(Sáng kiến kinh nghiệm) tìm hiểu thêm một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và bài tập ứng dụng trong chương trình toán 8 và nâng cao

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÌM HIỂU THÊM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH
NHÂN TỬ VÀ BÀI TẬP ỨNG DỤNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN 8 VÀ
NÂNG CAO
1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. Lí do để chọn đề tài:
Tốn học là một bộ mơn khoa học tự nhiên mang tính logic, tính trừu tượng cao
đồng thời mơn tốn cịn là bộ mơn công cụ hổ trợ cho các môn học khác . Qua nhiều năm
giảng dạy bộ mơn Tốn 8, tơi nhận thấy rất nhiều học sinh lúng túng, thường mắc phải
những sai lầm khi thực hiện bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt đối với
những học sinh trung bình, học sinh yếu, từ đó các em cũng gặp khơng ít khó khăn trong
việc giải những bài tốn ứng dụng có liên quan. Ngược lại, đối với học sinh khá, giỏi thì
bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử làm cho các em hết sức thích thú, say mê học
tập. Xét thấy dạng tốn Phân tích đa thức thành nhân tử có vị trí khá quan trọng trong
chương trình Đại số 8, việc nắm vững dạng tốn này sẽ giúp cho các em rất nhiều trong
việc giải các bài tốn khác, chẳng hạn: giải phương trình, rút rọn phân thức, tính giá trị
biểu thức, chứng minh, tìm x, ... Thực tế sách giáo khoa chỉ giới thiệu một số phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử: đặt nhân tử chung; dùng hằng đẳng thức; nhóm
hạng tử; phối hợp các phương pháp. Do đó, khi gặp những bài tập phức tạp thì các
phương pháp này chưa thể áp dụng để giải được, làm cho học sinh gặp nhiều khó khăn
trong q trình giải tốn, chưa đáp ứng được nhu cầu tìm tịi, học tập đối với những học
sinh khá giỏi. Chính vì lí do đó, nên tơi chọn để tài: Tìm hiểu các phương pháp phân
tích đa thức thành nhân tử và một số bài tập ứng dụng để nghiên cứu.
Cái mới, cái hay trong đề tài này là những kinh nghiệm của chúng tơi trong q
trình dạy toán về đa thức, đặc biệt là các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
khác mà trong SGK khơng nói đến. Các phương pháp này mang tính mới lạ, hấp dẫn
thích hợp cho các đối tượng học sinh thích tìm tịi, sáng tạo.
1.2. Phạm vi triển khai thực hiện:
Đề tài nghiên cứu trong phạm trong chương trình lớp 8 THCS, từ năm học 2012 –
2013 và năm học 2013 - 2014.

Ý tưởng của đề tài rất phong phú, đa dạng, phạm vi nghiên cứu rộng, nên bản thân
chỉ nghiên cứu qua bốn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ở chương trình
SGK, SBT Tốn 8 hiện hành và một số phương pháp phân tích khác (năm phương pháp)
ở sách tham khảo cùng một số bài tập ứng dụng có liên quan.
Tài liệu tham khảo: SBT toán 8, Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS
Đa thức của các tác giả: Nguyễn Đức Tuấn-Nguyễn Anh Hoàng- Nguyễn Đoàn Vũ- Lưu
Hoàng Hảo… do các nhà xuất bản tổng hợp Hồ Chí Minh, nhà xuất bản Đại học quốc
gia Hà Nội…xuất bản
2. PHẦN NỘI DUNG
2.1. Thực trạng của nội dung cần nghiên cứu.
Tốn học là mơn học giữ vai trị quan trọng trong suốt q trình học tập, là một
mơn học khó, địi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nổ lực rất lớn để chiếm lĩnh những


tri thức cho mình. Chương trình tốn rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các
kiến thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Do vậy khi học, các em không những
nắm chắc lý thuyết cơ bản mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý của mình, từ đó biết vận
dụng để giải từng loại toán. Qua cách giải các bài toán rút ra phương pháp chung để giải
mỗi dạng tốn, trên cơ sở đó tìm ra các cách trình bày bài tốn ngắn gọn hơn.
Với những nét đặc thù của mơn Tốn, để nắm vững được kiến thức thì địi hỏi học
sinh khơng phải chỉ chú ý học lí thuyết là đủ mà phần lớn phải thực hành được các dạng
bài tập. Bởi vì bài tập Tốn học nói chung chiếm một vị trí quan trọng trong q trình
dạy – học mơn Tốn. Nó giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy,
thực hiện tốt các mục đích dạy – học Tốn ở trường phổ thơng, hình thành kĩ năng, kĩ
xảo, khả năng ứng dụng vào thực tiễn. Riêng đối với dạng bài tập phân tích đa thức
thành nhân tử đã góp phần rèn luyện trí thơng minh và năng lực tư duy sáng tạo, tính cẩn
cẩn thận, chính xác cho học sinh, giúp các em có khả năng ứng dụng vào giải được một
số dạng bài tập khác.
Các bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử khơng khó mấy đối với những học
sinh khá, giỏi nhưng lại khá khó khăn đối với những đối tượng học sinh trung bình, yếu.

Bởi vì, để giải được các bài tập dạng này không chỉ yêu cầu học sinh nắm vững kiến
thức mà nó cịn địi hỏi học sinh cần có một kĩ năng giải bài tập nhất định.
Giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử, đòi hỏi học sinh phải kết hợp tốt các
phương pháp phân tích được giới thiệu trong sách giáo khoa:
- Phương pháp đặt nhân tử chung;
- Phương pháp dùng hằng đẳng thức;
- Phương pháp nhóm hạng tử;
- Phương pháp tách hạng tử.
Đó là điều kiện là tiền đề để học sinh giải tốt các bài tập phân tích đa thức thành
nhân tử. Ngồi ra, cần giới thiệu cho các em nắm được một số phương pháp phân tích
khác để kích thích sự tìm tịi, học hỏi của các em chẳng hạn như:
- Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử;
- Phương pháp đặt ẩn phụ;
- Phương pháp hệ số bất định;
- Phương pháp tìm nghiệm của đa thức;
- Phương pháp đổi dấu một hạng tử A = -(-A).
Đồng thời giáo viên cần hệ thống những dạng bài tập có liên quan để học sinh
thấy được việc ứng dụng của bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử trong việc giải
một số bài tốn khác, thơng qua đây học sinh cũng được củng cố sâu sắc hơn.
Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại khó khi giải các bài tốn, tơi thấy cần
tạo ra cho các em có niềm tin, u thích say mê học tập, luôn tự đặt ra những câu hỏi và
tự mình tìm ra câu trả lời. Khi gặp những bài tốn khó, phải có nghị lực, tập trung tư
tưởng, tin vào khả năng của mình trong quá trình học tập. Để giúp học sinh bớt khó khăn
và cảm thấy dễ dàng hơn trong việc “Phân tích đa thức thành nhân tử” ở lớp 8, tôi thấy
cần phải hướng dẫn học sinh nắm vững các phương pháp phân tích rồi phân tích các đa
thức thành kĩ năng, sau đó áp dụng vào các bài toán liên quan.


Trên thực tế, đối với học sinh khi giải các bài tốn dạng này cần phải có khá nhiều
thời gian nghiên cứu. Với thời lượng phân phối chương trình chỉ có 6 tiết (4 tiết học lí

thuyết, 2 tiết luyện tập) thì các em học sinh chỉ kịp hồn thành phần bài tập còn việc đi
sâu vào nghiên cứu, khai thác, tìm hiểu các cách giải bài tồn phân tích đa thức thành
nhân tử là rất hạn chế. Hơn nữa, đa số học sinh là con em của nông dân lao động nên
điều kiện tự học, tự tìm hiểu của các em chưa thật tốt, các bậc phụ huynh phần lớn phó
thác việc học tập của con em mình cho nhà trường dẫn đến kết quả học tập còn thấp.
Tuy vậy, với sự trang bị khá đầy đủ sách tham khảo của Thư viện nhà trường kết
hợp với sự say mê, tìm tịi học hỏi của phần lớn học sinh và lịng nhiệt tình, tâm huyết
với nghề của giáo viên giảng dạy là điều kiện rất thuận lợi cho việc nghiên cứu và áp
dụng kinh nghiệm này.
Trước hết giáo viên cần cho học sinh ôn lại một số kiến thức cơ bản có liên quan
đến việc giải bài tốn “Phân tích đa thức thành nhân tử” như: đơn thức, đa thức, các quy
tắc nhân, chia đa thức, hằng đẳng thức,… và cho học sinh thấy rõ: Phân tích đa thức
thành nhân tử (hay thành thừa số) là phép biến đổi đa thức cho trước thành tích của
những đơn thức hoặc đa thức. Đồng thời nắm vững được những phương pháp phân tích
đã tìm hiểu trong sách giáo khoa và cho học sinh biết được một số ứng dụng của bài
toán dạng này:
- Bài toán chứng minh chia hết;
- Rút gọn biểu thức;
- Tính giá trị biểu thức;
- Giải tốn tìm x;
- Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất;
- Quy đồng phân thức…
2.2. Các giải pháp.
Ở đây chúng tôi chỉ đưa ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và các
bài tập minh hoạ.
a. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng những phương pháp thông thường:
Sách giáo khoa chỉ sử dụng những bài tập cụ thể để đưa đến từng phương pháp
phân tích, do đó học sinh gặp khơng ít khó khăn để nắm vững được phương pháp. Chính
vì vậy cần có một cách khái qt cho từng phương pháp phân tích và những điểm lưu ý
dễ gặp sai sót trong q trình phân tích.

a.1. Phương pháp đặt nhân tử chung
Học sinh cần nắm được: Giả sử cần phân tích đa thức A + B thành nhân tử, ta đi
xác định trong A và B nhân tử chung C, khi đó:
A + B = C.A1 + C.A2 = C.(A1 + A2)
Cách làm như vậy được gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt
nhân tử chung.
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ 4xy2 + x2y = xy(4y + x)
b/ 10x – 5y = 5(2x – y)
c/ 5x(x – 1) – 3y(x – 1) = (x – 1)(5x – 3y)
d/ 2x(x – 3) – 5(3 – x) = 2x(x – 3) + 5(x – 3)
= (x – 3)(2x + 5)


Đây là những bài tập khơng khó, nhưng nếu chủ quan học sinh rất dễ bị mắc phải
sai lầm. Chẳng hạn đối với ví dụ a, thì dễ dàng học sinh thấy được nhân tử chung của hai
hạng tử là xy, do đó học sinh sẽ thực hiện một cách nhanh chóng. Tuy nhiên ở ví dụ b,
một số học sinh khẳng định là khơng có nhân tử chung nào (vì x ≠ y) do chỉ chú trọng
quan sát phần biến mà quên đi hệ số của hạng tử, còn trường hợp ở ví dụ c, thì học sinh
gặp khá khó khăn khi khơng hiểu được nhân tử chung ở đây là một đa thức (x – 1).
Riêng đối với ví dụ d, học sinh dễ mắc sai lầm khi chọn nhân tử chung là x – 3. Vì thế,
trong việc hướng dẫn cho học sinh tìm nhân tử chung thì giáo viên cần hướng dẫn thật kĩ
và lưu ý những trường hợp thường mắc sai sót này.
Để tránh sai sót ở trường hợp d, cần hướng dẫn học sinh sử dụng tính chất đổi dấu
A = -(-A).
a.2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Trước tiên để sử dụng tốt phương pháp này, học sinh phải nắm vững bảy hằng
đẳng thức đáng nhớ:
+ ( A + B ) = A2 + 2 AB + B 2
2

+ ( A − B ) = A2 − 2 AB + B 2
2

+ A2 − B 2 = ( A − B ) ( A + B )
+ ( A + B ) = A3 + 3 A2 B + 3 AB 2 + B 3
3

+ ( A − B ) = A3 − 3 A2 B + 3 AB 2 − B 3
3

+ A3 − B 3 = ( A − B ) ( A2 + AB + B 2 )

+ A3 + B 3 = ( A + B ) ( A2 − AB + B 2 )

(Với A, B là hai biểu thức khác 0)
Giáo viên lưu ý học sinh, thông thường đề bài cho sẽ có dạng ở vế phải các hằng
đẳng thức: bình phương một tổng, một hiệu; lập phương một tổng, một hiệu hoặc cho vế
trái của các hằng đẳng thức còn lại. Việc sử dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức
thành nhân tử thường đi theo hai hướng:
*Hướng 1: Biến đổi đa thức ban đầu về dạng quen thuộc của hằng đẳng thức.
Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ x2 + 6x + 9 = x2 + 2.3.x + 32 = (x + 3)2
b/ x2 – 5 = (x + 5 )(x - 5 )
c/ 1 – 27x3 = 13 – (3x)3 = (1 – 3x)[12 + 1.3x + (3x)2] = (1 – 3x)(1 + 3x + 9x2)
d/ (x – y)2 – 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 = [(x – y) – (x + y)]2
= (x – y – x – y)2
= (-2y)2 = 4y2
Ở ví dụ trên các hằng đẳng thức đã được khai triển, việc phân tích chỉ là cách viết
theo chiều ngược lại của các hằng đẳng thức các em học sinh dễ dàng thực hiện được

nếu như các em thuộc và biết cách vận dụng các hằng đẳng thức. Thế nhưng, nếu chủ
quan thì học sinh sẽ dễ bị mắc sai lầm, chẳng hạn: ở ví dụ b, học sinh sẽ gặp khó khăn
khi nhận dạng hằng đẳng thức, vì hạng tử thứ hai (5) chưa có dạng bình phương, để có
dạng hằng đẳng thức thì giáo viên phải nhắc lại khái niệm căn bậc hai của một số (5 =(
5 )2), ở ví dụ c học sinh thường gặp khó khăn khi viết 27x 3 = (3x)3. Riêng đối với ví dụ
d, học sinh sẽ khó nhận dạng được hằng đẳng thức, bởi vì thơng thường các bài tập hay


cho dưới dạng các hạng tử là những đơn thức, gặp các hạng tử là những đa thức thì học
sinh chưa hình dung nhận diện được.
*Hướng 2: Sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiện nhân tử chung hoặc xuất
hiện hằng đẳng thức mới.
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ 4x(a2 – b2) + 8(a + b) = 4x(a – b)(a + b) + 8(a + b)
= 4(a + b) [x(a – b) + 2]
= 4(a + b) (ax – bx + 2)
2
2
2
b/ x - 2xy + y – z = (x2 - 2xy + y2) – z2
= (x – y)2 – z2
= (x – y – z)(x – y + z)
Ở những ví dụ này, khi phân tích đa thức thành nhân tử không chỉ riêng dùng
hằng đẳng thức là đủ mà phải có sự phối hợp tốt giữa các phương pháp : đặt nhân tử
chung và nhóm hạng tử. Do đó việc nhóm những hạng tử thích hợp cũng góp phần thuận
lợi cho chúng ta phân tích đa thức thành nhân tử.
a.3 Phương pháp nhóm hạng tử
Chúng ta đã biết, để phân tích đa thức thành nhân tử cơng việc quan trọng nhất là
tạo ra được nhân tử chung. Do đó, trong nhiều trường hợp không thể áp dụng trực tiếp
phương pháp đặt nhân tử chung hay hằng đẳng thức thì việc nhóm hạng tử để làm xuất

hiện nhân tử chung lại rất cần thiết. Tuy nhiên, đối với phương pháp này giáo viên cần
hướng dẫn cho học sinh nhóm thích hợp và chú ý đến dấu trước ngoặc đặc biệt là dấu
trừ “ – ”.
Ta có thể tổng quát phương pháp này như sau:
“Cho đa thức
A + B + C + D (A,B,C,D là các biểu thức)
Nếu A, B, C, D khơng có nhân tử chung nào thì hãy thử với (A + B) và (C + D) hoặc các
phép giao hốn khác. Tức là nhóm các hạng tử có nhân tử chung lại với nhau hoặc tạo
thành một hằng đẳng thức để làm xuất hiện nhân tử chung của đa thức”.
Ví dụ 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ x2 – 3x + xy – 3y = (x2 + xy) – (3x + 3y)
= x(x + y) – 3(x + y)
= (x + y)(x – 3)
b/ 2xy + 3z + 6y + xz =(2xy + 6y) + (3z + xz)
=2y(x + 3) + z(3 + x)
=(x + 3)(2y + z)
2
2
2
c/ x – x – y – y =( x – y2 ) – (x + y)
= (x + y) (x – y) – (x +y)
=(x + y) (x – y – 1)
Các ví dụ trên mặc dù ở mức độ khơng khó lắm, chỉ cần nhóm hợp lí và áp dụng
được phương pháp đặc nhân tử chung và hằng đẳng thức thì dễ dàng thực hiện được.
Tuy nhiên ở ví dụ câu a và c nếu khơng để ý về dấu thì học sinh sẽ mắc sai lầm khi
nhóm hạng tử đằng trước dấu ngoặc là dấu trừ ‘‘ –’’ mà không đổi dấu những hạng tử
trong ngoặc. Đây là một sai lầm mà phần lớn học sinh mắc phải.
Ngồi ra có một số bài tốn phân tích đa thức phân tích đa thức thành nhân tử mà
chúng ta khơng thể áp dụng trình tự những phương pháp đã biết, đòi hỏi tư duy linh hoạt

của học sinh để biến đổi đa thức một vài bước, sau đó mới áp dụng các phương pháp đã
biết để phân tích. Chẳng hạn bài tập ở ví dụ sau đây :
Ví dụ 5 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
bc(b + c) + ca(c – a) – ab(a + b)
Đối với đa thức dạng này phương pháp chung là khai triển hai trong số ba hạng tử
cịn giữ ngun hạng tử thứ ba để từ đó làm xuất hiện nhân tử chung chứa trong số hạng
tử thứ ba. Do đó, ta có thể khai triển hai hạng tử đầu còn giữ nguyên hạng tử thứ ba để
làm xuất hiện nhân tử chung là a + b:
bc(b + c) + ca(c – a) – ab(a + b)
= b2c + bc2 + c2a – ca2 – ab(a + b)
= (b2c – ca2) + (bc2+ c2a) – ab(a + b)
= c(b2 – a2) + c2(b + a) – ab(a + b)
= c(b – a)(b + a) + c2(b + a) – ab(a + b)
= (b + a)(cb – ca + c2) – ab(a + b)
= (a + b)(cb – ca + c2 – ab)
= (a + b)[(cb + c2) – (ca + ba)]
= (a + b)[c(b + c) – a(c + b)]
= (a + b)(b + c)(c – a)
Với cách làm đó, ta có thể khai triển hai hạng tử cuối rồi nhóm hạng tử để làm xuất hiện
nhân tử chung b + c, hoặc khai triển hai hạng tử đầu và cuối để có nhân tử chung là c – a
hoặc riêng đối với bài tập này, ta có thể hướng dẫn như sau:
Vì (c – a) + (a + b) = (b + c) nên ta có:
bc(b + c) + ca(c – a) – ab(a + b)
= bc[(c – a) + (a + b)] + ca(c – a) – ab(a + b)
= bc(c – a) + bc(a + b) + ca(c – a) – ab(a + b)
= [bc(c – a) + ca(c – a)] + [bc(a + b) – ab(a + b)]
= (c – a)(bc + ca) + (a + b)(bc – ab)
= c(c – a)(a + b) + b(a + b)(c – a)
= (a + b)(b + c)(c – a)

Đây là dạng bài tập khá thú vị nhưng cũng khơng ít phức tạp ta chỉ nên giới thiệu
cho đối tượng học sinh khá, giỏi nhằm nâng cao sự hiểu biết và kích thích tính tích cực
của các em.
Nhìn chung, các bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp
nhóm như thế nào thì cuối cùng cũng phải đạt được mục đích là có nhân tử chung hoặc
vận dụng được hằng đẳng thức. Như vậy, đòi hỏi học sinh phải nắm vững hai phương
pháp này (đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng thức).
Trên đây chúng ta vừa xem xét các ví dụ phân tích một đa thức thành nhân tử
bằng những phương pháp thông thường đã nêu trong sách giáo khoa. Tuy nhiên, nếu chỉ
dừng lại ở các phương pháp đó thì chỉ thích hợp cho đối tượng học sinh trung bình, yếu
cịn đối với những học sinh khá, giỏi thì sẽ làm cho các em dễ nhàm chán. Mặt khác, có
những bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử mà những phương pháp trên chúng ta
chưa thể áp dụng để phân tích được ngay. Vì lí do đó nên chúng ta có thể giới thiệu thêm
cho các em một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác để giúp các em có
điều kiện tìm hiểu tốt dạng tốn này.
b. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác


b.1/ Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
Phương pháp này áp dụng cho những đa thức chưa phân tích được ngay thành
nhân tử. Ta tách một hạng tử trong đa thức thành nhiều hạng tử để vận dụng các phương
pháp đã biết.
Ví dụ 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ x2 + 4x + 3
b/ x2 – 7x + 12
Đối với ví dụ a, ta có thể làm theo một số cách sau:
*Cách 1: Tách hạng tử 4x = x + 3x
Ta có x2 + 4x + 3 = x2 + x + 3x + 3
= (x2 + x) + (3x + 3)
= x(x + 1) + 3(x + 1)

= (x + 1)(x + 3)
*Cách 2: Tách hạng tử x2 = 4x2 – 3x2
Ta có x2 + 4x + 3 = 4x2 – 3x2 + 4x + 3
= (4x2 + 4x) – (3x2 – 3)
= 4x(x + 1) – 3(x2 – 1)
= 4x(x + 1) – 3(x – 1)(x + 1)
= (x + 1)(4x – 3x + 3)
= (x + 1)(x + 3)
*Cách 3: Tách hạng tử 3 = 4 – 1
Ta có x2 + 4x + 3 = x2 + 4x + 4 – 1
= (x2 – 1) + (4x + 4)
= (x – 1)(x + 1) + 4(x + 1)
= (x + 1)(x – 1 + 4)
= (x + 1)(x + 3)
*Cách 4: Tách hạng tử 3 = 4 – 1 để tạo hằng đẳng thức
Ta có x2 + 4x + 3 = x2 + 2.2.x + 22 – 1
= (x + 2)2 – 1
= (x + 2 – 1)(x + 2 + 1)
= (x + 1)(x + 3)
Tương tự như câu a, câu b chúng ta cũng có một số cách làm sau:
*Cách 1: Tách hạng tử -7x thành – 4x – 3x
Ta có x2 – 7x + 12 = x2 – 4x – 3x + 12
= (x2 – 4x) – (3x – 12)
= x(x – 4) – 3(x – 4)
= (x – 4)(x – 3)
*Cách 2: Tách hạng tử 12 thành 21 – 9
Ta có x2 – 7x + 12 = x2 – 7x + 21 – 9
= (x2 – 9) – (7x – 21)
= (x – 3)(x + 3) – 7(x – 3)
= (x – 3)(x + 3 – 7)

= (x – 3)(x – 4)
Cách 3: Tách hạng tử 12 thành -16 + 28
Ta có x2 – 7x + 12 = x2 – 7x + 28 – 16
= (x2 – 16) – (7x – 28)
= (x – 4)(x + 4) – 7(x – 4)


= (x – 4)(x + 4 – 7)
= (x – 4)(x – 3)
Cách 4: Tách hạng tử -7x thành -6x – x và 12 = 9 + 3
Ta có x2 – 7x + 12 = x2 – 6x + 9 – x + 3
= (x2 – 6x + 9) – (x – 3)
= (x – 3)2 – (x – 3)
= (x – 3)(x – 3 – 1)
= (x – 4)(x – 3)
Cách 5: Tách hạng tử -7x thành -8x + x và 12 = 16 – 4
Ta có x2 – 7x + 12 = x2 – 8x + 16 + x – 4
= (x2 – 8x + 16) + (x – 4)
= (x – 4)2 + (x – 4)
= (x – 4)(x – 4 + 1)
= (x – 4)(x – 3)
Với hai câu của ví dụ vừa nêu, khi phân tích các đa thức này thành nhân tử có nhiều lời
giải tương ứng với nhiều cách tách hạng tử, học sinh có thể lựa chọn cách nào phù hợp
với trình độ năng lực của mình nhất.
Thơng qua các bài tập dạng này, giáo viên cần tổng kết cho học sinh thấy được
nhiều cách tách hạng tử nhưng trong đó có hai cách tách thơng dụng nhất đó là:
+Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử dựa vào cách suy luận ngược lại sau:
(mx + n)(px + q) = mpx2 + (mq + np)x + nq
Như vậy đa thức ax2 + bx + c, hệ số b được tách thành hai hạng tử b = b 1 + b2 sao cho
b1. b2 = ac.

+Tách hạng tử tự do thành hai hạng tử (c = c1 + c2) như trong ví dụ vừa nêu
Tuy nhiên có nhiều đa thức khi phân tích ta khơng áp dụng được hai cách vừa
nêu, vì thế phương pháp tách hạng tử được mở rộng cho trường hợp cần tách nhiều
hạng tử trong đa thức. Để minh họa chúng ta xem xét ví dụ sau:
Ví dụ 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ x3 – 2x – 4 = x3 – 2x – 8 + 4
= (x3 – 8) – (2x – 4)
= (x – 2)(x2 + 2x + 4) – 2(x – 2)
= (x – 2)(x2 + 2x + 4 – 2)
= (x – 2)(x2+ 2x + 2)
b/ x3 + 8x2 + 17x + 10 = x3 + x2 + 7x2 + 10x + 7x + 10
= (x3 + x2) + (7x2 + 7x) + (10x + 10)
= x2(x + 1) + 7x(x + 1) + 10(x + 1)
= (x + 1)(x2 + 7x + 10)
= (x + 1)(x2 + 2x + 5x + 10)
= (x + 1)[x(x + 2) + 5(x + 2)]
= (x + 1)(x + 2)(x + 5)
b.2. Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử
Với các đa thức đã cho khơng có chứa thừa số chung, khơng có dạng một hằng
đẳng thức cũng khơng thể nhóm số hạng tử. Đối với những đa thức dạng này ta phải
biến đổi đa thức bằng cách thêm, bớt cùng một hạng tử để có thể vận dụng được các
phương pháp phân tích đã biết.


Ví dụ 8 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
x4 + 4 = x4 + 4 + 4x2 – 4x2 ( ta đã thêm, bớt hạng tử 4x2)
= (x4 + 4x2 + 4) – 4x2
= [(x2)2 + 2.x.2 + 22] – (2x)2
= (x2 + 2)2 – (2x)2
= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 – 2x)

= (x2 + 2x + 2)(x2 – 2x + 2)
Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử được mở rộng tự nhiên khi cần thêm, bớt
nhiều hạng tử, để minh họa chúng ta xem ví dụ sau đây :
Ví dụ 9 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + 1
= (x5 + x4 + x3) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1)
= x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)( x3 – x + 1)
Ta đã thêm, bớt các hạng tử x3, x2, x vào đa thức đã cho
b/ x5 + x + 1 = x5 + x4 – x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x + 1
= (x5 + x4 + x3) – (x4 + x3 + x2) + x2 + x + 1
= x3(x2 + x + 1) – x2 (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x3 – x2 + 1)
Ta đã thêm, bớt các hạng tử x4, x3, x2 vào đa thức đã cho.
Phương pháp trên có thể sử dụng đối với các đa thức có dạng:
x5 + x4 + 1; x8 + x4 + 1; x10 + x8 + 1 ...
Các đa thức này đều có dạng: xm + xn + 1 trong đó m = 3k + 1; n = 3h + 2.
b.3. Phương pháp đặt ẩn phụ
Phương pháp này thường áp dụng đối với những đa thức có dạng A(x).B(x) + C.
Trong đó A(x), B(x) có thể biểu diễn được qua nhau. Ví dụ A(x) có thể viết dưới dạng
của B(x) hoặc ngược lại. Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 10: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12
Đặt x2 + x + 1 = y ⇒ x2 + x + 2 = y + 1
Ta có y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12
= y2 – 9 + y – 3
= (y – 3)(y + 3) + (y – 3)
= (y – 3)(y + 3 + 1)
= (y – 3)(y + 4)
2

Thay y = x + x + 1 ta được :
(y – 3)(y + 4) = (x2 + x + 1 – 3)(x2 + x + 1 + 4)
= (x2 + x – 2) (x2 + x + 5)
= (x2 – 1 + x – 1)(x2 + x + 5)
= [(x – 1)(x + 1) + x - 1](x2 + x + 5)
= (x – 1)(x + 1 + 1)(x2 + x + 5)
= (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 5)
Ở ví dụ này ta đã đổi biến x thành biến y sau đó đi phân tích đa thức chứa biến y
thành nhân tử rồi quay trở lại đa thức với biến ban đầu là x. Cuối cùng ta lại tiếp tục
phân tích đa thức chứa biến x thành nhân tử.


b/ 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2
Với đa thức đã cho nếu chúng ta để ngun thì rất khó đặt ẩn phụ nên ta phải biến
đổi thêm :
4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 = 4x(x + y + z)(x + y)(x + z) + y2z2
= 4(x2 + xy + xz)(x2 + xy + xz + yz) + y2z2
Đặt : x2 + xy + xz = m
Ta có : 4m(m + yz) + y2z2
= 4m2 + 4myz + y2z2
= (2m + yz)2
Thay m = x2 + xy + xz ta được :
(2m + yz)2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2
b.4. Phương pháp dùng hệ số bất định
Cơ sở của phương pháp này là : Hai đa thức (viết dưới dạng thu gọn) là đồng nhất
khi và chỉ khi mọi hệ số của các đơn thức đồng dạng chứa trong hai đa thức đó phải
bằng nhau.
Ví dụ 11 : Phân tích đa thức sau thành tích của 2 đa thức : một đa thức bậc nhất,
một đa thức bậc hai
x3 – 19x – 30

Ta có kết quả phân tích có dạng :
x3 – 19x – 20
= (x + a)( x2 + bx + c)
= x3 + bx2 + cx + ax2 + abx + ac
= x3 + (b + a)x2 + (c + ab)x + ac
Ta phải tìm hệ số a, b, c thỏa mãn:
a+b=0
c + ab = -19
ac = -30
∈
Vì a, c Z và tích ac = -30 do đó a, c ∈ { ± 1; ± 2; ± 3; ± 5; ± 6; ± 10; ± 15; ± 30}
Với a = 2; c = -15 khi đó b = -2 thỏa mãn hệ thức trên, đó là bộ số phải tìm tức là:
x3 – 19x – 30 = (x + 2)(x2 – 2x – 15).
Trên đây là một số phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử.
Thơng qua các phương pháp phân tích này ta thấy, trong việc phân tích đa thức thành
nhân tử không phải lúc nào cũng áp dụng khuôn mẫu theo một phương pháp giải cố
định nào đó. Do đó, tùy từng bài tập mà học sinh lựa chọn cho mình một phương pháp
giải thích hợp, đơi khi phải phối hợp nhiều phương pháp để có một cách phân tích nhanh
nhất và có hiệu quả nhất.
Nếu chỉ có đi giải những bài tập phân tích đa thức thành nhân tử mà khơng giới
thiệu những ứng dụng của bài tốn này thì chưa gây được sự say mê, tìm tịi của các em.
Sau đây là một số ứng dụng của bài toán phân tích đa thức thành nhân tử.
c. Một số bài tập ứng dụng
Như chúng ta đã biết: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành
một tích của những đơn thức, đa thức khác. Do vậy, đối với một số dạng toán nếu ta áp
dụng kết quả phân tích thành nhân tử thì sẽ giúp cho việc giải một số dạng toán dưới đây
một cách dễ dàng.
Dạng 1: Tính nhanh

Ví dụ 12: Tính nhanh
a/ 732 – 272
= (73 – 27)(73 + 27)
= 46 . 100
= 4600
b/ 20022 – 4
= 20022 – 22
= (2002 + 2)(2002 – 2)
= 2004 . 2000
= 4008000
c/ 37,5.6,5 - 7,5.3,4 – 6,6.7,5 + 3,5.37,5
= (37,5.6,5 + 3,5.37,5) – (7,5.3,4 + 6,6.7,5)
= 37,5(6,5 + 3,5) – 7,5(3,4 + 6,6)
= 37,5.10 – 7,5.10
= 375 – 75 (hoặc: = 10(37,5 – 7,5) = 10.30 = 300)
= 300.
d/ 452 + 402 – 152 + 80.45
= 452 + 2.40.45 + 402 – 152
= (45 + 40)2 – 152
= 852 – 152
= (85 – 15)(85 + 15)
= 70.100
= 7000
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức
Ví dụ 13: Tính giá trị các biểu thức sau
a/ 15.91,5 + 150.0,85
= 15.91,5 + 15.8,5
= 15(91,5 + 8,5) = 15.100 = 1500
b/ 5x5(x – 2z) + 5x5(2z – x) , với x = 2010; y = 2011; z = -1.
Ta có: 5x5(x – 2z) + 5x5(2z – x)

= 5x5 (x – 2z + 2z – x) = 5x5.0 = 0
Với x = 2010; y = 2011; z = -1 thì biểu thức bằng 0
( 43-11) ( 43+11)
432 -112
32.54 32
=
=
=
c/
2
2
36,5 - 27,5 ( 36,5- 27,5) ( 36,5 + 27,5 ) 9.54
9

3
3
97 +83) ( 972 -97.83+832 )
(
97
+83
d/
-97.83 =
-97.83
180
180
180.8247
=
-97.83 = 8247 -97.83 = 8247 -8051=196
180
Trong ví dụ trên, đặc biệt là câu b nhận thấy nếu như học sinh khơng sử dụng các

phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử thì việc tính tốn sẽ gặp rất nhiều khó
khăn nên cần hướng dẫn cho các em:
+Trước hết hãy phân tích các biểu thức đã cho thành nhân tử
+Thay giá trị của biến vào biểu thức đã phân tích để tính
Có những biểu thức học sinh chỉ tính theo cách tính thơng thường, tức là thay
ngay các giá trị của biến vào biểu thức để tính giá trị. Cách làm đó thường rất phức tạp


khi cho kết quả. Vì vậy, giáo viên cần gợi ý cho học sinh phân tích biểu thức thành nhân
tử rồi mới thay giá trị của biến vào để tính giá trị của biểu thức. Chẳng hạn như ví dụ sau
đây:
Ví dụ 14: Tính giá trị biểu thức x(x – 1) – y(1 – x) tại x = 2000, y = 1999
Ta có x(x – 1) – y(1- x) = x(x – 1) + y(x – 1)
= (x – 1)(x + y)
Thay x = 2001, y = 1999 ta được
(2001 – 1)(2001 + 1999) = 2000.4000 = 8000000
Dạng 3: Tìm x thỏa mãn điều kiện cho trước
Ví dụ 15: Tìm x, biết
a/ x(x – 2) + x – 2 = 0
Ta có x(x – 2) + x – 2 = x(x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1)
Nên (x – 2)(x + 1) = 0 ⇔ hoặc x = 2 hoặc x = - 1
b/ 5x(x – 3) – x + 3 = 0
Ta có 5x(x – 3) – x + 3 = 5x(x – 3) – (x – 3) = (x – 3)(5x – 1)
1
Nên (x – 3)(5x – 1) = 0 ⇔ hoặc x = 3 hoặc x =
5
Trong dạng tốn này có thể nhận thấy đây là một cách biến đổi đưa một vế của
đẳng thức về một tích của những nhân tử vế cịn lại bằng 0 nên giáo viên có thể hướng
dẫn học sinh thực hiện theo trình tự sau:
+Chuyển tất cả các hạng tử của đẳng thức về vế trái và vế phải bằng 0

+Sao đó phân tích vế trái thành nhân tử để được dạng A(x).B(x) = 0
+Sao đó lần lượt tìm x của các đẳng thức A(x) = 0 và B(x) = 0 ta được kết quả.
Dạng 4: Chứng minh chia hết
Đây là dạng tốn khơng khó lắm, nhưng việc vận dụng phân tích đa thức thành
nhân tử để giải thì lại là khó cho các em học sinh, có thể hướng dẫn các em giải theo
định hướng sau đây:
+Phân tích biểu thức ra thừa số nguyên tố để xuất hiện số chia
+Số nguyên a chia hết cho số nguyên b (b≠ 0) nếu có số nguyên k sao cho
a = b.k
Ví dụ 16: Chứng minh rằng 55n + 1 – 55n chia hết cho 54 với mọi số tự nhiên n
Ta có: 55n + 1 – 55n = 55n(55 – 1) = 55n.54 chia hết cho 54
Ví dụ 17: Chứng minh rằng (5n + 2)2 – 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n
Ta có: (5n + 2)2 – 4 = (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2) = 5n(5n + 4) chia hết cho 5 với mọi
số nguyên n.
Dạng 5: Chứng minh đẳng thức
Ví dụ 18: CMR nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a = b = c hoặc a + b + c = 0
Từ đẳng thức đã cho suy ra: a3 + b3 + c3 – 3abc = 0
Ta có: b3 + c3 = (b + c)(b2 + c2 – bc)
= (b + c)[(b + c)2 – 3bc]
= (b + c)3 – 3bc(b + c)
a3 + b3 + c3 = a3 + (b3 + c3)
= a3 + (b + c)3 – 3bc(b + c)


= (a + b +c) [a2 – a(b + c) + (b + c)2] – 3bc(a + b +c)
= (a + b +c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
Do đó nếu a3 + b3 + c3 – 3abc = 0 thì a + b + c = 0 hoặc:
a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = 0 hay (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a) 2 = 0
suy ra a = b = c.
Qua ví dụ trên nhận thấy bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử của vế trái để

đẳng thức về dạng tích bằng 0, sau đó xét từng thừa số bằng 0 rồi chứng minh đẳng thức
ta có được kết quả cần tìm.
Tóm lại, trong q trình giải tốn khơng chỉ nắm được phương pháp là đầy đủ mà
cần phải chú ý về kĩ năng thực hành nhằm tránh những sai sót khơng đáng có. Mặc khác,
việc khai thác kết quả của từng dạng tốn khơng kém phần quan trọng, bởi vì thơng qua
những bài tập này giúp cho học sinh củng cố một cách vững chắc kiến thức được tìm
hiểu. Đó chính là nội dung cơ bản của chuyên đề. Qua thời gian áp dụng chuyên đề này
vào thực tế giảng dạy đã có sự tác động tích cực khá mạnh mẽ đến các đối tượng học
sinh.
2.3. Kết quả, hiệu quả mang lại:
Qua việc hướng dẫn học sinh các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử,
khai thác các kết quả của bài tốn này từ đó có hướng áp dụng vào giải các bài toán
tương tự đã tạo ra các bài tập phong phú và đa dạng, đồng thời định hướng được những
cách giải hay giúp học sinh hứng thú trong học tập. Trong mức độ kiến thức toán ở trung
học cơ sở còn hạn hẹp nên chưa thể mở rộng được phương pháp giải cũng như việc khai
thác và đề xuất ra những ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử.
Tuy nhiên khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy, các đối tượng học sinh lớp 8
đã tiếp thu khá tốt, 100% học sinh khá, giỏi đã biết khai thác, phân tích kết quả của bài
tốn để tổng kết thành các phương pháp giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử.
Đối với học sinh đại trà, sau khi sau khi được hướng dẫn, chữa những bài tập có nội
dung khá đơn giản (bài tập trong SGK) thì hầu hết các em đã nắm được các cách phân
tích đa thức thành nhân tử; biết phân loại và sử dụng các phương pháp phân tích thích
hợp; tự chọn được cách giải và biết trình bày bài làm; có hứng thú suy nghĩ, tìm tịi các
bài tốn có nội dung tương tự và từ chỗ lo ngại với dạng tốn này thì các em đã có hứng
thú học hơn.
Kết quả đạt được qua thực tế giảng dạy:
PHÂN LOẠI HỌC SINH
NĂM
HỌC

20122013
20132014

SỐ
HỌC
SINH

KHÁ – GIỎI

T.BÌNH – YẾU – KÉM

KHƠNG ĐẠT

TỔNG
SỐ

SL

TL(%)

TỔNG
SỐ

ĐẠT

KHƠNG ĐẠT

SL

TL(%)

SL

TL(%)

84

32

32

100

0

0

52

40

76,9

12

23,1

90

35

35

100

0

0

55

44

80,0

11

20,0


1. PHẦN KẾT LUẬN
1.1.

Ý nghĩa của đề tài

Giảng dạy môn tốn nói chung và giảng dạy các bài tốn khó nói riêng là một vấn
đề đang được quan tâm nhiều của phụ huynh, của giáo viên dạy ...Trong tình hình hiện
nay việc học tập của học sinh còn gặp nhiều khó khăn, do vậy việc kích thích học sinh
chịu khó học tập, phấn đấu vươn lên đang còn là vấn đề mà nhà trường và xã hội quan
tâm nếu chỉ những giáo viên dạy thì khơng thể đạt được những kết quả cao. Song một

yếu tố chủ quan hết sức quan trọng quyết định nhất là người giáo viên dạy tốn.
Bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử chỉ chiếm một thời lượng khá khiêm tốn
song nó chứa đựng nhiều kiến thức cơ bản, trọng tâm, quan trọng. Do đó, kinh nghiệm
này có thể áp dụng rộng rãi cho mọi đối tượng học sinh khối lớp 8. Tuy nhiên, đối với
học sinh khá giỏi thì áp dụng chuyên đề này hồn tồn hữu ích, khai thác được tìm năng
học tốn của các em, cịn đối với học sinh đại trà giáo viên chú ý hướng dẫn các em các
phương pháp phân tích thơng thường (phương pháp SGK giới thiệu), kết hợp với lưu ý
cho học sinh những sai lầm thường mắc phải trong q trình phân tích sao cho phù hợp
với chuẩn kiến thức, kĩ năng thì các em sẽ dễ hiểu hơn.
3.2. Kiến nghị, đề xuất:
Để sáng kiến này được áp dụng rộng rãi thì nhà trường nên thường xuyên tổ chức
các chuyên đề áp dụng đề tài kinh nghiệm để giáo viên có điều kiện tham gia trao đổi
lẫn nhau, học sinh được mở rộng nhiều hiểu biết. Đồng thời giáo viên phải kiên trì sử
dụng các phương pháp dạy học một cách linh hoạt, thường xuyên kiểm tra, đánh giá học
sinh theo định hướng đổi mới. Mặc khác, giáo viên cần phải đầu tư thời gian nghiên cứu
bài dạy để đạt được hiểu quả cao. Bên cạnh đó, học sinh phải đầy đủ phương tiện học
tập đặc biệt là sách giáo khoa.
Tuy nhiên, những kinh nghiệm của tôi cũng chỉ là một trong những biện pháp nhỏ
bé trong vô vàn kinh nghiệm được đúc kết qua sách vở, cũng như của quý thầy, cô giáo
đi trước và q đồng nghiệp. Vì vậy, bản thân tơi rất mong được sự góp ý, xây dựng của
quý lãnh đạo, q đồng nghiệp nhằm giúp tơi từng bước hồn thiện phương pháp giảng
dạy của mình và cống hiến nhiều hơn nữa cho sự nghiệp giáo dục.
Ngày 12 tháng 5 năm 2014