De thi HSG suu tam

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUỲNH LƯU. KIỂM TRA HỌC SINH XẾP LOẠI HỌC LỰC GIỎI. Năm học 2009-2010 Môn: Toán 8 - Thời gian làm bài: 150 phút. Câu 1: (3,0 điểm) a, Tìm số tự nhiên có hai chữ số chia hết cho 3. Nếu đổi vị trí chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì được một sô có hai chữ số nhỏ hơn số ban đầu là 45. b, Với n là số tự nhiên, chứng minh rằng n5 và n có chữ số tận cùng bằng nhau Câu 2: (2,0 điểm) Cho a + b = x + y; a2 + b2 = x2 + y2. Chứng minh rằng: a2010 + b2010 = x2010 + y2010 Câu 3: (2,0 điểm) x 4  x 3  2 x  4 0 a, Giải phương trình:.  x 2  xy  y 2 3  2 z  yz  1 0 b, Giải hệ phương trình:  Câu 4: (2,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Vẽ góc xOy = 450 sao cho Ox cắt BC tại G (G nằm giữa B, C) Oy cắt DC tại H (H nằm giữa D, C). Gọi M là trung điểm AB. Chứng minh rằng: a, ΔHOD đồng dạng ΔOGB. b, GM // AH. Câu 5: (1,0 điểm) Cho ΔABC biết góc A bằng 2 lần góc B và bằng 4 lần góc C. Chứng minh rằng:. 1 1 1   AB BC AC .. Hết.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUỲNH LƯU. HƯỚNG DẪN CHẤM Kiểm tra HS học lực giỏi - Năm học 2009-2010 Môn: Toán Lớp 8. Câu 1. Nội dung. Điểm. a) Gọi số cần tìm là ab. 0,5. ta có ab  ba 45  (10a  b)  (10b  a) 45  a  b 5 (*) mà ab3  a  b3  a  b 3; 6;9;12;15;18 (**). 0,5. Từ (*) và (**) suy ra a + b = 9; 15 a  b 5 a 7    a  b  9  b 2 Với  a  b 5  a 10 vô lý  a  b  15  Với. 0,5. Vậy số phải tìm là 72. 0,5. b) Xét n5 – n = n(n4 – 1) = n(n2 + 1)(n – 1)(n + 1) = n(n2 – 4 + 5)(n – 1)(n + 1) = (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n +2) – 5n(n – 1)(n + 1) Vì (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n +2) 10, 5n(n – 1)(n + 1) 10 Suy ra điều phải chứng minh 2. 0,5 0,5. Từ a + b = x + y (*)  a–x=y–b Mặt khác a2 + b2 = x2 + y2  a2 – x2 = y2 – b2  (a + x)(a – x) = (y + b)(y – b)  (a + x)(a – x) = (y + b)(a – x). 0,5.  a  x 0(**)    a  x b  y (***). a  b  x  y  b  y  a 2010  b2010  x 2010  y 2010  Với a x a  b x  y  a  y  b  x  a 2010  b 2010  x 2010  y 2010  Với a  x b  y Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh 3. 0,5 0,5. (1) 0,5. (2). a, x4 + x3 + 2x -4 =0  (x - 1)(x + 2)(x2 + 2) = 0 => x=1 hoặc x = -2 2 2 3  ( x2  )  ( y 2  4) (1)  y 4    x 2  xy  y 2 3 ( z  y ) 2  1 (4  y 2 ) (2)  2 z  yz  1 0    2 4 b, . 2   y  4 0    y 2  4 0  y 2 2   4  y 0. 1 1.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> +) Với. y 2  x 1, z  1 y  2  x  1, z 1. 4. +) Với a,  HOD +  O1=1350  OGB +  O1=1350 nên  HOD =  OGB ->ΔHOD đồng dạng ΔOGB (g.g) b, từ câu a, suy ra : HD DO  OB BG đặt BM = a Thì AD = 2a , OB = OD = a 2 Ta có HD.BG = OB.OD = a 2 . a 2 =2a.a =AD.BM HD BM = => => ΔAHD đồng dạng AD BG với ΔGMB(c.g.c) =>  AHD =  GMB do đó  HAB =  GMB => MG // AH. 5. M. A. B 1. O 1 G. H. D. Gọi D là giao điểm của AB với đường trung trực của đoạn BC. Khi đó ta có: ΔBCD cân tại D, ΔACD cân tại C AB AB  DB DC CA   CA DB (1). 2 Do CA là phân giác B AB AD AB AD     BC DC BC DB (Vì DC =DB) (2) Cộng theo vế (1) và (2) ta được: AB AB AB AD 1 1 1    1    AC BC DB DB AC BC AB. 1. C. D 3 A 4. C. 1.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Đề thi HSG Toán 8 - cấp huyện C©u 1: a) T×m c¸c sè nguyªn m, n tho¶ m·n b) §Æt A = n3 + 3n2 + 5n + 3 . Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 3 víi mäi gi¸. trÞ nguyªn. d¬ng cña n. c) NÕu a chia 13 d 2 vµ b chia 13 d 3 th× a2+b2 chia hÕt cho 13. C©u2 : Rót gän biÓu thøc: a) A=. bc (a − b)(a −c ). ca (b − c)(b − a). b). ( ) ( ) ( x + 1x ) + x + x1. +. +. ab (c −a)(c −b). 6. x+. B=. 1 1 6 − x + 6 −2 x x 3. 3. 3. C©u 3: TÝnh tæng: S =. 1 1.3. +. 1 3.5. +. 1 5.7. 1 + … + 2009.2011. C©u 4: Cho 3 sè x, y, z, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn xyz = 2011. Chøng minh r»ng biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo c¸c biÕn x, y, z :. 2011x y z   xy  2011x  2011 yz  y  2011 xz  z  1 C©u 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh:. 69  x 67  x 65  x 63  x 61  x      5 1942 1944 1946 1948 1950  xMy. Câu 6: Cho  ABC tam giác đều, gọi M là trung điểm của BC . Một góc = 600 quay quanh ®iÓm M sao cho 2 c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn lît t¹i D vµ E . Chøng minh : 2 a) BD.CE= BC 4.   b) DM, EM lÇn lît lµ tia ph©n gi¸c cña BDE vµ CED . c) Chu vi  ADE không đổi. §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm C©u. 1. S¬ lîc lêi gi¶i. n 2  n 1 1 m n  1 = n + n 1. a, Thùc hiÖn chia §Ó m nguyªn víi n nguyªn khi n + 1 lµ íc cña 1. BiÓu ®iÓm. 0.5 0.5.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Hay n + 1 1; -1 . Khi đó : n + 1 = 1  n = 0 Z ( t/m) n + 1 = -1  n = -2  Z (t/m) Víi n = 0  m = 1 . Víi n = -2  m = - 3 . VËy ... b, A = n3 + 3n2 + 3n +1 + 2n +2 = (n+ 1) 3 +2(n+1) = .. = n ( n +1) (n+ 2) + 3( n+1) Khi đó : 3(n+1)  3 n( n +1) (n+ 2) lµ tÝch cña 3 sè nguyªn d¬ng liªn tiÕp nªn tån t¹i mét sè lµ béi cña 3 c, a = 13k +2, b = 13q +3 a2 + b2 = ( 13k +2 )2 + ( 13q + 3) 2 =....= 13( 13k2 +4k +13 q2 + 4q +1)  13 2. bc ca ab   a) A= (a  b)(a  c) (b  c)(a  b) (a  c)(b  c) (đổi dấu) (a  b)(a  c)(b  c) = …. = (a  b)(a  c)(b  c) = 1. 0.5 0.5 0.5 0.5 1 4. b) Ta cã: 6. 2. 1  x  x = . 2. 2 1  1  3 1  1  x 6  6  x 3    3   (x  3 )  3(x  )  x x  ; x  x  6 2 1  6 1  1    3 1  x     x  6   2  (x  3 )  3(x  )  x  x  x x  Tö thøc:  = 1  1   1   3 x    2  x3  3   3 x    x  x   x  = . 2. 1    x 3  3   2 x    3 1  x  3 x  . 2. 3. 1 1 1   3 1   3  x    x  3 2  x  3   3 x   x x =  x   x Méu thøc:  1 Rót gän ta cã: B = 3(x + ) x 3 4. 1 1 1 1 1 1 1 1 1005 (1     .....   )  (1  ) 3 3 5 2009 2011 2 2011 2011 S= 2 2011x y z   2011  2011x  xy xyz  y  yz 1  z  zx. 2 2. xy.xz y z   2 = xyz  x yz  xy xyz  y  yz 1  z  zx = 5. 6. xy . xz xy (xz+ z +1). +. 1 1+ z +zx. +. z = 1+ z +zx. 1+ z + xz = 1 không đổi 1+ z +zx.  69  x   67  x   65  x   63  x   61  x   1    1    1    1    1 0   1942   1944   1946   1948   1950  1 1 1 1 1 (     ) ...... (2011 – x) 1942 1944 1946 1948 1950 = 0 1 1 1 1 1     0  2011 - x = 0 ( v× 1942 1944 1946 1948 1950 )  x = 2011. VÏ h×nh a,Chøng minh BMD CEM. 0.5 1 0.5 0,5 2.5 1.5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> BC BC 2 ... V× BM = CM = 2  BD.CE = 4 b, Chøng minh BMD MED. y. A. 1.5. x E D 1. B. 2 1. 2 3. M. ˆ ˆ Từ đó suy ra D1 D 2 , do đó DM là tia phân giác của góc BDE Chøng minh t¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED c, Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB, DE, AC Chøng minh DH = DI, EI = EK. Chu vi b»ng 2.AH . KÕt luËn…. Chó ý: Cã nhiÒu c¸ch kh¸c nhau , nhng cã chung 1 kÕt qu¶.. UBND HUYỆN PHÚ VANG ĐỀ PHÒNG GIÃO DỤC VÀ ĐÀO TẠO. .............................. THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Năm học 2002-2003. ........................ MÔN TOÁN - LỚP 8. (Thời gian làm bài 120 phút - không kể thời gian phát đề) Bài 1:(4 điểm) Cho phân thức: A=. x 28+ x 24 +x 20 +.. .. .+ x 4 +1 30 28 26 2 x +x +x +.. . ..+ x +1. a) Rút gọn phân thức. b) Tìm x để A lớn nhất. Bài 2: ( 4 điểm) Cho n số a1, a2, .....,an. Mỗi số có giá trị 1 hoặc -1 và a1a2+a2a3+a3a4+.....+ana1= 0 Chứng minh n chia hết cho 4. Bài 3 : (4 điểm) Chứng minh nếu: x 1+. 1 1 1 1 =x 2 + =x 3 + =.. .. . ..=xn + x2 x3 x4 x1. thì x1 = x2 = x3 = ........ =xn hoặc / x1.x2.x3......xn / = 1 Bài 4 : (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm, O là điểm cách đều ba đỉnh tam giác và M là trung điểm của BC. a) Chứng minh. 1 OM= AH 2. C.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> b) Chứng minh AH.BC + BH.CA + CH.AB = 4.S ( S là diện tích tam giác ABC) Bài 5 : ( 4 điểm) Cho tam giác ABC đều. Gọi O là trung điểm của BC. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho góc MON bằng 600. a) Chứng minh tam giác BOM đồng dạng với tam giác CNO. b) Chứng minh MO là phân giác của góc BMN. ........................... UBND HUYỆN PHÚ VANG ĐỀ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO. .............................. THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Năm học 2004-2005. ........................ MÔN TOÁN - LỚP 8. (Thời gian làm bài 120 phút - không kể thời gian phát đề) Bài 1: Giải phương trình: a) //x/ - 1/ = 2. b) ( x - 1)( x - 3)(x + 5)(x + 7) =297. Bài 2: Cho A = n3 + 3n2 + 2n với n là số nguyên dương và chẳn. a) Phân tích A thành nhân tử. b) Chứng minh A luôn chia hết cho 24. Bài 3 : Cho a, b, c thoả mãn: abc = 1 và. a b c b2 c2 a2 + + = + + b2 c 2 a2 a b c. Chứng minh rằng một trong 3 số a,b,c là bình phương của 1 trong 2 số còn lại. Bài 4 : Cho tam giác ABC , trung tuyến AD . Trên đoạn AD lấy M , N sao cho AM = MN = ND. Vẽ DK // BM ( K AC); KN cắt BM tại H. a)Chứng minh tứ giác DHMK là hình bình hành b)Tính tỉ số diện tích giữa hình bình hành DHMK và diện tích tam giác ABC. c)Chứng minh MH.AC = AK .MB ....................... UBND HUYỆN PHÚ VANG ĐỀ PHÒNG GIÃO DỤC VÀ ĐÀO TẠO. THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Năm học 2005-2006.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> .............................. ........................ MÔN TOÁN - LỚP 8. (Thời gian làm bài 120 phút - không kể thời gian phát đề) Bài 1: Giải phương trình: a) (x + 3)3 - ( x + 1)3 = 56. x −5 x − 4 x −100 x −101 b) 100 + 101 = 5 + 4. Bài 2: Chứng minh :. a) b). x y + ≤− 2 ( x, y khác dấu) y x 1 x 2+ y 2 ≥ ( với x + y = 1) 2. Bài 3 : Cho n số nguyên dương ( có thể bằng nhau) trong đó có số 136. Trung bình cộng của n số đó là 112. Nếu bỏ số 136 thì trung bình cộng của n-1 số còn lại bằng 110. a) Tìm n. b) Số lớn nhất trong n số đã cho bằng bao nhiêu? Bài 4 : Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh BC. Các đường thẳng qua D và song song với AB, AC lần lược cắt cạnh AC , AB ở E và F a)Chứng minh b)Chứng minh. AF AE + =1 AB AC AF AE S AEF . = AB AC SABC. với S là ký hiệu diện tích. c)Xác định D trên cạnh BC để SAEF là lớn nhất. ..........................

<span class='text_page_counter'>(9)</span>