Bai Giai Phuong trinh nghiem nguyen

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Bài 8: Tìm số nguyên x, biết rằng x chia hết cho 11 còn 2x + 3 chia hết cho 25. Giải Do x chia hết cho 11 nên x có dạng x = 11u, 2x + 3 chia hết cho 25 nên ta có được 2x + 3 = 25v, thay x = 11u vào 2x + 3 ta có được 2(11u) + 3 = 25v ⇔ 22u − 25v = −3 Đặt v = −v 0 ta có được 22u + 25v 0 = −3 (1)     25v 0 ≡ −3(mod22)  3v 0 ≡ −3(mod22)  v 0 ≡ −1(mod22) 0 0 0 (1) trở thành ⇒ ⇒  u = −3 − 25v  u = −3 − 25v  u = −3 − 25v 22 22 22   v 0 = −1 + 22c ⇒  u = −3 − 25(−1 + 22c) = 1 − 25c 22   v = 1 − 22c 0 Thay v = −v ta được  u = 1 − 25c Bài 1: Tìm một nghiệm không tầm thường của các phương trình sau và viết công thức truy hồi xác định một dãy nghiệm xuất phát từ nghiệm đó. a/ x2 − 11y 2 = 1 b/ x2 − 5y 2 = 1 c/ x2 − 6y 2 = 1 Giải a/ x2 − 11y 2 = 1 Ta nhận thấy (x0 , y0 ) = (10, 3) là một nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình..   x =x x n 1 n−1 + dy1 yn−1 Theo công thức truy hồi (n ≥ 2) Ta có được dãy nghiệm  y =x y +y x n. 1 n−1. 1 n−1. xuất phát từ nghiệm ban đầu là (199, 60), (3970, 1197), . . . b/ x2 − 5y 2 = 1 Ta nhận thấy (x0 , y0 ) = (9, 4) là một nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình..   x =x x n 1 n−1 + dy1 yn−1 (n ≥ 2) Ta có được dãy nghiệm Theo công thức truy hồi  y =x y +y x n. 1 n−1. 1 n−1. xuất phát từ nghiệm ban đầu là (161, 72), (2889, 1292), . . .. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> c/ x2 − 6y 2 = 1 Ta nhận thấy (x0 , y0 ) = (5, 2) là một nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình..   x =x x n 1 n−1 + dy1 yn−1 (n ≥ 2) Ta có được dãy nghiệm Theo công thức truy hồi  y =x y +y x n. 1 n−1. 1 n−1. xuất phát từ nghiệm ban đầu là (49, 20), (485, 198), . . . Bài 9: Giải các phương trình sau: a/ x2 − 8y 2 = 4 b/ x2 − 8y 2 = −8 c/ x2 − 11y 2 = 5 d/ x2 − 3y 2 = 22 Giải a/ x2 − 8y 2 = 4 Xét phương trình Pell tương ứng x2 − 8y 2 = 1 ta nhận thấy rằng (a, b) = (3, 1) Ta xét −ca2 y ≤ max{cb ; } = 16 d 2. 2. Ta kiểm tra y = 1, 2, 3, 4 để xem với giá trị nào của y thì 4 + 8y 2 là chính phương. . Với y = 1 ⇒ 4 + 8.1 = 12 . Với y = 2 ⇒ 4 + 8.4 = 36 ⇒ x = 6 . Với y = 3 ⇒ 4 + 8.9 = 76 . Với y = 4 ⇒ 4 + 8.16 = 132 Vậy phương trình có một nghiệm cơ bản là (6,2) Tập ghiệm của phương trình là    x = 6; y1 = 2   1 xn = 3xn−1 + 8yn−1 (n ≥ 2)     y =x + 3y n. n−1. n−1. b/ x2 − 8y 2 = −8 Xét phương trình Pell tương ứng x2 − 8y 2 = 1 ta nhận thấy rằng (a, b) = (3, 1) Ta xét y 2 ≤ max{cb2 ; 2. −ca2 } = 16 d.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Ta kiểm tra y = 1, 2, 3, 4 để xem với giá trị nào của y thì −8 + 8y 2 là chính phương. . Với y = 1 ⇒ −8 + 8.1 = 0 . Với y = 2 ⇒ −8 + 8.4 = 24 . Với y = 3 ⇒ −8 + 8.9 = 64 ⇒ x = 8 . Với y = 4 ⇒ −8 + 8.16 = 120 Vậy phương trình có một nghiệm cơ bản là (8,3) Tập nghiệm của phương trình là:    x = 8; y1 = 3   1 xn = 3xn−1 + 8yn−1 (n ≥ 2)     y =x + 3y n. n−1. n−1. c/ x2 − 11y 2 = 5 Xét phương trình Pell tương ứng x2 − 11y 2 = 1 ta nhận thấy (10,3) là một nghiệm nguyên dương nhỏ nhất. Ta xét y 2 ≤ max{cb2 ; −. ca2 } = 45 d. Ta kiểm tra y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 để xem với giá trị nào của y thì 5 + 11y 2 là chính phương. . Với y = 1 ⇒ 5 + 11.1 = 16 . Với y = 2 ⇒ 5 + 11.4 = 49 ⇒ x = 7 . Với y = 3 ⇒ 5 + 11.9 = 104 . Với y = 4 ⇒ 5 + 11.16 = 181 . Với y = 5 ⇒ 5 + 11.25 = 280 . Với y = 6 ⇒ 5 + 11.36 = 401 Vậy một nghiệm cơ bản củ phương trình là (7,2) Tập nghiệm của phương trình là    x = 7; y1 = 2   1 xn = 7xn−1 + 22yn−1 (n ≥ 2)     y = 2x + 7y n. n−1. n−1. d/ x2 − 3y 2 = 22 Ta xét phương trình Pell tương ứng x2 − 3y 2 = 1 nhận thấy một nghiệm nhỏ nhất 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> nguyên dương là (2,1). Ta xét y 2 ≤ max{cb2 ; −. ca2 } = 22 d. Ta kiểm tra y = 1, 2, 3, 4 để xem với giá nào của y thì 22 + 3y 2 là chính phương. . Với y = 1 ⇒ 22 + 3 = 25 ⇒ x = 5 . Với y = 2 ⇒ 22 + 3.4 = 34 . Với y = 3 ⇒ 22 + 3.9 = 49 ⇒ x = 7 . Với y = 4 ⇒ 22 + 3.16 = 70 Vậy phương trình có hai nghiệm cơ bản là (5, 1), (7, 3) Tập nghiệm của phương trình đối với nghiệm cơ bản (5,1) là    x = 5; y1 = 1   1 xn = 5xn−1 + 3yn−1 (n ≥ 2)     y =x + 5y n. n−1. n−1. Tập nghiệm của phương trình đối với nghiệm cơ bản (7,3) là    x = 7; y1 = 3   1 xn = 7xn−1 + 9yn−1 (n ≥ 2)     y = 3x + 7y n. n−1. n−1. Bài 17: Giải phương trình x2 + x = 2y 2 Giải x2 + x = 2y 2 ⇔ 4x2 + 4x + 1 − 1 = 8y 2 2 2 ⇔ (2x  + 1) − 8y = 1 (1)  u = 2x + 1 Đặt  v=y. (1) trở thành u2 − 8v 2 = 1, nhận thấy (3,1) là một nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình.   u = 3u n n−1 + 8vn−1 Ta có tập nghiệm của phương trình (un , vn ) xác định bởi (n ≥ 2)  v =u + 3v n. với u là lẻ. Một dãy nghiệm của phương trình ban đầu là (8, 6), (49, 35), . . . Bài 5: Giải các phương trình sau: 4. n−1. n−1.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> a/ x2 + 4y 2 = z 2 b/ x2 + 3y 2 = z 2 Giải a/ x2 + 4y 2 = z 2 Đặt u = 2y ta được phương trình X 2 + u2 = z 2 . Phương trình này có nghiệm là:    x = 2mn;   (1) y = m2 − n2 ;     z = m 2 + n2 ;.    x = m2 − n2 ;   hoặc(2) y = 2mn;     z = m2 + n2 ;. với m > n khác tính chẵn lẻ và (m, n) = 1 Với trường hợp (1) ta lấy dãy nghiệm (2x, 2u, 2z) và được ôột họ nghiệm của phương trình đã cho là:    x = 4mn;   y = m2 − n2 ;     z = 2(m2 + n2 ); Với trường hợp (2) ta có họ nghiệm của phương trình x2 + 4y 2 = z 2 là:    x = m2 − n2 ;   y = mn;     z = m2 + n2 ; b/ x2 + 3y 2 = z 2 Giả sừ (x, y, z) là một nghiệm nguyên thủy của phương trình x2 + 3y 2 = z 2 . Từ (x, y, z) = 1 suy ra (x, y) = (x, z) = (y, z) = 1. Ta có 3y 2 = z 2 − x2 = (z − x)(z + x) Vì (x, z) = 1 nên chỉ có hai trường hợp (z − x, z + x) = 1 hoặc (z − x, z + x) = 2 - Trường hợp (z − x, z + x) = 1 suy ra z và x không cùng tính chẵn lẻ và z − x hoặc z + x chia hết cho 3 nhưng không đồng thời z − x và z + x chia hết cho 3. Từ 3y 2 = (z − x)(z + x) suy ra hoặc z + x = 3a2 và z − x = b2 hoặc z + x = a2 , z − x = 3b2 với a, b ∈ N; a, b cùng lẻ; (a, b) = 1. Khi đó ta được nghiệm của phương trình là:  3a2 − b2   x = ;   2  y = ab;    3a2 + b2   z= ; 2 5.  a2 − 3b2   x = ;   2  hoặc y = ab;    a2 + 3b2   z= ; 2.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> - Trường hợp (z − x, z + x) = 2 suy ra x, z cùng tính chẵn lẻ. Vì (x, y, z) = 1 nên khí đó x, z cùng lẻ, y chẵn. Đặt y = 2y1 ta được 12y12 = (z − x)(z + x) z−x z+x Giả sử z − x chia hết cho 3. Ta viết: y12 . 6 2 z−x z+x z−x z+x , ) = 1 ( vì nếu d = ( , ) thì d là ước của z − x Dễ thấy ( 6 2 6 2 và z + x do đó d = 1 hoặc 2. Nhưng nếu d = 2 thì z − x chia hết cho 4 (!)) Vậy phải có a, b ∈ N; (a, b) = 1; a, b khác tính chẵn lẻ:     x = b2 − 3a2   z − x = 6a2  ⇔ y = 2ab  z + x = 2a2     z = b2 + 3a2    x = b2 − 3a2   Tương tự vế z + x chia hết cho 3 ta có nghiệm: y = 2ab     z = b2 + 3a2 2  2 x(x − 1) x(x + 1) 3 Bài 13: Dựa và đồng nhất thức +x = và bài tập 17 chương II, 2 2 chứng minh rằng phương trình x2 + y 3 = z 4 có vô số nghiệm nguyên dương. . Giải Theo bài tập 17 chương 2, có vô số cặp nghiệm nguyên dương (x, y) sao cho x2 + x = 2y 2  2 x(x + 1) x(x − 1) x(x − 1) 2 + x3 = hay = y . Đặt z = thì theo đồng nhất thức 2 2 2  2 x(x + 1) ta được x2 + y 3 = z 4 . 2. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>