Lich su cac nha Toan hoc tren the gioi phan 2

<span class='text_page_counter'>(1)</span>LỊCH SỬ CÁC NHÀ TOÁN HỌC TRÊN THẾ GIỚI (PHẦN 2) Tiểu sử nhà toán học Cantor. AKA Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor Born: 3-Mar-1845 Birthplace: St. Petersburg, Russia Died: 6-Jan-1918 Location of death: Halle, Germany Cause of death: Heart Failure Gender: Male Religion: Protestant Race or Ethnicity: White Sexual orientation: Straight Occupation: Mathematician Nationality: Germany Executive summary: Founder of set theory Father: Georg Waldemar Cantor (merchant, Protestant, d. Jun-1863) Mother: Maria Anna Böhm (musician, Roman Catholic, d. Oct-1896) Brother: Ludwig (d. Jan-1899) Wife: Vally Guttman (m. 1874, five children) Son: (d. 16-Dec-1899).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bố của Georg Cantor, là ông Georg Waldemar Cantor, một nhà buôn thành đạt làm việc tại một đại lý lớn tại St Petersburg, và sau đó làm người môi giới ở Chợ Chứng Khoán St Petersburg. Georg Waldemar Cantor sinh ra tại Đan Mạch, là một người có lòng say mê với văn hóa và nghệ thuật. Mẹ của Georg, bà Maria Anna Böhm sinh ra ở Nga,rất có năng khiếu về âm nhạc. Và dĩ nhiên, Georg có được gen năng khiếu âm nhạc và hội họa từ ba mẹ mình, nổi bật là một tay dương cầm điêu luyện. Georg trở thành một người theo đạo Tin Lành, đó là tôn giáo của cha ông, trong khi mẹ của ông lại là một người theo đạo Kito hữu. Sau khi được dạy dỗ ở nhà nhờ một gia sư, Cantor theo học tiểu học ở thành phố St Petersburg và năm 1856, khi ông lên 11 tuổi, gia đình ông chuyển sang Đức. Cantor: "...nghĩ lại lúc còn học ở Nga, với nỗi nhớ da diết và không hề vơi đi khi ông sống ở Đức, mặc dầu ông đã sống ở đây đến hết cuộc đời của mình, song dường như ông chưa bao giờ viết tiếng Nga, ngôn ngữ mà ông nên biết" Bố của Cantor có sức khỏe không tốt, nên đã chuyển tới sống ở Đức, để tìm một vùng khí hậu ấm áp , thay thế cho cái lạnh giá của thành phố St Petersburg. Ban đầu, họ sống ở Wiesbaden, nơi mà Cantor theo học lớp Gymnasium, và sau đó chuyển đến Frankfurt. Cantor học tại Realschule ở Darmstadt nơi mà ông sống giống như một học sinh nội trú. Ông tốt nghiệp năm 1860 cùng với một bảng điểm xuất sắc. Sau đó, ông theo học tại Höhere Gewerbeschule ở Darmstadt ông vào trường Polytechnic của Zurich năm 1862. Lý do mà bố của ông muốn gửi ông đến học ở Höheren Gewerbeschule đó là vì ông muốn Cantor trở thành : "... một ngôi sao sáng trên bầu trời khoa học kĩ thuật." Tuy nhiên, năm 1862 Cantor đã xin phép ý kiến của cha mình, để theo học ngành toán tại Đại học, và ông đã rất vui mừng khi được sự cho phép của ba mình. Quá trình học tập của ông tại Zurich bị gián đoạn do cha ông qua đời, tháng 6 năm 1863. Cantor chuyển đến trường đại học Berlin, nơi ông trở thành bạn của Herman Schwarz, một người học sau ông một khóa. Cantor nghe các bài giảng của Weierstrass, Kummer và Kronecker. Ông theo khóa học mùa hè của năm 1866 tại trường đại học Göttingen, và trở lại Berlin để hoàn thành luận án tốt nghiệp về lý thuyết số De aequationibus secundi gradus indeterminatis năm 1867. Trong thời gian ở Berlin, Cantor có mối liên hệ lớn với viện toán, và trở thành người đứng đầu của viện này những năm 1864 - 65. Ông cũng là một thành viên của nhóm các nhà toán học trẻ, họ có các cuộc bàn luận định kì hàng tuần tại nhà. Sau khi nhận bằng tiến sĩ năm 1867, Cantor dậy học tại một trường nữ sinh ở Berlin. Sau đó, năm 1868, ông tham gia hội thảo Schellbach Seminar dành cho giáo viên dậy toán. Trong suốt thời gian này, ông đã làm việc bảo về luận án habilitation của ông..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Tại Halle, hướng nghiên cứu của Cantor chuyển từ lý thuyết số sang tích phân. Để thỏa mãn Heine, một trong những học viên của ông tại Halle, người thách thức Cantor chứng minh phần mở rộng lạ đời đại diện cho một hàm số, như chuỗi lượng giác. Đó là một vấn đề khó đã từng được nhiều nhà toán học quan tâm, nhưng chưa có lời giải thành công, bao gồm cả bản thân Heine, hay Dirichlet, Lipschitz và Riemann. Cantor đã tìm ra đáp án cho vấn đề hóc búa trên vào tháng 4 năm 1870. Ông công bố bài báo ở những năm 1870 và 1872, với nội dung chính là chuỗi lượng giác và chúng được chỉ ra một cách nhuần nhuyễn trong quá trình giảng dậy của Weierstrass. Cantor nhờ đó trở thành giáo sư đặc biệt của Halle năm 1872, và trong năm này, ông bắt đầu có mối quan hệ với Dedekind, người ông đã từng gặp trong kì nghỉ ở Thụy Sĩ. Cantor công bố một bài báo về chuỗi lượng giác năm 1872, trong đó ông định nghĩa số vô tỉ trong giới hạn của những hàm số hội tự của số hữu tỉ. Dedekind cũng đưa ra định nghĩa về số thực bởi cũng vào năm 1872 sau khi đọc bài báo tham khảo của Cantor gửi cho ông. Năm 1873 Cantor chững minh rằng số hữu tỷ có thể đếm được, ví dụ như chúng có thể được đặt dưới dạng 1-1 tương ứng với những số tự nhiên. Ông cũng chỉ ra rằng các số đại số ( algebraic numbers), ví dụ như số nghiệm của các phương trình bậc cao với hệ số nguyên, là điếm được. Hơn nữa, những cố gắng của ông để giải quyết việc " phải chăng việc chứng minh các số thực là điếm được là khó hơn ". Tháng 12 năm 1873, ông chứng minh được rằng các số thực là không có đếm được, và ông đã công bố kết quả này vào năm 1874. Ý tưởng chứng minh đã được bật ra từ những bài báo trước, và ông đã làm việc một cách ngấm ngầm, để làm sáng tổ điều này. Một số siêu việt là một số vô tỷ cái không là một nghiêm của bất kì phương trình bậc cao với hệ số nguyên nào. Năm 1851, Liouville đã chứng minh 1851 sự tồn tại của số siêu việt, 20 năm sau, năm 1874, Cantor chỉ ra một điều chắc chắn rằng " gần như tất cả" các số là số siêu việt bằng cách chứng minh rằng số thực là không đếm được trong khi ông đã chứng minh được rằng các số đại số là đếm được. Cantor vội cả trao đổi với Dedekind. Câu hỏi tiếp theo ông tự hỏi chính mình, tháng 1 năm 1874, phải chăng bình phương đơn vị có thể phác họa trên một đường của chiều dài đơn vị với một sự tương xứng 1-1 của các điểm lẫn nhau. Trong một lá thư gửi cho Dedekind ngày mùng 5 tháng 1 năm 1874, ông đã viết: Phải chăng một bề mặt (như một mặt vuông bao gồm cả biên) là duy nhất chuyển thành một đường ( như một đoạn thẳng bao gồm các điểm mút) ở đó với mỗi điểm trên mặt đều tương ứng với một điểm trên đương thẳng, và ngược lại, với mỗi điểm thuộc đường thẳng, sẽ có một điểm tương ứng trên bề mặt ? Tôi nghĩ rằng việc trả.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> lời cho câu hỏi này là một việc không đơn giản, mặc dầu thực tế câu trả lời dường như rất rõ ràng là "không" và việc chứng minh là không cần thiết. Năm 1874 là một năm rất quan trọng trong cuộc đờ của Cantor. Ông hứa hôn với Vally Guttmann, một người bạn của chị gái ông, vào mùa xuân của năm đó. Họ lấy nhau vào ngày mùng 9 tháng 8 năm 1974, và dành tuần trăng mật ở Interlaken, Thụy Sĩ, nơi Cantor đã dùng phần lớn thời gian để trao đổi về toán học với Dedekind. Cantor tiếp tục trả lời Dedekind, trao đổi ý tưởng cũng như m xét các ý kiến của Dedekind, và ông đã viết cho Dedekind trong năm 1877, bước chứng minh rằng có một sự tương ứng 1-1 của các điểm trong khoảng [0,1] và các điểm trong không gian p chiều. Cantor đã rất ngạc nghiên trong bước khám phá của ông, và viết: Tôi thấy điều đó, nhưng tôi không tin được nó. Tất nhiên, điều là mối liên hệ giữa hình học và khái niệm chiều của một không gian. Một bài tiểu luận chính về chiều, cái Cantor gửi tới tạp chí Crelle năm 1877 đã được xem xét với thái độ nghi ngờ của Kronecker và chỉ được công bố sau khi có sự can thiệp của Dedekind. Cantor rất uẫn ực về sự đối lập của Kronecker với công việc của mình, và kể từ đó, ông không gửi một bài luận nào cho Tạp chí Crelle nữa. Bài báo về chiều cái xuất hiện trong tạp chí Crelle năm 1878 làm cho những khái niệm của tương xứng 1-1 được chính xác. Bài luận miêu tả tập hợp các số không đếm được, như các số tương ứng 1-1 với các số tự nhiên.Nghiên cứu về các tập hợp của cùng số mũ. Cantor cũng miêu tả khai niệm của chiều và nhấn mạnh thực tế rằng câu trả lời của ông ở giữa khoảng [0,1] và bình phương đơn vị không phải là một giản đồ nối tiếp. Giữa nhưng năm 1879 và 1884, Cantor công bố một tập hợp gồm 6 bài luận trong Mathematische Annalen để đưa ra một hướng dẫn cơ bản về lý thuyết tập hợp. Hơn nữa, có một số các vấn đề trong những năm ông cho là khó. Mặc dầu ông đã được lên chức Giáo sư chính thức năm 1879, Cantor đã từng hy vọng cho một ghế tại một trường đại học có uy tín hơn. Sự đối lập lâu dài giữa Cantor và Schwarz chấm dứt vào năm 1880, khi ý tưởng của Cantor ngày càng phát triển trong khi Schwarz không còn theo kịp hướng đi của ông. Sao đó vào tháng 10 năm 1881, Heine qua đời và cần một sự thay thế chiếc ghế của ông tại Halle. Cantor rút ra danh sách gồm 3 người có thể thể chiếc ghế của Heine, và danh sách này được tán thành. Trong sanh sách đó, Dedekind đứng ở vị trí đầu, tiếp theo là Heinrich Weber và cuối là finally Mertens. Nhưng cả 3 người trong họ dần dần mở đi trong con đường toán học, và một danh sách mới lại được chọn ra, trong đó có Wangerin, là điểm nhắm chính, tuy nhiên ông này không có mấy thân thiện với Cantor. Quan hệ thư từ lâu dài giữa Cantor và Dedekind chấm dứt vào năm 1882. Vào gần thời gian đó, Cantor bắt đầu có một mối quan hệ khác khá quan trọng với Mittag-Leffler. Ngay đó Cantor công bố trên tạp chí của Mittag-Leffler Acta Mathematica, và tất nhiên chuối 6 bài luận của ông ở vẫn tiếp tục xuất hiện trên tạp chí Mathematische Annalen . Trong bài luận thứ 5, Grundlagen einer allgemeinen.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Mannigfaltigkeitslehre được công bố dưới dạng 1 chuyện khảo riêng và đặc biệt quan trọng bởi một vài lý do. Trước hết Cantor nhận ra rằng lý thuyết tập hợp của ông không được như ông đã mong đợi và Grundlagen nhận được một số những lời bình. Thứ hai: Bước thành công chính của Grundlagen là sự giới thiệu về số transfinite, như sự độc lập và là hệ thống nối tiếp của số tự nhiên. Cantor kết luận một cách rõ ràng trong bài luận rằng ông hiểu sức mạnh của sự đối lập với ý tưởng của ông. "...Tôi hiểu rằng trong công việc này, tôi đặt bản thân mình ở trong một phía đối lập hoàn toàn với quan điểm rộng dãi về toán vô hạn của nhiều người và đưa ra chính kiến thường xuyên để bảo vệ trên vấn đề số tự nhiên" Cuối tháng 5 năm 1884 Cantor đã tỏ dấu hiệu chán nản đầu tiên. Ông đã che đậy sau một vài tuần xong giờ đây dường như sự tự tin của ông đã giảm. Ông viết cho MittagLeffler cuối tháng sáu rằng: "Tôi không biết khi nào tôi sẽ quay lại công việc nghiên cứu . Trong thời điểm này tôi chẳng làm được gì với nó, và giới hạn mình bằng các bài giảng cần thiết nhất: niềm vui tôi sẽ có là động lực để tôi tiếp tục nghiên cứu, và chỉ khi tôi có một tinh thần thỏa mái hơn. " Có lúc người ta nghĩ rằng, sự chán nán của ông là bởi sự lo lắng về mặt toán học, và cụ thể là kết quả khó khăn trong mối quan hệ của ông với Kronecker. Nó cũng là lý do ảnh hưởng đến vấn đề thần kinh của ông không được tốt những năm 1884.Và Cantor cảm thấy lo lắng rằng ông có thể không chứng minh được giả thuyết continuum, tên gọi theo thứ tự của vô hạn của số thực , cái tiếp theo số tự nhiên. Trong thực tế, ông nghĩ rằng chứng minh của mình là sai, ngày sau đó ông tìm ra lỗi sai của mình. Mặt khác cũng không được thuận lợi cho Cantor, năm 1885 Mittag-Leffler thuyết phục Cantor hủy bỏ một trong những bài báo từ Acta Mathematica khi nó đã đạt đến được kết quả chứng minh bởi vì ông nghĩ rằng nó"...sớm hơn 100 năm". Cantor nói đùa về điều đó, nhưng cũng cảm thấy đau trong lòng: Có phải Mittag-Leffler đã có ý của ông ấy, tôi sẽ phải đợi đến năm 1984, điều này đối với tôi dường như là một đòi hòi quá lớn....nhưng tất nhiên tôi chưa bao giờ muốn biết mọi thứ về Acta Mathematica. Mittag-Leffler có ý định tốt nhưng nó chỉ ra sự thiếu tôn trọng đối với công việc quan trọng của Cantor. Quá trình trao đổi thư từ giữa Mittag-Leffler và Cantor dừng trong một thời gian ngắn sau sự kiện này và làm xóa đi những ý tưởng mới, cái dẫn đến việc Cantor mở rộng lý thuyết tập hợp trên 12 năm dường như gần chấm dứt. Năm 1886, Cantor mua một căn nhà đẹp ở Händelstrasse, một con đường mang tên nhà soạn nhạc người Đức, Handek. Trước khi kết thúc của năm mà một người con trai ông ra đời, gia đình ông "hoàn thành kế hoạch" với 6 đứa trẻ. ong quay trở lại để mở rộng lý thuyết tập hợp với 2 hướng đi mới, hướng đầu tiên miêu tả bằng khia cạnh triết học của lý thuyết của ông với nhiều nhà triết học, được ông chỉ giới thiệu tên trong những bức thư năm 1888, và hướng thứ hai được mở ra sau cái chết của Clebsch, với việc tìm ra.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Deutsche Mathematiker-Vereinigung, cái ông hoàn thành vào năm 1890. Cantor được ngồi lên ghế đầu trong hội nghị Association ở Halle tháng 9 năm 1891, và măc dầu cay cú hơn với người đồi lập ông, Kronecker, Cantor vẫn mời Kronecker đến tham dự hội nghị này. Kronecker không bao giờ đến hội nghị, mặc dầu kể từ khi vợ ông bị thương nặng trong một tại nạn leo núi vào cuối mùa hè và qua đời một thời gian ngắn sau đó. Cantor đã được chọn làm người đứng đầu của Deutsche Mathematiker-Vereinigung tại hội nghị thứ nhất và giữ chức vụ này đến năm 1893. Ông giúp cho việc tổ chức hội nghị Association diễn ra ở Munich vào tháng 9 năm 1893, nhưng ông đã bị ốm lại và không thể tham dự hội nghị này. Cantor công bố bài luận khá lạ vào năm 1984, cái liệt kê con đường rằng tất cả các số chẵn tới 1000 có thể viết thành tổng của hai số nguyên tố. Kể từ một sự thẩm tra về giả thiết Goldbach, với các số chẵn tới 10000 được hoàn thành 40 năm sau đó, và bài luận được nhắc đến nhiều, về bước suy nghĩ của Cantor, hơn là giải thuyết Goldbach. Những bài luận chính về lý thuyết tập hợp được đưa ra vào năm 1895 và 1897, lần nữa trong Mathematische Annalen, trưởng ban biên tập là Klien, và là những sự quan sát tốt về số học siêu hạn. Đúng hơn là một khe hở lớn giữa 2 bài luận được chỉ ra bằng việc Cantor đã hoàn thành phần thứ 2, 6 tháng sau khi phần 1 được công bố, ông hy vọng việc chứng minh về giả thuyết continuum trong phần này. Tuy nhiên việc chứng minh này đã không thành, nhưng phần 2 lại miêu tả rất tốt lý thuyết của ông về tập hợp và số thứ tự ( ordinal numbers). Trong năm 1897, Cantor tham dự Hội nghị toán học quốc tế đầu tiên tại Zurich. Trong bài luận tại hội nghị:... Hurwitz biểu lộ sự cảm phục lớn đôí với Cantor và tuyên bố ông ta là người đã làm phong phú thêm lý thuyết hàm ( theory of functions). Jacques Hadamard cùng bày tỏ quan điểm của mình rằng nhờ có Cantor mà những khái niệm về lý thuyết tập hợp được xây dựng và là công cụ tối cần thiết. Trong hội nghị này, Cantor đã gặp Dekekind và họ đã nối lại tình bạn hữu. Và cũng thời gian này, Cantor đã khám phá ra những nghịch lý đầu tiên trong lý thuyết tập hợp. Những khám phá này được ông tìm ra trong khi ông làm việc với những bài luận điều tra, từ năm 1895 đến năm 1897 của mình. Ông đã viết cho Hilbert năm 1896 để giải thích các nghịch lý này. Barali-Forti cũng khám phá ra nghịc lý một cách độc lập và công bố nó vằo năm 1897. Cantor bắt đầu trao đổi thư với Dedekind để có gắng hiểu làm sao để giải những vấn đề đó nhưng những sự suy nhược thần kinh để ngăn cản ông trong việc trao đổi thư năm 1899. Mỗi khi Cantor bị chán nản, ông lại tạm dừng các vấn đề của toán học và chuyển sang vấn đề triết học. Bài văn mà ông thích thú nhất là bài văn nêu ra việc tin tưởng Francis Bacon đã viết những tác phẩm kịch của Shakespeare. Ví dụ trong trận ốm năm 1884, ông đã yêu cầu việc được giảng các bài triết thay cho toán học, và ông bắt đầu tập trung.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> nghiên cứu về các bài văn thời Elizabeth I, để cố gắng chứng minh thuyết BaconShakespeare. Ông phát hành cuốn sách mỏng về câu hỏi văn học năm 1896 và 1897. Ông càng căng thẳng hơn sau cái chết của mẹ ông tháng 10 năm 1896 và cái chết của em trai ông năm 1899. Tháng 10 năm 1899, Cantor xin nghỉ dậy, và được chấp thuận để nghỉ học kì đông 18991900. Sau đó vào ngày 16 tháng 12 năm 1899, em trai út của Cantor qua đời. Từ thời gian này, cho tới cuối đời của ông, ông lại phải đấu tranh với căn bệnh suy nhược thần kinh. Ông tiếp tục giảng dậy, nhưng cũng nghỉ một vài kì đông, những năm 1902-03, 1904-05,v à 1907-08. Ông cũng dành thời gian cho việc chữa bệnh, từ năm 1899. Ông vẫn tiếp tục công việc công bố thuyết Bacon-Shakespeare và tất nhiên không chấm dứt hoàn toàn việc nghiên cứu toán. Ông giảng về các nghịch lý của lý thuyết tập hợp tại hội nghị Deutsche Mathematiker-Vereinigung tháng 9 năm 1903 và tham dự hội nghị toán quốc tế tại Heidelberg tháng 8 năm 1904. Năm 1905, Cantor viết một bài về tôn giáo sau khi ông trở về nhà từ bệnh viện. Ông cũng trao đổi thư với Jourdain về lịch sử của lý thuyết tập hợp và vùng tôn giáo của ông. Tại lễ kỉ niệm 500 thành lập trường đại học St Andrews ở Scotland năm 1911, ông hy vọng được gặp Russell, người vừa mới công bố cuốn sách Principia Mathematica. Nhưng sức khỏe và tin con trai ông bị ốm làm ông phải trở về Đức ngay, khi chưa kịp gặp Russell. Năm sau đó, Cantor được nhân bằng xuất sắc về tiến sĩ luật bởi trường St Andrews, nhưng ông quá ôm để đến nhận bằng này. Cantor nghỉ hưu năm 1913 và chỉ được ăn một lượng thức ăn nhỏ bởi vì điều kiện khó khăn của nước Đức thời đó. Một sự kiện chính, đó là mừng thọ 70 của Cantor tại Halle năm 1915 đã bị hoãn vì chiến tranh, nhưng vẫn có một bữa tiệc nhỏ tại nhà. Tháng 6 năm 1917, ông phải nhập viện để chữa trị căn bệnh của mình, và viết cho vợ mình yêu cầu cho ông được về nhà. Ông qua đời vì một trận đau tim. Hilbert cảm phục về những công trình nghiên cứu của Cantor cho toán học, và ông viết về Cantor.. "......the finest product of mathematical genius and one of the supreme achievements of purely intellectual human activity".

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Andrei Kolmogorov, nhà bác học lớn của đất nước Xô Viết. Andrei Nikolaevich ra đời ngày 25 tháng 4 năm 1903 tại Tambov nằm cách Matxcơva 500 km. Mẹ ông đã trút hơi thở cuối cùng ngay khi sinh ông ra, và cha ông, một nhà thống kê nông học, người đã trở thành Bộ trưởng Nông nghiệp Liên Xô sau Cách mạng tháng 10 cũng qua đời, năm 1979. Mồ côi cả cha lẫn mẹ lúc mới 16 tuổi, ông may mắn được hai người cô đảm đang tạo cơ hội cho đi học. Chàng trai trẻ Kolmogorov bị hấp dẫn bởi môn lịch sử. Ngay năm sau đó, ông đã theo học ngành này tại Đại học Matxcơva nhưng đồng thời, ông cũng ghi danh theo các khóa học về toán học và luyện kim ở Học viện Công nghệ Mendeleev. Từ rất trẻ, Kolmogorov đã mang trong mình tài năng toán học kiệt xuất. Theo các khóa học của Nikolai Nikolaevich Lusin, ông làm quen với các lý thuyết về đo đạc và tích phân. Điều này đã dẫn ông quan tâm, vào năm 1924 tới lĩnh vực xác suất, lĩnh vực khiến ông nổi tiếng sau này. Vào năm 1929, Kolmogorov được công nhận là nhà nghiên cứu của Học viện Toán và Kỹ thuật Matxcơva nhờ sự hướng dẫn của người bạn thân Aleksandrov, một nhà khoa học có thế lực thời đó. Vào đầu những năm 30, một trận chiến kịch liệt diễn ra đã phân chia Viện Hàn lâm khoa học Liên Xô thành những nhóm đối lập nhau. Nhóm thứ nhất gồm các nhà nghiên cứu trẻ có vị trí trong đảng nhưng lại không có tài năng thực sự. Nhóm thứ hai là những người xuất sắc trong đó có Kolmogorov và Aleksandrov; và cuối cùng là nhóm các viện sĩ già không muốn rời bỏ chiếc ghế của mình, trong đó có cả Lusin. Năm 1936, Ernst Kolman, “lính xung kích” của nhóm thứ nhất tố cáo Lusin như kẻ thù của dân tộc khiến ông này có nguy cơ phải vào tù. Stalin đã giải quyết vụ này một cách khôn khéo: giữ Lusin lại Viện hàn lâm nhưng tìm cách giảm quyền lực của ông để nhấc Kolmogorov cùng Aleksandrov lên nắm quyền lãnh đạo Viện hàn lâm. Để thực sự trao vòng nguyệt quế cho cặp bài trùng này, Stalin thu xếp để các nhà khoa học trẻ xuất sắc nhất đất nước.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> được làm việc dưới sự điều khiển của hai người. Họ không chỉ được tạo điều kiện về vật chất mà còn cả những điều kiện làm việc thuận tiện. Ngay trong điều kiện khó khăn, Kolmogorov vẫn được quyền tra cứu các tài liệu khoa học quốc tế. Thậm chí ông còn được duy trì mối liên lạc với nhà toán học người Pháp Maurice Fréchet. Cũng trong những năm 30 thì có hai trường phái toán học đối lập với nhau tại Liên Xô. Đó là trường phái Saint-Petersboug với hướng đi của Chebyshev và học trò của ông là Markov về ứng dụng xác suất vào kỹ thuật. Trường phái kia gồm những người xung quanh Lusin lại đi theo trường phái Pháp của Emile Borel và Henri Lebesgue. Kolmogorov cho rằng cả hai trường phái đều có thể bổ khuyết cho nhau. Năm 1930, Kolmogorov có một chuyến công cán quan trọng ở Châu Âu và tới Gottingen, nơi nhà toán học Đức David Hilbert thành lập một trường toán học. Trước đó, năm 1900, Hilbert đã đưa ra một tiên đề trong cuốn “Grundlagen der Geometrie” (Các nền tảng của hình học). Trở lại Liên Xô, Kolmogorov xuất bản vào năm 1933 bằng tiếng Đức cuốn “Grundbegrife der Wahrscheinlichkeitsrechnung” (Các nền tảng của phép tính xác suất). Việc tạo logic cho phép tính logic khiến ông nổi tiếng. Vả lại, môn học này đang gặp thời và lúc đó người ta không dám nghi ngờ gì về tính chính xác của nó. Đúng hay sai thì xác suất vẫn được coi có giá trị “ứng dụng” nhất trong số các môn toán. Thời kỳ 1930-1950 được coi là thời kỳ hoàng kim của những lý thuyết này ở Liên Xô trong khi chỉ được coi là các thuật toán chưa đầy đủ ở Pháp (một xu hướng sau được khẳng định thêm bởi nhóm toán học Buorbaki). Kolmogorov trở thành nhà toán học lớn của đất nước. Bắt đầu từ năm 1935, ông cộng tác với các nhà khoa học khác để chuẩn bị soạn thảo cuốn Đại Bách khoa toàn thư Xô Viết nhằm đưa ra các ý tưởng của quan niệm triết học mới, kiểu như Diderot và D’Alembert đã làm ở Thế kỷ Ánh sáng. Ông được giao viết các mục lớn của phần “Toán học” vào năm 1938, bầu vào Viện Hàn lâm khoa học Xô Viết năm 1939 và nhận giải thưởng Stalin vào năm 1941. Kolmogorov ứng dụng các công trình về xác suất của mình vào nhiều lĩnh vực, đặc biệt là vào di truyền học, điều khiển học và chuyển động không đều. Ông luôn vẫn tìm cách để bảo vệ sự thật của khoa học khi cần thiết. Nhà sinh vật học và nông học Trofime Denisovitch Lyssenko muốn chứng tỏ ảnh hưởng của môi trường tới vật chất di truyền để tiến theo hướng của chủ nghĩa duy vật biện chứng. Nhưng năm 1940, Kolmogorov đăng một bài viết chỉ trích cách giải thích của một học trò của Lyssenco. Dựa vào các phương pháp thống kê, ông chứng tỏ rằng các thí nghiệm trên đi ngược với các định luật của Mendel, người đã từng khẳng định tính bất biến của vật chất di truyền. Tám năm sau, vào năm 1948, Lyssenco được Stalin ủng hộ đã chống lại các nhà di truyền học theo chủ nghĩa Mendel. Lo sợ số phận của mình sẽ như những người trên, Kolmogorov rút lui bằng cách tự loại bỏ bài viết tranh luận ra khỏi danh sách các công bố của mình. Tên của ông tỏa sáng trong lịch sử toán học còn nhờ các công trình trong một lĩnh vực khác: chuyển động không đều trong thủy động lực. Rồi ông đặt hòn đá tảng cho môn.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> điều khiển học của phương Tây bằng việc đưa vào và giới thiệu tại Liên Xô. Trong những năm cuối đời, Kolmogorov dồn sức lực vào việc cải tổ lại các chương trình dạy toán phổ thông. Không một chút hiềm khích, ông đưa lý thuyết của Bourbaki vào Liên Xô. Sau vài thập kỷ đóng góp sức lực vào những việc cao cả, ông mắc bệnh Parkinson và từ giã cõi đời vào năm 1987. Đem lại vinh quang cho tổ quốc và đứng trong hàng các nhà toán học lớn nhất thế giới, Kolmogorov cuối cùng được coi là một thiên tài biết sống và tồn tại dưới một thời khó khăn của đất nước Xô Viết.. Niels Henrik Abel, tài ba nhưng bất hạnh. Năm 1870, Francois Raspail đã đưa ra Quốc hội vấn đề về số phận bi thảm của Niels Henrik Abel. Nhà toán học người Na Uy này, chết ở tuổi 26 đã trở thành hình mẫu của một nhà khoa học trẻ không được những người đi trước thừa nhận khi còn sống. Số phận của chàng thanh niên trẻ này vẫn tiếp tục với công trình của mình, kể cả sau khi ông qua đời. Khi người ta chết trẻ, tốt nhất là để lại cho đời sau một công trình cách tân và những lời luyến tiếc. Đó chính là điều mà Niels Henrik Abel đã làm mà chẳng hề suy tính. Khi gửi một tiểu luận lên Viện Hàn lâm khoa học Paris vào năm 1826 (cuốn tiểu luận này đúng ra là một cuốn hồi ký, mang tên “Hồi ký về các tính chất tổng quát của một lớp rất rộng các hàm siêu việt” – ngocson52), ông không biết rằng nó sẽ được đón chào như thế nào vào thời điểm công bố:12 năm sau khi ông chết. Và người ta cũng không biết rằng phần thiếu của cuốn tiểu luận trên giờ vẫn là một điều huyền bí..

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Tất cả bắt đầu bằng một sự lãng quên. Cauchy, một trong hai viện sĩ hàn lâm được giao trách nhiệm đánh giá cuốn tiểu luận của Abel đã để quên tiểu luận này trong ngăn kéo. Khi người đánh giá thứ hai, Lengendre đọc được nội dung tiểu luận này vào thời điểm hai năm rưỡi sau đó, ông đã thừa nhận ngay lập tức dấu ấn của một nhà toán học lớn. Với một tầm nhìn rất rộng, Abel đã táo bạo đi từ các hàm elip cho tới lý thuyết các hàm đại số. Đồng thời ông cũng mở ra viễn cảnh lúc đó còn rất xa lạ trên mối quan hệ kết nối đại số, giải tích và hình học. Một tài năng lớn được phát hiện nhưng đáng tiếc lúc đó ông vừa mới qua đời. Ngay từ năm 1830, Viện hàn lâm đã có ý định xuất bản cuốn tiểu luận này. Nhưng cũng vào năm đó, Fourrier, thư kí viện hàn lâm qua đời. Chính vì vậy, dự định xuất bản này bị gác lại (vì Fourrier chính là người đã kiến nghị với Viện hàn lâm cho công bố tiểu luận này. Sau đó Viện đã giao cho Cauchy và Lengendre xem xét – ngocson52). Sau cuộc cách mạng tháng 7, Cauchy do không chấp nhận từ bỏ lòng trung thành với LouisPhilippe đã buộc phải đi tị nạn. Lengendre về phần mình cũng mất tích vào năm 1833. Bản viết tay của cuốn tiểu luận bị lẫn trong số các tư liệu của viện Hàn lâm và năm 1839, cuốn tiểu luận đã không nằm trong số toàn bộ các công trình của Abel được công bố lần đầu tiên. Cuối cùng, vào năm 1841 nó đã xuất hiện trở lại trong tạp trí “Tưởng niệm các nhà khoa học nước ngoài”nhờ Libri, một giáo sư gốc Ý ở Pari, người cũng đã được giao việc xuất bản các tác phẩm của Abel và sửa các lỗi trong đó. Libri đam mê Abel đến mức xuất bản cả một tiểu sử của nhà toán học trẻ tuổi này vào năm 1834. Tuy nhiên , chính Libri cũng là người chịu trách nhiệm đánh mấtmột lần nữa bản thảo cuốn tiểu luận này. Lần này thời gian biến mất của nó còn lâu hơn cả lần trước đó. Trong khi chuẩn bị tái bản lần thứ hai với các công trình đầy đủ hơn của Abel, người ta lại không tìm thấy bản thảo của cuốn tiểu luận thần bí. Là người đọc rất nhiều sách, Libri được giao nhiệm vu liệt kê danh sách những bản thảo hiếm lưu lạc trong các thư viện của các tỉnh, các lâu đài, các nhà thhờ và các trường học. Nhưng có những tin đồn rằng ông ta đã đánh cắp và biển thủ các bản viết tay này. Libri là nhà sưu tạp lớn các bản thảo viết tay quí hiếm đồng thời cũng là ”doanh nhân”mua đi bán lại nhiều tài liệu trong cả Châu Âu. Ít lâu sau cuộc cách mạng tháng 2 năm 1848, nhất cử nhất động của ông ta đều bị theo dõi vì người ta nghi nghờ ông ta đã “cuỗm”những hồ sơ lưu trữ nằm ở Viện hàn lâm. Libri đã trốn sang Anh tị nạn và bị kết án 10 năm tù vắng mặt. Từ Anh, ông ta tiếp tục sống bằng việc bán các bản thảo trong đó có cả những bản thảo trước thế kỉ XIII. Ông trở lại Florence, thành phố quê hương của ông mang theo hơn hai tấn giấy nhưng cái chết đã không để ông kịp sắp xếp lại chúng. Bộ sưu tập của ông ta do đó bị thất tán tứ tung. Chính vì thế mà “Cuốn tiểu luận Pari” đã lưu lạc tới thư viện Moreniana ở thành phố.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Florence. Nó được nhà toán học Na Uy Viggo Brun phát hiện vào năm 1952 nhưng đáng tiếc là bị mất 8 trang . Năm 2001, 4 trang bị mất được công bố và việc tìm kiếm 4 trang còn lại vẫn tiếp tục… Trở lai với Abel, tác giả của cuốn tiểu luận. Người có tầm nhìn xa trông rộng này là ai mà công trình của ông giờ vẫn cuốn hút bao nhiêu người? Ông sinh ngày 5 tháng 8 năm 1802 tại nhà cha xứ Finnoy ở biển phía Đông của Na Uy. Cha ông một phó giám mục khá quan tâm đế con cái và chúng đều được giáo dục với tư tưởng duy lý thời chủ nghĩa ánh sáng của Châu Âu lúc bấy giờ. Năm 1820, ông chết vì uống quá nhiều rượu. Cùng năm đó, cậu bé Niels Henrik 18 tuổi và đang học trung học tại thủ đô đã khám phá ra toán học. Rất nhanh, ông đã chứng tỏ một tiềm năng lớn trong lĩnh vực này và sau đó một năm, ông vào đại học. Nhưng ngay lúc đó ông đã bắt đầu công việc mà sau này trở thành thành công đầu tiên của ông, đó là công trình trên phương trình bậc 5. Để tiếp tục bậc đại học, chàng thanh niên trẻ Abel đã phải tới Paris, nơi có một môi trường tốt nhất cho các nhà toán học lúc đó. Chính nơi đó, và cũng chỉ nơi đó ông có thể hoàn thiện được học vấn của mình. Tuy nhiên, lứa tuổi 19 được coi là quá trể để đi ra nước ngoài. Chính vì vậy, với học bổng đại học của mình, ông tự học. Vào mùa hè 1825, ông được phép của trường đại học sang Pháp.Điều kiện duy nhất để được du học là ông phải qua Gottigen để gặp người vĩ đại Gauss, ông hoàng của toán học thời đó (người dịch viết là giáo hoàng của toán học, tôi sửa lại là “ông hoàng” cho thống nhất với từ chúng ta vẫn dùng. Từ “Giáo hoàng” rõ ràng là không hợp lý vì các nhà toán học đâu phải là những con chiên ngoan đạo – ngocson52) Thay vì làm điều này, khi tới Copengagen Abel thay đổi kế hoạch. Đáng lẽ phải tới Gottingen thì ông lạo đi Berlin. Trong những ngày ngắn ngủi – sự kiện ngẫu nhiên nhất trong cuộc đời của Abel là ông gặp được kỹ sư August Léopold Crelle, con người đam mê toán học. Ông này, nhờ gặp được Abel đã dũng cảm thực hiện một dự án nung nấu từ lâu trong lòng là xuất bản một tạp chí toán học ở Berlin để có thể cạnh tranh được với các tạp chí uy tín ở Pháp. Số đầu của Journal fur die reine und angewandte Mathematik (Tạp chí toán học thuần túy và toán ứng dụng) xuất bản vào đầu năm 1826. Phần lớn những gì mà Abel đã viết ra được trong lúc đó được xuất bản trong những trang báo này. Những thứ khác, được coi là tác phẩm lớn nhất của ông được giành cho Viện Hàn lâm khoa học Paris. Abel tới Paris vào tháng 2 năm 1826 (có tài liệu nói Abel lên đường tới Paris tháng 3 năm 1826 nhưng ông còn lưu lại ở nhiều nơi, phải đến mùa hè năm 1826 Abel mới đến Paris – ngocson52). Cuốn tiểu luận được ông trình lên Viện Hàn lâm và ông phải trải qua 3 tháng lang thang khắp thành phố. Có rất ít những gì người ta viết về thời kỳ ở Pháp này của ông. Quá khiêm tốn, Abel thậm chí còn nhút nhát. Ông không dự các buổi học của Cauchy ở trường Bách khoa hoặc ở Sorbonne. Ngược lại, ông giành nhiều thời gian cho các buổi gặp gỡ và người ta thấy ông táo bạo trong các ghi chép của mình: Legendre là một.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> “người lịch sự một cách khác thường nhưng tiếc là ông ta đã quá già (người dịch viết là “nhưng bất hạnh là ông ta cũ như một viên đá”, tôi sửa lại như trên. Cũng xin lưu ý rằng, lúc này Legendre đã 74 tuổi rồi – ngocson52). Poisson về phần mình “có một cái bụng hơi phệ và dáng đi bệ vệ”. Cũng như vậy đối với Fourrier, thư ký Viện hàn lâm. Về Cauchy, người mà ông coi nhưng một nhà toán học lớn nhất của Paris, Abel viết: “Cauchy là một con chiên rất sùng đạo, điều này đối với một nhà toán học có vẻ gì rất bất bình thường”. Qua hết Noel ở Paris, nghèo khổ và thất vọng, Abel trở về nhà. Trong một lần khám bệnh khi thấy bị ho và sốt, người bác sĩ đã thông báo: ông bị lao phổi… Trên đường trở về nhà, ông ghé qua Berlin. Crelle đề nghị Abel làm biên tập viên trong tạp chí của ông nhưng đối với chàng trai trẻ Na Uy, làm việc ở một nơi không phải đất nước quê hương của mình là một điều xấu hổ. Tuy nhiên, ngay cả ở Na Uy, người ta cũng coi chuyến đi của Abel là một thất bại. Không có gì công bố ở Paris và ông đã không đến gặp Gauss vĩ đại. Những bài báo đã được in trên một tạp chí ở Berlin nhưng khổ thay, đây là một tờ báo chưa có tên tuổi. Trường đại học đã đóng cửa trước mặt chàng tai trẻ tuổi. Không nghề nghiệp, không thu nhập, ông dành hết thời gian để dịch các bài báo sang tiếng Pháp. Abel làm việc cật lực trong những cơn sốt xen kẽ những lúc nằm bẹp trên giường vì sốt. Vào tháng 12 năm 1828, ông rời thủ đô và lê bước đi tìm người vợ chưa cưới lúc này đang làm quản gia tại một làng nhỏ hẻo lánh. Buổi khiêu vũ ngày Noel đã trở thành định mệnh với ông. Sau khi nóng người bởi điệu nhảy vui nhộn, ông tới ban công dể ngồi hóng mát. Ngày hôm sau, ông bắt đầu ho ra máu. Trong 12 tuần lễ nằm liẹt giường, những lúc thấy khỏe đôi chút, ông cố gắng viết được khoảng hai, ba trang giới thiệu về cuốn tiểu luận của mình ở Pari. Tình trạng bệnh của ông trầm trọng. Abel mới có 26 tuổi và theo các nhân chứng, ông đã ra đi rất nhanh, chẳng để lại trăng trối gì. Đó la ngày 6.4.1829. Tin tức không đến ngay Paris và Berlin. Ngày 8 tháng 4, Legendre viết thư thông báo cuốn tiểu luận Pari của ông đã được tìm thấy. Cùng lúc đó, ở Berlin, Crelle cầm bút viết cho Abel: đã tìm được một công việc cho ông. “Chắc chắn từ bây giờ ngài có thể đảm bảo được tương lai của mình. Ngài sẽ làm việc cùng chúng tôi và cuộc sống sẽ được đảm bảo”. Bức thư kết thúc bằng các câu sau: “Đây là một đẩt nước có khí hậu phù hợp với ngài. Tại đây, ngài sẽ tiếp cận với khoa học và tình bạn thực sự, với những người đánh giá cao và yêu mến ngài’’. Tin về cái chết của Abel, khi mọi người biết đã gây ra những phản ứng rất mạnh mẽ. Viện Hàn lâm khoa học Pari đã trao giải thưởng 1830 cho toàn bộ các công trình của ông và nhà toán học người Đức Carl Jacobi, người có các công trình với các chủ đề tương tự. Rất nhiều người trong đó có Legendre, Poisson, Lacroix và Maurice đã gửi đề.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> nghị tới nhà vua Na Uy và Thụy Điển Karl Johan cũng như viên tướng người Pháp JeanBaptiste Bernadotte để yêu cầu cho phép công bố các công trình và các bản viết tay của Abel. Nhờ vậy, các công trình của ông đã được xuất bản bằng tiếng Na Uy và tiếng Đức, sau đó được dịch sang tiếng Pháp. Abel nhanh chóng có một vị trí “ngôi sao” trong làng khoa học quốc tế. Cái chết của ông đã gây ra một phản ứng mạnh mẽ về trách nhiệm của nhà cầm quyền Na Uy. Rất nhanh chóng, một quyết định được đưa ra: đất nước này phải “tạo ra một Abel mới”. Người ta đã lựa chọn được một người: 5 năm sau khi Abel chết, đó là tài năng trẻ Ole Jacob Broch. Chàng trai được giao cho giáo sư toán học của Abel dạy để cùng hưởng một phương pháp giảng dạy. Năm 1840, cậu ta được gửi tới Pari với mục đích xây dựng lại công trình nổi tiếng của Abel. Đáng tiếc, đây không phải là điều mà Abel muốn. Mặc dù khá xuất sắc, bên cạnh là hàng loạt các giáo sư nổi tiếng, các thư ký văn phòng, cùng các điều kiện làm việc tốt nhất, Broch vẫn chẳng để lại dấu ấn gì trong lịch sử toán học. Ông kết thúc sự nghiệp của mình ở Pháp với tư cách giám đốc Văn phòng đo lường quốc tế ở Sèvres. Riêng đối với Abel, những di sản vô hình mà ông để lại cho đất nước, theo các nhà toán học đánh giá là cực kì lớn lao.. Norbert Wiener. N. Vine sinh ngày 16/11/1894 tại thành phố Côlumbia bang Missuri (Mỹ), trong một gia đình Do Thái. Cha ông, Lêô Vine (1862-1939) sinh ở Bêtôxtôka (trước kia là vùng thuộc Nga), hồi trẻ học ở Đức, sau sang Mỹ. Tại Mỹ, sau nhiều lần chìm nổi ông đã trở thành một nhà nghiên cứu văn hóa nổi tiếng. Khi còn ở Côlumbia, ông đã là giáo sư ngôn ngữ hiện đại của trường Đại học Tổng hợp Missuri, sau đó trở thành giáo sư tiếng Xlavơ kỳ cựu nhất của Mỹ tại Trường ĐH Tổng hợp Havard thuộc thành phố Kembrid.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> bang Massachuxet gần Boston. Ông đã gây được nhiều ảnh hưởng tốt đến N. Vine. Từ nhỏ Vine đã thể hiện nhiều năng khiếu xuất sắc. Cha cậu đã dạy con theo một chương trình đặc biệt. Chú bé Vine mới 7 tuổi đã đọc Đácuyn và Đantơ, 11 tuổi chú tốt nghiệp trung học, 14 tuổi học cao đẳng và nhận bằng bác học đầu tiên là thạc sĩ khoa nghệ thuật. Sau đó Vine học ở trường Đại học Tổng hợp Havard như một nghiên cứu sinh và năm 17 tuổi anh trở thành phó tiến sĩ khoa nghệ thuật; 18 tuổi (năm 1913) anh đỗ tiến sĩ triết học với các chuyên đề về logic toán. Tại Havard, Vine nghiên cứu triết học dưới sự hướng dẫn của Dj. Xantaiana và Dj. Rôix. Trường Đại học Tổng hợp Havard đã tạo điều kiện vật chất cho vị tiến sĩ trẻ tuổi tham quan học vấn ở châu Âu vào những năm 1913-1915. Vine đã đến Trường Đại học Tổng hợp Kembrid Anh và Gơttingghen ở Đức, nhưng sau đó, do chiến tranh nên anh phải trở lại Mỹ và kết thúc chuyến đi bổ sung học vấn của mình tại Trường Đại học Tổng hợp Côlumbia ở Niuioc. Tại trường Đại học Tổng hợp Kembrid, Vine đã theo học Béctơrăng Rútxen nổi tiếng, người mà thời kỳ đầu thế kỷ đã có uy tín rất lớn trong lĩnh vực logic toán.. Vine cũng đã từng theo học Dj. Khardi, một chuyên gia về lý thuyết số. Vine viết trong cuốn hồi ký của mình như sau: “Rutxen đã cho tôi biết ý đồ thông minh là nếu bạn vũ trang cho mình kiến thức về logic toán và triết học về toán thì bạn có thể biết một cái gì đấy trong lĩnh vực toán học”. Tại Gơttingghen, Vine đã theo học nhà toán học Đức vĩ đại nhất Đ. Hinbe, nghe bài giảng của nhà triết học E. Gusserl. Giai đoạn làm việc của Vine bắt đầu từ năm 1915. lúc đầu anh làm trợ giáo tại tổ bộ môn Triết học ở Havard, nhưng chỉ được một năm. Ông đã từng làm phóng viên, có lần đã định gia nhập quân đội…Sau cùng, nhờ sự giúp đỡ của nhà toán học F. V. Oxguđ, bạn của cha ông, Vine đã tìm được việc tại trường Đại học bách khoa Masschuxet. Năm 1919, ông được công nhận là giảng viên khoa toán và cho đến cuối đời Vine vẫn làm việc ở đó. Năm 1926, Vine làm lễ cưới Margarita Engeman, một phụ nữ Mỹ gốc Đức. Theo Vine thì những năm 1920-1925 là thời kỳ ông say sưa với toán học. Ông có khát vọng giải các vấn đề phức tạp của vật lý và kỹ thuật bằng những phương pháp toán học trừu tượng hiện đại. Ông nghiên cứu lý thuyết chuyển động Brao, thử sức mình trong lý thuyết thế, đi sau vào giải tích điều hòa tổng quát nhằm áp dụng cho lý thuyết thông tin. Kiến thức bách khoa của Vine được tích lũy dần dần, chậm chạm nhưng chắc chắn. Năm 1932 Vine (khi đó đã là giáo sư chính thức) đã có danh tiếng xứng đáng trong hàng ngũ các nhà bác học châu Âu và châu Mỹ. Ông hướng dẫn học trò viết luận án; xuất bản những cuốn sách giá trị về toán học như: “Giải tích điều hòa tổng quát”, “Định lý Taubre”, “Tích phân Phuriê và một vài ứng dụng”,…; cùng nghiên cứu với nhà toán học.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Đức E. Gopf về trạng thái cân bằng của các sao và đưa vào khoa học “Phương trình Vine-Gopf”. Một công trình khác nữa Vine viết cùng với nhà toán học Anh R. Peli “Biến đổi Phuriê trong vùng ảo”. Cuốn sách này đang viết dở thì Pile bị chết trong một lần trượt tuyến, sau đó Vine viết tiếp với nhà bác học Trung Quốc Li và V. Bus. Trong những năm 1935-1936 Vine là phó chủ tịch hội toán học Mỹ. Thời kỳ 1920-1930 Vine thường sang châu Âu làm quen với nhiều nhà bác học trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Ông sống khá lâu ở Kembrid và Gơttinhghen, tham gia vào những hội nghị toán học quốc tế, đặc biệt quan hệ với những nhà bác học lớn đương thời như: M. Prese, I. Ađammar, N. Bo, Dj. Golden, Dj. Bernal. Năm 1935-1936 Vine thăm Trung Quốc và giảng bài tại Trường Đại học Tổng hợp Bắc Kinh. Mối quan hệ của ông với các nhà bác học ngày càng được củng cố và mở rộng, điều này đã gây được ảnh hưởng tốt đến sự nghiệp khoa học của Vine. Thời kỳ này Vine 40 tuổi và kiến thức của nhà bác học đang nở rộ. Ông đã hồi tưởng: “Những công trình của tôi bắt đầu kết quả, tôi đã kịp đăng hàng loạt những vấn đề tự nghiên cứu và đã làm xong việc chuẩn bị cho một hướng phát triển moéi mà trong khoa học sẽ có chỗ cho nó”. Chính khuynh hướng này đã đưa Vine đến sự hình thành khoa học về điều khiển. Trong thời gian đại chiến thế giới lần thứ hai (1939-1945), Vine nghiên cứu lý thuyết về mạng điện, kỹ thuật tính toán. Chậm hơn một chút nhưng không phụ thuộc gì vào A. N. Kolmogorop, Vine đã phát biểu lý thuyết nội suy và ngoại suy của những quá trình ngẫu nhiên tĩnh. Vine đã cống hiến cho hướng phát triển lý thuyết “lọc”, một lý thuyết được áp dụng rộng rãi trong kỹ thuật. Trong thời gian ở Mêchxich (1945-1947) Vine đã nêu lên sự cần thiết phải hình thành một ngành khoa học thống nhất nhằm nghiên cứu các quá trình nhận, giữ và nhào nặn thông tin, các quá trình điều khiển và kiểm tra. Ông đề nghị đặt tên cho ngành khoa học mới mẻ và đầy tương lai là xibecnêtic. Chính C. Sennon cũng có công lớn trong việc hình thành xibecnêtic, nhưng Vine là người đầu tiên truyền bá ý nghĩa của điều khiển học trong toàn bộ hẹ thống nhận thức của con người. Mặc dù còn có nhiều quan điểm hạn chế trong quan điểm về triết học, về xã hội, nhưng Vine đã thể hiện đúng đắn vai trò của một nhà khoa học trong thời kỳ hiện đại. Ông luôn luôn đấu tranh cho việc áp dụng những thành tựu khoa học vào mục đích hòa bình. Vine hết sức phản đối việc tách rời lý luận với thực hành trong khoa học chân chính. Bản thân Vine có một lòng say sưa vô hạn những vấn đề khoa học phức tạp, những nghịch lý và những giả thuyết rắc rối. Vine mất ngày 19/3/1964 tại Xtôckhôn..

<span class='text_page_counter'>(17)</span> SOFIA VASILYEVNA KOVALEVSKAYA. - Sinh: 15/1/1850 tại Moscow, Nga - Mất : 10/2/1891 tại Stockholm, Thụy Điển Sofia Kovalevskaya là con giữa của viên tướng pháo binh Vasily Korvin-Krukovsky, và Yelizaveta Shubert, cả hai đều là những ng-ười được giáo dục của giới quý tộc Nga. Sofia được dạy dỗ bởi các gia sư-, đầu tiên sống tại Palabino, lãnh địa của Krukovsky, sau đó tại St. Petersburg, và tham gia vào nhóm xã hội của gia đình bà, trong đó có nhà văn Dostoevsky. Sofia bị sức hấp dẫn của toán học lôi cuốn ngay từ khi còn rất nhỏ. Người chú của cô, Pyotr Vasilievich Krukovsky, một ng-ười rất quan tâm đến toán học, đã nói cho cô về những vấn đề của môn toán. Sofia viết trong tự truyện của mình:"ý nghĩa của các khái niệm này đương nhiên tôi không thể hiểu hết được, như-ng chúng đã tác động lên trí tưởng tượng của tôi, truyền cho tôi sự sùng bái toán học nh-ư một môn khoa học cao quý và bí hiểm, có thể mở ra một thế giới của những con ng-ười kỳ diệu, vô bờ bến." Năm 11 tuổi, các bức tư-ờng trong căn phòng của Sofia dán đầy những trang bài giảng của Ostrogradski về ph-ép tính vi phân và tích phân. Cô nhận thấy rằng một vài thứ trong các tờ giấy này cô đã đ-ược nghe qua những câu chuyện của ng-ười chú. Việc nghiên cứu các tờ giấy dán tư-ờng là bước đầu tiên Sofia đến với các phép toán. Dư-ới sự dẫn dắt của gia sư-, thày giáo Y I Malevich, Sofia đã chính thức đến với nghiên cứu toán học, cô đã nói rằng: "Tôi cảm thấy sức lôi cuốn của toán học mãnh liệt đến nỗi tôi bắt đầu sao lãng các môn học khác.".

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Cha của Sofia quyết định chấm dứt các bài học về toán của cô, như-ng cô đã m-ượn được một bản sao (copy) cuốn sách Đại số (Algebra) của Bourdeu và đọc vào ban đêm khi cả nhà đã đi ngủ. Một năm sau, một ngư-ời hàng xóm, giáo sư- Tyrtov, tặng gia đình cô một cuốn sách giáo khoa vật lý do ông viết, và Sofia đã thử đọc nó. Cô không hiểu những công thức lượng giác và cố gắng tự mình giải thích chúng. Tyrtov thấy khi làm việc với khái niệm hàm sin, cô đã sử dụng phư-ơng pháp suy luận giống như- sự phát triển nó trong lịch sử. Tyrtov đã nói lại với với cha của Sofia nên khuyến khích cô tiếp tục học toán, như-ng phải mất vài năm sau, ông mới cho phép cô theo học các khóa học riêng. Sofia đã buộc phải cư-ới chồng để có thể ra nư-ớc ngoài học tiếp lên đại học (Ở Nga thời đó, phụ nữ không được học Đại học; nhưng muốn có hộ chiếu ở nước ngoài thì phải là con gái đã có chồng. Vậy mới có đám cưới giả của Sofia, đám cưới này về sau trở thành thật – ngocson52). Cha của cô không cho phép cô rời khỏi nhà để học đại học, và người phụ nữ Nga lúc đó không thể sống ngoài gia đình nếu không có văn bản cho phép của cha hoặc của chồng. Năm 18 tuổi, cô đã làm đám cưới giả với Vladimir Kovalevski, một nhà cổ sinh vật học trẻ tuổi. Cuộc hôn nhân này gây ra nhiều nhiều vấn đề rắc rối cho Sofia và, trong suốt 15 năm, đây là nguyên nhân của sự buồn phiền, cáu giận và căng thẳng triền miên và sự tập trung của cô bị chi phối bởi các cuộc tranh cãi thường xuyên và những hiểu lầm với người chồng. Năm 1869 Sofia đến Heidelberg để học toán học và các môn khoa học tự nhiên, nhưng sau mới vỡ lẽ: các tr-ường đại học ở đây không nhận các nữ sinh. Cuối cùng cô thuyết phục được người ta cho cô dự nghe các bài giảng một cách không chính thức. Sofia đã học rất tốt ở đó ba học kỳ và, theo hồi ức của các bạn sinh viên cùng học, cô ngay lập tức thu hút chú ý với các thầy giáo với khả năng toán học khác th-ường của mình. Giáo sư- Konigsberger, nhà hóa học lỗi lạc Kirchhoff, .... và tất cả các giáo s-ư khác đều rất yêu mến cô học trò xuất sắc của mình và nói về cô nh-ư một hiện t-ượng khác th-ờng. Năm 1871 Kovalevskaya chuyển đến Berlin để học Weierstrass, thầy của Konigsberger. Nhưng Ban giám hiệu đã từ chối việc cho phép cô tham gia các khóa học ở trư-ờng này bất chấp những cố gắng của Weierstrass và những đồng nghiệp của ông. Thật trớ trêu điều này lại giúp cô đư-ợc học riêng với Weierstrass hơn 4 năm liền. Gần đến mùa xuân năm 1874, Kovalevskaya hoàn thành 3 bài báo. Weierstrass cho rằng mỗi một bài báo này xứng đáng với học vị tiến sĩ (doctorate). Ba bài báo này về phư-ơng trình đạo hàm riêng (Partial differential equations), tích phân Abel (Abelian integrals) và vành Saturn (Saturn's Rings). Bài báo đầu tiên đư-ợc công bố trong Tạp chí Crelle (Crelle's Journal)[/i[ năm 1875, là một sự đóng góp rất đáng chú ý. Bài báo về biến đổi tích phân Abel về các tích phân elliptic (elliptic integrals) đơn giản hơn tuy không quan trọng bằng bài báo trước như-ng có chứa hàng loạt những thao tác khéo léo chứng tỏ cô làm chủ hoàn toàn lý thuyết Weierstrass. Năm 1874 Kovalevskaya đ-ược cấp bằng tiến sĩ, summa cum laude, của Trường Đại học Gottingen. Mặc dù có bằng tiến sĩ và thư- tiến cử đặc biệt của Weierstrass, Kovalevskaya vẫn không kiếm được một chân giảng dạy trong trường Đại học. Điều này có nhiều nguyên nhân, như-ng giới tính của bà vẫn là cản trở lớn nhất. Kết quả là suốt.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> sáu năm bà không tiếp tục được công việc nghiên cứu và cũng không đáp lại các bức thư của Weierstrass. Bà cay đắng nhận ra rằng công việc tốt nhất là dạy số học trong các lớp cơ bản của trư-ờng dành cho nữ sinh. Năm 1878, Kovalevskaya sinh con gái, như-ng từ năm 1880 cô bắt đầu trở lại với các nghiên cứu toán học của mình. Năm 1882 bà bắt đầu làm việc với khúc xạ ánh sáng (refraction of light), và viết ba bài báo về đề tài này. Năm 1916, Volterra đã nhận ra Kovalevskaya đã có một số sai lầm giống Lamé, trong các bài báo đặt có sở cho vấn đề này, mặc dù bà đã chỉ ra một số các lỗi khác mà Lamé mắc phải trong cách trình bày vấn đề của ông. Tuy vậy, bài đầu tiên trong ba bài báo có giá trị rất lớn, bởi vì nó bao gồm một sự giải thích lý thuyết của Weierstrass cho việc giải một số ph-ương trình đạo hàm riêng. Mùa xuân năm 1883, Vladimir, ng-ười mà Sofia đã ly thân trong vòng 2 năm, đã tự tử. Sau cú sốc ban đầu, Kovalevskaya tự giam mình vào công toán học nhằm xua đi những cảm giác tội lỗi. Mittag-Leffler giúp Kovalevskaya vư-ợt qua những sự chống đối ở Stockholm, và cuối cùng đã giành đ-ược cho bà chức vụ phó giáo sư- (privat docent). Bà bắt đầu giảng dạy ở đây từ đầu năm 1884, nửa năm sau, tháng Sáu năm 1884, đư-ợc cử làm quyền giáo sư- (extraordinary professorship), và đến tháng 6 năm 1889 trở thành ng-ười phụ nữ đầu tiên sau nhà vật lý Laura Bassi và Maria Gaetana Agnesi đư-ợc giữ một chức vụ giáo sư chính thức ở một trường Đại học của châu Âu. Trong những năm Kovalevskaya ở Stockholm, bà đã tiến hành nhiều nghiên cứu quan trọng trọng nhất. Bà giảng bài về những vấn đề mới nhất trong giải tích và trở thành Tổng biên tập tạp chí mới [i]Acta Mathematica. Bà giữ lên lạc với các nhà toán học của Paris và Berlin và tham gia vào việc tổ chức các hội nghị quốc tế. Vị trí của bà làm xã hội chú ý, bà bắt đầu viết hồi ký (reminiscences) và những vở kịch, những công việc mà bà rất yêu thích khi còn trẻ. Chủ đề của giải th-ưởng Bordin của Viện hàn lâm Khoa học Pháp đ-ược công bố năm 1886. Những bài tham dự phải có những đóng góp đáng kể cho bài toán nghiên cứu vật thể rắn. Kovalevskaya đã tham gia và, năm 1886, bà đư-ợc trao tặng giải thư-ởng Bordin với công trình Mémoire sur un cas particulier du problème de le rotation d'un corps pesant autour d'un point fixe, ou l'intégration s'effectue à l'aide des fonctions ultraelliptiques du temps. (Một trường hợp riêng của bài toán về sự quay một vật thể quanh một điểm cố định, nơi tích phân có tác dụng với sự ứng dụng của hàm số siêu elliptic – ngocson52). Để ghi nhận công trình xuất sắc này, tiền thư-ởng đã đ-ược nâng từ 3,000 lên 5,000 francs. Sự nghiên cứu sâu hơn của Kovalevskaya về đề tài này đã nhận đư-ợc giải thư-ởng của Viện hàn lâm khoa học Thuỵ Điển vào năm 1889, và cùng năm đó, theo đề xuất của Chebyshev, Kovalevskaya đ-ược bầu làm viện sĩ thông tấn Viện hàn lâm khoa học Nga. Mặc dù chính phủ Nga hoàng nhiều lần khước từ việc cử bà vào một chức vụ chính thức ở tr-ường Đại học trên chính trên quê hư-ơng bà, Viện hàn lâm đã thay đổi quy định để cho phép bầu một phụ nữ làm viện sĩ..

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Công trình đ-ược công bố cuối cùng của Kovalevskaya là một bài báo ngắn Sur un théorème de M. Bruns (Về một định lý của M.Bruns – ngocson52) trong đó bà đ-ưa ra một chứng minh mới, đơn giản hơn định lý Bruns về tính chất của hàm thế năng (potential function) của vật thể đồng nhất (homogeneous body). Đầu năm 1891, khi đang trên đỉnh cao của sáng tạo toán học và vinh quang, Kovalevskaya mất vì sưng phổi.. Leonard Euler (1707 – 1783), một cuộc đời sáng tạo phi thường Sinh năm 1707 ở Ba-đen, một thành phố nhỏ ven bờ sông Ranh (Rhin), cậu bé Ơ-le lớn lên hồn nhiên giữa mảnh đất Thụy Sĩ tuyệt đẹp. Khả năng toán học của cậu bé bộc lộ rất sớm. Năm 13 tuổi, cậu bé đã là sinh viên trường đại học Tổng hợp Ba-đen. Ở đó, trong những giờ học toán sơ cấp và thiên văn, giáo sư Béc-nu-li (J.Bernoulli) đã nhận ra ngay những dấu hiệu thiên tài nơi cậu bé Ơ-le. Gia đình giáo sư Béc-nu-li là một gia đình đặc biệt trong lịch sử Toán học; chẳng khác gì gia đình đặc biệt của Bach trong lịch sử Âm nhạc. Trong gia đình giáo sư, có 9 nhà toán học trong đó có 5 viện sĩ. Dòng họ Béc-nu-li đã lãnh đạo bộ môn toán ở trường Tổng hợp Ba-đen trong suốt thế kỉ XVIII. Cậu bé Ơ-le trở thành khách quý của gia đình, kết thân với hai cậu coan trai giáo sư, sau này đều là những nhà toán học nổi tiếng đã đóng vai trò rất quan trọng trong cuộc đời Ơle, với một tình bạn trong sáng vµ sâu sắc. Năm 1724, Viện hàn lâm khoa học Pê-tec-bua (Nga) được thành lập. Mùa thu năm sau, ba bạn trẻ rời Ba-đen đến Pê-tec-bua để quyết tâm đi theo con đường nghiên cứu Toán học mà họ cùng chọn lựa. Năm 1731, chàng thanh niên Ơ-le 24 tuổi trở thành viện sĩ. Năm 1735, chính phủ Nga giao cho Viện hàn lâm nhiệm vụ tính toán thiên văn để lập bản đồ. Khi sơ bộ tính toán, các viện sĩ thấy phải ba tháng mới có thể hoàn tất công việc. Việc rất gấp, Ơ-le đã nhận hoàn thành trong...ba ngày đêm liên tục tính toán. Bằng tất cả năng lực sáng tạo phi thường của mình, trước sự kinh ngạc của mọi người, Ơ-le đã làm xong chỉ trong một ngày đêm! Vì phải tập trung chú ý quá cao độ và căng thẳng, ông đã phải chịu tổn thất đau đớn: làm xong việc mắt bên phải bị hỏng, mắt trái yếu hẳn. Năm 1770, thầy thuốc tiến hành phẫu thuật chữa mắt cho ông nhưng sau khi mổ vài ngày, ông lại lao vào làm việc, tính toán không nghỉ nên mắt trái hỏng lại và từ đó, ông bị mù hẳn. Năm đó, ông phải chịu nhiều bất hạnh: nhà cháy, của cải mất hết. Rồi hai năm sau, bà Ơ-le qua đời. Người ta đã tưởng từ đó ông phải giã từ khoa học. Nhưng tình yêu của ông đối với sự nghiệp mình đã chọn không hề giảm sút và sức mạnh sáng tạo của bộ óc thiên tài nơi ông thật vĩ đại. Nhân loại đã từng biết đến những tấm gương lao động sáng tạo của những tài năng cao quý, vượt lên những ngăn trở của bất hạnh ngẫu nhiên; nhạc sĩ thiên tài Đức Bét-tô-ven bị điếc, nhưng 20 năm cuối đời vẫn tiếp tục viết lên những tác phẩm âm nhạc bất hủ. Lê-ô-na Ơ-le cũng vậy, khi đã hỏng mắt, trong 17 năm cuối đời, ông đã hoàn tất 416.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> công trình khoa học, tức là trung bình mỗi năm nghiên cứu thành công 25 công trình có giá trị xuất sắc. Trong các sách toán, không có nhà Toán học nào tên tuổi được nhắc đến nhiều như Ơ-le. Những gì ngày nay chúng ta còn học trong phần logarit và lượng giác ở chương trình phổ thông là hoàn toàn theo cách trình bày của Ơ-le. Ông còn là người đề ra nhiều kí hiệu Toán học, chẳng hạn quen thuộc nhất với chúng ta là kí hiệu số r (pi). Mùa hè năm 1783, trong khi đang chơi đùa với các cháu sau một ngày làm việc, ông bỗng thấy khó chịu. Ông thốt lên "Tôi chết mất!" rồi ngất đi và từ trần. Ông để lại 865 công trình khoa học, có thể in thành 72 tập lớn, mỗi tập ngót 600 trang. Chúng ta tưởng tượng, chỉ để chép lại nguyên văn các công trình này, nếu một người cứ liên tục một ngày 8 giờ làm việc, muốn chép xong cũng phải...50 năm. Với trí nhớ kì diệu, khi đã mù, ông đọc cho các thư kí viết các phát minh của mình. Sau khi ông mất, Viện hàn lâm Pê-tec-bua đã lần lượt công bố các bản thảo của ông khoảng 47 năm mới hết. Nhà toán học Pháp La-pla-xơ (Laplace) gọi ông là "người thầy chung của tất cả chúng ta". Cuộc đời Ơ-le là tấm gương sáng chói về lòng say mê lao động sáng tạo không mệt mỏi.. Toán học cổ Ả Rập Sự phát triển và suy tàn của đế chế Á Rập đã có những ảnh hưởng không nhỏ đến sự phát triển của toán học. Vào khoảng thế kỷ thứ VII đế quốc Á Rập đã bành trướng sự thống trị và mở rộng ảnh hưởng lên một vùng đất bao la từ Ấn độ qua Ba Tư, Mesopotami và Bắc Phi, gần vào Tây Ban Nha, họ đã cai trị vùng đất rộng lớn này cho đến thế kỷ thứ XIII. Công lao đáng kể của người Á Rập là họ biết gìn giữ nền văn hoá thế giới và biết học tập và kế thừa các tri thức uyên bác của người Hy Lạp và người Ấn Độ. Các giáo chủ Hồi giáo ở Bagdad không những biết cai tri giỏi mà nhiều người đã trở thành chủ nhân ông trong nhiều lĩnh vực khoa học. Họ đã mời nhiều nhà bác học nổi tiếng đến làm việc ở đất nước họ. Nhiều công trình của Ấn Độ và Hy Lạp về toán học, thiên văn học và y học đã được dịch sang tiếng Á Rập, về sau các học giả Châu Âu dịch chúng sang Latin hoặc sang các ngôn ngữ khác. Dưới triều đại của giáo chủ al-Mansur, các công trình của Brahmagupta đã được chuyển về Bagdad ( vào khoảng năm 766) và được dịch sang tiếng Á Rập dưới sự bảo trợ của hoàng gia. Người ta nói rằng đó chính là cách để đưa các chữ số Ấn Độ vào nền toán học Á Rập. Giáo chủ kế tục là Harun al_Rashid ( Aaron chính nghĩa ) trị vì từ 786 đến 808 mà chúng ta được biết trong "Nghìn lẻ một đêm ". Dưới triều đại của ông, nhiều tác phẩm kinh điển của Hy Lạp được dịch sang tiếng Á Rập trong đó một phần của tác phẩm "Cơ bản" của Euclid, và nhiều tri thức từ Ấn Độ cũng được tập hợp ở Bagdad.Con trai của Harun al-Rashid là al-Mamun ,trị vì từ 809 đến 833 , cũng là người bảo trợ tri.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> thức và bản thân ông cũng là nhà thiên văn học. Ông đã cho dựng đài quan sát ở Bagdad và tiến hành việc đo lường kinh tuyến của trái đất. Theo sắc lệnh của ông, công việc dịch thuật vẫn tiếp tục, "Almagest "đã thành tiếng Á Rập và bản dịch tác phẩm " Cơ bản " đã hoàn tất. Dưới triều đại của ông, nhiều nhà bác học đã viết về toán học và thiên văn học, nổi tiếng hơn cả là Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi. Ông đã viết một luận văn về đại số học và một cuốn sách về các chữ số Ấn Độ, và cả hai đều có ảnh hưởng đáng kể đối với Châu Âu khi chúng được dịch sang tiếng Latin vào thế kỷ XII. Ít lâu sau có nhà bác học Tâbit ibn Qorra (826-901) nổi tiếng là một nhà vật lý học, một triết gia, nhà ngôn ngữ và nhà toán học. Ông đã đưa ra một bản dịch Á Rập thật sự có giá trị cho tác phẩm " Cơ bản ". Các bản dịch của ông về các tác phẩm của Apollonius, Archimedes, Ptolemy và Theodosius được xếp vào hàng những bản dịch tốt nhất. Ông cũng viết về thiên văn học, các đường conic, đại số sơ cấp, ma phương và các số bạn . Nhà toán học Hồi giáo nổi tiếng nhất thế kỷ thứ X là Abul-Wafa(940-998) sinh ở miền Buzjan, Nishapur (Ba Tư). Ông nổi tiếng với bản dịch Diophantus, với việc đưa hàm tiếp tuyến vào lượng giác học, việc tính toán các bản sin và tang cho các khoảng cách 15’. Ông cũng viết về một số lĩnh vực toán học. Vào thế kỷ thứ X và XI Abu Kâmil và al- Kakhi đã viết những công trình về đại số học. Khoảng 1100, Omar Khayyam có một đóng góp sâu sắc về phép giải hình học các phương trình bậc ba. Vào khoảng 1250 Nasir ed -din viết một công trình đầu tiên về lượng giác phẳng và cầu , được coi là độc lập với thiên văn học. Saccheri bắt đầu công trình về hình học phi Euclid. Vào thế kỷ XV Ulugh Bêg, một nhà thiên văn học Ba Tư đã biên soạn bảng sin và tg nổi tiếng cho khoảng cách 1’ đúng tới 8 hoặc hơn nữa các số thập phân. Nhiều thuật ngữ khoa học ngày nay bắt nguồn từ thời kỳ Á Rập .Bất kỳ người nào có quan tâm đến thiên văn học quan sát đều biết rằng một số lớn tên các sao có các tên Á Rập. Nguồn gốc của tiếng Anh "Algebra " ( đại số ) là từ tên sách Hisâb al-jabr w’ almuqâbalah của al-Khowârizmi viết về chủ đề này. Tên sách này nếu được dịch từng chữ sẽ là " khoa học về sự thống nhất và đối lập " hoặc dịch thoát hơn là " khoa học về sự chuyển vị và giản ước ". Văn bản này hiện nay vẫn còn và được biết ở Châu Âu qua các bản dịch Latin, và cho từ al-jabr, hoặc algebra là đồng nghĩa với khoa học về các phương trình. Từ giữa thế kỷ XIX, từ "algebra" tất nhiên đã được dùng để chỉ một nội dung lớn hơn nhiều. Cuốn sách của al-Khowârizmi nói về cách dùng các chữ số Ấn Độ cũng đã đưa ra một thuật ngữ toán học . Năm 1857 một bản dịch Latin đã được tìm thấy là nó bắt đầu như sau " Algoritmi đã nói ..." . Ở đây tên gọi al-Khowârizmi biến thành Algorithmi rồi biến thành từ " algorithm" ( thuật toán) ngày nay . Đánh giá chung về sự đóng góp của các nhà toán học A Rập vào sự phát triển của toán học thì có nhiều ý kiến khác nhau. Một số cho rằng các tác gia Hồi giáo thể hiện tính độc đáo cao và là những thiên tài, nhất là những công trình của họ về đại số học và lượng giác học. Một số ý kiến cho rằng các tác gia Hồi giáo có lẽ là những người hiểu biết nhưng ít tính sáng tạo và chỉ ra rằng các công trình của họ hoàn toàn ở hàng thứ yếu cả về chất lượng lẫn số lượng so với các tác gia Hy Lạp hoặc các tác gia cận đại. Một điều đáng thừa nhận là họ đã thực hiện được những tiến bộ nhỏ và họ đã làm được một.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> việc rất đáng trân trọng là họ đã lưu giữ được rất nhiều trong số những của cải tinh thần của thế giới và truyền sang Châu Âu về sau.. Abul Wafa Muhammad al-Buzjani (940-998). Johannes Kepler Wurtemberg 1571-Ratisbonne 1630 Ông xuất thân từ một gia đình rất bình thường :cha ông là người làm thuê, mẹ ông là con một người bán quán ,thích gây gỗ đánh nhau .Johannes là một cậu bé ốm yếu ,lên 4 tuổi bị bệnh đậu mùa suýt nguy dến tính mạng ,nhưng may mắn qua khỏi ,di chứng để lại là thị lực bị giảm.Từ nhỏ ,tuy sức khỏe kém nhưng Johaness đã chứng tỏ cho mọi nhười thấy rằng mình học được ,vì vậy Johness được theo học có hệ thống ,từ trường Dòng địa phương cho đến Trường Đại Học Tubigen,và may mắn là Johaness được theo học bài giảng của nhà thiên văn học nổi tiếng thuộc trường phái COPERNIC .Năm 1595 KEPLER công bó sách viết vè các hành tinh ,và từ năm 1594 ông dạy toán và đạo đức ở trường trung học ở Graz .Năm 1600 ông đành rời bỏ công việc đang làm vì lý do tôn giáo và sang làm trợ lý cho nhà thiên văn nổi tiếng người Đan Mạch TYCHO BRAHE lúc đó đang làm giám đóc đài thiên văn Benatek gần Brague phục vụ cho vua RODOPHE II .Năm 1601,nhà bác học BRAHE mất ,KEPLER được cử tiếp tục công việc của thầy học .Năm 1613,sau khi vợ ông và người con trai qua đời, ông đau buồn ,trở vè Lin,một thành phố thuộc Áo ,bên bờ sông Danube ,dạy trung học .Trong 4 năm, cuối đời ,KEPLER lang thang qua nhiều thành phố ,kiếm sống bằng cách xem số tử vi ..

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Tuy là một nhà khoa học có tên tuổi nhưng cuộc đời riêng của ông thật là bất hạnh .Người vợ đầu tiên của ông bị điên và mất sớm . Để tránh điều xấu số một lần nữa trong đời ,KEPLER đã nghiên cứu tỉ mỉ các ưu và khuyết điểm của 11 người đàn bà khác và quyết định di bước nữa với một người khá nhất trong số ấy.Nhưng bước đi này còn tệ hại hơn! KEPLER nổi tiếng vì đã tìm ra 3 quy luật về quỹ đạo của các hành tinh.Nhưng điều mà các nhà toán học nhớ đến ông lai rất quan trọng vì KEPLER nghiên cứu về conique .Chính ông là người đầu tiên đã dùng từ tiêu điểm và là người đầu tiên dùng từ một điểm ở vô tận . Ông cũng để lại cho đời sau những kết quả nghiên cứu về đa diện hình sao đều . Ông khám phá ra được 2 hình,và những hình còn lại do POINSOT .Công của KEPLER ở chỗ ông đã tính được điện tích và thể tích : ông có sáng kiến chia nhỏ một mẳt ra những phần vô cùng nhỏ mà diện tích là tính được ,rồi lấy tổng của những diện tích vô cùng nhỏ ấy .Tuy phương pháp ông chưa thật là hệ thống lắm nhưng đó chính là những ý tưởng báo hiệu cho "Lý thuyết các vô cùng nhỏ ,không thể chia nhỏ hơn" của CAVALIERI.Chính nhờ phương pháp này mà ông suy ra định luật diện tích của các quỹ đạo của các hành tinh ( trong chứng minh của ông có hai cái sai, nhưng may mắn thay chúng triệt tiêu lẫn nhau !) Người ta kể lại, để giúp cho những người bán rượu vang tính được thể tích các thùng chứa rượu, ông cho xuất bản quyển Hình học mới về các thùng chứa rượu vang trong đó ông thử tính 93 thể tích thùng chứa rượu (đều là những hình tròn xoay).. Menelaus OF ALEXANDRIA. (about 70 - about 130) Menelaus sống trong thời đại đế chế Alexandria. Tương truyền rằng ông được sinh ra vào khoảng năm 70 thời đại Alexandria, ở Ai Cập và mất vào khoảng năm 130..

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Mặc dù chúng ta biết rất ít về cuộc đời của Menelaus, nhưng qua Ptolemy, chúng ta cũng biết những quan sát thiên văn của Menelaus ở Roma vào ngày 14 tháng 1 năm 98. Những quan sát này bao gồm cả hiện tượng mặt trăng che khuất ngôi sao Beta Scorpii. Ông ta cũng nói về Plutarch, người mô tả cuộc nói chuyện giữa Menelaus và Luccius, trong đó Lucius đã xin lỗi Menelaus vì đã nghi ngờ sự kiện ánh sáng khi phản xạ, tuân theo luật góc tới bằng góc phản xạ. Lucius nói: "Thưa ngài Menelaus, tôi lấy làm xấu hổ khi đã nghi ngờ một mệnh đề toán học, cơ sở về phản xạ học. Chưa bao giờ có một mệnh đề như vậy." Cuộc đàm thoại được cho là đã diễn ra ở Roma vào một thời gian sau năm 75 sau công nguyên, và như thế, nếu phỏng đoán Menelaus được sinh vào năm 70 sau công nguyên là gần đúng thì nó diễn ra vào nhiều năm sau năm 75. Ngoài ra, những gì biết về cuộc đời của Menelaus là rất ít, ngoại trừ ông được Pappus và Proclus gọi là Menelaus của thời Alexandria. Tất cả những gì chúng tôi viết ở đây đều là những phỏng đoán dựa vào khoảng thời gian ông ta sống ở cả Roma và Alexandria, nhưng điều suy đoán hợp lý nhất là ông ta sinh ra ở Alexandria và sống ở đó thời trẻ, sau đó, chuyển đến Roma. Một quyển toán Ả rập được viết vào khoảng thế kỷ X đã ghi lại về Menelaus như sau: Ông ta sinh ra trước Ptolemy. Ông ấy đã viết "Sách về các mệnh đề khối cầu", "Kiến thức về các lực và sự phân phối của các vật thể", 3 quyển sách về "Hình học cơ bản" được Thabit Ibn Qurra chỉnh sửa, và "Sách về tam giác". Một trong số đó đã được dịch sang tiếng Ả rập. Các quyển sách của Menelaus chỉ còn lại quyển Sphaerica. Nó liên quan tới tam giác cầu và ứng dụng tam giác cầu trong thiên văn. Đầu tiên, ông ta định nghĩa tam giác cầu và để định nghĩa ở quyển 1: "Một tam giác cầu là phần không gian bị giới hạn bởi các cung của một đường tròn lớn trên mặt cầu, các cung này luôn nhỏ hơn một nửa đường tròn." Trong quyển 1 của Sphaerica, ông cũng thiết lập các tương quan cơ bản cho tam giác cầu giống như Euclide đã thiết lập cho tam giác phẳng. Ông đã dùng các cung của đường tròn lớn thay vì dùng các cung của các đường tròn song song trên mặt cầu. Đây là một bước ngoặc trong sự phát triển môn lượng giác cầu. Tuy nhiên, Menelaus có vẻ không vừa ý với phương pháp chứng minh quy nạp thông thường mà Euclide hay dùng. Menelaus không dùng cách này để chứng minh định lý, thế là ông ta đã chứng minh một số định lý trong hình học của Euclide tương ứng cho trường hợp tam giác cầu một cách dễ dàng và bằng các phương pháp khác. Trong một số trường hợp, tương quan của Menelaus hoàn thiện hơn các tương quan tương tự trong hình học Euclide. Quyển 2 áp dụng hình học cầu vào nghiên cứu thiên văn. Những kết quả áp dụng rộng rãi nhất là các mệnh đề của Theodosius trong tác phẩm Sphaerica, nhưng Menelaus đưa ra các phương pháp chứng minh tốt hơn. Quyển 3 liên quan tới lượng giác cầu và bao gồm các định lý của Menelaus. Các định lý này không được biết đến đối với tam giác phẳng..

<span class='text_page_counter'>(26)</span> "Nếu một đường thẳng cắt 3 cạnh bên của một tam giác (một trong những cạnh bên được kéo dài từ một cạnh của tam giác), thế thì tích 3 đoạn thẳng được tạo thành bằng tích 3 cạnh của tam giác" Menelaus giải thích định lý về tam giác cầu trên (ngày nay gọi là định lý Menelaus) và đưa vào quyển 3 như một mệnh đề đầu tiên. Các đường thẳng có thể hiểu là giao của những đường tròn lớn trên mặt cầu. Những lời chú giải, bình luận trong tác phẩm Sphaerica đã được dịch sang tiếng Ả rập. Một số tác phẩm vẫn còn nhưng việc xây dựng lại tác phẩm như bản gốc là rất khó khăn. Mặt khác, chúng ta phải biết rằng còn có những việc tìm các kiến thức trước tác phẩm để giải thích, cho nên dễ thấy rằng chúng ta không thể hiểu rõ bản gốc được. Những bản dịch tiếng Ả rập [6], [9] và [10] đã được đem ra thảo luận. Có nhiều công trình khác của Menelaus được các tác giả Ả rập đề cập nhưng đã bị mất cả bản tiếng Hy Lạp lẫn bản tiếng Ả rập. Chúng tôi đưa ra các trích dẫn trên từ một quyển sách Ả rập vào thế kỷ X, nó đã ghi lại những quyển sách được gọi là "Hình học cơ bản", gồm 3 quyển được Thabit Ibn Qurra dịch sang tiếng Ả rập. Nó cũng ghi lại một công trình khác của Menelaus có tên là "Sách viết về các tam giác" và mặc dù công trình này bị mất nhiều mảnh nhưng một bản dịch tiếng Ả rập đã được tìm thấy. Proclus đã nói đến hình học Menelaus, không có trong những công trình còn sót lại. Người ta nghĩ rằng loại hình học này đã được đề cập trong các nguyên bản. Sau đây là một chứng minh của một định lý trong tác phẩm "cơ bản" của Euclide do Menelaus chứng minh lại, không dùng phương pháp quy nạp thông thường, chứng minh này nằm trong những công trình còn sót lại, đối với ông ta, định lý hiển nhiên. Chứng minh mới mà Proclus cho rằng của Menelaus đã chứng minh một bản dịch trong bản dịch tác phẩm của Euclide. "Nếu 2 tam giác có 2 cặp cạnh tương ứng bằng nhau nhưng một trong 2 tam giác có đáy lớn hơn đáy tam giác kia, thì góc xen giữa 2 cạnh của tam giác này sẽ lớn hơn góc xen giữa 2 cạnh của tam giác kia." Bản chỉ mục tiếng Ả rập khác đã gợi ra rằng tác phẩm "Hình học cơ bản" chứa bài giải của Archytas về bài toán "phân đôi khối lập phương". Paul Tarinery trong đã phát biểu kết quả tương tự cho một đường cong bất kỳ, vấn đề này đã được Pappus đưa ra và Menelaus đã xét đến đường cong Viviani. Bulmer-Thomas trong [1] đã giải thích: đó là một phỏng đoán hấp dẫn nhưng hiện nay chưa thể chứng minh được. Một số tác giả Ả rập trong những tác phẩm về cơ học, rất tin những giả thuyết của Menelaus. Nó dùng để nghiên cứu sự cân bằng Archimedes và chính Menelaus đã nghĩ ra. Đặc biệt, Menelaus còn rất thích nghiên cứu về trọng lực và phân tích hợp kim..

<span class='text_page_counter'>(27)</span> Vài nét về nhà toán học R. Courant. Richard Courant (1888-1972) là nhà toán học người Mỹ gốc Đức. Ông học đã từng học đại học ở Breslau, ở Zurich và Göttingen. Ở Göttingen, Courant làm phụ tá cho D. Hilbert, được làm việc cùng với Hilbert và Mincowski, thường xuyên nghe giảng về toán học, vật lý và triết học của 2 nhà toán học lớn này. Năm 1911, Courant đạt được học vị tiến sĩ dưới sự dẫn dắt của Hilbert với đề tài “Ứng dụng của nguyên lý Dirichlet để giải các bài toán ánh xạ bảo giác” (On the application of Dirichlet's principle to the problems of conformal mappings). Năm 1912, Courant trở thành giảng viên toán ở Göttingen.Khi xảy ra Chiến tranh Thế giới lần I thì Courant bị bắt phải đi lính, nhưng do có ý tưởng thiết kế hệ thống điện báo cho quân đội mà Courant được trở lại Göttingen để tiếp tục nghiên cứu. Ông đã thành công và lại quay lại phục vụ quân đội. Năm 1915 do bị thương nên Courant được trở về dành thời gian cho những nghiên cứu toán học. Thời gian sau chiến tranh là thời kỳ rực rỡ của Courant với nhiều bài báo và công trình có giá trị. Kể từ khi Đức quốc xã lên nắm quyền thì cuộc sống của Courant có nhiều sự thay đổi. Ông bắt buộc phải rời bỏ Göttingen. Ông được mời đến Istanbul, rồi đến Cambridge nhưng cuối cùng ông lại chọn điểm dừng chân là Đại học New York. Courant cho xây dựng ở New York một trung tâm nghiên cứu toán học ứng dụng dựa theo mô hình ở Göttingen và nơi đây đã thu hút được nhiều nhà toán học đến từ nước Đức. Từ năm 1953 đến 1958, Courant là giám đốc Viện Toán học (do ông lập ra) ở Đại học New York. Đến năm 1964, Viện đổi tên là Viện Courant. Courant bị chứng đột quỵ và mất vào 27-1-1972 ở New York, nước Mỹ, thọ 84 tuổi. Cuốn sách “What is Mathematics?” đã được giới thiệu ở trên, là sách Courant viết chung với nhà Hình học Topo Herbert Robbins ở Đại học Harvard vào năm 1940-1941. Cuốn sách thể hiện quan điểm của ông đối với toán học cũng như việc dạy toán trong nhà trường phổ thông. Cuốn sách đã được đón nhận nồng nhiệt. Sách được tái bản nhiều lần.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> và được dịch ra nhiều thứ tiếng, trong đó có cả tiếng Việt do Nxb KH&KT xuất bản năm 1984. Andrew John Wiles (April 11, 1953 - ? ) và Định lý cuối cùng của Phecma (Fermat) Các bạn đã được xem bài viết "Sơ lược quá trình chứng minh định lý lớn Phecma (Fermat) giới thiệu qua về công cuộc săn tìm lời giải của nhiều thế hệ nhà Toán học lớn trong lịch sử kéo dài gần 300 năm cho bài toán tưởng chừng như rất sơ cấp này. Bài viết này giới thiệu thêm một câu chuyện về nhà Toán học Andrew Wiles, người đã đưa ra lời giải hoàn chỉnh cho bài toán này vào cuối thế kỷ 20, đây có lẽ là một trong những thành tựu Toán học có ý nghĩa lớn nhất trong cuộc đời làm toán của ông Sáng sớm tinh mơ ngày 23/6/1993, Giáo sư john Conway tới toà nhà đã xỉn màu của Khoa Toán Trường Đại Học Tổng Hợp Princeton. Ông mở cửa lớn rồi bước vội vào phòng làm việc của mình. Suốt mất tuần nay, trước cuộc viếng thăm nước Anh của Andrew Wiles - người bạn đồng nghiệp của ông, liên tiếp những tin tức bán tín bán nghi đang lan truyền trong cộng đồng toán học thế giới. Conway cảm thấy có một điều gì đó quan trọng sẽ xảy ra nhưng ông không đoán được đó là điều gì. Ông bật máy vi tính, ngồi xuống và nhìn chằm chằm vào màn hình. 5 giờ 35 phút sáng, một bức thư điện tử ngắn gọn từ bờ bên kia Đại Tây Dương chợt hiện lên: “ Wiles chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat ”. Cuối tháng 6/1993, Giáo sư Andrew Wiles đến nước Anh, ông trở lại trường Đại Học Tổng Hợp Cambridge, nơi ông nhận được bằng tốt nghiệp từ 20 năm trước. Giáo sư John Coates, nguyên là người hướng dẫn Wiles làm luận án tiến sĩ tại Cambridge, đã tổ chức cuộc hội thảo về lý thuyết Iwasawa - một chuyên ngành đặc biệt của lý thuyết số ngành học mà Wiles đã việt luận án và am hiểu rất rộng. Coates đã hỏi người sinh viên cũ của mình có muốn trình bày tại hội nghị một bài thuyết trình ngắn khoảng 1 giờ về chủ đề tự chọn không. Anh chàng Wiles nhút nhát - người trước đó hãn hữu mói nói ở nơi đông người – đã làm cho người thầy cũ cũng như những người tổ chức hội nghị hết sức ngạc nhiên khi ông xin được trình bày 3 giờ. Khi tới Cambridge, anh chàng Wiles 40 tuổi đúng là một nhà toán học đặc trưng: áo sơ mi trắng dài tay xắn lên một cách cẩu thả, cặp kính gọng sừng dày cộm, những lọn tóc thưa và nhạt màu để lòa xòa. Sinh ra ở Cambridge, sự trở về của ông là một cuộc viếng thăm quê nhà rất đặc biệt – giấc mơ thuở ấu thơ đã trở thành sự thật. Theo đuổi giấc mộng này, Andrew Wiles sống trọn 7 năm trong một căn gác xép của mình như một người tù thật sự, song ông hy vọng chẳng bao lâu sự hy sinh, những tháng năm cố gắng, những chuỗi ngày cô đơn sẽ kết thúc, ông sẽ sớm có điều kiện dành nhiều thời gian hơn cho vợ và các con gái của mình, những người mà trong suốt 7 năm qua ông đã gần như không còn thời gian dành cho họ. Bữa ăn trưa của gia đình thường vắng mặt ông, uống.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> trà buổi trưa ông cũng thường quên, ông chỉ tranh thủ thời gian để ăn tối. Còn bây giờ vinh quang đã thuộc về ông. Viện Toán học mang tên nhà khoa học vĩ đại của nhân loại Issac Newton ở Cambridge mới đây chỉ mở cửa cửa vào dịp Giáo sư Wiles đến công bố công trình của ông trong 3 giờ. Viện Newton rộng lớn nằm ở khu khá đẹp cách Trường Đại Học Tổng Hợp Cambridge không xa lắm. Ở khu vực sảnh ngoài phòng hội thảo người ta đặt những chiếc ghế sang trọng và tiện lợi để giúp cho các học giả và các nhà khoa học trao đổi ý kiến ngoài cuộc họp nhằm thúc đẩy công việc nghiên cứu và tăng cường hiểu biết. Mặc dù Wiles biết hầu hết các nhà toán học từ khắp nơi trên khắp thế giới đến dự hội nghị chuyên ngành lần này nhưng ông vẫn rất kín đáo. Khi các đồng nghiệp biểu lộ sự tò mò về bài thuyết trình 3 giờ của ông, ông chỉ nói họ nên đến nghe ông trình bày rồi sẽ biết. Tính giữ kẽ như thế là khá đặc biệt ngay cả đối với một nhà toán học. Dẫu thường chỉ làm việc một mình để chứng minh các định lý và thường được cho là những người không thích tụ hội, các nhà toán học thường xuyên chia sẻ các kết quả nghiên cứu với nhau. Những kết quả này được trao đổi rộng rãi dưới dạng các bản thảo, rồi các tác giả nhận được ý kiến từ những người khác giúp họ chỉnh lý các bản báo cáo trước khi xuất bản. Còn Wiles thì không hề đưa ra bản thảo và không thảo luận gì về công việc của mình. Tên báo cáo của Wiles là “ Dạng modula, đường cong elliptic và biểu diễn Galois ”, một cái tên chẳng hé mở điều gì, ngay cả những người cùng chuyên môn với Wiles cũng không thể phỏng đoán được báo cáo sẽ dẫn đến đâu. Những tin đồn ngày cành nhân thêm. Ngay ngày đầu, Wiles đã làm cho khoảng 20 nhà toán học đến nghe báo cáo của ông bất ngờ về một thành tựu toán học vĩ đại của mình – và vẫn còn 2 buổi thuyết trình nữa. Sẽ là điều gì đây ? Mọi người thấy rõ là cần đến nghe các bài giảng của Wiles và dường như là sự chờ đợi càng trở nên căng thẳng khi các nhà toán học tập trung theo dõi bài giảng. Vào ngày thứ 2, Wiles trình bày rất dồn dập. Ông mang theo tập bản thào hơn 200 trang đầy các công thức và các phép toán biến đổi, những ý chính được nêu ra như là các định lý mới kèm theo chứng minh tóm tắt mà vẫn rất dài. Căn phòng giờ đây đã kín chỗ. Mọi người chăm chú nghe. Sẽ dẫn đến đâu đây ? Wiles vẫn giấu kín. Ông vẫn bỉnh thản viết lên bảng và ông biến mất nhanh khi ngày làm việc kết thúc. Hôm sau, thứ tư 23/6/1993, là ngày thuyết trình cuối cùng của ông. Khi Wiles tới gần hội trường lớn, ông thấy cần phải vào hội trường ngay. Người ta đứng chặn hết cả lối vào, còn trong phòng thì đông nghẹt người. Rất nhiều người mang theo camera. Đến khi Wiles viết lên bảng các định lý và các công thức tưởng như là vô tận thì sự căng thẳng lên cao độ, “ Chỉ có thể có một đường tiến lên duy nhất, một kết thúc duy nhất cho báo cáo của Wiles ”, sau này Giáo sư Ken Ribet ở Trường Đại Học Tổng Hợp California tại Berkeley đã nói như vậy. Wiles đang viết những dòng cuối cùng của chứng minh một giả thuyết toán học phức tạp và khó hiếu: Giả thuyết Shimura-Taniyama. Thế rồi, bất chợt ông thêm một dòng cuối cùng, một phương trình cổ điển mà 7 năm trước Ken Ribet đã chứng minh là hệ quả của giả thuyết này. “ Và điều này chứng minh định lý Fermat “, ông bình thản nói. “ Tôi nghĩ là tôi kết thúc bài thuyết trình ở đây “..

<span class='text_page_counter'>(30)</span> Phòng họp chợt lặng đi trong chốc lát. Rồi sau đó cả hội trường nồng nhiệt vỗ tay tán thưởng. Máy ảnh nháy liên tiếp khi mọi người đứng dậy chúc mừng Andrew Wiles đang mỉm cười. Chỉ vài phút sau, khắp nơi trên thế giới các máy fax và thư điện tử đã hoạt động liên tục để truyền tin này. Một bài toán nổi tiếng của mọi thời đại đã được giải quyết xong. Thật ra Andrew Wiles phải mất thêm một năm nữa để hiệu chỉnh chứng minh của mình Trong cách chứng minh đã được công bố trước đó Wiles đã không sử dụng tới hệ thống Euler – mà không có hệ thống này thì không có công thức số lớp dẫn đến không thể “đếm” các biểu diễn Galois của các đường cong elliptic để so sánh với các dạng modula và giải thuyết Shimura-Taniyama không được chứng minh. Một khi giả thuyết ShimuraTaniyama không được chứng minh thì không có chứng minh cho Định lý cuối cùng của Fermat. Nói một cách ngắn gọn, sự thiếu vắng hệ thống Euler làm cho mọi điều sụp đổ giống như một ngôi nhà bằng giấy. Sau này Wiles đã phát hiện ra rằng điều làm cho Hệ thống Euler không dùng được trong chứng minh lại chính là điều làm cho phương pháp Lý thuyết hoành Iwasawa – chuyên ngành mà ông nghiên cứu lại áp dụng được và lỗ hổng đó đã được lấp kín, định lý cuối cùng của Fermat đã được chứng minh một cách hoàn chỉnh.. Lipót Fejér - Nhà toán học Hungary Lipót Fejér vốn tên là Leopold Weiss nhưng đã đổi tên cho có vẻ Hungary vào khoảng thời gian năm 1900, một điều khá phổ biến vào thời đó. Năm 1897 Fejér giành được giải tại một trong những cuộc thi toán đầu tiên tổ chức ở Hungary. Từ đó đến 1902 Fejér đã học toán và vật lí tại Đại học Budapest và Berlin, nơi ông theo học Schwarz. Sau khi ông đổi tên thành Fejér, Schwarz đã không thèm tiếp chuyện ông nữa. Năm 1900 Fejér công bố một định lí tổng căn bản của chuỗi Fourier, đây là cơ sở của luận văn tiến sĩ ông đã trình trước đại học Budapest năm 1902. Từ 1902 đến 1905 Fejér dạy tại Đại học Budapest và từ 1905 đến 1911 ông dạy tại Kolozvár ở Hungary (giờ là Cluj của Romania). Năm 1911 Fejér được bổ nhiệm một vị trí về Toán trong Đại học Budapest và đã giữ vị trí đó đến lúc qua đời nhưng xung quanh chuyện ông được bổ nhiệm đó cũng có nhiều vấn đề: Mặc dù ông đã được sự ghi nhận nồng nhiệt của Poincaré khi nhận giải thưởng Bolyai nhưng việc bổ nhiệm ông đã bị nhiều người bài Do thái ở khoa phản đối. Một trong số họ, biết rõ rằng tên ông vốn là Weiss đã hỏi xem ông có liên quan gì đến một đồng nghiệp ở khoa thần học, Cha Ignatius, không.Loránd Eotvos, giáo sư Vật lí đã không ngần ngại trả lời : "Con ngoài giá thú", và sau đó mọi chuyện diễn ra suôn sẻ. Trong thời gian ở Budapest Fejér đã lãnh đạo một trường phái giải tích rất thành công của Hungary. Fejér làm chủ yếu về Giải tích điều hòa. Ông nghiên cứu về các dãy lũy thừa và lí thuyết thế vị. Đa phần các công trình của ông liên quan đến chuỗi Fourier và các điểm kì dị của.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> chúng. Ông cũng có nhiều cống hiến cho Lí thuyết xấp xỉ. Fejér cũng từng viết chung với Carathéodory một bài báo về hàm nguyên (1907) và một công trình khác với Riesz về ánh xạ bảo giác (1922). Bên cạnh đó Fejér còn là một giảng viên rất tuyệt như một học trò của ông đã nhớ lại : "Fejér đã giảng những bài giảng rất ngắn gọn mà vô cùng đẹp đẽ", "Những bài giảng thường được suy nghĩ kĩ đến từng chi tiết và có một kết thúc đầy kịch tính. Ông dường như đã làm sống lại sự ra đời của từng định lí, chúng tôi được đưa đến thời điểm chúng được tạo thành. Ông cũng làm cho những người nổi tiếng đương thời trở nên đầy sống động; họ sống dậy từ từng trang sách. Điều đó làm cho Toán học hiện ra vừa như một hoạt động trí óc lại vừa như một hoạt động xã hội".

<span class='text_page_counter'>(32)</span>