On luyen Toan Lop 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ÔN LUYỆN TOÁN LỚP 9. Baøi 1: Cho x, y là hai số thực thoả mãn : (x + y)2 + 7(x + y) + y2 + 10 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x + y + 1 Giải: Từ giả thiết (x + y)2 + 7(x + y) + y2 + 10 = 0 7 7 Suy ra: (x + y) + 2. (x + y) . 2 + 2 7 9 (x + y + 2 )2 – 4 7 3 3 x+y+ 2 2 hay – 2 2. 2. (). 2. 7 2. 2. (). – 0. ⇒. + 10 = –y2. 0 7. (x + y + 2 )2. x+y+. 7 2. 9 4. 3 2. ⇒ –4. P = x + y + 1 –1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là – 4 và giá trị lớn nhất của P là –1 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P = Giaûi:. P=. x 2+1 x 2 − x+ 1. x 2+1 x 2 − x+ 1. 2. Ta coù: x – x + 1 =. 2. 1 3 + > 0 với mọi x 2 4. ( ) x-. 2. 2. 2. P=. 3x +3 3 ( x 2 − x+ 1 ). =. 2. 2 ( x − x+1 ) + x +2 x+ 1 3 ( x2 − x +1 ). =.  x  1 2  3 3 x2  x  1. . . 2 3. 2. Giaù trò nhoû nhaát cuûa P laø 3 khi x + 1 = 0 ⇒ x = -1 2 2x2 -2x+2-x2 +2x-1 ( x −1 )2 2 ( x 2 − x+1 ) − ( x −1 ) 2− 2 2 x 2 -x+1 x − x+ 1 2 x − x+1 P= = = Giá trị lớn nhất của P là 2 khi x – 1 = 0 ⇒ x = 1 Baøi 3: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn: 12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y) Giaûi:. 12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y) 3y2 + 2(3x – 14)y + 12x2 – 28x = 0 (1) Xem (1) laø phöông trình baäc hai aån y thì (1) coù nghieäm nguyeân khi vaø chæ khi Δ ’ laø soá chính phöông Δ ’ = (3x – 14)2 –36x2 + 84x = k2 0 –27x2 + 196 = k2 0 ⇒ 27x2 196 ⇒ x2 7 ⇒ x.  0;. 1 ; 2.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Neáu x = 0 thì y = 0 x = 1 thì y = 8 x = -1 thì y = 10 x = ± 2 thì y Z Vậy các cặp số (x; y) thoả mãn đề bài là (0; 0); (1; 8); (-1; 10) Baøi 4: a) Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên dương liên tiếp không thể là số chính phöông Giaûi: a) Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp là x; x + 1; x + 2; x + 3 với x nguyên döông. Giả sử x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = k2 (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = k2 (x2 + 3x + 1)2 – 1 = k2 (x2 + 3x + 1)2 vaø k2 laø hai soá chính phöông hôn keùm nhau 1 ñôn vò neân (x2 + 3x + 1)2 = 1 và k2 = 0 ⇒ x = 0; x = -3 trái với giả thiết. Baøi 5: Tìm số nguyên m để √ m2 +m+23 là số hữu tỉ Giaûi: Để √ m2 +m+23 là số hữu tỉ thì m2 + m + 23 phải là số chính phương Ñaët m2 + m + 23 = k2 (k Z) 2 2 4m + 4m + 92 = 4k 4m2 + 4m + 1 + 91 = 4k2 (2k)2 – (2m + 1)2 = 91 (2k + 2m + 1).(2k – 2m – 1) = 91 Với m; k là số nguyên thì 2k + 2m + 1 và 2k – 2m – 1 phải là ước của 91 ⇒. 2k + 2m+1=91 2 k − 2m −1=1. {. Hoặc {m=−23 k=−23 {2k2 k+− 2m2m+1=1 −1=91 m=22 Hoặc {k=− 23. m 22 ⇔  k 23 . ⇔. {m=−23 k=23. Hoặc. 91 {2k2 k+−2m+1=− 2 m−1=−1. Hoặc. {2k2 k+− 2m2 m+1=−1 −1=− 91. ⇔. ⇔.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> {2k2 k+−2m+1=13 2m −1=7. ⇔. {m=1 k =5. Hoặc. 13 {2k2 k+−2m+1=− 2m −1=− 7. Hoặc {m=−2 k =−5 {2k2 k−+2m2m+1=7 −1=13 m=1 {k=− 5. ⇔. {m=−2 k=5. Hoặc. 7 {2k2 k−+2m2m+1=− −1=− 13. Vậy để. √ m2 +m+23 là số hữu tỉ thì m. { −23; − 2; 1; 22; }. ⇔. ⇔.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>