Mô hình tính toán song song giải các bài toán biên phức tạp dựa trên tư tưởng chia miền.pdf

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN





Cao Thị Anh Thư




Mô hình tính toán song song giải các bài toán biên phức tạp dựa
trên tư tưởng chia miền

Chuyên ngành: Khoa học máy tính
Mã số: 60.48.01


Luận văn thạc sỹ Khoa học máy tính

Người hướng dẫn Khoa học:
TS. Vũ Vinh Quang

Thái Nguyên - 2009





Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
MỤC LỤC
ĐẶT VẤN ĐỀ ....................................................................................................... 2
Chương 1: Các kiến thức cơ bản về giải số phương trình đạo hàm riêng....... 4
1.1 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN.......................................................................
4
1.2 THUẬT TOÁN THU GỌN KHỐI LƯỢNG TÍNH TOÁN..........................
6
1.2.1 Bài toán biên thứ nhất..............................................................................
6
1.2.2 Bài toán biên thứ hai................................................................................
12
1.3 ÁP DỤNG ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC.....................................
15
1.3.1 Bài toán biên Dirichlet.............................................................................
15

1.3.2 Bài toán biên hỗn hợp..............................................................................
16
1.4 PHƯƠNG PHÁP LẶP VÀ CÁC SƠ ĐỒ LẶP CƠ BẢN..............................
18
1.4.1 Không gian năng lượng............................................................................
18
1.4.2 Phương pháp lặp giải phương trình toán tử............................................
19
Chương 2: Cơ sở Toán học của phương pháp chia miền.................................. 27
2.1 CÔNG THỨC ĐA MIỀN VÀ PHƯƠNG TRÌNH STEKLOV- POICARE..
28
2.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN CƠ SỞ..................................................
30
2.2.1 Phương pháp Dirichlet-Neumann............................................................
30
2.2.2 Phương pháp Neumann-Neumann............................................................
31
2.2.3 Phương pháp Robin..................................................................................
31
2.3 MỘT SỐ THUẬT TOÁN CHIA MIỀN.......................................................
33
2.3.1 Thuật toán chia miền Patrick Le Talle. ...................................................
33
2.3.2 Thuật toán chia miền J.R.Rice, E.A. Vavalis, Daopi Yang......................
35
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2.3.3 Thuật toán chia miền Saito-Fujita............................................................
37
2.3.4 Phương pháp DQuangA-VVQuang..........................................................
38

2.3.5 Phương pháp chia miền giải bài toán biên gián đoạn mạnh ..................
40
Chương 3: Mô hình tính toán song song giải bài toán Elliptic dựa trên chia
miền .......................................................................................................................

43
3.1 CÁC BƯỚC LẶP TRÊN NHIỀU MIỀN CON.............................................
43
3.2 MÔ HÌNH TÍNH TOÁN SONG SONG GIẢI BÀI TOÁN BIÊN GIÁN
ĐOẠN MẠNH........................................................................................................

45
3.2.1.Hướng tiếp cận hiệu chỉnh đạo hàm........................................................
46
3.2.2. Hướng tiếp cận hiệu chỉnh hàm...............................................................
47
3.3. CÁC KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM...............................................................
49
3.4. ỨNG DỤNG MÔ HÌNH SONG SONG GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC..........
51
3.4.1 Sơ đồ song song theo hướng hiệu chỉnh đạo hàm ...................................
53
3.4.2 Sơ đồ song song theo hướng hiệu chỉnh hàm ..........................................
57
3.4.3 Các kết quả thực nghiệm..........................................................................
60
NHẬN XÉT KẾT LUẬN......................................................................................
63
DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN
VĂN .......................................................................................................................

64
TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................................
65
PHỤ LỤC...............................................................................................................
68



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1
LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu và thực hiện luận văn thạc sỹ chuyên
ngành Khoa học máy tính, đến nay luận văn :"Mô hình tính toán song song
giải các bài toán biên phức tạp dựa trên tư tưởng chia miền" của tôi đã được
hoàn thiện và đầy đủ. Để có được kết quả như mong muốn tôi luôn nhận được
sự quan tâm, chỉ bảo sự giúp đỡ từ thầy giáo hướng dẫn: Tiến sĩ Vũ Vinh
Quang - Phó trưởng Khoa Công nghệ thông tin- Đại học Thái Nguyên. Nhân
dịp này tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn của mình tới các thầy giáo, các vị
giáo sư của Viện Công nghệ Thông tin, các thầy cô giáo thuộc Khoa Công
nghệ thông tin - Đại học Thái Nguyên đã truyền đạt những kiến thức bổ ích
cho các học viên cao học khoá 6 nơi tôi được học tập và nghiên cứu trong
suốt 2 năm qua. Tôi xin bày tỏ tình cảm và lời cảm ơn chân thành nhất tới các
đồng nghiệp Viễn thông Thái Nguyên, tới bạn bè người thân và gia đình đã
khích lệ, động viên, giúp đỡ tôi trong thời gian qua.
Một lần nữa tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo Vũ Vinh
Quang đã hướng dẫn, tạo điều kiện để tôi được học tập và nghiên cứu hoàn
thiện luận văn của mình.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 30 tháng10 năm 2009.
Học viên

Cao Thị Anh Thư




Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2
ĐẶT VẤN ĐỀ
Lý thuyết về phương pháp chia miền đã được phát triển trong vòng 20
năm qua, xuất phát từ công thức đa miền và phương trình biên chung Steklov-
Poincare, các phương pháp chia miền được phát triển từ các sơ đồ lặp cơ bản
như: Sơ đồ Dirichlet-Neumann, sơ đồ Neumann-Neumann và sơ đồ Robin
được nghiên cứu bởi tác giả trên thế giới. Có thể thấy cơ sở của các phương
pháp đều xuất phát từ giá trị điều kiện trên biên phân chia từ đó xây dựng các
sơ đồ lặp dạng hai lớp đối với phương trình toán tử. Việc nghiên cứu tính chất
hội tụ của các sơ đồ lặp sử dụng kết quả của các không gian Sobolev và toán
tử Steklov-Poincare.
Nội dung chính của luận văn là trên cơ sở của lý thuyết chia miền,
luận văn đề xuất mô hình tính toán song song giải quyết các bài toán với điều
kiện biên rất phức tạp trên tư tưởng chia miền, tiến hành cài đặt thử nghiệm
mô hình đồng thời ứng dụng mô hình song song giải quyết một bài toán trong
môi trường vật lý bán dẫn. Luận văn cấu trúc gồm 3 chương:
Chương 1: Đưa ra cơ sở về phương pháp lưới, thuật toán thu gọn khối
lượng tính toán giải phương trình lưới và cơ sở lý thuyết về các sơ đồ lặp tổng
quát.
Chương 2: Trình bày tóm tắt cơ sở toán học về phương pháp chia

miền, các sơ đồ lặp cơ bản trong phương pháp chia miền. Một số phương
pháp chia miền của các tác giả trên thế giới và đặc biệt là các sơ đồ lặp trên tư
tưởng hiệu chỉnh hàm hoặc đạo hàm trên biên phân chia của các tác giả Việt
Nam và Nhật Bản, phương pháp chia miền đối với bài toán biên gián đoạn
mạnh.
Chương 3: Trên cơ sở của các sơ đồ lặp theo hướng hiệu chỉnh hàm và
đạo hàm, luận văn đề xuất sơ đồ tính toán song song dựa trên tư tưởng hiệu

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

3
chỉnh hàm hoặc đạo hàm, tiến hành tính toán bằng số so sánh hai sơ đồ tính
toán song song và đồng thời áp dụng phương pháp song song giải quyết một
bài toán cơ học được các tác giả trên thế giới quan tâm.
Các kết quả lý thuyết được kiểm tra bằng các chương trình thực
nghiệm lập trình trong môi trường MATLAB trên máy tính PC.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4
Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI SỐ PHƢƠNG
TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức liên quan đến
việc giải số phương trình đạo hàm riêng bao gồm cơ sở của phương pháp lưới,
thuật toán thu gọn khối lượng tính toán và lý thuyết về phương pháp lặp giải
phương trình toán tử. Những kiến thức cơ sở và kết quả được tham khảo từ
các tài liệu [ 5, 10, 16, 21].
1.1 Phƣơng pháp sai phân
Lƣới sai phân:
Xét bài toán
,,
,.
u f x
u g x
  



 

(1.1)
trong đó
 
2
( , ) , ,x y R a x b c y d      
, chọn 2 số nguyên
>1N
và
>1M
, đặt
= ( ) /h b a N
gọi là bước lưới theo
x
,
= ( ) /k d c M
gọi là
bước lưới theo
y
. Đặt
= , = , 0.. , 0.. .
ij
x a ih y c jk i N j M   
Mỗi điểm
( , )
ij
xy
gọi là một nút lưới ký hiệu là nút

( , )ij
. Tập tất cả các nút trong ký
hiệu là
hk

. Nút ở trên biên

gọi là nút biên; tập tất cả các nút biên ký hiệu
là
hk

, tập
=
hk hk hk
   
gọi là một lưới sai phân trên

.
Hàm lƣới: Mỗi hàm số xác định tại các nút của lưới gọi là một hàm
lưới, giá trị của hàm lưới
( , )u x y
tại nút lưới
( , )ij
viết tắt là
,ij
u
. Mỗi hàm
( , )u x y
xác định tại mọi
( , )xy

tạo ra hàm lưới
u
xác định bởi
,ij
u
.
Bài toán sai phân: Ký hiệu
Lu f
là tập các hàm số hai biến
,xy
có
các đạo hàm riêng đến cấp
m
liên tục trong
= 
Giả sử bài toán có
nghiệm
4
()uC
, khi đó:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

5
4
1
( , )
4
| ( , )| =
xy

u
max x y C const
x




,
4
2
( , )
4
| ( , )| =
xy
u
max x y C const
y




.
Do đó theo công thức Taylor ta có:
1
( , ) = ( ) ,
i j i j
u x y u x h y



2 2 3 3
4
23
= ( , ) ( )
2! 3!
ij
u h u h u
u x y h o h
x x x
  
   
  
hay
2
11
2
22
( , ) 2 ( , ) ( , )
= ( )
i j i j i j
u x y u x y u x y
u
oh
hx






Một cách tương tự:
1
( , ) = ( , )
i j i j
u x y u x y k



2 2 3 3
4
23
= ( , ) ( )
2! 3!
ij
u k u k u
u x y k o k
y y y
  
   
  

1
( , ) ( , )
i j i j
u x y u x y k



2 2 3 3
4

23
= ( , ) ( )
2! 3!
ij
u k u k u
u x y k o k
y y y
  
   
  

Do đó:
2
11
2
22
( , ) 2 ( , ) ( , )
= ( )
i j i j i j
u x y u x y u x y
u
ok
ky






Vậy ta có:

1 1 1 1
22
22
( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , )
=
()
i j i j i j i j i j i j
u x y u x y u x y u x y u x y u x y
hk
u o h k
   
   

  

Ta đặt:
1, , -1, , 1 , , -1
22
- 2 - 2 -1
i j i j i j i j i j i j
hk
u u u u u u
u
hk


  

Khi đó chứng tỏ:
22

= ( )
kh
u u o h k   


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

6
Số hạng
22
O(h +k )
là một vô cùng bé bậc hai. Ta nói toán tử
kh

xấp xỉ
toán tử , điều đó cho phép

thay phương trình vi phân bằng phương trình sai
phân:
= , = ( , ), ( , )
hk ij ij i j i j hk
u f f f x y x y 

tức là:
1, , 1 , 1 , ,
22
2 2 1
( , ), ( , )
i j i j i j i j i j i j
i j i j hk

u u u u u u
f x y x y
hk
  
    
  
(1.2)
đồng thời thay điều kiện biên bằng điều kiện:

( , ), ( , )
ij i j i j hk
u g x y x y 
(1.3)
Ta được bài toán sai phân hoàn chỉnh: tìm hàm lưới
u
tại các nút
( , )ij

thoả mãn hệ phương trình sai phân (1.2) với điều kiện biên (1.3). Như vậy
việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán vi phân (1.1) với độ chính xác cấp hai
được đưa về việc giải bài toán sai phân (1.2) với điều kiện (1.3) bằng các
phương pháp đại số.
1.2 Thuật toán thu gọn khối lƣợng tính toán
Được đề xuất bởi Samarski-Nicolaev.
Bằng các phép biến đổi đơn giản về vec tơ và ma trận, các bài toán sai
phân luôn luôn được đưa về hệ phương trình vec tơ 3 điểm thuộc một trong
các dạng sau đây:
1.2.1 Bài toán biên thứ nhất
Xét bài toán biên thứ nhất đối với phƣơng trình véc tơ ba điểm

11
=
j j j j
Y CY Y F

  
,
11jN  
,
00
=YF
,
=
NN
YF
. (1.4)
Trong đó
j
Y
là véc tơ cần tìm,
C
là ma trận vuông,
j
F
là véc tơ cho
trước. ý tưởng của phương pháp rút gọn hoàn toàn giải (1.1) là khử liên tiếp
các ẩn
j
Y
đầu tiên với các

j
lẻ, sau đó từ các phương trình còn lại khử các
j
Y


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7
với
j
là bội của 2, rồi bội của 4,… Mỗi bước khử sẽ giảm được một nửa số
ẩn. Như vậy nếu
=2
n
N
thì sau một số lần khử sẽ còn lại một phương trình
chứa véc tơ ẩn
/2N
Y
mà từ đó
/2N
Y
có thể tính được qua
0
Y
và
N
Y
. Sau khi đã có

được
0 /2
,
N
YY
và
N
Y
thì quá trình ngược lại là việc tìm các
j
Y
với
j
là bội của
4
N
rồi bội của
8
N
,… Rõ ràng, phương pháp rút gọn hoàn toàn là một biến
thể của phương pháp khử Gauss áp dụng cho bài toán (1.4) trong đó việc khử
các biến được thực hiện theo một thứ tự đặc biệt. Sau đây, ta sẽ mô tả cụ thể
phương pháp. Giả sử
= 2 , > 0
n
Nn
Ký hiệu
(0) (0)
= , = ; =1,2,..., 1
jj

C C F F j N 
.
Khi đó (1.4) được viết dưới dạng

0 (0)
11
= (1 1)
j j j j
Y C Y Y F j N

     
,
00
=YF
,
=
NN
YF
. (1.5)
Bước khử thứ nhất: Từ các phương trình đầu của (1.5) ta khử các
j
Y

với
j
lẻ. Muốn vậy ta viết 3 phương trình liên tiếp:
(0) (0)
2 1 1
=
j j j j

Y C Y Y F
  
  
,
(0) (0)
11
=
j j j j
Y C Y Y F

  
,
(0) (0)
1 2 1
=
j j j j
Y C Y Y F
  
  

Nhân 2 vế của phương trình thứ hai với
(0)
C
vào bên trái rồi cộng cả 3
phương trình lại ta được

(1) (1)
2 2 1
= , = 2,4,..., 2
j j j j

Y C Y Y F j N
  
   
,
00
=YF
,
=
NN
YF
(1.6)
trong đó:
(1) ( 2
= ( 0)) 2C C E

(1) (0) (0) (0) (0)
11
= , = 2,4,..., 2
j j j j
F F c F F j N

  
.
Nhận xét rằng hệ (1.6) chỉ chứa các
j
Y
với
j
chẵn, số véc tơ ẩn
j

Y
là
1
2
N

. Do đó nếu giải được hệ này thì các
j
Y
với
j
lẻ sẽ tìm được từ phương
trình

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

8

(0) (0)
11
= , =1,3,..., 1
j j j j
C Y F Y Y j N

  
(1.7)
Như vậy hệ (1.5) tương đương với hệ gồm (1.6) và (1.7).
Bước khử thứ hai: ở bước khử này ta sẽ tiến hành khử các của hệ (1.6)
với
j

là bội của 2 nhưng không là bội của 4. Muốn vậy ta viết 3 phương trình
liên tiếp của (1.6)
(1) (1)
4 2 2
=
j j j j
Y C Y Y F
  
  
,
(1) (1)
22
= ,( = 4,8,..., 4)
j j j j
Y C Y Y F j N

   
,
(1) (1)
2 4 2
=
j j j j
Y C Y Y F
  
  
.
Nhân 2 vế của phương trình thứ hai với
(1)
C
vào bên trái rồi cộng cả 3

vế phương trình lại ta được

(2) (2)
44
= , = 4,8,..., 4
j j j j
Y C Y Y F j N

   
,
00
=YF
,
=
NN
YF
(1.8)
trong đó:
(2) ( 2
= ( 1)) 2C C E

(2) (1) (1) (1) (1)
22
= , = 4,8,..., 4
j j j j
F F c F F j N

  
.
Hệ (1.8) chỉ chứa

1
4
N

Véc tơ ẩn
j
Y
, trong đó
j
là bội của 4. Nếu
giải được hệ này thì các
j
Y
, với
j
là bội của 4 sẽ tìm được từ phương trình 2
nhưng không là bội của 4 sẽ tìm được từ phương trình:
(1) (1)
22
= , = 2,6,10..., 2
j j j j
C Y F Y F j N

  
.
Cứ tiếp tục quá trình khử này. Kết qủa là sau bước khử thứ
l
ta nhận
được một hệ gồm
1

l
N
c

ẩn
j
Y
, trong đó
j
là bội của
2
l


( ) ( )
22
= , = 2 ,2.2 ,3.2 ,..., 2
l l l l l l
l j l j
jj
Y C Y Y F j N

   
,
00
=YF
,
=
NN
YF

(1.9)
và nhóm các phương trình:
( 1) ( 1)
11
22
=
kk
j j k k
jj
C Y F Y Y




,
11
= 2 ,3.2 ,..., 2
kk
jN


,
= , 1,...,1,k l l 
(1.10)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9
trong đó các ma trận
()k

C
và các véc tơ vế phải
()k
j
F
được tính theo các công
thức truy toán:
( ) ( 1) 2
= ( ) 2
kk
C C E


,
( ) ( 1) 1 ( 1)
11
22
=
k k k k
j k j k
jj
F F C F F
  



,
= 2 ,2.2 ,3.2 ,..., 2 , =1,2,3...
k k k k
j N k

, (1.11)
Từ các bước khử trên suy ra rằng sau
1n 
bước khử
( = 1)ln
ta thu
được hệ chỉ gồm một phương trình đối với biến
2 /2
1=
N
N
YY
là
( 1) ( 1) ( 1)
1 1 0 0 0
22
= = , = =
n n n
j j n n j N N N
jj
C Y F Y Y F Y Y Y FY F
  


   
(1.12)
Với vế phải đã biết. Vì vậy từ (1.12) ta có thể tìm được
/2N
Y
, và tất cả

các ẩn còn lại được tìm liên tiếp từ các phương trình
( 1) ( 1)
11
22
00
1 1 1 1
=,
=
=
= 2 ,3.2 ,5.2 ,..., 2 ,
= , 1,...,1
kk
j j k k
jj
NN
k k k k
C Y F Y Y
YF
YF
jN
k n n



   



(1.13)
Các công thức trên đã mô tả phương pháp rút gọn hoàn toàn giải. Việc

tính các
()k
j
F
theo công thức truy toán có thể dẫn đến việc tích luỹ sai số nếu
như chuẩn của ma trận
( 1)k
C

lớn hơn 1. Ngoài ra các ma trận
()k
C
nói chung
là các ma trận đầy đủ, thậm chí cả với ma trận ban đầu là
(0)
=CC
là ma trận
ba đường chéo. Điều này dẫn đến tăng khối lượng tính toán khi tính các
()k
j
F

theo (1.13). Để khắc phục những khó khăn trên, thay cho
()k
j
F
ta sẽ tính các
véc tơ
()k
j

p
và
()k
j
q
liên hệ với theo công thức sau:
( ) ( ) ( ) ( )
= , = 2 ,2.2 ,3.2 ..., 2 , = 0,1,2,..., 1
k k k k k k k k
j j j
F C p q j N k n  
(1.14)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10
trong đó ta chọn
(0)
j
p
và
(0)
= , =1,2,..., 1
jj
q F j N 
. Bằng các công thức toán
học, có thể thấy mối quan hệ mà
()k
j
p

và
()k
j
q
phải thoả mãn như sau.
( ) ( ) ( )
=
k k k
jj
C p q
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 1 1
2 2 2 2
[]
k k k k k k k k
j k j k k k
j j j j
C q p C p p q q
       
   
   
    
,
= 2 ,2.2 ,3.2 ,..., 2 , =1,2,3...
k k k k
j N k
,
Ta sẽ chọn
()k
j

p
và
()k
j
q
thoả mãn
( ) ( ) ( 1) ( 1)
2 ( 1) 2 ( 1)
=2
k k k k
j j j k j k
q p q q

   


Khi đó, kết hợp với công thức
( ) ( 1) 2
2 = [ ]
kk
C E c


ta có
( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
11
22
=
k k k k k k k
j j k j k

jj
C p q p C p p
    


  

Đặt
( 1) ( ) ( 1)
=
k k k
j j j
S p p


, suy ra
( 1)k
j
S

phải thoả mãn
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
11
22
=
k k k k k
j j k k
jj
C S q p p
    





Như vậy ta thu được thuật toán sau đây để xác định các véc tơ
()k
j
p
và
()k
j
q

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
11
22
=
k k k k k
j j k k
jj
C S q p p
    



,
( 1) ( ) ( 1)
=
k k k
j j j

S p p


,
( ) ( ) ( 1) ( 1)
2 ( 1) 2 ( 1)
=2
k k k k
j j j k j k
q p q q

   

(1.15)
(0) (0)
= ; = 0
j j j
q F p
,
= 2 ,2.2 ,3.2 ,..., 2
k k k k
jN
,
= 0,1,2,..., 1kn
.
Ký hiệu
( 1) ( 1)
=
kk
j j j

t Y p


, ta sẽ thấy rằng
j
Y
có thể tính được từ các
công thức sau
( 1) ( 1) ( 1)
11
22
=
k k k
j j k k
jj
C t q Y Y
  



,
( 1) ( 1)
=
kk
j j j
Y p t


,

00
= ; =
NN
Y F Y F
,
= 2 ,2.2 ,3.2 ,..., 2
k k k k
jN
,
= , 1,...,1k n n 
(1.16)
Nhận xét rằng các quá trình (1.15) và (1.16) luôn cần tính ma trận
nghịch đảo
(1
[ 1)]Ck


. Bằng các phép biến đổi sơ cấp từ các mối quan hệ của
ma trận
()k
C
và đa thức Chebysev
()
2
1
= 2 ( )
2
k
k
C T C

, ta có
1
( 1) 2
( =1) , 1
=
k
k
l l k
CC




,
trong đó

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11
,1
(2 1)
= 2cos
2
lk
k
l
C C E





.
Như vậy, chẳng hạn ta có phương trình

( 1)
=
k
C


, (1.17)
thì với việc giải lần lượt các phương trình
1
, 1 1
= , =1,2,...,2
k
l k l l
Cl



,
0
=


sẽ cho ta nghiệm của (1.17) là
1
2
=

k



Tóm lại qua các bước phân tích trên đây ta có thuật toán rút gọn hoàn
toàn giải bài toán biên thứ nhất như sau
 Quá trình xuôi
Bước 1.1 Cho các giá trị ban đầu
(0) (0)
, = , =1,2,3,..., 1
j j j
p q F j N 

Bước 1.2 Với
=1k
giải phương trình
(1) (0)
=
jj
Cp q
và tính
(1) (1) (0) (0), =2,4,6,..., 2
( 1) ( 1)
=2
jN
j j j j
q p q q




Bước 1.3 Với
= 2,3,..., 1kn
xác định các véc tơ
(0) ( 1) ( 1) ( 1)
11
( 2 ) 2
= , = 2 ,2.2 ,3.2 ..., 2
k k k k k k k
j j k k
jj
q p p j N

  


  
.
Sau đó, với mỗi
1
=1,2,...2
k
l

và với mỗi
= 2 ,2.2 ,3.2 ..., 2
k k k k
jN
, giải
phương trình

( ) ( 1)
,1
=
ll
l k j j
C




Khi đó
1
( ) ( 1) (2 )
=
k
kk
j j j
pp




,
( ) ( ) ( 1) ( 1)
11
( 2 ) 2
= 2 , = 2 ,2.2 ,3.2 ..., 2
k k k k k k k k
j j k k
jj

q p q q j N



  

 Quá trình ngƣợc
Bước 2.1 Cho các giá trị ban đầu
00
= , =
NN
Y F Y F

Bước 2.2 Với
= , 1,...,2k n n 
tính

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

12
(0) ( 1) 1 1 1
11
22
= , = 2 ,3.2 ... 2
k k k k
j j k k
jj
q Y Y j N

   



  

Sau đó, với mỗi
1
=1,2,...,2
k
l

và với mỗi
1 1 1
= 2 ,3.2 ... 2
k k k
jN
  

, giải
phương trình
( ) ( 1)
,1
=
ll
l k j j
C




Khi đó:

1
( 1) (2 )
= , = 2 ,2.2 ,3.2 ,... 2
k
k k k k k
j j j
Y p j N





Bước 2.3 Với
=1k
, giải phương trình
(0)
11
= , =1,3,5,..., 1
j j j j
CY q Y Y j N

  

1.2.2 Bài toán biên thứ hai
Xét bài toán thứ hai

00
11
1
= , = 0,

= ,1 1,
2 = .
j j j j
N N N
Y F j
Y CY Y F j N
Y CY F




     




(1.18)
trong đó
= 2 , > 0
n
Nn
Để giải bài toán (1.18) ta cũng thực hiện các bước khử
lần lượt như đã được trình bày ở bài toán biên thứ nhất. Sau n phép khử, ta
nhận được các phương trình

( ) ( ) ( )
0 0 (0)
= , 2 =
n n n
NN

Y F Y C Y F
. (1.19)
Và nhóm các phương trình
( 1) ( 1) 1 1 1
11
22
= , = 2 ,3.2 ,..., 2 , = , 1,...,1.
k k k k k
j j k k
jj
C Y F Y Y j N k n n
    


   

Trong đó
()k
j
F
và
()k
C
được xác định bởi công thức truy toán sau

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

13
()
00

( ) 1 ( 1) ( 1)
1 1 1
12
( ) 1 ( 1) ( 1)
1
2
( ) ( 1) 2
=,
=,
= 2 ,2.2 ,..., 2
= 2 ,
=[ ] 2 ,
k
k k k k
j k j k
jj
k k k
k k k k
N k N
N
kk
FF
F F C F F
jN
F F C F
C C E
  
  

  









Kí hiệu:
( ) ( ) ( ) ( )
=
k k k k
j j j
F C p q
,
= 2 ,2.2 ,..., 2 , , = 0,1,2,...,
k k k
j N N k n

Bằng các phép biến đổi đơn giản và cách chọn
()k
j
p
và
()k
j
q
thích hợp,
ta nhận được quá trình sau để xác định các véc tơ
()k

j
p
và
()k
j
q
với
JN

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
22
( ) ( 1) ( 1)
( ) ( ) ( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
22
(0) (0)=0
=
=,
= 2 ,
= 2 ,3.2 ,..., 2 , = 0,1,2,..., 1
=,
k k k k k
j j k k
jj
k k k
j j j
k k k k
j j k k
jj

k k k
j j j
C S q p q
p p S
q p q q
j N k n
q F p
    








  


Tương tự, với
=jN
, ta có:
( 1) 1 ( 1) ( 1)
( 1)
2
( ) ( 1) ( 1)
( ) ( ) ( 1)
( 1)
2
(0) (0)

= 2 ,
=,
= 2 2 ,
= ; = 0,
k k k k
N N k
N
k k k
N N N
k k k
N N k
N
N N N
C S q p
p p S
q p q
q F p
   










Trong đó
( 1) ( 1)

=
kk
j J j
Y p t


,
1 1 1
= 2 ,3.2 ,..., 2 , = , 1,...,2,1
k k k
j N k n n
  


Trong đó
( 1)k
j
t

là nghiệm của phương trình .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14
( 1)
( 1)
( 1)
( 1) ( 1)
22
=

k
kt
k
j
j k k
jj
C q Y Y






,
Tóm lại, ta có thuật toán sau đây giải bài toán biên thứ hai.
 Quá trình xuôi
Bước 1.1 Xác định các giá trị ban đầu
(0) (0)
= 0; = , =1,2,...,
j j j
p q F j N

Bước 1.2 Với
=1,2,..., 1kn
xác định các véc tơ:
(0) ( 1) ( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
22
=
k k k

j j k k
jj
v q p p
  



,
= 2 ,2.2 ,..., 2
k k k
jN

Sau đó, với
( 1)
=1,2,...,2
k
l

và với mỗi
= 2 ,2.2 ,..., 2
k k k
jN
, giải
phương trình
( ) ( 1)
,1
=
ll
l k j j
C v v




Khi đó
( ) ( 1) (2 1)
=
k k k
j j j
p p v


,
( ) ( ) ( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
22
=2
k k k k
J j k k
jj
q p q q




,
= 2 ,2.2 ,..., 2
k k k
jN

Bước 1.3 Với

=1,2,..., 1kn
xác định các véc tơ
(0) ( 1) ( 1)
( 1)
2
=2
kk
N N k
N
v q p





Sau đó, với
( 1)
=1,2,...,2
k
l

, giải phương trình
( ) ( 1)
,1
=
ll
l k N N
C v v



Khi đó
1
( ) ( 1) (2 )
=
k
kk
N N N
P p v



,
( ) ( ) ( 1)
1
2
= 2 2
k k k
N N k
N
q p q





 Quá trình ngƣợc
Bước 2.1 Xác định
N
Y

. Xác định véc tơ
(0) ( )
0
=2
n
NN
v q Y

Sau đó, với
=1,2,...,ln
, giải hệ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15
( ) ( 1)
,
=
ll
l n N N
C v v


Khi đó
( ) ( )
=
nn
N N N
Y p v

Bước 2.2 Xác định
, =1,2,..., 1
j
Y j N 

Với
= , 1,...,2,1,k n n 
xác định các véc tơ
(0) ( 1)
( 1) ( 1)
22
=
k
j j k k
jj
v q Y Y




,
1 1 1
= 2 ,3.2 ,..., 2
k k k
jN
  


Sau đó, với
1

=1,2,...,2
k
l

và với mỗi
1 1 1
= 2 ,2.2 ,..., 2
k k k
jN
  

, giải
phương trình
( ) ( 1)
,1
=
ll
l k j j
C v v



Khi đó
1
( 1) (2 )
=
k
k
j j j
Y p v




,
= 2 ,2.2 ,3.2 ..., 2
k k k k
jN
.
Trên đây là nội dung của thuật toán thu gọi khối lượng tính toán giải
bài toán biên thứ nhất và bài toán biên thứ hai. Trong các tài liệu của
Samaski-Nicolaev [21] đã chứng minh độ phức tạp của các thuật toán là
O
( log )M N N
.
1.3 Áp dụng đối với phƣơng trình elliptic
Trên cơ sở phương pháp lưới, ta thu được các kết quả xây dựng lược
đồ sai phân cho các bài toán Dirichlet và bài toán Neumann
1.3.1 Bài toán biên Dirichlet
Cho

là hình chữ nhật
 
2
1 2 1 1 2 2
= = ( , ) :0 < < ;0 < <x x x R x l x l

Xét bài toán
= ( )u x x

 

= ( ) =u g x x 
(1.20)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

16
trong đó
22
( ); ( )L g L

   

Rời rạc hoá miền

bằng lưới
h



1 2 1 1 2 2
= = ( , ) = ( , ); = ; = ;
h i j i j
x i j x x x ih x jh

1
1
=
l

h
M
;
2
2
=
l
h
N
;
= 0,1,...,iM
;

= 0,1,...,jN
.
Bằng cách biến đổi đơn giản ta có thể đưa bài toán sai phân tương ứng
về hệ phương trình vec tơ 3 điểm có dạng như sau:
11
= , =1,2,..., 1
j j j j
Y CY Y F j N

   

00
= ; =
NN
Y F Y F

1, 2, 1,
= ( ; ;...; )
T
j j j M j
Y y y y

(1.21)
0 1,0 2,0 1,0
= ( ; ;...; )
T
M
F g g g


1, 2, 1,
= ( ; ;...; )
T
N N N M N
F g g g


Ma trận C có dạng
C=
2( 1) 0 ... 0 0 0
2( 1) ... 0 0 0
0 2( 1) ... 0 0 0
0 0 0 ... 2( 1) 0
0 0 0 ... 2( 1)
0 0 0 ... 0 2( 1)
rr

r r r
rr
rr
r r r
rr



  








  




      


2
2 1, 0,
2
2 2,
2

2 2,
2
2 1, ,
jj
j
j
Mj
M j M j
h rg
h
F
h
h rg



















Với
2
2
2
1
=
h
r
h

1.3.2 Bài toán biên hỗn hợp

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

17
Cho miền
 
1 2 1 1 2 2
= = ( , );0 < < ;0 < <x x x x l x l

Xét bài toán biên hỗn hợp
= ( );u x x

 


= ( )u g x
với
1

x
(1.22)
2
= ( )
u
x
x



với
2
x

Trong đó:
2 2 2
12
( ); ( ); ( )L g L L

     

   
1 1 1 1 1 2 2 2
= = ( ,0);0 = ( , );0x x x l x l x x l     
 
2 2 2
= (0, );0x x x l  

 
2 1 2 1 1

= = ( , );0x x l x l  

Tương tự, ta đưa bài toán sai phân về hệ phương trình vec tơ 3 điểm
00
=YF


11
= 1 1
j j j j
Y CY Y F j N

     
(1.23)
1
2 = =
N N N
Y CY F j N



Trong đó:
0 1,0 2,0 1,0
= ( , ,..., )
T
M
F y y y

;
1, 2, 1,

= ( , ,..., ) ; =1,...,
T
j j j M j
Y y y y j N



C=
2( 1) 0 ... 0 0 0
2( 1) ... 0 0 0
0 2( 1) ... 0 0 0
0 0 0 ... 2( 1) 0
0 0 0 ... 2( 1)
0 0 0 ... 0 2( 1)
rr
r r r
rr
rr
r r r
rr



  









  




      

2
2 1, 0,
2
2 2,
2
2 2,
2
2 1, ,
jj
j
j
Mj
M j M j
h rg
h
F
h
h rg





















Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

18
2
2 1, 2 1, 0,
2
2 2, 2 2,
2
2 2, 2 2,
2
2 1, 2 1, ,
2
2

2
2
N N N
NN
N
M N M N
M N M N M N
h h rg
hh
F
hh
h h rg






















1.4 Phƣơng pháp lặp và các sơ đồ lặp cơ bản
1.4.1 Không gian năng lượng
Giả sử
H
là không gian Hilbert thực với tích vô hướng
(,)
và chuẩn
.
.
A
là toán tử đối xứng, xác định dương trong
H
, tức là miền xác định
()DA
trù mật trong
H
,

( , ) = ( , ), , ( )Au v u Av u v D A

và tồn tại hằng số dương

sao cho

2
( , ) , ( ).Au u u u D A


  


Trong miền xác định
()DA
, xét phiếm hàm song tuyến tính
( , )Au v
mà
ta kí hiệu là
( , ) = [ , ]Au v u v
.
Ta thấy, phiếm hàm
[ , ]uv
trong
()DA
thỏa mãn mọi tiên đề của tích vô
hướng trong không gian Hilbert trừu tượng nói chung. Thật vậy, ta có

[ , ] = ( , ) = ( , ) = ( , ) = [ , ],u v Au v u Av Av u v u

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
[ , ]= ( ( ), ) = ( , ) ( , ) [ , ] [ , ],u u v A u u v Au v Au v u v u v
       
    

[ , ] = ( , ) 0,[ , ] = ( , ) = 0u u Au u u u Au u
khi và chỉ khi
0u 
.
Do đó, đại lượng

[ , ]uu
thỏa mãn các tính chất của một chuẩn. Ta kí
hiệu chuẩn đó là
.
.

2
=[ , ] = ( , ).u u u Au u
(1.24)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

19
Bây giờ ta xây dựng một không gian tuyến tính định chuẩn
A
h
như
sau:
 Các phần tử của
A
h
trùng với các phần tử của
()DA
và các phép toán
cộng hai phần tử, nhân một số với một phần tử trong
A
h
được định
nghĩa trùng với các phép toán trong
H

.
 Chuẩn của các phần tử trong
A
h
được định nghĩa bởi (1.21).
Không gian
A
h
được định nghĩa như vậy có thể là một không gian
không đủ. Trong trường hợp này, ta làm đủ không gian
A
h
bằng phương pháp
bổ sung không gian Metric để được không gian đủ
A
H
. Không gian
A
H
này
được gọi là không gian năng lượng của toán tử
A
.
Như vậy,
A
H
gồm những phần tử cũ thuộc
()DA
và những phần tử
thu được sau phép bổ sung. Chuẩn của

A
uH
được xác định bởi
22
=
lim
n
A
n
uu


trong đó
{}
n
u
là dãy cơ bản (theo metric
.
trong
A
h
) các phần tử thuộc
()DA

xác định
u
.
Tích vô hướng của hai phần tử
,
A

u v H
được xác định bởi

[ , ] = [ , ],
lim
A n n
n
u v u v


trong đó
{ },{ }
nn
uv
là dãy cơ bản các phần tử thuộc
()DA
xác định
,uv
.
Không gian
A
H
với tích vô hướng trên là không gian Hilbert.
Ta thường nói gọn là: Không gian năng lượng
A
H
là không gian
Hilbert thu được bằng cách bổ sung tập
()DA
cho thành không gian đủ theo

tích vô hướng
( , )Au v
.
1.4.2 Phương pháp lặp giải phương trình toán tử

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

20
 Lược đồ lặp hai lớp
Xét bài toán
=,Au f
(1.25)
trong đó
:A H H
là toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert thực
N

chiều
H
với tích vô hướng
(,)
và chuẩn
= ( , )y y y
.
Giả sử
A
là toán tử đối xứng, xác định dương,
fH
là vectơ tùy ý.
Trong mỗi phương pháp lặp, xuất phát từ

0
y
bất kỳ thuộc
H
, người ta đưa ra
cách xác định nghiệm xấp xỉ
12
, ,..., ,...
k
y y y
của phương trình (1.25). Các xấp
xỉ như vậy được biết như là các giá trị lặp với chỉ số lặp
=1,2,...k
Bản chất
của những phương pháp này là giá trị
1k
y

có thể được tính thông qua các giá
trị lặp trước:
1
, ,...
kk
yy

.
Phương pháp lặp được gọi là phương pháp lặp một bước hoặc hai bước
nếu xấp xỉ
1k
y


có thể tính được thông qua một hoặc hai giá trị lặp trước đó.
Phương pháp lặp một bước có thể được viết như sau:

1
= ( = 0,1,2...)
k k k k
BY Cy F k


(1.26)
ở đây
k
B
và
k
C
là toán tử tuyến tính từ không gian
H
vào không gian
H
nói
chung phụ thuộc vào chỉ số lặp
k
,
k
FH
là hàm biết trước phụ thuộc
k
và

k
y
là giá trị lặp thứ
k
. Giả thiết rằng
1
k
B

tồn tại với mọi
k
.
Một đòi hỏi tự nhiên là nghiệm chính xác
u
của phương trình (1.25)
không phụ thuộc vào
k
, thoả mãn phương trình (1.26).
( ) =
k k k
B C u F

Nhưng điều đó chỉ xảy ra nếu
1
( ) =
k k k
B C A f F


, kéo theo

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

21
+ Toán tử ngược
1
()
kk
BC


tồn tại.
+
1
= ( )
k k k
f A B C F



Điều này được thoả mãn nếu
1
1
( ) =
k k k
B C A





,
1
=
kk
Ff


,
= 0,1,2,...k

ở đây
>0
k

là tham số.
Dạng chính tắc của lược đồ lặp hai lớp là

1
1
= , = 0,1,2,...
kk
kk
k
yy
B Ay f k






(1.27)
trong đó
1k


là các tham số lặp.
Giả thiết
k
B
là toán tử tuyến tính từ
H
vào
H
, tồn tại toán tử ngược
1
k
B

. Do đó từ (1.27) ta có

1
11
= ( )
k k k k k
y y B Ay f




(1.28)

hoặc dạng tương tự
1
1 1 1
= = ,
k k k k k k k k
y y B r y
  

  


trong đó
=
kk
r Ay f
là độ không khớp và
1
=
k k k
Br


là phần hiệu chỉnh.
Với
k
y
đã biết, giá trị của
1k
y


có thể tính được từ (1.28). Biết
0
y
ta
xác định được
12
, ,...yy
Tất nhiên, nó chỉ có nghĩa khi phép lặp hội tụ, tức là
0, .
k
y u k  

Thông thường, nghiệm được tìm với độ chính xác

(liên quan đến độ
chính xác
0
)
k
yu
yu


, có nghĩa là sự tính toán được dừng khi

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

22
.
kk

y u y u

  
(1.29)
Vì véctơ
u
chưa biết nên ta thay điều kiện (1.29) bằng bất đẳng thức
cho độ không khớp
0
.
k
Ay f Ay f

  
(1.30)
Ta chấp nhận điều kiện dừng

0
.
k
DD
y u y u

  
(1.31)
Trong đó
D
là toán tử đối xứng, xác định dương. Với
2
=DA

, từ
(1.31) ta suy ra được (1.30).
Bây giờ chúng ta xét phương trình liên quan đến phần dư
=.
kk
z y u

Từ
=Au f
ta có
1
1
= 0, = 0,1,2,...
kk
kk
k
zz
B Az k





(1.32)
trong đó
0
zH
được biết.
Từ (1.32) ta thấy
1

1 1 1 1
= , = ,
k k k k k k
z S z S E B A


   


trong đó
1k
S

là toán tử chuyển tiếp từ lớp thứ
k
tới lớp thứ
1k 
. Với
=1kn
ta có
0 1 2 1
= , = ... .
n n n n n
z T z T S S S S


Ta có đánh giá
00
.
n n n

D D D D
z T z T z

hay
0
. ; =
n n n n
D D D
z q z q T