(Sáng kiến kinh nghiệm) tạo hứng thú, phát huy tính tích cực chủ động học tập cho học sinh lớp 12 khi học môn hình học thông qua việc tăng cường các bài toán liên hệ thực tế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT QUANG HÀ


BÁO CÁO KẾT QUẢ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Tên sáng kiến kinh nghiệm:
TẠO HỨNG THÚ, PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC
CHO HỌC SINH LỚP 12 KHI HỌC MƠN HÌNH HỌC THƠNG QUA VIỆC
TĂNG CƯỜNG CÁC BÀI TOÁN LIÊN HỆ THỰC TẾ

Tác giả sáng kiến: Hoàng Thị Lý
Mã sáng kiến: 32.52......

2


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
I. LỜI GIỚI THIỆU
Tốn học nói chung và hình học nói riêng có liên hệ mật thiết với thực tiễn
và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ
cũng như trong sản xuất và đời sống xã hội hiện nay. Nhiều tri thức toán học,
ngay cả tốn học đơn giản ở bậc phổ thơng, có thể ứng dụng hiệu quả vào đời
sống nhưng đòi hỏi những kĩ năng và một thói quen nhất định. Trang bị những kĩ
năng này là công việc của nhà trường và sự rèn luyện của bản thân mỗi người.
Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn là
điều cần thiết đối với sự phát triển của xã hội và phù hợp với mục tiêu của giáo
dục tốn học

Có lẽ ai đã từng học tốn, đang học tốn đều có suy nghĩ rằng học tốn
ngồi những phép tốn đơn giản như cộng, trừ, nhân, chia... thì hầu hết các kiến
thức tốn khác là rất trừu tượng với học sinh. Vì vậy việc học tốn trở thành một
áp lực nặng nề với học sinh. Nghĩ rằng tốn học khơ khan, mơ hồ, xa xơi, học chỉ
để học, học chỉ để là công cụ để giải quyết các bài tốn ở mơn học khác, học tốn
chỉ mục đích phục vụ thi cử... Sự hồ nghi về tính ứng dụng thực tế của mơn tốn
là khơng tránh khỏi, nhất là trong bối cảnh chương trình học cịn hạn chế trong
trình bày các nội dung lên hệ với thực tế.
Với mục đích giúp cho học sinh thấy rằng toán học là rất gần gũi với cuộc
sống xung quanh, toán học rất thực tế và việc tiếp thu các kiến thức tốn ở trường
phổ thơng khơng chỉ phục vụ mục đích thi cử mà nó cịn là cơng cụ đắc lực để
giúp các em giải quyết nhiều tình huống trong cuộc sống hàng ngày. Trong quá
trình thực hiện nhiệm vụ giáo dục, bản thân tôi nhận thấy những bất cập của
chương trình sách giáo khoa, thấy được việc khơi dậy và bồi dưỡng hứng thú học
tập của các em khi học toán qua các bài tập vận dụng thực tế là quan trọng. Nên
tơi rất chú trọng, tích cực trong sáng tạo, tìm tịi, đưa các bài tốn thực tế đến với
các em học sinh. Đồng thời mạnh dạn nêu lên một vài kinh nghiệm “Tạo hứng
thú, phát huy tính tích cực chủ động học tập cho học sinh lớp 12 khi học mơn
Hình học thơng qua việc tăng cường các bài toán liên hệ thực tế ” nhằm giúp
học sinh thấy được tầm quan trọng khi học về các khái niệm tốn học, từ đó giúp
cho các em tích cực, chủ động và hứng thú hơn trong học tập mơn tốn, u nó
hơn và học tập tốt hơn.
Từ lý do trên, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối 12 ở trường THPT, cùng
với kinh nghiệm trong giảng dạy. Tôi đã hệ thống lại một số dạng bài tập liên hệ
thực tế ứng với một số nội dung kiến thức Hình học 12. Qua nội dung của đề tài
3


này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh phương pháp giải những bài toán
ứng dụng thực tế, bên cạnh đó giúp học sinh thấy được ý nghĩa của việc học tốn

ở trường phổ thơng có mối liên hệ chặt chẽ với cuộc sống hàng ngày. Từ đó khơi
dậy hứng thú học tập, giúp các em u thích mơn học hơn, có động lực hơn để
học tập đạt kết quả tốt nhất. Và quan trọng hơn hết là nhằm rèn luyện cho các em
kĩ năng và giáo dục cho các em tự tin hơn, chủ động hơn, sẵn sàng ứng dụng tốn
học một cách có hiệu quả trong các lĩnh vực kinh tế, sản xuất, xây dựng và bảo vệ
Tổ quốc.
II.TÊN SÁNG KIẾN: “Tạo hứng thú, phát huy tính tích cực cho học sinh
lớp 12 khi học mơn hình học thơng qua việc tăng cường các bài tốn ứng
dụng thực tế”.
III. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN: Hoàng Thị Lý
IV. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN: Hoàng Thị Lý
V.LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN: Sáng kiến được áp dụng cho học sinh
lớp 12 trường THPT
VI. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯƠC ÁP DUNG LẦN ĐẦU: 15/10/2017
VII. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN:
1.Về nội dung của sáng kiến:
Trong các sách giáo khoa Hình học hiện hành ở trường THPT, có rất ít bài
toán thực tế. Sự phân bổ các bài toán liên hệ thực tế cũng khơng đồng đều. Những
chương có tính ứng dụng cao mới có vài ví dụ, bài tập.
Trong sáng kiến kinh nghiệm này, tôi tập trung đi vào nội dung sách giáo
khoa và sách bài tập Hình học lớp 12. Thực trạng cho thấy:
- Chương I –Khối đa diện: khơng có một bài tập ứng dụng thực tế nào
- Chương II –Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu: SGK đưa ra 2 bài tập trắc nghiệm
16,17 trang 54, sách bài tập có một bài 2.40 trang 57 nhưng lại có nơi dung tương
tự như bài 16 của SGK.
Trong khi đó, trong thực tế những bài tốn cần vận dụng những phần này
rất nhiều. Chương trình sách giáo khoa nên đưa thêm vào, để học sinh thấy rõ tầm
quan trọng của việc học là để các em chiếm lĩnh tri thức và vận dụng chúng, giải
quyết các tình huống trong cuộc sống của chính mình. Việc khơng có một bài tập
nào trong khi ứng dụng thực tế của phần kiến thức này là rất nhiều, theo tơi là một

thiếu sót cần chỉnh sửa bổ sung của chương trình SGK.
Trong khn khổ đề tài tơi xin nêu một số bài tốn có thể vận dụng vào các
đơn vị kiến thức trong chương trình Hình học 12. Bằng kiến thức đã học được học
4


sinh sẽ làm quen giải quyết một số vấn đề quen thuộc, gần gũi trong đời sống
hàng ngày. Từ đó có thể rút ra những bài học quý báu trong cuộc sống.
a) Các bài tốn có nội dung thực tiễn chương I –Hình học 12: Nhóm bài tập
tính thể tích, diện tích tồn phần của khối đa diện
Loại 1: Bài toán ứng dụng về khối lăng trụ
Câu 1: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho một cây nến hình lăng trụ lục
15cm
5cm
giác đều có chiều cao và độ dài cạnh đáy lần lượt là
và
. Người ta xếp
cây nến trên vào trong một hộp có dạng hình hộp chữ nhật sao cho cây nến nằm
khít trong hộp. Thể tích của chiếc hộp đó bằng
A.

1500 ml

.

B.

600 6 ml

.

C.

1800 ml

.

D.

750 3 ml

.

Hướng dẫn giải
Ta có

AD =10 cm, AB = 5 3 cm

SABCD = 50 3 cm 2
V = SABCD .h = 750 3 cm 3 = 750 3 ml

.

Chọn D
Câu 2: Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng một hầm biogas với thể
tích 12 m3 để chứa chất thải chăn ni và tạo khí sinh học. Dự kiến hầm chứa có
dạng hình hộp chữ nhật có chiều sâu gấp rưỡi chiều rộng. Hãy xác định các kích
thước đáy (dài, rộng) của hầm biogas để thi cơng tiết kiệm ngun vật liệu nhất
(khơng tính đến bề dày của thành bể). Ta có kích thước (dài; rộng – tính theo đơn
vị m, làm trịn đến 1 chữ số thập phân sau dấu phẩy) phù hợp yêu cầu là:

A. Dài 2,42m và rộng 1,82m

B. Dài 2,74m và rộng 1,71m

C. Dài 2,26m và rộng 1,88m

D. Dài 2,19m và rộng 1,91m
Hướng dẫn giải

Gọi chiều sâu và chiều rộng của bể lần lượt là 3x và 2x (m)

12
2
 2  m
Chiều dài của bể là 2 x.3 x x
Để tiết kiệm ngun vật liệu nhất thì diện tích tồn phần của bể phải nhỏ nhất. Ta
có

5


�

Stp = 2 �2x.3x + 2x.
�

 

2
2� �

10 � �
5 5�
+ 3x. 2 �= 2 �6x 2 + �= 2 �6x 2 + + ��6 3 150 m 2
2
x� �
x x�
x
x � �
6x 2 =

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Khi

đó

chiều

2 x  1,88m;

rộng

và

5
5
�x=3
x
6

chiều

dài

của

bể

lần

lượt

là

2
 2, 26m
x2
. Chọn C

Câu 3: Một Bác nông dân cần xây dựng một hố ga khơng có nắp dạng hình
hộp chữ nhật có thể tích 3200 cm3, tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của
đáy bằng 2. Hãy xác định diện tích của đáy hố ga để khi xây tiết kiệm nguyên vật
liệu nhất?
A.1200 cm2
C.1600 cm

B.160 cm2

2

D. 120 cm2

Hướng dẫn giải

x, y (x, y > 0)
Gọi
lần lượt là chiều rộng, chiều
dài của đáy hố ga.

h
= 2 => h = 2x ( 1)
Gọi h là chiều cao của hố ga ( h > 0). Ta có x
suy ra thể tích của hố ga là:
Diện

tích

V = xyh = 3200 => y =

tồn

S = 2xh + 2yh + xy = 4x2 +

Khảo sát hàm số

phần

3200 1600
= 2 ( 2)
xh
x

của

hố

ga

là:

6400 1600
8000
+
= 4x2 +
= f (x)
x
x
x

y = f (x), ( x > 0)

suy ra diện tích tồn phần của hố ga nhỏ nhất
x = 10cm => y = 16cm
2
bằng 1200cm khi
Suy ra diện tích đáy của hố ga là
10.16 = 160cm2 . Chọn C

Câu 4: Người thợ cần làm một bể cá hai ngăn,
khơng có nắp ở phía trên với thể tích 1,296 m 3. Người
thợ này cắt các tấm kính ghép lại một bể cá dạng hình
hộp chữ nhật với 3 kích thước a, b, c như hình vẽ. Hỏi

6


người thợ phải thiết kế các kích thước a, b, c bằng bao nhiêu để đỡ tốn kính nhất,
giả sử độ dầy của kính khơng đáng kể.
A. a  3, 6m; b  0, 6m; c  0,6m B. a  2, 4m; b  0,9m; c  0,6 m
C. a  1,8m; b  1, 2m; c  0, 6m D. a  1, 2m; b  1, 2m; c  0,9m
Hướng dẫn giải
Thể tích bể cá là: V  abc  1, 296
Diện tích tổng các miếng kính là S  ab  2ac  3bc (kể cả miếng ở giữa)
S
1 2 3
1 2 3 33 6
33 6
   �3 3 . . 

abc 1
c 4b4 4a 2 4 4c 4b 3a
abc
1, 296
1 2 3
Cauchy cho 3 so , ,
c b a

Ta có:

Dấu “=” xảy ra khi

a  1,8
�

�1 2 3
� 
�
b  1, 2
�c b a � �
�
�
abc  1, 296
c  0, 6
�
�

. Chọn C

Câu 5: Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao là

96000cm3

60cm

, thể tích
. Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có
2
giá thành 70000 VNĐ/m và loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100000
VNĐ/m2. Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá.
A.

320000

VNĐ. B.

32000

VNĐ. C.

832000

VNĐ.D.

83200

VNĐ.

Hướng dẫn giải
Gọi

x, y ( m ) ( x > 0, y > 0)

là chiều dài và chiều rộng của đáy bể, khi đó theo đề ta

0,6xy = 0, 096 � y =
suy ra

0,16
x

. Giá thành của bể cá được xác định theo hàm

số sau:
�

�
f ( x ) = 2.0, 6 �
x+
�
�
�

�
0,16 �
0,16
�
.70000
+
100000x
�
x �
x
�
�

�
� f ( x ) = 84000 �
x+
�
�
�

�
0,16 �

�
+ 16000
�
x �
�

7

(VNĐ)


� 0,16 �
�
�
, f �x = 0 � x = 0, 4
�
�
2
�
�
� x �

�
f�
1( x ) = 84000 �
�

( )

Ta có bảng biến thiên sau:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra chi phí thấp nhất để hồn thành bể cá là

f ( 0, 4) = 83200

VNĐ. Chọn D

Câu 6: (BẮC N THÀNH)Cho một tấm nhơm hình chữ nhật ABCD có
AD = 60cm AB = 40cm
,
. Ta gập tấm nhôm theo hai cạnh MN và PQ vào phía
trong cho đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ bên để dược một hình lăng
trụ khuyết hai đáy. Khi đó có thể tạo được khối lăng trụ với thể tích lớn nhất bằng
A.

3
4000 3  cm 

3
2000 3  cm 

B.

C.

3
400 3  cm 

D.

3
4000 2  cm 

Hướng dẫn giải
Đáy của lăng trụ là tam giác cân có cạnh
x
60 - 2x
bên bằng , cạnh đáy bằng
Đường

cao

tam

giác

đó

là

2

AH =

H

�60 - 2x �
x -�
� = 60x -900
� 2 �

2

là trung điểm

, với

NP

Diện tích đáy là

1
1
S = SANP = AH.NP = 60x -900.  30 - x  =
 60x -900   900 -30x   900 -30x 
2
30
3

 

1 �900 �
 S
ۣ
=100 3 cm 2
�
�
30 � 3 �

8

Diện tích

đáy lớn nhất là

V = 40.100 3 = 4000 3  cm 3 

100 3 cm 2

nên thể tích

lớn nhất là

. Chọn A

ABCD
AD = 60cm
Câu 7: Cho một tấm nhơm hình chữ nhật
có
. Ta gấp
tấm nhơm theo 2 cạnh MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau

như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Tìm
khối lăng trụ lớn nhất ?

A. x = 20 .

B. x = 15 .

x

để thể tích

C. x = 25 . D. x = 30 .

Hướng dẫn giải
Ta có PN = 60 - 2x , gọi H là trung điểm của PN suy ra AH = 60x - 900

SDANP = 1 .( 60 - 2x ) 60x - 900 = ( 60 - 2x ) 15x - 225 = f ( x )
2

(

)

,

do chiều cao của khối lăng trụ khơng đổi nên thể tích khối lăng trụ max khi
max.

f' ( x ) =

-45 ( x - 20)
15x - 225

max f ( x ) = 100 3

f ( x)

= 0 � x = 20, f(20) = 100 3, f(15) = 0

khi

x = 20

. Chọn A

Câu 8: (SỞ GD BẮC NINH) Một công ty sản xuất gỗ muốn thiết kế các
thùng đựng hàng bên trong dạng hình lăng trụ tứ giác đều khơng nắp có thể tích là
62,5dm 2 . Để tiết kiệm vật liệu làm thùng, người ta cần thiết kế thùng sao cho có
tổng S diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất, S bằng
A. 106,25dm .
2

2
B. 75dm .

9

2
2
C. 50 5dm . D. 125dm .


Hướng dẫn giải
Gọi a là độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ.
62,5
2
Theo bài ta có chiều cao của lăng trụ là a . Suy ra
62.5

250 2 125 125 2
125 125 2
S = 4. 2 .a + a 2 =
+a =
+
+ a �3 3
.
.a = 75
a
a
a
a
a a
ra khi

a = 3 125 = 5 dm

. Dấu bằng xảy

. Vậy S là nhỏ nhất bằng 75 dm2. Chọn B

Câu 9: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Một viên phấn bảng có dạng một khối trụ
0,5cm
6cm
với bán kính đáy bằng
, chiều dài
. Người ta làm một hình hộp chữ
6cm×5cm×6cm
nhật bằng carton đựng các viên phấn đó với kích thước
. Hỏi cần

460
ít nhất bao nhiêu hộp kích thước như trên để xếp
viên phấn?
A.

17

.

B.

15

.

C.

16

.

D.

18

.

Hướng dẫn giải
Có 3 cách xếp phấn theo hình vẽ dưới đây:

2.0,5 =1cm
: vì đường kính viên phấn là
nên
6.5 = 30
mỗi hộp xếp được tối đa số viên phấn là:
.
6
5
H2
 Nếu xếp theo hình
: hàng viên xen kẽ hàng viên. Gọi số hàng
n +1, n �Z+
xếp được là
.
3
� CM =
ΔABC
2
Ta có
đều cạnh bằng 1
.
3
8
2.0,5 + n.
�
5 n
2
3 �
�
5

Ta phải có
xếp tối đa được hàng mỗi hộp xếp
3.6 + 2.5 = 28
được tối đa số viên phấn là:
.
 Nếu xếp theo hình

H1

10


H3
5
4
 Nếu xếp theo hình
: hàng viên xen kẽ hàng viên. Gọi số hàng
m +1,m �Z+
xếp được là
.
3
10
2.0,5 + m.
�
6 m
2
3 �
�
Ta phải có
xếp tối đa được 6 hàng nên mỗi hộp

3.5 + 3.4 = 27
xếp được tối đa số viên phấn là:
.
H1
Vậy, xếp theo hình
thì xếp được nhiều phấn nhất, nên cần ít hộp nhất.

Ta có

460:30 �15,3 �

cần ít nhất

16

hộp để xếp hết

460

viên phấn. Chọn C

Loại 2: Bài toán ứng dụng về khối chóp
Câu 1: Người ta cắt một tờ giấy hình vng
cạnh bằng 1 để gấp thành một hình chóp tứ giác đều
sao cho bốn đỉnh của hình vng dán lại thành đỉnh
của hình chóp.Tính cạnh đáy của khối chóp để thể
tích lớn nhất.
Hướng dẫn giải
* Gọi cạnh đáy hình chóp là x,

x �(0;

2
)
2 .
2

2
� 2 x � �x �
1 x 2
h �



�
�
�
�2 2 � �2 �
2
�
�
Chiều cao của hình chóp là:

1
1  x 2 1 x 4  x5 2
V  x2

3
2
3

2
Thể tích của khối chóp:

* Xét hàm số: y  x  x
4

y '  4x  5x
3

4

5

2 trên

(0;

2
)
2 ;

x0
(l )
�
�
2 ; y'  0 �
2 2
�
x
( n)

�
5
�

BBT:
x

2 2
5

0
y’

║

+

0
11

2
2

-

║


y

Vậy khi

x

║

║

║

║

2 2
5 thì khối chóp đạt GTLN.

Câu 2: Ơng Bình muốn thiết kế mái cho một xưởng may có diện tích
20000 m2 có hai đồ án như sau:
- Cơng ty A thiết kế dạng hình vng với mái là hình chóp tứ giác đều có chiều
cao bằng 70m .
- Cơng ty B thiết kế dạng hình trịn với mái là nửa mặt cầu úp xuống.
2
Hỏi thiết kế của công ty A giúp tiết kiệm diện tích mái hơn bao nhiêu m ?
2
2
2
2
A. 11857 m .
B. 20000 m .
C. 9000 m . D. 5000 m .
Hướng dẫn giải

Phương án A: Hình chóp tứ giác đều

(

h 2 + 50 2

Chiều cao mặt bên là
Độ dài cạnh đáy là:
Smat

)

2

= 4900 + 5000 = 30 11 ( h = 70)

20000

= 2. chiều cao mặt bên.cạnh đáy

= 2.30 11.100 2 = 6000 22 ( m2 )

Phương án B: Mặt cầu:
Diện tích hình trịn lớn bằng
2
2
20000mπR
� = 20000

R�

=

20000
2
;S
= 2πR = 2π
mat
π

20000
= 40000m
π

Kết luận: Vậy phương án A giúp tiết kiện diện tích mái hơn
40000m 2 - 6000 22m 2 = 11857 m 2

. Chọn A

Câu 3: Ngơi nhà có nền dạng tam giác đều
ABC cạnh dài 10  m  được đặt song song và cách

h ( m)

A, B, C
mặt đất
. Nhà có 3 trụ tại
vng góc
 ABC 
M, N
A

với
. Trên trụ
người ta lấy hai điểm
12

2


( NBC)

 MBC 

AM = x, AN = y

90°

sao cho
và góc giữa
và
bằng
để làm mái và
phần chứa đồ bên dưới. Xác định chiều cao thấp nhất của ngôi nhà.
A.

5 3

.

B.

10 3

.

C.

10

.

D.

12

.

Hướng dẫn giải
Để nhà có chiều cao thấp nhất ta phải chọn
NM = x + y
của nhà là
.
Gọi

I

BC

là trung điểm của

MN ^ ( ABC) � MN ^ BC

nằm trên mặt đất. Chiều cao

ΔABC

. Ta có

,

N

từ

đều

� AI ^ BC

đó

suy

, vì
ra

�
MI ^ BC
�
� BC ^ ( MNI) � �
� MIN
= 900

�
�
NI
^
BC
�
�

ΔIMN

vuông

tại

I

nhận

AI

là

đường

cao

nên

2
�

�
�
10 3 �
�
� AM.AN = AI2 � xy = �
= 75
�
�
�
�
�
2
�
�
�

Theo bất đẳng thức Côsi:

x + y �2 xy = 2. 75 = 10 3 � x = y = 5 3

Do đó chiều cao thấp nhất của nhà là

10 3.

Chọn B

b) Các bài tốn có nội dung thực tiễn chương II –Hình học 12: Nhóm bài tập
tính thể tích, diện tích tồn phần của khối trịn xoay
Loại 1: Bài tốn ứng dụng về khối trụ
Câu 1. (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Một nhà máy cần thiết kế một chiếc bể

64π m3 

đựng nước hình trụ bằng tơn có nắp, có thể tích là
. Tìm bán kính đáy r
của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra tốn ít nhiên liệu nhất.
A.

r = 3 m 

.

B.

r = 3 16  m 

. C.

r = 3 32  m 

. D.

r = 4 m

.

Hướng dẫn giải
Gọi hình trụ có chiều cao h, độ dài đường sinh l, bán kính đáy r.
13

Ta có:

64
V =πr 2h �h = 64π
= 64
�l = 2
2
2
πr
r
r

Để tốn ít nhiên liệu nhất thì diện tích tồn phần nhỏ nhất.

Ta có:

Stp = 2S
+Sxq = 2πr 2 + 2πrl = 2πr 2 + 128π
day
r

Xét hàm số
Ta có

f  r  = 2πr 2 + 128
r

r>0

với

.

f�
;f �
 r  = 4πr -128π
 r = 0 � r = 3 32
r2

Lập bảng biến thiên ta có

f  r

.

đạt GTNN khi

.

r = 3 32

. Chọn C

Câu 2. (LƯƠNG ĐẮC BẰNG) Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ
ABC
khơng đáy từ ngun liệu là mảnh tơn hình tam giác đều
có cạnh bằng
90  cm 
. Bạn muốn cắt mảnh tơn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu

BC
M N
(với
,
thuộc cạnh
; P và Q tương ứng thuộc cạnh AC và AB) để tạo
thành hình trụ có chiều cao bằng MQ. Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A
có thể làm được là:

A.

91125
 cm3 
4π

.B.

91125
 cm3 
2π

108000 3
 cm3 
π

.C.

.D.

13500. 3

 cm3 
π

.

A

Q

B

P

M

N

C

Hướng dẫn giải
Gọi I là trung điểm BC. Suy ra I là trung điểm MN
Đặt MN= x (

0 < x < 90

);

Gọi R là bán kính của trụ

� MQ = BM � MQ = 3 (90 - x)

AI
BI
2
x
3
3(-x 3 + 90x 2)
� R = x � VT =π( ) 2 (90 - x) =
2π
2π 2
8π

14


Xét

f(x) = 3 (-x 3 + 90x 2 )
8π

với

0 < x < 90

maxf(x) = 13500. 3
π
x�(0;90)

. Khi đó:

khi x= 60.

Chọn D
Câu 3. Một đại lý xăng dầu cần làm một cái bồn dầu hình trụ bằng tơn có

16π  m3 

thể tích
. Tìm bán kính đáy r của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra
ít tốn ngun vật liệu nhất.
A. 0,8 (m)

B. 1,2(m)

C. 2(m)

D. 2,4(m)

Hướng dẫn giải

Gọi x(m) là bán kính của hình trụ

( x > 0)

Diện tích tồn phần của hình trụ là:

Khi đó:

S'( x) = 4πx - 32π
x2

, cho

. Ta có:

V =π.x 2.h �h = 162
x

S( x ) = 2πx 2 + 2πxh = 2πx 2 + 32π , ( x > 0)
x

S'( x) = 0 � x = 2

.

Lập bảng biến thiên, ta thấy diện tích đạt giá trị nhỏ nhất khi
bán kính là 2m. Chọn C.

x = 2 ( m)

nghĩa là

Câu 4. Một thầy giáo dự định xây dựng bể bơi di động cho học sinh nghèo
miền núi từ 1 tấm tơn có kích thước 1m x 20m (biết giá 1m 2 tôn là 90000đ) bằng
2 cách:
Cách 1: Gị tấm tơn ban đầu thành 1 hình trụ (hình 1)
Cách 2: Chia chiều dài tấm tơn thành 4 phần rồi gị tấm tơn thành 1 hình hộp chữ
nhật như (hình 2).
Biết sau khi xây xong bể theo dự định, mức nước chỉ đổ đến 0,8m và giá nước
cho đơn vị sự nghiệp là 9955đ/m 3. Chi phí trong tay thầy là 2 triệu đồng. Hỏi thầy
giáo sẽ chọn cách nào để không vượt quá kinh phí (giả sử chỉ tính đến các chi phí

theo dữ kiện trong bài toán).

15


Hướng dẫn giải
Tiền tôn: S. 90000 = 20.90000=1800000(đ)
Cách 1: Chu vi đáy C: 2πr = 20 � r
Tiền nước: V.9955 = πr2h9955 = 253501,99(đ)
Cách 2: Tiền nước: V.9955 = 20.0,8.9955 = 159280 đ
Tổng tiền = 1800000 + 159280 = 1959280 (thỏa mãn)
Câu 5. Phần không gian bên trong của chai nước
ngọt có hình dạng như hình bên. Biết bán kính đáy bằng
R  5cm, bán kính cổ r  2cm, AB  3cm, BC  6cm,
CD  16cm. Thể tích phần khơng gian bên trong của chai

nước ngọt đó bằng:
Hướng dẫn giải
Thể

tích

khối



trụ

V1   R 2 .CD  400 cm3
Thể

tích

khối



trụ

V2   r 2 . AB  12 cm3

.

.

có

đường

cao

CD :

có

đường

cao

AB :

MC CF 5

 � MB  4
MB
BE
2
Ta có

16


Thể tích phần giới hạn giữa BC :
Suy ra:



V3 

V  V1  V2  V3  490 cm3

 2
R .MC  r 2 .MB  78 cm3
3
.









 .Chọn C

Câu 6. Một người thợ xây, muốn xây dựng
một bồn chứa nước hình trụ trịn với thể tích là
150m3 (như hình vẽ bên). Đáy làm bằng bê tông,

thành làm bằng tôn và nắp làm bằng nhơm. Tính chi
phí thấp nhất để bồn chứa nước (làm trịn đến hàng
nghìn). Biết giá thành các vật liệu như sau: bê tơng
2
2
100 nghìn đồng / m , tơn 90 nghìn đồng / m và
2

nhơm 120 nghìn đồng / m .
Hướng dẫn giải
Gọi r , h

 m   r  0, h  0 
2

lần lượt là bán kính đường trịn đáy và đường cao

150
 r 2 . Khi đó chi phí làm nên bồn
định

theo
hàm
số

 r 2 h  150 � h 

của hình trụ. theo đề ta có
chứa
nước
được

f  r   220 r 2  90.2 r
f '  r   440 r 

xác

150
27000
 220 r 2 
2
r
r

27000
675
3
f
'
r


0
�
r

a


11
r2 ,
.

BBT:

Dựa vào BBT ta suy ra chi phí thấp nhất là
� 675 �
3
f  a  f �
� 11 �
��15038,38797
�
�
nghìn đồng.
17

(nghìn

đồng).


Câu 7. (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Người ta cần đổ một ống thốt nước

200cm
15cm
hình trụ với chiều cao
, độ dày của thành ống là
, đường kính của
80cm
ống là
. Lượng bê tông cần phải đổ là
A.

0,195πm3

.

B.

0,18πm3

.

C.

0,14πm3

.

D.

πm3

.

Hướng dẫn giải

V1 ,V2
Gọi
lần lượt là thể tích của khối trụ bên ngồi và
bên trong
Do đó lượng bê tơng cần phải đổ là:

V = V1 -V2 =π.40 2.200- π.25 2.200 =195000πcm 3= 0,195π m3
Chọn A.
Câu 8. (LẠNG GIANG SỐ 1) Một ngôi biệt thự nhỏ có 10 cây cột nhà
4,2m
hình trụ trịn, tất cả đều có chiều cao bằng
. Trong đó có 4 cây cột trước đại
sảnh có đường kính bằng 40 cm, 6 cây cột cịn lại bên thân nhà có đường kính
bằng 26 cm. Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn 10 cây cột đó. Nếu giá của một

380.000đ / m2

loại sơn giả đá là
(kể cả phần thi cơng) thì người chủ phải chi ít
nhất bao nhiêu tiền để sơn 10 cây cột nhà đó (đơn vị đồng)?
A.15.845.000

B. 13.627.000 C. 16.459.000

D. 14.647.000

Hướng dẫn giải
Diện tích xung quanh 4 cây cột trước đại sảnh có đường kính bằng 40 cm:

S1 = 4. 2π.0,2.4,2 

.

Diện tích xung quanh 6 cây cột bên thân nhà có đường kính bằng 26cm:
S2 = 6  2π.0,13.4,2
.
Số tiền để sơn mười cây cột nhà là

 S1 +S2  .380.000 �15.845.000.

Chọn A.

Câu 9. Một công ty nhận làm những chiếc thùng phi kín hai đáy với thể

2π m3

tích theo yêu cầu là
mỗi chiếc yêu cầu tiết kiệm vật liệu nhất. Hỏi thùng
phải có bán kính đáy R và chiều cao h là bao nhiêu ?
18


A.
C.

R = 2m, h = 1 m

2
R = 4m, h = 1 m
8

.

B.

.

D.

R = 1 m, h = 8m
2
R = 1m, h = 2m

.

.

Hướng dẫn giải
Gọi R là bán kính đáy thùng (m), h: là chiều cao của thùng (m). ĐK:

Thể tích của thùng là:

R > 0, h > 0

V =πR 2h = 2π �R 2h = 2 �h = 22
R

Diện tích tồn phần của thùng là:
�2
�
�2
�
2�
�
�
�
�
Stp = 2πRh + 2πR2 = 2πR ( h + R ) = 2πR �
+
R
=
2π
+
R
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
R
R2
�

�

Đặt

�
2 2�
�
f ( t ) = 2π �
+t �
�
( t > 0)
�
�
�
�t
�

(

với

t=R

)

� 1�
� 4π t3 -1
�
f' ( t ) = 4π�t - 2 �
=

, f'( 1) = 0 � t3 = 1 � t = 1
�
2
�
�
t
� t �

Bảng biến thiên:

t

- �

f' ( t )

-

0

+�

1
0

+

f ( t)
Min
Vậy ta cần chế tạo thùng với kích thước

R = 1m, h = 2m

.Chọn A

Câu 10. Một cửa hàng nhận làm những chiếc xô bằng nhơm hình trụ khơng
nắp chứa 10 lít nước. Hỏi bán kính đáy (đơn vị cm, làm trịn đến hàng phần chục)
của chiếc xô bằng bao nhiêu để cửa hàng tốn ít vật liệu nhất.
Hướng dẫn giải
Gọi x(cm) là bán kính đáy của chiếc xơ. x > 0 khi đó
19

V   x2h � h 

V
 x2


Để tiết kiệm vật liệu thì diện tích tồn phần của chiếc xơ bé nhất
Ta có: 1lít = 1dm3 = 1000cm3.
Diện tích tồn phần của chiếc xơ là

S   x2 

20000
x

20000 2 x 3  20000
S�
 2 x 


.
x2
x2

S�
 0 � x  10 3

10
�14, 2cm.


Lập bảng biến thiên, ta thấy diện tích tồn phần của chiếc xơ bé nhất khi
x �14, 2cm
Câu 11. Bạn An là một học sinh lớp 12, bố bạn là một thợ hàn. Bố bạn
định làm một chiếc thùng hình trụ từ một mảnh tơn có chu vi 120 cm theo cách
dưới đây:

Bằng kiến thức đã học em giúp bố bạn chọn mảnh tôn để làm được chiếc thùng có
thể tích lớn nhất, khi đó chiều dài, rộng của mảnh tơn lần lượt là:
Hướng dẫn giải
Gọi một chiều dài là x(cm) (0< x< 60), khi đó chiều cịn lại là 60 – x (cm), giả sử
x
r = ;h = 60 - x
2π
quấn cạnh có chiều dài là x lại thì bán kính đáy là
V =πr 2.h =

-x 3 + 60x 2
4π

Ta có:
f(x) = -x 3 + 60x 2 , x �(0;60)

Xét hàm số:

x=0
�
f ' (x) = -3x 2 +120x ,f '(x) = 0 � �
x = 40
�

20


Lập bảng biến thiên, ta thấy

f(x) = -x 3 + 60x 2 , x �(0;60)

lớn nhất khi

x = 40; 60 - x=20. Khi đó chiều dài là 40 cm; chiều rộng là 20 cm.
Câu 12. (LÝ THÁI TỔ -HN) Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng
1000cm3
sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích
. Bán kính của nắp đậy để
nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất bằng
3

A.

500
π cm

10. 3
.

B.

5
π cm

. C.

500
π cm

10.
.

D.

5
π cm

.

Hướng dẫn giải
Gọi h (cm) là chiều cao hình trụ và R (cm) là bán kính nắp đậy.

V =πR h =1000

h=

2

Ta có:

. Suy ra

1000
πR 2

.

Để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất thì diện tích tồn phần
hình trụ nhỏ nhất.
Ta có:

Stp

của

1000
Stp = 2πR 2 + 2πRh = 2πR 2 + 2πR. 2
πR

= 2πR 2 +

1000 1000

1000 1000
+
�3. 3 2πR 2 .
.
= 3 3 2π.10002
R
R
R
R
2πR 2 =

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1000
500
�R=3
Rπ

. Chọn A.

Câu 13. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Một cốc nước hình trụ có chiều
cao 9 cm, đường kính 6 cm. Mặt đáy phẳng và dày 1 cm, thành cốc dày 0,2 cm.
Đổ vào cốc 120ml nước sau đó thả vào cốc 5 viên bi có đường kính 2 cm. Hỏi
mặt nước trong cốc cách mép cốc bao nhiêu cm. (Làm tròn đến hai chữ số sau dấu
phẩy).A. 3,67 cm. B. 2,67 cm. C. 3,28 cm.
D. 2,28 cm.
Hướng dẫn giải
Thành cốc dày 0,2 cm nên bán kính đáy trụ bằng 2,8 cm. Đáy cốc dày 1 cm nên

V =π. 2,8  .8 = 197,04 cm 3 

2

chiều cao hình trụ bằng 8 cm. Thể tích khối trụ là
Đổ 120ml vào cốc, thể tích cịn lại là

197,04-120 = 77,04  cm3 
21

.

.


Thả 5 viên bi vào cốc, thể tích 5 viên bi bằng
Thể tích cốc cịn lại

4
Vbi = 5. .π.13 = 20,94 (cm 3 )
3

77,04-20,94 = 56,1  cm3 

56,1= h'.π.  2,8 � h' = 2,28 cm

.

.

2

Ta có

. Chọn D.

Câu 14. (SỞ GD HÀ NỘI) Một công ty dự kiến chi 1 tỉ đồng để sản xuất
các thùng đựng sơn hình trụ có dung tích 5 lít. Biết rằng chi phí để làm mặt xung
quanh của thùng đó là 100.000 đ/m 2, chi phí để làm mặt đáy là 120.000 đ/m 2.
Hãy tính số thùng sơn tối đa mà cơng ty đó sản xuất được. (giả sử chi phí cho các
mối nối không đáng kể).
A. 57582 thùng.

B. 58135 thùng.

C. 18209 thùng. D. 12525 thùng.

Hướng dẫn giải
Gọi chiều cao hình trụ là h (h>0) (m). Bán kính đáy hình trụ là x (x>0) (m).
Thể tích khối trụ là :

V   x 2h 

Diện tích mặt xung quanh là :

5
5
�h
1000
1000 x 2 (m).

S xq  2 xh 

1
100 x .

2
S

2

x
đ
Diện tích hai đáy là :

Số tiền cần làm một thùng sơn là :

Ta có :

f�
 x 

f  x 

1000
 240000 x 2
x

1000
 480000 x � f �
 x  0 � x 
x2

3

 x  0

1
480 .

Bảng biến thiên :

x

0
3

f�
 x



0

f  x

22

�

1
480




�17201.05

109
�58135
Vậy với số tiền 1 tỉ đồng thì cơng ty có thể sản xuất tối đa là : 17201.05
thùng. Chọn B.

Loại 2: Bài toán ứng dụng về khối cầu
Câu 1. (CHUN THÁI BÌNH) Một quả bóng bàn và một chiếc chén
hình trụ có cùng chiều cao. Người ta đặt quả bóng lên chiếc chén thấy phần ở

3
4

ngồi của quả bóng có chiều cao bằng chiều cao của nó. Gọi
thể tích của quả bóng và chiếc chén, khi đó:
A.

9V1 = 8V2

.

B.

3V1 = 2V2

. C.

16V1 = 9V2

.

D.

27V1 = 8V2

V1 V2
,
lần lượt là

.

Hướng dẫn giải

r1

Gọi
là bán kính quả bóng,
chén, h là chiều cao chiếc chén.
Theo

giả

r h
OO�
= 1=

2 4

thiết

Ta có

có

là bán kính chiếc

h = 2r1 � r1 = 2h

và

.
2

r22

ta

r2

2

�h � �h � 3 2
=�
-� �
= h
�2 �

� �
�
� � �4 � 16

Thể tích của quả bóng là

và thể tích của chén nước là

.

4 =3 π4
V1 =πr
3 1 3

3

�h �
=�
�
�2 �
� �

1
πh
6

3

V1 8
V2 = B.h =πr 22h = 3 πh 3 � V = 9 .

2
16

Chọn A.

Câu 2. (CHUN THÁI BÌNH) Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp
chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn được xếp theo chiều dọc,

23


các quả bóng bàn có kích thước như nhau. Phần khơng gian cịn trống trong hộp
65,09%
47,64%
82,55%
83,3%
chiếm:
A.
.
B.
. C.
. D.
.
Hướng dẫn giải
Gọi đường kính quả bóng bàn là d. Khi đó kích thước của hình hộp chữ nhật là d,
d, 3d.
Vậy thể tích của hình hộp chữ nhật là
Thể tích của ba quả bóng bàn:

3

3
4 3
dπd
V = 3×πr = 4π =
2
3
8
2

Thể tích phần khơng gian cịn trống:
Phần

V3
=
V1

khơng

V1 = d.d.3d = 3d 3

gian

πd3
π
32 = 2 �47,64%
3d3
3

.

V3 = V1 - V2
còn

trống

trong

hộp

chiếm:

3d3 -

. Chọn B.

Câu 3. Một chậu nước hình bán cầu bằng nhơm có bán kính R =10cm, đặt
trong một khung hình hộp chữ nhật (hình 1). Trong chậu có chứa sẵn một khối
nước hình chỏm cầu có chiều cao h = 4cm. Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình
cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2). Bán kính
của viên bi gần số ngun nào sau đây. (Cho biết thể tích khối chỏm cầu là
� h�
V   h 2 �R  �
� 3�

Hướng dẫn giải
Gọi x là bán kính viên bi hình cầu. Điều kiện: 0 < 2x <10 � 0 < x < 5

4
Vbi   x3
3

-Thể tích viên bi là
.
24


-Thể tích

khối

nước

hình

chỏm

cầu

khi

chưa

thả

viên

bi

vào

� h�

� 4 � 416
V1   h 2 �R  � 16 �
10  �
� 3�
� 3� 3

-Khi thả viên bi vào thì khối chỏm cầu gồm khối nước và viên bi có
2
� 2 x � 4 x (30  2 x)
V2   (2 x) �R  �
3
� 3 �
thể tích là:
2

-Ta có phương trình:

4 x 2 (30  2 x) 416 4 3
V2  V1  Vbi �

  x � 4 x 2 (30  2 x )  416  4 x 3
3
3
3
3
2
� 3x  30 x  104  0
-Giải phương trình ta có các nghiệm: x1  9,6257 > 5 (loại)
x2  2,0940 < 5 (thỏa mãn), và x3  -1,8197 (loại).
Vậy bán kính viên bi là: r  2,09 (cm).

Loại 3: Bài tốn ứng dụng về khối nón, khối nón cụt.
Câu 4. (CHUN PHAN BỘI CHÂU)
Một chiếc xơ hình nón cụt đựng hóa chất ở phịng
thí nghiệm có chiều cao 20 cm, đường kính hai
đáy lần lượt là 10 cm và 20 cm. Cơ giáo giao cho
bạn An sơn mặt ngồi của xơ (trừ đáy). Tính diện
tích bạn An phải sơn (làm tròn đến hai chữ số sau
dấu phẩy).
A.
C.

1942,97cm 2 .
971,48cm 2 .

B.
D.

561,25cm 2 .
2107,44cm 2 .
Hướng dẫn giải

Sxq =π r 1+ r 2 l

Ta có
r1 = 5 r2 =10
Với
,

l = h 2 +  r2 -r1  = 202 + 10-5  = 5 17
2

2

Sxq =π 5+10 5 17 = 75 17  �
971,48
Vậy
25

.Chọn C.


Câu 5. (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GL) Một bình đựng nước dạng
hình nón (khơng có nắp đáy), đựng đầy nước. Biết rằng chiều cao của bình gấp 3
lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào bình đó một khối trụ và đo được thể

16π
(dm3 )
9

tích nước trào ra ngoài là
. Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt
đáy của hình nón và khối trụ có chiều cao bằng
đường kính đáy của hình nón (như hình vẽ dưới).
Tính bán kính đáy R của bình nước.
A.

R = 3(dm).

B. R= 4 (dm)

C. R=2(dm)

D. R= 5(dm)

Hướng dẫn giải
Gọi h, h’ lần lượt là chiều cao của khối nón và khối trụ.
R, r lần lượt là bán kính của khối nón và khối trụ.
Theo đề ta có: h=3R, h’=2R
Xét tam giác SOA ta có:

1
�r = R
3

.

Ta

� R 3 = 8 � R = 2 dm.

r IM SI h - h' 3R - 2R 1
=
=
=
=
=
R OA SO
h
3R
3

lại

R2
2πR 3 16π
Vtru =πr 2h' = π× × 2R =
=
9
9
9

có:

Chọn C.

Câu 6. Với một miếng tơn hình trịn có bán kính bằng R = 6cm. Người ta
muốn làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình trịn này và gấp
phần cịn lại thành hình nón ( Như hình vẽ). Hình nón có thể tích lớn nhất khi
người ta cắt cung trịn của hình quạt bằng

Hướng dẫn giải

26