detainghiencuukhoahoc

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Phần mở đầu I. Bối cảnh của đề tài Trong chương trình giáo dục phổ thông thì môn toán được nhiều học sinh yêu thích và say mê, nhưng nói đến phân môn hình học thì lại mang nhiều khó khăn trở ngại cho không ít học sinh, thậm chí ta có thể dùng từ “Sợ” học.. Đặc biệt hình học không gian tổng hợp. Đây là phần có trong cấu trúc thi cao đẳng, đại học và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi vì kiến thức phần này đòi hỏi học sinh phải tư duy cao. II. Lý do chọn đề tài Hình học không gian tổng hợp là một vấn đề rất quan trọng trong Toán học phổ thông vì nó góp phần rất lớn trong việc phát triển tư duy cho học sinh. Xong cũng chính những tư duy kém nên học sinh rất lo ngại đối với việc học và giải bài tập hình học không gian. Hơn nữa, một số giáo viên phổ thông chưa tạo được hứng thú cho học sinh trong quá trình giảng dạy vấn đề này. Thiết nghĩ, một khi học sinh đã chậm tiếp thu tri thức về hình học không gian tổng hợp mà giáo viên vẫn dạy chạy theo chương trình thì kết quả thu được tuyệt đối không cao mà đôi khi còn có tác dụng ngược lại. Trong trường hợp này, theo tôi giáo viên không cần giải nhiều bài tập ở cùng một dạng mà chỉ cần giải một bài tập nào đó rồi tổng quát bài toán lên một cách từ từ và tương tự bài toán đó trên các đối tượng hình học khác…Một mặt vừa tạo nên sự hứng thú cho học sinh, mặt khác giúp học sinh phát hiện được mối quan hệ hình học giữa các đối tượng hình học. Nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn và trở ngại đó và ngày càng yêu thích hơn nên tôi đi vào nghiên cứu đề tài: “Mở rộng tư duy toán học qua một bài toán” III. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu: 1. Đối tượng nghiên cứu: - Chương trình Toán học 2007, SGK Hình Học nâng cao 12 - Các tiết dạy toán Hình Học chương 1 của Giáo viên và học sinh lớp 12 2. Phạm vi nghiên cứu:.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> - Các tiết dạy học theo chủ đề trong phân môn hình học ở lớp 12 năm học 2011 – 2012 cụm trường. IV. Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu đề tài nhằm nắm được khả năng tiếp thu phân môn hình học của học sinh. Từ đó đề xuất một số biện pháp hướng dẫn HS hợp lý và hiệu quả. V. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu Qua nghiên cứu đề tài đã đề xuất một số biện pháp dạy học hình học theo chủ đề hợp lý, góp phần nâng cao khả năng tư duy toán học của học sinh Phần nội dung I. Cơ sở lí luận Chương trình cải cách giáo dục Toán 2007 đặc biệt chú trọng đến việc hình thành và phát triển những kĩ năng cơ bản trong toán học cho HS để học tiếp ở các bậc học cao hơn. Qua đây, chương trình góp phần rèn luyện các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, khái quát, hệ thống…, nhằm nâng cao phẩm chất tư duy, năng lực nhận thức. II. Thực trạng của vấn đề 1. Thuận lợi Vốn kiến thức của HS đã có ở lớp dưới; Nội dung các dạng bài tập rất hay; HS tích cực, ham học hỏi. Tuy nhiên số HS tích cực, ham học hỏi trong giờ học với số lượng chưa nhiều. Phân môn hình học có nhiều đồ dùng dạy học. Được sự giúp đở của đồng nghiệp. 2. Khó khăn Rất nhiều GV còn xem nhẹ việc rèn luyện kĩ năng khái quát hóa bài toán. Khả năng nhận biết và giải quyết vấn đề của học sinh chưa cao. Học sinh ít được tiếp xúc với việc đào sâu vào một bài toán và khái quát hóa bài toán nên gặp rất nhiều khó khăn. Đây là một hình thức khó và lạ đối với học sinh..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 3. Chất lượng hiểu một bài toán của HS lớp 12 đầu năm: Tổng số. Số HS hiểu rõ. Số HS hiểu. một bài toán. bài ở mức độ. ở mức độ. vận dụng. HS. sáng tạo Số Tỉ lệ lượng 6. 38. (%) 15,8. Số HS không biết. Số HS hiểu. gì, không trả lời. chậm, trả lời. được câu hỏi của. chậm. GV. Số. Tỉ lệ. Số. Tỉ lệ. Số. Tỉ lệ. lượng 11. (%) 28,9. lượng 13. (%) 34,2. lượng 8. (%) 21,1. III. Một số biện pháp chủ yếu phát triển tư duy toán học. 1. Tổng quát hóa, khái quát hóa một bài toán Bài toán 1.1. (Ví dụ 4, SGK Hình học 12 Nâng cao, trang 27). Cho khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .Gọi M,N lần lượt là trung điểm hai cạnh AA ', BB ' . Mặt phẳng ( MNC ' ) chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Tính tỷ số thể tích của hai phần đó. Bài giải. A.  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chóp “nhỏ” dựa trên dữ kiện liên quan đến khối chóp đã cho. B. C M. Ta có. V 2V VC '. ABC  ;VC '. ABB 'C '  3 3. A’. N. V C ABNM=V C A MNB (Vì hai hình bình hành '. '. '. '. ABNM , MNB ' A ' có BN = BN’ ). Khi đó. 1 V V C ABNM=V C A MNB = V C . ABB C = 2 3 '. '. '. '. V 2V và V ABCNMC =V − 3 = 3 . '. V C A MNB '. '. '. 1. = Vậy : V 2 ABCMNC '. '. '. '. C’. B’.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bài toán 1.2. (Tổng quát hóa bài toán) Cho khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .Gọi M,N lần lượt là hai điểm thuộc hai cạnh AA ', BB ' và chia hai cạnh theo tỉ số k. Mặt phẳng ( MNC ' ) chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần.Tính tỷ số thể tích của hai phần đó. theo k. Bài giải. A. V 2V VC '. ABC  ;VC '. ABB 'C '  3 3 Ta có:. VC '. ABNM k .VC '.MNB ' A '. B. C M. (Vì hai hình bình hành. ABNM , MNB ' A ' có BN kB ' N ). A’. Khi đó. N. VC '. ABNM k .VC '.MNB ' A '  B’. C’. Suy ra: và. k k 2V VC '. ABB ' A '  . k 1 k 1 3. VC '. MNB ' A ' . 2V 3( k  1). VABCMNC ' V  VC '.MNB ' A ' V . 2V (3k  1)V  3( k 1) 3( k 1). VC '. MNB ' A ' 2V 3( k  1) 2  .  Vậy VABCMNC ' 3( k  1) (3k  1)V 3k 1 .. Trường hợp đặc biệt: Khi M, N lần lượt là trung điểm của AA ', BB ' thì: VC '.MNB ' A ' 1  VABCMNC ' 2. A. Bài toán 1.3. (Tổng quát hóa bài toán 1.2). Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . Giả sử hai B điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AA ', BB ' và chia các cạnh đó lần lượt theo tỉ số k1, C. k2. Mặt phẳng ( MNC ' ) chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần.Tính tỷ số thể tích của M. hai phần đó. A' N. B' C'. Bài giải.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> C B. Ta có: 1 ❑ AM = k1 MA’ ⇒ AM'= 1+ k AA 1. H. 1 ❑ BN = k2 NB’ ⇒BN '= 1+k BB 2. Diện tích đáy: 1. C/. SA’MNB’ = 2 ( A ' M + B' N ). MH B/ 1 1 1 ❑ ¿ ( + ) AA . MH 2 1+ k 1 1+k 2 2+k 1 +k 2 1 ( ) . S AA ' BB ' 2 1+ k 1+ k 2 +k 1 k 2. Suy ra: 2+k 1+ k 2 2+k 1 +k 2 1 1 1 1 V C '. A ' MNB ' = . S A ' MNB' .h= . ( ). S AA ' BB ' . h= ( ) .V C ' .AA 'BB ' 3 3 2 1+ k 1 +k 2 +k 1 k 2 2 1+ k 1+ k 2 +k 1 k 2 2+ k 1+ k 2 1 = ( ). V ABCA ' B ' C ' 3 1+k 1 +k 2+ k 1 k 2 ⇒ V ABCA ' B ' C ' =. Và. 3+3 k 1 +3 k 2 +3 k 1 k 2 . V C ' . A ' MNB ' 2+k 1 + k 2. V ABCMNC ' =V ABCA ' B ' C ' −. V C ' . A ' MNB ' = V ABCMNC '. = Vậy V C . A ' MMB'. 1+2 k 1+2 k 2 +3 k 1 k 2 . V C ' . A ' MNB ' 2+ k 1 +k 2. 1+2 k 1 +2 k 2 +3 k 1 k 2 2+ k 1 +k 2. Trường hợp đặc biệt: Khi M, N lần lượt là trung điểm của AA ', BB ' thì: V ABCMNC ' =2 V C . A ' MMB'. 2. Tương tự hóa một bài toán Bài toán 1.4. (Tương tự hóa bài toán 1.3). Cho khối chóp tứ diện SABC. Giả sử M, N thuộc hai cạnh SA, SB và chia hai cạnh đó theo tỉ số lần lượt là k1, k2. Khi đó mặt phẳng (CMN) chia khối tứ diện thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó. Bài giải.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Giả sử S, S’ lần lượt là diện tích tam giác SAB, SMN và. S. V, V’, V’’ lần lượt là thể tích của S.ABC, S.MNC, C.AMNB Ta có : SM = k1 MA, SN = k2 NC 1+ k 1+k. M. S SA SB 1 2 Khi đó : S ' = SM . SN = k . k 1 2 1+k. C A. 1+ k. 1+ k 1+k. V 1 2 1 2 Suy ra : V ' = k . k ⇔ V = k . k . V ' 1 2 1 2 1+k. 1+ k. 1+ k 1+k. 1 2 1 2 Và : V ''=V −V '= k . k . V ' − V ' =( k . k − 1) .V ' 1 2 1 2. N. 1+ k 1+k. 1+k +k 2. V '' 1 2 1 Vậy : V ' = k B . k −1= k . k 1 2 1 2. V ''. Trường hợp đặc biệt: M, N là trung điểm của SA, SB thì : V ' =¿ 3 Bài toán 1.5. (Tổng quát hóa bài toán 1.4) Cho khối tứ diện SABC. Giả sử M, N, P lần lượt thuộc các cạnh SA, SB, SC và chia các cạnh lần lượt theo tỉ số k1, k2, k3. Khi đó tứ diện SABC được chia thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. C. Bài giải Ta có:. P. SM=k 1 MA ,. Gọi H, E lần lượt là hình chiếu của C, P. B. N. xuống mp (ABC).. H S. SN=k 2 NB , SP=k 3 PC. E. CH SC 1+ k 3 = = PE SP k3. Khi đó ta có: M. S. 1+ k. Do đó: 1 . CH . S SAB V SABC 3 SA SB CH SA SB SC = = . . = . . V SMNP 1 SM SN PE SM SN SP . PE. S SMN 3 V. 1+k. 1+k 1+ k. 1+k. SA SB SAB 1 2 Mặt khác: S =SM . SN = k . k SMN 1 2. A. (. 1+ k 1+ k 1+k. ). SABC 1 2 3 1 2 3 = . . ⇒ V SABC= . . . V SMNP Suy ra: V k1 k2 k3 k1 k2 k3 SMNP.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Và: V MNP . ABC=V SABC − V SMNP= Vậy:. [(. 1+k 1 1+ k 2 1+k 3 . . −1 . V SMNP k1 k2 k3. ]. ). V MNP. ABC 1+ k 1+ k 2 +k 3 +k 1 k 2 + k 1 k 3+ k 2 k 3 = V CMNP k 1 k2 k3. Trường hợp đặc biệt: M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC thì:. V MNP. ABC V CMNP. =7 3. Phân tích và tìm cách giải cho một bài toán Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có ∆ABC vuông tại B, SA. ❑. (ABC).Góc. ACB. =60o, BC = a, SA = a √ 3 , gọi M là trung điểm SB. Tính thể tích khối chóp M.ABC Bài giải.  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chóp “nhỏ” dựa trên dữ kiện liên quan đến khối chóp đã cho. Cách 1. Ta có: SA. (ABC). Từ M kẻ MH // AS cắt AB tại H M. ⇒ MH. (ABC). Vì M là trung điểm SB nên H là trung điểm AB. A. C H. Suy ra: MH=. a B. 1 a 3 SA= √ 2 2. S Δ ABC =. 1 1 1 2 o AB . BC= a . tan 60 .a= a √ 3 2 2 2. V MABC. 1 1 1 a √3 a 3 S Δ ABC . MH= . a2 √ 3. = 3 3 2 2 4. =. Cách 2. V MABC SM 1 = = V ASABC SB 2. V MABC. 1. = 2 V SABC. 1 1 1 2 1 3 mà V SABC = 3 SA. S Δ ABC = 3 a √ 3. 2 a √ 3= 2 a √ 6 1 3 ⇒ V MABC = 4 a.  Nhận xét: . Học sinh thường lúng túng khi gặp thể tích của khối chóp “nhỏ” hơn khối chóp đã cho và khi đó xác định đa giác đáy và đường cao thường bị sai..

<span class='text_page_counter'>(8)</span> . Trong một số bài toán thì việc dùng “tỷ số thể tích “ có nhiều thuận lợi hơn.. Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC =4, BD = 2, AC cắt BD tại O và SO. (ABCD), SO = 2 √ 2 . Giả sử M là trung điểm SC, mặt phẳng. (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN Bài giải S. Cách 1: N. (ABM) (SCD) = MN. M A. ⇒MN // CD ⇒ N là trung điểm SD D 1. 1. VSABCD = 3 SABCD.SO = 6 AC.BD.SO =. O B. Ta có AB // CD (gt). C. 1 8 2 4 .2 . 2 √ 2= √ 6 3 V SABM SM 1 = = V SABC SC 2 ⇒ VSABN =. V SBMN SM SN 1 1 1 = . = . = V SBCD SC SD 2 2 4. 1 2 SSABC =. 2 2 1 8 √2 . 2 6 = 3. 1 1 8√2 √2 ⇒ VSBMN = 4 SSBCD = 4 . 6 = 3. ⇒VSABMN = VSABN + VSBMN = √ 2. z. Cách 2: Sử dụng phương pháp tọa độ. S. Chọn hệ tọa độ Oxyz có tia Ox ≡ tia OA, M. tia Oy ≡ OB, tia Oz ≡ OS Dễ thấyA(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 √ 2 ),. N. D. C. C(-2; 0; 0), D(0; -1; 0), M(-1; 0; √ 2 ). O. Do (ABM) ∩ (SCD) = MN y. AB // CD 1. ⇒MN//CD ⇒N là trung điểm SD ⇒N(0; - 2 ; √ 2 ). B. A x.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> ⃗ SA. = (2; 0; -2 √ 2 );. 1 ;2. = (-1; 0; - √ 2 ); ⃗ SB = (0; 1; -2 √ 2 ); ⃗ SN = (0; -. ⃗ SM. √2 ). SA , ⃗ SM ] = (0; 4 √ 2 ; 0) [ ⃗. 1. VSABM = 6. 2 √2 SA , ⃗ SM ].SB = [ ⃗. 1. √2 SA , ⃗ SM ].SN = [ ⃗. VSAMN = 6. 3. Vậy: V SABMN = VSABM + VSAMN =. 3. √2 * Bài tập đề nghị Bài toán1.6. (Mở rộng bài toán 1.3). Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’. Giả sử M, N, P chia các cạnh AA’, BB’, CC’ lần lượt theo tỉ số k 1, k2, k3. Khi đó khối hộp được chia thành hai phần. Tính tỉ lệ thể tích của hai phần đó. Bài toán1.7. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Giả sử M, N, P chia các cạnh AA’, BB’, CC’ lần lượt theo tỉ số k1, k2, k3. Khi đó lăng trụ được chia thành hai phần. Tính tỉ lệ thể tích của hai phần đó. Bài toán1.8. Cho khối S.ABCD. Giả sử các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh SA, SB, SC và chia các cạnh đó theo tỉ số k 1, k2, k3. Khi đó khối chóp S.ABCD được chia thành hai phần. Tìm tỉ số thể tích của hai phần đó. IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm Qua quá trình nghiên cứu và vận dụng các phương pháp tính thể tích khối đa diện, chất lượng hiểu một bài toán và khả năng khái quát bài toán của HS lớp 12 năm học 2011 – 2012 như sau: Tổng số HS. Số HS hiểu rõ. Số HS hiểu. một bài toán. bài ở mức độ. ở mức độ. vận dụng. sáng tạo Số Tỉ lệ 38 Đầu năm. Số HS hiểu chậm, trả lời chậm. Số HS không biết gì, không trả lời được câu hỏi của GV. Số. Tỉ lệ. Số. Tỉ lệ. Số. Tỉ lệ. lượng. (%). lượng. (%). lượng. (%). lượng. (%). 6. 15,8. 11. 28,9. 13. 34,2. 8. 21,1.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Cuối học kì I Cuối học. 21. 55,3. 7. 18,4. 6. 15,8. 4. 10,5. kì II Phần kết luận I. Những bài học kinh nghiệm Trong quá trình giảng dạy, GV kết hợp phương pháp truyền thống và hiện đại, mỗi phương pháp và hình thức tích cực hoá hoạt động của HS. GV trong quá trình dạy học phải luôn tìm tòi, vận dụng linh hoạt sáng tạo các biện pháp phát huy tính tích cực học tập của HS. Đồng thời kết hợp nhiều hình thức dạy học phát huy tính tích cực của HS nhằm giúp cho học sinh tự khái quát một bài toán. II. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm Khả năng hiểu sâu và biết khái quát một bài toán là một trong những yếu quan trọng hình thành vá phát triển tư duy toán học của học sinh. III. Khả năng ứng dụng, triển khai Với kết quả nghiên cứu đề tài này, tôi hy vọng sẽ giúp cho GV lớp 12 và những sinh viên Trung học sắp ra trường hiểu rõ hơn về việc dạy học. Từ đó có cách dạy học một cách có hiệu quả. IV. Những kiến nghị, đề xuất Qua việc khái quát một bài toán giúp cho HS nhớ bài lâu hơn, kích thích hứng thú học tập của các em. Đây là những điểm GV cần lưu ý. Từ chủ đề mở rộng tư duy toán học thông qua một bài toán trên GV xác định nội dung chủ đề đó là gì? đề cập đến vấn đề gì? nội dung giáo dục cho HS là gì?. Sau đó hướng dẫn HS theo định hướng. Sự thành công của tiết dạy phụ thuộc rất nhiều vào người GV vì đây là một hình thức mới đối với học sinh. Ba Tri, ngày ……tháng……năm 2012 Người viết.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Nguyễn Văn Tâm.

<span class='text_page_counter'>(12)</span>