Tài liệu Đề thi thử đại học tham khảo môn Toán, khối A tỉnh Lâm Đồng (Đề 03) doc

Bộ Giáo Dục và Đào tạo
ĐỀ THAM KHẢO

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2009
Môn thi : TOÁN, khối A. Ngày thi : 08.03.2009 (Chủ Nhật )
Thi thử miễn phí thứ 2;5;CN (sau 12h30) hàng tuần cho hs tỉnh Lâm Đồng.
ĐỀ 03
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm )
Câu I : ( 2 điểm ) Cho hàm số :
( )
2
2
11yx=−−
( )
1

1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
( )
1
.
2.
Viết phương trình đường tròn
( )
C
trong mặt phẳng
( )
Oxy
, đi qua
3
điểm cực trị của hàm số

( )
1
.
Câu II: ( 2 điểm )
1.
Giải phương trình : 2.33210
xx
xx−−−=.
2.
Giải phương trình :
20092008
cossin1xx+=.
Câu III: ( 1 điểm ) Cho hai hàm số
()()()
2
3,1gxxfxx=−=−
. Tính tích phân
()()
{}
3
2
min,fxgxdx
−
∫
.
Câu IV: ( 1 điểm ) Cho hình chóp
.SABC
có đáy là tam giác cân tại
,,AABACa==

( ) ( )
SBCABC⊥ và
.SASBa==
Tính độ dài cạnh
SC
để bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng a .
Câu V: ( 1 điểm ) Cho
,xy
là hai số thực dương và thỏa mãn
1xy+≤
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
22
11
Pxy
xy
xy
=++
+
.
II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm )
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc 2 ).
1.
Theo chương trình Chuẩn :
Câu VI.a ( 2 điểm ) Trong không gian
Oxyz
cho
( ) ( ) ( )
0;1;0,2;2;2,2;3;1ABC−
và đường thẳng
()

123
:
212
xyz
d
−+−
==
−

1.
Tìm điểm
M
trên
( )
d
để thể tích tứ diện
MABC
bằng
3.

2.
Tìm điểm
N
trên
( )
d
để diện tích tam giác
NAB
nhỏ nhất.
Câu VII.a ( 1 điểm ) Cho tập hợp

A
gồm
n
phần tử ,
4n >
. Tìm
n
biết rằng trong số các phần tử của
A
có đúng
16n
tập con có số phần tử là lẻ .
2.
Theo chương trình Nâng cao :
Câu VI.b ( 2 điểm )
1.
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ
Oxy
cho tam giác
ABC
cân tại
A
, biết phương trình cạnh AB :
37370xy−−= ; điểm
,BC
thuộc trục hoành và
A
thuộc góc phần tư thứ nhất .Tìm toạ độ điểm M thuộc AB ,
N thuộc
BC

sao cho đường thẳng MN đồng thời chia đôi chu vi và chia đôi diện tích của tam giác
ABC
.
2.
Trong không gian
Oxyz
cho hai đường thẳng
()()
12
'
:4,:3'6
62'1
xtxt
dytdyt
ztzt

==

=+=−


=+=−

. Gọi K là hình chiếu vuông
góc của
( )
1;1;1I − lên
( )
2
d . Tìm phương trình tham số của đường thẳng qua K cắt

( )
1
d và vuông góc
( )
2
d .
Câu VII.b ( 1 điểm ) Giải hệ phương trình :
42
430
loglog
xy
xy

−+=


=




GV ra đề : Nguyễn Phú Khánh Đà Lạt .


I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm )
Câu I : ( 2 điểm ) Cho hàm số :
( )
2
2
11yx=−−

( )
1

1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
( )
1
. Học sinh tự làm
2.
Viết phương trình đường tròn
( )
C
trong mặt phẳng
( )
Oxy
, đi qua
3
điểm cực trị của hàm số
( )
1
.
Các điểm cực trị của hàm số
( )
1
là
( ) ( ) ( )
0;0,1;1,1;1OAB−−−
.
Giả sử đường tròn
( )

C
cần tìm có dạng :
22
0xyaxbyc++++=
, có tâm
( )
;Iab−−
và bán kính
22
,0RabcR=+−>

Đường tròn đi qua
3
điểm cực trị
( ) ( ) ( )
0;0,1;1,1;1OAB−−−
, nên ta có hệ phương trình :
()
22
00
202:20
200
ca
abcbCxyy
abcc

==

−−+=⇔=⇒++=



+−+==

hay
()()
2
2
:11Cxy++=
.
Câu II: ( 2 điểm )
1.
Giải phương trình : 2.33210
xx
xx−−−=.
Chú ý : Cách giải dưới đây không đúng , do vậy cần hết sức thận trọng. Cẩn thận với kiểu “ Nhìn đồ thị ta thấy !!!.”
Phương trình
( ) ( )
2.332103.21211
xxx
xxxx−−−=⇔−=+

1
2
x•= không là nghiệm của phương trình
( )
1 .
1
2
x•≠ phương trình
( )

1 viết lại
()
21
32
21
x
x
x
+
=
−

Xét hàm số
()()
21
3,
21
x
x
fxgx
x
+
==
−

Dễ thấy hàm số
( )
3
x
fx= liên tục trên

11
;,;
22

−∞+∞


và có
( ) ( )
'3.ln30
x
fxfx=>⇒ liên tục và đơn điệu
tăng trên
11
;,;
22

−∞+∞


.
Hàm số
()
21
21
x
gx
x
+
=

−
liên tục trên mỗi khoảng
11
;,;
22

−∞+∞


và có
()
()
2
41
'0,
2
21
gxx
x
−
=<≠
−

( )
gx⇒ liên
tục và đơn điệu giảm trên mỗi khoảng
11
;,;
22


−∞+∞



Do đó ta xét hàm số
( ) ( )
,fxgxgiao nhau trên mỗi khoảng
11
;,;
22

−∞+∞


, nghĩa là số nghiệm phương trình
( )
2
thỏa điều kiện
11
;,;
22

−∞+∞


.
Trên khoảng
1
;
2


−∞


hàm số
( )
fx liên tục và đơn điệu tăng
( )
,gx liên tục và đơn điệu giảm , do đó phương trình
( )
2 có nghiệm duy nhất trên khoảng
1
;
2

−∞


và
()()
1
11
3
fg−=−=− . Vậy phương trình
( )
2 có nghiệm 1x =− .
Trên khoảng
1
;
2


+∞


hàm số
( )
fx liên tục và đơn điệu tăng
( )
,gx liên tục và đơn điệu giảm , do đó phương trình
( )
2 có nghiệm duy nhất trên khoảng
1
;
2

+∞


và
( ) ( )
113fg==. Vậy phương trình
( )
2 có nghiệm 1x = .
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1x =− , 1x = .

Cách giải đúng : Bài toán này cần chia đến
7
trường hợp .Ta cần xét tính liên tục của hàm số
( ) ( )
,fxgx. Đó là lý do

vì sao trong bài trình bày của tôi thường xuyên nhấn mạnh hàm số liên tục …
1
2
x•=
( )
;1x•∈−∞−
1
1;
2
x

•∈−



1
;1
2
x

•∈



( )
1;x•∈+∞
1x•=−
1x•=

2.

Giải phương trình :
20092008
cossin1xx+=
Vì 1cos1,1sin1xx−≤≤−≤≤ nên
2009220082
coscos,sinsinxxxx≤≤
2009200822
cossinsincos1xxxx⇒+≤+=
Vậy phương trình cho tương đương với hệ :
20092
20082
2
cos0
2
cos1
coscoscos0
,
cos1
sin0
sinsin
2
2
2
sin1
x
xk
x
xxx
xll
x

x
xx
xk
x
π
π
π
π


=



=

=

==





⇔⇔⇔⇔=∈




=

=
=
=+








=



¢

Câu III: ( 1 điểm ) Cho hai hàm số
()()()
2
3,1gxxfxx=−=−
. Tính tích phân
()()
{}
3
2
min,fxgxdx
−
∫

()()
{}
()()
()
()()
{}
()
{}
333
22
222
11
min,342
22
fxgxdxfxgxfxgxdxxxxxdx
−−−
=+−−=−+−−−
∫∫∫
()()()()
3123
2222
2212
11
34222???
22
xxdxxxdxxxdxxxdx
−
−−−
=−+−−−+−−−−−=
∫∫∫∫

Cách 2 :
Xét
()()()()()()
2
2
13221fxgxxxxxxx−=−−−=−−=−+
Suy ra
()()
{ }
()()
{}
()
2
min,32;12;3
min,11;2
fxgxxkhix
fxgxxkhix


=−∈−−∪




=−∈−




Bài toán đến đây đã đơn giản nhiều .
{}
min;
2
abab
ab
+−−
=
Câu IV: ( 1 điểm )
Cho hình chóp
.SABC
có đáy là tam giác cân tại
( ) ( )
,,AABACaSBCABC==⊥
và
.SASBa==
Tính độ dài
cạnh
SC
để bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng a .


Giả sử
H
là trung điểm của
BC
, ta có
AHBC⊥
.
Vì

( ) ( )
SBCABC⊥ nên
( )
AHSBCAHSH⊥⇒⊥.
,SHABHA∆∆ có HA chung và SABAa== nên SHABHA∆=∆
Suy ra : HAHBHC==,
SBC∆
vuông tại S .
Gọi
O
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.SABC
, khi đó
O
là
giao điểm HA và trung trực
AB
vẽ trong mặt phẳng
( )
ABC .
Giả sử SCx= .

Gọi
I
là trung điểm
AB
, khi đó tứ giác
OIBH
nội tiếp được nên:
2

..
2.
AB
AOAHAIABRAO
AH
=⇒== .
SBC∆
vuông ,nên có :
22
222222
4
ax
BCSBSCaxBH
+
=+=+⇒=
BHA∆ vuông, nên có :
2222
2222
3
44
axax
AHABBHa
+−
=−=−=
22
3
,(03)
2
ax
AHxa

−
⇒=<<
Vậy
222
2222
.,(03)
2
33
aaa
Rxa
axax
==<<
−−


2
22
22
3
2
3
03
03
a
a
axa
Raxa
ax
xa
xa



=
−=


=⇔⇔⇔=

−
<<


<<


Vậy : 2SCa=

Câu V: ( 1 điểm ) Cho
,xy
là hai số thực dương và thỏa mãn
1xy+≤
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
22
11
Pxy
xy
xy
=++
+
.

2222
111117
()()
21616
Pxyxy
xyxyxyxy
xyxy
=++=++++
++

222
22
2
114
4
2
()
111111725
24
16162244
777
164
4()
xy
xyxy
xyPxy
xyxy
xy
xy
xy


+≥≥

++


+≥=⇒=++≥++=

+


≥≥

+


Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
2
xy==
Vậy
125
,min
24
xyP===
II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm )
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc 2 ).
1.
Theo chương trình Chuẩn :
Câu VI.a ( 2 điểm ) Trong không gian

Oxyz
cho
( ) ( ) ( )
0;1;0,2;2;2,2;3;1ABC−
và đường thẳng
()
123
:
212
xyz
d
−+−
==
−

1.
Tìm điểm
M
trên
( )
d
để thể tích tứ diện
MABC
bằng
3.

()
12
:2
32

xt
dyt
zt

=+

=−−


=+

,
( )
( )
12;2;32MdMttt∈⇒+−−+
(2;1;2),(2;2;1)[;](3;6;6)3(1;2;2)3.,(1;2;2)ABACABACnn==−⇒=−−=−−=−=−
uuuruuuuruuuruuuur
rr
Phương
trình mặt phẳng
( )
ABC
đi qua
( )
0;1;0A và có vecto pháp tuyến (1;2;2)n =−
r
là :
2220xyz+−−=.
222
119

[;](3)(6)6.
222
ABC
SABAC==−+−+=
uuuruuuur

Khoảng cách từ M đến mặt phẳng
( )
ABC
:
(())
122(2)2(32)2411
3
144
MABC
tttt
d
++−−−+−−−
==
++

Thể tích tứ diện
MABC
bằng
411
19517
3...34116.
32344
t
Vtthayt

+
⇔==⇔+=⇔=−=−

Vậy có hai điểm M cầb tìm là
33115911
;;;;
242242
MhayM

−−−



2.
Tìm điểm
N
trên
( )
d
để diện tích tam giác
NAB
nhỏ nhất.
( )
( )
12;2;32NdMttt∈⇒+−−+
22
11232
[;]32128146(48)9
2222
ABN

SNANBttt==++=++≥
uuuruuur
()
32
max48023;0;1.
2
ABN
SttN⇒=⇔+=⇔=−⇒−
Câu VII.a ( 1 điểm ) Cho tập hợp
A
gồm
n
phần tử ,
4n >
. Tìm
n
biết rằng trong số các phần tử của
A
có đúng
16n
tập con có số phần tử là lẻ .
123
,,...
nnn
CCC
lần lượt là số các tập hợp con của
A
gồm
1,3,5...
phần tử .

Ta luôn có
0121231
...2...2
nnn
nnnnnnn
CCCCCCC
−
++++=⇒+++=

Từ giả thiết , ta có phương trình :
( )
15
2162*
nn
nn
−−
=⇔=
Vì
4,nn>∈¢
nên ta xét
5n =
thấy không thỏa
( )
* , do đó ta xét
6,nn≥∈¢

Xét hàm số
( )
5
2

x
fxx
−
=− liên tục trên nửa khoảng
)
6;,x

+∞∈

¢