Tài liệu Đề thi tử CĐ ĐH môn Toán năm 2010 doc

THI TH TON I HC - CAO NG HTTP://EBOOK.HERE.VN
NGY 8 THNG 6 - NM 2010
PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7 ủim)
Cõu I (2 ủim)
Cho hàm số
1
12

+
=
x
x
y
có đồ thị (C).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
2. Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B .
Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất

Cõu II (2 ủim) :
1. Gii h phng trỡnh:
2 2
2 2
12
12
x y x y
y x y

+ + =

=



2.Gii phng trỡnh:
( )
( )
3
sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos sinx 3 3 0x x c x c x x+ + =
.
Cõu III: Tớnh din tớch ca min phng gii hn bi cỏc ủng
2
| 4 |y x x=
v
2y x=
.
Cõu IV (1 ủim) Cho hỡnh chúp ct tam giỏc ủu ngoi tip mt hỡnh cu bỏn kớnh r cho trc. Tớnh th tớch hỡnh
chúp ct bit rng cnh ủỏy ln gp ủụi cnh ủỏy nh.

Cõu V (1 ủim) Cho phng trỡnh
( ) ( )
3
4
1 2 1 2 1x x m x x x x m+ + =

Tỡm m ủ phng trỡnh cú mt nghim duy nht.

PHN RIấNG
(3 ủim): Thớ sinh ch lm mt trong hai phn (Phn 1 hoc phn 2)
1. Theo chng trỡnh chun

.
Cõu VI.a (2 ủim)
1. Cho

ABC cú ủnh A(1;2), ủng trung tuyn BM:
2 1 0x y
+ + =
v phõn giỏc trong CD:

1 0x y
+ =
. Vit phng trỡnh ủng thng BC.
2. Cho ủng thng (D) cú phng trỡnh:
2
2
2 2
x t
y t
z t
= +


=


= +

.Gi

l ủng thng qua ủim

A(4;0;-1) song song vi (D) v I(-2;0;2) l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn (D). Trong cỏc mt phng qua

,
hóy vit phng trỡnh ca mt phng cú khong cỏch ủn (D) l ln nht.
Cõu VII.a (1 ủim) Cho x, y, z l 3 s thc thuc (0;1]. Chng minh rng
1 1 1 5
1 1 1
xy yz zx x y z
+ +
+ + + + +

2. Theo chng trỡnh nõng cao
.
Cõu VI.b (2 ủim)
1. Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú din tớch bng 4. Bit A(1;0), B(0;2) v giao ủim I ca hai ủng chộo nm
trờn ủng thng y = x. Tỡm ta ủ ủnh C v D.
2. Cho hai ủim A(1;5;0), B(3;3;6) v ủng thng

cú phng trỡnh tham s
1 2
1
2
x t
y t
z t
= +


=

=

.Mt ủim M thay
ủi trờn ủng thng

, tỡm ủim M ủ chu vi tam giỏc MAB ủt giỏ tr nh nht.
Cõu VII.b (1 ủim) Cho a, b, c l ba cnh tam giỏc. Chng minh
1 1 2
2
3 3 2 3 3
b c
a
a b a c a b c a c a b

+ + + + <

+ + + + + +


----------------------Ht----------------------


Kỳ thi thử đại học- cao đẳng năm 2010
Hớng dẫn chấm môn toán

Câu Nội dung Điểm
I.1
Khảo sát hàm số y=
1

12

+
x
x

1,00


1. Tập xác định: R\{1}
2. Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
22
)1(
3
)1(
)12()1(2
'


=

+
=
xx
xx
y

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-; 1) và (1;+)
. Cực trị : Hàm số đ cho không có cực trị

0,25
. Tiệm cận:
=

+
=




1
12
limlim
1
1
x
x
y
x
x


+=

+
=
+
+

1
12
limlim
1
1
x
x
y
x
x

Do đó đờng thẳng x=1 là tiệm cận đứng

2
1
12
limlim =

+
=


x
x
y
x
x

Vậy đờng thẳng y= 2 là tiệm cận ngang




0,25
* Bảng biến thiên:
x
-
1
+

y' - -
y 2
-

+
2

3* Đồ thị : HS tự vẽ đồ thị hàm số.




0,5


I.2
Với M bất kì (C), tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B. Tìm M để chu vi tam giác
IAB đạt giá trị nhỏ nhất.

1,00


Gọi M









+
1
3
2;
0
0
x
x
(C)
* Tiếp tuyến tại M có dạng:
1
3
2)(
)1(
3
0

0
2
0

++


=
x
xx
x
y






Câu Nội dung Điểm
Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B nên tọa độ A; B có dạng là: A









+

1
6
2;1
0
x

B(2x
0
-1; 2) ; I(1; 2)
* Ta có: S

IAB
=
2
1
. IA. IB=
63.212
1
6
2
1
0
0
==

x
x
(đvdt)

0,25

0,25

* IAB vuông có diện tích không đổi => chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA= IB
(HS tự chứng minh).




=
+=
=

31
31
12
1
6
0
0
0
0
x
x
x
x

* Vậy có hai điểm M thỏa mn điều kiện
M
1
(
32;31 ++
)
M
2
(
32;31
)
Khi đó chu vi

AIB =
6234 +





0,5

Cõu í
Ni dung i
m
II 2,00
1 1,00
1)

CõuII:2. Gii phng trỡnh:

( )
( )
3
sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos sinx 3 3 0x x c x c x x+ + =
.
3)sincos.3(833cos36cos.32cos.sin6cos.sin2
033)sincos.3(82cos.33cos.32)3(cos2sin
232
3
+++
=++
xxxxxxxx
xxxxxx
0)sincos3(8)sincos3(cos.6)sincos3(cos2
2
=+ xxxxxxxx





=
=
=





=+

=

=+
)(4cos
1cos
3tan
04cos3cos
0sincos3
0)8cos6cos2)(sincos3(
2
2
loaix
x
x
xx
xx
xxxx






=
+=
k
kx
kx
,
2

3





0,50
1 1,00

iu kin:
| | | |x y
t
2 2
; 0
u x y u
v x y

=


= +


;
x y
= khụng tha h nờn xột
x y
ta cú
2
1

2
u
y v
v

=


.
H phng trỡnh ủó cho cú dng:
0,25

2
12
12
2
u v
u u
v
v
+ =


 

− =
 

 


4
8
u
v
=

⇔

=

hoặc
3
9
u
v
=


=


+
2 2
4
4
8
8

u
x y
v
x y

=

− =

⇔
 
=
+ =



(I)
+
2 2
3
3
9
9
u
x y
v
x y

=


− =

⇔
 
=
+ =



(II)
0,25
Sau ñó hợp các kết quả lại, ta ñược tập nghiệm của hệ phương trình ban ñầu là
( ) ( )
{ }
5;3 , 5;4S =

1,00
III 0,25
Diện tích miền phẳng giới hạn bởi:
2
| 4 | ( )y x x C= − và
( )
: 2d y x=

Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của (C) và (d):
2
2 2
2 2
0 0
0

| 4 | 2 2
4 2 6 0
6
4 2 2 0
x x
x
x x x x
x x x x x
x
x x x x x
≥ ≥
 
=

 

 
− = ⇔ ⇔ ⇔ =
− = − =
 

 
 

=
− = − − =

 
 

Suy ra diện tích cần tính:
( ) ( )
2 6
2 2
0 2
4 2 4 2S x x x dx x x x dx= − − + − −
∫ ∫

0,25
Tính:
( )
2
2
0
| 4 | 2I x x x dx= − −
∫

Vì
[ ]
2
0;2 , 4 0x x x∀ ∈ − ≤
nên
2 2
| 4 | 4x x x x− = − + ⇒
( )
2
2
0
4
4 2

3
I x x x dx= − + − =
∫

0,25
Tính
( )
6
2
2
| 4 | 2K x x x dx= − −
∫

Vì
[ ]
2
2;4 , 4 0x x x∀ ∈ − ≤
và
[ ]
2
4;6 , 4 0x x x∀ ∈ − ≥
nên
( ) ( )
4 6
2 2
2 4
4 2 4 2 16K x x x dx x x x dx= − − + − − = −
∫ ∫
.
0,25

Vậy
4 52
16
3 3
S = + =

1,00
IV 0,25









Gọi H, H’ là tâm của các tam giác ñều ABC, A’B’C’. Gọi I, I’ là trung ñiểm của AB,
A’B’. Ta có:
( ) ( ) ( )
' ' ' ' '
'
AB IC
AB CHH ABB A CII C
AB HH
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥


⊥


Suy ra hình cầu nội tiếp hình chóp cụt này tiếp xúc với hai ñáy tại H, H’ và tiếp xúc với
mặt bên (ABB’A’) tại ñiểm
'
K II∈
.

0,25
Gọi x là cạnh ñáy nhỏ, theo giả thiết 2x là cạnh ñáy lớn. Ta có:
1 3 1 3
' ' ' ' ' ;
3 6 3 3
x x
I K I H I C IK IH IC= = = = = =

Tam giác IOI’ vuông ở O nên:
2 2 2 2
3 3
' . . 6r
6 3
x x
I K IK OK r x= ⇒ = ⇒ =

0,25
Thể tích hình chóp cụt tính bởi:
( )
' . '
3

h
V B B B B= + +

Trong ñó:
2 2 2
2 2
4x 3 3 3r 3
3 6r 3; ' ; 2r
4 4 2
x
B x B h
= = = = = =

0,25

Từ ñó, ta có:
2 2 3
2 2
2r 3r 3 3r 3 21r . 3
6r 3 6r 3.
3 2 2 3
V
 
 
= + + =
 
 

0,25
VIa 2,00

1 1,00

ðiểm
( )
: 1 0 ;1C CD x y C t t∈ + − = ⇒ −
.
Suy ra trung ñiểm M của AC là
1 3
;
2 2
t t
M
+ −
 
 
 
.
0,25
ðiểm
( )
1 3
: 2 1 0 2 1 0 7 7;8
2 2
t t
M BM x y t C
+ −
 
∈ + + = ⇒ + + = ⇔ = − ⇒ −
 
 

0,25


0,25
Từ A(1;2), kẻ : 1 0
AK CD x y⊥ + − =
tại I (ñiểm
K BC∈
).
Suy ra
( ) ( )
: 1 2 0 1 0AK x y x y− − − = ⇔ − + =
.