trục xyz chọn nh hình vẽ.

r
r
e
e
C

O
Z


wn r

wtc

Kết quả chiếu lên các trục thu đợc :wx = - wk - wen = -

wr

y

wn e
R

M
x

rr
r
Với cách chọn hệ trục trên ta thấy gia tốc w k và w e
rn
r
r
nằm trên trục x các gia tốc w e , w rr , w n năm trong mặt
r
phẳng yMz.

wK

Hình 7.11


-98554 - 20 = -574 cm / s2.
wy = wer . cos300 - wrn . sin300 - wen ;
= 8 . 0,866 - 160 . 0,5 - 400 = -473 cm / s2 ;
Cuèi cïng ta cã :
wM = w2 + w2 + w2 =
x
y
z

(− 574 )2 + (− 473)2 + (142 )2

=

= 869 cm / s2 = 8,69 m / s2
Để xác định phơng chiều của M ta phải xác định các góc chỉ phơng của
chúng đối với các trôc :
cos(w M x ) =
cos(w M z ) =

wx
wM
wz
wM

− 574
=
869
=

142
.
869

; cos(w M y ) =

wy
wM

=

− 473
869