skkn một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
A: ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lời mở đầu
Trong trường phổ thông môn Toán có vị trí quan trọng, nó là cơ sở để bổ trợ
cho các môn học khác, đặc biệt là các môn học tự nhiên. Nội dung chương trình
và phương pháp dạy học bộ môn là yếu tố quyết định hiệu quả giáo dục đào tạo ở
phổ thông. Vì vậy môn Toán đã được Bộ giáo dục soạn thảo, sắp xếp từ đơn giản
đến phức tạp, từ trực quan đến tư duy trừu tượng để học sinh có thể vận dụng
linh hoạt các kiến thức đã biết, đã tiếp thu được trong trường phổ thông. Trong
chương trình toán nói chung và phân môn Đại số nói riêng thì phân tích đa thức
thành nhân tử là kiến thức cơ bản, cần thiết trong giảng dạy toán phổ thông. Phần
này chiếm một vị trí quan trọng, là một trong nội dung lớn của chương trình Đại
số, xuyên suốt chương trình toán phổ thông.
Vì vậy để có thể nâng cao và phát triển khả năng giải loại toán này cho các
em học sinh, tôi đã tham khảo nhiều tài liệu viết về vấn đề này và tôi thấy việc
cần thiết phải có cách tư duy và những phương pháp giải thích hợp giúp học sinh
một phần nào đó có cơ sở để tìm tìm lời giải không chỉ mình loại toán này mà
cho nhiều loại toán khác có liên quan. Với đề tài này tôi muốn giới thiệu về:
“Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”.
Trong việc học toán để các em tự tìm tòi lời giải để đưa ra phương án giải
một bài toán đúng thì đa số các em thường “bí” trước những vấn đề mới, chỉ một
phần ít các em giỏi có thể tự mình tìm ra được đường lối đúng, vì vậy việc tìm ra
một phương pháp chung cho một dạng toán nào đó thực sự là cần thiết, và công
việc này người thầy đóng vai trò là chủ đạo, học sinh chủ động tìm tòi kiến thức.
Với đề tài này tôi góp phần nhỏ về kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề phân tích
đa thức thành nhân tử cho học sinh THCS.
Người thực hiện: Dương Văn Thanh Đơn vị: Trường THCS Thiệu
Dương

1

Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
II. Thực trạng của vấn đề cần nguyên cứu
Năm học 2010 - 2011 tôi được nhà trường phân công giảng bộ môn toán lớp 8.
Qua thực tế dạy học kết hợp với dự giờ thăm lớp của các giáo viên trong trường, thông
qua các kỳ thi chất lượng và kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện bản thân tôi nhận thấy các
em học sinh chưa có kỹ năng thành thạo khi làm các dạng bài tập như: Quy đồng mẫu
thức, giải các loại phương trình, rút gọn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất vì lý đó để giải
được các loại bài tập này cần phải có kỹ năng phân tích các đa thức thành nhân tử.
Nếu như các em học sinh lớp 8 không có thủ thuật và kỹ năng phân tích đa thức
thành nhân tử thì việc nắm bắt các phương pháp để giải các dạng toán và kiến thức
mới trong quá trình học toán là một vấn đề khó khăn.
Trong việc giảng dạy bộ môn toán giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh
tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt, tự mình tìm tòi ra kiến thức mới, ra
phương pháp làm toán ở dạng cơ bản như các phương pháp thông thường mà còn phải
dùng một số phương pháp khó hơn đó là phải có thủ thuật riêng đặc trưng, từ đó giúp
các em có hứng thú học tập, ham mê học toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp
các dạng toán khó.
Người thầy giáo trong khi giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh của mình với
khả năng sáng tạo, ham thích học bộ môn toán và giải được các dạng bài tập mà cần
phải thông qua phân tích đa thức thành nhân tử, nâng cao chất lượng học tập, đạt kết
quả tốt trong các kỳ thi. Từ đó tôi mạnh dạn chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm "Một
số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử" nhằm giúp
giúp học sinh của mình nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành phân tử,
giúp học sinh phát hiện phương pháp giải phù hợp với từng bài cụ thể ở các dạng khác
nhau.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Các giải pháp thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này:
1, Giáo viên phải trang bị cho học sinh của mình các đơn vị kiến thức cơ bản.
2, Giáo viên cho học sinh nắm vững bản chất của việc phân tích đa thức thành nhân

tử.
- Các phương pháp thông thường.
- Một số phương pháp phân tích đa thức khác.
Người thực hiện: Dương Văn Thanh Đơn vị: Trường THCS Thiệu
Dương

2
Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
- Một số bài tập áp dụng.
II . Các biện pháp thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này:
1) Biện pháp thứ nhất.
Giáo viên phải trang bị cho học sinh của mình các đơn vị kiến thức cơ bản như
các quy tắc, thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức,
phép chia đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức đã
sắp xếp, các quy tắc đổi dấu đa thức, thật thuộc và vận dụng thành thạo các hằng đẳng
thức đáng nhớ.
2) Biện pháp thứ hai.
Giáo viên cho học sinh nắm vững bản chất của việc phân tích đa thức thành nhân
tử.
Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức thành tích
của nhiều đơn thức và đa thức khác.
Ví dụ: y
m+3
- y
m
= y
m
(y
3

- 1) = y
m
(y - 1) (y
2
+ y + 1)
2.1) Các phương pháp thông thường.
+ Đặt nhân tử chung.
+ Dùng hằng đẳng thức.
+ Nhóm nhiều hạng tử.
Trong thực hành giải toán thường phải phối hợp cả ba phương pháp kể trên để
có thể phân tích đa thước thành nhân tử.
Ví dụ1: Phân tích thành nhân tử.
M
1
= 3a - 3b + a
2
- 2ab + b
2
= (3a - 3b) + (a
2
- 2ab + b
2
) (Nhóm các hạng tử)
= 3(a - b) + (a - b)
2
(đặt NTC và dùng hằng đẳng thức)
= (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung)
Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử.
M
2

= a
2
- b
2
- 2a + 2b
= (a
2
- b
2
) - (3a - 2b) (Nhóm các hạng tử)
Người thực hiện: Dương Văn Thanh Đơn vị: Trường THCS Thiệu
Dương

3
Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
= (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
= (a -b) (a + b - 2) (Đặt NTC)
Để phối hợp nhiều phương pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử cần chú
ý các bước sau đây:
+ Đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể từ đó làm đơn giản đa
thức.
+ Xét xem đa thức có dạng bằng đẳng thức nào không ?+ Nếu không có nhân tử
chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phải nhóm các hạng tử vào từng nhóm thoả
mãn điều kiện mỗi nhóm có nhân tử chung, làm xuất hiện nhân tử chung của các
nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng thức. Cụ thể các ví dụ sau:
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
M
3
= 5a

2
+ 3(a + b)
2
- 5b
2
Ta thấy M
3
không có dạng hằng đẳng thức, các hạng tử cũng không có nhân tử chung,
vậy làm gì để phân tích được. Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a
2
- 5b
2
có nhân tử chung. Vì
vậy ta dùng phương pháp nhóm các hạng tử đầu tiên:
M
3
= (5a
2
- 5b
2
) + 3(a + b)
2
.
Sau đó đặt nhân tử chung của nhóm thứ nhất để làm xuất hiện hằng đẳng thức:
M
3
= 5(a
2
- b
2

) + 3 (a + b)
2
Sử dụng hằng đẳng thức ở nhóm đầu làm xuất hiện nhân tử chung của cả hai
nhóm là (a + b):
M
3
= 5(a + b) (a - b) + 3 (a + b)
2
.
M
3
đã có nhân tử chung là: (a + b). Ta tiếp tục đặt nhân tử chung.
M
3
= (a + b)[5(a - b) + 3(a + b)]
M
3
= (a + b)(8a – 2b)
Như vậy M
3
đã được phân tích thành tích của hai nhân tử (a + b) và (8a - 2b).
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.
Người thực hiện: Dương Văn Thanh Đơn vị: Trường THCS Thiệu
Dương

4
Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
M
4

= 3x
3
y - 6x
2
y - 3xy
3
- 6xy
2
z - 3xyz
2
+ 3xy.
Trước hết hãy xác định xem dùng phương pháp nào trước ?
Ta thấy các hạng tử đều chứa nhân tử chung 3xy.
+ Đặt nhân tử chung.
M
4
= 3xy (x
2
- 2x - y
2
- 2yz - z
2
+ 1)
Trong ngoặc có 6 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào không?

+ Nhóm hạng tử: M
4
= 3 xy[(x
2
- 2x + 1 ) - (y

2
+ 2y z + z
2
)]
+ Dùng hằng đẳng thức: M
4
= 3xy [( x - 1)
2
- ( y + z)
2
] xem xét hai hạng tử trong
ngoặc có dạng hằng đẳng thức nào?
+ Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương ta có:
M
4
= 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1)
Vậy: M
4
đã được phân tích các đa thức thành nhân tử.
Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát đa thức, linh hoạt phối hợp
sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học để các bước phân tích
được rõ ràng, mạch lạc và triệt để (đa thức không thể phân tích được nữa).
2.2. Một số phương pháp phân tích đa thức khác.
Giáo viên trước hết cần cho học sinh sử dụng thành thạo các phương pháp phân
tích thành nhân tử thông thường (đã học trong SGK) và kết hợp các phương pháp sau
để làm các bài toán khó.
+ Phương pháp tách hạng tử.
+ Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử.
+ Phương pháp đặt ẩn phụ.
+ Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.

+ Phương pháp dùng hệ số bất định.
+ Phương pháp xét giá trị riêng.
Cụ thể:
2.2.1: Phương pháp tách hạng tử.
Ví dụ 5: Phân tích thành nhân tử đa thức sau:
Người thực hiện: Dương Văn Thanh Đơn vị: Trường THCS Thiệu
Dương

5
Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
N = a
2
- 6a + 8.
Cách 1: a
2
- 4a - 2a + 8 (Tách - 6a = (- 4a) + (-2a)
= (a
2
- 4a) - (2a - 8) (Nhóm hạng tử)
= a (a - 4) - 2 (a - 4) (Đặt nhân tử chung)
= (a - 4) (a - 2) (Đặt nhân tử chung)
Có thể tách hạng tử tự do tạo thành một đa thức mới có nhiều hạng tử trong đó có thể
kết hợp làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung với các hạng tử còn lại.
Cách 2: N = a
2
- 6a + 9 - 1 (Tách 8 = 9 - 1)
= (a
2
- 6a + 9) - 1 (nhóm hạng tử - xuất hiện hằng đẳng thức)

= (a - 3)
2
- 1 (Sử dụng hằng đẳng thức)
= (a - 2) (a + 2) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
= (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC)
Cách 3:
N = a
2
- 4a + 4 - 2a + 4 (Tách 8 = 4 + 4, - 6x = - 4a + ( - 2a)
= ( a
2
- 4a + 4) - ( 2a - 4) (Nhóm hạng tử)
= (a - 2)
2
- 2(a -2) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
= (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC - biến thàng 2 nhân tử)
Ta thấy có để tách một hạng tử thành 2 hạng tử khác trong đó 2 cách tách sau là
thông dụng nhất;
- Phương pháp tách 1: Tách hạng tử tự do thành 2 hạng tử sao cho đa thức mới
được đưa về hiệu hai bình phương (cách 2) hoặc làm xuất hiện hằng đẳng thức và có
nhân tử chung với hạng tử còn lại (cách 3).
- Phương pháp tách 2: Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phương
pháp nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung làm xuất hiện nhân tử chung mới (cách 1)
Ví dụ 6: Phân tích tam thức bậc hai: ax
2
+ bx + c thành nhân tử.
Tách hệ số b = b
1
+ b
2

sao cho b
1
. b
2
= a.c
Trong thực hành ta làm như sau;
Người thực hiện: Dương Văn Thanh Đơn vị: Trường THCS Thiệu
Dương

6
Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
+ Tìm tích a.c
+ Phân tích a.c ra thừa số nguyên với mọi cách
+ Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b
Ngoài ra có thể tách đồng thời cả hai hạng tử (hạng tử tự do và hạng tử bậc nhất)
(như cách 3)
2.2.2) Phương pháp thêm bớt hạng tử.
Ví dụ 6: Phân tích đa thức P
1
= x
4
+ 4 thành nhân tử
P
1
= x
4
+ 4
= x
4

+ 4x
2
+ 4 - 4x
2
(thêm 4x
2
, bớt 4x
2
)
= (x
4
+ 4x
2
+ 4) - 4x
2
(nhóm hạng tử)
= (x
2
+ 2)
2
- (2x)
2
(dùng hằng đẳng thức)
= (x
2
+ 2x + 2) (x
2
- 2x + 2)
Ví dụ 7: Phân tích đa thức : P
2

= a
4
+ 64 thành nhân tử.
P
2
= (a
4
+ 16a
2
+64) - 16a
2
(thêm 16a
2
, bớt 16a
2
)
= (a
2
+ 8)
2
- (4a)
2
= (a
2
+ 4a + 8) (a
2
- 4a + 8)
Như vây việc thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức rất tiện lợi,
song ta cần xem xét thêm, bớt hạng tử nào? để xuất hiện hằng đẳng thức nào? bình
phương của 1 tổng hay hiệu hai bình phương thì mới phân tích triệt để được.

Ở ví dụ 6, P
1
đã có bình phương hạng tử (x
2
) và bình phương hạng tử (2). Vậy muốn
là hằng đẳng thức thì còn thiếu 2 lần tích của 2 hạng tử đó. Do đó ta thêm 2.x
2
.2 = 4x
2
thì đồng thời phải bớt 4x
2
.
2.2.3) Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 8: Phân tích thành nhân tử:
D = (x
2
+ x)
2
+ 4x
2
+ 4x - 12
D = (x
2
+ x)
2
+ 4(x
2
+ x) - 12 (nhóm - làm xuất hiện nhân tử chung)
Người thực hiện: Dương Văn Thanh Đơn vị: Trường THCS Thiệu
Dương

7
Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Ta thấy 2 hạng tử đầu có nhân tử chung là (x
2
+ x), ta có thể đặt
y = x
2
+ x = x(x + 1) (đổi biến). Khi đó ta có:
D
1
= y
2
+ 4y - 12
Ta có thể dùng phương pháp tách hoặc thêm bớt
D
1
= (y
2
- 2y) + (6y - 12) (Tách 4y = 6y - 2y)
D
1
= y (y - 2) + 6(y - 2) (đặt nhân tử chung)
D
1
= (y – 2)(y + 6) (đặt nhân tử chung)
Hay D = (x
2
+ x - 2) (x

2
+ x + 6) thay lại biến x
D đã phân tích thành 2 nhân tử (x
2
+ x- 2) và (x
2
+ x+ 6)
Việc phân tích tiếp các nhân tử cho triệt để có thể dựa vào các phương pháp
đã nêu ở trên. Chú ý có những tam thức không thể phân tích tiếp được như :
x
2
+ x + 6 = (x +
2
1
)
2
+ 5
4
3
. Do vậy không phân tích tiếp được nữa
Còn x
2
+ x - 2 = (x
2
- 1) + (x - 1) = (x - 1) (x + 2)
Khi đó D = (x
2
+ x + 6) (x - 1) (x + 2).
2.2.4) Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
Nguyên tắc: Nếu đa thức ax

3
+ bx
2
+ cx+ d (1) có nghiệm thì theo định lý Bơ du
ta có: Nếu m là nghiệm của (1) thì m chứa nhân tử (x - m), khi đó dùng phép chia đa
thức ta có:
ax
3
+ bx
2
+ cx + d = (x - m) (a'x
2
+ b'x + c'), nhân tử bậc hai có thể phân tích tiếp
được dựa vào các phương pháp nêu ở trên.
Các phương pháp tìm nghiệm của đa thức bậc 3:
+ Nếu tổng các hệ số: a + b + c + d = 0 đa thức có nghiệm x = 1.
⇒ đa thức chứa nhân tử chung (x - 1)
+ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ tức là a - c = b +d đa thức có x = -1.
⇒ đa thức chứa nhân tử chung (x + 1)
+ Nếu không xét được tổng các hệ số như trên thì ta xét các ước của hệ số tự do d (hệ
số không đổi). Nếu ước nào của d làm cho đa thức có giá trị bằng 0 thì ước đó là
nghiệm của đa thức.
Ví dụ 9: Phân tích đa thức thành nhân tử.
Người thực hiện: Dương Văn Thanh Đơn vị: Trường THCS Thiệu
Dương

8
Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
E

1
= x
3
+ 3x
2
- 4 xét tổng các hệ số ta thấy.
a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0 ⇒ x
1
= 1
E
1
= (x - 1) (x
2
+ 4x + 4) (chia E
1
Cho (x - 1) )
Sau đó dùng các phương pháp đã học để phân tích tiếp
E
1
= (x - 1) (x + 2)
2
Ví dụ 10: Phân tích đa thức thành nhân tử.
E
2
= x
3
- 3x + 2
Ta thấy tổng và hiệu các hệ số của E
2
≠ 0 do đó loại x = ± 1

Xét các Ư
(2)
= ± 2 có x = -2 là nghiệm của E
2
⇒ E
2
= (x + 2)(x
2
- 2x + 1) (Chia E
2
cho(x - 2))
E
2
= (x + 2) (x -1)
2
Các ví dụ trên đây là một số phương pháp để phối kết hợp với các
phương pháp thông thường giúp học sinh phân tích được các bài toán khó
thành nhân tử giúp cho quá trình rút gọn phân thức cũng như giải phương
trình.
3) Một số bài tập áp dụng.
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
1a. x
2
- 4x + 3 bằng 4 cách (phương pháp tách).
Gợi ý 4 cách làm.
C
1
: Tách - 4x = - 3x + (-x)
C
2

: Tách 3 = 4 - 1.
C
3
: Tách 3 = 12 - 9
C
4
: Tách -4x = -2x + (-2x) và 3 = 2 + 1
Sau đó có thể nhóm làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung.
1b. 81a
4
+ 4 (thêm bớt hạng tử)
Gợi ý:Thêm 2 lần tích của 9a
2
và 2 → Hằng đẳng thức. Cụ thể: 36x
2
Người thực hiện: Dương Văn Thanh Đơn vị: Trường THCS Thiệu
Dương

9
Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
1c: (x
2
+ x)
2
+ 9x
2
+ 9x + 14 (phương pháp đổi biến).
Gợi ý: đặt (x
2

+x ) = y
1d: x
3
- 2x
2
- x + 2 (phương pháp tìm nghiệm).
Gợi ý: Xét tổng các hệ số a + b + c = 0
Ngoài ra có thể sử dụng các phương pháp khác để phân tích các bài tập trên
thành nhân tử.
Bài tập 2 : Rút gọn và tính giá trị của biểu thức.
M =
8147
44
3
23
−+−
+−−
aaa
aaa
với a = 102
Gợi ý:
+ Phân tích tử thức a
3
- 4a
2
- a+ 4 bằng phương pháp nhóm hằng đẳng thức đưa tử
thành nhân tử.
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức, đặt nhân tử
chung, tách hạng tử.
+ Rút gọn nhân tử chung của tử thứcvà mẫu thức.

+ Thay a = 102 vào M đã rút gọn.
Bài tập 3: Giải các phương trình sau:
3.a) y
2
- 5y + 4 = 0.
Gợi ý: Phân tích vế trái thành các nhân tử ⇒ phương trình trở về phương trình tích.
3b: y
3
- 2y
2
- 9y + 18 = 0.
Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử, đưa phương trình đã cho thành phương
trình tích ⇒ giải phương trình tích.
Bài tập 4: Chứng minh rằng đa thức sau.
4a) A = (a
2
+ 3a + 1)
2
- 1 chia hết cho 24.
Với a là một số tự nhiên.
Người thực hiện: Dương Văn Thanh Đơn vị: Trường THCS Thiệu
Dương

10
Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Gợi ý:
+ Trước hết phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.
A = (a
2

+ 3a + 2) (a
2
+ 2a) (Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương)
A = (a + 2) (a + 1) (a + 3)a = a (a + 1) (a + 2) (a + 3)
(Sử dụng phương pháp tách hạng tử 3a = 2a + a)
* Lập luận:
+ A đã cho là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chứng tỏ trong ba số tự nhiên liên
tiếp ắt phải có một số chia hết cho 3 vậy: A  3
+ Trong 4 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có 2 số chẵn liên tiếp nên mộc trong
hai số đó chia hết cho 2 và số còn lại sẽ chia hết cho 4. Vậy A  8
+ Nhưng (3 ; 8) = 1 nên tích của 4 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 24.
4b) B = 25m
4
+ 50m
3
- n
2
- 2n chia hết cho 24.
Với n là số nguyên dương tuỳ ý.
Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
A = x
2
- 4x + y
2
+ 2y + 12
Gợi ý:
+ Trước hết sử dụng các phương pháp của phân tích đa thức thành nhân tử để
phân tích A.
A = x
2

- 4x + 4 + y
2
+2y + 1 + 7 (tách 12 = 7 + 4 + 1)
A = (x
2
- 4x + 4) + (y
2
+ 2y + 1) + 7 (nhóm hạng tử)
A = (x- 2)
2
+ (y + 1)
2
+ 7
* Lập luận.
Vì (x - 2)
2
≥ o và (y + 1)
2
≥ 0, dấu " = "xảy ra khi a = 2 và y = - 1 nên A = (x - 2)
2
+ (y + 1)
2
+ 7 ≥ 7
Người thực hiện: Dương Văn Thanh Đơn vị: Trường THCS Thiệu
Dương

11
Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Vậy A

Min

= 7 khi x = 2; y = -1
4) Kết quả đạt được:
Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy ở trường THCS Thiệu
Dương trong năm học 2010 - 2011 đã thu được các kết quả khả quan.
Kết quả học tập của học sinh được nâng lên rõ rệt qua các giờ học, qua mỗi kỳ
thi, đặc biệt là các em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo các thủ thuật phân
tích đa thức thành nhân tử để làm các dạng toán có liên quan đến việc phân tích đa
thức đạt kết quả tốt. 100% các em học sinh đã biết sử dụng các phương pháp phân tích
thông thường một cách thành thạo, 90% các em học sinh có kỹ năng nắm vững thủ
thuật phân tích đa thức dựa vào các phương pháp phân tích đã được nêu trong sáng
kiến kinh nghiệm. Bên cạnh đó các phương pháp này các em dễ dàng tiếp cận với các
dạng
toán khó và các kiến thức mới cũng như việc hình thành một số kỹ năng trong
quá trình học tập và giải toán khi học bộ môn toán.
C. KẾT LUẬN.
Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm trên đây có kết quả
hữu hiệu cho việc học tập và giải toán. Rất nhiều học sinh chủ động tìm tòi và định
hướng phương pháp làm bài khi chưa có sự gợi ý của giáo viên, mang lại nhiều sáng
tạo và kết quả tốt từ việc giải toán rút ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân
tử.
Vì lẽ đó vơí mỗi giáo viên chung và bản thân tôi nói riêng cần hiểu rõ khả năng
tiếp thu bài của các đối tượng học sinh để từ đó đưa ra những bài tập và phương pháp
giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm được các bài tập, gây hứng thú học tập, say
sưa giải toán, yêu thích học toán. Từ đó dần dần nâng cao từ dễ đến khó, có được như
vậy thì người thầy giáo cần phải tìm tòi nhiều phương pháp giải toán, có nhiều bài toán
Người thực hiện: Dương Văn Thanh Đơn vị: Trường THCS Thiệu
Dương

12
Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
hay để hướng dẫn học sinh làm, đưa ra cho học sinh cùng làm, cùng phát hiện ra các
cách giải khác nhau cũng như cách giải hay, tính tự giác trong học toán, phương pháp
giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải toán nhanh, có kỹ năng phát
hiện ra các cách giải: Một số kinh nghiệm trong phân tích đa thức thành nhân tử ở trên
đây giúp học sinh rất nhiều trong quá trình giải toán có sử dụng phân tích đa thức
thành nhân tử. Các kinh nghiệm về phân tích đa thức thành nhân tử mà tôi đã viết trên
đây có lẽ sẽ còn rất nhiều hạn chế. Mong tổ chuyên môn trong trường, đồng nghiệp
góp ý chân thành để tôi có nhiều sáng kiến kinh nghiệm tốt hơn phục vụ tích cực cho
việc giảng dạy nhằm thực hiện tốt chương trình mới THCS.
Thiệu Dương, ngày 23 tháng 3 năm 2011
Người thực hiện



Dương Văn Thanh
Quý thầy cô và bạn nào tải SKKN này hãy dành thêm một chút
thời gian để đọc bài giới thiệu sau của tôi và hãy tri ân người đăng tài liệu này
bằng cách dùng Email và mã số người giới thiệu của tôi theo hướng dẫn sau. Nó sẽ
mang lại lợi ích cho chính thầy cô và các bạn, đồng thời tri ân được với người giới
thiệu mình:
Kính chào quý thầy cô và các bạn.
Lời đầu tiên cho phép tôi được gửi tới quý thầy cô và các bạn lời chúc tốt đẹp
nhất. Khi thầy cô và các bạn đọc bài viết này nghĩa là thầy cô và các bạn đã có thiên
hướng làm kinh doanh
Nghề giáo là một nghề cao quý, được xã hội coi trọng và tôn vinh. Tuy nhiên,
có lẽ cũng như tôi thấy rằng đồng lương của mình quá hạn hẹp. Nếu không phải môn
học chính, và nếu không có dạy thêm, liệu rằng tiền lương có đủ cho những nhu cầu

của thầy cô. Còn các bạn sinh viên…với bao nhiêu thứ phải trang trải, tiền gia đình
gửi, hay đi gia sư kiếm tiền thêm liệu có đủ?
Người thực hiện: Dương Văn Thanh Đơn vị: Trường THCS Thiệu
Dương

13
Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Bản thân tôi cũng là một giáo viên dạy môn Ngữ Văn. vì vậy thầy cô sẽ hiểu tiền
lương mỗi tháng thu về sẽ được bao nhiêu. Vậy làm cách nào để kiếm thêm cho mình
4, 5 triệu mỗi tháng ngoài tiền lương.
Thực tế tôi thấy rằng thời gian thầy cô và các bạn lướt web trong một ngày cũng
tương đối nhiều. Ngoài mục đích kiếm tìm thông tin phục vụ chuyên môn, các thầy cô
và các bạn còn sưu tầm, tìm hiểu thêm rất nhiều lĩnh vực khác. Vậy tại sao chúng ta
không bỏ ra mỗi ngày 5 đến 10 phút lướt web để kiếm cho mình 4, 5 triệu mỗi tháng.
Điều này là có thể?. Thầy cô và các bạn hãy tin vào điều đó. Tất nhiên mọi thứ đều có
giá của nó. Để quý thầy cô và các bạn nhận được 4, 5 triệu mỗi tháng, cần đòi hỏi ở
thầy cô và các bạn sự kiên trì, chịu khó và biết sử dụng máy tính một chút. Vậy thực
chất của việc này là việc gì và làm như thế nào? Quý thầy cô và các bạn hãy đọc bài
viết của tôi, và nếu có hứng thú thì hãy bắt tay vào công việc ngay thôi.
Thầy cô chắc đã nghe nghiều đến việc kiếm tiền qua mạng. Chắc chắn là có.
Tuy nhiên trên internet hiện nay có nhiều trang Web kiếm tiền không uy tín
( đó là những trang web nước ngoài, những trang web trả thù lao rất cao ). Nếu là
web nước ngoài thì chúng ta sẽ gặp rất nhiều khó khăn về mặt ngôn ngữ, những web
trả thù lao rất cao đều không uy tín, chúng ta hãy nhận những gì tương xứng với công
lao của chúng ta, đó là sự thật.
Ở Việt Nam trang web thật sự uy tín đó là : .Lúc đầu bản
thân tôi cũng thấy không chắc chắn lắm về cách kiếm tiền này. Nhưng giờ tôi đã hoàn
toàn tin tưởng, đơn giản vì tôi đã được nhận tiền từ công ty.( thầy cô và các bạn cứ
tích lũy được 50.000 thôi và yêu cầu satavina thanh toán bằng cách nạp thẻ điện thoại

là sẽ tin ngay).Tất nhiên thời gian đầu số tiền kiếm được chẳng bao nhiêu, nhưng sau
đó số tiền kiếm được sẽ tăng lên. Có thể thầy cô và các bạn sẽ nói: đó là vớ vẩn, chẳng
ai tự nhiên mang tiền cho mình. Đúng chẳng ai cho không thầy cô và các bạn tiền đâu,
chúng ta phải làm việc, chúng ta phải mang về lợi nhuận cho họ. Khi chúng ta đọc
quảng cáo, xem video quảng cáo nghĩa là mang về doanh thu cho Satavina, đương
nhiên họ ăn cơm thì chúng ta cũng phải có cháo mà ăn chứ, không thì ai dại gì mà làm
việc cho họ.
Vậy chúng ta sẽ làm như thế nào đây. Thầy cô và các bạn làm như này nhé:
1/ Satavina.com là công ty như thế nào:
Đó là công ty cổ phần hoạt động trong nhiều lĩnh vực, trụ sở tại tòa nhà Femixco, Tầng
6, 231-233 Lê Thánh Tôn, P.Bến Thành, Q.1, TP. Hồ Chí Minh.
GPKD số 0310332710 - do Sở Kế Hoạch và Đầu Tư TP.HCM cấp. Giấy phép ICP số
13/GP-STTTT do Sở Thông Tin & Truyền Thông TP.HCM cấp.quận 1 Thành Phố
HCM.
Khi thầy cô là thành viên của công ty, thầy cô sẽ được hưởng tiền hoa hồng từ
việc đọc quảng cáo và xem video quảng cáo( tiền này được trích ra từ tiền thuê quảng
cáo của các công ty quảng cáo thuê trên satavina)
2/ Các bước đăng kí là thành viên và cách kiếm tiền:
Để đăng kí làm thành viên satavina thầy cô làm như sau:
Bước 1:
Người thực hiện: Dương Văn Thanh Đơn vị: Trường THCS Thiệu
Dương

14
Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Nhập địa chỉ web: vào trình duyệt web( Dùng trình duyệt firefox,
không nên dùng trình duyệt explorer)
Giao diện như sau:

Để nhanh chóng quý thầy cô và các bạn có thể coppy đường linh sau:

( Thầy cô và các bạn chỉ điền thông tin của mình là được. Tuy nhiên, chức năng đăng
kí thành viên mới chỉ được mở vài lần trong ngày. Mục đích là để thầy cô và các bạn
tìm hiểu kĩ về công ty trước khi giới thiệu bạn bè )

Bước 2:
Click chuột vào mục Đăng kí, góc trên bên phải( có thể sẽ không có giao diện ở
bước 3 vì thời gian đăng kí không liên tục trong cả ngày, thầy cô và các bạn phải thật
kiên trì).
Bước 3:
Nếu có giao diện hiện ra. thầy cô khai báo các thông tin:
Người thực hiện: Dương Văn Thanh Đơn vị: Trường THCS Thiệu
Dương

15
Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Thầy cô khai báo cụ thể các mục như sau:
+ Mail người giới thiệu( là mail của tôi, tôi đã là thành viên chính thức):

+ Mã số người giới thiệu( Nhập chính xác) : 00022077
Hoặc quý thầy cô và các bạn có thể coppy Link giới thiệu trực tiếp:
/>hrYmail=&hrID=22077

+ Địa chỉ mail: đây là địa chỉ mail của thầy cô và các bạn. Khai báo địa chỉ thật để còn
vào đó kích hoạt tài khoản nếu sai thầy cô và các bạn không thể là thành viên chính
thức.
+ Nhập lại địa chỉ mail:
+ Mật khẩu đăng nhập: nhập mật khẩu khi đăng nhập trang web satavina.com

+ Các thông tin ở mục:
Thông tin chủ tài khoản: thầy cô và các bạn phải nhập chính xác tuyệt đối, vì thông
tin này chỉ được nhập 1 lần duy nhất, không sửa được. Thông tin này liên quan đến
việc giao dịch sau này. Sai sẽ không giao dịch được.
+ Nhập mã xác nhận: nhập các chữ, số có bên cạnh vào ô trống
+ Click vào mục: tôi đã đọc kĩ hướng dẫn
+ Click vào: ĐĂNG KÍ
Sau khi đăng kí web sẽ thông báo thành công hay không. Nếu thành công thầy cô và
các bạn vào hòm thư đã khai báo để kích hoạt tài khoản. Khi thành công quý thầy cô
và các bạn vào web sẽ có đầy đủ thông tin về công ty satavina và cách thức kiếm tiền.
Hãy tin vào lợi nhuận mà satavina sẽ mang lại cho thầy cô. Hãy bắt tay vào việc đăng
kí, chúng ta không mất gì, chỉ mất một chút thời gian trong ngày mà thôi.
Kính chúc quý thầy cô và các bạn thành công.
Người thực hiện: Dương Văn Thanh Đơn vị: Trường THCS Thiệu
Dương

16
Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Nếu quý thầy cô có thắc mắc gì trong quá trình tích lũy tiền của mình hãy gọi
trực tiếp hoặc mail cho tôi:
Người giới thiệu: Dương Văn Dũng
Email người giới thiệu:

Mã số người giới thiệu: 00022077
Quý thầy cô và các bạn có thể coppy Link giới thiệu trực tiếp:

Di động: 0976 192 579
Website:
2/ Cách thức satavina tính điểm quy ra tiền cho thầy cô và các bạn:

+ Điểm của thầy cô và các bạn được tích lũy nhờ vào đọc quảng cáo và xem video
quảng cáo.
Nếu chỉ tích lũy điểm từ chính chỉ các thầy cô và các bạn thì 1 tháng chỉ được khoảng
1tr.Nhưng để tăng điểm thầy cô cần phát triển mạng lưới bạn bè của thầy cô và các
bạn.
3/ Cách thức phát triển mạng lưới:
- Xem 1 quảng cáo video: 10 điểm/giây. (có hơn 10 video quảng cáo, mỗi video trung
bình 1 phút)
- Đọc 1 tin quảng cáo: 10 điểm/giây. (hơn 5 tin quảng cáo)
_Trả lời 1 phiếu khảo sát.:100,000 điểm / 1 bài.
_Viết bài
Trong 1 ngày bạn chỉ cần dành ít nhất 5 phút xem quảng cáo, bạn có thể kiếm được:
10x60x5= 3000 điểm, như vậy bạn sẽ kiếm được 300đồng .
- Bạn giới thiệu 10 người bạn xem quảng cáo (gọi là Mức 1 của bạn), 10 người này
cũng dành 5 phút xem quảng cáo mỗi ngày, công ty cũng chi trả cho bạn
300đồng/người.ngày.
- Cũng tương tự như vậy 10 Mức 1 của bạn giới thiệu mỗi người 10 người thì bạn có
100 người (gọi là mức 2 của bạn), công ty cũng chi trả cho bạn 300đồng/người.ngày.
- Tương tự như vậy, công ty chi trả đến Mức 5 của bạn theo sơ đồ sau :
- Nếu bạn xây dựng đến Mức 1, bạn được 3.000đồng/ngày
→ 90.000 đồng/tháng.
- Nếu bạn xây dựng đến Mức 2, bạn được 30.000đồng/ngày
→ 900.000 đồng/tháng.
- Nếu bạn xây dựng đến Mức 3, bạn được 300.000đồng/ngày
→ 9.000.000 đồng/tháng.
- Nếu bạn xây dựng đến Mức 4, bạn được 3.000.000đồng/ngày
→ 90.000.000 đồng/tháng.
- Nếu bạn xây dựng đến Mức 5, bạn được 30.000.000đồng/ngày
→ 900.000.000 đồng/tháng.
Người thực hiện: Dương Văn Thanh Đơn vị: Trường THCS Thiệu

Dương

17
Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8:
Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Tuy nhiên thầy cô và các bạn không nên mơ đạt đến mức 5. Chỉ cần cố gắng để 1tháng
được 1=>10 triệu là quá ổn rồi.
Như vậy thầy cô và các bạn thấy satavina không cho không thầy cô và các bạn tiền
đúng không. Vậy hãy đăng kí và giới thiệu mạng lưới của mình ngay đi.
Lưu ý: Chỉ khi thầy cô và các bạn là thành viên chính thức thì thầy cô và các bạn mới
được phép giới thiệu người khác.
Hãy giới thiệu đến người khác là bạn bè thầy cô và các bạn như tôi đã giới thiệu
và hãy quan tâm đến những người mà bạn đã giới thiệu và chăm sóc họ( khi là thành
viên thầy cô và các bạn sẽ có mã số riêng).Khi giới thiệu bạn bè hãy thay nội dung ở
mục thông tin người giới thiệu là thông tin của thầy cô và các bạn. Chúc quý thầy cô
và các bạn thành công và có thể kiếm được 1 khoản tiền cho riêng mình.
Người giới thiệu: Dương Văn Dũng
Email người giới thiệu:
Mã số người giới thiệu: 00022077
Quý thầy cô và các bạn có thể coppy Link giới thiệu trực tiếp:

Di động: 0976 192 579
Website:

Người thực hiện: Dương Văn Thanh Đơn vị: Trường THCS Thiệu
Dương

18