Tài liệu Chuyên đề hệ thức và bất đẳng thức lượng giác trong tam giác ppt

Chuyên đề hệ thức và bất đẳng thức lượng giác trong
tam giác
I.Các hệ thức lượng giác:

II.Các bất đẳng thức lượng giác cơ bản:


II.Bất đẳng thức cơ sở:


Cho
, 0a b >
và
, , 0x y z >
tùy ý.
Tìm GTNN của

2 2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
x y z
P
ay bz az by ax bz az bx ax by ay bx
= + +
+ + + + + +

giải:
Theo BĐT Cauchy cho các cặp số >0 ta cóa
2
2 2
( ) ( )
( )( )

2 4
ay bz az by a b y z
ay bz az by
+ + + + +
 
+ + ≤ =
 
 

T.T ta cóa
2 2
2 2
( ) ( )
( )( )
4
( ) ( )
( )( )
4
a b x z
ax bz az bx
a b x y
ax by ay bx
+ +
+ + ≤
+ +
+ + ≤

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2

2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
4 4x y z
P Q
a b y z z x x y a b
x y z
Q
y z z x x y
 
≥ + + = 
 
+ + + + +
 
= + +
+ + +

Ta cóa
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1
2
x y z x y z
Q
y z x z y x
y z z x x y
 
= + + ≥ + +

 
+ + +
+ + +
 


( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
3 3 3
1 1 1
3
9 3
3
2( ) 2
x y z x y z x y z x y z
y z x z y x y z x z y x
x y z
y z x z y x
x y z
x y z
+ + + + + +
+ + + − = + + −
+ + + + + +
 

= + + + + −
 
+ + +
 
 
≥ + + − =
 
+ +
 

Vậy GTNN của
P
là
2
3
( )a b+


MỘT KĨ THUẬT CHỨNG MINH BĐT CÓ ĐIỀU
KIỆN
Chúng ta thường gặp các dạng toán chứng minh BĐT có dạng :Cho ,chứng minh
có một kĩ thuật là ta đi chứng minh : .Nếu chứng minh
được như thế , từ điều kiện ta suy ra được .Sau đây là một số ví dụ:
Ví dụ 1.Cho ,chứng minh :
Giải : Ta có :

mà nên
nên
Ví dụ 2:Cho x,y là các số dương thỏa mãn ,chứng minh rằng :

Giai: Ta có :

Mà

Ví dụ 4:Cho x,y là các số dương thỏa ,chứng minh rằng :

Giải: Ta có :
(x,y là các số dương)
tương tự 2 bài trên ta suy ra
Mong phương pháp này sẽ hỗ trợ cho các bạn giải toán ,đặc biệt là những ai yêu bài toán
BĐT .HẾT

15 Bài tập ôn thi :



Bài 1
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
Bài 2
Cho . Chứng minh rằng
Bài 3
Cho và . Chứng minh rằng:
Bài 4
Cho x, y, z > 0 và xyz=32. Tìm Min của
Bài 5
Chứng minh rằng:
Với
Bài 6
Cho a, b, c > 0 và a+b+c=1. Chứng minh rằng:
Bài 7

Cho . Tìm Min, Max của
Bài 8
Chứng minh rằng :
Bài 9
Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Bài 10
Cho . Chứng minh bất đẳng thức sau :

Bài 11
Cho a, b, c > 0 và a + b + c =1. Chứng minh rằng :

Bài 12
Cho a + b + c = 12. Chứng minh rằng :
Bài 13
Cho a, b, c > 0 và . Chứng minh rằng :

Bài 14
Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng :

Bài 15
Cho tam giác ABC có .
Chứng minh rằng :